Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος []: Κεφάλαιο 6: Ενότητα 6. Παρασκευόπουλος []: Εφαρµογές, Κεφάλαιο 6: Ενότητα 6. DiStefo [99]: Chpter Tewri []: Chpter : Sectio.8 6 Nicol Tptouli

Κριτήριο Routh ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή Τα Σ.Α.Ε παρουσιάζουν ορισµένα χαρακτηριστικά τα οποία είναι ιδιαίτερης σηµασίας για τη συµπεριφορά τους. Τα πιο σηµαντικά από αυτά τα χαρακτηριστικά είναι: Η ελεγξιµότητα cotrollbility Η παρατηρησιµότητα obervbility Οι ιδιοτιµές eigevlue Η ευστάθεια tbility Με δεδοµένο ότι σε πολλά Σ.Α.Ε η έξοδος είναι επιθυµητό να ακολουθεί την είσοδο π.χ ένας τηλεπικοινωνιακός δέκτης είναι χρήσιµο να αναπαράγει όσο το δυνατό καλύτερα το σήµα που δηµιουργήθηκε στον ποµπό η ευστάθεια είναι εκ των ουκ άνευ. Σε ένα ασταθές σύστηµα η έξοδος δεν µπορεί να ακολουθήσει την είσοδο. Μετά την εξασφάλιση της ευστάθειας επιδιώκεται η ικανοποίηση άλλων παραµέτρων σχεδίασης όπως: Το εύρος ζώνης Το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση Η ταχύτητα και η ακρίβεια της απόκρισης. 6 Nicol Tptouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Ορισµός Ευστάθειας Σ.Α.Ε Για γραµµικά Σ.Α.Ε υπάρχουν αρκετοί ορισµοί για την ευστάθεια, οι οποίοι µπορούν να ελεγχθούν εύκολα. Αντίθετα για µη γραµµικά συστήµατα ο έλεγχος της ευστάθειας είναι περισσότερο δυσχερής και χρειάζονται ειδικές µεθοδολογίες για τον έλεγχος της π.χ οι µέθοδοι Lypuov, η µέθοδος Nyquit κ.λ.π Γενικός Ορισµός Ευστάθειας ισχύει τόσο για γραµµικά όσο και για µη γραµµικά συστήµατα: Ένα σύστηµα είναι ευσταθές όταν παραµένει σε κατάσταση ισορροπίας όταν δεν εφαρµόζεται σε αυτό κάποια διέγερση και επανέρχεται στην κατάσταση ισορροπίας όταν παύει να υφίσταται η διέγερση Ορισµός ισχύει για γραµµικά συστήµατα: Ένα σύστηµα είναι ευσταθές όταν η κρουστική του απόκριση ht προσεγγίζει το µηδέν όταν ο χρόνος τείνει προς το άπειρο: lim h t t Τα συστήµατα στα οποία ικανοποιείται η ανωτέρω συνθήκη ονοµάζονται ασυµπτωτικά ευσταθή 6 Nicol Tptouli

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Ορισµοί Ευστάθειας Ορισµός ισχύει για γραµµικά αλλά και µη γραµµικά συστήµατα: Ένα σύστηµα είναι ευσταθές αν για οποιαδήποτε φραγµένη είσοδο η έξοδος του είναι φραγµένη Ορισµός βασίζεται στον ορισµό και ισχύει για γραµµικά συστήµατα: Ένα ΓΧΑ σύστηµα είναι ευσταθές αν οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου πόλοι του συστήµατος βρίσκονται στο αριστερό µιγαδικό ηµιεπίπεδο δηλαδή έχουν πραγµατικό µέρος αρνητικό. Αν κάποιες από τις ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου είναι καθαρά µιγαδικές έχουν πραγµατικό µέρος ίσο µε µηδέν τότε το σύστηµα είναι οριακά ευσταθές. Σε αυτή την περίπτωση η κρουστική απόκριση του συστήµατος δεν τείνει προς το µηδέν αλλά παραµένει φραγµένη: h t c < Το πόσο ευσταθές είναι κάποιο σύστηµα καθορίζει την ευρωστία του. Χαρακτηριστικά από τα οποία µπορούµε να αποφανθούµε για την ευρωστία ενός συστήµατος είναι τα περιθώρια κέρδους και φάσης. 6 Nicol Tptouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα.8.6.. -. -. -.6 -.8-6 7 8 9 Να ελεγχθεί η ευστάθεια των συστηµάτων µε κρουστικές αποκρίσεις: he -t b hte -t c h d he -t it e hiωt, ω,,. Οι γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων -e φαίνονται στο διπλανό σχήµα ->µπλε, b->κόκκινο,c->φούξια, d-> πράσινο, e->µαύρο. Είναι φανερό ότι τα συστήµατα c,e είναι ασταθή καθώς η κρουστική τους απόκριση δεν προσεγγίζει το µηδέν όταν το t-> 6 Nicol Tptouli

