ОБЛАСТИ: ) Тачка ) Права Jov@soft - Март 0.
) Тачка Тачка је дефинисана (одређена) у Декартовом координатном систему са своје две коодринате. Примери: М(5, ) или М(-, 7) или М(,; -5) Jov@soft - Март 0.
) Тачка Рутине везане за тачку ) Растојање између две тачке. AB ( ) ( ) Ваља приметити да је растојање између две тачке хипотенуза у правоуглом троуглу код кога су катете разлика одговарајућих координата те две тачке. Jov@soft - Март 0.
) Тачка Рутине везане за тачку ) Средина дужи S S Средина дужи је аритметичка средина одговарајућих координата те две тачке. Jov@soft - Март 0.
) Тачка Рутине везане за тачку 3) Деоба дужи у неком односу AC : CB λ λ AC CB C λ λ C λ λ Веома је важно која се тачка сматра првом, а која другом при оваквој деоби. Jov@soft - Март 0.
) Тачка Рутине везане за тачку ) Површина троугла кога праве три тачке 3 3 P Аналитичка геометрија у равни Jov@soft - Март 0. ( ) ( ) ( ) 3 3 3 P
) Права Једну те исту праву можемо написати у четири облика и онда из сваког од та четири облика можемо да видимо одређене особине. Права може бити изражена у: ) Општем облику ) Експлицитном облику 3) Сегментном облику ) Нормалном облику Jov@soft - Март 0.
.) Права Облици једначине праве..) Општи облик једначине праве ) Како изгледа? Нула са десне стране, а цео израз на левој страни ) Шта из њега читамо? Ништа Jov@soft - Март 0.
.) Права Облици једначине праве..) Експлицитни облик једначине праве ) Како изгледа? На левој страни само у! ) Шта из њега читамо?. Коефицијент правца. Одсечак на у оси 3) Од раније се зна Коефицијент правца tgα Jov@soft - Март 0.
.) Права Облици једначине праве.3.) Сегметни облик једначине праве m ) Како изгледа?. На десној страни само. На левој страни разломци одвојени са ) Шта из њега читамо?. Одсечак на оси m. Одсечак на у оси Jov@soft - Март 0.
.) Права Облици једначине праве..) Нормални облик једначине праве ) Како изгледа? Нула са десне стране, а цео cos ϖ siϖ p 0 израз на левој страни ) Шта из њега читамо?. Удаљење од координатног почетка. Угао који заклапа нормала са осом A B C ± A B 0 3) Како се добија?. Из општег облика једначине праве. Испред корена у имениоцу иде супротан знак од оног испред С у бројиоцу Jov@soft - Март 0.
) Права Рутине везане за праву За праву су везане следеће рутине. ) Једначина прамена правих (права кроз једну тачку) ) Једначина праве кроз две тачке 3) Растојање тачке од праве ) Услов паралелности и нормалности две праве 5) Пресек две праве 6) Угао између две праве Jov@soft - Март 0.
.) Права Рутине везане за праву...) Једначина прамена правих ) Веома често се користи! Једначина правих кроз једну тачку. Из овог скупа се издвоји потребна права. ) Дата је тачка M (, ) 3) Једначина прамена правих је: ( ) Jov@soft - Март 0. Када је познато, тада је једнозначно одређена и права
.) Права Рутине везане за праву...) Једначина правих кроз две тачке ) Знамо да две тачке одређују једну праву ) Дата је тачке 3) Једначина праве је: M (, ) N(, ) ( ) Делује сложена формула, али лако се добија из прамена правих, када се види да је коефицијент правца одређен. Jov@soft - Март 0.
.) Права Рутине везане за праву...) Једначина правих кроз две тачке ) У једначини прамена правих одређујемо конкретни коефицијент правца кога праве две тачке M (, ) N(, ) tgα Jov@soft - Март 0.
.) Права Рутине везане за праву..3.) Растојање тачке од праве ) Растојање се добије када у нормални облик једначине праве заменимо координате тачке M (, ) d A ± A B C B Jov@soft - Март 0.
.) Права Рутине везане за праву..3.) Тачка припада правој ) Ако тачка припада правој, онда њене координате задовољавају дату једначину праве M (, ) Мора бити задовољено: A B C 0 Jov@soft - Март 0.
.) Права Рутине везане за праву...) Услов паралелности ) Ако су праве паралелне, тада мора бити: Jov@soft - Март 0.
.) Права Рутине везане за праву...) Услов нормалности ) Ако су праве нормалне, тада мора бити: Jov@soft - Март 0.
.) Права Рутине везане за праву..5.) Пресек две праве Пресек две праве је тачка. Њене координате су M (, ) Координате те тачке добијамо решавањем система од две једначине који чине те две праве. Jov@soft - Март 0.
.) Права Рутине везане за праву..6.) Угао између две праве ) Угао између две праве се добије као тангенс разлике углова које заклапају те две праве са осом: β α γ γ β α tgα tgβ tgγ ± tgα tgβ tgγ ± Jov@soft - Март 0.
