Теорија линеарних антена

Теорија линеарних антена Антене су уређаји који претварају електричну енергију у електромагнетну (предајне антене) и обрнуто (пријемне антене) Према фреквентном опсегу, антене се деле на каналске (за узан фреквентни опсег) и широкопојасне Према облику карактеристике зрачења, антене могу бити антене са кружном карактеристиком зрачења и антене са игличастом (усмереном) карактеристиком зрачења, а то су тзв директивне антене За ниске фреквенције антене се изводе од линеичних проводника, па се зато зову линеичне или линеарне антене Таква антена је симетричан дипол Симетричан дипол То је најчешће коришћена и најелементарнија антена начињена од два коаксијална кружна проводника који се напајају електромоторном силом U на учестаности ω Математички модел ове антене чине два проводника међусобно растављена једним процепом занемарљиве ширине δ (Сл) Дужина крака антене је, а дужина антене z a је полупречник проводника антене a Сматра се да је антена довољно танка и витка и важи да је a <<,λ Халенов параметар дефинише линеична својства антене, dz односно виткост антене и износи z U/ Ω ln () a - U/ δ Обично Халенов параметар има вредност у опсегу 8 5 Антена се напаја у центру тако да је доњи део горњег крака на потенцијалу U / (за z + ), а горњи део доњег крака на потенцијалу U / (за z ) Основни задатак код прорачуна антене је да се одреди расподела струје дуж проводника Сл I ( z ) d z Магнетни вектор потенцијал у произвољној тачки M(, z) у цилиндричном координатном систему се одређује применом израза за ретардирани потенцијал: A A z µ jkr I( z' ) R R је растојање између тачке M и уоченог струјног елемента d z d z' () R + ( z z' ), (3) I (z ) се одређује тако да компоненте електромагнетног поља задовоље граничне услове на површини проводника као и да је на крајевима проводника I ( z ) Реално, струја тече по површини антене Међутим, због претпоставке да је антена линеична, можемо сматрати да струја тече по оси антене што у великој мери поједностављује решавање проблема Из Лоренцовог услова за потенцијал је: v v A 8 ϕ j div A j, где је v c 3 m/s, а k ω/ v константа простирања k k z Како је: A Aˆ z, ϕ j ωa и H ot A, добија се µ

Како је ˆ ot A µ µ ϕ v A j ; k z () ϕ v A v A j ωa j jωa j + k A и z k z k z (5) (6) z ˆ zˆ A z A ˆ, следи да је: µ H ; (7) A H и (8) µ H z (9) Гранични услов на површини проводника да је тангенцијална компонента електричног поља једнака нули, t, даје следећу диференцијалну једначину: A + k A z z a Решења ове диференцијалне једначине су тригонометријске функције sin kz и cos kz при чему треба имати у виду да је магнетни вектор потенцијал непрекидна функција у координатном почетку, па је: A ( a, z + ) A( a, z ) () Ова функција је непрекидна, међутим њен извод је прекидна функција и има скоковиту промену на месту z где је: ϕ ( a, z + ) ϕ( a, z ) U () Зато се посебно претпоставља решење за горњи, а посебно за доњи део крака у облику: C cos kz + C sin kz, < z < A (3) C3 cos kz + C sin kz, < z < Из услова () се добија: C cos k(+ ) + C sin k(+ ) C3 cos k( ) + C sin k( ) C C C 3 v j ( Ck sin kz + Ck cos kz), < z < k ϕ v j ( C sin + cos ), 3k kz Ck kz < z < k Из другог услова (): jv ( C sin k(+ ) + C cos k(+ )) jv( C sin k( ) + C cos k( )) U jv ( C C ) U Доњи крај горњег крака је на доњем крају на потенцијалу U /, па је U U jvc C j v, U док је на горњем крају доњег крака потенцијал U /, па је ϕ ( a, z ) U U jvc C jv ()

