A RUZA 8 URAKKA UNKSIYANING HOSILASI. TO`LA DIЕRЕNTSIAL TUSHUNCHASI. EKSTRЕULARI. TAQRIIY HISOLASH. DASTURIY PAKETLAR YORDAIDA HISOLASH. aqsad: Talabalarga ko po zgaruvchl uksalarg deresal, ekstremumlar va taqrb hsoblash usullar bo cha ko kma hosl qlsh. Rea:. Yuqor tartbl usus hosla va deresallar.. urakkab va oshkormas uksa hoslalar. Ko p o zgaruvchl uksa ekstremum Taach so z va boralar: uksa gradet, uqor tartbl usus hosla, aralash usus hosla, oshkormas uksag hoslas. araz qlalk, uqta va ug atroda ( uksa usus hoslaga ega bo`ls. Yuqor tartbl usus hosla va deresallar. -ta r. uqtada ( uksag brch tartbl usus hoslasda o zgaruvch bo cha olga usus hoslaga ( uksag uqtadag kkch tartbl usus hoslas deb atlad. ( uksag uqtadag kkch tartbl usus hoslas qudagcha belglaad:. ( Turl o zgaruvchlar bo cha olga usus hoslalarga aralash usus hoslalar delad. Xudd shugdek, ( uksag kkch tartbl usus hoslasda aa shu o zgaruvch bo cha olga usus hoslaga ug uchch tartbl usus hoslas delad: sol. va h.k. 5 6 ( 4 hoslalar topg. a brch tartbl usus hoslalar: 8 ; 4 4 5 5 b kkch tartbl usus hoslalar esa uksag barcha kkch tartbl usus.
4 4 9 ; 4 ; -teorema. Agar va usus hoslalar bror uqta atroda aqlaga va 5 4 4. uqtada uzluksz bo`lsa, u holda bo`lad. ( uksag uqor tartbl deretsal qudagcha aqlaad: d d ( d d d - tartbl deretsal, (,,..., uqtada aqlaga ( uksa va - tartbl deretsal va hokazo vektor blla aqlaga l o alsh berlga bo ls. u erda c o s c o s... c o s ; c o s, c o s,..., c o s lar e vektorg koordata o qlar bla hosl qlga hosl qlga burchaklarg kosuslar bo lb o altruvch kosuslar deb atalad. (,,..., uqta l o alsh bo lab (,..., sltb bu o alsh bo lab ( uksag ( ( l orttrmas olamz. Agar l bo lsa, u holda l c o s,..., l c o s bo lb o z avbatda d d ( d d d d o zgaruvchg deresallauvch uksas, a g murakkab uksas. k k deresallauvch bo lad va ug hoslas k e (c o s, c o s,..., c o s ( l c o s, l c o s,..., l c o s (,,..., l bo lad.. urakkab va oshkormas uksa hoslalar Agar deresallauvch z ( u, v uksa berlga bo lb, o z avbatda u, v lar bror z ( (, ( u (, v ( bo lsa, u holda ormula orqal toplad. d z z d u z d v d u d v d
Agar u, v lar, larg uksalar, a u ( ;, v ( ; bo lsa, u holda z ( ( ; ; ( ; murakkab uksag usus hoslalar z z u z v, u v z z u z v u v ormulalar orqal toplad. g uzluksz uksas teglama bla oshkormas shaklda berlga bo ls. Agar ;, ;, ; uksalar uzluksz bo lb, ; bo lsa, o holda oshkormas shaklda berlga uksa hoslas ormula orqal toplad. Xudd shugdek, oshkormas uksag usus hoslalar ormulalar orqal toplad.. Ko p o zgaruvchl uksa ekstremum ( uksa uqtag S atroda aqlaga bo ls. teglama bla berlga z -ta r. Agar uqtag shuda S r atro mavud bo lsak, barcha S lar uchu ( ( ( baarlsa, uqta lokal mmum (maksmum uqta delad. -ta r. uksag lokal maksmum va mmum uqtalarga uksag lokal ekstremum uqtalar deb atalad. -ta r. Agar R uqtada ( uksag gradet ol vektor, a g r a d ( delad. sol. Ushbu uksag gradet g r a d ( uqta quramz. ( ; ; ; z z z, z z r z bo lsa, u holda R uqta ( uksag statsoar uqtas (, 6 9 5 uksag statsoar uqtas topg. grad ( 6; 9. 6 ok sstema echb, ;4 statsoar 9 r
