Δημήτρης Διαματίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Ααστάσιος Κουπετώρης, Ιωάης Σταμπόλας Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ
Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτω πευματικής ιδιοκτησίας, εφόσο η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση. Το παρό έργο πευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληικής ομοθεσίας (Ν. 11/199, όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθείς συμβάσεις περί πευματικής ιδιοκτησίας. Απαγορεύεται απολύτως η άευ γραπτής αδείας του εκδότη κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο (ηλεκτροικό, μηχαικό ή άλλο) ατιγραφή, φωτοαατύπωση και ε γέει ααπαραγωγή, εκμίσθωση ή δαεισμός, μετάφραση, διασκευή, ααμετάδοση στο κοιό σε οποιαδήποτε μορφή και η ε γέει εκμετάλλευση του συόλου ή μέρους του έργου. Εκδόσεις Πατάκη Εκπαίδευση Δημήτρης Διαματίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Ααστάσιος Κουπετώρης, Ιωάης Σταμπόλας, Άλγεβρα Α Λυκείου, β τόμος Διορθώσεις: Νάτια Κουτσουρούμπα Υπεύθυος έκδοσης: Βαγγέλης Μπακλαβάς DTP: Γιώργος Χατζησπύρος Φιλμ μοτάζ: Μαρία Ποιιού-Ρέεση Copyright Σ. Πατάκης ΑΕΕΔΕ (Εκδόσεις Πατάκη), Δ. Διαματίδης, Γ. Ευθυμίου, Α. Κουπετώρης και Ι. Σταμπόλας, Αθήα, 14 Πρώτη έκδοση από τις Εκδόσεις Πατάκη, Αθήα, Ιαουάριος 15 Κ.Ε.Τ. 8779 Κ.Ε.Π. 1/15 ISBN (set.) 978-96-16-554- ISBN (vol. ) 978-96-16-55-4 ΠΑΝΑΓΗ ΤΣΑΛΔΑΡΗ (ΠΡΩΗΝ ΠΕΙΡΑΙΩΣ) 8, 14 7 ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: 1.6.5., 1.5.5.6, 81.1.665, ΦΑΞ: 1.6.5.69 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ: ΕΜΜ. ΜΠΕΝΑΚΗ 16, 16 78 ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: 1.8.1.78 YΠOKΑΤΑΣΤΗMA BOPEIAΣ EΛΛAΔAΣ: KOPYTΣAΣ (TEPMA ΠONTOY ΠEPIOXH B KTEO), 57 9 KAΛOXΩPI ΘEΣΣAΛONIKHΣ, Τ.Θ. 11, ΤΗΛ.: 1.7.6.54, 1.7.67.15, ΦΑΞ: 1.7.6.55 Web site: http://www.patakis.gr e-mail: info@patakis.gr, sales@patakis.gr
ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 16. Αισώσεις 1ου βαθμού.................................................. 7 Επίλυση αίσωσης Επίλυση συστήματος αισώσεω......................... 9 Παραμετρικές αισώσεις................................................ 18 Σύθετες αισώσεις (με απόλυτα και ρίζες)................................. Γεικές Ασκήσεις...................................................... Φύλλο εργασίας στις αισώσεις ου βαθμού................................... 17. Αισώσεις ου βαθμού................................................. 5 Μορφές τριωύμου Πρόσημο τριωύμου.................................. 9 Επίλυση αισώσεω ου βαθμού.......................................... 46 Συθήκες δευτεροβάθμιω παραμετρικώ εξισώσεω και αισώσεω............. 5 Γεικές Ασκήσεις...................................................... 59 8ο Κριτήριο Αξιολόγησης.............................................. 61 18. Αισώσεις γιόμεο και αισώσεις πηλίκο................................. 6 Πρόσημο γιομέου-πηλίκου Αισώσεις γιόμεο και αισώσεις πηλίκο......... 65 19. Επααληπτικές Ασκήσεις.............................................. 75 ο Επααληπτικό Διαγώισμα........................................... 81 Φύλλο εργασίας στις ακολουθίες............................................ 8. Ακολουθίες.......................................................... 85 * Υπολογισμός -οστού όρου ακολουθίας Εύρεση ααδρομικού τύπου από το γεικό όρο Εύρεση γεικού όρου από το ααδρομικό τύπο............ 88 1. Αριθμητική πρόοδος.................................................. 96 Εύρεση στοιχείω αριθμητικής προόδου (Α.Π.)............................. 98 Απόδειξη ότι μία ακολουθία είαι Α.Π.................................... 18 Αριθμητικός μέσος Διαδοχικοί όροι Α.Π. (δ.ό.α.π.)........................ 111 Αριθμητική παρεμβολή................................................ 118 Προβλήματα......................................................... 1 Γεικές Ασκήσεις..................................................... 1. Γεωμετρική πρόοδος................................................. 14 Εύρεση στοιχείω γεωμετρικής προόδου (Γ.Π.)............................. 16 Απόδειξη ότι μία ακολουθία είαι Γ.Π..................................... 14 Διαδοχικοί όροι Γ.Π. (δ.ό.γ.π.).......................................... 17 Γεωμετρική παρεμβολή................................................ 145 Αατοκισμός......................................................... 147 Προβλήματα......................................................... 151 Γεικές Ασκήσεις..................................................... 15
