ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΙΤΛΟΣ ΣΕΝΑΡΙΟΥ Μέτρα διασποράς - Συντελεστής μεταβολής ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΣΕΝΑΡΙΟΥ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Καραγιάννης Βασίλης ΑΜ: 201118 Οικονόμου Κυριάκος AM: 201102 ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ: Στατιστική Γ Λυκείου ΘΕΜΑ: Μέτρα διασποράς - Συντελεστής μεταβολής ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΤΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ Το σκεπτικό της δραστηριότητας είναι η διδασκαλία των μέτρων διασποράς και του συντελεστή μεταβολής, να γίνει μέσω κατάλληλα επιλεγμένων προβλημάτων, τα οποία θα δημιουργήσουν στους μαθητές την ανάγκη αναζήτησης των νέων αυτών μαθηματικών εννοιών. Τα προβλήματα πλαισιώνονται με στοχευμένες ερωτήσεις που θα συμβάλλουν στην ενσάρκωση των εννοιών αυτών και θα αναδείξουν τη σημασία και το ρόλο τους. Η όλη δραστηριότητα διεξάγεται με ομαδοσυνεργατικό τρόπο. Οι μαθητές εργάζονται σε ομάδες, ώστε να έχουν τη δυνατότητα να προβληματιστούν, να διαπραγματευτούν να συνεργαστούν και με την κατάλληλη βοήθεια και ενθάρρυνση από τον καθηγητή, να αναπτύξουν τη μαθηματική τους σκέψη και να κατασκευάσουν τη νέα γνώση ενεργητικά. ΠΛΑΙΣΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΣΕ ΠΟΙΟΥΣ ΑΠΕΥΘΥΝΕΤΑΙ: Το σενάριο απευθύνεται στους μαθητές της Γ τάξης Γενικού Λυκείου. ΧΡΟΝΟΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ: Η υλοποίηση του σεναρίου απαιτεί τουλάχιστον δύο διδακτικές ώρες. ΧΩΡΟΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ: Οι μαθητές θα εργαστούν στο εργαστήριο πληροφορικής της σχολικής μονάδας. ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ: Οι μαθητές πρέπει να ξέρουν να κατασκευάζουν και να διαβάζουν στατιστικούς πίνακες και διαγράμματα, να γνωρίζουν ποια είναι τα μέτρα θέσης, να τα υπολογίζουν και επίσης να έχουν κατανοήσει τι εκτιμούμε με τα μέτρα θέσης. ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ ΚΑΙ ΕΡΓΑΛΕΙΑ: Οι Η/Υ του εργαστηρίου πληροφορικής. Το πακέτο Excel. - 1 -
Σχετικά φύλλα εργασίας (βλ. στο τέλος σεναρίου). ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΕΝΟΡΧΗΣΤΡΩΣΗ ΤΗΣ ΤΑΞΗΣ: Οι μαθητές θα εργαστούν, καθοδηγούμενοι από τα φύλλα εργασίας, σε ομάδες των 3 ατόμων στο εργαστήριο πληροφορικής. Ο καθηγητής θα εξειδικεύσει τις παρεμβάσεις του με κατάλληλες ερωτήσεις, άλλοτε απευθυνόμενος σε όλη την τάξη και άλλοτε σε κάθε ομάδα ξεχωριστά, αφήνοντας συγχρόνως, την πρωτοβουλία των κινήσεων στους μαθητές και τα περιθώρια για ανταλλαγή απόψεων. ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Οι μαθητές να αντιληφθούν την ανάγκη υπολογισμού μιας άλλης κατηγορίας αριθμητικών μέτρων, πέραν των μέτρων θέσης, που μας παρέχουν πληροφορίες διαφορετικής φύσης για μια κατανομή. Να μάθουν ποια είναι τα σπουδαιότερα μέτρα διασποράς (εύρος, διακύμανση, τυπική απόκλιση), να μπορούν να τα υπολογίζουν, να κατανοήσουν τι εκτιμούμε μέσω αυτών, και να συνειδητοποιήσουν τα πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα του καθενός. Να μάθουν πως κατανέμονται οι τιμές σε μία κανονική κατανομή και κυρίως, πώς αυτό μπορεί να φανεί χρήσιμο σε πραγματικά προβλήματα. Να συνειδητοποιήσουν, μέσω πραγματικής κατάστασης, πως επηρεάζει ένας γραμμικός μετασχηματισμός τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση. Να κατανοήσουν το συντελεστή μεταβολής ως ένα μέτρο σχετικής και όχι απόλυτης διασποράς και να αντιληφθούν τη σημασία του. ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΜΑΘΗΣΙΑΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ: Οι μαθητές να ενεργοποιηθούν, να αυτενεργήσουν, να συνεργαστούν και κυρίως να λειτουργήσουν μέσω της εικασίας και του ελέγχου. Να αναπτύξουν τη μαθηματική τους σκέψη εξελικτικά και να λειτουργήσουν ανακαλυπτικά απέναντι στη γνώση κατασκευάζοντάς τη ως ενεργητικά υποκείμενα. ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ: Οι μαθητές μεταφέροντας δεδομένα σε περιβάλλοντα νέων τεχνολογιών να αντιληφθούν τη χρησιμότητά τους στο κομμάτι της επεξεργασίας και των υπολογισμών και γενικεύοντας, να συνειδητοποιήσουν το ρόλο που παίζουν οι Τεχνολογίες Πληροφορίας και Επικοινωνίας στον τομέα της Στατιστικής. ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ Η υλοποίηση θα πραγματοποιηθεί σε τέσσερις φάσεις. Σε κάθε φάση οι μαθητές καθοδηγούνται από το αντίστοιχο φύλλο εργασίας. Οι δύο πρώτες φάσεις ολοκληρώνονται σε μία διδακτική ώρα και οι άλλες δύο στη δεύτερη διδακτική ώρα. Στην 1 η φάση παρουσιάζονται τα μέτρα διασποράς (εύρος, διακύμανση, τυπική απόκλιση), στη 2 η η κατανομή των τιμών της κανονικής κατανομής, στην 3 η το πώς επηρεάζει ένας γραμμικός μετασχηματισμός τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση και στην 4 η ο ρόλος του συντελεστή μεταβολής. 1 η ΦΑΣΗ Δίνεται στους μαθητές το 1 ο φύλλο εργασίας (βλ. τέλος σεναρίου) με ένα πρόβλημα που περιγράφει μια πραγματική κατάσταση. Στόχος των τριών ερωτημάτων που τίθενται είναι να διαπιστώσουν οι μαθητές ότι η γνώση της μέσης τιμής δεν τους βοηθάει να εκτιμήσουν τη διασπορά μιας κατανομής. Κατά συνέπεια πρέπει να αναζητηθούν άλλα μέτρα, διαφορετικής φύσης απ τα μέτρα θέσης. - 2 -