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα II - - - - 6 7 8 9 Να ελεγχθεί η ευστάθεια του συστήµατος µε συνάρτηση µεταφοράς: H Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο Χ.Π. του ανωτέρω συστήµατος είναι. Οι ρίζες του είναι µιγαδικές, p -j, p j άρα το σύστηµα θα έπρεπε να είναι οριακά ευσταθές. Επειδή όµως όλες οι ρίζες του Χ.Π έχουν µηδενικό πραγµατικό µέρος το σύστηµα είναι ασταθές όπως φαίνεται από τη κρουστική του απόκριση: h t L { } i t αλλά και από την απόκριση στην είσοδο utit βλέπε σχήµα. 6 Nicol Tptouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα III Amplitude Impule Repoe.. -. - Time ec Να ελεγχθεί η ευστάθεια του συστήµατος µε συνάρτηση µεταφοράς: H. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο Χ.Π. του ανωτέρω συστήµατος είναι.. ύο από τις ρίζες του είναι µιγαδικές, p -j, p j άρα το σύστηµα είναι οριακά ευσταθές η άλλη ρίζα είναι p -. δηλαδή έχει αρνητικό πραγµατικό µέρος. Η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι φραγµένη αλλά δεν φθίνει προς το µηδέν βλέπε σχήµα 6 Nicol Tptouli

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα IV Να ελεγχθεί η ευστάθεια των συστηµάτων µε συνάρτηση µεταφοράς: α β γ δ ε H H H H H........ α ασταθές, β ευσταθές, γ ευσταθές, δ ασταθές, ε οριακά ευσταθές 6 Nicol Tptouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Κριτήρια Ευστάθειας Η απευθείας εφαρµογή των ορισµών δεν είναι εύκολη για να αποφανθούµε για την ευστάθεια συστηµάτων ιδιαίτερα χωρίς τη βοήθεια υπολογιστή και εργαλείων προσοµοίωσης. Για το λόγο αυτό έχουν αναπτυχθεί κριτήρια ευστάθειας συστηµάτων τα οποία διακρίνονται σε: Αλγεβρικά Routh, Hurwitz, συνεχή κλάσµατα, Lypuov ιαγραµµατικά µε τη βοήθεια των µεθόδων ανάλυσης Γ.Τ.Ρ, Nyquit, Bode, Nichol Στη συνέχεια θα εξετάσουµε τα αλγεβρικά κριτήρια ευστάθειας τα οποία εφαρµόζονται εύκολα αν και σε πολλές περιπτώσεις δεν µας δίνουν πληροφορίες αντίστοιχες των διαγραµµατικών τεχνικών: εν δίνουν πληροφορίες σε σχέση µε την σχετική ευστάθεια ευρωστία των συστηµάτων εν εφαρµόζονται σε µη γραµµικά συστήµατα εξαίρεση η µέθοδος Lypuov Τα αλγεβρικά κριτήρια ευστάθειας εξετάζουν τη µορφή του χαρακτηριστικού πολυωνύµου του συστήµατος για να αποφανθούν για την ευστάθεια του. Θεώρηµα: Έστω το Χ.Π. µε α i, i,, πραγµατικούς αριθµούς. Το πολυώνυµο έχει µια ή περισσότερες ρίζες στο δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο αν κάποιος από τους συντελεστές α i είναι µηδενικός ή αρνητικός. Το αντίστροφο δεν ισχύει! 6 Nicol Tptouli