Περιεχόμεα. Επααληπτικές Ασκήσεις............................................. 155 4ο Επααληπτικό Διαγώισμα.......................................... 158 4. Η έοια της συάρτησης............................................. 16 Πεδίο ορισμού συάρτησης............................................. 165 Εύρεση τιμώ συάρτησης Σύολο τιμώ................................ 174 Προβλήματα......................................................... 18 Γεικές Ασκήσεις..................................................... 185 9ο Κριτήριο Αξιολόγησης............................................. 189 Φύλλο εργασίας στις καρτεσιαές συτεταγμέες και στη γραφική παράσταση συάρτησης............................................................. 191 5. Καρτεσιαές συτεταγμέες........................................... 195 Καρτεσιαές συτεταγμέες............................................ 199 Αποστάσεις σημείου από άξοες και σημείου από σημείο Κύκλος κέτρου Ο,............................................... 4 Γεικές Ασκήσεις..................................................... 14 1ο Κριτήριο Αξιολόγησης............................................ 16 6. Γραφική παράσταση συάρτησης...................................... 18 Σχετική θέση και σημεία τομής γραφικώ παραστάσεω...................... Γεικές Ασκήσεις..................................................... 9 11ο Κριτήριο Αξιολόγησης............................................ 4 Φύλλο εργασίας στη ευθεία............................................... 4 7. Η συάρτηση α β f x x........................................... 45 Ο ρόλος τω παραμέτρω α και β της ευθείας y αx β..................... 48 Γραφική παράσταση ευθείας............................................ 55 Σχετική θέση δύο ευθειώ.............................................. 65 Εύρεση τύπου ευθείας................................................. 7 Γεικές Ασκήσεις..................................................... 8 1ο Κριτήριο Αξιολόγησης............................................ 87 Φύλλο εργασίας στη f x αx.......................................... 89 8. Μελέτη τω συαρτήσεω f x αx και f x αx βx γ, Η συάρτηση f x αx και οι συαρτήσεις της μορφής α Σύδεση του τύπου της συάρτησης f x αx βx γ, α, με α...... 9 f x x p q... 4 με τη γραφική της ααπαράσταση.................................................... 18 Άλλες συαρτήσεις................................................... Γεικές Ασκήσεις..................................................... 46 9. Επααληπτικές Ασκήσεις............................................. 48 4
Περιεχόμεα Γεικές Επααληπτικές Ασκήσεις.......................................... 59 Σύθετα θέματα Προσομοίωση τράπεζας................................... 81 Τεστ Σωστού Λάθους................................................... 97 1ο Τεστ Σωστού Λάθους............................................... 99 ο Τεστ Σωστού Λάθους............................................... 4 ο Τεστ Σωστού Λάθους............................................... 45 4ο Τεστ Σωστού Λάθους............................................... 48 5ο Τεστ Σωστού Λάθους............................................... 411 6ο Τεστ Σωστού Λάθους............................................... 416 Απατήσεις Τεστ Σωστού Λάθους......................................... 418 Παράρτημα Α: Αποδείξεις θεωρημάτω και προτάσεω σχολικού βιβλίου......... 419 Εδεικτικές Λύσεις Απατήσεις........................................... 45 Λύσεις τω ασκήσεω του σχολικού βιβλίου.................................. 559 Τυπολόγιο.............................................................. 68 5