Στο φύλλο εργασίας παρουσιάζονται τα σπουδαιότερα μέτρα διασποράς, εύρος, διακύμανση, τυπική απόκλιση και οι τύποι με τους οποίους τα υπολογίζουμε. Στη συνέχεια τους δίνονται οι καταγραφείσες θερμοκρασίες, τους ζητείται να μεταφέρουν τα δεδομένα στο Excel και να υπολογίσουν, για κάθε πόλη, τη μέση τιμή και τα τρία μέτρα διασποράς. Για τη χρήση των ενσωματωμένων συναρτήσεων του Excel που απαιτούνται, κρίνονται απαραίτητες οι υποδείξεις του καθηγητή. Τα αποτελέσματα φαίνονται παρακάτω. ΠΟΛΗ Α x ν x*ν (x-xm)^2 ν*(x-xm)^2 x^2 x^2*ν 13 2 26 4 8 169 338 14 3 42 1 3 196 588 15 5 75 0 0 225 1125 16 4 64 1 4 256 1024 18 1 18 9 9 324 324 Σύνολο 15 225 24 3399 xm R s^2 s 15 5 1,6 1,26 1,6 ΠΟΛΗ Β x ν x*ν (x-xm)^2 ν*(x-xm)^2 x^2 x^2*ν 10 2 20 25 50 100 200 11 1 11 16 16 121 121 13 1 13 4 4 169 169 14 2 28 1 2 196 392 15 3 45 0 0 225 675 16 2 32 1 2 256 512 18 2 36 9 18 324 648 20 2 40 25 50 400 800 Σύνολο 15 225 142 3517 xm R s^2 s 15 10 9,47 3,08 9,47 Οι μαθητές καλούνται να συσχετίσουν τα μέτρα διασποράς που υπολόγισαν με τις ερωτήσεις του προβλήματος και να συμπεράνουν ποια πληροφορία παρέχουν για τα συγκεκριμένα δείγματα, αλλά και γενικά για μια κατανομή. Να συζητήσουν μεταξύ τους και υποβοηθούμενοι από εξιδεικευμένες παρεμβάσεις του καθηγητή, να αναγνωρίσουν ποιο από τα μέτρα διασποράς είναι το πιο αξιόπιστο και ποια είναι τα πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα του καθενός. 2 η ΦΑΣΗ Με δεδομένο ότι οι μαθητές γνωρίζουν τη μορφή της κανονικής κατανομής («κωδονοειδής» συμμετρική), στο 2 ο φύλλο εργασίας που τους δίνεται (βλ. τέλος σεναρίου), βλέπουν το διάγραμμα κατανομής των παρατηρήσεων μιας κανονικής κατανομής και καλούνται, βάσει του διαγράμματος, να απαντήσουν σε δύο πραγματικά προβλήματα. Στο ερώτημα 1) του 1 ου προβλήματος πρέπει να εντοπίσουν ότι το διάστημα [1,5, 3] αντιστοιχεί στο x s,x 2s, και με βάση τα ποσοστά να υπολογίσουν το πλήθος των πελατών. - 3 -
Στο ερώτημα 2) για να υπολογίσουν το ποσοστό πρέπει να παρατηρήσουν ότι τα 30 mn αντιστοιχούν στην τιμή x 2s. Το 2 ο πρόβλημα απαιτεί αντίστροφη πορεία σκέψης. Οι μαθητές πρέπει να μεταφράσουν τα 50 και 1680 άτομα σε ποσοστά (2,5% και 84% αντίστοιχα), με βάση αυτά να παρατηρήσουν ότι τα 26 και 22 mn αντιστοιχούν στις x 2s και x s αντίστοιχα και τελικά να βρουν ότι x 18 και s 4. 3 η ΦΑΣΗ Στο πρόβλημα του 3 ου φύλλου εργασίας (βλ. τέλος σεναρίου), το 1 ο ερώτημα αντιστοιχεί στον μετασχηματισμό x b, το 2 ο στον μετασχηματισμό ax και το 3 ο στον γραμμικό μετασχηματισμό ax b. Ζητείται από τους μαθητές να μεταφέρουν τα δεδομένα στο Excel, να υπολογίσουν την αρχική μέση τιμή και τυπική απόκλιση και ακολούθως τη μέση τιμή και τυπική απόκλιση για κάθε ερώτημα. Στο σημείο αυτό ο καθηγητής, παρεμβαίνοντας, τους δείχνει ότι το Excel διαθέτει έτοιμες συναρτήσεις για τον υπολογισμό τους και τους υποδεικνύει πως να τις χρησιμοποιήσουν. Τα αποτελέσματα φαίνονται παρακάτω. x y z t x 8 10 9,6 11,6 13 3 10 12 12 14 13 15 15,6 17,6 y 15 17 18 