1 Teorema di ricorsione

1 Teorema di ricorsione Teorema 1 Siano a A, g : A N A, allora esiste ed è unica { f(0) = a f : N A tale che: f(n + 1) = g(f(n), n) La dimostrazione è divisa in due parti: Esistenza Utilizziamo le approssimazioni finite (AF). Definizione 1 φ è una approssimazione finita (AF) se è una funzione che ha per dominio un numero naturale N e Ad esempio n n + 1 dom φ φ(n + 1) = g(φ(n), n) φ = {(0, a)} è un approssimazione finita con dominio 1 φ = {(0, a), (1, g(a, 0))} è un approssimazione finita con dominio 2 se A = N, g(x, n) = nx (la ricorsione del fattoriale) φ = {(0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6),... } Prendiamo ora F = {φ P(N A) φ è una AF} che esiste per lo schema di assiomi di separazione. Allora valgono 1. Se φ, ψ F e se u (dom φ) (dom ψ) allora φ(n) = ψ(n) 2. n N φ F : dom φ = n + 1 = {0, 1,..., n} Osserviamo che se valgono (1) e (2) allora f := φ F φ è la funzione cercata, quindi otteniamo l esistenza (da (1) segue che f è una funzione ben definita, da (2) segue che dom f = N e per la costruzione delle AF segue facilmente che f(n + 1) = g(f(n), n)). Dimostriamo le proprietà enunciate sopra 1. Per induzione su n n = 0 dom φ dom ψ e φ(0) = ψ(0) n + 1 dom φ dom ψ e 2. Per induzione su n φ(n + 1) = g(φ(n), n) = g(ψ(n), n) = ψ(n + 1) n = 0: φ = {(0, a)} è una AF con dom φ = {0} = 1 = n + 1 1

n n + 1 per l ipotesi induttiva esiste una AF φ tale che dom φ = n + 1. Prendiamo allora φ := φ {(n + 1, g(φ(n), n)}. Questa è chiaramente una AF con dominio n + 2. Unicità Siano f 1, f 2 : N A che sodisfano le proprietà volute. Procediamo per induzione e proviamo che f 1 (n) = f 2 (n) per tutti gli n. CVD n = 0 È ovvio vedere che f 1(0) = a = f 2 (0) n n + 1 Per l ipotesi induttiva f 1 (n) = f 2 (n). Quindi f 1 (n + 1) = g(f 1 (n), n) = g(f 2 (n), n) = f 2 (n + 1) Teorema 2 Ricorsione numerabile forte Siano a A, G : SF (A) N A. Allora esiste unica { f(0) = a f : N A tale che f(n) = G(f n, n) Dove f n = f(0),..., f(n 1). La dimostrazione di questo risultato è lasciata per esercizio. 2 Teorema di Cantor-Bernstein Teorema 3 Dati due insiemi A, B, se esistono f : A B, g : B A iniettive allora esiste h : A B biunivoca Poichè f : A B è iniettiva, posto A = f[a] = Im f si ha che f : A A è bigettiva. Analogamente per g, B posto B = g[b], g : B B è biunivoca. Ma allora g f : A g[a ] = g[f[a]] è biunivoca. Quindi abbiamo che A = g[a ] B = B g[a ] B A Quindi ci basta dimostare il seguente lemma Lemma 1 Siano X, Y, Z tre insiemi tali che X Y Z e che X = Z allora X = Y. 2

Noi sappiamo che c è una bigezione f : X Z e vorremmo definire h : X Y. Definiamo { E 0 = X\Y e E := E n+1 = f[e n ] n N + E n A questo punto possiamo infine definire { x se x Y \E h(x) = f(x) altrimenti, cioè se x (X\Y ) E Dimostriamo che h è biunivoca. CVD g suriettiva: 1. y E h(y) = f(y) = y 2. y E n 1 y E n = f[e n 1 ] x E n 1 f(x) = y h(x) = f(x) = y g iniettiva: siano x 1, x 2 X tali che f(x 1 ) = f(x 2 ) 1. x 1, x 2 (X\Y ) E per l iniettività di f. 2. x 1, x 2 Y \E per la definizione di h h(x 1 ) = h(x 2 ) f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2 h(x 1 ) = h(x 2 ) x 1 = x 2 3. x 1 (X\Y ) E, x 2 Y \E ma questo è assurdo perchè in questo caso f(x 1 ) f[(x\y ) E] = E mentre f(x 2 ) f[y \E] = Y \E Esercizio 1 Dimostrare che esistono gli insiemi E n utilizzando il teorema di ricorsione. 3 Buoni ordinamenti Definizione 2 Un insieme totalmente ordinato (A, <) si dice bene ordinato se ogni suo sottoinsieme non vuoto ha minimo Osservazione 1 Sia A bene ordinato allora per ogni elemento x non massimo definiamo x + 1 := min{y A y > x} Osservazione 2 Ogni insieme ben ordinato A ha un minimo, indicato con 0 A 3

Ricordiamo l assioma della scelta: Assioma della scelta (AC) Sia F una famiglia non vuota di insiemi non vuoti. Allora esiste una funzione di scelta f : F X tale che X F f(x) X X F Proposizione 1 (A, <) è un insieme bene ordinato non esistono catene discendenti, cioè successioni a n n N tali che n N a n+1 < a n ( ) Per assurdo sia a n n N una catena discendente. Allora l insieme {a n n N} A non ha minimo, assurdo. ( ) (Usando l AC) Lasciamo per esercizio di dimostrare che se A non è bene ordinato, allora esiste una catena discendente. Osservazione 3 Ogni segmento iniziale (proprio) S A di un insieme bene ordinato è della forma: S = A a := {x A x < a}segmento iniziale generato da a A Infatti basta prendere a = min{x A x S}. Proposizione 2 Siano A, B insiemi ben ordinati 1. Sia φ : A A che preserva l ordine (cioè a, b A a < b φ(a) < φ(b)). Allora a A φ(a) a 2. Per ogni a A, A a = A 3. L unico automorfismo φ : A A è l identità 4. Se A = B allora esiste un unico isomorfismo φ : A B 5. Per ogni b, b B se B b = Bb allora b = b 1. Per assurdo sia Γ := {a A φ(a) < a} Allora, poichè A è ben ordinato, esiste ξ := min Γ. Quindi φ(ξ) < ξ φ(φ(ξ)) < φ(ξ) φ(ξ) Γ Ma questo è assurdo perchè ξ è il minimo elemento di Γ e φ(ξ) < ξ. 2. Per assurdo esista a A tale che A a = A. Ma allora esiste φ : A Aa isomorfismo, cioè la funzione φ : A A preserva l ordine, perciò φ(a) a. Ma φ(a) A a φ(a) < a, assurdo. Le dimostrazioni dei punti 3,4,5 sono lasciate per esercizio. 4

Teorema 4 (Tricotomia dei buoni ordini) Siano A, B insiemi ben ordinati. Allora vale esattamente uno dei casi seguenti 1. A = B 2. b B A = B b 3. a A A a = B Consideriamo Γ := {(a, b) A B A a = Bb }. Γ non è vuoto ad esempio perchè (0 A, 0 B ) Γ. L idea è quella di descrivere il grafico della funzione che sarà l isomorfismo tra A e B. Γ è una funzione. (a, b), (a, b ) Γ A a = Bb, A a = Bb B b = B b b = b Γ preserva l ordine. Siano a < a Allora A a = BΓ(a) e A a = BΓ(a ). Quindi esiste ψ : A a B Γ(a) isomorfismo. Allora ψ A a : A a B ψ(a ) è ancora un isomorfismo. Cioè B Γ(a ) = A a = B ψ(a ), quindi Γ(a ) = ψ(a ) B Γ(a) Γ(a ) < Γ(a) Notiamo che dal fatto che Γ preserva l ordine segue immediatamente che Γ è iniettiva. dom Γ è un segmento iniziale di A. Infatti se a < a dom Γ ne segue che esiste ψ : A a B Γ(a), ma allora anche ψ Aa : A a B ψ(a ) è un isomorfismo, e a dom Γ Im Γ è un segmento iniziale di B. Come sopra dom Γ e Im Γ non possono essere entrambi segmenti iniziali propri. Infatti se per assurdo dom Γ = A a e Im Γ = B b allora Γ sarebbe un isomorfismo tra A a e B b, cioè (a, b) Γ e quindi a dom Γ = A a, assurdo. Quindi dalle tre possibilità rimaste (al massimo uno tra dom Γ e Im Γ può essere un segmento iniziale proprio) abbiamo i tre casi della tesi. CVD. Definizione 3 Come notazione per il tipo d ordine abbiamo che ot(a) = ot(b) significa A = B ot(a) < ot(b) significa A = B b per un opportuno b B. Corollario 1 Per ogni A, B, C insiemi ben ordinati 1. ot(a) < ot(b) ot(b) < ot(c) ot(a) < ot(b) 5