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Να ελεγχθεί η ευστάθεια των συστηµάτων µε χαρακτηριστικά πολυώνυµα: α β γ δ ε 9 9 9 α ασταθές λείπει ο συντελεστής του, β δεν µπορούµε να αποφανθούµε στην πραγµατικότητα είναι ασταθές, γ δεν µπορούµε να αποφανθούµε στην πραγµατικότητα είναι ευσταθές, δ ασταθές λείπει ο συντελεστής του - στη πραγµατικότητα είναι οριακά ευσταθές ε ασταθές ο συντελεστής του είναι αρνητικός 6 Nicol Tptouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Κριτήριο Routh Το κριτήριο Routh προσδιορίζει το πλήθος των ριζών του X.Π που βρίσκονται στο δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο χωρίς να υπολογίζει τις ρίζες αυτές. Για το σκοπό αυτό κατασκευάζεται ο πίνακας Routh: b b b c c c όπου α i, i,, είναι οι συντελεστές του Χ.Π. και οι συντελεστές b, b,, c, c, υπολογίζονται από τις σχέσεις: b c b b b b c b b b 6 Nicol Tptouli 6

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Κριτήριο Routh ΙΙ Θεώρηµα Όλες οι ρίζες του Χ.Π. βρίσκονται στο αριστερό µιγαδικό ηµιεπίπεδο τότε και µόνο τότε η πρώτη στήλη του πίνακα Routh δεν παρουσιάζει αλλαγές προσήµου. Ο αριθµός των αλλαγών προσήµου είναι ίσος µε τον αριθµό των ριζών στο δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο. Παράδειγµα: Να ελεγχθεί η ευστάθεια του συστήµατος µε Χ.Π Ο πίνακας Routh είναι >: Υπάρχουν δύο αλλαγές προσήµου στη πρώτη στήλη άρα έχουµε δύο ρίζες στο δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο >ασταθές σύστηµα b b c c d d 6 Nicol Tptouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Ύπαρξη µηδενικού στοιχείου στη πρώτη στήλη του πίνακα Routh Όταν υπάρχει µηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη του πίνακα Routh τότε ο υπολογισµός του πίνακα Routh από τη γραµµή του µηδενικού στοιχείου και κάτω είναι αδύνατος διότι τα στοιχεία των επόµενων γραµµών απειρίζονται. Στη περίπτωση αυτή πολλαπλασιάζουµε το αρχικό πολυώνυµο µε b όπου b> και υπό την προϋπόθεση ότι το b δεν είναι ρίζα του και κατασκευάζουµε τον πίνακα Routh για το νέο πολυώνυµο: ˆ b Τα συµπεράσµατα όσον αφορά την ευστάθεια του συστήµατος µε Χ.Π το ˆ b ισχύουν και για το σύστηµα µε Χ.Π. το. Παράδειγµα: Να ελεγχθεί η ευστάθεια του συστήµατος µε Χ.Π Ο πίνακας Routh είναι >:??? 6 Nicol Tptouli 7

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Ύπαρξη µηδενικού στοιχείου στη πρώτη στήλη του πίνακα Routh ΙΙ Λύση συνέχεια: Σχηµατίζουµε το βοηθητικό πολυώνυµο ˆ παρατηρούµε ότι έχουµε b, το b- δεν είναι ρίζα του. Σχηµατίζουµε τον πίνακα Routh για το νέο πολυώνυµο:.. Υπάρχουν δύο αλλαγές προσήµου στη πρώτη στήλη άρα έχουµε δύο ρίζες στο δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο >ασταθές σύστηµα 6 Nicol Tptouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Ύπαρξη µηδενικής γραµµής στο πίνακα Routh Όταν υπάρχει µηδενική γραµµή στον πίνακα Routh τότε ο υπολογισµός του πίνακα Routh από τη γραµµή αυτή και κάτω είναι αδύνατος διότι τα στοιχεία των επόµενων γραµµών απειρίζονται. Στη περίπτωση αυτή σχηµατίζουµε το βοηθητικό πολυώνυµο q το οποίο αντιστοιχεί στην προηγούµενη της µηδενικής γραµµής και συνεχίζουµε αντικαθιστώντας τους συντελεστές της µηδενικής γραµµής µε τους συντελεστές του dq d Παράδειγµα: Να ελεγχθεί η ευστάθεια του συστήµατος µε Χ.Π Ο πίνακας Routh είναι >:??? 6 Nicol Tptouli 8

