Ο ΙΕΡΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΤΕΧΝΕΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΛΑΜΠΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΑ ΜΑΝΕΝΤΗ ΖΩΗ ΑΝΤΩΝΑΤΟΥ ΑΣΠΑ ΔΡΟΓΓΙΤΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΛΠΙΔΑ

1 η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ο ΙΕΡΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΤΕΧΝΕΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΛΑΜΠΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΑ ΜΑΝΕΝΤΗ ΖΩΗ ΑΝΤΩΝΑΤΟΥ ΑΣΠΑ ΔΡΟΓΓΙΤΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΛΠΙΔΑ ΠΑΤΡΑ 17 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2012 Εισαγωγή

Ο Πυθαγόρας υποστήριζε ότι αποτελεί μια από τις κρυμμένες αρμονίες της φύσης, ο Ικτίνος τη χρησιμοποίησε στην κατασκευή του Παρθενώνα και ο Λεονάρντο Ντα Βίντσι στα υπέροχα και διαχρονικά ανεπανάληπτα γλυπτά του. Κανένας όμως δεν θα μπορούσε να φανταστεί ότι χαρακτηρίζει τη μορφή φυσικών σχηματισμών σε όλες τις κλίμακες των μεγεθών, από τις μικρότερες όπως είναι τα όστρακα, έως τις μεγαλύτερες όπως είναι οι κυκλώνες και οι γαλαξίες. Πρόκειται, λοιπόν για τη χρυσή τομή! Ο αριθμός αυτός που ισούται με 1,618... ονομάστηκε έτσι από τους αρχαίους και διαιρούσε μια γραμμή με τον τελειότερο τρόπο. Γι αυτόν το λόγο ο Πλάτωνας θεωρούσε ότι αυτός ο αριθμός βρίσκεται στον υπερουράνιο τόπο. Η φαινομενικά αυτή εύκολη κατασκευή απέκτησε τεράστια σημασία με το πέρασμα των αιώνων. Αυτό είναι και το θέμα της παρούσας ερευνητικής εργασίας: Να βρούμε, να μελετήσουμε και να μάθουμε τη σπουδαιότητα του χρυσού κανόνα στις τέχνες, την αρχιτεκτονική, τη φωτογραφία, τη μουσική και τη ζωγραφική. Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι η χρυσή τομή έχει άμεση σχέση με την τέχνη γιατί χρησιμοποιώντας οι ζωγράφοι, οι μουσικοί, οι φωτογράφοι αλλά και οι αρχιτέκτονες το χρυσό κανόνα το αποτέλεσμα είναι η πιο ωραία αισθητικά εμφάνιση. Για παράδειγμα, ο Παρθενώνας του Ικτίνου διέπεται από τον χρυσό κανόνα στις διαστάσεις του, όπως τα γλυπτά του Φειδία και του Πραξιτέλη, οι ζωγραφικοί πίνακες του Ιταλού Λεονάρντο Ντα Βίντσι και μια σειρά από άλλα καλλιτεχνήματα που προκαλούν το θαυμασμό στους θεατές με τη μαθηματική αρμονία του χρυσού λόγου που χρησιμοποίησαν οι δημιουργοί τους. Ο πασίγνωστος αρχιτέκτονας των αρχαίων χρόνων, κατασκεύαζε τα γλυπτά του έτσι ώστε οι αναλογίες των διαστάσεων να δίνουν τον αριθμό 1+ τετραγωνική ρίζα του 5 προς 2, αφού είχε διαπιστωθεί ότι ο χρυσός λόγος υπάρχει ακόμη και στις αναλογίες των διαστάσεων του ανθρώπινου σώματος ενός φυσιολογικού ενήλικου ατόμου. Ο αριθμός Φ παρατηρείται και στις αναλογίες αρχιτεκτονικών κτισμάτων όπως ο Παρθενώνας, το αρχαίο θέατρο της Επιδαύρου αλλά και κτίσματα σύγχρονων αρχιτεκτόνων, όπως το κτίριο του ΟΗΕ στη Νέα Υόρκη. ΜΟΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΙΕΡΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΣΤΟΥΣ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥΣ Πριν από 26 αιώνες στην αρχαία Ελλάδα γεννήθηκε από τον Πυθαγόρα η ιδέα της σύνθεσης των μαθηματικών και της μουσικής. Ο φιλόσοφος γνώριζε πολύ καλά τη σχέση της μουσικής με τα μαθηματικά. Σύμφωνα με ειδικούς ερευνητές ο ίδιος και οι μαθητές του εντρύφησαν στη σχέση της μουσικής και των αριθμών μελετώντας το αρχαίο όργανο, το

