x(t) ax 1 (t) y(t) = 1 ax 1 (t) = (1/a)y 1(t) x(t t 0 ) y(t t 0 ) =

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 26-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 2/3/27 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 4/3/27 Ασκηση - Ιδιότητες Συστηµάτων Είναι (αʹ) x(t) sin(t ) Το σύστηµα είναι γραµµικό γιατί αν ax (t) ax (t) sin(t ) = ay (t) τότε Είναι αλλά bx 2 (t) bx 2 (t) sin(t ) = by 2 (t) ax (t) + bx 2 (t) (ax (t) + bx 2 (t)) sin(t ) = ay (t) + by 2 (t) x(t t ) x(t t ) sin(t ) y(t t ) = x(t t ) sin(t t ) x(t t ) sin(t ) άρα είναι χρονικά µεταβλητό. Είναι αιτιατό αφού η έξοδος εξαρτάται µόνο από την τωρινή τιµή της εισόδου. Είναι ευσταθές γιατί αν x(t) < B x τότε αφού sin(t ). εν είναι δυναµικό αφού δε χρειάζεται µνήµη. (ϐʹ) x(t) Το σύστηµα δεν είναι γραµµικό γιατί y(t) = x(t) sin(t ) = x(t) sin(t ) < B x ax (t) ax (t) = (/a)y (t), οπότε δεν ικανοποιείται η ιδιότητα της οµογένειας. Είναι άρα είναι χρονικά αµετάβλητο. x(t t ) y(t t ) = x(t t ) x(t t )

2 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Τρίτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 2 Είναι αιτιατό αφού η έξοδος εξαρτάται µόνο από την τωρινή τιµή της εισόδου. εν είναι ευσταθές γιατί αν x(t) < B x τότε y(t) = x(t) > B x y(t) αν x(t) =. εν είναι δυναµικό αφού δε χρειάζεται µνήµη. (γʹ) 4x(t ) x( t) Το σύστηµα είναι γραµµικό γιατί αν ax (t) 4ax (t ) ax ( t) = ay (t) Είναι bx 2 (t) 4bx 2 (t ) bx 2 ( t) = by 2 (t) x(t t ) 4x(t t ) x( t + t ) y(t t ) = 4x(t t ) x( t + t ) άρα είναι χρονικά αµετάβλητο. εν είναι αιτιατό αφού η έξοδος εξαρτάται από µελλοντική τιµή της εισόδου (το y() απαιτεί το x()). Είναι ευσταθές γιατί αν x(t) < B x τότε y(t) = 4x(t ) x( t) 4 x(t ) + x( t) < 4B x + B x = 5B x Είναι δυναµικό αφού χρειάζεται µνήµη (το y() απαιτεί το x( ) το x()). Ασκηση 2 - Απόκριση Μηδενικής Εισόδου (αʹ) Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι το λ 2 + 7λ + οι χαρακτηριστικές ϱίζες του είναι οι λ = 2, λ 2 = 5. Άρα η απόκριση µηδενικής εισόδου ϑα είναι της µορφής y zi (t) = c e 2t + c 2 e 5t, t > Η παράγωγος είναι από τις αρχικές συνθήκες έχουµε Το παραπάνω σύστηµα έχει λύση d dt y zi(t) = 2c e 2t 5c 2 e 5t y( ) = c + c 2 = 2 y ( ) = 2c 5c 2 = 2 c = 8/3, c 2 = 2/3 Άρα η απόκριση µηδενικής εισόδου δίνεται ως y zi (t) = 8 3 e 2t u(t) 2 3 e 5t u(t)

3 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Τρίτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 3 (ϐʹ) Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι το λ 2 8λ + 6 οι χαρακτηριστικές ϱίζες του είναι οι λ = 4, λ 2 = 4, διπλή ϱίζα. Άρα η απόκριση µηδενικής εισόδου ϑα είναι της µορφής y zi (t) = (c + c 2 t)e 4t, t > Η παράγωγος είναι από τις αρχικές συνθήκες έχουµε d dt y zi(t) = 4c e 4t + c 2 e 4t + 4c 2 te 4t y( ) = c = y ( ) = 4c + c 2 = Το παραπάνω σύστηµα έχει λύση c =, c 2 = Άρα η απόκριση µηδενικής εισόδου δίνεται ως y zi (t) = te 4t u(t) Το πρώτο σύστηµα είναι ευσταθές γιατί όταν t, η απόκριση µηδενικής εισόδου σβήνει στο µηδεν. Αυτό επιβεβαιώνεται από τις χαρακτηριστικές ϱίζες, που είναι αρνητικές. Το δεύτερο σύστηµα είναι ασταθές γιατί όταν t, η απόκριση µηδενικής εισόδου φεύγει στο άπειρο. Αυτό επιβεβαιώνεται από τη χαρακτηριστική ϱίζα, που είναι ϑετική. Ασκηση 3 - Κρουστική Απόκριση (αʹ) Εχουµε η οποία ανάγεται στην 2 d h(t) + h(t) = δ(t) dt 2 d h(t) + h(t) = dt µε αρχικές συνθήκες h( + ) = /a = /2. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι το 2λ + οι χαρακτηριστική ϱίζα του είναι η λ = 5. Άρα η απόκριση µηδενικής εισόδου ϑα είναι της µορφής y zi (t) = ce 5t, t > Από τις αρχικές συνθήκες έχουµε h( + ) = c = /2 Άρα η κρουστική απόκριση δίνεται ως h(t) = 2 e 5t u(t) (ϐʹ) Εστω η διαφορική εξίσωση έστω h o (t) η κρουστική της απόκριση. Εχουµε d 2 dt 2 y(t) 3 d y(t) + 2 x(t) dt d 2 dt 2 h o(t) 3 d dt h o(t) + 2h o (t) = δ(t)