Demak, agar ( uksag ekstremum uqtasda barcha usus hoslalar mavud bo lsa, u holda bo lb uqta ug statsoar uqtas bo lad. Ko p o zgaruvchl uksalarg ( ekstremum uqtas topsh kk o zgaruvchl (, uksa msolda ko rb chqamz. u uksa uchu qudag belglashlar krtamz: ( ( A, va C bo`ls. U holda: agar AC bo lsa, statsoar uqta lokal ekstremum uqtas bo lb, a A bo lsa, statsoar uqta maksmum uqta; b A bo lsa, statsoar uqta mmum uqta bo lad. agar AC bo lsa, u holda statsoar uqta ekstremum uqta bo lmad; agar AC bo lsa, u holda uqtag ekstremum uqtas bo lsh ham, bo lmaslg ham mumk. u holda qo shmcha tekshrsh talab etlad. bo lga uchu,, to plamda aqlaga va uzluksz bo ls. uksa to plamg har br uqtasda, ug ba z uqtalarda tashqar, usus hoslalarga ega bo ls. Ushbu holda, to plamga tegshl shuda uqta topladk, bu uqtada uksa o zg eg katta (eg kchk qmatga ershad. uksa o zg eg katta (eg kchk qmat aaqat chk to plamda statsoar uqtada ok usus hoslalarda br mavud bo lmaga uqtada, shu bla brga V to plamg chegarasda ham ershsh mumk. Yuqordaglar e tborga olb, ( uksag berlga V to plamda eg katta va eg kchk qmatlar topsh arao qudag ketma ketlkda amalga oshrlad: a V to plamg ( uksa usus hoslalar mavud bo lmaga uqtalar aqlaad; b ( uksag V to plamga tegshl barcha statsoar uqtalar toplad; c barcha aqlaga uqtalarga va V to plam chegarasda ( uksa qmatlar hsoblaad va o zaro solshtrlad. Ularda eg kattas (eg kchg sol. msolda keltrlga uksag ( ;4 statsoar uqtas ekstremumga tekshramz: ( A ; ; C. AC (, A bo lgada mmum uqta bo lad. ( uksa chegaralaga, opq V ( V uksag V to plamda ershadga eg katta (eg kchk qmat hsoblaad. z=(; uksag va argumetlar o zaro φ=(;= teglama bla bog laga holdag ekstremum shartl ekstremum delad. uksa shartl ekstremumtopsh uchu Lagra uksas deb ataluvch qudag ( ;4 statsoar uqta ekstremum va ( V
( ; ; ( ; ( ; (* ordamch uksa tuzamz, buda λ o malum o zgarmas ko patuvch. (* da, va λ bo cha usus hoslalar olb, olga teglashtrsak, qudag uch (,,λ o maluml uchta teglamalar sstemasga ega bo lamz: ( ; (** u teglamar sstemas echb,,, λ lar topamz. (** teglamalar shartl ekstremumg zarur shartlardr. Krtk uqtalarda uksa shartl ekstremumga ega bo lsh, bo lmaslg masalas Lagra uksasg d d d d d Ikkch tartbl deresal shoras tekshrsh ordamda echlad, buda d va d lar d d d d teglama bla bog laga. Agar d < bo lsa, z=(; uksa shartl maksmumga, d > bo lsa, shartl mmumga ega bo lad. Xusus holda, agar krtk uqta (; uksa uchu > bo lb, A< (C< bo lsa, (; uksa shu uqtada shartl maksmumga A> (C> bo lsa, shartl mmumga ega bo lad. Ikk o zgaruvch uksa shartl ekstremumga tekshrshg uqordag usul uch va uda ortq o zgaruvchl uksalar uchu ham o rl. avzu mustahkamlash uchu savollar. Yuqor tartbl usus hosla qada toplad?. urakkab uksag usus hoslas qada toplad?. Ko p o zgaruvchl uksa qada shart baarlgada eg kchk qmatga ershad? 4. Ko p o zgaruvchl uksa qada shart baarlgada eg katta qmatga ershad?