2

9 תאריך הבחינה: 30.07.2010 ליובלינסקי מיכאל שם המרצה: פיסיקה 2 שם הקורס: 203-1-2371 מספר הקורס: ב' מועד: ב' סמסטר: 2009 שנה: 4.5 שעות משך הבחינה: אין חומר עזר: בהצלחה!.1 20) נק) R i נתון קבל המורכב ממעטפת כדורית פנימית בעלת רדיוס ומעטפת כדורית חיצונית בעלת. החלל בין המוליכים מלא בחומר בעל מקדם דיאלקטרי בעל הקבוע הבא: R o רדיוס ε : R i < r < 2ε : b < r < b R o עבור עבור. R < b < i R o כאשר: חשבו את הקיבול. א. נתון כי המטען על לוחות הקבל הוא Q. מהי כמות האנרגיה האצורה בקבל? ב..2 20) נק) נתון מוליך בעל מבנה בצורת קשת של רבע מעגל כמתואר באיור: המוליכות הסגולית הינה σ ועוביו (בכיוון ציר הינו. h miriwiz@bgu.ac.il ( z טל. 08-6461761 פקס. 08-6472908 ת.ד. 653 באר-שבע 84105

10 א. ב. ג. חשבו את ההתנגדות בין הפאה המשיקה לציר x ובין הפאה המשיקה לציר y (עבור זרם בכיוון ˆθ). חשבו את ההתנגדות בין הפאה הפנימית (בעלת רדיוס a) ובין הפאה החיצונית (בעלת רדיוס b) עבור זרם רדיאלי. מצאו תנאי עבורו התנגדויות אלו שוות..3 20) נק) נתונה טבעת מעגלית דקה העשויה מעל-מוליך. השטח הסגור ע"י הטבעת הנו S וההשראות שלה r היא L. הטבעת נמצאת באזור במרחב בו יש שדה מגנטי אחיד ˆz. B = B בהתחלה הטבעת 0 ממוקמת במישור XZ ולא זורם בה זרם שוכבת במישור XY (מצב ניצב). (מצב מקביל). לאחר מכן מסובבים אותה כך שהיא א. ב. ג. מצאו את הזרם בטבעת ברגע בו היא מגיעה למצב ניצב. כמה עבודה היתה דרושה ע"מ לסובב את הטבעת ממצב מקביל למצב ניצב? כאשר היא נמצאת במצב ניצב, מכבים את השדה המגנטי החיצוני. מצאו את הזרם והשדה המגנטי בטבעת. מצב ניצב (מצב סופי) מצב מקביל (מצב התחלתי) miriwiz@bgu.ac.il טל. 08-6461761 פקס. 08-6472908 ת.ד. 653 באר-שבע 84105.4 20) נק)

11 במוליך יש חור בצורת נתון מוליך אחיד אשר מוחזק במצב מנוחה בזמן שפועל עליו כח הכובד. גליל ארוך ודק מאוד המקביל לכיוון כח הכובד. מניחים אלקטרון על ציר הסימטריה של החור הגלילי. מהי תאוצת האלקטרון? א. (חלקיק בעל מסה זהה לזו של מה תהיה התאוצה אם האלקטרון יוחלף בפוזיטרון ב. האלקטרון ומטען שווה בגודל והפוך בסימן)..5 30) נק) א. ב. ג. ד. ה. ו. קבלו את חוק קולומב מתוך משוואות מקסוול. האם ניתן ללכוד מטען חשמלי ע"י שדה אלקטרוסטטי חיצוני? למערכת כזו. אם לא, הוכיחו זאת. הוכיחו את שימור המטען מתוך משוואות מקסוול. קבלו את חוק אמפר מתוך משוואות מקסוול. אם כן, הביאו דוגמה קבלו את משוואת פואסון עבור פוטנציאל אלקטרוסטטי מתוך משוואות מקסוול. r r E ו- ) ( r B r הם אינווריאנטים תחת טרנספורמציית לורנץ. הראו כי 2 2 הראו כי E B האנרגיה האלקטרומגנטית איננה אינווריאנטית. miriwiz@bgu.ac.il טל. 08-6461761 פקס. 08-6472908 ת.ד. 653 באר-שבע 84105

23 תאריך הבחינה: 0.11...11 ליובלינסקי מיכאל שם המרצה: פיסיקה 0 שם הקורס: 0.2-1-02.1 מספר הקורס: סמסטר: ב' מועד: ב' 2011 שנה: 5.4 שעות משך הבחינה: אין חומר עזר: בהצלחה!.1 02( נק( ע"י: נתון גליל מבודד אינסופי בעל רדיוס R. השדה החשמלי בתוך הגליל נתון בקואורדינטות גליליות sin( r) cos( r) k rˆ 0 r 2 0 כאשר: ו- R הוא קבוע. E 4 2 א. ב. ג. ד. ה. מצאו את התפלגות המטען בגליל. מצאו את כמות המטען האגורה בקטע באורך L של הגליל. חשבו את השדה החשמלי מחוץ לגליל. קבעו את נקודת הייחוס לפוטנציאל להיות ב: r R וחשבו את הפוטנציאל באזור שמחוץ לגליל. משחררים חלקיק טעון בעל מסה של 10 8- kg ממצב מנוחה ממרחק של 2m ממרכז הגליל. רדיוס הגליל.R=1m לאחר זמן כלשהו החלקיק מתנגש בגליל במהירות 10. 5- m/s מצאו את מטען החלקיק )גודל וסימן(. 2 0 8.86 10 12 C 2 N 1 m 2 נתון: )02 נק(.2 נתון קבל כדורי בעל רדיוסים.a,b החלל בין לוחות הקבל מלא בחומר מבודד )בעל מקדם 0. ( r) דיאלקטרי זהה לזה של הוואקום( הטעון בהתפלגות מטען r את לוחות הקבל מחברים למקור חיצוני המספק מתח V. miriwiz@bgu.ac.il טל. 80-4646646 פקס. 80-4668080 ת.ד. 456 באר-שבע 06685 א. ב. ג. מצאו את המטען על לוחות הקבל. מצאו את הפוטנציאל בין לוחות הקבל כפונקציה של המרחק מן הראשית ( (r).) חשבו את האנרגיה האלקטרוסטטית הכוללת במערכת.

24 ד. מנתקים את מקור המתח, והופכים את החומר המבודד למוליך בלחיצת כפתור )ע"י שינוי טמפרטורה למשל(. חשבו את המטען על לוחות הקבל לאחר שהמערכת מתייצבת. V a (r) b )02 נק( 3. סולנואיד ברדיוס R ואורך L מחובר למקור זרם חילופין המספק זרם: cos(wt).i=i o מצאו את האנרגיה הכוללת האצורה בתוך הסולנואיד. הניחו כי:.wR<<c..4 02( נק( לטבעת מוליכה בעלת רדיוס a מרכז משותף עם טבעת מוליכה גדולה בעלת רדיוס b, כך ש-. b a הטבעת הגדולה קבועה במקומה ונושאת זרם ישר I. בהתחלה שתי הטבעות נמצאות באותו מישור. ברגע מסויים מתחילים לסובב את הטבעת הקטנה סביב ציר העובר במישור של הטבעת הגדולה ודרך מרכז הטבעות במהירות זוויתית. חשבו את הכא"מ המושרה בטבעת הגדולה. a b miriwiz@bgu.ac.il טל. 80-4646646 פקס. 80-4668080 ת.ד. 456 באר-שבע 06685

