ف شػر هغالة فلل ا ل. هش سی تش خیؾ یاص ا... 4 فلل د م. لة سا ا ذاصی... 11 فلل ػ م. هؼشفی واد ا... 24 فلل چ اسم. کاستشد Sage دس حؼاب دیفشا ؼیل... 32 فلل خ دن. هیذاى ا حلق ا... 45 فلل ؿن. هؼشفی چ ذ خول ای ا... 57 فلل فسن. ایذ آل ا خای گش ت ش... 66 فلل سن. اسی ای آفیي كفح آفی ی... 73 فلل ن. هازشیغ ا حل هؼادالذ... 79 ضویو... 87 1
هقذه Sage یک شم افضاس سایگاى اػر ک اص ؿاخ ای خثش ذػ ظشی اػذاد سهض گاسی هحاػثاذ ػذدی ؿاخ ای هشزثظ خسیثا ی هی ک ذ. ذف ایی ػیح ایداد یک شم افضاس سایگاى هسي تاص تا قاتلیر شم افضاس ایی چ ى... magma matlab, maple, mathematica, maxima, اػر. William یک سیاضیذاى اص ا لیي ؼخ ػیح دس ػال 2005 ز لیذ ؿذ. هذیشیر ایي خش ط تش ػ ذ ی Stein دا گا اؿ گسي ت د. ا دسیافس ت دک شم افضاس ای سیاضی صیادی خ د داس ذک دس صتاى ای تش اه یؼی هخسلف ؿس ؿذ ا ذ صها ی ک یاص اػر زاکاس ای هسفا زی سا ا دام د ین تایؼسی تا زک زک ایي صتاى ا آؿ ا تاؿین اها دس شم افضاس ػیح ک تش اػاع صتاى تش اه یؼی python ؿس ؿذ اػر حسی یاصی ت هؼلظ ت دى تش صتاى python یؼر ز ا کافیؼر کوی ت صتاى ا گلیؼی زؼلظ داؿر. ا ذافی ک Sage د ثال هی ک ذ ػثاسز ذ اص : 1( کاستشدی. کاستشاى اكلی ػیح دا د یاى هذسػاى هحققاى سیاضیاذ هی تاؿ ذ. ذف ز لیذ شم افضاسی دس ػاخساس ای سیاضیاذ ها ذ خثش ذػ ظشی اػذاد... ؿاخ ای هشزثظ اػر. 2( کاسایی. ػیح اص شم افضاس ای تؼیاس ت ی ؿذ ها ذ NTL,PARI,GMP اػسفاد هیک ذ دس ػولیاذ اكلی تؼیاس ػشیغ اػر. 3( سایگاى هسي تاص ت دى. کذ ه ثغ ت ع س کاهال ه اػثی دس دػسشع خ ا ا اػر. کاستشاى هیز ا ذ ای ک ػیؼسن دس گام اخشا اقؼا چ کاسی ا دام هید ذ سا دسک ک ذ. 2
هاسکر. ایي شم افضاس اص ظش ظا ش اخشا ؿثا ر ای صیادی تا اکثش شم افضاس ای سیاضیاذ ه خ د داسد. هحیظ کاستشی ه اػة. هیز اى تا ها ذ هسي کذ ػولکشد سا زحلیل کشد. )4 )5 3
تخص ا ل هز ری تز پیص یاس ا 4
2.1. هز ری تز پیص یاس ا یک ساتغ زشزیة < س ی یک هدو ػ یک خول ای ای حلق -, سا یک تعزیف. 1.2.1 زشزیة یک خول ای هی اهین شگا < یک ساتغ زشزیة کلی ( خغی( تاؿذ..i تا ضشب دس K[x] ػاصگاس تاؿذ. یؼ ی اگش X γ X β X α یک خول ای ای دلخ ا دس <.ii -, تاؿ ذ دس ای ل سذ X α X β X γ. X α > X γ. X β خ ؿسشزیة اػر. یؼ ی ش هدو ػ از ی اص یکدول ای ای -, ؼثر ت < داسای >.iii ک چکسشیي ػض تاؿذ. تعزیف.2.2.1 تزتیة الفثایی ( order ) lexicographic گ یین α lex β شگا دس تشداس زفاضل α-β ϵ Z n چح زشیي دسای غیش كفش هثثر تاؿذ. هی یؼین α lex β شگا X α >lex X β 5
تعزیف. 3.2.1 تزتیة الفثایی هذرج order( ) graded lex α lex β گ یین α grlex β شگا α یا اگش α دس ای ل سذ تعزیف.4.2.1 تزتیة الفثایی هعک س هذرج order) ( graded reverse lex یا شگا α دس ای ل سذ دس تشداس زفاضل گ یین ک α grevlex β شگا α α-β ϵ Z n ساػر زشیي دسای غیش كفش ه فی تاؿذ. <, -=, - فشم هیک ین = یک چ ذ خول ای غیش كفش دس تعزیف 5.2.1. یک زشزیة یک خول ای س ی یک خول ای ای ] ]K تاؿذ. دس ای ل سذ دسخ ی کلی دسخ هشکة ضشیة خیش یک خول ای خیش خول ی خیش ی ت ك سذ صیش زؼشیف هی ؿ ذ Total degree = دسخ کلی =deg ( ) :=Max { 0+ Multi degree = دسخ هشکة = mdeg( ) :=M * α 0+ Leading degree = ضشیة خیش = LC( ) := amdeg ϵk Leading monomial = یکدول ای خیش = LM( ) :=X mdeg Leading term = خول خیش = LT ( ) := LC( ) LM( ) 6
ثاتر هیگیشین. یک چ ذ خول ای -, rϵ سا تعزیف 6.2.1. یک زشزیة یکدول ای سا س ی N n زح یل یافس گ یین شگا 0=r }=F 1 ؼثر ت یک هدو ػ اص چ ذ خول ای ای غیش كفش {s, یا r یک زشکیة k- خغی اص یک خول ای ایی تاؿذ ک یچ یک اص آ ا تش یچ یک اص (s LT( (1 LT( تخدزیش ثاؿذ. f ثاتر ϵ تعزیف 7.2.1. یک چ ذ خول ای-, سا س ی هیذاى K زح یل اخزیش گ یین شگا ثاؿذ یا, 1 n- = یک s- زایی قضی 1.2.1. یک زشزیة یکدول ای سا س ی N n ثاتر هیگیشین. فشم ک ین (s ( 1 هشزة اص چ ذ خول ای ای اكفش دس -, تاؿذ دس ای ل سذ ش -, سا هیس اى ت r ؼثر ت {s..,1 { زح یل یافس a i, - ك سذ = a 1 1 + + a s s +r ؿر ک دس آى اػر. r سا تاقی ها ذ زقؼین تش F هی اه ذ ت ػال اگش 0 i a i f دس ای ل سذ mdeg ( ) mdeg( i i) } t G={g 1,,g اص ایذ آل تعزیف. 8.2.1 فشم ک ین < یک زشزیة یکدول ای ثاتر تاؿذ. هدو ػ هس ا ی <LT(I)> = <LT(g 1 ),, LT(g t ) > ؼثر ت < گ یین شگا I سا یک خای گش ت ش I 7