μονόχορδο. Το μονόχορδο ήταν ένα όργανο με μια χορδή και ένα κινητό καβαλάρη που διαιρούσε τη χορδή, επιτρέποντας μόνο ένα τμήμα της να ταλαντώνεται. Το συγκεκριμένο όργανο θεωρείται ότι ανήκει στην οικογένεια του λαούτου. Επιπρόσθετα, το μονόχορδο χρησιμοποιήθηκε για τον καθορισμό των μαθηματικών σχέσεων των μουσικών ήχων. Ονομαζόταν και «Πυθαγόρειος κανών» διότι η εφεύρεσή του αποδιδόταν στον Πυθαγόρα. Εντυπωσιακό ήταν το γεγονός ότι μόνο ακριβείς μαθηματικές σχέσεις έδιναν αρμονικούς ήχους στο μονόχορδο. Για παράδειγμα, έπρεπε να χωρίσουν ακριβώς στη μέση τη χορδή και όχι περίπου στη μέση, ώστε να προκαλούν ευχάριστο ψυχικό συναίσθημα που απορρέει από έναν αρμονικό ήχο. Η αποδέσμευση της μελέτης των μουσικών φαινομένων από την Πυθαγόρεια παράδοση γίνεται αργά, σταδιακά και πραγματοποιείται σε ένα συνεχώς μεταβαλλόμενο, ιστορικό, κοινωνικό και πολιτισμικό πλαίσιο. Το μονόχορδο του Πυθαγόρα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΟΥΣΙΚΗ ΣΤΗ ΔΥΤΙΚΗ ΕΥΡΩΠΗ Ο αριθμός και ο ρυθμός έχουν κοινή καταγωγή την οποία έλκουν από την κατάκτηση του χρόνου και την 1 προς 1 αντιστοιχία των χρονικών στιγμών με γεγονότα. Σήμερα οι δύο αυτές έννοιες συνυπάρχουν στον τρόπο με τον οποίο γράφεται η Δυτική μουσική. Η ανάπτυξη της ναυσιπλοΐας του 16ου αιώνα, μετά την ανακάλυψη του Νέου Κόσμου, δημιουργεί νέες απαιτήσεις για μεγαλύτερη ακρίβεια στις μετρήσεις και ιδιαίτερα στην κατασκευή αξιόπιστων ορολογιών. Η στροφή αυτή είναι καταλυτική για την έρευνα των μουσικών φαινόμενων, η οποία προσανατολίζεται πλέον προς τη μελέτη του τρόπου παραγωγής των ήχων.

Τον 17ο αιώνα επίσης, η μελέτη των παλμικών κινήσεων οδηγεί στη συγκρότηση της μαθηματικής έννοιας των περιοδικών φαινόμενων και η Τριγωνομετρία στρέφεται από την παραδοσιακά υπολογιστική της στάση σε μια περισσότερη αναλυτική θεώρηση. Τέλος, με τη βοήθεια της ανάλυσης κατά Fourier είναι πλέον δυνατόν να λυθεί η διαφορική εξίσωση της παλλόμενης νότας. Έτσι ένα μουσικό όργανο παίζει μία νότα, παράγει ήχους διάφορων συχνοτήτων. Ο Μότσαρτ διαίρεσε μεγάλο αριθμό από τις σονάτες του σε δύο μέρη, η χρονική αναλογία των οποίων αντιστοιχεί στη χρυσή τομή, του αριθμού Φ. Σύμφωνα με τον Putz: Στον καιρό του Μότσαρτ, η μουσική φόρμα της σονάτας εξελίχθηκε σε δύο μέρη: στην έκθεση που το μουσικό θέμα εισάγεται και στην ανάπτυξη και επανέκθεση που το θέμα αναπτύσσεται και επανεπισκέπτεται. Είναι αυτός ο χωρισμός σε δύο ευδιάκριτα τμήματα που δίνει την αιτία να αναρωτηθεί κανείς πως ο Μότσαρτ διένειμε αυτές τις εργασίες. Δηλαδή ο Μότσαρτ, διαίρεσε τις σονάτες του σύμφωνα με τη χρυσή αναλογία. Άλλοι μουσικοί που εφάρμοσαν τον κανόνα της χρυσής τομής στα έργα τους ήταν οι: Μπέλα Μπάρτοκ(1881-1945) και Κλώντ Ντεμπισύ(1862-1918). Ένας μεγάλος Έλληνας μουσικός, ο Γιάννης Ξενάκης (1922-2001) ήταν ένας από τους σημαντικότερους Έλληνες συνθέτες