20 15 3 13 15 15,6 17,6 16 18 19,2 21,2 z 18 20 21,6 23,6 15,6 3,6 14 16 16,8 18,8 14 16 16,8 18,8 t 9 11 10,8 12,8 17,6 3,6 Τα τρία ερωτήματα στη συνέχεια του φύλλου εργασίας, αναμένεται οι μαθητές να τα προσεγγίσουν διαισθητικά και μέσω της εικασίας και του ελέγχου να αντιληφθούν πώς επηρεάζει τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση η εφαρμογή ενός γραμμικού μετασχηματισμού στο σύνολο των παρατηρήσεων. Η άσκηση που ακολουθεί έχει στόχο να τους εμπλέξει στη διαδικασία μετασχηματισμού μιας οποιασδήποτε κατανομής, στην κατανομή με την πιο απλή μορφή. Στην αναζήτηση δηλαδή του κατάλληλου γραμμικού μετασχηματισμού, που θα την μετασχηματίσει στην κατανομή με μέση τιμή 0 και τυπική απόκλιση 1. Ο καθηγητής πρέπει με κατάλληλες παρεμβάσεις να βοηθήσει τους x x μαθητές να κατανοήσουν ότι ο ζητούμενος γραμμικός μετασχηματισμός είναι ο. s 4 η ΦΑΣΗ Το πρόβλημα του 4 ου φύλλου εργασίας (βλ. τέλος σεναρίου) έχει ως στόχο να δείξει στους μαθητές ότι η γνώση της τυπικής απόκλισης δεν αρκεί για να συγκρίνουμε δύο δείγματα ως προς την ομοιογένεια. Συνεπώς χρειαζόμαστε ένα άλλο μέτρο, το οποίο να εκφράζει τη σχετική και όχι την απόλυτη διασπορά. Τους ζητείται να μεταφέρουν τα δεδομένα στο Excel και να υπολογίσουν τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση. Τα αποτελέσματα της καταχώρησης και των υπολογισμών φαίνονται παρακάτω. - 4 -
A B A 950 210 945 42,25 920 230 1045 175 B 980 260 215 33,09 880 265 965 200 935 225 930 170 920 175 925 240 Μέσω των ερωτημάτων που ακολουθούν οι μαθητές διαπιστώνουν ότι το να συγκρίνουν την ομοιογένεια των δύο τμημάτων βάσει των τυπικών αποκλίσεων, έρχεται σε αντίθεση με αυτό που διαισθητικά αντιλαμβάνονται ότι ισχύει. Συνεπώς γεννάται η ανάγκη αναζήτησης ενός μέτρου σχετικής και όχι απόλυτης διασποράς. Παρουσιάζεται ο ορισμός του συντελεστή μεταβολής και οι κυριότερες ιδιότητές του. Η άσκηση που ακολουθεί απαιτεί από τους μαθητές να συνδυάσουν τα συμπεράσματα της 3 ης φάσης (γραμμικός μετασχηματισμός) με τις ιδιότητες του συντελεστή μεταβολής. - 5 -
1 Ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Πρόβλημα: Καταγράψαμε την μέγιστη θερμοκρασία ημέρας δύο πόλεων Α και Β, για το 1 ο o δεκαπενθήμερο του Μαρτίου. Υπολογίσαμε τις μέσες τιμές και βρήκαμε ότι xa xb 15 C. Γνωρίζουμε ότι η κεντρική θέρμανση των πολυκατοικιών λειτουργεί ως εξής: Όταν η θερμοκρασία πέσει κάτω από 14 o C μέχρι και τους 11 o C μπαίνει σε λειτουργία αυτόματα για 3 ώρες την ημέρα, ενώ αν η θερμοκρασία πέσει κάτω από τους 11 o C μπαίνει σε λειτουργία για 5 ώρες την ημέρα. Μπορείτε να εκτιμήσετε αν σε κάποια πόλη, στο διάστημα αυτό, μπήκε σε λειτουργία η κεντρική θέρμανση; Πιστεύετε ότι υπήρξε μέρα που λειτούργησε για 5 ώρες; Το