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤHN ΕΥΘΕΙΑ 1) Έστω το σημείο Α, του καρτεσιαού επιπέδου. Να βρείτε τα σημεία M x, y του επιπέδου που προκύπτου, α ξεκιώτας κάθε φορά από το σημείο Α προχωρήσουμε κ βήματα (μοάδες) παράλληλα με το άξοα x x και στη συέχεια κ παράλληλα με το άξοα y y, για κ 1,,, 1,, και α συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα. (Ότα τα κ και κ είαι θετικά, εοείται ότι προχωράμε κατά τη θετική φορά τω αξόω, κι ότα είαι αρητικά, κατά τη αρητική φορά.) Βήματα κ 1 Τετμημέη x του σημείου που προκύπτει μετά από κ βήματα Τεταγμέη y του σημείου που προκύπτει μετά από κ βήματα y x 1 4
Φύλλο εργασίας στη ευθεία Μπορείτε α υποθέσετε σε τι είδους γραμμή θα βρίσκοται όλα τα σημεία που μπορεί α προκύψου με αυτή τη διαδικασία; Απ.:... ) Έστω το σημείο Α 1, του καρτεσιαού επιπέδου. Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίακες που αφορού τα σημεία M x, y του επιπέδου που προκύπτου α ξεκιώτας από το σημείο Α προχωρήσουμε κ βήματα παράλληλα με το άξοα x x και ακ βήματα παράλληλα με το άξοα y y για τις τιμές του α που δίοται. (Ότα τα κ και ακ είαι θετικά, εοείται ότι προχωράμε κατά τη θετική φορά τω αξόω, κι ότα είαι αρητικά, κατά τη αρητική φορά.) α 1 κ x y 1 1 5 4 y 1 x 1 α κ x y 1 1 5 4 y 1 x ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ α κ x y 1 1 5 4 y 1 x 4
Φύλλο εργασίας στη ευθεία ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ) Λαμβάοτας υπόψη τους πίακες του ερωτήματος (), α συμπληρώσετε το διπλαό πίακα απατώτας στις παρακάτω ερωτήσεις: α) Παρατηρώτας τη τελευταία στήλη κάθε πίακα του ερωτήματος (), μπορείτε α διατυπώσετε κάποια σχέση που α συδέει τις συτεταγμέες x και y του σημείου M; β) Ποια είαι η τεταγμέη του σημείου τομής της γραμμής με το άξοα y y; γ) Να λύσετε τη σχέση του ερωτήματος (α) ως προς y. Πώς συδέεται το αποτέλεσμα του ερωτήματος (γ) με τη τεταγμέη του σημείου τομής με το άξοα y y και με το α; Απ.:... Το αριθμό α το οομάζουμε συτελεστή διεύθυσης ή κλίση της ευθείας. α 1 1 Ερώτηση (α) Ερώτηση (β) Ερώτηση (γ) 4) Ποια σχέση συδέει τις συτεταγμέες τω σημείω Α x, y μιας ευθείας που τέμει το άξοα y y στο σημείο, β και έχει συτελεστή διεύθυσης α; Απ.:... 5) Έστω τα σημεία Α 1, και, Β του καρτεσιαού επιπέδου. α) Ποιος είαι ο συτελεστής διεύθυσης που διέρχεται από τα σημεία Α και Β; Απ.:... β) Ατικαθιστώτας τις συτεταγμέες του σημείου Β στη σχέση y αx β, α βρείτε το β. Απ.:... γ) Ποια είαι η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α, Β; Απ.:... 44
7 H συάρτηση f(x) = αx + β ε μια ευθεία στο καρτεσιαό επίπεδο η οποία τέμει το άξοα x x στο σημείο Α. Έστω ΟΡΙΣΜΟΣ Γωία ω που σχηματίζει η ευθεία ε με το άξοα x x λέμε τη γωία που διαγράφει η ημιευθεία Αx μέχρι α συμπέσει με τη ευθεία ε, ότα η ημιευθεία αυτή στραφεί κατά τη θετική φορά. Θετική φορά ορίζουμε τη φορά περιστροφής που είαι ατίθετη αυτής τω δεικτώ του ρολογιού. Α μια ευθεία είαι παράλληλη με το άξοα x x ή συμπίπτει με αυτό, λέμε ότι σχηματίζει με το άξοα x x γωία ω. Για τη γωιά ω που σχηματίζει μια ευθεία ε με το άξο- α x x ισχύει ω 18 ή ωπ. Κλίση ή συτελεστή διεύθυσης μιας ευθείας οομάζουμε το αριθμό λ εφω. Α λ, τότε ω 9. Α λ, τότε 9 ω 18. Α λ, τότε ω και η ευθεία είαι παράλληλη ή συμπίπτει με το άξοα x x. H γραφική παράσταση της συάρτησης α β οποία τέμει το άξοα y y στο σημείο Β, β και έχει κλίση λ α. f x x είαι ευθεία, έστω Έα σημείο Μ x, y του επιπέδου είαι σημείο της ευθείας y f x y αx β. Από δω και στο εξής η εξίσωση α εξίσωση της ευθείας ε. ε, η ε α και μόο α y x β θα οομάζεται Α ω είαι η γωία της ευθείας y αx β με το άξοα x x, ισχύει ε ω α. 45
Η συάρτηση f(x) = αx + β Α γωρίζουμε δύο σημεία της ευθείας Αx1, y 1 και, y y1 κλίση της είαι α x x. 1 Β x y με x1 x, τότε η Πράγματι, α y αx β είαι η εξίσωση της ευθείας, τότε ισχύει y1 αx 1 β και y y1 y αx β. Αφαιρώτας κατά μέλη, έχουμε y y1 αx x1α x x. 1 Α β, η συάρτηση f παίρει τη μορφή f x αx και η γραφική της παράσταση y αx περάει από τη αρχή τω αξόω. Ειδικότερα: Α α 1, τότε η ευθεία σχηματίζει με το άξοα x x γωία ω 45 και είαι η διχοτόμος τω γωιώ xoy και x Oy. Α α 1, τότε η ευθεία σχηματίζει με το άξοα x x γωία ω 15 και είαι η διχοτόμος τω γωιώ x Oy και y Ox. Σχετικές θέσεις δύο ευθειώ Έστω δύο ευθείες ε1: y α1x β1 και ε : y αx β οι οποίες σχηματίζου με το άξοα x x γωίες ω 1 και ω ατίστοιχα. Α α 1 α, τότε εφω1 εφω, οπότε ω1 ω. Στη περίπτωση αυτή, οι δύο ευθείες: είαι παράλληλες, α β1 β, ταυτίζοται, α β1 β. 46