και αρχιτέκτονες του 20 ου αιώνα. Οι πρωτοποριακές συνθετικές μέθοδοι που ανέπτυξε συσχέτισαν τη μουσική και την αρχιτεκτονική με τα μαθηματικά και τη φυσική μέσω της χρησιμοποίησης μοντέλων από τη θεωρία των συνόλων, των πιθανοτήτων, τη θερμοδυναμική, τη χρυσή τομή και την ακολουθία Φιμπονάτσι. Αξιοσημείωτο είναι ότι από νωρίς ενδιαφερόταν για τη σχέση των μαθηματικών και της μουσικής προσπαθώντας να βρει πώς θα μπορούσε να εφαρμοστούν μαθηματικά μοντέλα στη τέχνη της Φούγκας του Μπαχ, έτσι ώστε οι μουσικές δομές να αποδοθούν με παραστάσεις με γραφήματα ως οπτικές αντιστοιχίες της μουσικής. Ο Ξενάκης χρησιμοποίησε ως βάση για τις περισσότερες συνθέσεις του τα μαθηματικά μοντέλα με αποτέλεσμα να χαρακτηριστεί νεοπυθαγόρειος.

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΚΑΙ Ο ΙΕΡΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ Ο ιερός αριθμός Φ βρίσκει εφαρμογή και στην αρχιτεκτονική από τα αρχαία χρόνια ως τις ημέρες μας. Φωτεινά παραδείγματα είναι ο Παρθενώνας, το αρχαίο θέατρο της Επιδαύρου και το κτίριο του Ο.Η.Ε στη Νέα Υόρκη. ΠΑΡΘΕΝΩΝΑΣ Η γνώση του αριθμού Φ και του χρυσού ορθογωνίου ανάγεται στους αρχαίους Έλληνες οι οποίοι εμπνεύστηκαν απ αυτόν στο πιο γνωστό έργο τέχνης. Η χρυσή τομή παίζει σημαντικό ρόλο στην αισθητική των επιφανειών, δηλαδή το <<αρμονικότερο>> αυτό του οποίου οι πλευρές έχουν ίσο λόγο με την χρυσή τομή. Η τάση αυτή ήταν ήδη γνωστή στους αρχιτέκτονες της αρχαίας Ελλάδας όπως δείχνει το γεγονός ότι η βάση και το ύψος της πρόσοψης του Παρθενώνα αν συνυπολογίσει κανείς και το τμήμα του αετώματος που λείπει, έχουν λόγο ίσο με τη χρυσή τομή. Ο Παρθενώνας είναι γεμάτος χρυσά ορθογώνια και προσαρμόζεται σχεδόν ακριβώς στο χρυσό ορθογώνιο. Οι αναλογίες του είναι προσεκτικά μελετημένες και η μεταξύ τους σχέση δίνει ένα αισθητικό αποτέλεσμα άνευ προηγουμένου. Μοναδικές είναι και οι περίφημες καμπυλότητες του: δεν υπάρχει σχεδόν καμιά ευθεία γραμμή στο σύνολο του κτηρίου, με τις οριζόντιες επιφάνειες να κυρτώνουν και τις κάθετες να είναι γυρτές προς το εσωτερικό του κτηρίου. Η τεχνική αυτή γνωστή κυρίως από το έργο του ρωμαίου μελετητή Βιτρούβιου είναι εξαιρετικά δύσκολη και σπάνια. Είναι ναός περίπτερος με δυο σειρές κολώνες μήκους 70 μέτρων και πλάτους 31, δωρικού ρυθμού με αρκετά Ιωνικά στοιχεία. Αυτή η σύνθεση των δυο αρχιτεκτονικών στοιχείων έκανε το πελώριο οικοδόμημα πιο ανάλαφρο. Τέλειες Αναλογίες: Άρχισε να χτίζεται το 447π.χ και τελείωσε το 438π.χ, δηλαδή εννέα χρονιά αργότερα. Για να ολοκληρωθούν όμως τα ανάγλυφα χρειάστηκαν άλλα πέντε χρόνια. Ενώ οι συνηθισμένοι δωρικοί ναοί έχουν έξι κίονες στο πλάτος και 13 κίονες στο μήκος, ο Παρθενώνας είναι μεγαλύτερος. Έχει οχτώ και δεκαεπτά κίονες. Αν συγκρίνετε το μέγεθός του (69,54μ. μήκος, 30,78μ. πλάτος, 20μ. ύψος) με διάφορα σύγχρονα κτήρια θα δείτε την τεράστια διαφορά που προκαλεί η οπτική εντύπωση. Το οπτικό αποτέλεσμα είναι εκτός από αρμονικό πολλές φορές και απροσδόκητο, μιας και ο Παρθενώνας καταφέρνει να δείχνει εντυπωσιακά μεγαλύτερος από το πραγματικό του μέγεθος χωρίς όμως να βαραίνει τον χώρο!

