E3 ΠΛΕΟΝΑΣΜΑΤΑ 1.Πλεόνασµα καταναλωτή 2.Πλεόνασµα προµηθευτή 3.Συνολικό πλεόνασµα

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "E3 ΠΛΕΟΝΑΣΜΑΤΑ 1.Πλεόνασµα καταναλωτή 2.Πλεόνασµα προµηθευτή 3.Συνολικό πλεόνασµα"

Πάτροκλος Καλύβας
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 E3 ΠΛΕΟΝΑΣΜΑΤΑ.Πλεόνασµα καταναλωτή 2.Πλεόνασµα προµηθευτή 3.Συνολικό πλεόνασµα. Πλεόνασµα καταναλωτή Η αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης: = () έχει καταρχήν την γνωστή ερµηνεία όπου είναι η µοναδιαία τιµή στην οποία θα ζητηθεί η ποσότητα ενός προιόντος. Αλλά επιδέχεται και µια εναλλακτική ερµηνεία ως η οριακή αξία µιας µονάδας του αγαθού, µε την παρακάτω έννοια της τιµής ασφάλειας ή τιµής εκκίνησης (reservation price): Αν η κατανάλωση έχει στην κατοχή της ποσότητα του αγαθού, τότε είναι η µέγιστη τιµή που θα δεχτεί να καταβάλει ώστε να αποκτήσει µια επιπλέον µονάδα του αγαθού ή εναλλακτικά η ελάχιστη τιµή που θα δεχτεί να εισπράξει προκειµένου να στερηθεί µιας µονάδας του αγαθού, οριακά. Σαυτό το πλαίσιο, και αρχίζοντας από µηδενική ποσότητα κατανάλωσης για κάθε επιπλέον µικρή ποσότητα η κατανάλωση θα ήταν διατεθειµένη να την προµηθευτεί µε τιµή, καταβάλλοντας ποσό: ( ) Καθώς τα διαδοχικά προστίθενται, η κατεχόµενη ποσότητα αυξάνει και η τιµή πέφτει, σύµφωνα µε την παραπάνω συνάρτηση ζήτησης. Τελικά η κατανάλωση θα δεχόταν να καταβάλει ή εναλλακτικά να αποζηµιωθεί για τη συνολική ποσότητα µε το ποσό που δίνεται από το άθροισµα των παραλληλόγραµµων εµβαδών στο πρώτο γράφηµα παρακάτω. Μάλιστα ένας µονοπωλιακός προµηθευτής θα µπορούσε να αποσπάσει το παραπάνω ποσό είτε διοχετεύοντας στην αγορά σταδιακά τις επιπλέον µικρές ποσότητες είτε κατεβάζοντας την τιµή σταδιακά καλύπτοντας κάθε φορά την επιπλέον ζήτηση. Π.χ. η ζήτηση εργασίας θα µπορούσε να αντιµετωπίσει έναν τέτοιο προµηθευτή από την πλευρά της προσφοράς εργασίας. Το παραπάνω εµβαδό εκφράζεται µε το γνωστό άθροισµα Riemann, το οποίο στο όριο όταν συγκλίνει στο αντίστοιχο ολοκλήρωµα. Γεωµετρικά δίνεται από το εµβαδό κάτω από την καµπύλη ζήτησης όπως φαίνεται στο δεύτερο γράφηµα, και εκφράζεται µε το ολοκλήρωµα της αντίστροφης συνάρτησης ζήτησης από το ως το : ()d= ()d Το παραπάνω µέγεθος µπορεί να ερµηνευτεί ως ένα µέτρο χρησιµότητας (utility) στην κατανάλωση της ποσότητας του αγαθού σε σχέση µε την µη κατανάλωση, και θεωρείται ως η πραγµατική αξία της κατανάλωσης: A() = ()d = () Π() A() E() πλεόνασµα καταναλωτή Αλλά η πραγµατική δαπάνη της κατανάλωσης είναι: E() = = () Η διαφορά των δύο ερµηνεύεται ως κέρδος του καταναλωτή, και καλείται πλεόνασµα του καταναλωτή (Consumer urplus): Π() = A() E() = ()d Γεωµετρικά δίνεται από το γραµµοσκιασµένο εµβαδό στο τρίτο σχήµα παραπάνω.

