Γραμμικός Προγραμματισμός

5 Γραμμικός Προγραμματισμός 5. Εισαγωγή... 5. Εισαγωγικό παράδειγμα... 5.. Παρουσίαση προβλήματος... 5.. Μορφοποίηση προβλήματος... 5.. Χώρος πολιτικής... 5.. Βέλτιστη λύση... 6 5. Θεωρητική ανάπτυξη... 7 5.. Μαθηματικό μοντέλο... 7 5.. Προϋποθέσεις... 9 5.. Ορισμοί... 5. Αλγόριθμος smple... 5.. Γενική παρουσίαση αλγορίθμου... 5.. Θεμελιώδεις αρχές... 5.. Αναλυτική περιγραφή smple... 5 5.. Αλγεβρική διατύπωση smple... 8 5..5 Αλγεβρική επίλυση εισαγωγικού παραδείγματος... 5..6 Πινακοποιημένη smple... 5..7 Παράδειγμα με πινακοποιημένη smple... 7 5..8 Ιδιότητες πινάκων smple... 5..9 Παρατηρήσεις... 6 5.5 Παραλλαγές smple... 8 5.5. Γενικά... 8 5.5. Εισαγωγή περιορισμών... 9 5.5. Πρόβλημα ελαχιστοποίησης... 5.5. Μεταβλητές χωρίς περιορισμό μη-αρνητικότητας... 5.6 Παραδείγματα... 5 5.6. Διαχείριση γεωργικής παραγωγής... 5 5.6. Προγραμματισμός μονάδας βιολογικού καθαρισμού... 8 5.6. Παραγωγή ενέργειας & προστασία περιβάλλοντος... 5 5.7 Εφαρμογές... 57 5.7. Σχεδιασμός υδραυλικών δικτύων... 57 // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα απο

5.7. Υδραυλικά προβλήματα μεταφοράς... 6 5.7. Έλεγχος ατμοσφαιρικής ρύπανσης... 6 5.7. Διαχείριση ποιότητας νερών... 7 5.7.5 Μοντέλα γεωργικής ανάπτυξης... 77 5.8 Ασκήσεις... 87 5.8. Προστασία οικοσυστήματος... 87 5.8. Υδροδότηση κωμοπόλεων... 87 5.8. Άρδευση από υπόγειο και επιφανειακό υδροφορέα... 88 5.8. Βελτιστοποίηση διάθεσης αστικών αποβλήτων... 89 5.8.5 Βελτιστοποίηση διάθεσης βιομηχανικών αποβλήτων... 9 5.8.6 Επαναχρησιμοποίηση επεξεργασμένων λυμάτων... 9 5.8.7 Αναπτυξιακό σχέδιο παραποτάμιας περιοχής... 9 5.8.8 Καθαρισμός ομβρίων υδάτων... 9 5.8.9 Προστασία λιμναίου οικοσυστήματος... 96 5.8. Περιβαλλοντική διαχείριση υδατορρεύματος... 97 5.9 Βιβλιογραφία... Copyrght Μάρκος Μποναζούντας Δέσποινα Καλλιδρομίτου Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων Ηρώων Πολυτεχνείου 9 578 Πολυτεχνειούπολη Τηλ: -7788 Φαξ: -77898 bonzoun@centrl.ntu.gr Verson Dte Νοεμβρίου Verson 9:5 πμ/μμ Fle nme 5 lner.doc // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα απο

5. Εισαγωγή Το μαθηματικό μοντέλο του Γραμμικού Προγραμματισμού (ΓΠ, Lner Progrmmng, LP) επιλύει το πρόβλημα βέλτιστης κατανομής πόρων κάτω από περιορισμούς (constrnts). Στο ΓΠ οι συναρτήσεις και οι παράμετροι είναι γραμμικοί όροι. Τα περισσότερα προβλήματα υδατικών πόρων και περιβάλλοντος δεν είναι γραμμικά, γι αυτό γραμμικοποιούνται προσεγγιστικά ώστε να είναι δυνατή η επίλυση τους με ΓΠ. Για την επίλυση προβλημάτων έχουν αναπτυχθεί αλγόριθμοι και προγράμματα υπολογιστών (πχ. ΜPSX, IBM). 5. Εισαγωγικό παράδειγμα 5.. Παρουσίαση προβλήματος Αγροτική έκταση καλλιεργείται με δύο καλλιέργειες: καλαμπόκι (Ι) και φασόλι (ΙΙ). Σε κάθε μια από τις καλλιέργειες εφαρμόζονται δύο λιπάσματα: φωσφορική αμμωνία Α:--/[Ν]-[P]-[Κ]) και μικτό Β:-5-5/[Ν]-[Ρ]- [Κ]). Η γεωργική έκταση βρίσκεται πλησίον λίμνης που αποτελεί βιότοπο της περιοχής, γι αυτό η τοπική διοίκηση θέσπισε κριτήρια περιβαλλοντικής προστασίας με ανώτατες εφαρμοζόμενες ποσότητες λιπασμάτων ανα περίοδο καλλιέργειας: kg από το λίπασμα Α και kg από το Β. X (I): καλαμπόκι kg:5kga,kgb kg 6euro Α[//] kg B[/5/5] kg X (ΙΙ):φασόλι kg:kga,kgb kg 8euro mz6 +8 s.t. 5 + + + Για την παραγωγή kg προϊόντος από την καλλιέργεια (Ι) απαιτούνται 5kg από το λίπασμα Α και kg από το Β. Αντίστοιχα, για την παραγωγή kg προϊόντος από την καλλιέργεια (ΙΙ) απαιτούνται kg από το Α και kg από το Β. Η πώληση του προϊόντος από την καλλιέργεια (Ι) αποφέρει κέρδος 6 Euro/kg ενώ η πώληση από την (ΙΙ) αποφέρει 8 Euro/kg. Να προγραμματιστεί παραγωγή καλλιεργειών που να μεγιστοποιεί το κέρδος παραγωγής κάτω από τους περιβαλλοντικούς περιορισμούς. 5.. Μορφοποίηση προβλήματος Το πρόβλημα είναι δύο μεταβλητών απόφασης (decson vrbles) και. Η πρώτη μεταβλητή εκφράζει την παραγόμενη ποσότητα από την // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα απο

καλλιέργεια (Ι) και η δεύτερη την παραγόμενη ποσότητα από την καλλιέργεια (ΙΙ). Η αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος (obectve functon) περιγράφει τον στόχο παραγωγής που αντιστοιχεί στη μεγιστοποίηση του κέρδους απο την παραγωγη, ή όπου Z συνάρτηση κέρδους, μεταβλητές απόφασης m Z 6 + 8 (5-) Οι παραπάνω συναρτήσεις ικανοποιούνται κάτω από ένα σύνολο περιορισμών (subect to, s.t.) που αφορά στην παραγωγή και στην χρήση λιπασμάτων, ή 5 + + (5-), Ο τελευταίος περιορισμός θετικότητας δεν υπαγορεύεται από τις συνθήκες του προβλήματος αλλά προκύπτει από την φυσική ερμηνεία των μεταβλητών, και είναι απαραίτητος σε κάθε πρόβλημα ΓΠ. 5.. Χώρος πολιτικής Το παράδειγμα περιέχει δύο μόνο μεταβλητές απόφασης, γεγονός που καθιστά δυνατή την αναζήτηση της βέλτιστης λύσης γραφικά. Η λύση αναζητείται στο χώρο πολιτικής (polcy domn) (Σχήμα 5-). Ο χώρος πολιτικής διαμορφώνεται από τους περιορισμούς και περικλείει τις επιτρεπόμενες βέλτιστες τιμές. Οι περιορισμοί, προσδιορίζουν το θετικό μέρος του γραφήματος ανατολικά και βόρεια των αξόνων. Οι περιορισμοί 5 + και + απεικονίζονται σαν ισότητες για την αναζήτηση του χώρου πολιτικής, ή 5 + και + (5-) Με βάση τα παραπάνω καθορίζονται οι οριακές ευθείες έξω από τις οποίες το πρόβλημα δεν έχει λύση. Όταν απεικονιστούν όλοι οι περιορισμοί στο // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα απο

γράφημα, τότε δημιουργείται ο χώρος πολιτικής, στις κορυφές του οποίου αναζητείται η βέλτιστη λύση. Αν δεν είναι δυνατή παραγωγή πάνω από kg εβδομαδιαίως από τις καλλιέργειες (Ι) και (ΙΙ) τότε το πρόβλημα έχει πρόσθετο περιορισμό + (5-) Στην περίπτωση αυτή ο χώρος πολιτικής που ορίζεται από τους δύο πρώτους περιορισμούς δεν μεταβάλλεται με την εισαγωγή του τρίτου (διακεκομμένη ευθεία στο Σχήμα 5-) καθότι περικλείεται στον ίδιο χώρο. Συνεπώς θεωρείται περιττός και παραλείπεται. 8 8 Μη οριζόμενος χώρος πολιτικής X 6 5X+X< X+X< X 6 A X+X> Χώρος πολιτικής X+X< 6 8 X () 5X+X< X+X< 6 8 X (b) X 8 6 5X+X> Μη πεπερασμένος χώρος πολιτικής X 8 6 5X+X< X+X> 6 8 X (c) A X+X< Z Z Z5 6 8 X (d) Σχήμα 5- Γραφική επίλυση προβλήματος Για ένα μικρό αριθμό μεταβλητών και περιορισμών όπως στο παράδειγμα, η παράλειψη περιορισμού είναι εφικτή όταν αναγνωρίζεται η βαρύτητά του // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 5 απο