Η συάρτηση f(x) = αx + β Α α1 α, οι ευθείες τέμοται. Ειδικότερα, α β1 β, οι ευθείες τέμοται πάω στο άξοα y y. Από τα παραπάω προκύπτει ότι οι ευθείες y αx β, α, β, είαι παράλληλες μεταξύ τους για α σταθερό και β μεταβλητό, εώ διέρχοται όλες από το ίδιο σημείο, β για β σταθερό και α μεταβλητό. Η συάρτηση f(x) = x Από το ορισμό της απόλυτης τιμής έχουμε: x, α x f x x x, α x Eπομέως η γραφική παράσταση της συάρτησης f x x αποτελείται από τις ημιευ θείες y x, με x, και y x, με x. 47
Η συάρτηση f(x) = αx + β Μ.1 Ο ρόλος τω παραμέτρω α και β της ευθείας y = αx + β ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 [Μ.1.1] Για το συτελεστή διεύθυσης α (κλίση της ευθείας) ισχύει ότι: Β x y, με x 1 x, της ευθείας, τότε ο συτελεστής διεύθυσης προκύπτει από το τύπο y y1 α x x, i. [Μ.1.1.i] ότα γωρίζουμε δύο σημεία Αx1, y 1 και, 1 ii. [M1.1.ii] ότα γωρίζουμε τη γωία ω που σχηματίζει η ευθεία με το θετικό ημιάξοα x x και ζητείται ο α ή, ατίστροφα, ότα γωρίζουμε το α και ζητείται η γωία ω, χρησιμοποιούμε τη σχέση α εφω. Υπεθυμίζουμε ότι: ω 45 6 1 15 15 εφω 1 1 iii. [M1.1.iii] α α, τότε η γωία που σχηματίζει η ευθεία με το θετικό ημιάξοα x x είαι οξεία, εώ, α α, η γωία αυτή είαι αμβλεία, και ατίστροφα. Η περίπτωση α ατιστοιχεί σε ευθεία της μορφής y β με γραφική παράσταση παράλληλη στο άξοα x x. [M.1.] Ο σταθερός όρος β εκφράζει τη τεταγμέη του σημείου τομής της ευθείας με το άξοα y y, δηλαδή η ευθεία διέρχεται πάτα από το σημείο, β. Α β, η ευθεία περάει από τη αρχή τω αξόω. n Λυμέα Θέματα 7.1 Δίοται τα σημεία, Α 1, Β, 4, Γ, 7, Δ x, x. Να βρεθού: α. ο συτελεστής διεύθυσης και το είδος της γωίας ω που σχηματίζει με το άξοα xx η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία: i. A, B, ii. B, Γ, 48
Η συάρτηση f(x) = αx + β β. ο x, ώστε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Δ: i. α σχηματίζει με το άξοα xx οξεία γωία, ii. α έχει κλίση. Λύση [Μ.1.1.i, M.1.1.iii] α. i. Ο συτελεστής διεύθυσης της ευθείας AB είαι: y B ya 4 4 4 1 4 1 1 xb xa 1 1 1 1 1 α Άρα, α ω είαι η γωία που σχηματίζει η ευθεία AB με το άξοα x x, θα είαι ω 9, δηλαδή οξεία. ii. Ο συτελεστής διεύθυσης της ευθείας ΒΓ είαι: yγ y B 4 6 6 α xγ xβ 7 9 6 Άρα 9 ω 18, δηλαδή η γωία ω που σχηματίζει η ΒΓ με το άξοα x x είαι αμβλεία. [Μ.1.1.iii, M.1.1.ii] β. Έστω ω η γωία που σχηματίζει η ευθεία A Δ με το άξοα x x. Επειδή x 1, ορίζεται ο συτελεστής διεύθυσης της ευθείας A Δ και είαι: yδ yα x x α xδ xα x 1 x 1 x x 1 i. Για α είαι η ω οξεία, πρέπει α = x x. x 1 Άρα πρέπει, x. ii. Για α έχει η A Δ κλίση ίση με, πρέπει: x 1 α xx xx1 ή x x x 1 7. Δίοται οι ευθείες ε ζ η θ υ και μ,,,, με ατίστοιχες εξισώ- x σεις y 17x, y x 1, y x, y x, y 1 8 και y x x 1. 49
Η συάρτηση f(x) = αx + β Λύση [M.1.1.iii] α. Να βρεθεί ο συτελεστής διεύθυσης καθεμιάς από τις ευθείες και το είδος της γωίας ω που σχηματίζει αυτή με το άξοα xx. β. Ποιες από τις παραπάω ευθείες: i. διέρχοται από τη αρχή τω αξόω; ii. τέμου το άξοα yy στο σημείο, ; α. Για τη ε, α 17 Για τη ζ,, άρα η γωία ω είαι οξεία. y x1 y xy x, άρα α, επομέως η γωία είαι αμβλεία. Για τη Για τη οξεία. η, y x y x, άρα α 1, επομέως η γωία είαι αμβλεία. θ, y x y x, άρα α, επομέως η γωία είαι 1x 8 1 8 Για τη υ, y y x 1 y x 4 y 6x, άρα α 6, δηλαδή η γωία είαι οξεία. Για τη μ, y x x1 yxxy, άρα α εφω ω. [M.1.] β. i. Όλες οι παραπάω ευθείες είαι της μορφής y αx β. Από τη αρχή τω αξόω διέρχοται όσες έχου β. Αυτό συμβαίει μόο με τις ζ και η. ii. Το άξοα y y τέμου στο, όσες από τις παραπάω ευθείες έχου β, δηλαδή οι ευθείες ε θ υ και μ. 7. Δίεται η ευθεία ε με εξίσωση y κ 1 x κ κ. Να βρεθεί ο κ ε : α. α έχει κλίση ίση με, β. α έχει κλίση και α μη συμπίπτει με το xx, γ. α σχηματίζει αμβλεία γωία με το οριζότιο άξοα, δ. α σχηματίζει με το άξοα xx γωία 45 o, ε. α περάει από τη αρχή τω αξόω, αλλά α μη συμπίπτει με το άξοα xx., ώστε η ευθεία 5