2 Παράδειγµα. Θεωρούµε την γραµµική συνάρτηση ζήτησης: α α 2 = α β =, E= = β β β β και βρίσκουµε: α 2 2 A= ()d=, Π= A E= β 2β 2β Το παραπάνω ισχύει µέχρι το µέγιστο, που αντιστοιχεί στη µηδενική τιµή: = = α Μετά µένει σταθερό. Παράδειγµα. Θεωρούµε συνάρτηση ζήτησης σταθερής ελαστικότητας: ε /ε /ε = =, E= =, µε ε> ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις: /ε. ε A= d=, Π= A E= /ε ε ε ε 2. ε> A= d= =, ε Π= = ε ε ε ε 2 Ε3. ΠΛΕΟΝΑΣΜΑΤΑ Παρατήρηση. Ορίσαµε παραπάνω ως πραγµατική αξία της κατανάλωσης το µέγεθος που δίνεται από το ολοκλήρωµα: A() = ()d, όπου = () είναι η τιµή ζήτησης Υπενθυµίζουµε ότι στο κεφάλαιο Ε2 η αποδεκτή τιµή ζήτησης προέκυψε ως η παράγωγος της συνάρτησης χρησιµότητας: U () = = () Κάνοντας χρήση του θεµελιώδους θεωρήµατος του µαθηµατικού λογισµού, µπορούµε να πούµε ότι:. Η πραγµατική αξία Αµιας ποσότητας κατανάλωσης ισούται µε την διαφορά της χρησιµότητας της συγκεκριµένης κατανάλωσης σε σχέση µε την µη κατανάλωση: A() = ()d== U ()d= U()-U() 2. Η τιµή ζήτησης µιας µονάδας του αγαθού ταυτίζεται µε την οριακή του αξία ή την οριακή του χρησιµότητα, για το συγκεκριµένο επίπεδο κατανάλωσης : = A () = U () Το παραπάνω µας επιτρέπει:.να υπολογίσουµε την συνάρτηση χρησιµότητας ως το ολοκλήρωµα της αντίστροφης συνάρτησης ζήτησης που είναι µετρήσιµο µέγεθος 2. Να υπολογίσουµε εναλλακτικά το πλεόνασµα του καταναλωτή από την συνάρτηση χρησιµότητας: A() = U() U() E() = U() U() () 2. Πλεόνασµα προµηθευτή Αντίστοιχες έννοιες ορίζονται για τον προµηθευτή. Τώρα η αντίστροφη συνάρτηση προσφοράς: = () έχει καταρχήν την γνωστή ερµηνεία όπου είναι η τιµή στην οποία θα προσφερθεί η ποσότητα, αλλά επιδέχεται και µια εναλλακτική ερµηνεία ως το οριακό κόστος µιας µονάδας του προιόντος, µε την παρακάτω έννοια της τιµής ασφάλειας ή τιµής εκκίνησης (reservation price) για τον προµηθευτή: Αν έχει ήδη προσφέρει µια ποσότητα του προιόντος, τότε είναι η ελάχιστη τιµή στην οποία θα προσφέρει µια επιπλέον µονάδα του προιόντος, ή εναλλακτικά η µέγιστη τιµή που θα δεχόταν να καταβάλει προκειµένου να αποσύρει µια µονάδα του προιόντος. Σαυτό το πλαίσιο µπορούµε να υπολογίσουµε το ελάχιστο ποσό που θα ήταν διατεθειµένη να δεχτεί η παραγωγή προκειµένου να προσφέρει την συνολική ποσότητα. Αρχίζοντας από µηδενική ποσότητα προσφοράς, για κάθε επιπλέον µικρή ποσότητα θα ήταν διατεθειµένη να δεχτεί την αντίστοιχη τιµή, εισπράττοντας ποσό: ( ) Καθώς τα διαδοχικά προστίθενται η προσφερθείσα ποσότητα αυξάνει ενώ η τιµή επίσης αυξάνει σύµφωνα µε την συνάρτηση προσφοράς. Τελικά ο παραγωγός θα εισπράξει συνολικά ως ελάχιστο το ποσό Π α

