Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Τι θα πούμε Θα εξετάσουμε αναλυτικά το μοντέλο Cournot Θα αναφερθούμε σύντομα στο μοντέλο Bertrand Cournot & Bertrand Algorithmic Game Theory 2
Cournot s model of oligopoly Antoine Augustin Cournot, 1801-1877 Πρότεινε το 1838ένα µαθηµατικό µοντέλο για να µοντελοποιήσει προβλήµατα στρατηγικής και ανταγωνισµού µεταξύ εταιριών σε ένα ολιγοπώλιο. Cournot & Bertrand Algorithmic Game Theory 3
Το μοντέλο του Cournot Ένα µοναδικό αγαθό παράγεται από n βιοµηχανίες-εταιρείες Το κόστος της εταιρείας iγια την παραγωγή q i µονάδες του προϊόντος είναι C i (q i ) όπου C i είναι µια αύξουσα συνάρτηση Όλη η παραγωγή πωλείται στην ίδια τιµή η οποία καθορίζεται από τη ζήτηση για το προϊόν, και τη συνολική παραγωγή όλων των εταιρειών Για συνολική παραγωγή Q, η τιµή του προϊόντος (market price) είναι P(Q). Η συνάρτηση P καλείται inverse demand function είναι φθίνουσα όταν είναι θετική: όταν αυξάνει η συνολική παραγωγή του προϊόντος τότε η τιµή του µειώνεται (εκτός εάν είναι ήδη µηδέν). Cournot & Bertrand Algorithmic Game Theory 4
Απόδοση Εάν η παραγωγή κάθε εταιρείας iείναι q i τότε η τιµή του προϊόντος είναι: P(q 1 +q 2 +...+q n ) Η απόδοση για την εταιρεία iείναι: q i P(q 1 +q 2 +...+q n ) Το κέρδος της εταιρείας i είναι: π i (q 1,q 2,...,q n ) = q i P(q 1 +q 2 +...+q n ) - C i (q i ) Cournot & Bertrand Algorithmic Game Theory 5
Το παίγνιο Παίκτες: Οι εταιρείες Ενέργειες:Κάθε εταιρεία έχει ως πιθανές κινήσεις/ενέργειες το μέγεθος της δική της παραγωγής Προτιμήσεις:Οι προτιμήσεις κάθε εταιρείας αντιπροσωπεύονται από το κέρδος της Cournot & Bertrand Algorithmic Game Theory 6
Λύση του παίγνιου του Cournot Πρώτα θα πρέπει να προσδιορίσουµε τι σηµαίνει Λύση για το συγκεκριµένο παίγνιο Εδώ θα θεωρήσουµε ως λύση την εύρεση των ισορροπιών Nash (NE) Cournot & Bertrand Algorithmic Game Theory 7
Λύση ενός παιγνίου Η επικρατέστερη έννοια λύσης ενός παιγνίου είναι η ισορροπία Nash (Nash Equilibrium) οθέντος ενός παιγνίου, προσπαθούµε να βρούµε το ή τα NE του παιγνίου Υπάρχουν και άλλα ζητήµατα που µπορεί να εξεταστούν όπως υπάρχουν πολλά NE;Εάν ναι τότε ποιο ή ποια είναι τα καλύτερα, σε ποιο ή ποια NE συγκλίνει το παίγνιο, υπάρχει άλλη κατάσταση η οποία είναι καλύτερη για όλους από κάποιο ή κάποια NE, κτλ. Στο µάθηµα γενικά θεωρούµε ως λύση ενός παιγνίου την εύρεση των NE, εκτός εάν δηλώνεται ρητά κάτι διαφορετικό Cournot & Bertrand Algorithmic Game Theory 8
Παράδειγμα παιγνίου Cournot Duopoly µε σταθερό κόστος µονάδας προϊόντος και γραµµική inverse demand συνάρτηση ύο εταιρείες i=1,2 Η Η εταιρεία iπαράγει ποσότητα q i Κόστος εταιρείας i: C i (q i )=c q i για κάθε q i Γραµµική inverse demand συνάρτηση P(Q): P(Q)= { a-q, εάν Q a 0, εάν Q>a Cournot & Bertrand Algorithmic Game Theory 9
Τιμή του προϊόντος Cournot & Bertrand Algorithmic Game Theory 10
Best Response Function Υπενθυµίζουµε την έννοια της best response function Έστω παίγνιο σε στρατηγική µορφή µε N παίκτες και έστω συγκεκριµένος παίκτης i Έστω σένα συγκεκριµένο περίγραµµα στρατηγικών όλων των παικτών. Τότε σ -i είναι το περίγραµµα στρατηγικών όλων των παικτών εκτός του παίκτη iκαι σ i είναι το περίγραµµα στρατηγικής του παίκτη i Best response Function (Συνάρτηση Βέλτιστης Απόκρισης) του παίκτη i:συνάρτηση που επιστρέφει για κάθε περίγραµµα στρατηγικών σ -i ένα σύνολο µε τις βέλτιστες στρατηγικές του παίκτη i Cournot & Bertrand Algorithmic Game Theory 11