πλήθος των ημερών που η κεντρική θέρμανση λειτούργησε για 3 ώρες ή ενδεχομένως για 5 ώρες ήταν το ίδιο για τις πόλεις Α και Β; Ποια είναι η γνώμη σας; Τι νομίζετε ότι πρέπει να γνωρίζετε, εκτός από τη μέση τιμή, για να απαντήσετε στις προηγούμενες ερωτήσεις; Μέτρα διασποράς Τα σπουδαιότερα μέτρα διασποράς είναι: Εύρος R: Ορίζεται ως η διαφορά της μικρότερης από την μεγαλύτερη παρατήρηση. Όταν έχουμε ομαδοποιημένα δεδομένα το εύρος δίνεται από τη διαφορά του κατώτερου ορίου της πρώτης κλάσης από το ανώτερο όριο της τελευταίας κλάσης. Διακύμανση ή διασπορά s 2 : Για ένα σύνολο παρατηρήσεων t,t,..., ορίζεται από τη σχέση t 1 2 ν ν 2 ν 2 1 t ν 2 2 1 2 s t x ή ισοδύναμα 1 s t. ν 1 ν 1 ν Όταν η μέση τιμή δεν είναι ακέραιος, τότε για τον υπολογισμό της διακύμανσης εξυπηρετεί ο δεύτερος τύπος. Αν οι παρατηρήσεις είναι x,x,..., x με αντίστοιχες σχετικές συχνότητες ν,ν,..., ν, ή αν οι 1 2 k 1 2 k ν 2 1 2 παρατηρήσεις έχουν ομαδοποιηθεί σε κλάσεις, ορίζεται από τη σχέση s x x ν ή ν 1 k 2 x k ν 2 1 2 ισοδύναμα 1 s x ν ν 1 ν Τυπική απόκλιση s: Ορίζεται ως η θετική τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης Τα δεδομένα που καταγράψαμε για τις θερμοκρασίες των δύο πόλεων είναι: Α: 15, 13, 14, 15, 16, 16, 15, 15, 18, 16, 14, 13, 15, 16, 14 Β: 14, 15, 18, 20, 16, 15, 13, 10, 14, 16, 18, 20, 15, 11, 10 Υπολογίστε το εύρος R A και R B. s 2 s - 6 -
Σ ένα φύλλο Excel κατασκευάστε τον πίνακα συχνοτήτων της πόλης Α και σ ένα άλλο τον πίνακα συχνοτήτων της πόλης Β. Κατασκευάζοντας κατάλληλες στήλες υπολογίστε, για κάθε πόλη, τη μέση τιμή και τη διακύμανση χρησιμοποιώντας και τους δύο τύπους. Στη συνέχεια υπολογίστε τις τυπικές αποκλίσεις s A και s B. Εντοπίστε, παρατηρώντας τα δεδομένα, πόσες ημέρες λειτούργησε η κεντρική θέρμανση σε κάθε πόλη και αν υπήρξαν ημέρες που λειτούργησε για 5 ώρες. Συσχετίστε τα παραπάνω ευρήματα με τα μέτρα διασποράς που υπολογίσατε. Αν γνωρίζατε τα μέτρα διασποράς, πιστεύετε ότι θα σας διευκόλυνε να απαντήσετε στις αρχικές ερωτήσεις; Ποια είναι η γνώμη σας; Ποια χαρακτηριστικά της κατανομής πιστεύετε ότι περιγράφουν τα μέτρα διασποράς; Ποιο, κατά τη γνώμη σας, νομίζετε ότι είναι το πιο αξιόπιστο μέτρο διασποράς; Ποια νομίζετε ότι είναι τα πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα του καθενός; Συμπληρώστε τον επόμενο πίνακα σχετικά με τα πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα των μέτρων διασποράς. Πλεονεκτήματα Μειονεκτήματα Εύρος Διακύμανση Τυπική απόκλιση - 7 -