στη λύση. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο σε προβλήματα όμως πολλών μεταβλητών ή περιορισμών διότι δυνατόν να υπάρχει επίπτωση στην λύση. Αν ίσχυε ο περιορισμός ότι η παραγωγή υποχρεούται να αποδώσει τουλάχιστον kg ποσότητας προϊόντος από τις καλλιέργειες, τότε + (5-5) Στην περίπτωση αυτή το πρόβλημα δεν έχει λύση επειδή δεν ορίζεται χώρος πολιτικής που να ικανοποιεί όλους τους περιορισμούς (Σχήμα 5-b). Εάν δεν ισχύει το κριτήριο μη-αρνητικότητας, δηλαδή εάν δεν υπάρχει κοινός χώρος πολιτικής στο πρώτο τεταρτημόριο, τότε το πρόβλημα δεν έχει δυνατή λύση. Τέλος, στην περίπτωση που οι αρχικοί περιορισμοί είναι 5 + +, (5-6) τοτε ο χώρος πολιτικής ορίζεται στο άπειρο και το πρόβλημα δεν έχει πεπερασμένη λύση (Σχήμα 5-c). 5.. Βέλτιστη λύση Στόχος είναι η εύρεση σημείου του χώρου πολιτικής όπου μεγιστοποιείται η συνάρτηση. Η ανάλυση ολοκληρώνεται με δόκιμες. Η αντικειμενική συνάρτηση Z 6 + 8 είναι ευθεία εφόσον δοθεί συγκεκριμένη τιμή στη Ζ, όπως πχ., για Z είναι + 8 6 (Σχήμα 5-). Για τιμές Z, Z,..., Z n λαμβάνονται παράλληλες ευθείες. Αν μετακινηθεί η Ζ δεξιά στο χώρο πολιτικής, η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αυξάνεται και Z > > (5-7) Z Z Η βέλτιστη λύση συμπίπτει με την μέγιστη τιμή που λαμβάνει η αντικειμενική συνάρτηση στο χώρο πολιτικής, δηλαδή την τιμή που λαμβάνει η Ζ όταν διέρχεται από το σημείο Α, την κορυφή του χώρου. Το σημείο Α έχει συντεταγμένες οριζόμενες από την τομή δύο ευθειών περιορισμών // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 6 απο

(, ) (,5,,75) Στην τομή η αντικειμενική συνάρτηση λαμβάνει τιμή Z 5 που είναι η βέλτιστη λύση m Z Z * 5 Αν η ευθεία κάποιου περιορισμού είναι παράλληλη προς την αντικειμενική συνάρτηση, το πρόβλημα έχει άπειρες ίσες βέλτιστες λύσεις εφόσον όλα τα σημεία της ευθείας περιορισμού-αντικειμενικής συνάρτησης αποτελούν βέλτιστη λύση (Σχήμα 5-d). Τέλος, το πρόβλημα ελαχιστοποίησης (mnmzton) αντιμετωπίζεται όπως το πρόβλημα μεγιστοποίησης. Αν δηλαδή αναζητηθεί η ελάχιστη τιμή της mn Z 6 + 8 τότε οι παράλληλες ευθείες της Ζ θα μετακινηθούν προς τα αριστερά, έως ότου συναντηθούν με την κορυφή του χώρου πολιτικής που δίνει την ελάχιστη τιμή για την αντικειμενική συνάρτηση. 5. Θεωρητική ανάπτυξη 5.. Μαθηματικό μοντέλο Η ανάλυση ΓΠ έχει στόχο τον προσδιορισμό των τιμών των μεταβλητών απόφασης (decson vrbles,,,..., n ) που μεγιστοποιούν ή ελαχιστοποιούν την αντικειμενική συνάρτηση (ΑΣ) m/ mn Z c + + + (5-8) c... c n n Ταυτόχρονα οι μεταβλητές απόφασης πρέπει να ικανοποιούν τους περιορισμούς (constrnts) + + +... n n (,, ) b + +... + n n (,, ) b + m m,,..., n +... + mn n (,, ) b m (5-9) // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 7 απο

όπου (,..., n) μεταβλητές απόφασης, c (,..., n), (,..., m,,..., n) και b (,..., m) σταθερές ή παράμετροι προβλήματος. Το πρόβλημα έχει n μεταβλητές απόφασης και m περιορισμούς. Για όλες τις μεταβλητές ισχύει ο περιορισμός μη-αρνητικότητας για κάθε,..., n (5-) Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι δυνατόν οι μεταβλητές απόφασης να λάβουν αρνητικές τιμές ( 5.5.), δηλαδή να μη ισχύει. Στην περίπτωση αυτή κάθε μεταβλητή αντικαθίσταται με την διάφορα δύο νέων μεταβλητών που λαμβάνουν μόνο μη-αρνητικές τιμές όπου και (5-) Σε κάθε μια από τις παραπάνω σχέσεις ισχύει μόνο ένα από τα σύμβολα ισότητας ή ανισότητας. Εάν όλοι οι περιορισμοί τεθούν υπό την μορφή ισότητας τότε προκύπτει η τυποποιημένη ή κανονική μορφή (stndrd form). Συνοπτικά το μοντέλο ΓΠ γράφεται s.t. m/ mn Z c + + + c... c n n + +... + n n (,, ) b για,,..., m για κάθε,,..., n (5-) Σε διανυσματική μορφή το γενικό πρόβλημα ΓΠ διατυπώνεται ως εξής (Hmes, 977): Να προσδιοριστεί το διάνυσμα X T (,,..., n ) που βελτιστοποιεί το σύστημα: όπου m/ mn s.t. T { f () (C, ) } και A b T C διάνυσμα σειράς (row vector) διαστάσεων n X διάνυσμα στήλης (column vector) διαστάσεων n A μητρώο συντελεστών διαστάσεων m n b διάνυσμα σταθερών στήλης διαστάσεων m (5-) // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 8 απο

[ c,c,...,c ] T C n,, A m, X.,. n m,,............ n mn b b b. b m (5-) Για να υπάρχει μία και μοναδική λύση του συστήματος A b, πρέπει ο αριθμός των αγνώστων να είναι ίσος με το αριθμό των ανεξαρτήτων εξισώσεων. Λύση είναι η A b. Στο ΓΠ το μητρώο A κατά κανόνα δεν είναι τετραγωνικό και έτσι δεν υπάρχει μονοσήμαντη λύση. Ο αριθμός μεταβλητών απόφασης n είναι συνήθως μεγαλύτερος από τον αριθμό περιορισμών, ή m n. Έτσι το πρόβλημα συνίσταται στην επίλυση της μητρωϊκής εξίσωσης A b, όπου το A είναι μητρώο διαστάσεων m n και το διάνυσμα X περιέχει n στοιχεία. 5.. Προϋποθέσεις Στο μαθηματικό μοντέλο ΓΠ πρέπει να ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις αναλογικότητας, προσθετικότητας, διαιρετότητας, και προσδιοριστικότητας (Hller & Lebermn 97, Ξηρόκωστας 98). () Αναλογικότητα (proportonlty) Η αντικειμενική συνάρτηση και οι περιορισμοί του προβλήματος πρέπει να είναι γραμμικές συναρτήσεις. Αυτό συνεπάγεται ότι η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης και η χρησιμοποίηση των διαθέσιμων μέσων είναι ποσά ανάλογα προς τις ποσότητες κάθε δραστηριότητας. Για την επεξήγηση της αναλογικότητας θεωρείται μια οποιαδήποτε από τις n δραστηριότητες, έστω η k, έτσι ώστε για,,..., n εκτός από την k. Εάν το μέγεθος της αποδοτικότητας Z είναι ίσο με c k k και η // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 9 απο

χρήση κάθε πόρου ίση με k k, τότε τα μεγέθη αποτελούν ποσότητες απευθείας ανάλογες με το επίπεδο της δραστηριότητας k (k,,..., n). Συνεπώς το κέρδος από κάθε δραστηριότητα,,..., n είναι ανάλογο της δραστηριότητας, δηλαδή ανάλογο του c, και η επιρροή στους περιορισμούς επίσης ανάλογη του. Το γεγονός προϋποθέτει ότι όλες οι συναρτήσεις πρέπει να λαμβάνουν συνεχείς τιμές στο χώρο πολιτικής. Αν οι μεταβλητές λαμβάνουν μόνο ακέραιες ή διακριτές τιμές, ή αν η συνάρτηση κόστους κάποιας μεταβλητής δεν είναι συνεχής, τότε η επίλυση δεν μπορεί να γίνει με ΓΠ. Στην περίπτωση αυτή απαιτείται χρήση ακέραιου, χωριζόμενου ή άλλου τύπου προγραμματισμού. () Προσθετικότητα (ddtvty) Η αναλογικότητα δεν εξασφαλίζει τη γραμμικότητα της αντικειμενικής συνάρτησης. Στην περίπτωση που υπάρχουν αλληλεπιδράσεις μεταξύ δραστηριοτήτων που τροποποιούν το κέρδος από κάθε δραστηριότητα ή την ολική χρήση των πόρων, οι συναρτήσεις παύουν να είναι γραμμικές. Η προσθετικότητα ορίζει ότι το κέρδος από τις δραστηριότητες (,,..., n ) είναι ίσο με το άθροισμα των επί μέρους κερδών F(,,..., ) F( ) + F( ) +... F( ) (5-5) n + Αντίστοιχο κριτήριο ισχύει και για τους περιορισμούς. Η προσθετικότητα δεν ισχύει όταν η εκτέλεση μιας δραστηριότητας εμφανίζεται σαν προϋπόθεση για την πραγματοποίηση μιας άλλης. Σαν παράδειγμα αναφέρεται η παραγωγή υποπροϊόντος με πρώτη ύλη που έχει χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή κυρίου προϊόντος. Στην περίπτωση αυτή η συνολική απαίτηση σε πρώτες ύλες για την παραγωγή του υποπροϊόντος και του προϊόντος είναι μικρότερη από ότι αν η παραγωγή γίνει χωριστά. () Διαιρετότητα (dvsblty) Ορισμένες φορές οι μεταβλητές απόφασης έχουν φυσική σημασία μόνο όταν εκφράζονται με ακέραιες τιμές. Εντούτοις σε πολλά προβλήματα η λύση που επιτυγχάνεται δεν είναι ακέραια. Η διαιρετότητα εκφράζει την ικανότητα κατανομής των δραστηριοτήτων σε ποσοστιαία επίπεδα έτσι ώστε να επιτυγχάνονται μη ακέραιες τιμές των μεταβλητών απόφασης. Σε αντίθετη περίπτωση πρέπει να γίνει χρήση μοντέλου ακέραιου n // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα απο