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Ύπαρξη µηδενικής γραµµής στο πίνακα Routh Λύση συνέχεια: Σχηµατίζουµε το βοηθητικό πολυώνυµο και το dq d q οπότε ο πίνακας Routh θα συνεχίσει ως: 8 Υπάρχουν δύο αλλαγές προσήµου στη πρώτη στήλη άρα έχουµε δύο ρίζες στο δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο >ασταθές σύστηµα 6 Nicol Tptouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Ι Με τη βοήθεια του κριτηρίου του Routh να προσδιορίσετε το διάστηµα διακύµανσης του K ώστε το κλειστό σύστηµα του σχήµατος να είναι ευσταθές Root Locu Sytem: h Gi: 8. Pole:.. 7i Dmpig: -.97 Overhoot %: Frequecy rd/ec:.7 Να κατασκευάσετε το Γ.Τ.Ρ για το κλειστό σύστηµα του σχήµατος και να επιβεβαιώσετε τα αποτελέσµατα που βρήκατε µε τη βοήθεια του κριτηρίου του Routh. Imgiry Axi - - - - - - -. - -.... Rel Axi Ο Γ.Τ.Ρ δίνεται στο διπλανό σχήµα, από όπου φαίνεται ότι το σύστηµα είναι ευσταθές για <Κ<8. Επειδή ο Γ.Τ.Ρ σχηµατίζεται µόνο για θετικές τιµές του K είναι πιθανό το σύστηµα να είναι ευσταθές και για κάποιες αρνητικές τιµές του K O Γ.Τ.Ρ για Κ< είναι συµµετρικός ως προς την κάθετη ευθεία που περνά από το κρίσιµο σηµείο -,j. Οπότε συµπεραίνουµε ότι το σύστηµα είναι ευσταθές και για Κ>-. Άρα τελικά -<Κ<8. 6 Nicol Tptouli 9

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Ι συν. Η συνάρτηση µεταφοράς του κλειστού συστήµατος είναι: KG K H KG F K K K Κατασκευάζουµε τον πίνακα Routh για το παραπάνω σύστηµα Χ.Π.: K K 8 K K Για να µην υπάρχει αλλαγή προσήµου στη πρώτη στήλη του πίνακα Routh πρέπει να ισχύουν: K > > K > 8 K > > K < 8 Οπότε τελικά -<Κ<8 το οποίο συµφωνεί µε το αποτέλεσµα του Γ.Τ.Ρ 6 Nicol Tptouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα ΙΙ Με τη βοήθεια του κριτηρίου του Routh να προσδιορίσετε το διάστηµα διακύµανσης του K ώστε το κλειστό σύστηµα του σχήµατος να είναι ευσταθές Imgiry Axi - - Root Locu Sytem: h Gi:. Pole:.7 i D mpig: -.7 Overhoot %: Frequecy rd/ec: Να κατασκευάσετε το Γ.Τ.Ρ για το κλειστό σύστηµα του σχήµατος και να επιβεβαιώσετε τα αποτελέσµατα που βρήκατε µε τη βοήθεια του κριτηρίου του Routh. Ο Γ.Τ.Ρ δίνεται στο διπλανό σχήµα, από όπου φαίνεται ότι το σύστηµα είναι ευσταθές για <Κ<. - - - -8-6 - - Rel Axi 6 Nicol Tptouli