3 Α. Συναρτήσεις µιας µεταβλητής που δίνεται από το άθροισµα των παραλληλόγραµων εµβαδών στο πρώτο γράφηµα παρακάτω. Μάλιστα το παραπάνω ελάχιστο ποσό αντιστοιχεί σαυτό που θα υποχρεωνόταν να εισπράξει ο προµηθευτής από έναν µονοψωνικό καταναλωτή ο οποίος θα ζητούσε κάθε φορά µια µικρή επιπλέον ποσότητα αγαθού. Π.χ. η προσφορά εργασίας θα µπορούσε να αντιµετωπίσει έναν τέτοιο καταναλωτή από πλευράς εργοδοσίας. Το παραπάνω εµβαδό εκφράζεται µε το γνωστό άθροισµα Riemann, το οποίο στο όριο όταν συγκλίνει στο αντίστοιχο ολοκλήρωµα. Γεωµετρικά δίνεται από το εµβαδό κάτω από την καµπύλη προσφοράς όπως φαίνεται στο δεύτερο γράφηµα, και εκφράζεται µε το ολοκλήρωµα της αντίστροφης συνάρτησης προσφοράς από το ως το : ()d= ()d = () K πλεόνασµα προµηθευτή Παριστάνει το ελάχιστο ποσό που θα δεχόταν ο προµηθευτής προκειµένου να προσφέρει την ποσότητα, και αντιστοιχεί στο πραγµατικό κόστος παραγωγής της ποσότητας σε σχέση µε την µη παραγωγή. Θα το παραστήσουµε µε: K() = ()d Θεωρούµε τώρα και το πραγµατικό έσοδο από την διάθεση της ποσότητας : E() = = () Η διαφορά των δύο αντιστοιχεί σε κέρδος του προµηθευτή και καλείται πλεόνασµα του προµηθευτή (upply urplus): Π() = E() K() = ()d Γεωµετρικά δίνεται από το γραµµοσκιασµένο εµβαδό στο τρίτο σχήµα παραπάνω. Παράδειγµα. Θεωρούµε την γραµµική συνάρτηση προσφοράς: γ γ 2 = γ+ δ = +, E= = +, µε γ,δ > δ δ δ δ και βρίσκουµε: γ 2 2 K= ()d= +, Π= E K= δ 2δ 2δ Παράδειγµα. Για συνάρτηση προσφοράς σταθερής ελαστικότητας: ε /ε /ε = =, E= = +, µε ε βρίσκουµε: + /ε /ε ε + /ε ε K= d= =, Π= = ε+ ε+ ε + ε + Παρατήρηση. Ορίσαµε παραπάνω ως πραγµατικό κόστος της παραγωγής το µέγεθος που δίνεται από το ολοκλήρωµα: K() = ()d, όπου = () είναι η τιµή προσφοράς Υπενθυµίζουµε ότι στο κεφάλαιο Ε2 η συµφέρουσα τιµή προσφοράς προέκυψε ως η παράγωγος της συνάρτησης κόστους: C () = = () Κάνοντας χρήση του θεµελιώδους θεωρήµατος του µαθηµατικού λογισµού, µπορούµε να πούµε ότι για τις συµφέρουσες τιµές: 3 Π