U A C cos kz + sin kz jv C се одређује из граничног услова да је струја на крају крака проводника једнака нули ( z ± ) Коначно се добија A( a, < z < ) µ jk a + ( z z ) I( z') a + ( z z ) d z' C cos kz + U jv sin k z Пошто се непозната величина I (z ) налази под интегралом добијена је интегрална једначина коју треба решити Ова једначина је по аутору названа Халенова интегрална једначина Преостали део интеграла, осим I (z ) представља језгро или кернел диференцијалне једначине, то је Гринова функција за магнетни вектор потенцијал који ствара струјни елемент I ( z ) d z, који није ништа друго до Херцов дипол Овај израз се односи на нереалан тип антене пошто је претпостављено да се краци додирују и у тој тачки постоји сингуларитет Резултати добијени за расподелу струје и улазну импедансу на математичком моделу симетричног дипола се добро слажу са експерименталним резултатима, што значи да се грешке начињене услед нереалног модела антене и услед нумеричког израчунавања међусобно компензују Међутим, резултати за улазну реактансу нису коректни, тако ако се узме да је a добија се аналитичко решење за Халенову једначину I( z') Im sin k( z' ), где је I m струја у максимуму (5) Ово је синусна расподела струје Оваква расподела струје се користи и код реалних антена са задовољавајућом тачношћу Примери: z '/ За кратке антене је k <<, где је k електрична дужина антене Када се примени апроксимација sin x x када k<< x, добија се линеарна расподела струје дуж крака антене, Сла, и износи I( z') Imk( z' ) (6) I( z' )/ Im а) z '/ За полуталасни дипол је k /, односно дужина антене λ / k/ I ( z') Im sin( k z' ) Im cos k z' (7) Расподела струје дуж крака је облика као на Слб () 3 Код таласног дипола је k, односно дужина антене λ /, па је расподела струје облика I ( z') Im sin( k z' ) Im sin k z' (8) I( z' )/ Im б) z '/ k Експерименти показују да се у центру дипола јавља струја иако се по претходном изразу очекује нула, Слв I( z' )/ Im в) Сл 3

Функција зрачења У далеким областима од дипола, тј у Фраунхоферовој области, електромагнетно поље има карактер сферног таласа па постоје само угаоне компоненте електричног и магнетног поља Магнетни вектор потенцијал је дат изразом () На dovoqno dalko A великим удаљеностима од антене за растојање R (3) се M R чини груба апроксимација у амплитуди dz (9) z' R и фина апроксимација у фази z'cos R z' cos () Iz (') Сл ϕ j ωa ; A Azˆ ˆ Asin ; A Azˆ ψˆ ; ψ jωa ; ψ па се магнетни вектор потенцијал рачуна из израза jk sin jωasin H H A µ jk jkz cos I( z') d z' jkz cos I( z') d z' µ ε () ; () ψ Z d (3) ψ Hψ Z, H d Пошто компоненте поља зависе од угла то и зрачење антене зависи од угла Та особина антене се назива директивност антене Изотропна антена је она антена која подједнако зрачи у свим правцима У пракси таква антена не постоји, али се таква карактеристика зрачења приближно може остварити помоћу антенског низа У случају синусне побуде (5) за електрично поље се добија: sin jk Im sin k( z' ) jkz'cos d z' sin jk jkz'cos jkz'cos + + Im sin k( z') d z' Im sin k( z') dz' Интеграли у изразу су елементарни и лако се решавају применом двоструке парцијалне интеграције ако је u sin k( z jkz cos ) и d v d u k cos k( z ) d z jkz cos v jk cos