LM(g)=x β LM(f)=x α تعزیف 9.2.1. فشم ک ین f, g چ ذ خول ای ای اكفشدس -, تا تاؿ ذ. فشم ک ین ک چکسشیي هضشب هسشک x β تاؿذ یؼ ی ت اصای ش ش x α x γ } i γ i =: {α i,β دس ای ل سذ چ ذخول ای S(,g):= ( ) - ( ) g g هی اهین. سا S چ ذ خول ای f قضی 2.2.1. فشم I یک ایذ آل دس K[x] تاؿذ دس ای ل سذ یک هدو ػ اص ه لذ gt} G = g1} اص ایذ - آل I یک خای گش ت ش تشای I اػر اگش فقظ اگش تشای ش ص ج j i تا i j تاقی ها ذ S(gi,gj) تش G )هشزة ؿذ ؼثر ت یک زشزیة ) كفش تاؿذ., - قضی.3.2.1 تشای یک ایذ آل هفش م اكفش I اص حلق هی ز ا ین یک خای گش ت ش تیاتین. فشم ک ین <j >=I 1 یک ایذ آل اكفش تاؿذ دس ای ل سذ الگ سیسن صیش دس زؼذادی هس ا ی هشحل یک خای گش ت ش تشای ایذ آل I هحاػث هی ک ذ. س دی (input) F= ( 1 s): خش خی :(output) یک خای گش ت ش gt} G={g1 تشای ϵ G 8
هقذاس د ی ا لی (initialization) : G:= F ɠ:={( i, j) + h:= 0 WHILE ɠ 0 DO Choose ny *f g+ ϵɠ ɠ: ɠ \{ { f,g}} h:= ( ) IF h 0 THEN ɠ: ɠ * * + + G:= G {h} G={g1 یک خای گش ت ش ایذ آل -, Iϵ تاؿذ. G سا خای گش ت ش زح یل تعزیف 11.2.1 فشم ک ین gt} یافس گ یین شگا {gi} \G زح یل یافس تاؿذ. ( ) ش gi ؼثر ت.i.ii 9
تعزیف.11. 2. 1 تشای یک ایذ آل هفش م fs> ϵ, ] I=<f1 ت عشیق صیش هیس ا ین زخیق د ین ک آیا f ϵ I یا خیش i. اتسذا یک خای گش ت ش G سا ز ػظ الگ سیسن ت خثشگش تشای ایذ آل I هحاػث هی ک ین. f ϵ I.ii ایي حقیقر سا ت کاس هی تشین ک 0 I قضی 4. 2. 1.فشم ک ین K یک هیذاى دلخ ا تاؿذ < s < f 1,,f = f ϵ 1ϵ := < f 1,, f s, 1-y > K[x 1,,x n, y], - تعزیف.12..2 1 تشای یک هیذاى K یک ػذد كحیح هثثر n هدو ػ ی + ϵ =}) a1 n) a1 n سا فضای آفیي -n تؼذی هی گ یین., - X = V(S) تعزیف 16...2 1 یک هدو ػ X سا اسی آفیي اهین شگا : G یک خای گش ت ش اص I ؼثر ت زشزیة الفثایی تا قضی.5. 2. 1 فشم هی ک ین -, تاؿذ دس ای ل سذ تشای ش 0 هدو ػ ی یک خای گش ت ش تشای ایذ آل حزفی اػر. ام, - 10
فصل د م صة را ا ذاسی 11
س ؽ ای اخشای Sage لة آى ت ك سذ شم افضاس اخشای هؼسقین آى دس ػایر www.sagemath.org اػسفاد دس هحیظ خایس ى ک دس ای دا ت تشسػی ه سد ا ل هی خشداصین. الثس تشخی اهکا اذ سا خ ا ین داؿر..i.ii.iii.1. 2 ر ش صة Sage در Windowse اتسذا شم افضاس Sage سا اص آدسع صیش دا ل د هی ک ین. http://www.sagemath.org/download-source.html تشای لة ػیح س ی ی ذ ص احسیاج ت لة شم افضاس داسین. ت ؿوا ایي اهکاى سا هی د ذ زا یک ػیؼسن ػاهل سا دس یک ػیؼسن ػاهل دیگش اخشا ک یذ. تشای لة ایي شم افضاس هشاحل صیش سا ا دام هی د ین. اتسذا شم افضاس سا اص ػایر دا ل د ک یذ. ایي شم افضاس دا ل د ؿذ سا ها ذ زواهی شم افضاس ای دیگش ک یذ زا آیک ی تا ام تش ی دػکساج ؿوا ظا ش ؿ د. ػدغ ها ذ زلا یش صیش ػولیاذ لة سا ا دام د یذ. New تش ی آیک ى کلیک کشد زا كفح ای هغاتق ؿکل صیش تاص ؿ د. س ی آیک ى کلیک ک یذ. 12
ؿوا هیس ا یذ ایي شم افضاس سا تغ س دلخ ا ام گزاسی ک یذ. اص آ دایی ک ػیسن ػاهل Ubuntu سا لة هیک یذ ویي ام سا تش ی شم افضاس ام گزاسی هیک ین هغاتق ؿکل ػول هی ک ین. 16 13
اگش ؿوا 4 گیگاتایر تاؿذ ایي شم افضاس سا ت خ د اخسلاف هیذ ذ. اگش ؿوا تاؿذ آ گا 512 تشای اخسلاف دادى ت ایي شم افضاس خ ب اػر. اگش ؿوا یچ ایذ ای ساخة دػسگا ه سد اػسفاد ی خ د ذاسیذ هغاتق زل یش صیش ػولیاذ لة سا ا دام د یذ. اگش تشای تاس ا ل اص شم افضاس صیش ایداد ک یذ. اػسفاد هی ک یذ تایذ یک اسد دیؼک خذیذ هغاتق ؿکل 14
هغاتق ؿکل صیش دکو ی سا تض یذ. 15
گضی ی سا ا سخاب کشد گشی ی سا هیض یذ. ػولیاذ لة سا هغاتق ؿکل صیش ا دام د یذ... 16
17
خغ اص ای ک ایي هشاحل سا ت ازوام سػیذ دس ک اس گضی ی ne گضی ی se ing سا ا سخاب کشد هشاحل صیش سا ا دام د یذ. 18
i اص قؼوسی ک شم افضاس o سا س ی دػسگا خ د لة کشدیذ زل یش یک ف لذسک چکی سا هی تی یذ س ی آى کلیک کشد گضی ی open سا ا سخاب ک یذ. 19
گضی ی Ok سا تض یذ. i حال شم افضاس o تش ی دػسگا ؿوا لة ؿذ آیک ى شم افضاس Sage ؿوا ک قثل اص لة i ت س گ ػفیذ ت د ت ؿکل هکؼثی اس دی دس هیایذ. ػدغ تش ی آى کلیک ک یذ خغ اص چ ذ دقیق o شم افضاس Sage اص عشیق i o اخشا خ ا ذ ؿذ. خغ اص ای ک زواهی هشاحل لة ت دسػسی ا دام ؿذ خغ اص اخشای شم افضاس كفح ای هغاتق ؿکل قاتل ها ذ اػر ک تشای ؿسي تش اه تا کلیک کشدى س ی گضی New worksheet كفح ی خذیذی تاص خ ا ذ ؿذ ک ؿوا خغ اص ام گزاسی آى قادس ت ؿسي تش اه دس ایي شم افضاس خ ا یذ ت د. 20
.2. 2 طزیق صة Sage در سیستن عاهل Mac اتسذا شم افضاس Sage سا اص ػایر www.sagemath.org دا ل د ک یذ. فایلی هغاتق ؿکل صیش خ ا ین داؿر. تش ی ایي فایل کلیک کشد زا خ ؿ ای هغاتق ؿکل صیش تذػر آیذ. 21
ایي خ ؿ سا داخل Application هی ا ذاصین. دس قؼور دػکساج ام سا زایح هی ک ین. 22