25.5 30( נק( א. הוכיחו את משפט גאוס עבור שדה ווקטורי. ב. קבלו את חוק אוהם בצורה הלוקלית ע"י שימוש במודל מהירות הסחיפה velocity( )drift וזמן ממוצע בין התנגשויות. ג. השתמשו בחוק אוהם בצורה הלוקלית על מנת לקבל את חוק אוהם בצורה הקנונית )הסטנדרטית(. ד. קבלו את חוק ג'אול לנץ בצורה הלוקלית. מן החוק הלוקלי קבלו את קצב פליטת החום של נגד במעגל חשמלי. ה. קבלו ביטוי לצפיפות האנרגיה המגנטית הנוצרת ע"י לולאת תיל כלשהי הנושאת זרם ישר. ו. נתונה התפלגות מטען מישורית. חשבו את טרנספורמציית לורנץ להתפלגות במקרים הבאים:. 1 בכיוון המקביל למישור.. 0 בכיוון הניצב למישור. 1 1 1 eˆ ˆ ˆ 1 e2 e3 h u h u h u 1 1 1 v ( h ) ( ) ( ) 2h3v1 h1h 3v2 h1h 2v3 h1h 2h3 u1 u2 u3 h1eˆ 1 h2eˆ 2 h ˆ 3e3 1 v h1h 2h3 u1 u2 u3 h v h v h v 2 1 1 2 2 2 3 3 3 3 נוסחאות: miriwiz@bgu.ac.il טל. 80-4646646 פקס. 80-4668080 ת.ד. 456 באר-שבע 06685

29 בהצלחה! תאריך הבחינה: 10.07.2012 ליובלינסקי מיכאל שם המרצה: ילין בן שם המתרגל: פיסיקה 2 שם הקורס: 203-1-2371 מספר הקורס: א' מועד: ב' סמסטר: 2012 שנה: 4.5 שעות משך הבחינה: אין חומר עזר: 20) נק) 1. נתונה התפלגות מטען (בקורדינטות כדוריות) ρ0 r< R ρ = 0 R< r< 2R 4 R 32ρ 0 2R< r r ρ0r σ 1= 3 עם צפיפות מטען R קליפה ברדיוס לכך נתונות שתי קליפות טעונות. בנוסף ρ0r σ 2 = 4 וקליפה ברדיוס 2R עם צפיפות מטען מצאו את השדה ופוטנציאל בכל המרחב. (8 נק') א. מהי האנרגיה האלקטרוסטטית הכוללת של המערכת (4 נ') ב. מוסיפים קליפה כדורית מוליכה ברדיוס 1.5R ומחברים אותה להארקה. מצאו את השדה ופוטנציאל בכל המרחב (8 נק') ג..2 20) נק) ריבוע עשוי משני מוטות מוליכים המקובעים במקומם, ושני מוטות מוליכים החופשיים לנוע (ראה איור). על שני המוטות החופשיים פועל כוח קבוע F המגדיל את הריבוע. מסת כל מוט היא m והם עשויים ממוליך מושלם. המוט התחתון שמקובע במקום הוא בעל התנגדות ליחידת אורך התלויה במקום α. x בניצב לריבוע פועל שדה מגנטי קבוע. B א. מהו הכא"מ הרגעי הנוצר במעגל? מהו גודל הזרם הרגעי ומה כיוונו? תנו ביטויים כפונקציות של גודל ומהירות הרגעים של המוטות. ב. מהי המהירות המכסימלית אליה יגיעו המוטות? נתון כי בזמן =t 0 מהירות המוטות היא = v. 0 0 ג. מצאו את מהירות המוטות כפונקציה של הזמן? ד. כמה חום נפלט מהמעגל לאחר זמן? T miriwiz@bgu.ac.il טל. 08-6461761 פקס. 08-6472908 ת.ד. 653 באר-שבע 84105

30 F F.3 20) נק) מזרימים זרם ישר דרך תיל בעל התנגדות סופית. הוכיחו כי ההספק הנפלט ע"י התיל שווה למכפלת הגודל של וקטור (גליל העוטף את התיל וברדיוס של התיל). הפוינטיג במעטפת התיל.4 20) נק) נתון גליל (מלא) עשוי מתכת ברדיוס R המסתובב במהירות זוויתית ω. הגליל אינו טעון. (גם החלקיקים הטעונים בצורה חיובית ומקובעים למקומם וגם האלקטרונים החופשיים לנוע במוליך מסתובבים במהירות ω) א. מצאו שדות חשמליים ומגנטים בכל המרחב. מותר להשתמש בקירוב לא יחסותי Rω C>> ב. מהי התפלגות המטען בתוך הגליל? ג. מה הפרש הפוטנציאלים בין הציר העובר במרכז הגליל לבין המעטפת? ד. מוסיפים שדה מגנטי חיצוני בכיוון הציר שעובר במרכז הגליל. מה צריכה להיות עוצמת השדה על מנת שהשדה החשמלי יתאפס בכל מקום?.5 30) נק) א. ב. ג. ד. ה. ו. הוכיחו את חוק גאוס עבור השטף של השדה החשמלי. החל מחוק קולומב גיזרו ביטוי כללי עבור השדה החשמלי הנוצר ע"י התפלגות מטען נתונה. עבור מעגל RLC מאולץ ומרוסן עם זרם משתנה, מצאו את הפרש הפאזה בין המתח של הבטריה המאלצת לזרם במעגל. החל בהגדרת צפיפות הזרם, גזרו ביטוי לוקלי (דיפרנציאלי) עבור חוק שימור המטען (משוואת הרציפות) הוכיחו שמשוואות מקסוול בלי זרם ההעתקה סותרות את חוק שימור המטען. הראו כי אם השדה החשמלי מתאפס במע' אינרציאלית אחת, הוא יהיה מאונך לשדה המגנטי במע' אינרציאלית אחרת. miriwiz@bgu.ac.il טל. 08-6461761 פקס. 08-6472908 ת.ד. 653 באר-שבע 84105

31 2012 Moed A - Solution BGU Physics Dept. Physics 2 for Physicist Exercise 1 1. Since we have spherical symmetric charge distribution, we know that E = E(r)ˆr, so Gauss law tells us E ds = 4π ρdv E(r) = 1 r 2 Q in. (1) r < R Q in = 4π R < r < 2R Q in = 4π r 0 R 0 ρ 0 r 2 dr = 4πρ 0 3 r3 E(r) = 4πρ 0 3 r. (2) ρ(r )r 2 dr + 4πR 2 σ 1 = 0 E(r) = 0. (3) 2R < r r ( ) R 4 ( 15 Q in = 4π 32ρ 0 2R r r 2 dr + 4π(2R) 2 σ 2 E(r) = 4πρ 0 R 3 r 2 32R ) r 3. (4) The potential (after setting ϕ(r ) = 0) is defined by ϕ(r) = r E(r)dr 2R < r ( 15 ϕ(r) = 4πρ 0 R 3 r 16R r 2 R < r < 2R r < R ). (5) ϕ(r) = Const = ϕ(2r) = 14πρ 0 R 2. (6) ϕ(r) = 2πρ 0 3 r2 + Const, (7) by matching at r = R we have ϕ(r) = 2πρ 0 3 R2 + Const = 14πρ 0 R 2, (8) and the solution is ϕ(r) = 2πρ 0 3 r2 + 14 2 3 πρ 0R 2. (9) 1