j k cos sin k cos cos k J + sin jk k j k cos sin k cos cos k J + sin jk k j k cos j k cos sin j k sin kcos cos k sin k cos cos k I m + + sin jk k jk k j k cos j k cos sin j k + cos k I m k sin jk cos( kcos) cos k После сређивања добија се Im k sin Како је () израз за електрично поље у односу на струју у максимуму се може написати у облику jz jk d ImFm, () cos( kcos) cos k где је F m (5) sin функција зрачења Ако је са I обележена струја у центру дипола тада је I I( ) Im sin k, (6) jk jz d па је I F (7) Изједначавањем израза () и (7) добија се I F ( ) cos( kcos ) cos k F ( ) F ( ) m m m (8) I sin k sin sin k У правцима и функција зрачења је једнака нули тако да у тим правцима нема зрачења тј антена на зрачи дуж своје осе Антена максимално зрачи по правцу који је нормалан на осу антене, Сл5, за је Fm cos k (9) Редукована функција зрачења представља однос функције зрачења по било ком правцу и функције зрачења по правцу максималног зрачења, : F m F f (3) Fm F Редукована функција зрачења не зависи од избора референтне струје 5

Примери: Сл5 График функције зрачења F m ( ) у поларном или Декартовом координатном систему назива се карактеристика или дијаграм зрачења антене, Сл5 Ширина листа зрачења се дефинише у односу на правац максималног зрачења и садржи све правце у којима зрачење у односу на зрачење у максимуму није слабије од 3 db Код кратких антена где је k <<, уз апроксимацију cos k добија се ( k) cos ( k) + ( ) cos ( ) cos ( ) k k k Fm ( ) sin, sin sin sin ( k) ( k) sin k ( k) sin F m ( ), F sin и f sin k ( k) cos cos Код полуталасних антена за k па је F m F f, sin F m ( ) cos( cos) + 3 За дуге антене је k па је F m, F m ( ), sin cos( cos ) + f sin У зависности од дужине антене постоје и други правци по којима антена не зрачи Нуле функције зрачења се добијају из једначине F m, одакле је cos( k cos) cos k cos( k + n), λ па је cos n + n + n k λ Нуле косинусне функције задовољавају неједначину < + n < Тако нпр нека је λ Тада је cos n + n па таква антена не зрачи по правцима и, / Сл6 ( k) Сл6 6

λ/6 λ/ λ/ λ/7 λ/3 На Сл7 је приказано неколико поларних дијаграма карактеристике зрачења при различитим дужинама крака дипол антене На истој слици су нацртане и одговарајуће расподеле струје у диполу Када је λ / карактеристика има само један главни лист чији је максимум у екваторијалној равни Са порастом дужине крака, преко λ /, дијаграм зрачења се цепа у све већи број листова, који настају као резултат интерференције поља зрачења разних елемената дипола Сл7 Херцов дипол и ефективна дужина антене Херцов дипол је посебна врста антене дуж које је расподела струје константна У пракси се Херцов дипол приближно остварује тако што се кратка антена на крајевима капацитивно оптерећује Најпознатије су L -антене, T -антене и кишобран антене L -антена T -антена кишобран антена За << може се сматрати да је расподела струје дуж крака приближно униформна, што значи да се вертикални део понаша као Херцов дипол У пракси, Херцов дипол има велики значај зато што се практично свака антена може разложити на велики број елементарних антена у виду Херцових дипола За симетричан дипол електрично поље се рачуна из израза и у екваторијалној равни износи sin jk jkz' cos I( z ) jk I( z ) d z' d z' За Херцов дипол укупне дужине l електрично поље у екваторијалној равни износи Hc l / jk jk dipol I l I l d l / 7