تش ی آیک ى کلیک کشد زا شم افضاس اخشا ؿ د. دس ك سذ اخشا ذى شم افضاس گضی ی Sage-Sage سا ا سخاب کشد دس زشهی ال تاص ؿذ دػس س () سا زایح هی ک ین. شم افضاس اخشا خ ا ذ ؿذ. آیک ى آتی س گ ظا ش ؿذ دس ایي قؼور شم افضاس هی تاؿذ..3. 1 طزیق صة Sage در سیستن عاهل لی کس (Linux) اتسذا شم افضاس سا اص ػایر صیش دا ل د هی ک ین. http://www.sagemath.org/download-source.html آخشیي ؼخ سا تشای لی کغ دا ل د ک یذ ایي فایل حذ دآ 400 هگاتایر حدن داسد. فایل دا ل د ؿذ سا extract ک یذ. فایل Sage.sh سا اخشا ک یذ. تایؼسی تؼس gfortran یض لة ؿ د. اص دػس س sudo apt-get install build-essential gfortran اػسفاد ک یذ. 23
فصل س م هعزفی واد ا 24
> اػسفاد هی د. < دس شم افضاس Sage اص واد ای ه غقی == ت ػ اى هثال Sage: a Sage: 2==2 Sage: 2=3 Sage: 2<3 واد ای سیاضی ت ك سذ صیش زؼشیف هی ذ. = a**b or a^b a mod b = a%b a b = a/ b اص // تشای اى دادى خاسج قؼور یک زقؼین اػسفاد هی ؿ د. هثال. 25
Sage: 4*(10//4) +10%4= =10 تشای ت دػر آ سدى ع داد ی اسد ؿذ اص دػس س ) type( اػسفاد هی ک ین. Sage: a = 5 # a is an integer Sage: type(a) ype ge ings in ege In ege Sage: a = 5/3 # now a is a rational number Sage: type(a) ype ge ings ion ion Sage: a = hello Sage: type(a) > type str < خ ر اػسفاد اص help شم افضاس اص دػس س dnmmmoc? اػسفاد هیک ین. ت ػ اى هثال تشای یافسي اعالػاذ دسه سد خذ ل Sudoku ت ایي زشزیة ػول هی ک ین. Sudoku? Definition: sudoku(m) Docstring: 26
Solves Sudoku puzzles described by matrices. INPUT: m - a square Sage matrix over Z, where zeros are blank entries OUTPUT: A Sage matrix over Z containing the first solution found, otherwise None. EXAMPLE: An example that was used in previous doctests. Sage: A = matrix(zz,9,[5,0,0, 0,8,0, 0,4,9, 0,0,0, 5,0,0, 0,3,0, 0,6,7, 3,0,0, 0,0,1, 1,5,0, 0,0,0, 0,0,0, 0,0,0, 2,0,8, 0,0,0, 0,0,0, 0,0,0, 0,1,8, 7,0,0, 0,0,4, 1,5,0, 0,3,0, 0,0,2, 0,0,0, 4,9,0, 0,5,0, 0,0,3]) Sage: A [5 0 0 0 8 0 0 4 9] [0 0 0 5 0 0 0 3 0] [0 6 7 3 0 0 0 0 1] [1 5 0 0 0 0 0 0 0] [0 0 0 2 0 8 0 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 1 8] [7 0 0 0 0 4 1 5 0] 27
[0 3 0 0 0 2 0 0 0] [4 9 0 0 5 0 0 0 3] Sage: sudoku(a) [5 1 3 6 8 7 2 4 9] [8 4 9 5 2 1 6 3 7] [2 6 7 3 4 9 5 8 1] [1 5 8 4 6 3 9 7 2] [9 7 4 2 1 8 3 6 5] [3 2 6 7 9 5 4 1 8] [7 8 2 9 3 4 1 5 6] [6 3 5 1 7 2 8 9 4] ]3 2 6 7 5 8 1 9 4[ لیست ا گا ی واد ا ت ك سذ لیؼر هی تاؿ ذ دس ای ل سذ تشای هؼشفی لیؼر ا ت ك سذ صیش ػول هی ک ین. Sage: a = [1, 7, 2]; b = [4, 5] Sage: c = a + b; c [1, 7, 2, 4, 5] Sage: c.sort( ); c 28
[1, 2, 4, 5, 7] c.<tab> Sage: تا فاس دادى کلیذ Tab هی ز اى ػولیاذ ای گ اگ ی سا هحاػث کشد. c.append c.extend c.insert c.remove c.sort c.count c.index c.pop c.reverse هثال ػ لشی سا ت لیؼر اضاف هی ک ین Sage: c.append ("foo"); c [1, 2, 4, 5, 7, 'foo'] Sage: c; c[0] ['foo', 7, 5, 4, 2, 1]; 'foo' Sage: c[0] = 11 ػ اكش یک لیؼر سا هی ز اى اهگزاسی کشد. Sage: c [11, 7, 5, 4, 2, 1] Sage: c[0:2] هی ز اى ػ اكش دلخ ا یک لیؼر سا هؼشفی و د. [11, 7] Sage: [ n^2 for n in range(2,10) ] هی ز اى یک لیؼر دلخ ا سا ػاخر. [4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81] تعزیف تاتع در Sage 29
ش چ ذ ک دس شم افضاس Sage زواهی ز اتغ گ دا ذ ؿذ ا ذ اها Sage ت ها ایي اهکاى سا هی د ذ ک ز اتؼی سا دس ك سذ یاص زؼشیف ک ین. تشای ایي ه ظ س دػس س def سا ؿس دس آخش دػس س اص ػالهر " : " اػسفاد هی ک ین. هثال. زاتؼی ت یؼیذ ک ػذدی سا دسیافر کشد ص ج یا فشد ت دى آى سا هخق ک ذ. Sage: def is_even(n):... return n%2 == 0... Sage: is_even(2) T e Sage: is_even(3) F se هثال. Sage: def is_divisible_by(number, divisor=2):... return number%divisor == 0 Sage: is_divisible_by(6,2) T e Sage: is_divisible_by(6) T e 30
Sage: is_divisible_by(6, 5) F se فصل چ ارم کارتزد Sage در حساب دیفزا سیل رسن و دار 31
..1 4 اػوال هخسلف سیاضی = sqrt(x) = ( ) =abs(x) (x)=log (x,b) ( ) = sum (f(i) for i in (k..n)) im ( ) ( ( ) ) (f(x))=diff (f(x), x) (f(x,y))=diff (f(x,y),x) diff=differentiate ( ) ( ( ) ) f(x)dx=integral(f(x), x, a, b) Taylorpolynomial, deg n around (a) = taylor (f(x), x, a, n) 32
( ) ( ( ) ( ) تاص کشدى لگاسیسن ػاد ػاصی ػثاساذ لگاسیسن ػاد ػاصی ػثاساذ کؼش داس ػاد ػاصی سادیکال ػاد ػاصی ػثاساذ ز اى داس ػاد ػاصی ػثاساذ فاکس سیل ػاد ػاصی زوام ػثاساذ تاال. 2. 4 تزخی واد ا E = e 00 = golden_ratio Integer Z = ZZ Rational Q = QQ 33
