ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑ 2 ο ΑΛΓΕΒΡΑ Boole ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2009-10 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ 1
Άλγεβρα Βοοle η θεωρητική βάση των λογικών κυκλωμάτων Η άλγεβρα Βοοle ορίζεται επάνω στο σύνολο Α = { 0, 1 }. Όπου ισχύουν οι πράξεις της ισότητας και οι παρακάτω : λογικό 'Η (OR), συμβολίζεται με V ή + ή λογικό ΚΑΙ (AND), συμβολίζεται Λ ή ή αντιστροφή ή συμπλήρωμα (NOT) που συμβολίζεται με ' ή ή Αν υποθέσουμε ότι Β = { α, β, γ,... } είναι το σύνολο στοιχείων της παραπάνω άλγεβρας τότε ισχύουν τα παρακάτω αξιώματα: Το αποτέλεσμα των πράξεων V και Λ μεταξύ των στοιχείων της α, β, γ... ανήκει στο σύνολο Β. Ισχύει η αντιμετάθεση, δηλαδή α V β = β V α και α Λ β = βλα Ισχύει ο επιμερισμός, δηλαδή α Λ (β V γ) = αλβ V α Λ γ και α V (β Λγ) = (α V β) Λ (α V γ) Υπάρχουν μέσα στο Β το ουδέτερο στοιχείο 0 για το λογικό OR 0 V α = α και μοναδιαίο στοιχείο 1 για το λογικό AND ώστε 1 Λα= α Για κάθε στοιχείο α του Β υπάρχει και το -α που ανήκει επίσης στο Β και για το οποίο ισχύουν οι σχέσεις α V α = 1 και α Λ α = 0 Υπάρχουν τουλάχιστον δύο στοιχεία του Β που είναι διάφορα μεταξύ τους. 2009-10 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ 2
Πίνακας αλήθειας βασικών λογικών συναρτήσεων Στον παρακάτω πίνακα εμφανίζονται οι τιμές αλήθειας των βασικών συναρτήσεων της άλγεβρας Boole (0) ψευδής και (1) αληθής πρόταση Οι λογικές συναρτήσεις υλοποιούνται με τα λογικά κυκλώματα. Τα ηλεκτρονικά κυκλώματα που υλοποιούν τις βασικές συναρτήσεις λέγονται λογικές πύλες (gates) και έχουν το όνομα της αντίστοιχης συνάρτησης 2009-10 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ 3
Λογικές πύλες Οι λογικές πύλες είναι οι θεμελιώδεις δομικές μονάδες των ψηφιακών κυκλωμάτων λειτουργούν σαν διακόπτες και επιτρέπουν ή εμποδίζουν τη ροή ψηφιακής πληροφορίας. Με τις πύλες εκτελούνται απλές λογικές πράξεις σε μεταβλητές boolean (δυαδικού χαρακτήρα, 0/1 χαμηλή/υψηλή, λάθος/σωστό). Για τα ψηφιακά ηλεκτρονικά, οι λογικές καταστάσεις 0 και 1 ισοδυναμούν σε τάσεις στην περιοχή 0-0,7V και 2,5-5V, αντίστοιχα. http://www.chem.uoa.gr/applets/appletgates/appl_gates1.html 2009-10 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ 4
Συνδυαστικά κυκλώματα Τα συνδυαστικά λογικά κυκλώματα αποτελούνται από συνδυασμό πυλών και η έξοδος τους εξαρτάται μόνο από την λογική κατάσταση της εισόδου. Το συνδυαστικό κύκλώμα αποτελεί γενικευμένη πύλη με m εισόδους και n εξόδους. Δεν έχει στοιχεία μνήμης, δηλαδή οι τιμές στις εξόδους εξαρτώνται αποκλειστικά από τις τιμές των εισόδων. Για την κατασκευή συγκεκριμένου συνδυαστικού κυκλώματος που εκτελεί μια επιθυμητή λειτουργία συνδυάζεται ο ελάχιστος δυνατόν αριθμός πυλών Ο ελάχιστος αριθμός πυλών εξασφαλίζει μεγαλύτερη ταχύτητα και μικρότερη κατανάλωση ηλεκτρικής ισχύος. Τα διπλανά κυκλώματα εξάγουν το ίδιο αποτέλεσμα. Ωστόσο το δεύτερο έχει 1 πύλη λιγότερη. 2009-10 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ 5
Πρόσθεση δυαδικών αριθμών Θα προσθέσουμε τους αριθμούς 43 και 15, με τη δυαδική τους αναπαράσταση. Ο 43 στο δυαδικό σύστημα είναι ο 101011 (2) ενώ ο 15 παριστάνεται ως 001111 (2). A i B i C i-1 S i C i 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 2009-10 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ 6
Αθροιστής Η δυαδική αριθμητική πραγματοποιείται με συνδυαστικά κυκλώματα. Για την μη προσημασμένη δυαδική πρόσθεση το κατάλληλο κύκλωμα είναι ο πλήρης αθροιστής (full adder) που έχει τρεις εισόδους και δύο εξόδους. Στις εισόδους του δέχεται δύο δυαδικά ψηφία (Α i,b i ), συν ένα κρατούμενο (C i-1 ) που προέρχεται από την προηγούμενη θέση. Παράγει το αποτέλεσμα (S i ) της πρόσθεσης συν ένα κρατούμενο για την επόμενη θέση (C i ). Για την άθροιση σε byte χρησιμοποιούνται 8 συνδεδεμένοι πλήρης αθροιστές. A i B i C i-1 S i C i 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 2009-10 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ 7
Κωδικοποιητής-Αποκωδικοποιητής-Πολυπλέκτης Κωδικοποιητής είναι διάταξη που μετατρέπει κάποιο σήμα που αποτελείται από έναν αριθμό εισόδων σε σήμα με διαφορετικό αριθμό εξόδων. Τέτοιο παράδειγμα αποτελεί η κωδικοποίηση BCD με 10 εισόδους και 4 εξόδους. Το πληκτρολόγιο διαθέτει τέτοιο κωδικοποιητή 64 γραμμών εισόδου και 8 εξόδου. Οι αποκωδικοποιητές (decoders) είναι κυκλώματα με δύο ή περισσότερες εισόδους και μια ή περισσότερες εξόδους, που σχηματίζονται με συνδυασμό πυλών διαφόρων τύπων και κάνουν την αντίστροφη δουλειά. Ηβασικήτους λειτουργία είναι να δέχονται μια δυαδική έκφραση στην είσοδό τους και να δημιουργούν μια διαφορετική δυαδική έκφραση στην έξοδό τους. Τυπικός αποκωδικοποιητής είναι ο πλήρης αθροιστής με 3 εισόδους και 2 εξόδους. ΟΙ κωδικοποιητές και αποκωδικοποιητές χρησιμεύουν στην μετάφραση εσωτερικών δυαδικών κωδικών σε εξωτερικά σήματα. Γενικά, οι πολυπλέκτες είναι κυκλώματα που συμπεριφέρονται σαν περιστροφικοί διακόπτες, μέσω των οποίων επιλέγεται ως σήμα εξόδου όποιοδήποτε από πολλά σήματα εισόδου. Στα ψηφιακά ηλεκτρονικά, ο πολυπλέκτης είναι συνδυασμός λογικών πυλών και έχει δύο ή περισότερες εισόδους και μία έξοδο. 2009-10 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ 8