2. ot(a) = ot(b) ot(a) < ot(b) ot(a) > ot(b) 3. ot(a) ot(a) Osservazione 4 Abbiamo qui un ordine totale ma come per le classi d equipotenza anche qui le collezioni d oggetti sono troppo grandi per essere insiemi. Osservazione 5 Sia A un insieme bene ordinato X A ot(x) ot(a) X A ot(x) < ot(a) Infatti come controesempio basta prendere il sottoinsieme X di ω costituito dai numeri pari, in cui ot(x) = ot(ω) Esercizio 2 1. Due ordini totali sullo stesso insieme finito sono isomorfi (per induzione) 2. Ogni ordine totale su un insieme finito è un buon ordine, cioè se (A, <) è un insieme totalmente ordinato e A = n finito allora (A, <) = (n, ). 3. Sia (A, <) un insieme ben ordinato infinito. Allora (A, <) = ω X A infinto è privo di massimo Esempio 1 Prendiamo ω e ω + 1 := ω {ω}s. Allora ω = ω + 1 tuttavia (ω, ) = (ω + 1, ) perchè ω è un segmento iniziale di ω + 1. Inoltre ω + 1 è infinito e ha max, mentre ogni sottoinsieme infinito di ω non ha max. 3.1 Operazioni sugli insiemi ordinati Definizione 4 Siano A, B due insiemi totalmente ordinati. Definiamo A B := ((A {0}) (B {1}), <) (a, 0) < (a, 0) a < A a dove (b, 1) < (b, 1) b < B b (a, 0) < (b, 1) a A, b B Osservazione 6 Se A, B allora A B B A. Inoltre ot(a B) > ot(b). Ma può capitare che ot(a B) = ot(b). Per esempio 1 ω = ω, ma ot(ω 1) > ot(ω). Tuttavia vale che A (B C) = (A B) C. Definizione 5 Siano A, B due insiemi totalmente ordinati. Definiamo A B := (A B. <) dove (a, b) < (a, b ) b < B b (b = b a < A a ) (ordinamento lessicografico) 6

Esempio 2 Se A = B = ω abbiamo che A B = 0 A, 1 A,..., 0 B, 1 B,... A B = (0 A, 0 B ), (1 A, 0 B ),..., (0 A, 1 B ), (1 A, 1 B ),...,... Notiamo che, ad esempio ω 3 = 3 ω. Infatti ω 3 = (0, 0), (1, 0),..., (0, 1), (1, 1),..., (0, 2), (1, 2),... 3 ω = (0, 0), (1, 0), (2, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (0, 2),... Esercizio 3 Siano A, B, C insiemi bene ordinati (A B) C = A (B C) ot(a) < ot(b) C A C = B (insieme differenza) Leggi di cancellazione: A B = A C B = C A B = A C B = C Non vale invece A B = C B A = C Proposizione 3 Sia F una famiglia non vuota di insiemi ben ordinati, allora esiste ( F, <) F che ha tipo d ordine minimo. Fissiamo (F, <) F. Se F F ot(f ) ot(f ), abbiamo che F è minimo. Altrimenti Γ := {a F F F F = F a } è non vuoto. Prendiamo quindi a = min Γ, F Γ F = Fa. È ovvio che F ha tipo d ordine minimo. CVD Esercizio 4 (Cantor) Ogni insieme totalmente ordinato numerabile è isomorfo a un sottoinsieme di Q Esercizio 5 A quale sottoinsieme di Q è isomorfo N N? E N N? E N N? E N N? }{{}}{{} k volte k volte 3.2 Esponenziali di buoni ordini Definizione 6 Siano A, B insiemi totalmente ordinati. L insieme B A := {f f : A B f è definitivamente uguale a min Im f} si può dotare di un ordine se A è bene ordinato: ( ordine della minima differenza) f, g B A f < g f(a) < g(a) dove a = min{x A f(x) g(x)} Esercizio 6 Se A è un insieme bene ordinato B A è un insieme totalmente ordinato. Inoltre, se B è bene ordinato, anche B A è bene ordinato. 7

4 Ordinali Nel caso dei cardinali finiti ω forma una classe di rappresentanti canonici. Inoltre si ha che gli ordinamenti totali su di un insieme finito sono isomorfi. Lo scopo ora è introdurre una speciale classe di insiemi bene ordinati tale che per ogni insieme ben ordinato esiste ed è unico un ordinale che gli è isomorfo (ovvero un unico rappresentante canonico per ogni possibile tipo di buon ordine). Definizione 7 Un insieme A si dice ordinale se 1. (A, ) è un insieme bene ordinato 2. a a A a A (A è un insieme transitivo) 2. a A A a = a Esercizio 7 Ogni A ω soddisfa la (1) Ogni A ω infinito è tale che (A, ) = (ω, ) (2) (2 ) Proposizione 4 Sia α un ordinale 1. Se x α non è il massimo, allora ˆx α 1 2. α α 3. ˆα è un ordinale 4. Se β α, allora β è un ordinale 5. Se α, β sono ordinali allora α β α è un segmento iniziale proprio di β α β 6. Se α, β sono ordinali e α = β allora α = β 7. Se α, β sono ordinali, vale una e una sola: α = β α β β α 1. Poichè α è transitivo abbiamo che x, {x} α perciò anche la loro unione è un sottoinsieme di α. Inoltre deve essere un sottoinsieme proprio perchè se fosse ˆx = α x = max ˆx = max α assurdo. Quindi x α x α 2. Se fosse α α, visto che (α, ) è ben ordinato, in particolare è ordinato e perciò x α x x α α, assurdo. 1 Ricordiamo che per ogni insieme x, ˆx := x {x} 8

3. Notiamo che ˆα è transitivo. Infatti se x y ˆα allora ci sono due casi: y α (x y α) x α x ˆα y = α (x y = α) x α x ˆα Inoltre ˆα è banalmente ordinato da con α come elemento massimo. 4. β è transitivo Siano x y β, ma allora x y β α x, y, β α, e quindi poichè (α, ) è un ordinamento x y β x β. β α β α e quindi è ordinato perchè sottoinsieme di un insieme bene ordinato. 5. Per la transitività di β, α β α β e inoltre poichè α è transitivo è un segmento iniziale. Inoltre è un segmento iniziale proprio perchè α β ma β β. Resta da vedere solo α β α β. Sia quindi α β. Posto γ = min(β\α) allora γ = β γ perciò x β γ x β x < γ x α per la definizione di γ, e quindi γ α x α x β e inoltre x < γ x γ perchè se fosse γ < x α per la transitività di α avremmo γ α assurdo. Quindi γ α α = γ β. 6. Sia ψ : α β isomorfismo. Basta mostrare che x α ψ(x) = x. Se così non fosse, prendiamo ξ = min{x α ψ(x) x}. Allora avremmo un isomorfismo ψ αξ : α ξ β ψ(ξ), cioè un isomorfismo ϕ : ξ ψ(ξ) in cui ϕ(x) = x per tutti gli x ξ, cioè ξ = ψ(ξ), contro l ipotesi ξ ψ(ξ). CVD 7. Esercizio Esercizio 8 1. X insieme di ordinali è un ordinale se e solo se è transitivo 2. X insieme di ordinali, x X x è un ordinale e sup X = x X x 3. X insieme di ordinali, x X x è un ordinale e min X = x X x 4. Se α è un ordinale allora α + 1 := α {α} è un ordinale ed è il più piccolo tra gli ordinali maggiori di α. Teorema 5 Per ogni insieme ben ordinato (A, <) esiste un unico ordinale α tale che (A, <) = (α, ). 9