Εύρεση ενός NE Στο παράδειγµα θα υπολογίσουµε ένα NE χρησιµοποιώντας την έννοια της συνάρτησης βέλτιστης απόκρισης (best response function). Πως εφαρµόζεται στο συγκεκριµένο παράδειγµα; Η συνάρτηση βέλτιστης απόκρισης (best response function) της εταιρείας 1 είναι µια συνάρτηση που επιστρέφει για κάθε πιθανή κίνηση της εταιρείας 2, ένα σύνολο µε τις βέλτιστες κινήσεις της εταιρείας 1 Όµοια ορίζουµε τη συνάρτηση βέλτιστης αντίδρασης της εταιρείας 2 Cournot & Bertrand Algorithmic Game Theory 12
Το παράδειγμα Για ποσότητες q 1 και q 2 η τιµή P(q 1 +q 2 ) του προϊόντος είναι: a-q 1 -q 2, εάν q 1 +q 2 a 0, εάν q 1 +q 2 >a 1 2 Το κέρδος της εταιρείας 1 είναι: π 1 (q 1,q 2 )=q 1 (P(q 1 +q 2 ) - c)= q 1 (a-c-q 1 -q 2 ), εάν q 1 +q 2 a -c q 1, εάν q 1 +q 2 >a Cournot & Bertrand Algorithmic Game Theory 13
Κέρδος της εταιρείας 1 Εάν q 2 =0, τότε το κέρδος π 1 είναι: π 1 (q 1,0)=q 1 (α-c-q 1 ), για q 1 a Cournot & Bertrand Algorithmic Game Theory 14
Βέλτιστη αντίδραση της εταιρείας 1 Η βέλτιστη αντίδραση (best response)της εταιρείας 1 είναι συνάρτηση της κίνησης της εταιρείας 2, της ποσότητας δηλαδή που θα παράγει η εταιρεία 2: b 1 (q 2 )= { ½ (a-c-q 2), εάν q 2 a-c 0, εάν q 2 >a-c Όµοια προκύπτει και η best response function b 2 (q 1 ) της εταιρείας 2 Cournot & Bertrand Algorithmic Game Theory 15
Ένα NE Ένα NE για το παράδειγµα είναι ένα ζεύγος στρατηγικών/κινήσεων τέτοιο ώστε η κίνηση κάθε εταιρείας είναι βέλτιστη αντίδραση (best response)ως προς την κίνηση της άλλης εταιρείας Έστω (q * 1,q * 2) το NE, τότε θα πρέπει: q * 1=b 1 (q * 2),και q * 2=b 2 (q * 1) Cournot & Bertrand Algorithmic Game Theory 16
To ΝΕ Για να βρούµε ένα τέτοιο NE αρκεί να λύσουµε το σύστηµα των εξισώσεων: q 1 = ½ (a-c-q 2 ) q 2 = ½ (a-c-q 1 ) Η λύση είναι: q * 1=q * 2=(1/3) (a-c) Η τιµή πώλησης είναι: (1/3) (a+2c) Cournot & Bertrand Algorithmic Game Theory 17
Το μοναδικό NE Cournot & Bertrand Algorithmic Game Theory 18
Ιδιότητες(1) Τι ιδιότητες έχει η συγκεκριµένη ισορροπία Nash; Το κέρδος κάθε εταιρείας στην κατάσταση ισορροπίας είναι: (1/9) (a-c) 2 Υπάρχει κατάσταση που δίνει µεγαλύτερο κέρδος; Το συνολικό κέρδος ισούται µε (q1+q2) (a-c-q1-q2) = Q (a-c-q) όπου Q=q1+q2 η συνολική ποσότητα του προϊόντος. Η συνάρτηση Q (a-c-q) µεγιστοποιείται στο σηµείο Q * = (ac)/2. Εάν q1=q2=q * /2=(a-c)/4 τότε το κέρδος κάθε εταιρείας είναι (1/8) (a-c) 2 Cournot & Bertrand Algorithmic Game Theory 19
Ιδιότητες (2) Γιατί το περίγραµµα (q1,q2)=((a-c)/4, (a-c)/4) δεν είναι ισορροπία Nash; Εάν ένα παίκτης, πχ. ο παίκτης 1, επιλέξει q1=q * /2=(a-c)/4 τότε η βέλτιστη αντίδραση του παίκτη 2 είναι: b2(q * /2) = (3/8) (a-c) Cournot & Bertrand Algorithmic Game Theory 20
Μοντέλο Bertrand Joseph Louis François Bertrand 1822 1900, Paris source: wikipedia Cournot: Κάθε εταιρεία επιλέγει το μέγεθος της παραγωγής Η τιμή καθορίζεται από τη συνολική παραγωγή Bertrand: Κάθε εταιρεία επιλέγει μια τιμή Cournot & Bertrand Algorithmic Game Theory 21 Κάθε εταιρεία παράγει αρκετά ώστε να καλύψει τη (δική της) ζήτηση
Ιστορικά στοιχεία Τα µοντέλα των Cournotκαι Bertrand εµπεριέχουν την έννοια του Nash equilibrium πολύ πριν αυτή οριστεί από τον John Nash O Bertrand θεωρούσε λάθος το µοντέλο του Cournot! Τελικά όµως ο ίδιος είχε καταλάβει λάθος αυτά που έλεγε ο Cournot Τα µοντέλα των Cournotκαι Bertrand είναι στρατηγικά παίγνια (strategic games) που διαφέρουν µόνο στη στρατηγική µεταβλητή Cournot (strategic & Bertrand variable). Algorithmic Και Game στα Theory δύο µοντέλα η 22 λύση είναι το Nash equilibrium
Πηγές -Αναφορές Βιβλίο Osborne: Ενότητα 2.8: Best response functions Ενότητα 3.1 Ενότητα 3.1.5 Σηµειώσεις του µαθήµατος «Οικονοµική Θεωρία και Αλγόριθµοι» του τµ. Μηχ. ΗΥ και Πληροφορικής, Παν/µιο Πατρών wikipedia entries: Cournot competition Cournot & Bertrand Bertrand competition Algorithmic Game Theory 23