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Κριτήριο Hurwitz Το κριτήριο Hurwitz προσδιορίζει αν το χαρακτηριστικό πολυώνυµο έχει ρίζες στο δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο ή πάνω στον άξονα των φανταστικών αριθµών. Αδυνατεί όµως σε σχέση µε το κριτήριο Routh να προσδιορίσει το πλήθος των ριζών αυτών. Το κριτήριο Hurwitz εφαρµόζεται µε βάση τις ορίζουσες Hurwitz οι οποίες είναι οι κύριες υποορίζουσες της ορίζουσας: περιττό: άρτιο: 6 Nicol Tptouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Κριτήριο Hurwitz II Θεώρηµα Όλες οι ρίζες του Χ.Π. βρίσκονται στο αριστερό µιγαδικό ηµιεπίπεδο τότε και µόνο τότε όλες οι ορίζουσες Hurwitz είναι θετικές k >, k,... Παράδειγµα: Να ελεγχθεί η ευστάθεια του συστήµατος µε Χ.Π Η ορίζουσα Hurwitz είναι: και οι κύριες υποορίζουσες είναι: > Είναι φανερό ότι το σύστηµα είναι ασταθές αφού και < 6 Nicol Tptouli

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Ι Με τη βοήθεια του κριτηρίου του Hurwitz να προσδιορίσετε το διάστηµα διακύµανσης του K ώστε το κλειστό σύστηµα του σχήµατος να είναι ευσταθές Το Χ.Π του συστήµατος είναι K Η ορίζουσα Hurwitz είναι: K 9 K K K K 8 K K Οι κύριες υποορίζουσες είναι: > K 8 K Οπότε για να έχουµε ευσταθές σύστηµα πρέπει Κ8-Κ> > -<Κ<8 6 Nicol Tptouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα ΙΙ Με τη βοήθεια του κριτηρίου του Hurwitz να προσδιορίσετε το διάστηµα διακύµανσης του K ώστε το κλειστό σύστηµα του σχήµατος να είναι ευσταθές Το Χ.Π του συστήµατος είναι K 6 9 8K Η ορίζουσα Hurwitz είναι: K 9 8K 6 99 8K K 9 8K 9 8K K 9 8K 9 8K 6 9K 9 8K 9 8K 7 K Οι κύριες υποορίζουσες είναι: K K 9 8K 6K 9 8K K 6 Οπότε για να έχουµε ευσταθές σύστηµα πρέπει 9 < K < 8 6 Nicol Tptouli

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος 6 Nicol Tptouli Συνεχή Κλάσµατα Το κριτήριο συνεχών κλασµάτων, όπως και το κριτήριο Hurwitz, προσδιορίζει αν το χαρακτηριστικό πολυώνυµο έχει ρίζες στο δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο ή πάνω στον άξονα των φανταστικών αριθµών. Αδυνατεί όµως σε σχέση µε το κριτήριο Routh να προσδιορίσει το πλήθος των ριζών αυτών. Κατά την εφαρµογή του κριτηρίου το Χ.Π. διαχωρίζεται στα πολυώνυµα: Στη συνέχεια σχηµατίζεται ο λόγος των πολυωνύµων και ως συνεχές κλάσµα:. h h h ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος 6 Nicol Tptouli Συνεχή Κλάσµατα ΙΙ Θεώρηµα Όλες οι ρίζες του Χ.Π. βρίσκονται στο αριστερό µιγαδικό ηµιεπίπεδο τότε και µόνο τότε όλα τα h i είναι µεγαλύτερα από το µηδέν h k >, k,... Παράδειγµα: Να ελεγχθεί η ευστάθεια του συστήµατος µε Χ.Π Έχουµε Επειδή h -, h -/ το σύστηµα είναι ασταθές.. h h h

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Ι Με τη βοήθεια του κριτηρίου συνεχών κλασµάτων να προσδιορίσετε το διάστηµα διακύµανσης του K ώστε το κλειστό σύστηµα του σχήµατος να είναι ευσταθές Το Χ.Π του συστήµατος είναι K Έχουµε K 8 K K 9 K 9 8 K 8 K K 8 K 8 K Για h > πρέπει Κ<8, Για h > πρέπει -<Κ<8, 6 Nicol Tptouli