Unicità: Se (A, <) = (α, ) e (A, <) = (β, ) segue che α = β α = β per la proposizione precedente. Esistenza: Sia X := {x A esiste un ordinale β tale che A x = β}. X è non vuoto poichè A 0A =. Notiamo che X è un segmento iniziale di A. Infatti sia y < x X. Allora esiste φ : A x α, α ordinale. Ma allora φ Ay : A y α φ(y) = φ(y) è un isomorfismo da A y a un ordinale, quindi y X. Quindi x X esiste ed è unico un ordinale β (x) tale che A x = β (x). Quindi esiste una funzione θ che manda x β (x). N.B.: L esistenza di θ non è garantita dagli assiomi dati finora. Infatti servirebbe che {β (x) x X} fosse un insieme. L esistenza di questo insieme è garantita dall assioma di rimpiazzamento. Notiamo che Im θ è un insieme transitivo di ordinali, e quindi un ordinale. Infatti se α β (x) Im θ esiste un ϕ : β (x) A x e, restringendo, ϕ (x) β α α : α ϕ(α) A ϕ(α) è un isomorfismo. Quindi α = A ϕ(α) e dunque α = θ(ϕ(α)) Im θ. Sia quindi γ = Im θ ordinale. Vediamo ora che θ : X γ rispetta l ordine, e che quindi è un isomorfismo. Siano y < x Allora β ( y) = A y che è un segmento iniziale proprio di A x = β (x). Quindi β (y) è congruo ad un segmento iniziale proprio di β (x), ma siccome sono ordinali, β (y) β (x). Quindi esiste θ : X γ isomorfismo. Tutto quello che resta da vedere è che X = A. Per assurdo sia X = A ξ segmento iniziale proprio. Ma allora A ξ = γ sotto l isomorfismo θ, quindi ξ X = A ξ, assurdo perchè sarebbe ξ < ξ. CVD 5 Insiemi e classi In ZFC esistono solo insiemi, tuttavia possiamo parlare di collezioni di oggetti che non possono essere insiemi. Ad esempio la classe universale V = {x x = x} NON è un insieme. Infatti se V fosse un insieme, lo sarebbe anche P(V), ma allora P(V) V e quindi esisterebbe una funzione iniettiva f : P(V) V, assurdo. Tuttavia di queste collezioni possiamo parlare, ad esempio: R = {x x x} classe di Russel, non è un insieme ON = {α α è un ordinale} non è un insieme (vedi oltre, paradosso di Burali-Forti) 10

Data una formula σ(x) (eventualmente con parametri) denotiamo con {x σ(x)} la classe degli elementi che la soddisfano. Una classe che non è un insieme si dice classe propria. Osserviamo che la proprietà di essere una classe non è esprimibile, cioè non esiste la classe delle classi (cioè siamo in un metalinguaggio. 5.1 Assioma di rimpiazzamento e classi Definizione 8 Una funzione-classe è una classe che è di tipo funzionale, cioè una classe F tale che (a, b), (a, b ) F b = b. Cioè F = {(x, y) φ(x, y)} dove x, y, y (φ(x, y) φ(x, y ) y = y N.B. se sapessi che x, y variano in certi insiemi, dall assioma di separazione ne seguirebbe che F non è una classe propria. Notazione: Se C = {x ϕ(x)} (classe estrusione di ϕ) allora x C significa ϕ(x). A B = {(a, b) a A b B} Se F è una funzione-classe, allora dom F = {x y : (x, y) F} Im F = {y x : (x, y) F} F(a) denota l unico b tale che (a, b) F. Esempio 3 1. x P(x) è una funzione-classe 2. Funzione classe singoletto F(x) = {x} 3. x β (x) nella dimostrazione precedente Assioma di rimpiazzamento Se F è una funzione classe e A è un insieme allora F[A] = {F(a) a A} è un insieme. (Equivalentemente F A = {(a, b) F a A} è una funzione). Esercizio 9 Preso l insieme ω, per rimpiazzamento {{u} u ω} è un insieme, con la funzione classe singoletto. In realtà questo insieme esisteva già per separazione di P(ω). 11

6 Alcuni esercizi Esercizio 10 α, β ordinali, allora vale una ed una sola tra α = β, α β, β α Segue immediatamente dalla tricotomia tra buoni ordini e dalle proprietà degli ordinali. CVD Esercizio 11 Se X è un insieme di ordinali allora X è un ordinale e X = min X X è un ordinale perchè X è transitivo. y ξ X x X y ξ x Ma poichè gli elementi di X sono transitivi x X y x y X. X è totalmente ordinato da. Siano y, z X Fissiamo x 0 X, allora y, z x 0. Ma poichè x 0 è un ordinale ne segue che X è bene ordinato. Come prima y = z y z z y Inoltre γ = X è minimo perchè x X γ x γ min X ma x X min X x min X X = γ CVD Esercizio 12 Sia X un insieme di ordinali. Allora X è un ordinale X è transitivo ( ) Per la definizione di ordinale ( ) Notiamo che X è totalmente ordinato da per la tricotomia degli ordinali. Inoltre dall esercizio precedente segue che, se Γ X allora min Γ = Γ, quindi X è bene ordinato. Inoltre è tranisitivo per ipotesi, quindi è un ordinale. CVD Esercizio 13 Dato X un insieme di ordinali allora X è un ordinale e sup X = X. X è transitivo. Infatti se z y X vuol dire che x X z y x z X z X perchè x è un ordinale. X è un ordinale per l esercizio precedente (è unione di ordinali, quindi unione di insiemi di ordinali, quindi insieme di ordinali). Poniamo Γ := X 12

x X Γ x X è maggiorante Sia δ ordinale maggiorante di X, cioè x X δ x δ X = Γ Quindi Γ è il minimo dei maggioranti. CVD Esempio 4 Sia X = {0, 1, 2,... } l insieme dei naturali di Von Neumann. Allora X = ω = sup X ma ω X quindi ω non è max. Esercizio 14 L unione di insiemi totalmente ordinati è ordinata? NO: Infatti se prendiamo {1, 2} con l ordinamento 1 < 2 e {1, 2} con l ordinamento 2 < 1 la loro unione non è ordinata dall unione degli ordini (che non è un ordine). A parte questo caso banale consideriamo due insiemi ordinati (A, < A ) e (B, < B ) compatibili, tali cioè che x, y A B (x < A y x < B y) Esercizio 15 Sia F = {(A i, < i )} i I una famiglia di ordini compatibili. Allora ( ) F = < i è un ordine. i I A i, i I Definizione 9 Un insieme ordinato (A, < A ) si dice sottoinsieme di un altro insieme ordinato (B, < B ) se A B e < A =< B (A A) cioè se l ordine di A è quello indotto da (B, < B ). Esercizio 16 Se F è una famiglia di ordini totali uno sottoinsieme dell altro, allora F (definito come sopra) è un ordine totale. Vale la stessa proprietà con i buoni ordini? 1. (Esercizio) 2. NO. Infatto sia A n := { n, n + 1,..., 1, 0} con l ordine indotto da Z. Allora tutti gli A n sono bene ordinati ma n N A n = {..., 2, 1, 0} non è bene ordinato. 13