προγραμματισμού (Κεφάλαιο 7) ή άλλου προγραμματισμού και όχι κατά προσέγγιση στρογγύλευση αποτελεσμάτων που προκύπτουν από τον ΓΠ. () Προσδιοριστικότητα (determnstc property) Η προσδιοριστικότητα συνεπάγεται πως οι παράμετροι του μοντέλου είναι γνωστές και σταθερές ποσότητες, γεγονός που δύσκολα συμβαίνει στην πραγματικότητα. Το μοντέλο ΓΠ προσομοιώνει καταστάσεις που συνεπάγονται λήψη αποφάσεων με βαθμό αβεβαιότητας (uncertnty). Το γεγονός υποδηλώνει ότι οι παράμετροι του μοντέλου δεν έχουν σταθερή τιμή. Η διερεύνηση της αξιοπιστίας του μοντέλου συναρτήσει των παραμέτρων αναλύεται με μεθόδους που αναφέρονται στο Κεφάλαιο 9 (Ανάλυση ευαισθησίας). Σε πολλές περιπτώσεις ο βαθμός αβεβαιότητας είναι μεγάλος ώστε καθίσταται αναγκαίο να θεωρηθεί ότι οι μεταβλητές ακολουθούν κατανομή πιθανότητας (Κεφάλαιο, Στοχαστικός προγραμματισμός). 5.. Ορισμοί Οι αλγόριθμοι επίλυσης γραμμικών μοντέλων (πχ. smple) εκμεταλλεύονται ιδιότητες του χώρου πολιτικής που απλοποιούν την υπολογιστική διαδικασία. Η βασική ορολογία που χρησιμοποιείται στην ανάλυση είναι: Ευθύγραμμο τμήμα (segment): Αν οι συντεταγμένες δύο σημείων P () () και P δίδονται από τα διανύσματα X και X, τότε το ευθύγραμμο τμήμα που τα συνδέει αποτελείται από το σύνολο των σημείων P ( µ ) των οποίων οι συντεταγμένες δίδονται από τον γραμμικό συνδυασμό X ( µ ) ( µ ) X + µ X () () όπου,,..., n και µ [,] (5-6) Κυρτός χώρος (conve domn): Τα σημεία P,P,..., Pn συνόλου σχηματίζουν κυρτό χώρο όταν για κάθε ζεύγος P και P αυτού, το τμήμα που τα συνδέει ανήκει επίσης στο σύνολο. Τμήματα εκτός κυρτού χώρου δεν περικλείουν κυρτά set (σύνολα) διότι είναι δυνατή η επιλογή τουλάχιστον ενός ζεύγους σημείων τέτοιων // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα απο

P Κυρτοί χώροι P ώστε όχι κάθε σημείο του τμήματος που τα ενώνει να ανήκει στο set. Παραδείγματα κυρτών και μη κυρτών χώρων φαίνονται στο Σχήμα 5-. P P Μη-κυρτοί χώροι Σχήμα 5- Τύποι χώρων πολιτικής Κορυφή (verte ή etreme pont) καλείται το σημείο κυρτού set το οποίο δεν κείται στο τμήμα που ενώνει δύο άλλα σημεία του συνόλου, όπως πχ. η περιφέρεια κύκλου ή οι κορυφές πολυγώνου. Οι παρακάτω ορισμοί αναφέρονται στις λύσεις του ΓΠ: Λύση (soluton) θεωρείται κάθε διάνυσμα X που ικανοποιεί τους περιορισμούς (όχι αναγκαστικά και περιορισμούς μη-αρνητικότητας). Δυνατή λύση (fesble soluton) θεωρείται κάθε διάνυσμα X που ικανοποιεί όλους τους περιορισμούς, δηλαδή και τους περιορισμούς μηαρνητικότητας. Συνεπώς κάθε σημείο του χώρου πολιτικής αποτελεί δυνατή λύση του προβλήματος. Βέλτιστη δυνατή λύση (optml fesble soluton) ή βέλτιστη λύση καλείται εκείνη που μεγιστοποιεί ή ελαχιστοποιεί την ΑΣ. Δυνατή λύση ακραίου σημείου (corner-pont fesble soluton) είναι κάθε δυνατή λύση που δεν κείται σε ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο άλλες δυνατές λύσεις, δηλαδή κάθε λύση που βρίσκεται σε κορυφή ή γωνία του χώρου πολιτικής. Η βέλτιστη λύση του προβλήματος βρίσκεται σε ακραίο σημείο του χώρου πολιτικής ( 5..). Γειτονικές ακραίες δυνατές λύσεις (dcent corner-pont fesble solutons) καλούνται δύο ακραίες δυνατές λύσεις εφόσον η ευθεία που τις ενώνει αποτελεί εξίσωση ορίου για τον χώρο πολιτικής. Επαυξημένη λύση (ugmented soluton) καλείται η λύση ισοδύναμου προβλήματος ανισότητας (,,..., ) το οποίο έχει επαυξηθεί με n // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα απο

μεταβλητές απόκλισης ( n +, n+,... ) ώστε να προκύπτει πρόβλημα ισότητας (,,..., + ). n m Βασική λύση (bsc soluton) ονομάζεται κάθε ακραία επαυξημένη λύση. Κάθε βασική λύση μπορεί να είναι δυνατή ή μη. Βασική δυνατή λύση (bsc fesble soluton) είναι η βασική λύση της οποίας οι m βασικές μεταβλητές είναι μη αρνητικές ( ). Μια βασική δυνατή λύση θεωρείται εκφυλισμένη (degenerted) αν κάποιες από τις m βασικές μεταβλητές έχουν μηδενική τιμή. Εξισώσεις ορίων (boundry equtons): Για κάθε περιορισμό, η εξίσωση ορίων αποκτάται εφόσον αντικατασταθεί το " " ή το " " με "". Οι εξισώσεις ορίων ορίζουν το χώρο πολιτικής. Γενικά η απεικόνιση μιας εξίσωσης ορίων έχει την μορφή + +... + n n b για τους ενεργούς περιορισμούς και για τους περιορισμούς μη-αρνητικότητας. Οι εξισώσεις ορίων καθορίζουν ένα υπερεπίπεδο (flt) ή γεωμετρικό σχήμα n-διαστάσεων, ανάλογο μιας ευθείας και ενός επιπέδου τριών διαστάσεων. Από τα παραπάνω συμπεραίνεται ότι το όριο μιας δυνατής περιοχής αποτελείται από τις δυνατές εκείνες λύσεις που ικανοποιούν μια ή περισσότερες εξισώσεις ορίων, ενώ η βέλτιστη λύση βρίσκεται μεταξύ αυτών των εξισώσεων. Ένα μοντέλο ΓΠ με n αρχικές μεταβλητές και m περιορισμούς έχει τουλάχιστον μία δυνατή λύση όταν m n (γραμμικό σύστημα m ανεξαρτήτων εξισώσεων με n αγνώστους) μοναδική λύση χωρίς βελτιστοποίηση αν m n άπειρες λύσεις όταν m n. Με την προσθήκη μεταβλητών απόκλισης, όπως περιγράφεται παρακάτω στον αλγόριθμο smple, προκύπτουν n + m μεταβλητές. Για κάθε ακραίο σημείο του χώρου πολιτικής m μεταβλητές έχουν τιμή διάφορη του μηδενός και καλούνται βασικές μεταβλητές (bsc vrbles), ενώ n έχουν μηδενική τιμή και καλούνται μη βασικές μεταβλητές (non bsc vrbles). Οι βασικές μεταβλητές αποτελούν το διάνυσμα βάσης. Πόρισμα: Ο αριθμός των εξ ορισμού μη μηδενικών μεταβλητών απόφασης ισούται με τον αριθμό των περιοριστικών εξισώσεων. // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα απο