32 2. For the surface charge density, the Electrostatic energy is given by U σ = 1 2 ΣQ iϕ i = 1 2 ( 4πR 2 σ 1 ϕ(r) + 4π(2R) 2 σ 2 ϕ(2r) ) (10) = 28π 2 ρ 0 R 4 (σ 1 + 4σ 2 ) = 112 3 π2 ρ 2 0R 5. (11) For the volume charge density, the Electrostatic energy is given by U ρ = 1 2 0 = 4π 2 ρ 2 0 φ(r)ρ(r)dv (12) ( R 0 ( 13 r2 + 7 13 R2 ) r 2 dr + 2R ( ( 15 64R 7 r 5 16R )) ) r 6 r 2 dr = 320.8π 2 ρ 2 0R 5. (14) The total energy is therefore U = U σ + U ρ 358.13π 2 ρ 2 0R 5. (15) We can also verify that result by checking E 2 dv. 3. Let the charge of the new sphere be Q, then the potential for r > 1.5R will have an addition of Q r. We demand ϕ(r = 1.5R) = 0 so ϕ(r = 1.5R) = 14πρ 0 R 2 + The rest of the potential can be found by matching: (13) Q 1.5R = 0 Q = 21π2 ρ 0 R 3. (16) R < r < 1.5R ϕ(r) = 0, (17) r < R ϕ(r) = 2πρ 0 3 (R2 r 2 ). (18) For the electric field we have r < 1.5R E E, (19) r > 1.5R E E 84π2 ρ 0 R 3 r 2. (20) Exercise 2 1. Let B = B 0 ẑ. The induced emf will be created so the current will run clockwise ( ˆϕ). ɛ = 1 c dφ B dt = d dt B x(t)2 = 2Bxẋ c The total resistance of the circuit when its length is x R = x 0 αx dx = α x2 2 I = ɛ R = 4Bẋ cαx (21) (22) 2

33 2. The force on the wire due to the current for any x, ẋ is given by F B = BIx = 4B2 ẋ cα In equilibrium (23) 0 = ΣF = F F B ẋ = cαf 4B 2 (24) 3. not in equilibrium: mẍ = F 4B2 ẋ cα Initial conditions v(t = 0) = 0: v = ẋ = cαf 4B 2 ẋ = αf 4B 2 + Ce αm t (25) 4B2 ( ) 1 e 4B2 cαm t (26) 4. P = I 2 R = 8B2 v 2 cα = cαf 2 ( ) 2 2B 2 1 e 4B2 cαm t (27) U = T 0 P dt = mc2 α 2 F 2 16B 4 ( 8B 2 T cαm ) 4B 2 3 + 4e cαm T e 8B2 cαm T (28) Exercise 3 If there is a current I in ẑ direction, that is due to an electric field E = V L ẑ. The magnetic field of the wire is B = µ 0I 2πr ˆϕ. The Poynting vector is given by S = 1 µ 0 E B = ˆr IV 2πaL, (29) where a is the radii of the wire. The total energy per unit time floating into the wire (due to heating) is P = S da = S2πaL = IV, (30) which is the known expression for the power of a resistor. Exercise 4 1. Option A: Due to the rotation ω = ω ˆφ, the free charges (electrons) will experience centrifugal force (outward). the electrons the will flow in the radial direction until equilibrium achieved: ΣF = m e ω 2 rˆr ee inˆr = 0 E in = m eω 2 r ˆr. (31) e Note that we have neglected the influence of the magnetic field, since we know that B E c. The electric field outside is E out = 0 since the total charge is zero. 3

34 The charge density is given by ρ = 1 4π E = 1 r d(re r)dr = m eω 2 2πe The total charge remains zero, which means that in addition to positive volume density, there is a negative surface density on the surface which is given by ρdv + σda = 0 σ = ρr 2 = m eω 2 R (33) 4πe since the charges are rotating with angular velocity ω the current per unit length is given by (32) I = Q t = 2πRσ 2π/ω = ω3 m e R 2 4πe (34) for the surface density, where the direction of the current is counter-clockwise. Using Amper s law, we can find the associated magnetic field: B σ = ω3 m e R 2 ẑ. ce (35) For the volume density, we will divide each disc of unit length into rings, each ring carrying the charge 2πρrdr. The magnetic field due to each ring is db = 2m eω 3 rdr ẑ. (36) ce Note that the direction of the current is clockwise, so the magnetic field is in the opposite direction. each ring contributes only to the magnetic field inside (since the field outside of a coil is zero): B ρ = R r So, the total magnetic field is db = m eω 3 (R 2 r 2 ) ẑ. (37) ce B = B ρ + B σ = µ 0m e ω 3 r 2 ẑ, (38) 4πe and the magnetic field outside is zero Option B: The velocity of the charges is given by v = rω. The current density is related to the charge density: J = nqv = ρ(r)v = ρ(r)rω. (39) Since the problem have cylindrical symmetry, Gauss law imply that E = E rˆr where E r = 4π r r 0 ρ(r )r dr. (40) On the other hand, from Amper s law, and recalling that J = J ˆϕ, B = B z (r)ẑ we have [ B ] = B z ϕ r = 4π c J = 4π c ρrω (41) 4

35 which leads us to B z (r) = 4π c ω r 0 ρ(r )r dr = ωr E(r) (42) c 2. The equilibrium condition is m e a = m e ω 2 rˆr = e E + e c v B E(r) = m eω 2 r e B(r) m eω 3 r 2 ce ρ = m eω 2 2πe [ 1 + ( ωr ) ] 2 1 m eω 2 r c e (43) (44) (45) σ = m eω 2 R 4πe 3. The potential difference is given by ϕ = R 0 E(r)dr = mω2 R 2 2e 4. If E(r) = 0 the equilibrium equation (with external magnetic field) take the form mω 2 r = e v B c ext Bext = mωc e (46) (47) (48) 5

36 תאריך הבחינה: 2.8.2012 ליובלינסקי מיכאל שם המרצה: ילין בן שם המתרגל: פיסיקה 2 שם הקורס: 213-0-2330 מספר הקורס: סמסטר: ב' מועד: ב' 2012 שנה: 4.5 שעות משך הבחינה: אין חומר עזר: בהצלחה!.1 02( נק( R1 R2 A B נתון המעגל המתואר באיור: C C 1 2 R 10 ; R 14.5 ; C C 4 ; 100V 1 2 1 2 F ברגע 0=t מעבירים את המפסק למצב A C 1 א. כעבור כמה זמן T יטען קבל בערך ב 01% מערכו הסופי? )3 נק'( ב. מה האנרגיה האצורה בקבל ברגע?t=1sec )3 נק'( ברגע t=1sec מעבירים את המפסק למצב B R 2 כפונקציה של הזמן. כמה אנרגיה מתבזבזת בנגד מרגע ג. מצאו את הספק הנגד שהעבירו את המפסק לB ועד שהמערכת בש"מ ( t (?הראה כי כמות האנרגיה שנפלטה ע"י הנגד זהה לכמות האנרגיה האצורה בסוף התהליך בשני הקבלים. )01 נק'( R 2 היו משתמשים בנגד עם ד. כיצד היו משתנות התשובות לסעיף ג' אם במקום נגד התנגדות חזקה פי 2? )4 נק'( נק(.0 02( נתון גליל אינסופי בעל רדיוס a הטעון בצפיפות מטען v מניעים את הגליל במהירות. a r בכיוון מקביל לציר הגליל. א. מצאו שדה מגנטי בכל המרחב. ב. מניחים בצורה קואקסיילית מעטפת גלילית נוספת מסביב בעלת רדיוס 2a לגליל הראשון ומניעים אותה במהירות v )ביחד עם הגליל הקטן יותר(. מה צריכה להיות צפיפות המטען של הקליפה החיצונית כך שהשדה בחוץ יתאפס? ג. כעת הופכים את כיוון המהירות של המעטפת הגלילית החיצונית. מצאו שדה בכל המרחב. miriwiz@bgu.ac.il טל. 80-4646646 פקס. 80-4662780 ת.ד. 456 באר-שבע 06685