CVD Un unione di buoni ordini non è necessariamente un buon ordine perchè gli ordini in più possono venir aggiunti a sinistra generando così una catena discendente. Questo non accade, ad esempio, con gli ordinali, perchè gli elementi aggiuntivi vengono aggiunti sempre a destra Esercizio 17 Sia F una famiglia di buoni ordini che sono l uno un segmento iniziale dell altro, allora F è un buon ordine. Per assurdo esista una catena discendente x 0 > x 1 > x 2 >.... Allora prendiamo A 0 F tale che x 0 A 0. Ma allora prendiamo per ogni i A i tale che x i A i. Se A i A 0 si ha evidentemente che x i A 0. Supponiamo invece che A 0 sia segmento iniziale di A i. Allora x i < x 0 deve appartenere ugualmente a A 0. Quindi, riassumendo i N x i A 0, cioè esiste una catena discendente in A 0, assurdo perchè A 0 è bene ordinato. CVD Esercizio 18 Sia (A, <) un insieme ordinato infinito. Allora (A, <) è isomorfo a ω X A infinito non ha max ( ) Sia X A infinito. Se X avesse un massimo, sia Y il corrispondente sottoinsieme di ω. Allora anche Y ha massimo, sia max Y = n. Ma allora Y {0, 1,..., n}, assurdo perchè Y è infinito. ( ) Notiamo intanto che A è bene ordinato perchè se ci fosse una catena discendente sarebbe un sottoinsieme infinito di A con un massimo.allora per la tricotomia tra buoni ordini, segue che o A = ω o uno dei due è isomorfo a un segmento iniziale dell altro. Notiamo che A non può essere isomorfo a un segmento iniziale di ω perchè tutti i segmenti iniziali di ω sono finiti, mentre A è infinito. Supponiamo per assurdo che esista a A tale che ω = A a. Ma allora A a {a} è un sottoinsieme di A infinito (contiene ω) che ha massimo (a), assurdo. Quindi deve essere A = ω. CVD Esercizio 19 (Q, <) è universale tra gli insiemi ordinati al più numerabili, cioè per ogni (A, <) insieme ordinato con A ℵ 0 (A, <) è isomorfo a un sottoinsieme di Q. Se A è finito è ovvio per induzione. Supponiamo A = ℵ 0. Allora posso enumerare gli elementi di A, cioè trovare n a n biunivoca da ω ad A. Allora definiamo per ricorsione una funzione θ : A Q θ(a 0 ) = 0 min{θ(a 0 ),..., θ(a n )} se a n+1 < a 0,..., a n max{θ(a 0 ),..., θ(a n )} se a n+1 > a 0,..., a n θ(a n+1 ) = a i+a j 2 se a i = min{a k a k > a n+1 }, a j = max{a k a k < a n+1 } 14

È chiaro dalla definizione di θ che Im θ = A, cioè che θ è un isomorfismo. CVD Esercizio 20 La proprietà tricotomica vale anche tra insiemi ordinati? NO. Ad esempio N e Z. CVD Proposizione 5 Sia X R bene ordinato con l ordinamento indotto da R. Allora X ℵ 0. Sia X R bene ordinato. Allora x X eccettuato il massimo di X x + successore di x. Allora x X\{max X} q x Q (x, x + ) per la densità di Q in R. Ma allora la funzione che associa x a q x è una funzione iniettiva da X\{max X} a Q, perciò: X Q = ℵ 0 CVD NB: Nella scelta di q x non è necessario usare l assioma della scelta, perchè basta fissare una numerazione di Q = {q 1, q 2,... } e scegliere il q x che corrisponde al q i con il minimo indice i per cui vale la proprietà. Definizione 10 Un insieme ordinato (X, <) è separabile se ha un sottoinsieme denso numerabile Esercizio 21 Sia (X, <) separabile. Allora X 2 ℵ0 =. Sia Y X numerabile e denso. Consideriamo θ : X P(Y ) che manda x in {y Y y < x}. θ è iniettiva perchè Y è denso, da cui la tesi. CVD Esercizio 22 Dati A, B F in(n) definiamo 1. A < B n B\A : A n = B n Dimostrare che < è un ordine totale ma non un buon ordine (ordine della minima differenza) 2. A B n B\A : A {n + 1, n + 2,... } = B {n + 1, n + 2,... } Dimostrare che è un buon ordine e che (F in(n), ) = ω (ordine della massima differenza). Esercizio 23 A, B R + ben ordinati. Allora A + B = {a + b a A, b B} è ben ordinato. Esercizio 24 Se X ℵ 0, allora R\X separabile. 15

7 Induzione e ricorsione transfinite 7.1 Ancora sull assioma di rimpiazzamento L assioma di rimpiazzamento può essere visto in questo modo: se ϕ(x, y) è una formula funzionale, cioè tale che x y y (ϕ(x, y) ϕ(x, y ) y = y (detto in altri termini, per ogni x esiste al più un unico y tale che ϕ(x, y)), allora il seguente è un assioma A B( b b B a A ϕ(a, b)) Esercizio 25 1. Se F è una funzione-classe iniettiva definita sulla classe propria A allora F[A] è una classe propria 2. Se A è una classe propria e B è una classe tale che A B allora B è una classe propria. Esercizio 26 Per ogni A {X X = A } è una classe propria. Come classi proprie che conosciamo a cui vogliamo ricondurci (vedi es. precedente) abbiamo V = {x x = x} R = {x x x} ON = {α α ordinale } Basta trovare una funzione-classe iniettiva F : V A = {x x = A }. Ad esempio prendiamo ã A e prendiamo tale che ξ A (, ξ) A. Allora definiamo la funzione classe tale che: X F (A\{ã}) {(, X)} Notiamo che poichè A è un insieme ha senso la scelta di e che F[V] A, Inoltre F è chiaramente iniettiva, da cui per il punto precedente A è una classe propria. CVD 7.2 Funzione-classe di Hartogs Definizione 11 Per ogni insieme A, definiamo la funzione-classe di Hartogs come H(A) = {α ordinale α A } 16

1. H(A) è un insieme B := {(X, < X ) bene ordinato X A} è un insieme? Sì per l assioma di separazione perché: B P(A) P(A A) Consideriamo la funzione classe F che associa ad ogni buon ordine l unico ordinale ad esso isomorfo. Osserviamo che per l assioma di rimpiazzamento F[B] è un insieme. Inoltre vale Infatti F[B] = H(A) ( ) (X, < X ) B e F[(X, < X )] = α, allora esiste θ : (X, < X ) α isomorfismo. In particolare θ è una bigezione, per cui α = X A perchè X A. Quindi α H(A). ( ) Sia α H(A) allora esiste f : α A iniettiva. Prendiamo X = Im f A. Poichè α è bene ordinato anche X è bene ordinabile con l ordinamento indotto da f. Quindi, posto < X l ordinamento indotto, (X, < X ) B e α F(X, < X ). 2. Dal punto precedente segue che A H(A) è una funzione classe. 3. H(A) è un ordinale Visto che si tratta di un insieme di ordinali, basta dimostrare che è transitivo, cioè che β α H(A) β H(A) Per ipotesi esiste f : α A iniettiva. Allora β α β α e perciò f β : β A è iniettiva, e quindi β A β H(A) CVD Definizione 12 Un ordinale α si dice cardinale se è iniziale, cioè se β α β < α 4. H(A) è un cardinale. Altrimenti esiste α H(A) tale che α = H(A). Ma allora esiste f : H(A) A iniettiva e g : α H(A) biunivoca, quindi esiste f g 1 : H(A) A iniettiva, dunque H(A) H(A), assurdo perchè H(A) è un ordinale. CVD 5. H(A) A cioè f : H(A) A iniettiva. Notare che questo non vuol dire che H(A) > A perchè la tricotomia tra cardinalità dipende dalla scelta. Se per assurdo esistesse f : H(A) A iniettiva, allora H(A) H(A), assurdo. CVD 17

6. Se α è un ordinale, H(α) è il più piccolo ordinale di cardinalità più grande di α. Notiamo che H(α) > α perchè la tricotomia vale tra gli ordinali. Se H(α) non fosse il più piccolo tra gli ordinali con β > α, allora esisterebbe β H(A) con α < β, assurdo per la definizione di H. CVD Esempio 5 H(100) = 101 H(ω) = {β ordinale β finito o numerabile } è il più piccolo cardinale non numerabile. Si indica con ω 1 o ℵ 1. 7.3 La sequenza degli Aleph { ℵ 0 = ω ℵ n+1 = H(ℵ n ) sono cardinali ℵ 0 < ℵ 1 < < ℵ n <.... E la funzione ℵ : N? esiste per ricorsione numerabile più rimpiazzamento. Osservazione 7 Gli ordinali non nulli sono di due tipi ben distinti: i successori (cioè quelli che hanno max, cioè quelli della forma α = β + 1 = β {β}), e gli ordinali limite (quelli che non hanno max, cioè quelli tali che α = α). 7.4 Induzione transfinita Se P è una proprietà-formula (eventualmente con parametri) e α è un ordinale I Forma: { P (0) P (α) ( β < α P (β)) P (α) II Forma: P (0) P (β) P (β + 1) β < λ P (β) P (λ) (caso successore P (α) (caso limite Proposizione 6 I Forma II Forma, ed entrambe valgono. 1. Per assurdo supponiamo che l insieme Γ = {β α P (β) non vale } sia diverso dal vuoto. Allora esiste γ = min Γ. Ma allora: γ 0 perchè P (0) vale. Se γ > 0, visto che γ è il minimo per cui non vale P, vale P (δ) per tutti i δ < γ. Ma allora per ipotesi vale anche P (γ). Assurdo. 2. Per la II forma si procede analogamente 18