5. Αλγόριθμος smple 5.. Γενική παρουσίαση αλγορίθμου Ο αλγόριθμος ή μέθοδος smple αναπτύχθηκε από τον Dntzg (Dntzg 95) και αποτελεί καθιερωμένη μέθοδο επίλυσης μοντέλων ΓΠ. Πρόκειται για επαναληπτικό σχήμα μέσω του οποίου βελτιώνεται σε κάθε βήμα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ώσπου να αποκτηθεί η βέλτιστη λύση. Η αναζήτηση της βέλτιστης λύσης στο χώρο πολιτικής πραγματοποιείται μέσω της συντομότερης διαδρομής. Η smple προγραμματίζεται εύκολα και ενδείκνυται για πολύπλοκα μοντέλα. Υπάρχει πληθώρα υπολογιστικών πακέτων ΓΠ με βάση την smple ή παραλλαγές της (πχ., MPSX). Για μικρά προβλήματα είναι δυνατή η επίλυση ακόμα και με το χέρι με χρήση μητρώων ( 5..6). 5.. Θεμελιώδεις αρχές Η smple βασίζεται σε θεμελιώδη θεωρήματα του ΓΠ τα σπουδαιότερα των οποίων παρατίθενται χωρίς απόδειξη. Θεώρημα : Ο αριθμός των βασικών δυνατών λύσεων συστήματος το οποίο πληρεί τις προϋποθέσεις του ΓΠ ( 5..) είναι πεπερασμένος. Το άνω όριο των βασικών λύσεων ενός συστήματος n μεταβλητών απόφασης και m περιορισμών ισούται με n! m!(n m)! (5-7) Άρα, εφόσον ο αριθμός των βασικών λύσεων είναι πεπερασμένος, κατά μείζονα λόγο είναι πεπερασμένος και ο αριθμός των βασικών δυνατών λύσεων. Θεώρημα : Το σύνολο των δυνατών λύσεων ορίζει ένα κυρτό κλειστό σύνολο, το χώρο πολιτικής. Θεώρημα : Κάθε βασική δυνατή λύση αντιστοιχεί σε ακραίο σημείο του κυρτού συνόλου (κορυφή του χώρου πολιτικής) και αντίστροφα, κάθε ακραίο σημείο αποτελεί βασική λύση του γραμμικού μοντέλου. // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα απο

Πόρισμα: Όταν δεν εμφανίζονται εκφυλισμένες βασικές λύσεις, υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ βασικών δυνατών λύσεων και κορυφών του χώρου πολιτικής. Θεώρημα : Εάν υπάρχει μια δυνατή λύση του προβλήματος ΓΠ, τότε υπάρχει και μια βασική λύση αυτού. Θεώρημα 5: (α) Αν υπάρχει μία και μόνο βέλτιστη λύση, αυτή θα κείται σε ακραίο σημείο του χώρου πολιτικής, δηλαδή θα ταυτίζεται με μια βασική δυνατή λύση. (β) Αν υπάρχουν περισσότερες από μία βέλτιστες λύσεις, τότε δύο τουλάχιστον από αυτές βρίσκονται σε γειτονικά ακραία σημεία. Πόρισμα: Εάν υπάρχει τουλάχιστον μία βέλτιστη δυνατή λύση που δεν είναι βασική, τότε υπάρχουν άπειρες βέλτιστες δυνατές λύσεις. Η περίπτωση αυτή εμφανίζεται όταν η αντικειμενική συνάρτηση είναι παράλληλη προς κάποιον περιορισμό. Τότε προκύπτουν άπειρες βέλτιστες λύσεις, εφόσον οποιαδήποτε λύση που κείται στο όριο αυτό δίνει την ίδια τιμή στη συνάρτηση. Θεώρημα 6: Αν κάποια ακραία δυνατή λύση είναι καλύτερη από όλες τις γειτονικές ακραίες λύσεις, τότε αυτή αποτελεί βέλτιστη λύση του προβλήματος. Το θεώρημα υποδηλώνει ότι η βέλτιστη λύση στον ΓΠ μπορεί να εντοπιστεί με απλή απαρίθμηση και σύγκριση όλων των ακραίων (βασικών) λύσεων. Ο αριθμός όμως των ακραίων λύσεων σε προβλήματα πολλών μεταβλητών και περιορισμών είναι μεγάλος (π.χ. σε ένα πρόβλημα με 5 μεταβλητές και 5 περιορισμούς προκύπτουν 9 ανεξάρτητα συστήματα προς επίλυση). Με smple επιτυγχάνεται σημαντικός περιορισμός του αριθμού των δυνατών λύσεων που εξετάζονται πριν από την κατάληξη στην βέλτιστη λύση. Συνεπώς για το ίδιο πρόβλημα, δεν απαιτούνται παρά μόνο περίπου επαναλήψεις μέχρι την εύρεση της βέλτιστης λύσης. 5.. Αναλυτική περιγραφή smple Η αντικειμενική συνάρτηση λαμβάνει βέλτιστη τιμή όταν διέρχεται από κορυφή του χώρου πολιτικής. Η συστηματική αναζήτηση των τιμών της αντικειμενικής συνάρτησης σε κάθε κορυφή του χώρου είναι επίπονη, ιδιαίτερα σε περιπτώσεις πολλών περιορισμών και μεταβλητών. Η smple προσφέρει τυποποιημένη επαναληπτική διαδικασία συστηματικής αναζήτησης του μεγίστου ή του ελαχίστου της αντικειμενικής συνάρτησης από κορυφή σε κορυφή του χώρου πολιτικής, με τον περιορισμό ότι ο χώρος πολιτικής είναι κυρτός. Για τον εντοπισμό της βέλτιστης λύσης απαιτούνται: // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 5 απο

Ένα μέσο εντοπισμού του αρχικού οριακού σημείου από όπου ξεκινά η προσέγγιση στον κυρτό χώρο. Ένα μέσο μεταφοράς από το ένα οριακό σημείο στο άλλο με το οποίο επιτυγχάνεται προοδευτική βελτίωση της τρέχουσας λύσης. Ένα μέσο αναγνώρισης της βέλτιστης λύσης όταν αυτή εντοπιστεί χωρίς να υπάρχει ανάγκη εξέτασης όλων των (υπολοίπων) οριακών σημείων. Σε ελάχιστες περιπτώσεις και σε μικρά προβλήματα είναι αναγκαία η εξέταση όλων των ακραίων λύσεων. Για την επίλυση προβλημάτων ΓΠ με smple πρέπει η αντικειμενική συνάρτηση και οι περιορισμοί να τεθούν στην κανονική ή πρότυπη μορφή. Ανάλογα με την παραλλαγή της χρησιμοποιούμενης smple, η κανονική μορφή παρουσιάζει μικροδιαφορές. Η γενική διάταξη όμως παραμένει ίδια. Ισχύουν τρεις βασικές προϋποθέσεις:. Όλοι οι σταθεροί όροι b πρέπει να είναι θετικοί. Αν δεν ισχύει αυτό κάθε περιορισμός με αρνητικό b πολλαπλασιάζεται με -.. Για την κατάστρωση της κανονικής μορφής προϋπόθεση αποτελεί η μετατροπή των ανισοτήτων των περιορισμών ( ή ) σε περιορισμούς ισότητας () με την εισαγωγή νέων μεταβλητών (μεταβλητές απόκλισης, slck/surplus vrbles).. Η κανονική μορφή της αντικειμενικής συνάρτησης (ΑΣ) θεωρείται ότι περιέχει τον σταθερό όρο c. Για τα περισσότερα προβλήματα ΓΠ ισχύει c, εφόσον δεν υπάρχει λόγος εισαγωγής σταθερού όρου σε αλγόριθμο βελτιστοποίησης. Η κανονική μορφή της ΑΣ είναι Z c (5-8) c... cn n c Μετά την διατύπωση του συστήματος στην κανονική μορφή ακολουθεί η επίλυση smple. Η διαδικασία αποτελείται από τα βήματα: Aρχικό βήμα: Καθορισμός και αρχή της διαδικασίας από μια οποιαδήποτε ακραία δυνατή λύση. Η αρχική ακραία λύση ταυτίζεται συνήθως με την αρχή (,,..., n ) (,,...,) του συστήματος αναφοράς. Με την προσθήκη των μεταβλητών απόκλισης (slck), οι αρχικές μεταβλητές (,,..., n ) επιλέγονται ως μη βασικές (non bsc) και οι μεταβλητές απόκλισης ( n +, n+,..., n+ m) ως βασικές για την αρχική βασική δυνατή λύση. Για μια αρχική διαδικασία k η // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 6 απο