Η συάρτηση f(x) = αx + β Λύση [M.1.] α. Πρέπει 1 1 1 11ή 11 ή κ κ κ κ κ κ. β. Για α έχει κλίση, πρέπει: κ1 κ1 κ1ή κ1κ 4 ή κ Επίσης, για α μη συμπίπτει η ε με το x x, πρέπει εξίσωση κ κκ 1κ1κ1κ1κ1 κ1κ κ 1ή κ. Άρα κ 1 και κ. Τελικά, κ 4. [Μ.1.1.iii] κ κ. Λύουμε τη γ. Για α σχηματίζει η ε αμβλεία γωία με το οριζότιο άξοα, πρέπει α κ1 κ1 κ1κ 4. Άρα κ, 4. [Μ.1.1.ii] δ. Πρέπει εφω εφ45 εφω 1 κ 1 1 κ 1 4 κ 1 4 ή κ 1 4 κ 5 ή κ. [Μ.1.] ε. Πρέπει η εξίσωση της ε α είαι της μορφής y αx, με α. Άρα πρέπει 1 1 ή κ κ κ κ κ κ και από το ερώτημα (β) για α προκύπτει ότι κ 4 και κ. Τελικά, κ 1. 51
Η συάρτηση f(x) = αx + β Προτειόμεες Ασκήσεις για λύση 7.4 Να βρεθεί ο συτελεστής διεύθυσης τω παρακάτω ευθειώ: α. y x 5 β. γ. y δ. ε. ζ. x y στ. 5 x y 1 1 y x 4 1 x y 1x y η. y α β 7.5 Ποιες από τις παρακάτω ευθείες διέρχοται από τη αρχή τω αξόω; ε η ζ : y 4 7x, : y 5x, x 1 x 1 : y, θ: y, 1 : y, : y, : x, : x ι κ λ μ 7.6 Να βρεθεί η γωία που σχηματίζει με το άξοα x x καθεμία από τις παρακάτω ευθείες: x 1 α. y x β. y x γ. y δ. y ε. ζ. θ. x στ. y x η. 1 x y ι. 1 y x y y x x 5 1 7.7 Να βρεθεί ο συτελεστής διεύθυσης και το είδος της γωίας που σχηματίζει με το άξοα x x η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία: α. Α, και Β, 6 1 β. Α, 1 και Β, 4 5 8 γ., Α και Β1, 1 6 5 15 δ. Α, 17 και Β, 5 5 7.8 Να συμπληρωθεί με Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) ο παρακάτω πίακας: Εξίσωση ευθείας x y ε : y 7x1 ε : y 5x ε4 y 11x ε5 y x1 ε1 : : : 1 ε y 4 x 6 : ε7 : x y Διέρχεται από τo Ο Τέμει yy στο 1 Τέμει yy στο Σχηματίζει με x x οξεία γωία Σχηματίζει με x x αμβλεία γωία 5
Η συάρτηση f(x) = αx + β 7.9 Να συμπληρωθεί με Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) ο παρακάτω πίακας: Εξίσωση ευθείας : : : : ε1 y 5x ε y x ε y x ε4 y x ε5 : y x 8 ε6 x y : x 7 y ε : ε8 : x 4 y 6 Διέρχεται από τo Ο Τέμει yy στο Τέμει yy στο Σχηματίζει με x x οξεία γωία Σχηματίζει με x x αμβλεία γωία 7.1 Να βρεθεί ο συτελεστής διεύθυσης της ευθείας που περάει από τα σημεία: α. Α, και Β7, 5 β. Α 1, και Β4, γ. Α 1, και Β1, δ. Α 4, και Β, 7.11 Να βρεθεί ο συτελεστής διεύθυσης και η γωία που σχηματίζει με το άξοα x x η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία: α. Α, 5και Β, 1 β. Α 1, 7και Β 7, 1 γ. Α, 6 και Β 1, 7 δ. 4 4 4 4 Α 1 β, 1 και Β α, α β 7.1 Έστω ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Κ α, 1 και Λ5, α α. Α η γωία που σχηματίζει η ευθεία με το άξοα x x είαι 45, α βρεθεί ο α. 7.1 Έστω ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Π1, α και, Ρ. Α η γωία που σχηματίζει η ευθεία με το άξοα x x είαι 1, α βρεθεί ο α. 7.14 Α η κλίση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία, 4 είαι θετική, α βρεθεί ο x. Γ x και Ε 1, x 7.15 Α η κλίση της ευθείας που περάει από τα σημεία Θ, x και Η x x, x είαι αρητική, α βρεθεί ο x. 7.16 Έστω ευθεία που διέρχεται από τα σημεία, Μ x και N x, x. Α η ευθεία σχηματίζει με το άξοα x x αμβλεία γωία, α βρεθεί ο x. 7.17 Έστω ευθεία που διέρχεται από τα Σ x. Α η ευθεία σχηματίζει με το άξοα x x οξεία γωία, α βρεθεί ο x. σημεία Ξ, x και, 1 7.18 Δίοται τα σημεία: x, 1, x-, x,, - 1, x, x Α Β Γ Δ με x 1. Α η ευθεία που περάει από τα σημεία Α και Β σχηματίζει με το άξοα x x οξεία γωία, α δείξετε ότι η ευθεία που περ- 5
Η συάρτηση f(x) = αx + β άει από τα σημεία Γ και Δ σχηματίζει με το άξοα x x αμβλεία γωία. 7.19 Δίεται η ευθεία: y 1 ε : λ 1 xλ1 Να βρεθεί ο λ, ώστε η ευθεία α διέρχεται από τη αρχή τω αξόω. 7. Δίεται η ευθεία: : y ε λ1 λ5 xλ λ με λ 1. Να βρεθεί: α. ο λ, ώστε η ευθεία α διέρχεται από τη αρχή τω αξόω, β. το είδος της γωίας που σχηματίζει η ευθεία με το άξοα x x για τη τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα (α). 