3. Il fatto che sono equivalenti segue perchè sono entrambe proprietà vere. L induzione transfinita può essere facilmente generalizzata da un ordinale generico all intera classe degli ordinali ON. { P (0) α ON P (α) β( γ < β P (γ)) P (β) Per assurdo se esistesse un ordinale α tale che P (α) non vale, consideriamo ξ = min{γ α P (γ) non vale } e procediamo come nella dimostrazione precedente. N.B. Il minimo è fatto dentro α, che è un insieme, e non nella classe propria ON. CVD 7.5 Ricorsione transfinita Osservazione 8 Vogliamo ora procedere con alcuni esempi di ricorsione transfinita che verranno giustificate dal teorema di ricorsione transfinita. Definizione 13 Per ogni ordinale α, definisco α + ξ prendendo α + 0 = α α + (β + 1) = (α + β) + 1 α + λ = γ<λ α + γ N.B. Con gli ordinali sup e per δ + 1 si intende δ {δ}. Esercizio 27 ω + ω = ω + n n<ω Il teorema di ricorsione transfinita ci garantisce che per ogni alpha esiste una funzione classe F α tale che dom F α = ON e inoltre: F α (0) = α F α (β + 1) = F α (β) + 1 F α (λ) = γ<λ F α(γ) Un altra definizione possibile è il prodotto tra ordinali: Definizione 14 α 0 = 0 α (β + 1) = (α β) + α α λ = γ<λ α γ Esercizio 28 Siano, le operazioni tra buoni ordini. Allora 19

1. α + β = α β 2. α β = α β Esercizio 29 (ω + 3) + ω = ω + ω Infatti per definizione (ω + 3) + ω = sup n ω ω + 3 + n = sup k ω ω + k = ω + ω. Proposizione 7 Vale la proprietà associativa dell addizione Infatti vale α (β γ) = (α β) γ e dall esercizio precedente segue la tesi. CVD Esercizio 30 (ω + 3) ω = ω ω Proposizione 8 Vale la distributività a destra (ma non vale a sinistra) α (β + γ) = α β + α γ Segue dall esercizio precedente e dall analoga proprietà di,. CVD Per un esempio in cui non vale la distributività a sinistra Esercizio 31 (ω 7) ω = ω ω ω 2 (ω 7 + 25) = ω 3 7 + ω 2 25 ω ω = (ω + 3) ω ω ω + 3 ω Proposizione 9 (Differenza a destra) Se α < β allora esiste un unico ξ tale che α + ξ = β Esistono γ tali che α + γ > β (ad esempio α + (β + 1) > β). Prendiamo η = min{γ α + γ > β} (il minimo si può fare all interno di un opportuno insieme, ad es β + 1). Allora η è un successore. Infatti η 0 perchè α + 0 = α < β. η non è limite, perchè se lo fosse allora α + η = sup γ<η α + γ > β, per cui esisterebbe γ < η per cui α + γ > β contro la minimalità di η. Quindi η = ξ + 1 per cui α + ξ β < α + ξ + 1 β = α + ξ. Inoltre lasciamo per esercizio da dimostrare che ξ < ξ α + ξ < α + ξ, da cui segue l unicità. CVD 20

Teorema 6 Divisione euclidea Se α > β 1, allora!γ, ρ tali che α = β γ + ρ con ρ < β Esercizio 32 ω 2 + ω 4 + 3 diviso per ω + 5 (ω + 5) ω = ω 2 < ω 2 + ω 4 + 3 (ω + 5) (ω + 1) = ω 2 + ω + 5 < ω 2 + ω 4 + 3 (ω + 5) (ω + 3) = ω 2 + ω 3 + 5 < ω 2 + ω 4 + 3 (ω + 5) (ω + 4) = ω 2 + ω 4 + 5 > ω 2 + ω 4 + 3 Quindi il quoziente è ω + 3. Cerchiamo il resto, ovvero l unico ξ tale che ω 2 + ω 3 + 5 + ξ = ω 2 + ω 4 + 3 Basta prendere ξ = ω + 3 Il resto allora è ω + 3 < ω + 5. Esistono δ tali che β δ > α (ad esempio α + 1). Esercizio 33 2. ξ ξ η η ξ η ξ Quindi possiamo prendere Ora, η è un successore. Infatti 1. ξ ξ η ξ η ξ η η 0 perchè β 0 = 0 α. η = min{ξ β ξ > α} Se η fosse limite allora esisterebbe ξ < η tale che β ξ > α, contro la minimalità di η. Allora η = γ + 1 e β γ α < β (γ + 1) per cui γ è il qoziente. Il resto ρ è quell unico ordinale tale che β γ + ρ = α (Nota che ρ < β, se no α = β γ + ρ β(γ + 1) > α, assurdo). Unicità. Siano α = β γ + ρ = β γ + ρ. Senza perdita di generalità γ < γ, per cui γ + 1 γ. Allora α = β γ + ρ < β γ + β = β (γ + 1) β γ β γ + ρ = α Assurdo. L unicità di ρ segue dall unicità della differenza.cvd Esercizio 34 Dividere ω 2 per ω 5 + 7 e dividere ω per 7. Definizione 15 Potenza di ordinali α 0 = 1 α β+1 = (α β ) α α λ = γ<λ αγ Esercizio 35 α β = Exp(α, β) dove Exp è l esponenziale di buoni ordini. N.B. L esponenziale di ordinali è molto diverso come operazione dall esponenziale dei corrispondenti cardinali. Infatti 2 ω = ω mentre 2 ℵ0 > ℵ 0 21

8 Alcuni esercizi Esercizio 36 α + β = α β Per induzione transfinita dimostriamo che la seguente proprietà con parametro α vale per tutti i β ON. P (β) : α + β = α β P (0) è chiaramente vera, infatti α 0 è per definizione isomorfo a α = α + 0. P (β) P (β + 1): Per ipotesi induttiva α + β = α β. È immediato vedere che α + (β + 1) = (α + β) + 1 = (α + β) 1 = (α β) 1 Ma per la definizione di β + 1 si vede immediatamente che α (β + 1) = (α β) 1 P (λ): Abbiamo che α + λ = γ<λ α + γ Ma per ipotesi induttiva, per ogni γ < λ esiste un isomorfismo ψ γ : α + γ α γ. L idea è quella di dimostrare che ψ = γ<λ ψ γ è un isomorfismo tra α+λ e α λ. Notiamo che se λ > γ > γ allora ψ α+γ α+γ = ψ α+γ perchè l isomorfismo tra due insiemi bene ordinati è necessariamente unico. Quindi ψ = γ<λ è una funzione biunivoca da α + λ a γ<λ α γ = α λ. Vediamo ora che ψ preserva l ordine. Infatti se x, y α + λ = α + γ allora γ 1, γ 2 < λ x α + γ 1, y α + γ 2 γ<λ Ma, ponendo γ = max(γ 1, γ 2 ) allora x, y γ e ψ(x) = ψ γ (x), ψ(y) = ψ γ (y) (deve essere così perchè ψ γ è un isomorfismo tra α + γ e α γ, e l isomorfismo tra due insiemi ordinati è necessariamente unico). Perciò, visto che ψ γ è un isomorfismo abbiamo la tesi. CVD Esercizio 37 α ξ+η = α ξ α η Per induzione transfinita su η. η = 0: α ξ+0 = α ξ = α ξ 1 = α ξ α 0 η η + 1: Per ipotesi induttiva sappiamo che α ξ+η = α ξ α η η limite: α ξ α λ = α ξ CVD α ξ+(η+1) = α (ξ+η)+1 = α ξ+η α = α ξ α η α = α ξ α η+1 γ<λ α γ = α ξ sup γ<λ α γ = sup γ<λ ψ γ α ξ α γ = sup α ξ+γ = γ<λ sup α γ = α ξ+λ γ<ξ+λ 22