37.3 02( נק( שתי טבעות מחומר על מוליך בעלות השראות L מונחות בצורה קואקסילית במרחק רחוק אחת מהשניה. בטבעות עובר זרם ישר I )באותו כיוון(. מקרבים את הטבעות לאותו מיקום. מה יהיה הזרם בכל טבעת לאחר שמקרבים אותן? מה השינוי באנרגיה בין המצב ההתחלתי למצב הסופי? מצב התחלתי מצב סופי.4 02( נק( א. ב. מצאו את אנרגיית האינטראקציה של שני דיפולים המיושרים באותו כיוון במרחק d אחד מהשני. הדיפולים מופרדים באמצעות קו הניצב למומנטים שלהם. R אחת מהשניה. שתי ספרות מוליכות זהות בעלות רדיוס R מונחות במרחק d מפעילים שדה חשמלי חיצוני הומוגני. כיוון השדה החשמלי הוא בניצב לקו המחבר בין הספירות. מצא את הכוח שמפעילות השפירות אחת על השניה. רמז: ניתן להתייחס לספירה בשדה הומוגני בתור מומנט דיפול הממוקם במרכז הספירה..5 32( נק( א. ב. ג. ד. ה. ו. פתחו ביטוי לאנרגיה הפוטנציאלית של n מטענים סטטים מחוק קולומב. השתמשו בביטוי שמצאתם בסעיף א' על מנת לקבל לקבל ביטוי לצפיפות האנרגיה עבור התפלגות מטען רציפה. הוכיחו כי אם רוטור של שדה וקטורי הוא אפס, ניתן לרשום אותו כגרדיאנט של שדה סקלרי )"פוטנציאל"( גזרו ביטוי עבור מתח הול voltage( )Hall קבלו את משפט פוינטינג ממשוואות מקסוול. E אינווראינטים תחת טרנספורמציית לורנץ, אבל האנרגיה 2 B 2 ו E הראו כי B האלקטרומגנטית לא. miriwiz@bgu.ac.il טל. 80-4646646 פקס. 80-4662780 ת.ד. 456 באר-שבע 06685

38 Exercise 1 2012 Moed B - Solution 1. The charge on the capacitor is given by ( ) ( Q(t) = Q 0 1 e t R 1 C 1 Q 0 1 1 + t ) R 1 C 1 so that T = 4µsec. BGU Physics Dept. Physics 2 for Physicist T R 1 C 1 = Q(T ) Q 0 = 0.1, (1) 2. since the time constant of the system is τ = R 1 C 1 = 40µsec than at t = 1sec = 25, 000τ the capacitor is fully charged and the energy is U 0 = 1 2 C 1ε 2 = 0.02J (2) 3. After we move the switch, we have a closed RC circuit. at t the potential difference on both the capacitors should be the same, and the total charge on the capacitors should remain the same as well (note that C 1 = C 2 ): V 1 = Q 1 C 1 ; V 2 = Q 2 C 2 Q 1 = C 1 C 2 Q 2 = Q 2 (3) Q 1 + Q 2 = Q 0 Q 1 = Q 2 = Q 0 2 (4) and the total energy on stored on the capacitors is U T = U 1 + U 2 = 2 1 Q 2 2 C = 1 Q 2 0 4 C = U 0 2 The power of the resistor is given by t = 0.01J. (5) P = I 2 R 2 = R 2 I0e 2 2 R 2 C T = R 2 I0e 2 2 t R 2 C T = R 2 I0e 2 4 t R 2C, (6) where C T = C/2 since the two capacitors are connected IN TOR, and I 0 = V 0 /R 2 = Q 0 /CR 2 is the current right after we close the switch. The total energy wasted due to the heating of the resistor is W = 0 same as before ( ) 2 Q0 R 2 C P dt = R 2 R 2 C 4 4. since the above result does not depend on R 2, nothing changes. Exercise 2 = 1 Q 2 0 4 C, (7) 1. The current density is given by j = nqvẑ = ρvẑ = ρ 0av r ẑ inside the cylinder and zero outside. By Amper s law: B d l = 4π J ds c B ϕ = 4π r ρ(r )r dr, (8) cr 0 So the magnetic field is B = ˆϕ { 4πρ0 av c 4πρ 0 a 2 v 1 c r r < a r > a (9) 1

39 2. We will demand that the charge per unit length on the outer cylinder will be equal to minus the charge per unit length on the inner cylinder: dq in = dz a ρ 0 r rdrdϕ = 2πρ 0 a 2 dz (10) σ(2a)dϕdz = Q out = Q in = dq in = 2πρ 0 a 2 dz (11) σ = ρ 0a 2 3. Inside the outer cylinder. The magnetic field will remain the same. Outside it will be doubled (since the total current has been doubled. The current density is given by j = nqv = ρv = ρ 0av r inside the cylinder and zero outside. By Amper s law: B d l = 4π J ds c B ϕ = 4π r ρ(r )r dr, (14) cr 0 So the magnetic field is 4πρ 0 av c 4πρ B = ˆϕ 0 a 2 v 1 c r 8πρ 0 a 2 v c 1 r r < a a < r < 2a 2a < r Exercise 3 When the rings are located far away from each other, the flux through each ring is given by φ i = LI. The EMF on each ring is given by (12) (13) (15) ε = IR. (16) Since the rings are made from superconducting material, with R = 0 we conclude that the flux through each ring is constant: 0 = ε = 1 C φ φ = Const. (17) After placing the rings together the flux through each ring will have contribution both from the ring itself and from the second ring. When the rings are placed together, the mutual inductance is equal to the self induction of each ring (they are identical and in the same place) and from symmetry considerations, we can assume that the current in each ring is identical: φ f 1 = L 11I f 1 + L 12I f 2 = 2LI f, (18) comparing with the flux in the beginning we find that I f = 1 2 I. Energy: In the start, each ring will store energy 1 2 LI2. After the rings are moved together, each one will hold 1 2 LI2 f and in addition, we have the energy of their mutual inductance LI2 f The energy difference will be ( U = U f U i = 2 1 ) 2 LI2 f + LI2 f 2 1 2 LI2 = 1 2 LI2 (19) Exercise 4 2

40 1. Option A: The electric field of a dipole p 1 experienced by p 2 is given by E 1 = 3( p 1 ˆd) ˆd p 1 d 3 And the energy of interaction of p 2 and p 1 will be U = p 2 E 1 = p 1 p 2 d 3 (20) (21) where we simplified the above equation using the fact that ˆp 1 ˆp 2 ˆd The force will be given by F = U = 3 p 1 p 2 d 4 (22) Option B we can treat this problem as 4 charges sitting on the vertices of rectangle: q 1, q 1, q 2, q 2.The distance between opposite charges along the y axis is a and the distance between same sign charges along the x axis is d. The total force that charges q 1, q 1 is acting on charges q 2, q 2 is: ( ΣF = 2 q ) 1q 2 q 1 q 2 d d 2 2 (d 2 + a 2 ) ( ˆx, (23) 3/2) (the force on the y axis is zero). Expanding for d >> a 2 q 1q 2 q 1 q 2 d d 2 2 (d 2 + a 2 ) (3/2) = 2q 1q 2 1 d 2 1 ( 1 + ( ) ) a 2 (3/2) 3q 1q 2 a 2 d 4 = 3p 1p 2 d 4 (24) d same as above 2. If we treat the conducting sphere as a dipole p, than its electric field is given by E dip = 3( pˆr)ˆr p r 3. The total electric field on the shell of the sphere will be 3( pˆr)ˆr p R 3 + E ext. demanding that the field will be perpendicular to to shell, we set p = R 3 Eext, (25) (26) (27) and the total force is F = 3p 1p 2 d 5 d 3R 6 E 2 = ext d (28) d 5 3