Из услова једнакости електричног поља Херцовог дипола и електричног поља симетричног дипола у екваторијалној равни добија се релација z I l I( z')d z' z из које се може израчунати еквивалентна дужина Херцовог дипола Ова величина l lff I( z' ) d z' (3) I позната је под именом ефективна дужина антене За случај синусне расподеле: l ff Im sin k( z' )d z' I за I I ефективна дужина антене износи I m cos k cos k l lff ( I ) I m sin k( z' ) d z' I I k k sin k За Im I ефективна дужина антене износи Примери: lm За полуталасни дипол: lff ( Im ) Im sin k( z' )d z' I m lff ( Im ) lff ( I ) sin k λ λ k па је l, l m Код кратких антена: k << се уз апроксимацију cos k, k ( k) cos k добија ( k) + l k k Ови резултати показују да између кратких антена и Херцовог дипола постоји сличност Сви резултати изведени за кратку дипол антену важе и за Херцов дипол, ако се сведу на струју у нули, I, и ако је дужина Херцовог дипола једнака дужини крака кратког симетричног дипола Отпорност зрачења и снага антене У зони зрачења електрично и магнетно поље имају само попречне компоненте у односу на радијалан правац, а Поинтингов вектор има радијалну компоненту Z d j jk I m F m Z d, па је I m Fm * * Γ H ψ Zd I m F m (3) Z d Zd Иззрачена снага једнака је флуксу Поинтинговог вектора кроз сферну површину полупречника, која у сферном координатном систему износи 8

P Γ d S Γ sin d d ψ Zd I mfm sin d ; (33) S ψ С друге стране израчена снага се може изразити преко отпорности зрачења и износи z m I m P R Из претходна два израза се добија отпорност зрачења која сведена на струју I m износи Zd R z m F m ( )sin d (3) Овај интеграл се не може експлицитно изразити преко елементарних функција, али га је сасвим лако интегралити нумерички Пример: Код кратких антена где је k << и за синусну расподелу струје је ( k) F m sin па отпорност зрачења износи Zd ( k) 3 Zd ( k) Zd ( k) R z m sin d 3 6 За Z d Ω добија се R z m ( k) Ако се као референтна струја узме струја напајања у центру антене I, онда се отпорност зрачења сведена на струју напајања у центру антене одређује из услова Rz I Rz mim I R и износи R z R m z m z m I sin, (35) k ( k) ( k) и за кратке антене, где је k << износи R z ( k) sin k ( k) λ Зa применом израза (3) добија се R z Rz m 73 Ω Расподела отпорности зрачења симетричног дипола, сведена на струју у максимуму стојећег таласа, у функцији дата је на Сл8 Отпорност зрачења вертикалне монопол антене је два пута мања од отпорности зрачења симетричне дипол антене R z(ω) 7Ω 99Ω 5 73Ω 8Ω 5 λ/ λ/ 3λ/ Сл8 Отпорност зрачења у функцији 9

Симoмоторна сила (SMF) Симомоторна сила дефинише директивна својства антене и за разлику од отпорности зрачења она зависи од снаге коју иззрачи антена Дефинише се као производ растојања и модула вектора јачине електричног поља за случај да је снага коју антена израчи једнака kw : Z d SMF F kw m I m 6Fm I P m (36) P Како је P Rz mi m SMF 6 Fm Rz m При кратким антенама SMF V ; За полуталасни дипол SMF V ; За таласни дипол SMF 69 V У случају кратк штап антен - монопол антене, пошто је отпорност зрачења дупло мања него у случају симетричног дипола бројну вредност SMF треба помножити са Појачање, добитак или GAI антене Појачање, добитак или GAI антене такође описује директивна својства антена и показује колико се разликује зрачење у датом правцу посматране реалне антене и изотропне антене Апсолутни GAI се рачуна као однос снаге коју израчи изотропна антена и снаге коју израчи посматрана антена под условом да обе антене у посматраној тачки стварају исто поље: P G iz P iz Piz Γiz d S Γiz, Γ iz, P Rz mi m, па је Z S d Z d Fm I m () Zd Fm G R Zd Rz mim m F F За Z d Ω добија се G Rz m R z (37) Примери: У екваторијалној равни код кратког дипола G 5 P G log iz, G 76dB P Код полуталасних дипола: G 6 5dB Ово је апсолутни добитак Релативни добитак се добија тако што се као референтна антена узима или Херцов дипол или полуталасни дипол: G a G 5dB z m Утицај Земље на зрачеће елементе 3 Специфична проводност Земље износи σ ( ) S/m, а релативна диелектрична константа Земље има вредност од ε (3 5) Ако се посматра однос σ / ωε у зависности од учестаности и специфичне проводности Земља се различито понаша При дугим и средњим таласима овај однос је много већи од јединице па се Земља понаша као проводна средина, тако да се при тим учестаностима Земља третира као савршени проводник и примењује се теорема лика у равном огледалу