Esercizio 38 Siano A, B R + bene ordinati. Allora è bene ordinato A + B := {a + b a A, b B} Per assurdo esista una catena discendente della forma a 0 + b 0 > a 1 + b 1 > a 2 + b 2 + > a n + b n >... Se sapessi che a 0 a 1 a 2... potrei dedurre che b 0 > b 1 >... e avrei concluso per assurdo (infatti B è bene ordinato). Purtroppo questo non è vero in generale. Tuttavia notiamo che basterebbe dimostrare l esistenza di una sottosuccessione a n0 a n1.... E infatti una sottosuccessione di quel tipo si costruisce facilmente in questo modo CVD a n0 = min{a n } n N e a ni+1 = min{a n n > n i } Esercizio 39 Sia α > 0. Allora sono equivalenti α è additivamente chiuso, cioè β < α β + α = α Esiste un δ tale che α = ω δ β, γ < α β + γ < α 8.1 Gerarchia di Von Neumann Definiamo per ogni ordinale α un insieme V α tale che V 0 = V α+1 = P(V α ) V λ = γ<λ V λ Ad esempio V 0 =, V 1 = P( ) = { }, V 2 = {, { }},... Notiamo che V ω soddisfa tutti gli assiomi della teoria di Zermelo-Frankael tranne quello dell infinito. La gerarchia di Von Neumann è strettamente collegata all assioma di Fondazione, che dice che ogni insieme è ben fondato. Un insieme a si dice ben fondato se non esiste una catena infinita a a 1 a 2.... Si può dimostrare che la classe degli insiemi ben fondati è α ON cioè la classe degli x tali che esiste un ordinale α tale che x V α. V α 23

9 Ancora sulla ricorsione Teorema 7 (Ricorsione Transfinita I) Sia data una funzione classe G e un elemento a. Allora esiste una funzione-classe F tale che dom F = ON e F(0) = a, F(α) = G(F α ) Esempio 6 Consideriamo la funzione classe G tale che se x = G(x) = P(f(α)) se x = f è una funzione con dominio un ordinale successore α + 1 γ<λ f(λ) se x = f è una funzione con dominio un ordinale limite λ Allora il nostro teorema ci dice che esite un unica F che ha per dominio gli ordinali e tale che F(0) =, F(α) = G(F α ). Se introduciamo la notazione F(α) = V α vediamo che è giustificata la definizione precedente della gerarchia di Von Neumann. Teorema 8 (Ricorsione Transfinita II) Siano date due funzioni-classi G 1, G 2 e un elemento α. Allora esiste ed è unica una funzione classe F con dom F = ON e tale che F (0) = α F (α + 1) = G 1 (F(α)) F (λ) = G 2 (F λ ) Ad { esempio, nel caso precedente possiamo porre G 1 (x) = P(x) e G 2 (x) = γ<λ f(γ) se x è una funzione con dominio un ordinale limite λ altrimenti Teorema 9 (Ricorsione Transfinita III) Siano dati un ordinale α, un elemento a e una funzione-classe G con dom G = {f dom f α}. Allora esiste un unica funzione F con dominio α tale che F (0) = a e che γ < α F (γ) = G(F α ). Un altro esempio può essere F (0) = 0 F (α + 1) = F (α) (α + 1) F (λ) = γ<λ F (γ) (Teorema di Ricorsione Transfinita I) Definiamo α-approssimazione una funzione f tale che dom f = α+1 = {0, 1,..., α} tale che f(0) = a e f(β) = G(f β ) per ogni β α. Dimostriamo che 1. se f è una α-approssimazione e g è una β-approssimazione e α < β allora f g (cioè g α+1 = f). 2. Per ogni ordinale α esiste una α-approssimazione. 24

1. Dimostriamo per induzione transfinita su β che per ogni β esiste al più un unica β-approssimazione. Per β = 0 è vero, perchè l unica β-approssimazione possibile è {(0, a)}. Se è vero per β allora siano f, g due β+1-approssimazioni. Allora f β+1, g β+1 sono β approssimazioni, per cui per ipotesi induttiva sono uguali. Ma allora f(β + 1) = G(f β+1 ) = G(g β+1 ) = g(β + 1) Quindi f = g. Supponiamo ora β = λ ordinale limite e siano f, g due λ-approssimazioni. Ma allora per ogni γ < λ f γ = g γ per ipotesi induttiva (sono due γ- approssimazioni), quindi in particolare per ogni γ < λ f(γ) = g(γ) quindi f λ = g λ. Ma allora come sopra f(λ) = G(f λ ) = G(g λ ) = g(λ). 2. Dimostriamo ora che per ogni α esiste un α-approssimazione Se α = 0 {(0, a)} è una 0-approssimazione. Supponiamolo vero per α allora esiste una α-approssimazione f. Quindi è una α + 1 approssimazione. g = f G(f) Supponiamo infine che α = λ ordinale limite. Per ipotesi induttiva e per quanto dimostrato prima per ogni γ < λ esiste ed ùnica f γ γ-approssimazione. Se prendo g = γ<λ f γ ho una quasi λ-approssimazione. Infatti dom g = λ e non λ + 1. Ma se prendo ottengo una λ approssimazione. f = g {(λ, G(g))} Infine per ottenere la funzione-classe della tesi basta fissare F(α) = f(α) dove f è l unica α-approssimazione. CVD 9.1 La sequenza degli aleph ℵ 0 = ω ℵ α+1 = H(ℵ α ) = {β ON β ℵ α } ℵ λ = γ<λ ℵ γ Ricordiamoci che per ogni insieme A H(A) è un cardinale (cioè un ordinale tale che ogni ordinale precedente ha una cardinalità strettamente inferiore alla sua). Dimostriamo ora che Proposizione 10 Tutti i cardinali sono aleph, cioè per ogni cardinale κ esiste α ordinale tale che κ = ℵ α. 25

Dimostriamo per induzione transfinita che tutti gli aleph sono cardinali. α = 0 ℵ 0 = ω ok Se α = β + 1 è un ordinale successore ℵ α = H(ℵ β ) e quindi è un cardinale perchè H(A) è un cardinale per ogni insieme A. α = λ ordinale limite. Per questo caso faremo uso di un lemma Lemma 2 Se F = {κ i un cardinale. i I} è una famiglia di cardinali allora κ = F è Intanto κ è un ordinale perchè unione di ordinali. Se γ = κ allora esiste i I tale che γ κ i Ma κ i è un cardinale dunque γ < κ i = κ. CVD Quindi anche ℵ λ = γ<λ ℵ γ è un cardinale perchè unione di cardinali. Esercizio 40 La sequenza degli aleph è strettamente crescente. Per dimostrare il risultato principale utilizzaremo un altro lemma. Lemma 3 α ON α ℵ α Per induzione transfinita su α α = 0 0 ℵ 0 = ω, vero. α = β + 1 per ipotesi induttiva α + 1 ℵ α + 1 H(ℵ α ) = ℵ α+1 (perchè H(ℵ α ) > ℵ α ). α = λ ordinale limite, allora per ogni γ < λ si ha che γ ℵ γ. Ma allora per ipotesi induttiva. λ = sup γ<λ γ sup ℵ γ = ℵ λ γ<λ CVD N.B.: Esistono α tali che ℵ α = α. Ad esempio definiamo per ricorsione { κ 0 = ℵ 0 κ n+1 = ℵ κn e sia κ = sup n<ω κ n Allora si ha che ℵ κ = κ. Infatti κ ℵ κ. Se per assurdo κ < ℵ κ = γ<κ ℵ γ = sup n<ω ℵ κn = κ. Analizzando l esempio inoltre si dimostra che γ κ > γ ℵ κ = κ Veniamo dunque alla dimostrazione che tutti i cardinali sono aleph. Sia κ un generico cardinale. Allora posso definire β := min{α κ < ℵ α } (certamente non vuoto per il lemma: κ ℵ κ < ℵ κ+1 ). Ora β 0 perchè è infinito. Ma β λ limite, perchè altrimenti κ < ℵ λ = sup γ<λ ℵ γ perciò κ < ℵ γ per un opportuno γ < λ. Ma allora β = α + 1 e ℵ α κ < ℵ α+1 = H(ℵ α ). Cioè κ ℵ α. Ma κ è un cardinale per cui κ ℵ α, che da la tesi. CVD 26