7.1 Α η ευθεία: η : y μ μ x1 σχηματίζει με το άξοα x x γωία 6, α βρεθεί ο μ. 7. Α η ευθεία: κ 5κ5 η : y x σχηματίζει με το άξοα x x γωία 15, α βρεθεί ο κ. 7. Να βρεθεί ο πραγματικός μ, ώστε η ευθεία : ζ y μ μ x μ α είαι παράλληλη στο άξοα x x. 7.4 Να βρεθεί ο πραγματικός κ, ώστε η : y κ κ 1 x κ α είαι παράλληλη στο άξοα x x. η ευθεία 7.5 Α η ευθεία: η : y α β 1αβ6 x αβ1 είαι παράλληλη στο άξοα x x, α βρεθού οι α, β. 7.6 Α η ευθεία: λ λ6 ε : y 1 λ λ λ x σχηματίζει με το άξοα x x οξεία γωία, α βρεθεί ο λ. 7.7 Α η ευθεία: ε λ : y 5 x σχηματίζει με το άξοα x x αμβλεία γωία, α βρεθεί ο λ. 7.8 Α η ευθεία: θ : y κ1 είαι η διχοτόμος του 1ου και του ου τεταρτημορίου, α βρεθεί ο κ. 7.9 Α η ευθεία: 5μ 1 θ : y x μ1 1μ είαι η διχοτόμος του ου και του 4ου τεταρτημορίου, α βρεθεί ο μ. 7. Α η ευθεία: : y ε 4λ xλ σχηματίζει με το άξοα x x οξεία γωία και διέρχεται από το σημείο Α 1, 1 ο λ. 7.1 Α η ευθεία: x, α βρεθεί λ 4λ λ1 ε : y x λ λ σχηματίζει με το άξοα x x αμβλεία γωία και διέρχεται από το σημείο A 1, βρεθεί ο λ., α 54
Η συάρτηση f(x) = αx + β Μ. Γραφική παράσταση ευθείας ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ότα μας ζητείται α σχεδιάσουμε μια ευθεία της μορφής y αx β ή τμήμα αυτής, βρίσκουμε δύο σημεία της ευθείας επιλέγοτας δύο κατάλληλες τιμές για τη τετμημέη x. Πολλές φορές βολεύει α βρούμε τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξοες συμπληρώοτας το παρακάτω πιακάκι: x y αx β y y β x x β α Η ζητούμεη ευθεία προκύπτει εώοτας τα δύο σημεία και είαι μοαδική, αφού, όπως γωρίζουμε από τη Ευκλείδεια Γεωμετρία, από δύο σημεία του επιπέδου διέρχεται μία και μόο ευθεία. n Λυμέα Θέματα 7. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις τω συαρτήσεω: α. f x x1 β. g x γ. h x ε. x 1, α x x 5, α x k x x 1 x 4 δ. q x x 5 x 1, α x x 5, α x 1 Λύση α. Η γραφική παράσταση της f είαι ευθεία της μορφής y αx β. Βρίσκουμε τα σημεία τομής της με τους άξοες: x y αx β y y β 1 x x β 1 α 55
Η συάρτηση f(x) = αx + β δηλαδή το σημείο τομής με το άξοα B, 1. Άρα η ευθεία είαι: x x είαι το 1, Α και με το y y το β. Η γραφική παράσταση της g είαι ευθεία της οποίας βρίσκουμε τα σημεία τομής με τους άξοες: x y αx β y y β 5 x x β α 5 5 δηλαδή το σημείο τομής με το άξοα x x είαι το Α, και με το y y το Β 5,. Άρα η ευθεία είαι: 56
Η συάρτηση f(x) = αx + β γ. Η γραφική παράσταση της h αποτελείται από τις ημιευθείες που προκύπτου από τη γραφική παράσταση της f για x και από τη γραφική παράσταση της g για x εξαιρουμέου του σημείου με τετμημέη f g 1, οπό- x. Επίσης, είαι τε οι δύο ημιευθείες έχου κοιή αρχή το σημείο Γ 1,. Άρα η γραφική παράσταση της h είαι: δ. Η γραφική παράσταση της q προκύπτει από τη γραφική παράσταση της h, α εξαιρέσουμε τα σημεία για τη τετμημέη x τω οποίω ισχύει 1 x. Άρα η γραφική παράσταση της q είαι: ε. Για 1 x, k x x1x4k x, εώ για x 1, k x x 1 x 4 k x x 5. 57
Η συάρτηση f(x) = αx + β, x 1 x 5, x 1 x ισχύει ο τύπος y, άρα ο έας κλάδος της C k είαι ημιευθεία με αρχή Άρα ο τύπος της συάρτησης k είαι k x Για 1 Κ που είαι παράλληλη στο άξοα x x. Για x 1 ισχύει ο τύπος y x 5, οπότε η γραφική παράσταση συμπίπτει με τη το 1, γραφική παράσταση της q στο διάστημα αυτό. Άρα η C k είαι: 7. Δίοται οι εξισώσεις τω ευθειώ ε : y x, η : x. α. Να σχεδιάσετε: i. τη ευθεία ε, ii. τις ευθείες ζ και η στο ίδιο σύστημα αξόω με τη Λύση ζ : y και η και τους άξοες xx και yy. γ. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συάρτησης f με τύπο ε. β. Να βρεθεί το εμβαδό του σχήματος που περικλείεται από τις ευθείες ζ, f x x, ότα: i. x, ii. 1 x και α βρεθεί το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που προκύπτει στη περίπτωση (ii). α. i. Βρίσκουμε τα σημεία τομής της ευθείας ε με τους άξοες: 58
Η συάρτηση f(x) = αx + β Για x, Για y, y, άρα το σημείο είαι το, Α. x x, άρα το σημείο είαι το Β,. Επειδή το σημείο Β, έχει ως τετμημέη κλάσμα, ίσως δε μπορούμε εύκολα α το σχεδιάσουμε με ακρίβεια. Γι αυτό μπορούμε α βρούμε έα άλλο σημείο, π.χ. για x έχουμε y 1, δηλαδή το σημείο Γ 1,. Έχοτας δύο σημεία, σχεδιάζουμε τη ευθεία: x x και διέρχεται από το Δ, και ii. Η ευθεία ζ είαι παράλληλη στο άξοα η η είαι παράλληλη στο y y και διέρχεται από το, Ε. 59