41 בהצלחה תאריך הבחינה: 09.07.2013 שם המרצה: ליובלינסקי מיכאל שם המתרגל: דה ליאו ירון שם הקורס: פיסיקה 2 מספר הקורס: 203-1 - 2371 שנה: 2013 סמסטר: ב' מועד: א' משך הבחינה: 4.5 שעות חומר עזר: אין 20) 1 נקודות) מוט בעל מסה m ואורך L מחליק לאורך שני מוטות מקבילים, אשר מחוברים אחד לשני בנגד בעל התנגדות R. מקדם החיכוך הקינטי בין המוט למסילה הוא µ. נתון שדה מגנטי אחיד בכל המרחב: B = B 0 sin(θ)ˆx + B 0 cos(θ)ẑ 0 < θ < π 2 נותנים למוט מהירות התחלתית v. xˆ0 אין בתרגיל כובד, וניתן להזניח השראות עצמית. y z x R v 0 א. מהו הכא"מ? ומה הזרם? כולל כיוון הזרם. ב. מצאו את המהירות כתלות בזמן. (v(t)) ג. מצאו את מרחק העצירה של המוט. ד. כמה חום יפלט מהנגד עד לעצירה? ה. בכמה תתחמם המסילה (כתוצאה מהחיכוך)? 20) 2 נקודות).ρ(r) = ρ 0 הגליל נע במהירות r 0r לאורך ציר z ישנו תיל דק אשר נושא זרם I. בנוסף לתיל יש גליל ברדיוס r, 0 אשר טעון בצפיפות מטען גלילית קבועה.vẑ א. מצאו את השדה החשמלי בכל המרחב, ואת הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב (בחרו לבד נקודת יחוס) 1

42 ב. מצאו את השדה המגנטי בכל המרחב בסעיפים הבאים נתון: r 0 = 3cm I = 62 esu /s v = 10 cm /s ג. מה צריך להיות ρ 0 על מנת שהשדה המגנטי מחוץ לגליל יתאפס? מה הוא צריך להיות כדי שהשדה החשמלי מחוץ לגליל יתאפס? ד. כעת. ρ 0 = 1 3 esu /cm 3 חלקיק בעל מסה של גרם ומטען של 4 esu נמצא במרחק של מטר אחד מהתיל, והוא נע במהירות של מטר לשניה לכיוון התיל. מצאו את תאוצתו ואת קצב השינוי באנרגיה הקינטית שלו באותו הרגע. 20) 3 נקודות) כדור ברדיוס a שעשוי מחומר דיאלקטרי ϵ ממוקם במרחק r מספירה (קליפה כדורית) מוליכה ברדיוס V. הספירה מחוברת לפוטנציאל b. מצאו את הכוח בין הכדור והספירה בהנחה שהמרחק בין השניים גדול בהרבה מהרדיוסים. 20) 4 נקודות) ישנו חומר מוליך אחיד בעל מוליכות σ. בזמן = 0 t השדה המגנטי בחומר הוא: B = B 0 cos(kx)ŷ מצאו את השדה המגנטי לאחר שעבר זמן T. ניתן להשתמש בקירוב קוואזי-סטציונארי. 30) 5 נקודות) א. הוכיחו את משפט סטוקס עבור שדה וקטורי. ב. חשבו את השדה המגנטי של דיפול מגנטי. ג. האם ניתן להעלים את איבר זרם ההעתקה במשוואות מקסוול על ידי בחירת כיול מתאים? אם לא, הסבירו. אם כן, מהו הכיול? ד. הוכיחו כי כל שתי נקודות במוליך נמצאות בפוטנציאל זהה. הוכיחו כי תופעה זו אינה מתקיימת עבור מוליך שנמצא בשדה כבידה חיצוני. ה. הראו E B ו ) 2 E 2 B ( הם אינוואריאנטים תחת טרנספורמציית לורנץ. הראו כי האנרגיה האלקטרומגנטית אינה אינוורנטית. 2

43 תאריך הבחינה: 09.07.2013 ליובלינסקי מיכאל שם המרצה: פיסיקה 2 שם הקורס: 203-1-2371 מספר הקורס: סמסטר: ב' מועד א' 2013 שנה: 4.5 שעות משך הבחינה: אין חומר עזר: בהצלחה!.3 20) נק) נתון קפיץ אשר תלוי מהתקרה ומשקולת במסה m מחוברת לקצהו התחתון ונמשכת ע"י כח הכובד כלפי מטה. בנוסף עובר דרך הקפיץ זרם I. במצב זה הקפיץ מתארך באורך x ביחס לאורכו במנוחה. אורך הקפיץ במצב מנוחה הנו, l הקוטר שלו D, ומספר הכריכות הנו N. הניחו כי התארכות הקפיץ היא קטנה ביחס לאורכו ) l ( X >> ולכן חוק הוק תקף עם קבוע קפיץ k. מצאו את התארכות הקפיץ x. טל. 08-6461761 פקס. 08-6472908 ת.ד. 653 באר שבע miriwiz@bgu.ac.il 84105

44 1 השאלה עם ההשראות נחשב את השטף. מכיוון שהשדה אחיד, אין צורך באינטגרל, ורק נכפול את הרכיב הניצב בשטח. לאחר מכן נגזור לקבלת כא"מ, ונחלק בR לקבלת הזרם: Φ = B 0 cos θxl ε = 1 c Φ = B 0L cos θ v c I = 1 R ε = B 0L cos θ v Rc הכוח המגנטי: F = 1 c ILŷ B = B2 0L 2 0 = N + F ẑ N = B 0L 2 cos θ sin θ v Rc 2 Rc 2 cos(θ) (cos(θ)ˆx + sin(θ)ẑ) v את הנורמל נקבל מכך שאין תאוצה בציר y, ואז נמצא את התאוצה בציר x: m v x = F ˆx µn = B2 L 2 Rc cos θ(cos θ + µ sin θ)v 2 x ) v x = v 0 exp ( B2 L 2 cos θ(cos θ + µ sin θ)t mrc2 בשביל מרחק העצירה, נמצא את x על ידי אינטגרציה: t [ )] x = v x (t )dt v 0 mrc 2 = 1 exp ( B2 L 2 cos θ(cos θ + µ sin θ)t 0 B 2 L 2 cos θ(cos θ + µ sin θ) mrc2 v 0 mrc 2 x(t= ) = B0L 2 2 cos θ(cos θ + µ sin θ) נחשב את החום מהנגד: ( ) 2 P = I 2 B0 L cos θ R = v R = B2 0L 2 cos 2 θ v 2 (t) Rc Rc 2 U R = P dt = B2 0L 2 cos 2 θ v 2 (t)dt 0 Rc 2 0 = B2 0L 2 cos 2 θ 1 v0mrc 2 2 Rc 2 2 B0L 2 2 cos θ(cos θ + µ sin θ) = mv2 0 cos 2 θ 2 (cos 2 θ + µ cos θ sin θ) בשביל החום מהמסילה יש שתי אפשרויות. אפשר להבין שכל האנרגיה הקינטית ההתחלתית יצאה או דרך הנגד או המסילה, או שאפשר לחשב ישירות: U µ = 0 F vdt = mv2 0 2 U R = mv2 0 µ cos θ sin θ 2 (cos 2 θ + µ cos θ sin θ) 1