Разликују се два случаја постављања антене у односу на површину тла: Антена постављена паралелно површини тла или Антена постављена нормално на површину тла Антенске структуре паралелне површини тла Нека се симетрична дипол антена дужине крака постављена паралелно површини тла налази на висини d од површине тла Применимо теорему лика у равном огледалу: M Електрично поље система са Сл9 у тачки M износи:, где су jk d ψ jk Zd Z d j I mfm и j I mfm d После апроксимације у амплитуди и у фази d cosψ, + d cosψ, добија се Сл9 jk Zd jkd cosψ jkd cosψ j I mfm [ ] jsin( kd cosψ) Fz где је F z jsin( kd cosψ) фактор Земље, а (38) jk Zd j I mfm поље које би стварала усамљена антена постављена нормално на површину тла Поље у било којој тачки једнако је производу фактора Земље и поља усамљене антене Код овакве антене за ψ / фактор Земље је једнак нули, F z ( / ), што значи да антена не зрачи по површини тла При дугим и средњим таласима нема смисла користити овакве антене У зависности од дужине антене и висине постављања, постоје и други правци по којима антена не зрачи Они се добијају из услова да је F z n nλ Одатле је sin( kd cosψ) kd cosψ n cosψ, n,,, kd d nλ d (39) Када је антена постављена на висини d λ / nλ n n λ / Таква антена не зрачи само по правцу ψ /, Сла а) Сл За случај да је d λ / n n {,, } Антена не зрачи по правцима: за n ψ / ; / за n за n ψ б) Сл

Антенске структуре нормалне на површину тла За случај штап антене или монопол антене постављене нормално на површину тла која се напаја у центру утицај тла се може представити преко теореме лика у равном огледалу, Сл Тако ће се на пример полуталасна антена понашати као симетрична таласна дипол антена, Сл Код оваквих антена у радио везама поред површинског таласа постоји и јоносферски талас На растојањима од до 7 km од Сл антене за пренос се користи површински талас, ван ове области се не користи површински талас јер је ослабљен На растојањима преко km за успостављање радио везе користи се јоносферски талас Јоносфера је средина у којој се густина јона мења са растојањем, тако да је на некој висини од земље концентрација јона максимална Са порастом висине расте и ε Активност јоносфере зависи од географске ширине и дужине, од утицаја магнетног поља Земље, од доба дана и ноћи, тако да су услед утицаја Сунца у току дана два најближа слоја Земљи врло активна У току ноћи ови слојеви изчезавају, па је то најбоље време за успостављање везе јоносферским таласом Јоносферу можемо посматрати као слојевиту средину чији индекс преламања износи + d fc n ε, () f n+dn n где је fc критична учестаност и за јоносферу износи f c 8 5 На раздвојној површини два суседна слоја, Сл, важе Снелови закони: nsin ( n + d n)sin( + d ) ( n + d n)(sin cosd + cossind ) Сл Када d sind d, cosd n sin d nsin + n d cos + d n d cos + nsin ; d n sin + n cosd ; d n cos d n d(sin ) + d ; + d n sin n sin После интеграције се добија ln n + ln sin const тј n sin const Са друге стране const sin, где је угао под којим талас улази у јоносферу Упоређивањем последња два израза добија се n sin sin () Јоносфера се понаша као пропусник високих учестаноси па када талас дође до јоносфере, могу настати три случаја: талас пробије јоносферу; талас дође до неке висине и одбије се и 3 талас стигне до висине максималне концентрације јона у јоносфери и услед неке нехомогености у њој он може или да се одбије према земљи или да пробије јоносферу и да се изгуби У радио везама је пожељно да радна учестаност буде што већа, али при томе треба водити рачуна да се талас не изгуби Да би извели везу између учестаности вертикално емитованог f и косо емитованог таласа f који продиру до исте висине у јоносфери, посматраћемо прво вертикално емитован талас када је упадни угао једнак нули,