Real R = RR Complex C= CC Finite field = GF. 3. 4 رسن و دار تشای سػن و داس دس ػاد زشیي حالر اص دػس س plot اػسفاد هی ک ین. ت ػ اى هثال f(x)=sin(8x) 2 e x2 Sage: plot (sin(8*x)^2 * e^(x^2),x, -pi, pi) 34
.1. 3.4 اختیارات رسن و دار Fill=true داخل ه ح ی س گ هی ؿ د. fillcolor= ˈ green ˈ ا سخاب س گ داخل ه ح ی rgbcolor = ˈ color ˈ س گ خظ (0=opaque, 1=transparent) alpha هیضاى هشئی ت دى خش کشدى احی (0=opaque, 1=transparent) هیضاى هشئی ت دى خش کشدى احی fillalpha adaptive_recursion حذاکثش ػوق صها یک زاتغ ت ؿذذ زغییش هی ک ذ adaptive_toleranc زغییشازی ک تاػث ز قف تاصگر هی ؿ د detect_poles زخیق خا ایی ک زاتغ تی ایر هی ؿ د exclude لیؼر قاعی ک اص و داس خا افساد ا ذ plot_points زؼذاد قاعی ک دس و داس ت کاس گشفس ؿذ ا ذ 35
هیس اى چ ذ و داس سا دس یک ؿکل کیذ. ت ػ اى هثال f(x)= sin(x) g(x)=cos(x) P1=plot(sin(x),x,-pi,pi,fill=true,fillcolor='red') P2=plot(cos(x),x,-pi,pi,fill=true, fillcolor= 'green') plt=(p1+p2) show(plt) 36
..4 4 رسن ت اتع پاراهتزی تشای سػن ای گ ز اتغ اص دػس س parametric_plot اػسفاد هی ک ین. t سا هؼشفی ک ین. دایش (cos(t),sin(t),t) سا ت ك سذ خاساهسشی سػن هیک ین. اتسذا تایذ هسغیش t= var('t') p=parametric_plot3((cos(t),sin(t)),(t,0,2*pi),fill=true) show(p) 37
. 5. 4 رسن و دار س تعذی تشای سػن و داس ای ػ تؼذی خغ اص هؼشفی هسغیش ا اص دػس س plot3d اػسفاد هی ک ین. زاتغ y 2 x-1+ 3 x- سا سػن هی ک ین. x, y = var('x,y') p=plot3d(y^2+1-x^3-x,(x,-pi,pi),(y,pi,pi)) p.show() or show(p) 38
هیس ا ین ت ك سذ دلخ ا هح س ا سا ن سػن ک ین. کافیؼر خغ اص زؼییي تاص اص ػثاسذ axes=true اػسفاد کشد. ت ػال هیس اى خغ ط اعشاف ه ح ی سا یض حزف کشد. تشای ایي ه ظ س تایذ ػثاسذ frame=false سا ؿر...6 4 ت اتع س تعذی پاراهتزی دػس سی ک تشای ز اتغ ػ تؼذی خاساهسشی اػسفاد هی د ت ك سذ parametric_plot3d هی تاؿذ. هثال. 39
x,y = var('u,v') f1=(4+(3+cos(v))*sin(u),4+(3+cos(v))*cos(u),4+sin(v)) f2=(8+(3+cos(v)*cos(u),3+sin(v)),4+(3+cos(v))*sin(u)) p1=parametric_plot3d(f1,(u,0,2*pi),(v,0,2*pi),texture='red') p2=parametric_plot3d(f2, (u,0,2*pi),(v,0,2*pi), texture='blue') combination= p1+p2 combination.show(). 7. 4 هیذاى تزداری هیذاى ای تشداسی سا هیس اى تا اػسفاد اص دػس س plot_vector_field سػن کشد. هثال. 40
( ) (( ) ( ) ( ) ). 8. 4 تزخی اس ت اتع رسن و دار ) Implicit_plot( : یک زاتغ د هسغیش سا هیگیشد ه ح ی ) 0 ( سا سػن هی ک ذ. هثال. ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) 41
) ( : قاط سا هی گیشد تشای یک ػشی تشداس ت ك سذ خیکؼلی هازشیغ سا وایؾ هی د ذ. : ( ) : (, 0-,0 -) 0) 42
: سػن و داس یک زاتغ یک هسغیش تا س دی اػذاد هخسلف f(z) ( ) : ( ( ) ( ) ( )) 43
سػن دایش تا ؿؼاع دلخ ا. سػن تیضی تا ؿؼاع صا ی دلخ ا. یک کواى اص یک دایش یا تیضی یک خظ تا قاط هخق ؿذ سػن یک چ ذ ضلؼی ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 44
پ جن فصل هیذاى ا حلق ا. 1. 5 هعزفی هیذاى ا 45
دس شم افضاس Sage ا اع هیذاى ا ت ساحسی قاتل زؼشیف هی تاؿ ذ. دس ایي قؼور ت هؼشفی تشخی هیذاى ای ه سد یاص تشای زؼشیف حلق ا هی خشداصین.. 1. 1. 5 هیذاى اعذاد گ یا ایي هیذاى سا تا واد QQ یا دػس س RationalField() اى هی د ین. هثال. Sage: RationalField() Sage:QQ Sage:1/2 in QQ True Sage:sqrt(2) in QQ False. 2. 1. 5 هیذاى اعذاد هختلط تشای اى دادى هیذاى اػذاد هخسلظ اص واد CC اػسفاد هی ک ین. هثال. 46
Sage: CC Sage:CC.0 # 0 th generator of CC # 0000000000 I Sage: a, b = 4/3, 2/3 Sage: z = a + b*i Sage: z 0 I Sage: z.imag() # imaginary part 0 Sage: z.real() == a # automatic coercion before comparison T e Sage: a + b. 3. 1. 5 هیذاى ای هت ا ی هیذاى ای هس ا ی سا ت ك سذ GF(...) اى هی د ذ. Sage: GF(3) Fini e Fie d of si e Sage: GF(27, 'a') # need to name the generator if not a prime field 47
Fini e Fie d in of si e..4.1 5 هیذاى ت ط ر جثزی تست تشای اى دادى هیذاى ت ع سخثشی تؼس ت ك سذ صیش ػول هی ک ین. Sage: QQbar Sage:sqrt(3) in QQbar T e 48
. 2. 5 حلق ا..1.2 5 حلق چ ذ جول ای ا خ ر هؼشفی حلق ی چ ذ خول ای ا ت ع س کلی اص دػس س R=PolynomialRing(Field, number of variables, variables, order) اػسفاد هی ؿ د دس هشحل تؼذ ه لذ ا سا زؼشیف هیک ین. اها دػس س ای دیگش تشای هؼشفی حلق ی چ ذ خول ای ت ؿشح صیش هی تاؿذ. R=PolynomialRing(QQ,3, 'x,y,z', 'lex') R=PolynomialRing(QQ, 't') R.<t>= PolynomialRing(QQ) R.<t>= QQ [] R=PolynomialRing(RationalField(),'x') R=PolynomialRing(GF(97), 'x').gen() R=GF(5)[ 'x,y,z']; x,y,z=r.gens() R.<x>=PolynomialRing(QQ) Realpoly.<z>=PolynomialRing(RR) Ratpoly.<t>=PolynomialRing(QQ). 1. 1. 2. 5 هعزفی ه لذ ا 49