45 2 השאלה עם הגליל שנע בשאלה זו נתונה לנו צפיפות מטען של גליל נע. מתוך הגדרה, זה אומר שנתנו לנו גם צפיפות זרם: j = ρ v. נשתמש בשני הנתונים יחד עם חוקי גאוס ואמפר למציאת השדות בכל המרחב. א. ננצל את הסימטריה הגלילית ונבנה מעטפת גאוסית גלילית. נשים לב שלזרם I אין בכלל השפעה על סך המטען. E da = 4πρ 2πrhE r = 4πh E r = ρ 0 r 0 r rdrdφ = { 4πρ 0 r 0 if r < r 0 4πρ 0 r 0 r 0r if r r 0 { 8hπ 2 ρ 0 r 0 r if r < r 0 8hπ 2 ρ 0 r 0 a if r r 0 ϕ(0) = 0 r r ϕ(r) = E d r = E r dr 0 0 { 4πρ0 r 0 r if r < r 0 ϕ(r) = ( ( )) 4πρ 0 r0 2 r 1 + ln r 0 if r r 0 B d l = 4π c ב. ננצל שוב את הסימטריה ונבין ש B בכיוון φ. נרשום את חוק אמפר: j d A 2πrB φ = 4π c B φ = 2 rc B φ = j da ( I + v ρ 0r 0 r rdrdφ ) { 2I rc c 0r 0 if r < r 0 2I r rc c 0r 0r 0 if r r 0 0 = 2I rc + 4π v c ρ r 0 0r 0 r ρ 0 = I 62 = esu /s 2πvr0 2 2π10 cm /s(3 cm) 1 2 9 esu /cm 3 ג. כדי שהשדה החשמלי מחוץ לגליל יתאפס, חייבים = 0 0 ρ. כדי שהשדה המגנטי יתאפס, צריך: 2

46 ( F = q E + u ) c B ( 4πρ0 r0 2 = q r ( = 4 esu ˆr 2Iu rc ẑ 4πρ 0r0 2 uv 2 r 4π 1 3 esu /cm 3 (3 cm) 2 ˆr 100 cm a = F m ˆr 1.44 cm /s 2 ẑ 3.3 10 19 cm/s 2 ד. הכוח שפועל עליו זה כוח לורנץ : ) c ẑ 2 ( 2 62 esu/s100 cm /s 4π 1 3 esu /cm 3 (3 cm) 2 10 cm /s 100 /s) cm 100 cm (3 10 10 cm /s) 2 ẑ ה. נזכור ששדה מגנטי לא עושה עבודה, כי אצלו תמיד = 0 u F. לכן צריך את ההספק של השדה החשמלי: P = F v 1.4 g cm /s 2 100 cm /s 140 erg /s ) 3

48 אגודת הסטודנטים, בן - גוריון

49 Solution of Problem 3 revisited In the Solution, the solenoid energy is written as U solenoid = LI 2 /2. This is not, however, the magnetic energy stored in the solenoid, which is U M = +LI 2 /2. While the result quoted is correct, the solution is not quite. Here is a more accurate derivation. While the solenoid is being stretched, it induces an additional electromotive force ɛ emf = IdL/dt. In order for the external battery to maintain the current I constant, the battery has to produce an additional voltage of ɛ emf. The source of this additional voltage is the mechanical force responsible for the stretching of the spring. It does work on the battery W B = Idt ɛ emf = I 2 dl = I 2 dl dx dx As a result, the mechanical force is responsible both for the change in magnetic energy du M /dx and for the work done to maintain the current constant I 2 dl/dx : mg kx = du M dx dl I2 dx = 1 dl I2 2 dx A somewhat different solution of Problem 4 Eq. B + 4πσ B c 2 t + 1 2 B c 2 t = 0 2 can be solved similarly to how the plane wave solution was obtained: Let substitute B = B 0e i( k r+ωt) This lead to a dispersion relation: k 2 = ω 2 /c 2 iω4π 2 σ/c 2 After taking the real part, matching with the initial conditions at t = 0 leads to k = k ˆx and B 0 = B 0 ŷ. Solving the quadratic equation for ω completes the problem s solution. The quasi-stationary approximation means ω is small and hence the solution can be simplified further by ignoring the ω 2 term. This leads to the result quoted before.

50 בהצלחה תאריך הבחינה: 30.07.2013 שם המרצה: ליובלינסקי מיכאל שם המתרגל: דה ליאו ירון שם הקורס: פיסיקה 2 מספר הקורס: 203-1 - 2371 שנה: 2013 סמסטר: ב' מועד: ב' משך הבחינה: 4.5 שעות חומר עזר: אין 20) 1 נקודות) דיסקה מבודדת ברדיוס R מקובעת למקום. מטען q ממוקם במרחק L ממרכז הדיסקה על ציר הסימטריה שלה. א. מצאו את שטף השדה החשמלי דרך הדיסקה. ב. מטעינים את הדיסקה בצפיפות משטחית אחידה σ. מצאו את הכח שהדיסקה מפעילה על המטען. ג. בדקו את הגבולות R L ו R L עבור הכח או השטף והסבירו תוצאותיכם. ד. נתונים: σ = 2 esu /cm 2 q = 3 esu R = 3 cm m = 1 g משחררים את המטען ממנוחה ממרחק L. = 4 cm מה המהירות בה יפגע המטען בדיסקה? 20) 2 נקודות) מסגרת מלבנית מוליכה עשויה מחומר בעל התנגדות סגולית ρ ושטח חתך S. המסגרת בעלת אורך b ורוחב a והיא ממוקמת באותו מישור כמו חוט ארוך שמוליך זרם ישר קבוע I. החוט מקביל לצלע b ומרחקו מהחוט d, > a כמו באיור. המסגרת נמצאת במנוחה במצב זה, ואז מסובבים אותה במהירות זוויתית קבועה ω סביב ציר העובר בצלע b הקרובה לחוט, עד לזווית 180 מעלות, אז מפסיקים את הסיבוב. א. מצאו את כמות המטען העוברת דרך כל חתך של המסגרת במהלך הסיבוב, בהזנחת ההשראות העצמית של המסגרת (10 נקודות) ב. מצאו את כמות המטען הנ"ל אם ישנה השראות עצמית L. (5 נקודות) ג. במקרה של על-מוליך ) 0 = ρ ), האם וכיצד תהיה התוצאה למטען תלויה במהירות הזוויתית 5) ω נקודות) 1

51 d b I a 20) 3 נקודות) d קבל לוחות בנוי משני לוחות ריבועיים בעלי שטח a a אשר מופרדים במרחק d כך ש d. a כאשר הקבל טעון, מחזיקים את הקבל אנכית ומקרבים אותו לנוזל לא מוליך בעל מקדם דיאלקטרי ϵ וצפיפות מסה ρ. כאשר הקצוות התחתונים של הלוחות נוגעים בנוזל, פני השטח שלו בתוך הקבל עולים לגובה.h < a מה יהיה המתח U בין לוחות הקבל? } }a h } 2