Ο Παρθενώνας ΤΟ ΘΕΑΤΡΟ ΤΗΣ ΕΠΙΔΑΥΡΟΥ Κάποια θέατρα ήταν ασυνήθιστα μελετημένα ως προς την κατασκευή. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί το μεγάλο θέατρο της Επιδαύρου που κατασκευάστηκε στο τέλος του 4 ου αιώνα π.χ ενώ το πάνω διάζωμα προστέθηκε στα τέλη του 3 ου π.χ αιώνα. Η ορχήστρα του είναι ένας τέλειος κύκλος ενώ το κοίλον του αποτελεί τμήμα σφαίρας. Το κάτω διάζωμα αποτελείται από 34 σειρές καθισμάτων και το πάνω από 21 δίνοντας 55 σειρές συνολικά. Το άθροισμα των πρώτων 10 αριθμών (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) δίνει 55 το άθροισμα των πρώτων 6 δίνει 21(1+2+3+4+5+6) και το άθροισμα των 4 τελευταίων(7+8+9+10) δίνει 34. Ο χρυσός αριθμός Φ παρουσιάζεται και πάλι μιας και η αναλογία των δύο διαζωμάτων 21 προς 34 ισούται με 0,618(αριθμός Φ) αλλά και η αναλογία του κάτω διαζώματος προς το σύνολο των σειρών 34 προς 55 ισούται με 0,618 (αριθμός Φ) αποτελεί απόδειξη ενδελεχούς αρχιτεκτονικής και μαθηματικής μελέτης Απ ότι φαίνεται υπήρχε γνώση, μελέτη και διαχρονική συνέχεια σε τέτοιες κατασκευές. Ο Έλληνας αρχιτέκτονας Άρης Κωνσταντινίδης κατασκεύασε το περίπτερο στη Διεθνή Εκθεση Θεσσαλονίκης (1960) και ένα συγκρότημα κτηρίων που εξυπηρετεί το θέατρο της Επιδαύρου.

Το θέατρο της Επιδαύρου ΤΟ ΚΤΗΡΙΟ ΤΟΥ ΟΗΕ Το κτίριο του Ο.Η.Ε στη Νέα Υόρκη στο σχεδιασμό του οποίου συμμετείχε και ο Λε Κορμπυζιέ συνάδελφος του Γιάννη Ξενάκη, συναντάμε συχνά χρυσά ορθογώνια (χρησιμοποιούνται συχνά στα έργα τέχνης και η βάση τους είναι η χρυσή τομή του ύψους τους). ΑΡΧΑΙΟΕΛΛΗΝΙΚΕΣ ΤΟΠΟΘΕΣΙΕΣ ΚΑΙ Η ΣΧΕΣΗ ΤΟΥΣ ΜΕ ΤΟΝ ΧΡΥΣΟ ΛΟΓΟ Φ Οι Αρχαίοι Έλληνες για τις αποστάσεις χρησιμοποιούσαν σαν μονάδα μέτρησης το "στάδιο". Υπάρχει μία απίστευτη Γεωγραφική συμμετρία του Ελλαδικού χώρου και των αποστάσεων ή των γεωμετρικών σχημάτων που σχηματίζουν σημαντικά μνημεία της Ελλαδικής αρχαιότητας.ένα παράδειγμα είναι ο σχηματισμός ισοσκελούς τριγώνου μεταξύ της Ακρόπολης της Αθήνας, με τον ναό του Ποσειδώνα στο Σούνιο και τον ναό της Αφαίας Αθηνάς στην Αίγινα με απόσταση 242 στάδια. Σε κάθε γνωστό μνημείο της Αρχαίας Ελλάδας (π.χ. μαντείο των Δελφών, το ιερό νησί της Δήλου, το ιερό της Δωδώνης κ.λπ.) όταν "χαράξουμε" κύκλο με κέντρο το μνημείο και ακτίνα ένα άλλο μνημείο, τότε η νοητή περιφέρεια του κύκλου θα περάσει και από άλλο ένα μνημείο ή πόλη! (π.χ. κέντρο "την Δωδώνη" και ακτίνα κύκλου "την Αθήνα"... τότε η περιφέρεια του Κύκλου θα περάσει από την Σπάρτη!, κέντρο "οι Δελφοί" - ακτίνα η Αθήνα - θα περάσει η περιφέρεια και από την Ολυμπία..., Δήλος - Αργος - Μυκήνες... και πάρα πολλά άλλα παραδείγματα...). Η Χαλκίδα απέχει απ' την Θήβα και το Αμφιάρειο, 162 (Φ*100) στάδια (το ίδιο). Η απόσταση Θήβας - Αμφιαρείου είναι 262 στάδια (162 x 1.62 = 2.62 αλλά