هؼشفی ه لذ ای یک حلق ت ك سذ صیش هی تاؿذ. R=PolynomialRing(QQ,3, 'x,y,z', 'lex') x,y,z = R.gens() R=PolynomialRing(RationalField(),'x').gen() اگش تیؾ اص یک ه لذ داؿس تاؿین اص ػثاسذ gens() اػسفاد هی ک ین.. 2. 2. 5 حلق خارج قسوتی تشای زؼشیف یک حلق خاسج قؼوسی اص )( R.quo اػسفاد هی ک ین. هثال. Sage: R.<x> = PolynomialRing(ZZ) S.<xbar> = R.quo((4 + 3*x + x^2, 1 + x^2)); S Quotient of Univariate Polynomial Ring in x over Integer Ring by the ideal (x^2 + 3*x + 4, x^2 + 1) Sage: R.<x,y> = QQ[]; S.<a,b> = R.quo(1 - x*y); type(a) <class'sage.rings.quotient_ring_element.quotientring_generic_with_category.ele ment_class'> Sage: a*b 50
1 Sage: S(1).is_unit() True. 3. 2. 5 حلق ی Z n Integers(n) اػسفاد هی ک ین. اگش تخ ا ین حلق Z n اى د ین اص دػس س Sage: Integers(7) Ring of integers modulo 7 هی ز اى هحاػثاذ هؼو ل سا س ی ایي حلق ا دام داد. Sage: R=Integers(13) Sage: a=r(6) Sage: b=r(5) Sage: a+b 11 Sage: a*b 4 Sage: a.additive_order() 13 51
Sage:a.multiplicative_order() 12 Sage: a.is_unit() True هؼک ع خوؼی ػ لش a دس ایي حلق ت ك سذ a هؼک ع ضشتی ت ك سذ (1-)^a یا a/1 هی تاؿذ. Sage: (-a) 7 Sage: (a^(-1)) 11 وچ یي هی ز اى تشخی یظگی ای حلق سا یض ت ػیل ی دػس س ای صیش ها ذ کشد. Sage: R=Integers(24) Sage: R Ring of Integers modulo 24 Sage: R.order() 24 Sage: R.is_Ring() 52
True Sage: R.is_integral_domain() False R.is_field() False چ ى ایي حلق هس ا ی اػر خغ هیس اى زواهی ػ اكش آى سا خیذا کشد. Sage:R=Integers(13) Sage: R.list() [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12] هی دا ین هیذاى اػر. اگش حلق ی ها هیذاى ثاؿذ هیذا ین یک ای Z n زحر ضشب یک گش زکیل هی Z 13 د ذ. Sage هی ز ا ذ لیؼر ه لذ ای گش یک ا سا تا دػس س unit_gens() هحاػث ک ذ. Sage: R=Integers(12) Sage; R.uni R.unit_gens R.unit_group_exponent R.unit_group_order R.unit_group_order Sage: R.unit_gens() [7,5] Sage: R.unit_group_order() هی ز ا ین هشزث ی ایي صیشگش سا هحاػث ک ین. 53
4 هساػفا Sage دػس سی ک هؼسقیوا یک ای Z n ت ػ اى گش سا هخق ک ذ ذاسد. هیس اى اص سا ای گ اگ ى ایي ػ اكش سا یافر ت ػ اى هثال Sage: [x for x in R if x.is_unit() ] [1,5,7,11].1. 3. 2. 5 حل هعادالت در Z n هیخ ا ین هؼادل 6=9x سا دس Z 21 حل ک ین.تشای ایي ه ظ س عثق دػس ساذ صیش ػول هی ک ین. Sage: R=Integers(21) Sage: a=r(9) Sage: [x for x in R if R(9)*x == R(6) ] [ 3,10,17 ] سا د م Sage: solve_mod(9*x== 6, 21) [ 3, 10, 17 ] 54
وچ یي هؼادالذ چ ذ هسغیش سا یض هی ز اى ت ویي ح حل کشد..4. 2. 5 حلق ی حلق تا اػسفاد اص دػس س (n) Z mod زؼشیف هی ؿ د. ) ( سا هحاػث هی ک ین. هثال. حلق حلق خاسج قؼوسی S س ی حلق سا هؼشفی کشد Sage: R.<x,y>=Zmod(17)[ ] Sage: R Multivariate Polynomial Ring in x, y over Ring of integers modulo 17 Sage: S.<a,b>=R.quotient((x^2+y^2)) Sage: S Quotient of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Ring of integers modulo 17 by the ideal (x^2 + y^2) Sage: (a+b)^17 a*b^16 + b^17 55
فصل ضطن هعزفی چ ذ جول ای ا 56
.1. 6 تشای هؼشفی اػوالی ک هی ز اى س ی چ ذ خول ای ا ا دام داد اتسذا حلق ی ه سد ظش سا زؼشیف کشد ػدغ اص دػس س ای صیش اػسفاد هی ک ین. Sage: x,y,z = PolynomialRing( RationalField( ),3,[ ], 'lex').gens() Sage: Sage: f.factor() هی ز اى چ ذ خول ای سا زدضی کشد. ( ) ( y ) ( y y y ) Sage: f = Sage: g = ( ) Sage: f.gcd(g ( هی ز اى ب. م. م د چ ذ خول ای سا تذػر آ سد. Sage: k= Sage: k.roots() سی ی خ ذ خول ای تا ایي دػس س هحاػث هی ؿ د. [(1,1)] 57
Sage: f= (x+3*y+x^2*y)^3 Sage: f.expand() چ ذ خول ای سا هی ز اى گؼسشؽ داد. X y y y y y y y y خول ی خیش تا اػسفاد اص ػثاسذ س ت س ت دػر هی آیذ. ) f.lt( f.lc( ) هی ز اى ضشیة خیش یک چ ذ خول ای سا یض ت دػر آ سد. f.lm( ) یک خول ای خیش یض تا ؿسي ػثاسذ س ت س تذػر خ ا ذ آهذ. (0 )f سا تذػر آ سیذ. هثال. چ ذ خول ای f = x 0 + x 1 2x 1 x 2 سا س ی هیذاى Q زؼشیف ک یذ Sage: x= PolynomialRing(RationalField(),3, 'x').gens() Sage: f= x[0]+x[1]-2*x[1]*x[2] Sage: f -2*x1*x2+x0+x1 Sage:f(1,2,0) 3 58