Osservazione 9 Ogni insieme bene ordinabile è equipotente ad un aleph. Infatti se A è bene ordinabile, sia (A, <) un buon ordinamento e α l unico ordinale a cui è isomorfo come insieme bene ordinato. In particolare esiste una funzione biunivoca da A su α, quindi A = α. Sia κ = min{γ ordinale γ = α } che è un cardinale. Allora per il teorema precedente esiste un β per cui κ = ℵ β. Quindi A = α = κ = ℵ β Indicheremo ℵ β, cioè l unico aleph equipotente ad A come A. NOTA: IL TEOREMA SEGUENTE VIENE SOLO ENUNCIATO E NON DIMOSTRATO SUGLI APPUNTI. LA FORMULAZIONE CON CUI È ENUN- CIATO NEGLI APPUNTI È PALESEMENTE FALSA. CERCANDO IN IN- TERNET NON L HO TROVATO MA NE PROPONGO UGUALMENTE UNA RICOSTRUZIONE. SE QUALCUNO PUÒ OTTENERE QUALCOSA DI PIÙ PRECISO (ES. CHIEDENDO A QUALCUNO CHE HA SEGUITO IL CORSO) È BENVENUTO Teorema 10 (Pincus) Senza assumere l assioma della scelta non è dimostrabile l esistenza di alcuna funzione classe F definita su tutto V tale che A = B F(A) = F(B) F(A) = A F(A) sarebbe il rappresentante canonico della classe di equipotenza di A. Adesso vedremo, invece, che con l assioma di scelta è possibile dimostrare che ogni insieme è bene ordinabile, e quindi l osservazione precedente ci consente di costruire la funzione-classe. 10 L assioma di scelta Assumendo la teoria di ZF senza scelta le seguenti proposizioni sono equivalenti: 1. L Assioma di Scelta 2. Il Lemma di Zorn 3. Il Teorema di Zermelo (ogni insieme è bene ordinabile) 4. La tricotomia delle cardinalità (per ogni coppia di insiemi A, B o A = B o A > B o A < B 5. A infinito A A = A L Assioma di Scelta ha quattro formulazioni equivalenti: I x f : P(x) { } x tale che f(a) A (Per ogni insieme esiste una funzione di scelta) 27

II F famiglia di insiemi non vuoti e disgiunti, allora esiste un x tale che F F F x = 1 (Per ogni famiglia di insiemi esiste un insieme di scelta) III f : A B suriettiva, g : B A tale che f g = id B IV < A i i I > sequenza di insiemi non vuoti, i I A i Esercizio 41 Verificare l equivalenza di (I), (II), (III), (IV). Dimostriamo ora l equivalenza di (1),(2),(3),(4),(5) (3) (1) Se X è un insieme, per (3) possiamo ben ordinarlo (X, ). Allora è facile definire una funzione f : P(x)\{ } X tale che f(a) = min A. (3) (4) Abbiamo visto che ogni insieme bene ordinabile è equipotente ad un aleph. Allora, se vale Zermelo A, B α, β A = ℵ α B = ℵ β Visto che α = β o α < β o α > β segue la tricotomia (4) (3) Sia A un insieme. Abbiamo visto che H(A) A. Per la tricotomia deve essere A < H(A), cioè esiste ϕ : A H(A) iniettiva. Definisco una relazione < su A tale che a < a ϕ(a) < ϕ(a ). Visto che H(A) è un ordinale, è bene ordinato, quindi anche (A, <) è bene ordinato perchè è isomorfo a Im ϕ H(A). (3) (5) Basta dimostrare che ℵ α ℵ α = ℵ α. Diamo un ordine sulle coppie di ordinali (ξ, η) max{ξ, η} < max{ξ, η } oppure (ξ, η) < (ξ, η ) max = max e ξ < ξ oppure max = max, ξ = ξ, η < η Esercizio 42 Per ogni ordinale α, (α α, <) è bene ordinato. Notiamo che per ogni segmento iniziale, se ξ η S ( ξ, η) {0,..., ξ} {0,..., ξ} Per dimostrare la tesi procediamo per induzione su α. Ovviamente ℵ 0 ℵ 0 = ℵ 0. Per assurdo sia α tale che ℵ α ℵ α = ℵ α. Allora ovviamente ℵ α ℵ α < ℵ α (basta l immersione canonica). 28

Ma (ℵ α ℵ α, <) è bene ordinato, perciò per la tricotomia dei buoni ordini esiste un isomorfismo ϕ : ℵ α S (ξ,η) segmento iniziale di (ℵ α ℵ α, <) Ma ξ ℵ α perciò {0,..., ξ} = ξ + 1 < ℵ α (perchè ℵ α è un ordinale limite, e quindi non può essere un successore). E quindi ξ + 1 = ℵ β con β < α. Allora Ma per ipotesi induttiva Cioè Assurdo. S (ξ,η) {0,..., ξ} {0,..., ξ} S (ξ,η) {0,..., ξ} {0,..., ξ} ℵ β ℵ β ℵ β ℵ β = ℵ β < ℵ α ℵ α = S (ξ,η) ℵ β < ℵ α (5) (3) Fissiamo un insieme A infinito (il caso finito è banale), e supponiamo senza perdita di generalità che A H(A) =. Ma (A H(A)) (A H(A)) = (A A) (A H(A)) (H(A) A) (H(A) H(A)) A H(A) Visto che (A H(A)) (A H(A)) = A H(A) esiste una funzione iniettiva ψ : A H(A) A H(A) Per ogni a A sia allora ψ a : H(A) A H(A) definita da ψ a (ξ) = ψ(a, ξ). Per ogni a ψ a è iniettiva perchè lo era ψ. Inoltre poichè H(A) A abbiamo che Im ψ a H(A). Quindi ha senso definire per ogni a A, ξ a = min{ξ H(A) ψ a (ξ) H(A)} Infine definisco θ : A H(A) tale che θ(a) = ψ(a, ξ a ). θ è iniettiva, perchè lo è ψ, quindi, visto che H(A) è ben ordinato, essendo un ordinale, è possibile indurre un buon ordinamento anche in A Teorema 11 Lemma di Zorn (2) Sia (P, ) un insieme parzialmente ordinato dove ogni catena ammette maggioranti. Allora in (P, ) esistono elementi massimali. C P è una catena se p, q C p q o q p, cioè se è totalmente ordinato dalla restrizione di. p P è maggiorante di un insieme A P se x A x p p P è massimale se x p p < x 29

(2) (3) Sia A un insieme fissato. Consideriamo l insieme di insiemi ordinati P = {(X, ) X A e (X, ) è ben ordinato} E lo ordiniamo parzialmente con l ordine o meglio X Y (X, X ) (Y, le Y ) X è un segmento iniziale di Y l ordine di Y ristretto a X coincide con l ordine di X X è un segmento iniziale di (Y, Y ) Vogliamo dimostrare che P è nelle ipotesi del lemma di Zorn. Sia quindi C = {(X i, i ) i I} una catena. Consideriamo X := i I Si dimostra facilmente dalla proprietà di catena di C che < := i I < i è un buon ordine su X. Quindi ( X, <) è un maggiorante per C e posso applicare il lemma di Zorn a P. Sia quindi (X, < ) un elemento massimale per P. Se riesco a dimostrare che X = A concludo. Se così non fosse prendo a A\X e considero X := X {a}. Inoltre posso dotare X di un ordinamento prendendo quello di X e mettendo a come elemento massimo. Chiaramente anche X è bene ordinato, e X < X, contro la massimalità di X, assurdo. Quindi X = A e ho concluso. X i (1) (2) Sia (P, ) che soddisfa le ipotesi di Zorn. Fissiamo allora f : P(P )\ P funzione di scelta. Fissiamo inoltre P. Per ricorsione transfinita definiamo p 0 = f(p ) p α = se esiste β < α con p β = o se {p β β < α} non ha maggioranti stretti p α = f({x P x è maggiorante stretto di {p β β < α}}) altrimenti Intanto notiamo che se a un certo punto p α = allora da lì in poi p β = β α. Inoltre notiamo che se α > β, e p α, p β P, p α > p β. Quindi se la funzione-classe α p α non assumesse mai il valore sarebbe iniettiva, ma questo è assurdo perchè non può esistere una funzione-classe iniettiva che ha per dominio una classe propria e per codominio un insieme. Quindi ha senso definire α = min{ξ p ξ = }. Questo deve essere successore perchè è chiaramente diverso da 0 e, inoltre, se fosse limite, la catena {p ξ ξ < α} non avrebbe maggiorante (non ha maggiorante stretto per la definizione di α e non ha massimo perchè α è un ordinale limite). Quindi α = β + 1, e p β deve essere elemento massimale perchè la catena {p ξ ξ < α} non ha maggioranti stretti, e quindi non esiste alcun elemento q P tale che q p β e q p β. CVD 30