και 100 x 2φ= 262) το τρίγωνο υπακούει στην αρμονία του χρυσού αριθμού φ=1.62. Η Χαλκίδα ισαπέχει επίσης απ' την Αθήνα και τα Μέγαρα 314 στάδια. Δηλαδή παρουσιάζονται ο χρυσός αριθμός φ και το π εκατονταπλασιασμένα. Η Σμύρνη ισαπέχει απ' την Αθήνα και την Θεσσαλονίκη (1620 στάδια). (Φ x 1000). Εκτός από την "ιερή" γεωγραφία του αρχαίου Ελλαδικού χώρου, είναι γνωστό ότι ο Παρθενώνας έχει κατασκευαστεί με αναλογίες και συνδυασμούς του ΧΡΥΣΟΥ αριθμού Φ = 1,618034 και του π =3,1415927. Είναι τυχαίο ότι θεωρείται από το πιο λαμπρά μνημεία στην ιστορία της ανθρωπότητας ; Είναι τυχαία και συμπτωματική η χρήση στην κατασκευή του ναού του ΧΡΥΣΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Φ ; Το πρώτο πράγμα που σκέφτεται κανείς είναι ότι πρόκειται για κάτι το ασύλληπτο. Ποιός ανθρώπινος νους θα μπορούσε να κάνει ανάλογους υπολογισμούς; Ποιό μυαλό θα μπορούσε να τοποθετήσει με τέτοια ακρίβεια ένα χάρτη ναών και πόλεων επάνω στη χερσόνησο της Αρχαίας Ελλάδας και, το σημαντικότερο, πώς κατάφεραν να ιδρύσουν και να χτίσουν αυτούς τους ναούς και αυτές τις πόλεις-κράτη υπακούοντας με ευλάβεια τις προσταγές αυτού του ασύλληπτου χάρτη; Τι εξυπηρετούσε η μυστική αυτή γεωγραφία; Και κατά προέκταση, γιατί αυτά τα καταπληκτικά επιτεύγματα του αρχαίου ελληνικού πνεύματος δεν τα διδαχτήκαμε ποτέ στα σχολεία μας; Πριν από κάποια χρόνια, ο Γάλλος ερευνητής Ζαν Ρισσέν προσπάθησε να αποδείξει ότι η Ελλάδα είναι ο χάρτης του νοητού σύμπαντος χάρη στους ναούς, τα ιερά και τις πόλεις της.αρκετά χρόνια αργότερα, ο Θεοφάνης Μάνιας, επανεξέτασε πιο διεξοδικά το θέμα, καταλήγοντας μέσα από τα βιβλία του «Τα Άγνωστα Μεγαλουργήματα των Αρχαίων Ελλήνων» και «Το Ελληνικό Πνεύμα στις Πυραμίδες της Αιγύπτου» σε εκπληκτικά και ασύλληπτα συμπεράσματα. Παραθέτουμε κάποια από τα σημαντικότερα εξ αυτών: Η Δήλος απέχει: 1020 στάδια από το Ασκληπιείο της Κω, όσο ακριβώς και από το Ασκληπιείο Επιδαύρου.1296 στάδια από τη Σμύρνη, όσο ακριβώς και από τη Θήβα. 1460 στάδια από τους Δελφούς, όσο ακριβώς και από την Αλεξάνδρεια Τρωάδος. 