.2. 6 ایجاد آرای ای اس هتغیز ا ت ص رت a i x i تشای ؿسي چ ذ خول ای ا ت ك سذ a 0 x 0 + a 1 x 1 + + a n x n دػس س صیش سا ت یؼین. تا اػسفاد اص شم افضاس maxima کافیؼر ت ػ اى هثال تشای ؿسي a 0 +a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 +a 4 x 4 ک ین. Sage: P= maxima('sum(a[i]*x^i,i,0,n) ') دس sage کافیؼر ت خای n ػذد 4 سا خایگزاسی Sage: p=maxima('sum(a[i]*x^i,i,0,4) ') Sage: p a[4]*x^4+a[3]*x^3+a[2]*x^2+a[1]*x+a[0] هثال. حلق ای زؼشیف ک یذ ک 4 ػ لش ا ل آى زشزیة degree reverse lexicographical د هسغیش آخش آى زشزیة negative lexicographical داؿس تاؿذ. Sage: P.<a,b,c,d,e,f> = PolynomialRing(QQ,6, order= degrevlex(4),neglex(2) ) Sage: a> c^4 T e Sage: e > f^2 59
F se هثال. ب.م.م صیش سا تذػر آ سیذ. GCD(x 4 +x 2 +1, x 4 -x 2-2x-1,x 3-1) Sage: R.<x> = PolynomialRing(QQ,'x') Sage: f= x 4 +x 2 +1 Sage: g= x 4 -x 2-2x-1 Sage: h= x 3-1 Sage: gcd([f,g,h)] 1. 3 6. الگ ریتن تقسین )اعذاد چ ذ جول ای ا( دس حالر کلی تشای ؿسي الگ سیسن زقؼین اص الگ سیسن صیش سا هی یؼین. def euclide(a,b): r=a%b print (a,b,r) while r!= 0: a=b; b=r r=a%b print (a,b,r( 60
دس سید دػس سی ت ام (a,b) euclide ک ین. ػاخسین هیس ا ین اص ایي خغ اص ایي دػس س تشای الگ سیسن زقؼین اػسفاد Sage: euclide(12,5) (12, 5, 2) (5, 2, 1) (2, 1, 0) 4.6. الگ ریتن تقسین چ ذ جول ای ا س ؽ ا ل. تشای زقؼین چ ذ خول ای ا الگ سیسن صیش سا هی یؼین آى سا ت ػ اى فایلی رخیش هی ک ین زا دس ك سذ یاص تس اى ت ساحسی اص آى اػسفاد کشد. def division(dividend, divisor) : print 'quotient: ', (dividend._maxima_().divide(divisor).sage())[0] print 'remainder: ', (dividend._maxima_().divide(divisor).sage())[1] هثال. 61
دس اقغ ها ایي الگ سیسن سا تش اػاع دػس س تش اه maxima ؿسین اص ایي خغ هیس ا ین اص دػس س divisor) division(dividend, اػسفاد ک ین. division(x^4 + 2*x^3-x^2+5*x - 2,x^2+1) quotient: x^2 + 2*x - 2 remainder: 3*x س ؽ د م. زاتغ سا هی ز ا ین ت ؿکل صیش یض ت یؼین. def division(dividend, divisor) : q,r = dividend.maxima_methods().divide(divisor) print 'quotient: ', q print 'remainder: ', r هثال. Sage: f(x)=x^3+5*x^2-3*x+1 Sage: g(x)=x+1 Sage: f.maxima_methods().divide(g) [x^2 + 4*x - 7, 8] س ؽ ػ م. هوکي اػر تخ ا ین د چ ذ خول ای سا تا زشزیة خاكی ها ذ lex,grlex,... تش ن زقؼین ک ین دس ایي ك سذ کافی اػر شم افضاس maxima سا ت ؿکل صیش فشاخ ا ی ک ین. 62
هثال. د چ ذ خول ای -y+1 F=(xy 2,x-y 3 ) f= x 7 y 2 +x 3 y 2 زشزیة grlex سا دس ظش هیگیشین. var('x,y') maxima('load(grobner)') maxima('poly_monomial_order:grlex') F=[x*y^2-x, x-y^3] ans=maxima('poly_pseudo_divide(x^2*y^2+x^3*y^2-y+1,[x*y^2-x,x-y^3],[x,y])') print ans (quo,rem,n,m)=ans p=quo[0]*f[0]+quo[1]*f[1]+rem print p y 4 + y 3 + (x y + y + x 2 + x + 1) (x y 3 ) + (y 2 + x y + y + x 2 + x + 1) (x y 2 - x) - y + 1. 5. 6 چ ذ جول ای ای تح یل پذتز تح یل اپذیز تشای هخق کشدى زح یل خزیشی یک چ ذ خول ای اص فشآی ذ صیش ت ش هی تشین. Sage:R.<x> = QQ [ ] F=(x^3-x^y+y^2-x)*(x^5-3/2*x-y) Sage: f.factor( ) Sage: len(f.factor( )) 2 63
تذػر هی آیذ 1 تاؿذ آ گا چ ذ خول ای زح یل خزیش اػر دس غیش (( len(f.factor( اگش خ اتی ک اص دػس س ای ل سذ زح تل اخزیش اػر. فصل فتن ایذ آل ا 64
پای گز ت ز 1. 7. ایذ آل ا کشد. تشای هؼشفی ایذ آل اتسذا حلق ی ه سد ظش سا زؼشیف هیک ین. ػدغ هیس اى اص د سا ایذ آل یک حلق سا زؼشیف R=PolynomialRing(QQ,3, 'x,y,z', 'lex') I= ideal(generators)/ I= Ideal(generators) I= f*r #f is a generator of Ideal I# هثال. Sage: P.<x,y,z> = PolynomialRing(ZZ,order='lex') 65
Sage: I = ideal(-y^2-3*y + z^2 + 3, -2*y*z + z^2 + 2*z + 1, \ x*z + y*z + z^2, -3*x*y + 2*y*z + 6*z^2) Sage: I Ideal (-y^2-3*y + z^2 + 3, -2*y*z + z^2 + 2*z + 1, x*z + y*z + z^2, -3*x*y + 2*y*z + 6*z^2) of Multivariate Polynomial Ring in x, y, z over Integer Ring 2.7. عض یت در ایذ آل ػض یر یک چ ذ خول ای دس یک ایذ آل تا اػسفاد اص دػس س in هی تاؿذ. هثال. R.<x>=PolynomialRing(QQ, 'x') Sage: I=ideal(x^4-6*x^2+12*x-8,2*x^3-10*x^2+16*x-8) Sage: f = x^2-4*x+4 Sage: f in I True 3.7. تطخیص ع ایذ آل تشای زخیق ای ک ایذ آل اكلی هاکؼیوال یا ا ل اػر اص دػس س () is_prime/principal/maximal اػسفاد هی ک ین. 66