52 20) 4 נקודות) צפיפות מטען נפחית ρ( r) נוצרת על ידי כוחות חיצוניים, בתוך חומר אחיד בעל מוליכות σ ומקדם דיאלקטרי ϵ. בזמן = 0 t, מפסיקים את הכוחות החיצוניים. מצאו את צפיפות המטען והשדה המגנטי כפונקציות של הזמן. כעת, עבור צפיפות מטען התחלתית בעלת סימטריה כדורית sin(k r ) ρ(r, (0 = ρ 0 מצאו את השדה החשמלי כפונקציה של הזמן. 30) 5 נקודות) א. הוכיחו שמונופול (מטען) לא יכול להיות מקור לשדה וקטורי D אם D = C. ב. הראו כי עבור מערכת נייטררלית של מטענים מומנט הדיפול לא תלוי בבחירת ראשית מערכת הצירים. ג. השתמשו במשוואות מקסוול על מנת לקבל את משוואת הגלים האלקטרומגנטיים. הראו כי עבור פתרון של גל מישורי השדה החשמלי והמגנטי ניצבים זה לזה. ד. מצאו את הביטוי לתדירות לרמור של מטען הנע בשדה מגנטי אחיד. ה. הוכיחו את תנאי הרציפות של שדה חשמלי ומגנטי על גבול מעבר בין שני חומרים בעלי קבועים דיאלקטרים ומגנטים שונים. ו. הראו כי אם השדה החשמלי מתאפס במערכת אינרציאלית אחת, הוא יהיה מאונך לשדה המגנטי במערכת אינרציאלית אחרת. נוסחאות: ϕ = 1 ϕ ê 1 + 1 ϕ ê 2 + 1 ϕ ê 3 h 1 u 1 h 2 u 2 h 3 u ( 3 1 v = (h 2 h 3 v 1 ) + h 1 h 2 h 3 u 1 1 v = ϵ ijk h i ê i h k v k h 1 h 2 h 3 u j h 1 ê 1 h 2 ê 2 h 3 ê 3 = u 1 u 2 u 3 h 1 v 1 h 2 v 2 h 3 v 3 u 2 (h 3 h 1 v 3 ) + ) (h 1 h 2 v 3 ) u 3 3

53 1 השאלה עם הדיסקה והמטען א. נעבוד במערכת צירים גלילית, כך שציר הדיסקה הוא ציר הz, ומישור הדיסקה במישור = 0 z. נרשום את וקטור המרחק בין המטען לכל נקודה במישור, וכך נמצא את השדה במישור: r = Lẑ + rˆr r 2 = L 2 + r 2 Lẑ + rˆr E = q (L 2 + r 2 ) 3/2 Φ = Ed A = ( 1 = 2πqL R2 + L 1 ) 2 L R ( E ẑ)rdrdφ = 2πqL 0 rdr (L 2 + r 2 ) 3/2 ב. מטעמי סימטריה הכוח על הדיסקה הוא בכיוון z. לכן נוכל לבצע אינטרגציה על רכיבי z של הכוח: ( F 1 = ẑ ( E 1 ẑ)σda = ẑσφ = 2πσqL R2 + L 1 ) ẑ 2 L לפי החוק השלישי של ניוטון הכוח על המטען הוא פשוט מינוס של הכוח על הדיסקה. F = F 1 F = 2πσqL 1 L 1 + R2 L 2 1 ẑ 2πσq L ) (1 R2 2L 1 2 ג. בגבול R L ẑ πr2 σq ẑ L 2 שזה הכוח בין שני מטענים נקודתיים (שימו לב לביטוי של סך המטען על הדיסקה) F = 2πσqL 1 R 1 + L2 R 2 בגבול R L ( 1 1 ẑ 2πσqL L L 1 ) ẑ 2πσqẑ R אפשר להסתכל על התוצאה הזו בשתי דרכים. קודם כל זה שדה אחיד, לא תלוי במרחק, כמו בלוח אינסופי. מצד שני אם מסתכלים על השטף שיוצא מהמטען הנקודתי, רואים שחצי ממנו עובר דרך המשטח. ד. כעת משחררים את הכדור ממנוחה. מטעמי נוחות נרשום את מיקום המטען כz במקום כ L. ( ) z F (z) = 2πσq R2 + z 1 ẑ 2 העבודה שהשדה החשמלי מבצע על המטען היא: 0 0 ( ) z ( U = F (z)ẑdz = 2πσq L L R2 + z + 1 dz = 2πσq ) R 2 + z 2 0 + z 2 L ( ) = 2πσq L2 + R 2 R L v 2 = 2U m = 4π 2 esu /cm 2 ( 3 esu) ( (4 cm)2 + (3 cm) 1 g 2 3 cm 4 cm) = 48π esu2 /g cm 151 cm2 /s 2 1

54 2 השאלה עם המסגרת הביטוי המלא למתח על המסגרת הוא: 1 c Φ L I IR = 0 בסעיף א' ניתן להזניח את L, ולכן: 1 c Φ = IR = R Q 1 Φ = R Q c Q = 1 Rc Φ R = 2a + 2b ρ S כאשר R הוא כמעט על פי הגדרה: אז אנחנו בעצם צריכים את הפרש השטף בין המצב ההתחלתי למצב הסופי. קודם כל נחשב את השדה המגנטי של תיל אינסופי בעזרת חוק אמפר B = 4π c j 2πrB φ = 4π c I Φ i = B = 2I rc ˆφ b 0 dz d+a d ואז השטף במצב ההתחלתי הוא: dr 2I rc = 2Ib d+a dr c d r = 2Ib ( ) d + a c ln d בשביל החישוב בסוף כל מה שצריך הוא להחליף את גבולות האינטגרציה ולקבל מידית: Φ f = 2Ib ( ) d a c ln d Q = 1 ( ) 2Ib d + a Φ = Rc Rc ln 2 d a 1 c Φ LI IR = 0 1 Φ L I R Q = 0 c בשביל סעיף ב' ניקח את הביטוי המלא ונבצע שוב אינטגרציה אחת לפי הזמן: אנחנו רואים שהאיבר עם L מופיע רק עם השינוי בזרם, אבל מכיוון שהמסגרת במנוחה בהתחלה ובסוף, הזם בשני המקרים אפס, ולכן L כלל לא משפיע על התוצאה, והתוצאה הקודמת עדיין נכונה. 2

55 בסעיף ג' = 0 :R 1 c Φ L I = 0 I = 1 cl Φ Q = Idt = 1 1 cl Φdt = cl Φ 1 ω dθ = 1 cωl Φdθ השתמשנו בעובדה שכמות השטף תלויה רק בזווית, והתשובה שקיבלנו היא שבמקרה זה כמות המטען שעוברת פרופרוצינלית הפוך למהירות הזוויתית. C 0 = ϵ S 4πd 3 קבל ונוזל הקיבול של קבל לוחות עם חומר דיאלקטרי הוא: לאחר שחלק מהנוזל נכנס לתוך הקבל, ניתן לחשוב עליו כחיבור במקביל של שני קבלים, אחד ללא חומר דיאלקטרי ואחד עם חומר דיאלקטרי: C = a(a h) 4πd + ϵ ah 4πd = a2 + (ϵ 1)ah 4πd כדי לחשב את הכוח שמעלה את החומר הדיאלקטרי, ניתן לגזור את האנרגיה לפי גובה הנוזל h, כאשר Q קבוע (מכיוון שנתון לנו שהקבל טעון מראש, והוא לא מחובר לאף מוליך): U = 1 2C Q2 F y = h U = = (ϵ 1)a 4πd F g = ρadhg (ϵ 1)a 4πd Q 2 Q 2 2C 2 ( ) C h C U = F g + F y = 0 2C 2 ρadhg = 0 ( ) ) (ϵ 1)a ( Q2 4πd Q 2 C = 8πdρadhg 2 (ϵ 1)a = 8πρhd2 g (ϵ 1) V = Q C = 8πρhd 2 g (ϵ 1) 2C 2 כוח הכובד הוא כמובן המסה שבפנים כפול g: וסכום הכוחות צריך להתאפס: 3