У криве другог реда спадају криве код којих је једна од непознатих или обе на другом степену. Криве могу бити: ) Кружница ) Елипса 3) Хипербола ) Парабола Jov@soft - Март 0.
3..) Кружница ) Дефиниција Кружница је геометријско место тачака које су једнако удаљене од једне сталне тачке. Стална тачка је ЦЕНТАР кружнице C(p, q) Удаљење од центра кружнице је полупречник кружнице r ) Једначина кружнице ( p) ( q) r Jov@soft - Март 0.
3..) Кружница 3) Како се препознаје? И и су на квадрату са истим коефицијентом одвојени знаком Примери: 3 6 8 8 0 3 5 8 0 8 9 0 0 ) Једначина кружнице (II) p q p q r 0 Jov@soft - Март 0.
3..) Кружница 5) Централна кружница Центар кружнице је у координатном почетку C(0, 0) r Пример: 5 Jov@soft - Март 0.
3..) Однос праве и централе кружнице услов додира Услов додира: ( ) r Jov@soft - Март 0.
3..) Однос праве и круга једначина тангенте кроз тачку која припада кругу Једначина тангенте: ( p) ( p) ( q) ( q) r Jov@soft - Март 0.
3..) Однос праве и централног круга једначина тангенте кроз тачку која припада кругу Једначина тангенте: r Jov@soft - Март 0.
Однос праве и кружнице Се може одредити на основу знака дискриминанте која се добија при решавању система једначина састављеног од једначине праве и једначине кружнице 3..) Однос праве и кружнице детаљније 0 r q p q p Аналитичка геометрија у равни Jov@soft - Март 0. ( ) ( ) r q p ( ) ( ) 0 r q p q p ( ) ( ) 0 0 q r q p q p r q p q q p
3..) Однос праве и кружнице детаљније ( ) ( p q) p q r q 0 У зависности од знака дискриминанте ове једначине зависи и однос праве и кружнице. Ако је D > 0: Постоје два различита реална решења једначине што значи да права СЕЧЕ кружницу, јер постоје две пресечне тачке Ако је D 0: Постоје једно реална решења једначине што значи да права ДОДИРУЈЕ кружницу. Ово је услов додира. Jov@soft - Март 0. Ако је D < 0: Нема реалних решења једначине што значи да права МИМОИЛАЗИ кружницу и немају заједничких тачака.
а њена дискриминанта је: Када је у питању централна кружница тада је p 0 и q 0, једначина се своди на: 3..) Однос праве и централе кружнице детаљније ( ) ( ) ( ) r D Аналитичка геометрија у равни Jov@soft - Март 0. ( ) 0 r ( ) ( ) r r D r r D r r D r r D
3..) Однос праве и централе кружнице детаљније Одавде следи: Ако је D > 0: D r r ( ) > 0 r r > Ако је D 0: D r r Ако је D < 0: D r r r r < Услов додира: ( r r ) 0 ( ) < 0 Права и кружница се секу Права и кружница се додирују Права и кружница се мимоилазе Jov@soft - Март 0. ( ) r
3..) Елипса ) Дефиниција Елипса је геометријско место тачака код које је збир растојања од две сталне тачке константан. Сталне тачке су ЖИЖЕелипсе са координатама F (-e, 0)и F (e,0) Збир растојања је а Велика оса је а, а мала оса је Линеарна ексцентричност је e Jov@soft - Март 0.
3..) Елипса ) Једначина елипсе 3) Како се препознаје? И и су на квадрату са различитим коефицијентима одвојени знаком Примери: 9 5 6 90 Jov@soft - Март 0.
3..) Однос праве и елипсе Услов додира: Jov@soft - Март 0.
3..) Однос праве и елипсе једначина тангенте кроз тачку која припада елипси Једначина тангенте: Jov@soft - Март 0.
Однос праве и елипсе Се може одредити на основу знака дискриминанте која се добија при решавању система једначина састављеног од једначине праве и једначине елипсе 3..) Однос праве и елипсе детаљније Аналитичка геометрија у равни Jov@soft - Март 0. ( ) ( )
а њена дискриминанта је: Једначина се своди на: 3..) Однос праве и елипсе детаљније ( ) ( ) ( ) D Аналитичка геометрија у равни Jov@soft - Март 0. ( ) D D D ( ) 0 ( ) D
3..) Однос праве и елипсе детаљније У зависности од знака дискриминанте ове једначине зависи и однос праве и елипсе. Ако је D > 0: Постоје два различита реална решења једначине што значи да права СЕЧЕ елипсу, јер постоје две пресечне тачке Ако је D 0: Постоје једно реална решења једначине што значи да права ДОДИРУЈЕ елипсу. Ово је услов додира. Ако је D < 0: Нема реалних решења једначине што значи да права МИМОИЛАЗИ елипсу и немају заједничких тачака. Jov@soft - Март 0.