* k υποψήφια λύση του είναι η. Εάν δεν επιτευχθεί βελτιστοποίηση, k * k δηλαδή εάν, τότε καθορίζεται μια νέα υποψήφια λύση +. Επαναληπτική διαδικασία: Σε κάθε επανάληψη η smple μεταφέρεται από την τρέχουσα βασική λύση (δυνατή λύση ακραίου σημείου) στην αμέσως πλησιέστερη βασική δυνατή λύση. Η διαδικασία περιλαμβάνει την αντικατάσταση μιας τρέχουσας βασικής μεταβλητής από μια μηβασική. Η μεταβλητή που φεύγει από τη βάση καλείται εξερχόμενη (levng bsc vrble) ενώ αυτή που την αντικαθιστά καλείται εισερχόμενη (enterng bsc vrble). Υποψήφιες εισερχόμενες μεταβλητές είναι όλες οι τρέχουσες n μη βασικές μεταβλητές. Αυτή που τελικά εκλέγεται αυξάνει την τιμή της από μηδέν (εξ ορισμού) σε κάποιο θετικό αριθμό, ενώ οι υπόλοιπες παραμένουν μηδενικές. Εφόσον με τη νέα βασική λύση πρέπει να βελτιωθεί η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, εκλέγεται η μεταβλητή εκείνη η οποία έχει τη μεγαλύτερη μοναδιαία αξία (το μεγαλύτερο συντελεστή c στην εξίσωση της ΑΣ). Με τον τρόπο αυτό επιτυγχάνεται ταχεία βελτίωση της λύσης σε κάθε επανάληψη. Ας σημειωθεί ότι το παραπάνω κριτήριο εισόδου δεν εξασφαλίζει πάντοτε τη μέγιστη βελτίωση στην αντικειμενική συνάρτηση. Οι περιορισμοί, οι οποίοι για λόγους απλούστευσης της διαδικασίας αμελούνται στο στάδιο αυτό, μπορεί να μη επιτρέπουν στην επιλεγείσα μεταβλητή τιμές τέτοιες που να βελτιώνουν τη συνάρτηση τόσο όσο άλλες μεταβλητές μικρότερης μοναδιαίας αξίας. Η μεταβλητή που εξέρχεται από τη βάση είναι εκείνη η οποία τείνει γρηγορότερα προς το μηδέν καθώς αυξάνει η τιμή της εισερχόμενης μεταβλητής. Με τον τρόπο αυτό εξασφαλίζεται η μη-αρνητικότητα των συντελεστών b και ο αλγόριθμος δεν οδηγείται σε μη-δυνατές λύσεις (παράδειγμα 5..5). Η αλγεβρική διατύπωση του άνω ορίου της εισερχόμενης μεταβλητής e όταν η τρέχουσα βασική μεταβλητή εξαντλεί τον περιορισμό μη αρνητικότητας είναι e + αν e b / e αν e > (5-9) Με βάση τα παραπάνω εκλέγεται η μεταβλητή για την οποία // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 7 απο

b mn (5-) e Μετά από την αντικατάσταση αυτή επιλύεται το νέο σύστημα με την μέθοδο Guss-Jordn και καθορίζονται η νέα βάση και η νέα τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης η οποία είναι πάντοτε καλύτερη από αυτή του προηγούμενου βήματος. Κανόνας πέρατος: Ο αλγόριθμος διακόπτεται όταν αναγνωριστεί η βέλτιστη λύση. Αυτό λαμβάνει χώρα όταν όλοι οι συντελεστές των μη βασικών μεταβλητών της αντικειμενικής συνάρτησης είναι αρνητικοί οπότε η τιμή της δεν αυξάνεται περαιτέρω. 5.. Αλγεβρική διατύπωση smple Έστω το μοντέλο ΓΠ με n μεταβλητές απόφασης και m περιορισμούς από τους οποίους m έχουν αρχικά την μορφή " ", m έχουν την μορφή και m είναι ισότητες "". Στους " " περιορισμούς προστίθενται μεταβλητές απόκλισης (slck) n+ h, h,..., m για τις οποίες ισχύει ο περιορισμός μη-αρνητικότητας: + για κάθε h,..., m (5-) n h Ο αρχικός περιορισμός γίνεται + +... + + + b (5-) n n n h Ομοίως από κάθε περιορισμό " " αφαιρείται μια μη αρνητική μεταβλητή απόκλισης (surplus) n+ m+ q, q,..., m ώστε η ανισότητα να μετατραπεί στην ισότητα + +... + n n n+ m+ q b (5-) Παρατηρήσεις Μια slck μεταβλητή απόκλισης αποτελεί μια ανεξάρτητη θετική μεταβλητή ελέγχου που υπεισέρχεται σε ανισότητα με περιορισμό " ". Μια surplus μεταβλητή απόκλισης αποτελεί μια θετική ανεξάρτητη μεταβλητή ελέγχου που υπεισέρχεται σε ανισότητα με περιορισμό " ". Surplus και slck μεταβλητή απόκλισης δεν βρίσκονται ποτέ μαζί σε μια εξίσωση. // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 8 απο

Οι μεταβλητές απόκλισης έχουν φυσική σημασία και εκφράζουν το πόσο απέχει κάθε λύση (και η βέλτιστη) από τον κάθε περιορισμό, δηλαδή κατά πόσον εξαντλείται κάθε οριακή εξίσωση (boundry equton). Οι περιορισμοί αυτοί παριστάνουν το μέρος του διαθέσιμου μέσου που παραμένει αχρησιμοποίητο (Hller & Lebermn 97, Ξηρόκωστας 98). Στους περιορισμούς που είναι αρχικά ισότητες δεν υπάρχει ανάγκη προσθήκης μεταβλητών απόκλισης. Μετά την προσθήκη των μεταβλητών απόκλισης το μητρώο των συντελεστών A έχει m μοναδιαίες στήλες + I και m μοναδιαίες στήλες I, οι οποίες προέρχονται αντίστοιχα από τους περιορισμούς και. Το μητρώο γράφεται: A m+, m+, m+ m, m+ m+, m+ m+,...... m+ m+ m,... m,... m, m+, m+,... m+ m, m+ m+, m+ m+,... m+ m+ m,.................................... n n... m,n m+,n m+,n m+ m,n... m+ m+,n m+ m+,n... m+ m+ m,n........................................................................ Το ίδιο διάνυσμα μεταβλητών γίνεται (,...,,,...,,,... ) (5-) T X n n+ n+ m n+ m+ n+ m+ m Κάθε μεταβλητή απόκλισης εμφανίζεται μόνο στην εξίσωση που χρησιμοποιείται για την μετατροπή της ανισότητας σε ισότητα. Στην αντικειμενική συνάρτηση θεωρείται ότι οι συντελεστές των μεταβλητών απόκλισης έχουν μηδενική τιμή, συνεπώς C T (c,c,...,c,,,...,) (5-5) n // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 9 απο

Η εισαγωγή των συντελεστών απόκλισης δεν μεταβάλλει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης εφόσον n n+ m+ m c c (5-6) Επειδή όλες οι εισαγόμενες μεταβλητές απόκλισης έχουν μηδενική μοναδιαία αξία, οι αντίστοιχες δραστηριότητες που περιγράφουν καλούνται ουδέτερες. Το πρόβλημα που διαμορφώθηκε μετά την εισαγωγή των μεταβλητών απόκλισης είναι ισοδύναμο με το αρχικό γιατί κάθε λύση που ικανοποιεί το πρόβλημα σε κανονική μορφή ικανοποιεί και το αρχικό πρόβλημα και αντίστροφα. Η smple περιγράφεται από μια αναρριχώμενη προσέγγιση (hll clmbng pproch) με μετακίνηση από το ένα οριακό σημείο στο άλλο. Κάθε νέα υποψήφια λύση επιλέγεται μέσω σύγκρισης των σχετικών τιμών της αντικειμενικής συνάρτησης. Τελικά επιλέγεται εκείνο το σημείο το οποίο μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση εξασφαλίζοντας ότι η νέα υποψήφια λύση αποτελεί δυνατή λύση που ικανοποιεί το σετ περιορισμών. Ισχύουν τα εξής: Αν η υποψήφια λύση ικανοποιεί το σετ περιορισμών A b και, αποτελεί βασική δυνατή λύση του συστήματος Z c. Κάθε υποψήφια λύση μπορεί να απεικονιστεί σαν διάνυσμα [ B, N ]. Το βασικό διάνυσμα υποψήφιας λύσης B γράφεται σαν συνάρτηση της μη βασικής μεταβλητής [ b A ] N B A B N N ή B AB b AB A N N (5-7) Η τιμή της Z εκφρασμένη σαν συνάρτηση των μη βασικών μεταβλητών N καθορίζεται με την αντικατάσταση της υποψήφιας λύσης στην αντικειμενική συνάρτηση Z c B [ A B b A B A N N ] + cn N αφού c [c,c ] (5-8) B N // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα απο

Η Ζ γράφεται Z c B A - B b + - [ cn cb AB A N ] N (5-9) Επειδή το N αποτελεί σετ μη βασικών μεταβλητών και όλα τα στοιχεία του είναι ίσα με το μηδέν, οι τιμές της υποψήφιας λύσης B για την επίλυση της Ζ καθορίζoνται εύκολα. Αν αντικατασταθεί το N στην εξίσωση (5-9) τότε B A B b και Z c AB b c B B B (5-) Από την παραπάνω ανάλυση φαίνεται ότι η υποψήφια λύση B και η επίλυση της αντικειμενικής συνάρτησης Ζ καθορίζονται από το βασικό μητρώο A B. Επίσης προκύπτει ότι στην smple η βασική δυνατή k υποψήφια λύση B υπάρχει εφόσον όλες οι βασικές δυνατές υποψήφιες λύσεις είναι μη αρνητικά διανύσματα. Κάθε στήλη του μητρώου A N μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των στηλών του βασικού μητρώου A B. Με άλλα λόγια, κάθε μη βασικό διάνυσμα ή στήλη του A N ως προς μια βάση μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων βάσης m N y B +... + ym Bm y B A B y (5-) 5..5 Αλγεβρική επίλυση εισαγωγικού παραδείγματος Το πρόβλημα της εισαγωγής έχει την μορφή m Z 6 + 8 s.t. 5 + +, (5-) Εισάγονται οι μεταβλητές απόκλισης (slck vrbles) 5 (5-) // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα απο

