PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

9//6 CHƯƠNG Đạo hàm ại mộ điểm PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Địh ghĩa: Đạo hàm của hàm f ại điểm a, ký hiệ f (a) là: f ' a lim a f f a (ế giới hạ à ồ ại hữ hạ). Chú ý: đặ h=-a, a có: f ' a a f a h f a lim h h Tìm đạo hàm của hàm: ại a= ho địh ghĩa. Ta é giới hạ sa: f f h f lim h h 8 9 8 9 4 h h h h lim lim 4 h h h h Đạo hàm phải rái Đạo hàm rái của f() ại a là: f f a f a h f a f ' a lim lim a a h h Đạo hàm phải của f() ại a là: f f a f a h f a f ' a lim lim a a h h Vậ: f ' 4 Địh lý Địh lý: Hàm số f() có đạo hàm ại điểm a khi và chỉ khi ó có đạo hàm rái; đạo hàm phải ại a và hai đạo hàm à bằg ha. f ' a L f ' a f ' a L Cho hàm số: f Ta có: /, Tìm, f ' ; f ' Địh lý: Nế hàm số f() có đạo hàm ại a hì hàm số liê ục ại a. Chiề gược lại có hể khôg đúg. f ' a L lim f f a a f h f / h f ' lim lim lim h h h h f h f / h f ' lim lim h h h Vậ khôg ồ ại đạo hàm của hàm số ại. h

9//6 Với a cố địh a có: Tha a bằg a có: Hàm số đạo hàm f ' a f a h f a lim h h f h f f ' lim h h Với mỗi giá rị khác ha của a íh được f () ế giới hạ ồ ại hữ hạ. Như vậ giá rị của f () phụ hộc vào biế độc lập ê có hể m f là mộ hàm ho và gọi là đạo hàm của hàm f. Hàm số đạo hàm Hàm số đạo hàm của hàm =f(). Ký hiệ: df d d f '; '; ; ; f d d d Tập ác địh của hàm f là ập các giá rị của sao cho f () ồ ại. Nó có hể hỏ hơ TXĐ của hàm số f(). Tìm hàm số đạo hàm của hàm =. f h f h lim lim h h h h Giới hạ à ồ ại hữ hạ với mọi hộc TXĐ. Vậ đạo hàm của hàm số: ' Tìm đạo hàm của hàm: f h f h f ' lim lim h h h h Vậ: f f '. TXD : ; Chú ý: ập ác địh của hàm f() là: [; ) Qi ắc íh đạo hàm Cho, v là hai hàm ho. Khi đó đạo hàm ho của các hàm sa là: i. v ' ' v ' ii. k ' k. ' '. v. v ' iii.. v ' '. v. v ' iv. v v Đạo hàm dạg: v v v ' v '.l v. Cách íh: lấ logari Nêp hai vế hàm số: v Qi ắc íh đạo hàm Đạo hàm của hàm hợp: : Hàm Vậ: f g f. g g l cos là hàm hợp của hàm: f l ; g cos f. g. si a g cos

9//6 Côg hức íh đạo hàm. C... 4. l 5. si cos 6. cos si 7. a cos 8. co si Đạo hàm hàm hợp.. ' 4. l. ' 5. si '.cos 6. cos '. si 7. a. ' cos 8. co. ' si Côg hức íh đạo hàm 9. a a.la. log a. arcsi. arccos. arca 4. arc co.la Đạo hàm hàm hợp 9. a. log a. arcsi. arccos. arca 4. arc co Tìm f () biế: f l cos l cos si si ' cos cos Tìm f () biế: Vậ: f.si 4 7 4 ' 4 7 cos l l l 7 l si si '..si 4 7 i 4 7 cos s Hàm số cho bởi ham số Hàm số=f() hỏa điề kiệ: Khi đó hàm số đã cho gọi là hàm cho bởi phươg rìh ham số. l : Cho hàm Đặ: a có dạg ham số sa: Côg hức đạo hàm ham số Cho hàm =f() dạg ham số: Khi đó: : l d d / d d d / d l