4 Ε3. ΠΛΕΟΝΑΣΜΑΤΑ. Τo πραγµατικό κόστος Kµιας ποσότητας παραγωγής ισούται µε το µεταβλητό κόστος της συγκεκριµένης παραγωγής: K() = ()d== C ()d= C()-C() = VC() 2. Η τιµή προσφοράς µιας µονάδας του προιόντος ταυτίζεται µε το οριακό του κόστος για το συγκεκριµένο επίπεδο παραγωγής : = K () = C () 3. Συνολικό πλεόνασµα στην ισορροπία Θεωρούµε την ζήτηση και την προσφορά σε ισορροπία, οπότε η ποσότητα και η τιµή ζήτησης θα συµπίπτουν µε την ποσότητα και την τιµή προσφοράς: = () = () ή (, ) = () = () Επίσης, η δαπάνη της κατανάλωσης θα συµπίπτει µε το έσοδο της παραγωγής: E = Στο πρώτο γράφηµα παρακάτω, δείχνουµε το πλεόνασµα καταναλωτή: Π = A( ) Στο δεύτερο γράφηµα δείχνουµε το πλεόνασµα προµηθευτή: Π = K( ) Το άθροισµά τους καλείται συνολικό πλεόνασµα (total surplus). Στο άθροισµα ο ενδιάµεσος όρος απαλείφεται και βρίσκουµε ότι: Το συνολικό πλεόνασµα στην ισορροπία ισούται µε τη διαφορά της πραγµατικής αξίας για τον καταναλωτή και του πραγµατικού κόστους για τον προµηθευτή: Π = Π + Π = A( ) K( ) Π Π Π Π πλεονάσµατα στην ισορροπία Γεωµετρικά δίνεται από το εµβαδό µεταξύ της καµπύλης ζήτησης και της καµπύλης προσφοράς, όπως φαίνεται στο τρίτο σχήµα παραπάνω. Υπολογίζεται και απευθείας ως το ολοκλήρωµα της διαφοράς των δύο αντίστροφων συναρτήσεων: = + = Π Π Π [ () ()]d Παρατήρηση. Εναλλακτικά, υπολογίζεται µε άξονα ολοκλήρωσης τον, ως το εµβαδό κάτω από τις καµπύλες των δύο συναρτήσεων, προσφοράς και ζήτησης, όπως στο τέταρτο σχήµα παραπάνω όπου η ολοκλήρωση γίνεται οριζοντίως: Π = Π + Π = ()d + ()d Παραστήσαµε µε την ελάχιστη τιµή προσφοράς και την µέγιστη τιµή ζήτησης, αν υπάρχουν. Αλλιώς τα όρια θα είναι στο άπειρο. Παράδειγµα. Θεωρούµε τις παρακάτω γραµµικές συναρτήσεις ζήτησης-προσφοράς: : = 2 : = 2 : = + : = + 4

5 Α. Συναρτήσεις µιας µεταβλητής και υπολογίζουµε τα µεγέθη ισορροπίας: { = 3 / 2, = / 2}, E = = 3 / 4 Στη συνέχεια υπολογίζουµε τα πλεονάσµατα.. Αξία καταναλωτή: / 2 2 / 2 A = ()d = (2 )d= 2 / 2 = 7 / 8 2. Κόστος προµηθευτή: / 2 2 / 2 K = ()d = (+ )d= + / 2 = 5 / 8 3. Πλεονάσµατα, καταναλωτή και προµηθευτή: Π = A E = 7 / 8 6 / 8= / 8, Π = E K = 6 / 8 5 / 8= / 8 4. Συνολικό πλεόνασµα: Π = Π + Π = / 8+ / 8= / 4 ή Π = A K = 7 / 8 5 / 8= / 4 5. Εναλλακτικά µπορούµε να υπολογίσουµε το συνολικό πλεόνασµα απευθείας µε το ολοκλήρωµα: / 2 / 2 Π = [ () ()]d = [(2 ) (+ )]d = ( 2)d = = / 2 / 4= / 4 2 / 2 Παρατήρηση. Σύµφωνα µε τις παραπάνω ερµηνείες, το συνολικό πλεόνασµα µπορεί γενικά να διατυπωθεί και µε την παρακάτω παράσταση, χρησιµοποιώντας τις αρχικές συναρτήσεις χρησιµότητας στην κατανάλωση και κόστους στην παραγωγή: Π = [ () ()]d = [U() U()] [C() C()] = [U() C()] [U() C()] 5

Σχετικά έγγραφα

EI.3 ΠΛΕΟΝΑΣΜΑΤΑ 1.Αξία κατανάλωσης 2.Πλεόνασμα καταναλωτή 3.Κόστος προμηθευτή 4.Πλεόνασμα προμηθευτή 3.Συνολικό πλεόνασμα

EI.3 ΠΛΕΟΝΑΣΜΑΤΑ 1.Αξία κατανάλωσης 2.Πλεόνασμα καταναλωτή 3.Κόστος προμηθευτή 4.Πλεόνασμα προμηθευτή 3.Συνολικό πλεόνασμα EI.3 ΛΕΟΝΑΣΜΑΤΑ.Αξί κτνάλωσης.λεόνσμ κτνλωτή 3.Κόστος προμηθευτή 4.λεόνσμ προμηθευτή 3.Συνολικό πλεόνσμ. ργμτική ξί (Χρησιμότητ) της κτνάλωσης Η ντίστροφη συνάρτηση ζήτησης: = () έχει κτρχήν την γνωστή