Μετά την πρόσθεση των μεταβλητών απόκλισης το μοντέλο καταστρώνεται στην κανονική του μορφή m Z 6 + 8 5 + +,,, s.t. + + (5-) Οι περιορισμοί μη αρνητικότητας δε λαμβάνονται υπόψη στην υπολογιστική διαδικασία καθώς ισχύουν εξ ορισμού. Επειδή ο αριθμός των μεταβλητών είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των εξισώσεων, το πρόβλημα έχει καταρχήν μη πεπερασμένο (άπειρο) αριθμό δυνατών λύσεων. Η μέθοδος αναζητά τη βέλτιστη λύση στις κορυφές του χώρου πολιτικής. Ως αρχική λύση του συστήματος θεωρείται η αρχή των αξόνων {, }. Επιλύοντας ως προς τις μη μηδενικές μεταβλητές Z + 6 + 8 5 (5-5) Εφόσον και, η αρχική λύση η οποία αντιστοιχεί στην κορυφή (,) της γραφικής παράστασης του Σχήματος 5- είναι Z,, (5-6) Στη δεύτερη επανάληψη βελτιώνεται η τιμή της ΑΣ αυξάνοντας την τιμή μιας από τις τρέχουσες μηδενικές (μη βασικές) μεταβλητές. Εκλέγεται η μεταβλητή η οποία έχει την μέγιστη μοναδιαία αξία ( c 8 ). Στη συνέχεια καθορίζεται πόση είναι η αύξηση που μπορεί να λάβει η. Εάν τεθεί η ίση με μηδέν, τότε η λαμβάνει την τιμή /. Η βασική μεταβλητή γίνεται (5-7) Συνεπώς η δεν μπορεί να εξέλθει από τη βάση. Αντίθετα, εάν τεθεί η ίση με μηδέν, τότε η λαμβάνει την τιμή /5 και η διατηρείται μηαρνητική ( ). Άρα η μεταβλητή που εξέρχεται από τη βάση είναι η // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα απο

, έτσι ώστε η μεταβολή της τιμής της εισερχόμενης μεταβλητής να είναι η ελάχιστη (/</). Επιλύοντας ως προς Z + 6 + 8 5 (5-8) Το νέο σύστημα, επιλυόμενο ως προς τη νέα βάση γράφεται Z + 5,5,5 + (5-9) Εφόσον και, η λύση μετά την πρώτη επανάληψη είναι: Z, 5, (5-) Η λύση αντιστοιχεί στην κορυφή (,5) της γραφικής παράστασης του Σχήματος 5-. Στη δεύτερη επανάληψη εφαρμόζεται το κριτήριο εισόδου και εκλέγεται ως εισερχόμενη μεταβλητή τη η οποία είναι και η μόνη που έχει θετική μοναδιαία αξία και μπορεί να βελτιώσει (αυξήσει) την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Η εξερχόμενη μεταβλητή καθορίζεται από το κριτήριο 5 mn, (5-),5 Άρα η μεταβλητή που εξέρχεται από τη βάση είναι η. Τότε το σύστημα γράφεται ως προς τη νέα βάση Z 5,5,5,5,5,5,75 +,5,65 + (5-) // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα απο

Εφόσον και, η λύση μετά την δεύτερη επανάληψη είναι Z 5,,5,,75 (5-) Η λύση αντιστοιχεί στην κορυφή (,5/,75) της γραφικής παράστασης του Σχήματος 5-. Δεδομένου ότι οι συντελεστές αξίας την μη βασικών μεταβλητών και είναι και οι δύο αρνητικοί, δεν επιτυγχάνεται περαιτέρω βελτίωση στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Το πρόβλημα έχει οδηγηθεί σε βελτιστοποίηση και ο αλγόριθμος διακόπτεται αυτόματα. Παρατήρηση: Είναι αναγκαίο, αν και στο παράδειγμα δε γίνεται εμφανές, να τηρείται μεγάλη ακρίβεια στους υπολογισμούς και να κρατώνται πολλά δεκαδικά ψηφία ώστε να αποφεύγονται σφάλματα στρογγύλευσης. Αποκλίσεις που θεωρούνται επουσιώδεις, συχνά οδηγούν σε λανθασμένα αποτελέσματα. 5..6 Πινακοποιημένη smple Η πινακοποιημένη smple χρησιμοποιείται στην πράξη για την επίλυση προβλημάτων με σχετικά μεγάλο αριθμό υπολογισμών (μεταβλητές απόφασης, περιορισμοί) και είναι ισοδύναμη με την αλγεβρική μορφή που δόθηκε στην προηγούμενη παράγραφο. Στην πινακοποιημένη προσέγγιση το σετ των εξισώσεων τοποθετείται με τις απαραίτητες πληροφορίες σε πίνακα (tbleu) που περιλαμβάνει:. τους συντελεστές των μεταβλητών. τις σταθερές του δεξιού τμήματος των εξισώσεων, και. τη βασική μεταβλητή που εμφανίζεται σε κάθε εξίσωση. Τέτοιος πίνακας είναι ο: Αριθμός Εξισ. Ζ n n + n + n + m Δεξιό Τμήμα ' ' ' -c - c -cn n b n b m m m mn b m // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα απο

Ο συμβολισμός στο παραπάνω σχήμα είναι κύρια αποδεκτός, καθότι δεν αναγράφονται τα σύμβολα των μεταβλητών κάθε εξίσωσης, ενώ γίνεται ευκρινής η παρουσίαση των αριθμών που λαμβάνουν μέρος στους υπολογισμούς. Η ποσότητα c' c z καλείται καθαρό οριακό εισόδημα και αποτελεί θεμελιώδες μέγεθος στη θεωρία ΓΠ ( 5..8). Στην smple καταστρώνεται ένας τέτοιος πίνακας για κάθε νέα βασική δυνατή λύση έως ότου εντοπιστεί η βέλτιστη. Η διαδικασία λαμβάνει χώρα κάτω από τους περιορισμούς του κανονικοποιημένου προβλήματος με b > για κάθε,,..., m. Στην αρχική διαδικασία επιλέγονται οι πραγματικές μεταβλητές (,,... n ) σαν αρχικές μη βασικές μεταβλητές ίσες με το μηδέν και οι μεταβλητές απόκλισης ( n +, n+,..., n+ m ) σαν αρχικές βασικές μεταβλητές. Επειδή κάθε εξίσωση περιέχει μια βασική μεταβλητή με συντελεστή +, κάθε βασική μεταβλητή ισούται με την σταθερά του δεξιού τμήματος της εξίσωσης που εμφανίζεται. Η βασική δυνατή λύση θεωρείται βέλτιστη αν και μόνον αν κάθε συντελεστής της ΑΣ είναι θετικός. Αν συμβαίνει αυτό, τότε σταματά η διαδικασία, διαφορετικά ακολουθείται επόμενο επαναληπτικό βήμα για τον εντοπισμό της επόμενης βασικής λύσης η οποία μετατρέπει μια μη βασική μεταβλητή σε βασική και αντίστροφα. Έτσι επιλύεται το πρόβλημα με την νέα λύση. Ο προσδιορισμός της βασικής μεταβλητής γίνεται με επιλογή της βασικής μεταβλητής με τον μεγαλύτερο αρνητικό συντελεστή. Η επιλογή επιδεικνύεται με την τοποθέτηση ενός συμβόλου κάτω από αυτόν τον συντελεστή που καθορίζει την κύρια στήλη (pvot column). Ο προσδιορισμός της εξερχόμενης βασικής μεταβλητής γίνεται ως εξής:. Eπιλογή κάθε συντελεστή στην κύρια στήλη που είναι θετικός (>). Διαίρεση των σταθερών συντελεστών b στην δεξιά πλευρά με καθένα από τους παραπάνω συντελεστές. Αναγνώριση του μικρότερου πηλίκου που προκύπτει από την παραπάνω διαδικασία. Eπιλογή της βασικής μεταβλητής γι αυτή την εξίσωση. Η επιλεγείσα σειρά στον πίνακα αποτελεί την κύρια σειρά (pvot row) ενώ η τομή της κύριας στήλης με την κύρια σειρά καθορίζει τον κύριο αριθμό (pvot number). // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 5 απο

Αρχική βασική δυνατή λύση Έλεγχος c' Βέλτιστη λύση ναι Είναι όλα τα c' όχι Επιλογή mnc μεταξύ των < Αόριστη λύση ναι Είναι όλα τα p όχι Ελεγχος b / p Επιλογή mn{ b / } b' p p / ' pp Καθορισμός νέας κανονικής μορφής Σχήμα 5-: Διάγραμμα επίλυσης smple με περιορισμούς " " Ο προσδιορισμός μιας νέας ικανής λύσης γίνεται με την κατάστρωση νέου πίνακα. Η αλλαγή του συντελεστή της νέας βασικής μεταβλητής σε + προκύπτει με διαίρεση της υπάρχουσας σειράς με τον κύριο αριθμό: Νέα Κύρια Σειρά (Παλαιά Κύρια Σειρά):(Κύριος Αριθμός). Η αφαίρεση της νέας βασικής μεταβλητής από τις άλλες εξισώσεις προκύπτει από το μετασχηματισμό: // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 6 απο