2 Ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Κανονική κατανομή: Πολλά φυσικά μεγέθη περιγράφονται ικανοποιητικά από μια χαρακτηριστική κατανομή που την ονομάζουμε κανονική. Όταν λέμε ότι ένα σύνολο παρατηρήσεων, με μέση τιμή x και τυπική απόκλιση s, ακολουθεί την κανονική, ή περίπου την κανονική, κατανομή τότε η καμπύλη συχνοτήτων του είναι «κωδωνοειδούς» μορφής, το εύρος της ισούται περίπου με έξι τυπικές αποκλίσεις R 6s και οι παρατηρήσεις είναι κατανεμημένες περίπου όπως δείχνει το παρακάτω διάγραμμα. ν x 3s x 2s x s x x s x 2s 68% 95% 99,7% x 3s x Πρόβλημα 1: Οι πελάτες μια εταιρείας κινητής τηλεφωνίας που χρησιμοποιούν ένα συγκεκριμένο πρόγραμμα Α είναι 150 χιλιάδες. Ο χρόνος χρήσης του κινητού κάθε μήνα από τα άτομα αυτά, ακολουθεί περίπου την κανονική κατανομή με μέση τιμή 2 ώρες και τυπική απόκλιση 30 mn. 1) Πόσοι περίπου πελάτες κάνουν χρήση του κινητού τους από 1,5 έως 3 ώρες το μήνα; 2) Γνωρίζοντας ότι αν κάποιος κάνει χρήση του κινητού κάτω από 30 mn το μήνα, τον συμφέρει να αγοράσει ένα άλλο πρόγραμμα Β αντί του Α, υπολογίστε πόσοι περίπου από τους 150 χιλιάδες χρήστες τους συμφέρει να αγοράσουν το πρόγραμμα Β. Πρόβλημα 2: Το Υπουργείο Εσωτερικών θέλει να εκτιμήσει το μέσο χρόνο αναμονής των πολιτών μέχρι να εξυπηρετηθούν, σε μια Δημόσια Υπηρεσία. Εξετάζοντας ένα δείγμα 2000 ατόμων, διαπίστωσε ότι απ αυτά, τα 50 άτομα χρειάστηκαν πάνω από 26 mn, ενώ τα 1680 άτομα εξυπηρετήθηκαν σε χρόνο λιγότερο από 22 mn. Αν θεωρήσουμε το δείγμα αντιπροσωπευτικό και το χρόνο αναμονής να ακολουθεί περίπου την κανονική κατανομή, εκτιμήστε τον μέσο χρόνο εξυπηρέτησης και την τυπική του απόκλιση. - 8 -
3 Ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Πρόβλημα: Κάναμε μια έρευνα αγοράς σχετικά με την τιμή πώλησης ενός συγκεκριμένου προιόντος σε μια πόλη. Επισκεφθήκαμε τα 10 καταστήματα της πόλης και οι τιμές που καταγράψαμε σε, χωρίς ΦΠΑ, είναι οι παρακάτω: 10, 8, 13, 15, 13, 16, 18, 14, 14, 9 Να μεταφέρετε τα δεδομένα στο Excel και με χρήση των ενσωματωμένων συναρτήσεων που διαθέτει, να υπολογίσετε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση. Πως θα διαμορφωθεί η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση της αξίας του προϊόντος στις παρακάτω περιπτώσεις: 1) Αν σε κάθε τιμή προστεθεί η ταχυδρομική αποστολή κόστους 2. 2) Αν κάθε τιμή επιβαρυνθεί με το ΦΠΑ 20%. 3) Αν σε κάθε τιμή συνυπολογίσουμε και την επιβάρυνση του ΦΠΑ και το κόστος της ταχυδρομικής αποστολής. Ποια είναι σχέση της νέας με την αρχική μέση τιμή σε καθεμία από τις παραπάνω περιπτώσεις; Ποια είναι σχέση της νέας με την αρχική τυπική απόκλιση σε καθεμία από τις παραπάνω περιπτώσεις; Έστω ότι η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση, ενός συνόλου παρατηρήσεων x, είναι x και s x αντίστοιχα. Αν σε κάθε παρατήρηση επιβάλλουμε τον γραμμικό μετασχηματισμό y ax b a, b σταθερές ποια θα είναι η νέα μέση τιμή y και η νέα τυπική απόκλιση s y ; Να συμπεριλάβετε και την περίπτωση που οι σταθερές a, b είναι αρνητικές. Άσκηση: Έστω x, s η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση, αντίστοιχα, ενός συνόλου x παρατηρήσεων x,x,..., x. Ποιο γραμμικό μετασχηματισμό πρέπει να επιβάλλουμε σε κάθε 1 2 k παρατήρηση x, ώστε οι νέες παρατηρήσεις y που θα προκύψουν να έχουν μέση τιμή 0 και τυπική απόκλιση 1; - 9 -