)ت ع س کلی تا ؿسي... is_ ػدغ فشدى کلیذ Tab هیس اى دػس س ای صیادی اص ایي قثیل سا یافر.( هثال. تا ز خ ت ایذ آل ) 0 ( = I Sage:I.is_prime() false Sage:I.is_principal() True 4.7. ایذ آل رادیکال دس ه اسدی ک تخ ا ین سادیکال یک ایذ آل سا تذػر آ سین اص ػثاسذ ) I.radical( اػسفاد هی ک ین. Sage: I=ideal(x+y+z-3,x^2+z^2+y^2-5,x^3+y^3+z^3-7) Sage: I.radical() Ideal(x+y+z-3,y^2+y^z+z^2-3*y-3*z+2,3*z^3-9*z^2+6*z+2) of Multivariate Polynomial Ring in x,y,z over Rational Field 5.7. اضتزاک د ایذ آل J تشای تذػر آ سدى اؿسشاک د ایذ آل I اػسفاد هی ک ین. خغ اص هؼشفی حلق ایذ آل ا اص دػس س I.intersection(J) R.<x> = PolynomialRing(QQ, 1) Multivariate Polynomial Ring in x over Rational Field Sage: I = R.ideal(x^2-1) ; I Ideal (x^2-1) of Multivariate Polynomial Ring in x over Rational Field 67
Sage: J = R.ideal(x^2-2) ; J Ideal (x^2-2) of Multivariate Polynomial Ring in x over Rational Field Sage: I.intersection(J) Ideal (x^4-3*x^2 + 2) of Multivariate Polynomial Ring in x over Rational Field 6.7. پای گز ت ز دػس سی ک تشای هحاػث خای گش ت ش هحاػث هی ؿ د ػثاسذ B=I.groebner_basis( ) هی تاؿذ. هثال. Sage: P.<x,y,z> = PolynomialRing (ZZ,order='lex') Sage: I = ideal( y y y y y y ) Sage:I,groebner_basis(), 0 y 0 y y 0 y y 0 y -. 7.7 الگ ریتن ت خثزگز 68
تشای هحاػث الگ سیسن ت خثشگش سا ای صیادی خ د داسد اها ػاد زشیي حالر آى اػسفاد اص دػس سی اص شم افضاس maxima هی تاؿذ. کافیؼر اتسذا تش اه Maxima سا فشاخ ا ی کشد دػس س صیش سا اسد ک ین. Sage: maxima('load(grobner) ') Sage: ans=maxima('poly_buchberger (, y y y y y y -, y -) ) Ans, y y y y y y y y 0 y 0 0 -. 8.7 حذف یک هتغیز اس ایذ آل اگش تخ ا ین یک هسغیش سا اص ایذ آل I حزف ک ین هی ز ا ین اص دػس س I.reduce(variable) اػسفاد ک ین. ت ػ اى هثال اگش تخ ا ین هسغیش y سا اص ایذ آل ) ( = I حزف ک ین تا اػسفاد اص ایي دػس س خ ا ین داؿر. Sage: R.<x,y>=PolynomialRing(QQ,2) Sage: I=ideal(x^3+y,y) 69
Sage:I Ideal (x^3 + y, y) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field Sage: I.reduce(y) 0 اگش تخ ا ین عثق قضی حزف ایذ آل حزفی ایذ آل I سا تذػر آ سین کافیؼر اص دػس س دػس س خای گش ت ش اػسفاد ک ین. I.elimination_ideal([, ]) هثال. R.<x,y,t,s,z>=PolynomialRing(QQ,5) I=ideal(x-t, y-t^2, z-t^3, s-x+y^3) I.elimination_ideal([t,s]) Ideal(y^2-x*z, x*y-z,x^2-y) of multivariate PolynomialRing in x,y,t,s,z over Rational Field.9. 7 هحاسث - S چ ذ جول ای تشای هحاػث S -چ ذ خول ای ا اتسذا الصم اػر دػس س spol سا اص sage.ring.polynomial خاسج ک ین. تشای ایي ه ظ س ت س ؽ صیش ػول هی ک ین. Sage: from Sage.rings.polynomial.toy_buchberger import spol Sage: R.<x,y,z> = PolynomialRing(QQ,3,' lex' ) 70
Sage: f = 4*x^2*z -7*y^2 Sage: g=x*y*z^2+3*x*z^4 Sage: spol(f,g) -1/3*x^2*y*z^2-7/4*y^2*z^3 فصل طتن اری ای آفیي صفح آفی ی 71
1.8. فضای آفی ی اری ای آفیي تشای هؼشفی اسیس آفیي ها ذ ) ( اتسذا فضای آفی ی سا هؼشفی هی ک ین ػدغ ت هؼشفی اسی آفیي هی خشداصین. هثال. Sage: A3.<x,y,z>=AffineSpace(QQ,3) Sage: V= A3.subscheme ([x^2-y^2*z^2+z^3]) Sage: V : Sage:V.rational_points (bound = 3) [(-3, -2, 3), (-3, 2, 3), (-1, 0, -1), (0, -3, 0), (0, -2, 0), (0, -3/2, 0), (0, -1, 0), (0, -1, 1), (0, -2/3, 0), (0, -1/2, 0), (0, -1/3, 0), (0, 0, 0), (0, 1/3, 0), (0, 1/2, 0), (0, 2/3, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 3/2, 0), (0, 2, 0), (0, 3, 0), (1, 0, -1), (3, -2, 3), (3, 2, 3)] 72
2.8. رسن اری ای آفیي خ ر سػن اسیس ای آفیي اص س ؽ ای صیش اػسفاد هی ک ین. V( x 2 - y 2 z 2 + z 3 سا سػن ک یذ. هثال. اسیس آفیي( هغاتق ق اػذ رکش ؿذ دس ه سد سػن و داس ا اتسذا هسغیش ا سا هؼشفی کشد ػدغ اصدػس س() implicit_plot3d اػسفاد هی ک ین. Sage:Var(x,y,z) Sage: implicit_plot3d(x^2-y^2*z^2+z^3,[-3,3],[-3,3],[-3,3]) هثال. 73
-y)) V( (x-2)(x 2 -y),y(x 2 -y),(z+1)(x^2 سا سػن هی ک ین. ای گ اسیس ا سا تا د س ؽ هیس اى سػن کشد. س ؽ ا ل. var('x y z') p=implicit_plot3d((x-2)*(x^2-1),[x,-3,3],[y,-3,3],[z,-3,3],color='red') p+=implicit_plot3d(y*(x^2-y),[x,-3,3],[y,-3,3],[z,-3,3],color='green') p+=implicit_plot3d((z+1)*(x^2-1),[x,-3,3],[y,-3,3],[z,-3,3],color='blue') show(p) س ؽ د م. var('x y z') V=[(x-2)*(x^2-1), y*(x^2-y),(z+1)*(x^2-1)] c=['red','green','blue'] p=add([implicit_plot3d(v[i],[x,-3,3],[y,-3,3],[z,-3,3],color=c[i]) for i in [0..2]]) show(p) 74