1460 στάδια από τη Σπάρτη, όσο ακριβώς και από την Πέργαμο. 800 στάδια από την Αθήνα, όσο ακριβώς και από την Καρδαμύλη Χίου. 1256 στάδια από το Ρέθυμνο, όσο ακριβώς και από την Κνωσσό. 1188 στάδια από την Κόρινθο, όσο ακριβώς και από τη Μυτιλήνη. 1859 στάδια από τη Σαμοθράκη, όσο ακριβώς και από το Θέρμον. 1859 στάδια από τις Μυκήνες, όσο ακριβώς και από το Άργος. Η Ελευσίνα απέχει: 100 στάδια από την Αθήνα, όσο ακριβώς και από τα Μέγαρα. 330 στάδια από την Κόρινθο, όσο ακριβώς και από το Σούνιο 1815

στάδια από την Πέργαμο, όσο ακριβώς και από την Μίλητο αλλά και την Κνωσσό. Το ισοσκελές τρίγωνο Δωδώνης - Ολυμπίας - Τροφωνίου μαντείου ανήκει σε κανονικό δεκάγωνο του οποίου τα γεωμετρικά στοιχεία προεκτεινόμενα συναντούν το Ίλιον, Σμύρνη, Κνωσό, Λάρισα τρωάδος, Σπάρτη, Πάρο, Φαιστό κ.λ.π. Το ισοσκελές τρίγωνο Δωδώνης - Ανακτόρων Νέστορος - Ελευσίνας με γωνία κορυφής 40 ανήκει σε κανονικό 9γωνο. Το τρίγωνο Δωδώνης - Αθήνας - Σπάρτης ανήκει σε κανονικό 13γωνο. Το τρίγωνο Δωδώνης - Κνωσού - Μιλήτου ανήκει σε κανονικό 12γωνο με γωνία κορυφής 30. Το τρίγωνο Δωδώνης - Δελφών - Ιωλκού είναι ισοσκελές και ανήκει σε κανονικό δωδεκάγωνο. Το ισοσκελές τρίγωνο Δωδώνης - Ολυμπίας - Τροφωνίου μαντείου ανήκει σε κανονικό δεκάγωνο. Πολλές χαρακτηριστικές ευθείες του τριγωνισμού προεκτεινόμενες συναντούν διάσημα ιερά, ναούς ή κέντρα λατρείας της Ελλάδας. Η ευθεία Χαλκίδας - Θηβών συναντά την Ολυμπία. Η ευθεία Χαλκίδας - Σουνίου συναντά την Κνωσό Κρήτης. Η ευθεία Χαλκίδας - Κρομμυώνος συναντά την Σπάρτη. Τι μπορούμε λοιπόν να συμπεράνουμε; Μα, τίποτα παραπάνω, τίποτα παρακάτω, από το ότι οι θέσεις των πόλεων, των ναών και των λατρευτικών χώρων είναι για κάποιον άγνωστο λόγο υπολογισμένες στην ακρίβεια με μαθηματικά συστήματα! Είναι πραγματικά κάτι το ασύλληπτο και για τους σύγχρονους επιστήμονες. Η σοφία των αρχαίων Ελλήνων δείχνει για ακόμα μια φορά να ξεπερνά και την πιο φιλόδοξη και αχαλίνωτη φαντασία. ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ LEONARDO DA VINCI Στο φωτισμένο μυαλό του εμπνευσμένου αυτού, κάθε επιστήμη ολοκληρώνει τις άλλες. Η γεωμετρία π.χ τον συναρπάζει για πολλά χρόνια. Το οφείλει και στη φιλία με τον μοναχό Λουκά Πατσιόλι αυθεντία σε αυτή την επιστήμη, ο οποίος στο σύγγραμμά του <<Περί θείας αναλογίας>> (οπού επαναλάμβανε τις ιδέες του Πέτρου ντελα Φραντσέσκα) είχε ορίσει τους νόμους και για τη σύνθεση ενός έργου τέχνης.