Талас ће продирати у јоносферу све док индекс преламања () не буде једнак нули, односно док талас не наиђе на ниво на коме је критична учестаност, f c, једнака учестности f таласа Из услова n се добија f fc Косо емитован талас учестаности f који упада у јоносферу под произвољним углом, продираће до нивоа на коме више нема преламања таласа У () је /, односно продираће до нивоа на коме је индекс преламања једнак синусу упадног угла: n sin sin ; sin Сл3 fc fc n ; n sin и добија се sin ; f f f c f cos ; fc Израз f f sc () cos познат је под именом Мартинов закон секанса На основу овог закона се може закључити да косо емитован талас мора да има већу учестаност од вертикално емитованог таласа да би се попели до исте висине Као нежељена последица постојања јоносферског таласа јавља се интерференција површинског и јоносферског таласа, што доводи до појаве селектривног фединга, ако су таласи у противфази Зона селективног фединга представља прстенасту област око антене полупречника од 7 km У области од антене до селективног фединга сигнал се преноси помоћу површинског таласа, а у области иза селективног фединга помоћу јоносферског таласа Непожељна појава селективног фединга се избегава тако што се пројектују антене код којих је укинут јоносферски талас у области селективног фединга Антенске решетке или низови То су сложене структуре које служе за добијање директивних система Изводе се као линијске, површинске и просторне решетке Посматраћемо једну линијску решетку која се састоји од елементарних структура које су еквидистантно распоређене по једној линији Напајане су струјама исте амплитуде I, али фазно померене за угао δ I d ψ I ψ jδ I M ψ j( -) δ Сл У произвољној тачки далеке зоне, поље је збир поља: j k jk j jδ j6 FI ; j6 FI ; j6 M n M j6 jkn j6 n jk FI FI j( n ) δ ; j( ) δ k3 jδ 3 FI 3 ; 3

Како је K, и + d cosψ, 3 + d cosψ, K добија се 3 n jk( cos ) d ψ jδ j( kd cos ψ+δ) j6 FI j(( n ) kd cos ψ+ ( n ) δ) j( n )( kd cos ψ+δ) j( n ) Φ n j( n ) Φ j( n ) Φ F n n ; / / 6/ Сл5 Φ, где је F функција решетке L (n ) Φ је геометријска дужина решетке Укупно поље: F, где је поље усамљеног елемента Φ j Φ sin j( n ) Φ ( cos Φ) + sin Φ cos Φ F jφ ( cos ) sin cosφ Φ n Φ + Φ sin F Φ n n, Φ, n,,,, Циљ је да бочни максимуми буду што мањи од главног максимума За Φ добија се главни лист Zi ε Zp Сл6 Шема пријемне антене Пријемна антена претвара енергију електромагнетног поља у енергију електричног кола Z i је унутрашња импеданса пријемне антене која је једнака улазној импеданси антене када би она радила као предајна ε је електромоторна сила празног хода и једнака је: λ ε F, где је вектор јачине примарног електричног поља, F је функција зрачења пријемне антене када би она радила као предајна Пошто има правац и смер електричног поља које би зрачила пријемна антена када би радила као предајна, може се закључити да индукована електромоторна сила зависи од: а) директивних својстава пријемне антене; б) поларизације примарног електричног поља Најбољи пријем се може остварити ако примарни талас долази до екваторијалне равни и ако је поларизација поља таква да је електрично поље колинеарно оси антене Тада је λ ε F Пријемник добија максималну снагу ако је пријемна антена прилагођена на пријемник: * Z p Z i ε ε I, Z + Z R p * i i ε P Услов прилагођења је R p Ri ; X p X i R i ;