Η συάρτηση f(x) = αx + β β. Το σημείο τομής τω ευθειώ ζ και η είαι το Ζ, ααζητούμε το εμβαδό είαι ορθογώιο με κορυφές Ο,, Ε,,, Ζ, και φαίεται στο παρακάτω σχήμα:. Το σχήμα του οποίου Δ, Το εμβαδό του είαι 6τετραγωικές μοάδες. γ. Η γραφική παράσταση της f είαι τμήμα της ευθείας ε. i. Πρόκειται για τη ημιευθεία με αρχή το σημείο 1, σημεία με τετμημέη x. Γ που ατιστοιχεί στα ii. Για x, y 1 1 5 και για x έχουμε y 1, άρα η ζητούμεη 6
Η συάρτηση f(x) = αx + β γραφική παράσταση είαι το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα σημεία Η 1, 5 και Γ 1,. Το μήκος του ευθύγραμμου αυτού τμήματος είαι: 1 1 5 6 9 6 45 d μ. 7.4 α. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f : Λύση f x x. β. Να λύσετε τις x και x. α. Η εξίσωση της f γίεται f x στο παρακάτω σχήμα: με εξίσωση x, x. Άρα η γραφική παράσταση φαίεται x, x 61
Η συάρτηση f(x) = αx + β β. Οι λύσεις της εξίσωσης x είαι οι τετμημέες τω σημείω τομής της γραφικής παράστασης της f x x με τη ευθεία y. Άρα x ή x. Οι λύσεις της αίσωσης x είαι όλα τα x για τα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της ευθείας y, άρα x,. Προτειόμεες Ασκήσεις για λύση 7.5 Να γίει η γραφική παράσταση τω παρακάτω ευθειώ: α. y x β. y x γ. y δ. x 4 ε. x y στ. y ζ. y 4 η. x 7.6 Να σχεδιαστού στο ίδιο σύστημα αξόω οι ευθείες: α. ε : y x1 και : y x β. ε : x y x η 1 και : x η y 4 7.7 Στο ίδιο σύστημα αξόω α σχεδιαστού οι ευθείες ε : y x και : y x η 1. Τι παρατηρείτε για τη θέση τω δύο ευθειώ; 7.8 Στο ίδιο σύστημα αξόω α σχεδιαστού οι ευθείες ε : y x, : y x και ζ : y x η 1. Τι παρατηρείτε για τη θέση τω ευθειώ; 7.9 Στο ίδιο σύστημα αξόω α σχεδιαστού οι ευθείες: ε : y x και : y x η 1 Τι παρατηρείτε για τη θέση τω δύο ευθειώ; 7.4 Στο ίδιο σύστημα αξόω α σχεδιαστού οι ευθείες y, y, x και x 1. Οι παραπάω ευθείες τέμοται στα σημεία Α, Β, Γ, Δ. Να βρεθεί το είδος του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ και το εμβαδό του. 7.41 Στο ίδιο σύστημα αξόω α σχεδιαστού οι ευθείες y 1, y, x 5και 6
Η συάρτηση f(x) = αx + β x 1. Οι παραπάω ευθείες τέμοται στα σημεία Α, Β, Γ, Δ. Να βρεθεί το είδος του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ και το εμβαδό του. 7.4 Να γίει η γραφική παράσταση τω παρακάτω ευθειώ: α. y x 5 για x 1 β. 1 y x για x 1, γ. y 4x για x δ. 4 y x για x, ε. y x για x 4 στ. 4 y x για x 1, y για x 1, x για y 14, ζ. η. 7.4 Να γίει η γραφική παράσταση 1 της γραμμής y x 1 για x, 4 και α βρεθεί το μήκος της. 7.44 Να γίει η γραφική παράσταση της γραμμής y x για 1 x και α βρεθεί το μήκος της. 7.45 Να σχεδιάσετε τη συάρτηση 19 f x x με x 15, και α βρεθεί 4 4 το μήκος της γραμμής. 7.46 Να σχεδιάσετε τη συάρτηση 4x 5 gx με x 1 και α βρεθεί το μήκος της γραμμής. 7.47 Να σχεδιαστού στο ίδιο σύστημα αξόω οι συαρτήσεις gx x και h x. 1 f x x, 7.48 Να σχεδιαστού στο ίδιο σύστημα αξόω οι συαρτήσεις f x1x, x gx και h x. 7.49 Αφού αρχικά απλοποιηθού, α σχεδιαστού στο ίδιο σύστημα αξόω οι συαρτήσεις: 18x 8 f x, 1 1 gx x και hx 7.5 Να βρεθού τα σημεία τομής τω παρακάτω ευθειώ με τους άξοες: α. y x 6 β. y 1x 4 γ. y x δ. y x ε. y στ. x 1 ζ. 1 y x η. y x 18 7.51 Δίεται η ευθεία : 6 ε y x. α. Να βρεθού τα σημεία τομής της με τους άξοες. β. Να σχεδιάσετε τη ευθεία. γ. Να βρεθεί το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζει η ευθεία με τους άξοες. x 7.5 Δίεται η ευθεία ζ : y. α. Να βρεθού τα σημεία τομής της με τους άξοες. β. Να σχεδιάσετε τη ευθεία. γ. Να βρεθεί το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζει η ευθεία με τους άξοες. 6
Γεικές Επααληπτικές Ασκήσεις 1. Δίεται η συάρτηση f x x 7x x 1 C g η οποία είαι παράλληλη στη ευθεία σημείο με τεταγμέη το 1. α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. β. Να απλοποιηθεί ο τύπος της f. γ. Να βρεθεί ο τύπος της g. δ. Να βρεθού τα σημεία τομής τω C f και C g.. Έστω συάρτηση : 1, και η ευθεία με γραφική παράσταση 8 6x y και τέμει το άξοα y y σε f, με f xαx βx γ και α, β, γ. Η C f τέμει το άξοα y y στο σημείο Β με τεταγμέη 1 και το άξοα x x στα σημεία Γ, Δ που έχου τετμημέες με άθροισμα α. Να βρεθεί ο γ. β. Να βρεθού οι α, β. γ. Να βρεθεί σημείο Α της C f με τεταγμέη 7. και γιόμεο 1. δ. Να βρεθού τα σημεία Β, Γ και Δ, α γωρίζουμε ότι η τετμημέη του Γ είαι θετική. ε. Έστω η ευθεία με γραφική παράσταση C g που διέρχεται από το σημείο Α και σχηματίζει με το άξοα x x γωία 45. i. Να βρεθεί ο τύπος της g. ii. Να βρεθού τα κοιά σημεία τω C f, C g. iii. Να βρεθού οι τιμές του x για τις οποίες η C f είαι κάτω από τη C g. 61