Με βάση τις αρχές αυτές ο Λεονάρντο κωδικοποίησε τις αναλογίες του ανθρωπίνου σώματος και χρησιμοποίησε τη γεωμετρία ως σκελετό για τα ζωγραφικά του έργα. Μελετά τις συνθέσεις του σύμφωνα με ένα αρμονικό σχήμα που μπορεί να προσδιοριστεί πολύ εύκολα: η διαγώνιος, το τρίγωνο, ο κόλουρος κώνος, το τόξο, το τραπέζιο, η ελικοειδής γραμμή, και το πεντάγωνο περικλείονται και δικαιολογούνται από όλα τα έργα του. Στο μυαλό του επικρατεί η τάξη και η ακρίβεια και τίποτα δεν αφήνετε στην τύχη. Εξάλλου ο Λεονάρντο είχε την τάση να κωδικοποιεί τα πάντα. Παράδειγμα οι ατελείωτες σημειώσεις του για τις πραγματείες σε διάφορα θέματα (Μona Lisa, vitrouvious, Άγιος Ιερώνυμος, μελέτη αναλογιών προσώπου γερού). Ο Άνθρωπος του Βιτρούβιου είναι ένα διάσημο σχέδιο με συνοδευτικές σημειώσεις του Λεονάρντο ντα Βίντσι, που φτιάχτηκε περίπου το 1490 σε ένα από τα ημερολόγιά του. Απεικονίζει μία γυμνή αντρική φιγούρα σε δύο αλληλοκαλυπτόμενες θέσεις με τα μέλη του ανεπτυγμένα και συγχρόνως εγγεγραμμένη σε ένα κύκλο και ένα τετράγωνο. Το σχέδιο και το κείμενο συχνά ονομάζονται Κανόνας των Αναλογιών. Η επαναφορά των ανακαλύψεων των μαθηματικών αναλογιών του ανθρώπινου σώματος τον 15ο αιώνα από τον ντα Βίντσι και άλλους θεωρείται ένα από τα μεγάλα επιτεύγματα που οδήγησαν στην Ιταλική Αναγέννηση. Ας σημειωθεί ότι το σχέδιο του ντα Βίντσι συνδυάζει μια προσεκτική ανάγνωση του αρχαίου κειμένου με τις δικές του παρατηρήσεις σε αληθινά ανθρώπινα σώματα. Κατά το σχεδιασμό του κύκλου και του τετραγώνου πολύ σωστά παρατήρησε ότι το τετράγωνο δεν μπορεί να έχει το ίδιο κέντρο με τον κύκλο, στον ομφαλό, αλλά κάπου χαμηλότερα στην ανατομία. Αυτή η ρύθμιση είναι μια καινοτομία στο σχέδιο του ντα Βίντσι και το ξεχωρίζει από προγενέστερες απεικονίσεις. Το ίδιο το σχέδιο συχνά χρησιμοποιείται ως ένα υπονοούμενο σύμβολο της ουσιώδους συμμετρίας του ανθρώπινου σώματος, και κατά προέκταση του σύμπαντος ως σύνολο. Ο άνθρωπος του Βιτρούβιου

SALVADOR DALI Ο Salvador Dali (1904-1989) ήταν διάσημος Ισπανός σουρεαλιστής ζωγράφος. Οι πίνακές του απεικόνιζαν έντονα γεωμετρικά- τοπολογικά στοιχεία. Επιπλέον σε πολλά έργα του απεικόνισε τον τρισδιάστατο χώρο στο συμβατικό χώρο των δύο διαστάσεων των πινάκων. Στο διάσημο έργο του Νταλί «Σε αναζήτηση της τέταρτης διάστασης» μπορούν να παρατηρηθούν στοιχεία τοπολογίας και τετραδιάστατης γεωμετρίας, έτσι που ο πίνακας φαίνεται να κινείται γύρω από μια υπερσφαίρα. VINCENT VAN GOGH Στο έργο του ολλανδού ζωγράφου αποδίδονται χαοτικές δίνες που ακολουθούν με ακρίβεια τις μαθηματικές περιγραφές των αναταράξεων σε ρευστά υλικά (π.χ. στροβιλισμοί του νερού σε ένα ταραγμένο ποτάμι ή ανεμοστρόβιλοι) Ο ΙΕΡΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ ΣΤΗ ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑ Ένας άλλος τομέας όπου ο αριθμός φ βρίσκει εφαρμογή είναι η τέχνη της φωτογραφίας.