Νέα Σειρά (Παλαιά Σειρά)+(Κύριος Συντελεστής Στήλης) (Νέα Κύρια Σειρά) Η παραπάνω διαδικασία εφαρμόζεται για όλες τις σειρές του πίνακα εκτός της κύριας σειράς. Κύριος συντελεστής στήλης είναι ο αριθμός εκείνης της σειράς που ανήκει στην κύρια στήλη. Η παραπάνω διαδικασία σταματά όταν εντοπιστεί μία βέλτιστη λύση. Υπό μορφήν διαγράμματος ροής η επίλυση προβλήματος smple για περιορισμούς " " δίνεται στο Σχήμα 5-. 5..7 Παράδειγμα με πινακοποιημένη smple Με πρόσθεση των μεταβλητών απόκλισης το εισαγωγικό παράδειγμα τίθεται στην κανονική μορφή Z 6-8 s.t. + + 5 + +,,, (5-) Η αναζήτηση της πρώτης βασικής δυνατής λύσης γίνεται με τον ευκολότερο δυνατό τρόπο με χρήση των ιδιοτήτων του μοναδιαίου μητρώου των συντελεστών των μεταβλητών απόκλισης που παρουσιάζεται στο επαυξημένο μητρώο συντελεστών A. Δίνονται τιμές μόνο στις μεταβλητές απόκλισης και οι αρχικές μεταβλητές του προβλήματος λαμβάνουν μηδενική τιμή. Πρώτη δυνατή λύση είναι η, και που αντιστοιχεί στο ακραίο σημείο (,) του χώρου πολιτικής (Σχήμα 5-). Η λύση είναι εύκολα αναγνωρίσιμη από τις εξισώσεις του προβλήματος επειδή οι συντελεστές των μεταβλητών απόκλισης είναι μοναδιαίοι. Το μητρώο A είναι [ A, I] 5 (5-5) A όπου A το αρχικό μητρώο συντελεστών και I το μοναδιαίο μητρώο των μεταβλητών απόκλισης. Ισχύει A b, όπου b T (,) και X T (,,,) (5-6) Ο πρώτος πίνακας smple που δίνει την πρώτη βασική δυνατή λύση είναι: // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 7 απο

ος πίνακας Z b 5 (oς περιορισμός) (ος περιορισμός) -6-8 (ΑΣ) Η περαιτέρω διαδικασία έχει ως εξής: Ο ος πίνακας καταστρώνεται με τοποθέτηση σε στήλες ανά μεταβλητή των συντελεστών των περιορισμών και της αντικειμενικής συνάρτησης σε κανονική μορφή. Οι περιορισμοί μπορούν να τοποθετηθούν με οποιαδήποτε σειρά. Η αντικειμενική συνάρτηση πρέπει να βρίσκεται σε συγκεκριμένη θέση. Συνήθως επιλέγεται η πρώτη ή η τελευταία σειρά. Εδώ έχει επιλέγει η τελευταία σειρά. Η στήλη b αποτελεί την στήλη των σταθερών όρων, δηλαδή έχει τα σταθερά μέρη των εξισώσεων σε κανονική μορφή. Από τον αρχικό πίνακα προκύπτει η πρώτη λύση. Τιμές διάφορες του μηδενός έχουν μόνο τα μοναδιαία διανύσματα κάθε πίνακα, δηλαδή στην περίπτωση αυτή τα, και η Z. Η τιμή τους προκύπτει από την τιμή του b στην γραμμή που έχουν μοναδιαίο συντελεστή. Δηλαδή, και Z. Τα και έχουν μηδενική τιμή. Ο ος πίνακας αντιστοιχεί στην κορυφή (,) της γραφικής παράστασης του Σχήματος 5-. Η διαδικασία βελτίωσης της πρώτης βασικής λύσης ακολουθεί τα βήματα που περιγράφονται στη θεωρία. Από τα μη βασικά διανύσματα και κάποιο πρέπει να λάβει τιμή. Επειδή η smple επιδιώκει την μεγαλύτερη δυνατή βελτίωση της τιμής της ΑΣ, επιλέγεται η είσοδος στη βάση της μεταβλητής με το μικρότερο αρνητικό αριθμό στους συντελεστές της ΑΣ, δηλαδή η μεταβλητή που έχει συντελεστή -8. Η στήλη αποτελεί την κύρια στήλη (pvot column) του επόμενου πίνακα. Τα στοιχεία της κύριας στήλης συμβολίζονται με p (εδώ p). Για την επιλογή του διανύσματος που εξέρχεται από τη βάση διαιρούνται οι συντελεστές b των περιορισμών με τους συντελεστές // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 8 απο

της κύριας στήλης του πρώτου πίνακα. Για τον πρώτο περιορισμό προκύπτει / / ενώ για τον δεύτερο / / 5. b b Σαν κύρια γραμμή (pvot row) επιλέγεται εκείνη που ικανοποιεί το κριτήριο b b mn, > (5-7) p p Τα στοιχεία της γραμμής p συμβολίζονται με p. Στο παράδειγμα επιλέγεται η δεύτερη γραμμή (ος περιορισμός) σαν κύρια γραμμή. Η τομή της κύριας γραμμής με την κύρια στήλη δίνει το κύριο σημείο (pvot pont) pp, όπου pp. Συνεπώς το διάνυσμα που φεύγει από την βάση είναι το, δηλαδή το διάνυσμα που έχει μοναδιαία τιμή στη βασική γραμμή. Άρα στη νέα λύση είναι Ο νέος πίνακας σχηματίζεται ως εξής, > και, (5-8) Z b (η γραμμή) (η γραμμή) Ακολουθεί τοποθέτηση των συντελεστών του μοναδιαίου μητρώου εφόσον είναι γνωστή η θέση τους. Η κύρια γραμμή (η) προκύπτει με διαίρεση των συντελεστών της βασικής γραμμής με το pp : Z b ',5,5 5 ' Σαν παράδειγμα, το, 5 προκύπτει από την / /, 5. Τα υπόλοιπα στοιχεία του πίνακα pp ' προκύπτουν από τη σχέση όπου ( p p ) (5-9) + // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 9 απο

' ' p p η νέα και η παλιά τιμή στοιχείου στη θέση, η τιμή συντελεστή βασικής γραμμής στη στήλη στο νέο πίνακα η τιμή συντελεστή βασικής στήλης στη γραμμή στον παλαιό πίνακα Πχ. ( ) + (,5 ) + 5 p p ( p p ) + (,5 ( 8)) 6 Η ίδια διαδικασία ακολουθείται και για τους περιορισμούς και την ΑΣ ( b p p ) + b ( 5 ) + ( b ) + b ( 5( 8)) + b b p p (5-5) Με βάση τα παραπάνω καταστρώνεται ο δεύτερος πίνακας: ος Πίνακας Z b -,5,5 5 - Για τον δεύτερο πίνακα ισχύει, 5,,, Z. Η λύση αυτή αντιστοιχεί γραφικά στην κορυφή (,5) του Σχήματος 5-. Η νέα αυτή λύση δεν είναι βέλτιστη επειδή στην τελευταία γραμμή (αντικειμενική συνάρτηση) εξακολουθούν να εμφανίζονται αρνητικοί συντελεστές. Επιλέγεται η είσοδος του διανύσματος στη βάση με συντελεστή. Τότε: / /, 5 και / 5/,5. Εφόσον b / b / b b <, ως βασική γραμμή εκλέγεται η πρώτη και το διάνυσμα φεύγει από την βάση. Με βάση τα παραπάνω καταστρώνεται ο τρίτος πίνακας: ος Πίνακας Z b,5 -,5,5 // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα απο

-,5,65,75,5,5 5 Ο πίνακας δίνει την αναλυτική λύση,5,, 75, και m Z Z * 5 (5-5) και το γραφικό συσχετισμό στο σημείο (, ) (,5,,75) του Σχήματος 5-. Η λύση είναι βέλτιστη εφόσον δεν εμφανίζονται αρνητικοί συντελεστές στην τελευταία γραμμή, δηλαδή τα οριακά εισοδήματα είναι ίσα με μηδέν. Μνημονοτεχνικός κανόνας: Για την ευχερέστερη εκτέλεση των πράξεων με το χέρι ο Ξηρόκωστας (98) προτείνει τον κυκλικό κανόνα: p p pp p pp p p pp p pp p p Τα βέλη δείχνουν τη σειρά εκτέλεσης των πράξεων: () () p p () pp p () ' p pp 5..8 Ιδιότητες πινάκων smple Έστω σύστημα ΓΠ με n μεταβλητές και m περιορισμούς m Ζ c s.t. Α b (5-5) Μετά την εισαγωγή των μεταβλητών απόκλισης και την πινακοποίηση του συστήματος εισάγονται οι συμβολισμοί (Hller & Lebermn, 97): // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα απο

R k : k γραμμή στον αρχικό πίνακα smple ( k,,..., m ) R k : k γραμμή στον τρέχοντα πίνακα λόγω επαναληπτικής διαδικασίας R : k γραμμή στον τελικό πίνακα (πίνακας βέλτιστης λύσης). * k Η τιμή k αντιστοιχεί στη γραμμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Οι συντελεστές της γραμμής της ΑΣ συμβολίζονται με R [z - c, z - c,..., z n - c n, y, y,..., y m, y ] (5-5) όπου z καθαρή ποσότητα κατά την οποία αυξήθηκε με smple ο αρχικός συντελεστής της μεταβλητής (,,..., n) στη γραμμή () y τρέχουσα τιμή της Ζ y γινόμενο της αρχικής γραμμής που έχει προστεθεί στη γραμμή, για,,..., m z οριακό κόστος ή καθαρό οριακό εισόδημα κάθε μεταβλητής c Για κάθε γραμμή k του τρέχοντος πίνακα ( k,,..., m ) οι συντελεστές των μεταβλητών απόκλισης n + ( k) ισούνται με το γινόμενο της αρχικής γραμμής που έχει προστεθεί άμεσα ή έμμεσα στην αρχική γραμμή k. Για k ο συντελεστής της μεταβλητής n + k είναι η σταθερά με την οποία η αρχική γραμμή k έχει πολλαπλασιαστεί με τη διαδικασία smple. Ιδιότητα της γραμμής (): Στον αρχικό πίνακα είναι R m R + R y όποτε όπου z R [-c,-c,...,-c,,,...,] (5-5) m c c + Σ y n και m y b y Σ, b και c συντελεστές του αρχικού πίνακα. (5-55) Η τελευταία έκφραση για το y οδηγεί στην διατύπωση της αντικειμενικής συνάρτησης Z του δυαδικού προβλήματος, όποτε γίνεται αντιληπτό ότι εφόσον y * m Z mn Z (5-56) // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα απο