11 Proprietà dei cardinali 11.1 Operazioni cardinali Definizione 16 Fissati κ, ν cardinali siano A, B due insiemi tali che A = κ, B = ν, A B =. Allora definiamo κ + ν = l unico cardinale equipotente a A B κν = l unico cardinale equipotente a A B κ ν = l unico cardinale equipotente a F un(b, A) (Indichiamo con A quell unico cardinale equipotente ad A). Notiamo che sono buone definizioni perchè non dipendono dalla scelta degli insiemi A, B. Notiamo che 2 ℵ0 = F un(ℵ 0, 2) = P(ℵ 0 ) e ℵ 0 < 2 ℵ 0 (cardinalità del continuo). L ipotesi del continuo dice che ℵ 1 = 2 ℵ0. Teorema 12 Per ogni κ, ν cardinali κ + ν = κν = max κ, ν Sia ξ = max κ, ν. Allora κ + ν ξ + ξ = 2ξ ξξ = ξ κ + ν κν ξξ = ξ κν Definizione 17 (Somme infinite) Sia < k i i I > una sequenza di cardinali. Allora definiamo k i la cardinalità dell unione A i dove A i = k i e A i A j = per i j i I i I Definizione 18 (Prodotto infinito) i I k i è la cardinalità del prodotto cartesiano i I Esercizio 43 Dimostrare che: A i con A i = k i κ i ν i per ogni i i I κ i i I ν i e i I κ i i I ν i i I κ = κ I i I κνi = κ P i I νi ( i I κ ) ν i = i I κν i 31

Teorema 13 i ν κ i = max{κ, ν} dove κ = sup κ i e κ i 0 i I Esempio: i ℵ 1 1 = ℵ 1. Inoltre i 0 ν κ i0 i ν κ i 1 = ν i ν i ν Quindi max{κ, ν} i ν κ i. Viceversa CVD κ i κ = sup κ i κ i i ν i ν κ i κ = κν = max{κ, ν} i ν i ν 11.2 Cardinalità dei Boreliani Definizione 19 La famiglia B degli insiemi Boreliani è la più piccola famiglia di sottoinsiemi di R che contiene gli aperti ed è chiusa per complemento e unione e intersezione numerabile Per calcolare la cardinalità della famiglia dei Boreliani, cerchiamo di descriverli tramite la ricorsione transfinita. B 0 = {Ω Ω aperto} B α+1 = B α {B C B B α } { n N f(n) f : N B α } B λ = γ<λ B γ Notiamo che B ω è chiuso solo per unione e intersezione finita. (Unione perchè Bi = ( B C i ) C ). L insieme di tutti i Boreliani è invece B ω1. Infatti banalmente B ω1 è sottoinsieme dei boreliani perchè tutti i suoi elementi si possono ottenere dagli aperti con unioni e intersezioni numerabili e complementi. Ma si vede immediatamente che B ω1 è chiuso per intersezione, unione numerabile e complemento (le intersezioni numerabili e i complementi di B α si ottengono in B α+1 ) e inoltre B ω1 B 0 e quindi contiene gli aperti. Quindi B ω1 è l insieme di tutti i Boreliani Dimostriamo ora che i Boreliani hanno la cardinalità del continuo B ω1 = c = 2 ℵ0 32

Dimostriamo che per ogni α < ω 1, B α = c per induzione transfinita su α. α = 0, B 0 = { aperti } e quindi B 0 = c. α α + 1 Si ha che B α = c per ipotesi. Inoltre esiste una funzione biunivoca banale da {B C B B α } a B α e perciò anche la sua cardinalità è c. Infine { i N f(i) f : N B α} ha una cardinalità minore o uguale a quella di tutte le sequenze numerabili a valori in B α. Cioè la sua cardinalità è minore o uguale a B α ℵ0 = (2 ℵ0 ) ℵ 0 = 2 ℵ0 ℵ0 = 2 ℵ0 = c Quindi B α+1 B α + complementari + intersezioni c + c + c = c Inoltre è immediato che B α+1 B α = c, quindi B α+1 = c. α ordinale limite. Allora B α = B γ = c = max{ α, c} = c γ<α γ<α B γ γ<α Perchè essendo α < ω 1, α = ℵ 0. Inoltre è ovvio che B α B 0 = c. Quindi B α = c. A questo punto possiamo finalmente calcolare la cardinalità di B ω1. Infatti è banale verificare che B ω1 c. Ma B ω1 = B γ B γ = max{ℵ 1, c} = c γ<ω 1 γ<ω 1 Quindi B ω1 = c. CVD Abbiamo visto quindi che la cardinalità della famiglia dei Boreliani è quella del continuo. La cardinalità delle parti di R è però 2 c e anche quella dei Lebesgue-misurabili (perchè, ad esempio, tutti i sottoinsiemi dell insieme di Cantor sono Lebesgue-misurabili di misura 0). Teorema 14 (König) Siano ν i < κ i cardinali. Allora ν i < κ i i I i I Prendiamo A i = ν i, B i = κ i e supponiamo senza perdita di generalità A i A j = per i j. Per ipotesi esistono ϕ i : A i B i iniettive (non suriettive). Prendo b i B i \ Im ϕ i. Voglio definire θ : A = i I A i i I B i = B iniettiva. Per ogni a A esiste unico i a tale che a A ia. Allora pongo { ϕ i (a) se i = i a θ(a) =< x i i I > dove x i = b i se i 1 a 33

Dimostriamo che θ è iniettiva. Siano a, a due elementi distinti di A. Allora se a, a A i0 abbiamo che θ(a) i0 = ϕ i0 (a) ϕ i0 (a ) = θ(a ) i0 perchè ϕ i0 è iniettiva. Se invece a A i0 a abbiamo che θ(a) i0 = ϕ i0 (a) Im ϕ i0 e θ(a ) i0 = b i0 Im ϕ i0 E quindi θ(a) θ(a ). Ora vogliamo dimostrare che presa una qualunque funzione da A a B non sarà suriettiva. Sia φ : A B Denotiamo con π i : B B i la i-esima proiezione. Per ogni i I la funzione τ i := π i φ Ai : A i B i non sarà suriettiva perchè A i < B i. Per ogni i I allora posso scegliere b i B i \ Im τ i. Voglio dimostrare che b :=< b i i I > Im φ, cioè che a A φ(a) b Infatti, preso a esiste (unico) i 0 tale che a A i0. Ma allora CVD Corollario 2 c ℵ ω φ(a) i0 = τ i0 (a) b i0 φ(a) b Per assurdo sia 2 ℵ0 = ℵ ω = n<ω ℵ n. Per ogni n allora ℵ n < ℵ ω = 2 ℵ0. Per il teorema di König allora 2 ℵ0 = ℵ ω = n<ω ℵ n < n<ω 2 ℵ0 = ( 2 ℵ0) ℵ 0 = 2 ℵ 0 Assurdo.CVD 11.3 Cofinalità Definizione 20 Sia (A, ) totalmente ordinato. Definiamo la cofinalità di A come cof(a) = min{α ordinale f : α A con Im f illimitata} Esempio 7 Alcuni esempi di cofinalità cof(ω + 1) = 1 infatti basta prendere f : {0} ω + 1 con f(0) = ω = max{ω + 1} cof(r) = ω con f : ω R dove f(n) = n 34