Σύθετα θέματα Προσομοίωση τράπεζας 1 14. Δίοται οι εξισώσεις x (1) και x x 4 (). α. Να λύσετε τη (1). β. Να βρείτε τη κοιή λύση τω (1) και (). 15. Δίεται η παράσταση x 4 x Α. α. Να γράψετε τη παράσταση Α χωρίς το απόλυτο. β. Να λύσετε τη εξίσωση Α. 16. Δίεται η παράσταση x 4 x 4 Β. α. Να γράψετε τη παράσταση Β χωρίς το απόλυτο. β. Να λύσετε τη εξίσωση Β. 17. α. Να λύσετε τη εξίσωση x 5. 1 8 x 6 x 9 β. Να λύσετε τη εξίσωση x 7. 4 18. Δίεται η εξίσωση x λ4 λ5 x1, λ (1). α. Να λυθεί η (1), α λ 4. β. Α λ 4, α αποδείξετε ότι η (1) δε είαι αδύατη. γ. Α η (1) έχει διπλή ρίζα, α βρεθεί ο λ. 19. α. Να λύσετε τη εξίσωση x 15x 16. 4 β. Να λύσετε τη εξίσωση x 15x 16.. α. Να παραγοτοποιήσετε τις παραστάσεις: i. x 16 ii. x 4x 4 iii. x 1x β. Να λύσετε τη εξίσωση x x x x x 16 4 4 1. 86
1ο Τεστ Σωστού Λάθους Α. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις: 1. α α 9. α 9α. α 9α και α 4. α 9αή α 5. xyx και y 6. xyx ή y 7. xy x 8. Α xy, τότε μπορεί 9. Α 1. Α 11. x 4x4y7 1. x 4x4y7 1. x και y 1xy1 14. x και y 1xy1 15. Α 16. Α 17. Α ω ω ω ή ω 18. Α x8x 71, τότε x 8 ή x 7. x και y. x y, τότε, α ισχύει x, θα ισχύει και y. x y, τότε θα ισχύει ακριβώς μία από τις x και y. u u, τότε θα ισχύου τα u και u. u u, τότε θα ισχύει έα από τα u και u.. 19. Α y 8 y 9.. Α y 9 y 8. 1. Α y 9 y 8.. Α y 9, τότε ισχύει y 8 και όχι y 8, επειδή το y είαι ίσο με 9 και δε μπορεί α είαι 8.. Η άρηση της πρότασης «ο α είαι θετικός αριθμός» είαι «ο α είαι αρητικός αριθμός». 4. Οι προτάσεις «ο α δε είαι θετικός αριθμός» και α είαι ισοδύαμες. 99
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ μ μ α α α α μ α α μ α β αβ α α α β β με β α α α α α α α α α α αβ α β α α, β β β ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ μ μ α α α ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ α α και α α α β α β α β x α x α 1 α α β β α με αβ α 1, με α Επίλυση εξισώσεω Α θ, τότε x θ x θ Α θ, τότε x θ, αδύατη Α θ, τότε x x Α θ, τότε x θ x θ ή x θ Α θ, τότε x θ x Α θ, τότε x θ x Επίλυση αισώσεω Α θ, τότε x θ θ x θ Α θ, τότε x θ, αδύατη Α θ, τότε x θ, αδύατη x x x x ΡΙΖΕΣ α α, για άρτιο θετικό α α, για α αβ α β, για α, β α α, β β για α και β α β α β, για α, β ρ μρ μ α α, για α ρ ρ α α, για α μ μ α α, για, και θετικό ακέραιο ΔΙΑΤΑΞΗ α β αγ β γ α β αγ βγ α μ ακέραιο α β αγ βγ 1 1 α β, για α, β ομόσημους α β α β α και β ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α β α αβ β αβ α αβ β α β α α βαβ β αβ α α βαβ β αβ α β α β α β α β α αβ β α β αβ α αβ β α βγ α β γ αβ αγ βγ α β α β, για α, β και θετικό ακέραιο αβ α ή β αβ α και β ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ αχ + βχ + γ =, α Δ β 4 αγ Α Δ, τότε x, β Δ 1 α Α Δ, τότε ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ (S, P) S x β 1 x α P xx γ 1 α x 1 x x1x x1x S P 1 1 1 1 x x x x x x x x S PS Οι αριθμοί x 1 και x είαι ρίζες της εξίσωσης x Sx P, όπου S x1x και P xx 1 Ομόσημες: Ετερόσημες: Θετικές: ΕΞΙΣΩΣΗ x v = α Α α και περιττός, τότε x α Α α και άρτιος, τότε x α ή x α Α α και περιττός, τότε x α Α α και άρτιος, τότε αδύατη ΕΙΔΟΣ ΡΙΖΩΝ Δ P Δ P Δ P S β α x (δύο ρίζες άισες) (μια ρίζα διπλή) Α Δ, τότε η εξίσωση είαι αδύατη Ατίστροφες: Ατίθετες: Αρητικές: Δ P Δ S Δ P S 1 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ (Α.Π.) ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ (Γ.Π.) α α1 1 ω (-οστός όρος) ωα α 1 (διαφορά προόδου) β α γ (αριθμητικός μέσος) S S α 1 α α1 1 ω (άθροισμα πρώτω όρω Α.Π.) α αλ 1 1 (-οστός όρος) α 1 λ (λόγος προόδου) α β αγ (γεωμετρικός μέσος) S α λ 1 1 λ 1 (άθροισμα πρώτω όρω Γ.Π.) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΒ Α Β, P P P α ΑΒ P Α 1 P Α P ΑΒ P Α P Β P ΑΒ P ΑΒ P Α P ΑΒ Α Β P Α P Β ΠΑΡΑΒΟΛΗ f (x) = αx + βχ + γ β Δ Κορυφή: K, α 4α Άξοας συμμετρίας: x β α ΕΥΘΕΙΑ y = αx + β α εφω Α y α1x β1ε1 και y α x β ε ε 1// ε α1 α ε ε αα 1 1 1 Α x1, y1 και Β x y, τότε: σημεία της ευθείας, τότε α y y x x 1 1 γ γ,