4 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Τρίτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 4 η οποία ανάγεται στην d 2 dt 2 h o(t) 3 d dt h o(t) + 2h o (t) = µε αρχικές συνθήκες h o ( + ) =, h o( + ) =. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι το λ 2 3λ + 2 οι χαρακτηριστικές ϱίζες του είναι οι λ = 2, λ 2 =. Άρα η κρουστική απόκριση ϑα είναι της µορφής h o (t) = c e t + c 2 e 2t, t > Η παράγωγος είναι από τις αρχικές συνθήκες έχουµε Το παραπάνω σύστηµα έχει λύση d dt h o(t) = c e t + 2c 2 e 2t h( + ) = c + c 2 = h ( + ) = c + 2c 2 = c =, c 2 = Άρα η κρουστική απόκριση h o (t) δίνεται ως h o (t) = ( e t + e 2t )u(t) Τέλος, η κρουστική απόκριση του αρχικού συστήµατος δίνεται ως h(t) = h o (t) d dt h o(t) = e t u(t) + e 2t u(t) + d dt et u(t) d dt e2t u(t) = e t u(t) + e 2t u(t) + e t u(t) + e t δ(t) 2e 2t u(t) e 2t δ(t) = e 2t u(t) + δ(t) 2e 2t u(t) δ(t) = e 2t u(t) Το πρώτο σύστηµα είναι ευσταθές γιατί όταν t, η απόκριση µηδενικής εισόδου σβήνει στο µηδεν. Αυτό επιβεβαιώνεται από τη χαρακτηριστική ϱίζα που είναι αρνητική. Το δεύτερο σύστηµα είναι ασταθές γιατί όταν t, η απόκριση µηδενικής εισόδου φεύγει στο άπειρο. Αυτό επιβεβαιώνεται από τις χαρακτηριστικές ϱίζες που είναι ϑετικές. Ασκηση 4 - Συνέλιξη - Ι (αʹ) Εχουµε h(t) x(t) = e 2τ u(τ)e (t τ) u(t τ)dτ = e 2τ u(τ)e t e τ u(t τ)dτ = e t e τ u(τ)u(t τ)dτ = e t e τ dτ αφού u(τ)u(t τ) =

5 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Τρίτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 5 για < τ < t. Οπότε e t ] t e τ dτ = e t ( e τ ) = e t (e t ) = e t e 2t, t > Οπότε {, t e t e 2t, t > (ϐʹ) Εχουµε h(t) x(t) = = 2 6e τ u(τ)2u(t τ)dτ e τ u(τ)u(t τ)dτ = 2 e τ dτ αφού u(τ)u(t τ) = για < τ < t. Οπότε 2 ] t e τ dτ = 2( e τ ) = 2( e t + ) = 2( e t ), t > Οπότε {, t 2( e t ), t > Ασκηση 5 - Συνέλιξη - ΙΙ Επιλέγουµε να µετατοπίσουµε το x(t), καθ ότι ευκολότερο σήµα. Το x(t) είναι ένας µοναδιαίος τετραγωνικός παλµός διάρκειας T = 2, στο διάστηµα (, ), οπότε το σήµα x(t τ) είναι ένας παλµός στο διάστηµα (t, t + ). Το τριγωνοειδές σήµα h(t) έχει τιµές στο [, 3]. ιακρίνουµε τις περιπτώσεις : c(t) =, t + < t < c(t) = + c(t) = + t τ 3 dτ = 3 τ 3 dτ = 3 c(t) = 3 τ t 3 dτ = 3 c(t) =, t 3 t 4 ] t+ τ 2 2 = 6 (t + )2, για t < t +, δηλ. t < ] t+ τ 2 2 = t 6 ((t+)2 (t ) 2 ) = 6 4t = 2 3t, για t t+ < 3, δηλ. t < 2. ] 3 τ 2 2 = t 6 (9 (t )2 ) = 6 (t2 2t 8), για t < 3 t + 3, δηλ. 2 t < 4. Άρα συνολικά (/6)(t + ) 2, t < (2/3)t, t < 2 c(t) = ( /6)(t 2 2t 8), 2 t < 4, αλλού

6 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Τρίτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 6 [ ] Ασκηση 6 - Εξοδος ΓΧΑ Συστηµάτων Τα σήµατα ϕαίνονται στο Σχήµα. Σχήµα : Σχήµατα Άσκησης 6. Αφού το σύστηµα είναι ΓΧΑ, η έξοδος ϑα αποτελείται µόνο από την απόκριση µηδενικής κατάστασης, δηλ. από τη συνέλιξη της εισόδου µε την κρουστική απόκριση. Είναι = x(τ)h(t τ)dτ = τ 2 + dτ τ 2 u(t τ)dτ + αφού u(t τ) = για τ < t. Οπότε ] t τ 2 + dτ = tan (τ) = tan (t) lim t tan (t) = tan (t) + π 2 αφού η αντίστροφη εφαπτοµένη έχει ασύµπτωτη στο η οποία είναι η y = π/2. [ ] Ασκηση 7 - Συνέλιξη στο MATLAB Κώδικας MATLAB Ασκηση 8 - Συστήµατα στο MATLAB µέσω ιαφορικών Εξισώσεων Κώδικας MATLAB