هثال. )- ( ) (( سا سػن ک یذ. ز خ ؿ د ک ز ا زفا ذ ایي هثال تا هثال قثل دس زؼشیف تاص ی ه اػة تشای هی تاؿذ. Var( x,y,z ) V=[(y-x^2),(z-x^3)] C=['red', 'green'] P= add([implicit_plot3d(v(i),[x,-3,3],[y,-3,3],[z,-3,-3],color = C[i] ) for i in [0..1]]) 75
98 هثال. ) ( ک واى ه ح ی دسخ 3 زاتذاس هی تاؿذ سا سػن هی ک ین. Var (ˈ t ˈ) Parametric_plot3d( (t,t^2,t^3),(t,0,4),thickness=3) Thickness ضخاهر ه ح ی سا زغییش هی د ذ. 76
77
فصل ن هاتزیس ا حل هعادالت 1.9. هاتزیس ا تشای هؼشفی یک تشداس اص دػس س vector([----]) اػسفاد هیؿ د. 78
V=Vector([1,2,3,4]) V[0] = 1 اػوال سیاضی س ی تشداس ا تشاحسی قاتل هحاػث اػر. Sage : 7*V (7,14,21,28) Sage: V+Vector([1,4,6,8]) (2.6,9,12) Sage: V*V 30 تشای ػاخسي یک هازشیغ اص دػس س ) ( matrix اػسفاد هیک ین ػدغ دس خشا سض ػغش ای هازشیغ سا ت ك سذ هدضا هؼشفی هیک ین. Sage : matrix ([[1,2],[3,4]]) یا هی ز اى ػغش ػس ى هازشیغ سا هؼشفی کشد ػدغ زواهی ػ اكش سا ت زشزیة ؿر. Sage : matrix (4,2,[1,2,3,,8]) تشای یک هازشیغ هشتؼی زؼذاد ػس ى ا سا هی ز اى ؿر. Matrix (2,[1,2,3,4]) 79
Sage ت ك سذ قشاسداد هازشیغ سا س ی ک چکسشیي هدو ػ ای زؼشیف هیک ذ ک ػ اكش اص آى هدو ػ ا سخاب ؿذ ا ذ. Sage : parent (matrix (2,[1,2,2/1,4]) Sage : parent (matrix (2,[x,x^2,x-1,x^3]) هی ز اى هازشیغ سا س ی هدو ػ دلخ ا زؼشیف کشد. Sage: matrix (QQ,2,[1,1,3,4]) [1 1] [3 4] هازشیغ وا ی سا ت ك سذ س ت س زؼشیف هی ک ین. Sage : identity_matrix(3) [1 0 0] [0 1 0] [0 0 1] اگش یاص ت هؼک ع یک هازشیغ داسین اتسذا هازشیغ سا ام گزاسی کشد ػدغ اص دػس س 1-^ اػسفاد هیک ین. Sage :A=matrix(2,[1,1,0,1]) Sage :A^-1 [1-1] 80
[0 1] A.det( ) 1 دػس سی ک تشای یافسي دزشهی اى ت کاس هی س د ت ك سذ هقاتل اػر. Sage:A=matrix ( [[ 0 -,0 -, 0 --) Sage: A.det( ) -5/2 1 1. 9. عولیات سطزی هقذهاتی هیز اى ضشیثی اص یک ػغش یا ػس ى سا ػغش یا ػس ى دیگش افض د تشای ا دام ایي ػول اص دػس س add_multipl_of_row( ) اػسفاد هیؿ د. Sage: M=matrix(QQ,[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]) Sage: M.add_multiple_of_row(1,0,-4);M [1 2 3] [0-3 -6] [7 8 9] هیز اى ػغش یا ػس ی سا دس ػذدی ضشب کشد. دػس س Sage: M.rescale_row(1, [1 2 3 ] [0 ¾ 3/2] [7 8 9 ] );M 81
ایي کاس سا ا دام هی د ذ. اگش فشم echelon یک هازشیغ سا تخ ا ین اص ػثاسذ ) ehelon-form( یا ) ehelonsize( اػسفاد هی- ک ین. حال تا اعالػاذ تذػر آهذ فادس خ ا ین ت د تا اػسفاد اص هازشیغ افض د ک تا دػس س : M.augment ( ) تذػر هیآیذ فشم ehelon یک هازشیغ 4 3 سا ت ك سذ Mx=b حل ک ین. اتسذا b M سا زؼشیف هیک ین. Sage: M=matrix(QQ,[[2,4,6,2,4],[1,2,3,1,1],[2,4,8,0,0],[3,6,7,5,9]]); M [2 4 6 2 4] [1 2 3 1 1] [2 4 8 0 0] [3 6 7 5 9] Sage:b=vector ([56,23,34,101]);b (56, 23, 34, 101) حال هازشیغ ت فشم (M b) سا هی ػاصین ػدغ فشم echelon سا ت دػر هیآ سین. Sage: M_aug=M.augment(b); M_aug [ 2 4 6 2 4 56] [ 1 2 3 1 1 23] [ 2 4 8 0 0 34] [ 3 6 7 5 9 101] Sage:M_aug.echelon_form( ) 82
[ 1 2 0 4 0 21] [ 0 0 1-1 0-1] [ 0 0 0 0 1 5] [ 0 0 0 0 0 0] ایي اى هید ذ ها یک فضای خ اب یک تؼذی اص تشداس ایی ت فشم V=c(-2,1,0,0,0)+(21,0,1,0,5) ؼس ذ. تشای تذػر آ سدى خ اب اص دػس س solve_right( ) اػسفاد هی ؿ د. یؼ ی Sage: M.solve_right(b) (21, 0, -1, 0, 5). 2 9. پاراهتزی ساسی حل هعادالت ت ع س کلی تشای حل هؼادالذ اص دػس س ([ solve([ اػسفاد هی ؿ د وا غ س ک دس هثحث چ ذ خول ای ا رکش ؿذ تشای تذػر آ سدى سی ای یک چ ذ خول ای f اص دػس س ) f.roots( اػسفاد هی ک ین. هثال.اگش دایش ای ت هشکض هثذا ؿؼاع 1 تاؿذ ) ( هؼادل ی دایش ای دیگش تاؿذ خ اب ای ایي د هؼادل سا تذػر آ سیذ. age: c,r = var('c,r') 83
Sage:f= x^2+y^2-1 Sage:g= (x-c)^2+y^2-r^2 Sage: solve([f= =0, g= =0],x,y) [[x = = ½*(c^2 r^2 +1)/c, y = = - 1/2*sqrt(-c^4 + 2*c^2*r^2 + 2*c^2 r^4 +2 * r^2-1)/c],[x = = 1/2*(c^2-r^2 +1)/c, y = = 1/2*sqrt(-c^4 + 2*c^2*r^2 + 2*c^2 r^4 +2*r^2-1)/c]] هثال. اگش y=cos 2t x=cos t قؼسی اص یک ػ وی سا خاساهسشی ک ذ y سا تش حؼة x تذػر هی آ سین. Sage: t = var('t') تشای ای ک تس اى سا زاتؼی اص اى داد تایذ اص دػس س simplify_trig اػسفاد ک ین. Sage: cos(2*t).simplify_trig() 2*cos(t)^2 1 هثال. Sage: var('x,y,z,w') Sage: solve([x+2*y-2*z+w==-1,x+y+z-w==2],[x,y]) [[x = = 3*w - 4*z + 5, y = = -2*w + 3*z - 3]] 84
ضویو هقایس Sage تا چ ذ زم افشار ریاضی ( کلیات ) هقایس Sage تا چ ذ زم افشار ریاضی ( ت ا ایی ) 85
86