4 Ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Πρόβλημα: Μία επιχείρηση απασχολεί 20 εργαζόμενους, 10 στο τμήμα Α οι οποίοι πληρώνονται στο τέλος κάθε μήνα και 10 στο τμήμα Β οι οποίοι πληρώνονται στο τέλος κάθε εβδομάδας. Οι μηνιαίες και εβδομαδιαίες αποδοχές των αργαζομένων στα τμήματα Α και Β αντίστοιχα είναι: A: 950, 920, 1045, 980, 880, 965, 935, 930, 920, 925 Β: 210, 230, 175, 260, 265, 200, 225, 170, 175, 240 Θέλουμε να εξετάσουμε σε ποιο από τα δύο τμήματα οι αποδοχές παρουσιάζουν μικρότερη μεταβλητότητα, δηλαδή μεγαλύτερη ομοιογένεια; Να μεταφέρετε τα δεδομένα στο Excel και να υπολογίσετε, για κάθε τμήμα, την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των αποδοχών. Με βάση τις τυπικές αποκλίσεις που υπολογίσατε τι θα απαντούσατε στο ερώτημα; Πάρτε μια ιδέα για τη μεταβλητότητα κάθε τμήματος καταγράφοντας το πλήθος των αποδοχών που βρίσκονται στο διάστημα x s,x s. Ποιο από τα δύο φαίνεται ότι έχει την μικρότερη μεταβλητότητα; Γιατί πιστεύετε ότι αυτό έρχεται σε αντίθεση με τις τιμές των τυπικών αποκλίσεων; Ποια είναι η γνώμη σας; Συντελεστής μεταβολής ή μεταβλητότητας CV Είναι ένα μέτρο που μας δίνει τη σχετική διασπορά μιας κατανομής και ορίζεται ως ο λόγος: s CV x Πρέπει x 0. Αν x 0 τότε αντί της x χρησιμοποιούμε την x. Ο CV μας βοηθάει στη σύγκριση συνόλων παρατηρήσεων που, είτε εκφράζονται σε διαφορετικές μονάδες μέτρησης, είτε εκφράζονται στην ίδια μονάδα μέτρησης αλλά οι μέσες τιμές τους είναι σημαντικά διαφορετικές. Ο CV, ως λόγος, είναι ανεξάρτητος από τις μονάδες μέτρησης και συνήθως εκφράζεται επί τοις εκατό. Ένα σύνολο παρατηρήσεων χαρακτηρίζεται ομοιογενές αν CV 10% ή αν CV 0, 1. Αν για δύο σύνολα παρατηρήσεων Α και Β ισχύει CV CV τότε λέμε ότι το Α παρουσιάζει μεγαλύτερη A B ομοιογένεια έναντι του Β. Υπολογίστε το συντελεστή μεταβολής των τμημάτων Α κα Β και εξετάστε σε ποιο από τα δύο τμήματα οι αποδοχές παρουσιάζουν μεγαλύτερη ομοιογένεια. Είναι οι αποδοχές κάποιου τμήματος ομοιογενείς; Σε ποια περίπτωση, πιστεύετε, ότι θα αρκούσε η γνώση της μέσης τιμής και της τυπικής απόκλισης, για να αποφανθείτε με σιγουριά ποιο από τα δύο τμήματα παρουσιάζει μεγαλύτερη ομοιογένεια ως προς της αποδοχές; Άσκηση: Μια ομάδα φίλων υπολόγισε ότι η μέση ηλικία τους είναι 22 έτη και ο συντελεστής μεταβολής 0,15. Μετά από πόσα έτη η ομάδα των φίλων θα είναι ομοιoγενής ως προς την ηλικία; - 10 -