ο κανόνας λέει ότι :αβ/αγ=αγ/γβ=1,618. Δηλαδή εάν έχεις ένα τετράγωνο 1x1 το καλύτερο παραλληλόγραμμο που μπορείς να βγάλεις από αυτό με σκοπό να έχεις το συναίσθημα της χρυσής τομής θα είναι το 1x(1x1,618)=1x1,618.Απο κει και πέρα πολλαπλασιάζοντας η διαιρώντας με τον ίδιο αριθμό, θα έχεις το καλύτερο αισθητικό αποτέλεσμα (feeling than ever) στην εικόνα. Αλλιώς παίζεις με τα 2/3 η το 1/3 της εικόνας. Φυσικά κάποια τετράγωνα, από όλες τις συνθέσεις πάντα μπορούν να είναι άδεια και α αυτό που μας δίνει τον απαραίτητο αέρα στη σύνθεση π.χ στην κάτω εικόνα η πολυθρόνα είναι το πρώτο βασικό σχήμα. Το φωτιστικό έπρεπε να μην υπερβαίνει σε ύψος το τετράγωνο επί 1,618 αλλά και σε πλάτος φαίνεται ότι γεμίζει τα 2/3 της εικόνας και αφήνει το 1/3 κενό. Οι ίδιες συνθήκες αφορούν και στη λήψη φωτογραφίας. Από κάτω έχουμε μια φωτογραφία που βλέπεις ότι είναι χωρισμένη σε ένα κάναβο 1/3 και 2/3. Η κουρτινα γεμίζει το 1/3 της εικόνας σε πλάτος. Στο ύψος έχουμε διαιρέσει δια 3 και έχουμε ένα αντικείμενο σε κάθε κουτάκι. Όλα τα κουτάκια φυσικά ακολουθώντας τον κανόνα μπορούν να υποδιαιρεθούν αναλόγως και έτσι βρίσκουμε τη σωστή θέση του σκαμπό για μια άρτια οπτικά εικόνα. ΕΠΙΛΟΓΟΣ Συνοψίζοντας, η χρυσή τομή είναι μια συμπαντική σχέση που υφίσταται ανάμεσα σε δυο παράγοντες μια φυσικής εξίσωσης και εκφράζει την ιδανική αναλογία. Μέσα από τα λόγια μεγάλων μαθηματικών φαίνεται ότι η χρυσή

τομή είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με τις εκφάνσεις της τέχνης που αναφέρθηκαν.ο Ηardy είπε χαρακτηριστικά : ο μαθηματικός όπως και ένας ζωγράφος ή ένας ποιητής είναι ένας σχεδιαστής. Ο ζωγράφος φτιάχνει σχέδια με σχήματα και χρώματα και ο ποιητής με ιδέες. Τα μαθηματικά σχεδιάσματα όπως εκείνα του ποιητή και του ζωγράφου πρέπει να είναι όμορφα. Δεν υπάρχει μόνιμη θέση στον κόσμο για άσχημα μαθηματικά! Επιπρόσθετα ο Paul Erdos είπε: Γιατί είναι όμορφοι οι αριθμοί; Είναι σαν να ρωτάς γιατί είναι όμορφη η ένατη συμφωνία του Μπετόβεν. Αν δεν μπορείς να δεις από μόνος σου δεν μπορεί να σου το πει κανείς. Γνωρίζω ότι τα μαθηματικά είναι όμορφα. Αν δεν είναι αυτά όμορφα τότε τίποτα δεν είναι!τέλος, η χρυσή τομή είναι το απαύγασμα της ιερής γεωμετρίας αντίστοιχη με τη χρυσή οδό του Βούδα. Αν η αγάπη είναι το θεμέλιο του δημιουργημένου κόσμου τότε η χρυσή τομή είναι το μαθηματικό της αντίστοιχο. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Ελληνική Μαθηματική Εταιρία (Ευκλείδης) Βιβλιοθήκη 5 ου ΓΕΛ Πατρών Βιβλιοθήκη ανοιχτού Πανεπιστημίου Εφημερίδες Εγκυκλοπαίδειες(Δομή, Πάπυρος Λαρούς) Διαδίκτυο :( http://www.world-mysteries.com/sci_17htm http://en.wikipedia.org/wiki/golden_ratio http://britton.distead.camonsun.bc.ca/goldslide/jbgoldslide.htm http://www.iranon.gr/penteli/penteli2addendum.htm http://www.lexilogia.gr/forum/showthread.php?t=5289 http://users.sch.gr/theoj/etwin/fibonacci/xrisi.htm mathmosxos.blogspot.com)