56 4 צפיפות מטען נפחית נשתמש במשוואת הרציפות, חוק אוהם בגרסא הדיפנציאלית, ומשוואת מקסוול בחומר: ρ t + j = 0 j = σ E ϵ E = 4πρ free 0 = ρ t + j = ρ t + σ E = ρ t + σ ϵ 4πρ ρ( r, t) = ρ( r, 0)e 4π σ ϵ t משלושת משוואות אלה ניתן להגיע לביטוי על צפיפות המטען: בשביל שדה מגנטי נשתמש במשוואת מקסוול עם הרוטור, צפיפות הזרם, וזרם ההעתקה: j t = 4π σ ϵ j B = 4π c j + 1 ϵe c t = 4π c j + 1 ϵ c t σ j = 4π c j 4π c j = 0 קיבלנו שזרם ההעתקה שווה בדיוק למינוס הזרם הרגיל, כך שסה"כ המערכת מתנהגת כאילו אין זרם ולכן השדה המגנטי הוא אפס. בשביל לחשב את השדה החשמלי, נשתמש בחוק גאוס. זו בעיה עם סימטריה כדורית לחלוטין. נפתור עבור זמן = 0 t קודם: 4πr 2 E r (0) = 4πρr 2 dr sin θdθdφ = 4πρ 0 4π sin(kr)r 2 dr E r (0) = 4πρ 0 r 2 = 4πρ 0 r 2 [ r2 k E r (t) = e 4π σ ϵ t E r (0) sin(kr)r 2 dr 2r cos(kr) + k sin(kr) + 2 2 k cos(kr) 2 ] 3 k 3 4

57 בהצלחה! תאריך הבחינה: 01.07.2014 שם המרצה: ליובלינסקי מיכאל שם המתרגל: דניאל הורוויץ שם הקורס: פיסיקה 2 מספר הקורס: 203-1-2371 שנה: 2014 סמסטר: ב' מועד: א' משך הבחינה: 4.5 שעות.1 20) נק), ρ= Ar נתון גליל אינסופי בעל רדיוס R אשר טעון בצפיפות מטען לא אחידה כאשר r הוא המרחק מציר הגליל ו A קבוע. א. חשב את השדה החשמלי בכל המרחב. ב. חשב את הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב. קבע בבירור את נקודת הייחוס של הפוטנציאל. 2R m ג. חלקיק נקודתי בעל מטען q+ ומסה מושחרר ממנוחה במרחק מציר הגליל. מצא את מהירות החלקיק במרחק 3R מהגליל. בשני הסעיפים הבאים, התעלם מהחלקיק הטעון. כך שלשני 2R ד. חשב את האנרגיה ליחידת אורך האצורה במערכת. ה. עוטפים את הגליל הטעון בגליל דק ומוארק, בעל רדיוס הגלילים ציר מרכזי משותף. מצא את פילוג המטען המשטחי על הגליל המוארק..2 20) נק). מוט מוליך באורך 0.2=L m מונח על מסילה כמתואר באיור. מסת המוט היא. 0.1=m kg למסילה מחובר נגד בעל התנגדות. R=10Ω קיים שדה מגנטי שכיוונו החוצה מהדף וגודלו. B=10mT מושכים את המוט ימינה במהירות קבועה v=2m/ s א. מהו הכח שיש להפעיל על המוט כדי שינוע במהירות הנתונה? ב. ברגע מסוים מפסיקים למשוך את המוט. רשום ביטוי עבור הזרם המושרה במעגל מרגע זה ואילך. ג. מה המרחק אשר יעבור המוט עד שייעצר? טל. 08-6461761 פקס. 08-6472908 ת.ד. 653 באר-שבע miriwiz@bgu.ac.il 84105

58 ד. חשב את ההספק על הנגד מהרגע בו הפסיקו למשוך את המוט. כמה אנרגיה בסך הכל נפלטה עד עצירת המוט?.3 20) נק) d, הנמצאות במרחק R נתון קבל העשוי משני לוחות עגולים (דיסקות דקות) ברדיוס. מצאו את האנרגיה I(t)=I 0 cosωt זו מזו. הקבל מחובר למעגל חשמלי עם מקור זרם הכוללת האצורה בקבל..4 20) נק) מטען חיובי q 1 ומטען שלילי ( q 1 מונחים על ציר ה x במרחק סופי זה > q 2 ), q 2 מזה. הציר מכוון מהמטען החיובי למטען השלילי. נתון קו שדה המחבר בין המטענים היוצא מהמטען החיובי בזווית א. מצא את הזווית θ 1 θ 2 מצא את הזווית המינימלית מסתיימים באינסוף במישור θ 0 ביחס לציר ה. x ביחס לציר ה x בה קו השדה יכנס למטען השלילי. אשר החל ממנה, קווי השדה היוצאים מהמטען החיובי. xy.5 30) נק) 1. נתון מוליך ובתוכו חלל ריק. האם ניתן לטעון את המוליך במטען? Q אם כן, תאר איכותית כיצד יתפלג המטען בתוך המוליך. לווה את התיאור בהסבר. 2. הראה כיצד ניתן לקבל את משוואות מקסוול בחומר אחיד בעל מקדם דיאלקטרי קבוע וקבוע מגנטי קבוע. היעזר במשוואות מקסוול בריק ובמושגים של פולריזציה ומגנטיזציה. טל. 08-6461761 פקס. 08-6472908 ת.ד. 653 באר-שבע miriwiz@bgu.ac.il 84105

59 3. הוכח כי גלים אלקטרומגנטיים בחומר יכולים להתקדם במהירות הנמוכה ממהירות האור בריק. 4. הוכיחו כי עבור שתי מסגרות נושאות זרם ההשראות ההדדית מקיימת. L 12 =L 21 5. מזרימים זרם ישר דרך תיל בעל התנגדות סופית. הוכיחו כי ההספק הנפלט על ידי התיל שווה למכפלת הגודל של וקטור פוינטינג בשטח מעטפת התיל (גליל העוטף את התיל וברדיוס של התיל). 6. גזרו ביטוי עבור מתח הול Voltage).(Hall φ= 1 h 1 φ u 1 ê 1 + 1 h 2 φ u 2 ê 2 + 1 h 3 φ u 3 ê 3 v= 1 h 1 h 2 h 3 ( ( h u 2 h 3 v 1 )+ (h 1 u 1 h 3 v 2 )+ (h 2 u 1 h 2 v 3) 3 ) h 1 ê 1 h 2 ê 2 h 3 ê 3 v= 1 h 1 h 2 h 3 u 1 u 2 u 3 h 1 v 1 h 2 v 2 h 3 v 3 נוסחאות: טל. 08-6461761 פקס. 08-6472908 ת.ד. 653 באר-שבע miriwiz@bgu.ac.il 84105

66 מצאת טעות בחוברת? נשמח לדעת! שלח לנו מייל עם הפרטים הרלוונטיים: מספר קורס, מועד מבחן... כל פרט שיוכל לעזור לנו לאתר את הבחינה. exam@aguda.bgu.ac.il הידעת? חוברת מבחנים זו הוכנה ממבחנים שאתם הסטודנטים שלחתם לנו במהלך השנה. למדת? קיבלת מעל 90? שלח לנו את הבחינה ואולי היא תופיע בחוברת של הסמסטר הבא! לפרטים, היכנס לאתר האגודה < בנק הבחינות והסיכומים ותקבל צ'ופרים שווים! www.bgu4u.co.il מדור אקדמיה

67 חוברת מבחנים זו מובאת אליכם באדיבות מדור אקדמיה של אגודת הסטודנטים בעיות אקדמיות? מועד ג'? וועדת משמעת? מילואים? חוברת מבחנים? הפסקת לימודים? סיכומים? מדור אקדמיה פה בשבילך! שירותי המדור: סיוע אקדמי ליווי ויצוג בבתי דין משמעתיים מאגר בחינות משנים קודמות מאגר סיכומים של סטודנטים ספריית השאלה במחירים מגוחכים קורסי הכנה תמיכה במשרתי מילואים לקבלת סיוע אקדמי, היכנס לאתר האגודה- אקדמיה- פניה לנציג אקדמיה מענה מובטח תוך יום עבודה! www.bgu4u.co.il בית הסטודנט, קומה 1, חדר 161