3..) Однос праве и елипсе детаљније Одавде следи: Ако је D > 0: Ако је D 0: Ако је D < 0: D Услов додира: ( ) > 0 D > ( ) 0 D < ( ) < 0 Права и елипса се секу Права и елипса се додирују Права и елипса се мимоилазе Jov@soft - Март 0.
3.3.) Хипербола ) Дефиниција Хипербола је геометријско место тачака код које је разлика растојања од две сталне тачке константна. Сталне тачке су ЖИЖЕхиперболе са координатама F (-e, 0)и F (e,0) Реална оса је а, а имагинарна оса је Линеарна ексцентричност је e Jov@soft - Март 0.
3.3.) Хипербола Jov@soft - Март 0. ) Једначина хиперболе 3) Како се препознаје? И и су на квадрату са различитим коефицијентима одвојени знаком - Пример: 9 6 ) Једначина асимптота
3.3.) Однос праве и хиперболе Услов додира: Jov@soft - Март 0.
3.3.) Однос праве и хиперболе једначина тангенте кроз тачку која припада хиперболи Једначина тангенте: Jov@soft - Март 0.
Однос праве и хиперболе Се може одредити на основу знака дискриминанте која се добија при решавању система једначина састављеног од једначине праве и једначине хиперболе 3.3.) Однос праве и хиперболе детаљније Аналитичка геометрија у равни Jov@soft - Март 0. ( ) ( )
а њена дискриминанта је: Једначина се своди на: 3.3.) Однос праве и хиперболе детаљније ( ) ( ) ( ) D Аналитичка геометрија у равни Jov@soft - Март 0. ( ) D D D ( ) 0 ( ) D
3..) Однос праве и хиперболе детаљније У зависности од знака дискриминанте ове једначине зависи и однос праве и хиперболе. Ако је D > 0: Постоје два различита реална решења једначине што значи да права СЕЧЕ хиперболу, јер постоје две пресечне тачке Ако је D 0: Постоје једно реална решења једначине што значи да права ДОДИРУЈЕ хиперболу. Ово је услов додира. Ако је D < 0: Нема реалних решења једначине што значи да права МИМОИЛАЗИ хиперболу и немају заједничких тачака. Jov@soft - Март 0.
3..) Однос праве и хиперболе детаљније Одавде следи: Ако је D > 0: Ако је D 0: ( ) > 0 D > Ако је D < 0: D < Права и хипербола се секу ( ) 0 D Права и хипербола се додирују ( ) < 0 Права и хипербола се мимоилазе Jov@soft - Март 0. Услов додира:
3..) Парабола ) Дефиниција Парабола је геометријско место тачака код које је растојање од једне сталне тачке једнако растојању од једне сталне праве. Стална тачке је ЖИЖА параболе са координатама F p Стална права је директриса параболе,0 p 0 Jov@soft - Март 0.
3..) Парабола ) Једначина параболе p 3) Како се препознаје? Само су на квадрату, а је на првом степену. Пример: 6 Jov@soft - Март 0.
3..) Однос праве и параболе Услов додира: p Jov@soft - Март 0.
3..) Однос праве и параболе једначина тангенте кроз тачку која припада параболи Једначина тангенте: ( ) p Jov@soft - Март 0.
3..) Однос праве и параболе детаљније Однос праве и параболе Се може одредити на основу знака дискриминанте која се добија при решавању система једначина састављеног од једначине праве и једначине параболе p Jov@soft - Март 0. ( ) p p p 0 ( p) 0
3..) Однос праве и параболе детаљније Једначина се своди на: ( p) 0 а њена дискриминанта је: D D D ( p) ( p p ) ( p p) Jov@soft - Март 0.
3..) Однос праве и параболе детаљније У зависности од знака дискриминанте ове једначине зависи и однос праве и параболе. Ако је D > 0: Постоје два различита реална решења једначине што значи да права СЕЧЕ параболу, јер постоје две пресечне тачке Ако је D 0: Постоје једно реална решења једначине што значи да права ДОДИРУЈЕ параболу. Ово је услов додира. Ако је D < 0: Нема реалних решења једначине што значи да права МИМОИЛАЗИ параболу и немају заједничких тачака. Jov@soft - Март 0.
3..) Однос праве и параболе детаљније Jov@soft - Март 0. Одавде следи: Ако је D > 0: Ако је D 0: Ако је D < 0: D p p p p < 0 Услов додира: p ( p ) > 0 D p p p > 0 ( p ) 0 D p p p 0 ( ) < 0 Права и парабола се секу Права и парабола се додирују Права и парабола се мимоилазе
Рекапитулација 3.5.) Услови додира праве и криве Услов додира централне кружнице: Услов додира елипсе: ( ) r Услов додира хиперболе: Услов додира параболе: p Jov@soft - Март 0.
КРАЈ Jov@soft - Март 0.