* τότε οι συντελεστές y στον τελικό πίνακα αποτελούν τις βέλτιστες τιμές των μεταβλητών του δυαδικού προβλήματος (Κεφάλαιο 6). Χρήση της ιδιότητας αυτής γίνεται κατ επανάληψη στην ανάλυση ευαισθησίας (Hth 98). Για τις υπόλοιπες γραμμές του πίνακα smple (εκτός από τη γραμμή () της αντικειμενικής συνάρτησης) εισάγονται οι συμβολισμοί όπου R k [ k, k,..., kn,s k,s k,...,s km, b k ] (5-57) k συντελεστές των μεταβλητών (,,..., n) + (,,..., m ) b σταθερός όρος της σειράς k ( k,,..., m ) s k συντελεστές των μεταβλητών n k k Οι παραπάνω συμβολισμοί με (*) (δηλαδή R τον τελικό πίνακα (πίνακας βέλτιστης λύσης). * k, * k, s * k, b * k ) ισχύουν για Ιδιότητα της γραμμής ( R): * k m * * R R s για κάθε k,,..., m k k Άμεση συνέπεια της παραπάνω σχέσης είναι: m * * s για κάθε,,..., n b k * k m b s k * k (5-58) όπου τα και smple. Η παραπάνω έκφραση για τις γραμμές b αναφέρονται στους συντελεστές του αρχικού πίνακα m * * k R k + R (s k s k ) * R k μπορεί να γραφεί: R για κάθε,,..., m (5-59) όπου s k συντελεστές των μεταβλητών απόκλισης στον αρχικό πίνακα, όποτε s k αν k και s kk. Επειδή s k στον αρχικό πίνακα, οι // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα απο

* εκφράσεις ( sk sk ) και y δίνουν την αύξηση (θετική ή αρνητική) του συντελεστή + στην εκάστοτε γραμμή. n Για να είναι η λύση βέλτιστη πρέπει (Hmes 977) * z c για τις μη βασικές μεταβλητές * z c για τις βασικές μεταβλητές y * για τις μεταβλητές απόκλισης (5-6) Για το αρχικό παράδειγμα m Z 6 + 8 5 + +, s.t. (5-6) Ο πρώτος πίνακας smple είναι ος Πίνακας Γραμμή k Z b 5-6 -8 Σύμφωνα με το συμβολισμό που εισήχθη: R [-c,-c, y, y, y] [ 6, R [,,s,s,b] R [,,s,s,b] [5, [, 8,,, ],,, ],,,] (5-6) Ο δεύτερος πίνακας έχει υπολογιστεί στην 5..7 και είναι: ος Πίνακας Γραμμή k Z b -,5,5 5 - // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα απο

Στο δεύτερο πίνακα είναι y και y, που σημαίνει ότι κανένα πολλαπλάσιο της γραμμής () δεν έχει προστεθεί στη γραμμή (), αλλά αντίθετα έχει προστεθεί φορές η αρχική γραμμή (). Αυτό ισχύει αφού η τρέχουσα δεύτερη γραμμή είναι ίση με το / της αρχικής (συντελεστής,5 για τη μεταβλητή ) και η ποσότητα 8 / προστέθηκε στη γραμμή (). Για τον δεύτερο πίνακα ισχύει: R [ 6, 8,,, ] + [,,,,] [-,,,, ] (5-6) Άρα: c, c, y, y, y z z Όμοια ο τρίτος πίνακας, που δίνει και τη βέλτιστη λύση, είναι: ος Πίνακας Γραμμή k Z b.5 -,5,5 -,5,65,75,5,5 5 Στον τρίτο πίνακα είναι y *, 5 και y *, 5. Συνεπώς: R * [, [ 6, 8,,, ],,5,,5, 5] +,5 [5, * * [z c,z,,, ] +,5 [, * * * c, y, y, y ],,,] (5-6) Για τις υπόλοιπες γραμμές του πίνακα ισχύει: s *, 5, s*, 5, s *,5, s *, 65. Άρα: R *,5 [5,,,, ],5 [, * [,,,5, -,5,,5] [, R *,5 [5, [,,,,, ] -,5,,65,,75] [ *,,,,],s *,s +,65 [, * *,s * *,b ],s,,,] * *, b * ] (5-65) Τέλος, η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 5 απο

m * * y b y,5 +,5 5 (5-66) Από τα παραπάνω συνάγεται ότι για να μπορεί να διαμορφωθεί ο τελικός * * πίνακας smple αρκεί να είναι γνωστές οι τιμές των y και s k και οι αρχικοί συντελεστές. Οι βασικές εξισώσεις και συμβολισμοί που χρησιμοποιούνται παρουσιάζονται στον Πίνακα 5-. Πίνακας 5- Διατύπωση τελικού πίνακα smple και εξισώσεων μετασχηματισμού Βασική Αριθμ. μεταβλητή Εξίσ. Z n n +... n + m Ζ z * c z c z n c n y y * m B n s s m B n s s m.................................... m Bm m... m mn s m s mm * y b b b m Όπου y m * * b y m * * s για κάθε,,..., n k m k * * b b s για κάθε k,,..., m k k m * * z c c + y για κάθε,,..., n (5-67) 5..9 Παρατηρήσεις Κατά την εφαρμογή της smple πρέπει να δίνεται προσοχή στα εξής: Στην αρχική επαναληπτική διαδικασία γίνεται επιλογή της μη βασικής μεταβλητής που έχει τον μεγαλύτερο αρνητικό συντελεστή. Αν υποτεθεί ότι δύο ή περισσότερες μη-βασικές μεταβλητές έχουν τον ίδιο αρνητικό // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 6 απο

συντελεστή, τότε η επιλογή γίνεται τυχαία. Η βέλτιστη λύση προκύπτει ανεξάρτητα από την επιλογή. Όταν δύο ή περισσότερες μεταβλητές αποτελούν τις εξερχόμενες βασικές μεταβλητές προκύπτει μια εκφυλισμένη βασική δυνατή λύση επειδή οι ισοβάθμιες μεταβλητές που επιλέγονται πρέπει να λάβουν τιμή ίση με το μηδέν. Αν μια τέτοια μεταβλητή επιλεχθεί στη συνέχεια σαν εξερχόμενη βασική μεταβλητή, πριν όμως η τιμή της αλλάξει από την μηδενική, τότε η αντίστοιχη εισερχόμενη βασική μεταβλητή παραμένει μηδέν και η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να παραμείνει αμετάβλητη. Η διαδικασία όμως οδηγεί σε ατέρμονα βρόχο (loop), δηλαδή σε κυκλική επαναληπτική διαδικασία χωρίς δυνατότητα εντοπισμού βέλτιστης λύσης. Για την αντιμετώπιση του προβλήματος υπάρχουν τεχνικές που δεν αναπτύσσονται στο κεφάλαιο αυτό. Πρόβλημα εμφανίζεται όταν δεν υπάρχει κατάλληλη βασική μεταβλητή που να χαρακτηριστεί ως εξερχόμενη. Το πρόβλημα εντοπίζεται όταν η εισερχόμενη βασική μεταβλητή μπορεί να αυξηθεί απεριόριστα, χωρίς να δώσει αρνητικές τιμές σε κάποια από τις υπάρχουσες βασικές μεταβλητές. Στην smple αυτό σημαίνει ότι κάθε συντελεστής της κύριας στήλης είναι είτε αρνητικός είτε μηδέν. Αποτέλεσμα της διαδικασίας είναι ότι οι περιορισμοί δεν εμποδίζουν την συνεχή αύξηση της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης σε μια ορισμένη διεύθυνση (αρνητική ή θετική) έτσι ώστε να προκύψει διακοπή της διαδικασίας με την ένδειξη ότι η Ζ δεν ορίζεται. Η ένδειξη ερμηνεύεται σαν λάθος, καθότι δεν υπάρχει πρόβλημα ΓΠ που να δίνει απεριόριστο όφελος. Στην περίπτωση αυτή θεωρείται ότι το πρόβλημα δεν έχει καταστρωθεί σωστά, είτε με παράλειψη περιορισμών είτε με λάθος στην αρχή της διαδικασίας. Άλλη περίπτωση είναι η εμφάνιση πολλών βελτίστων λύσεων. Σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν στην 5.. οποιοδήποτε πρόβλημα αυτής της μορφής έχει τουλάχιστον δύο βέλτιστες βασικές ικανές λύσεις που χρησιμεύουν στον εντοπισμό κάθε άλλης βέλτιστης λύσης. Σε αρκετές εφαρμογές είναι εκ των προτέρων γνωστή η ύπαρξη πολλών βελτίστων λύσεων. Οπωσδήποτε, σε ένα μοντέλο λήψης αποφάσεων είναι δύσκολος ο συνυπολογισμός συμμετοχής όλων των παραγόντων, εφόσον λαμβάνονται συνήθως μόνο οικονομικοί και τεχνικοί παράγοντες. Έτσι, μετά τον καθορισμό των πλέον αποδεκτών εναλλακτικών λύσεων (βέλτιστες λύσεις ή λύσεις πλησίον της // Μποναζουντας (ΕΜΠ) Σελιδα 7 απο