9//6 Hàm số Khi đó: Đạo hàm của hàm gược có hàm gược là: f : Hàm =arca có hàm gược =a f a Đạo hàm của hàm gược : Hàm =arcsi có hàm gược =si cos si do : Hàm =arccos có hàm gược =cos si cos do Hàm ẩ Hàm =f() với (a;b) là hàm ẩ cho bởi phươg rìh F(,)= ế ha =f() vào a được đẳg hức đúg. Nghĩa là: F(, f())= với (a;b). : Phươg rìh: ác địh hai hàm ẩ: F,, ;, ; Đạo hàm hàm ẩ Cho phươg rìh: F(;)= Để íh: B. Lấ đạo hàm hai vế phươg rìh ho. Chú ý là hàm ho. B. Giải phươg rìh ìm. B. Để íh (a) a ha =a vào phươg rìh. : Cho phươg rìh: l Tíh đạo hàm của ho. B. Lấ đạo hàm ho Đạo hàm hàm ẩ l '.. '. * B. Giải ìm * '.. '. ' '. Đạo hàm hàm ẩ B. Tíh (). l l '. Tha = và ()= vào a có:..... '.. 4

9//6 Đạo hàm cấp cao Cho f là hàm khả vi. Đạo hàm (ế có) của f gọi là đạo hàm cấp của hàm số f(). Ký hiệ: d df d f f f d d d Đạo hàm cấp của hàm f là đạo hàm của đạo hàm cấp. f f d d f d f d d d Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp của hàm f là đạo hàm của đạo hàm cấp (-). f f d d f d f d d : Cho hàm: f. Tìm đạo hàm cấp của hàm số. Giải: f... d Tươg ự: Tổg qá: Đạo hàm cấp cao f f ; f 4 f 4 Đạo hàm cấp cao hườg gặp i) a... a ii)! a a iii) a. iv) l a a! v) si a a.si a vi) cos a a.cos a Chú ý i) a b... a b. a! iv) l a b. a a b v) si a b a.si a b vi) cos a b a.cos a b Tíh đạo hàm cấp của: a) f b) g 5

9//6 Đạo hàm cấp cao hàm ẩ 4 4 Biế: 6 48. CM: 7 Đạo hàm vế ho : 4 4. ' ' Do đó:. ' ' 6 4 Tha vào: 4 4 48 4 7 7 Ta đã biế: Đạo hàm cấp cao ham số Tho côg hức đạo hàm hàm hợp: Do đó: ' '.... Tìm biế: Vậ: si cos ; si ; ; cos. cos si. cos si cos cos Dễ hấ: Mở rộg: Côg hức Libiz f. g f. g g. f f. g f. g g. f f. g f g f. g k k k f. g C. f g k Gầ giốg khai riể hị hức Nwo Tíh đạo hàm: f. g f g f. g f. g g f 4 4 f. g f g 4 f. g 6 f. g 4 f. g g f VI PHÂN Vi phâ ại mộ điểm Vi phâ rê mộ khoảg Ứg dụg vi phâ íh gầ đúg f f si??? 6

9//6 Vi phâ ại mộ điểm Địh ghĩa. Hàm số f() gọi là khả vi ại ế: f h f Ah. h A: haèg soá höõ haï h h : VCBù baäc cao hô h. lim h h Ngöôøi a coø kù hiä h laø. Địh ghĩa. Hàm số f() gọi là khả vi ại ế: f f A. Vi phâ ại mộ điểm Cho hàm f khả vi ại. Khi đó A.h gọi là vi phâ của hàm số f() ại. Ký hiệ: df A. h ha df A. Địh lý: Hàm = f() khả vi ại khi và chỉ khi ồ ại f ( ). Ta chứg mih được: A f ' Vi phâ ại mộ điểm Vi phâ của hàm số f() ại. df f '. h ha df f '. Tíh chấ: i) d C ii) d f df iii) d f g df dg iv) d fg gdf fdg f gdf fdg vd ) g g Cho hàm hợp: Vi phâ: Vi phâ của hàm hợp f ha f df f. d f. ' d f '. d Hai côg hức à có dạg giốg ha Vậ vi phâ cấp có íh bấ biế. f f Ứg dụg vi phâ f f f f '. Ứg dụg vi phâ íh gầ đúg Cho hàm f() khả vi rog lâ cậ của. Ta có: f f f '. Ha côg hức: f f f '. f f '. khi 7

9//6 Cho hàm số: f a) Tíh vi phâ cấp của hàm số ại = b) Tíh gầ đúg: Giải: f df d 4, df d 4 d 4 Cho hàm số: f a) Tíh vi phâ cấp của hàm số ại = b) Tíh gầ đúg: Giải: 4, f f 4, 4, f, f,, 75 4 4 Nế íh bằg má íh: 4,, 748599.. Vi phâ cấp cao Vi phâ cấp : df f d Là mộ hàm ho. Nế hàm số à có vi phâ hì vi phâ à gọi là vi phâ cấp của hàm f(). Vậ: d f d df d f ' d d. d f ' d. f d f. d Tươg ự vi phâ cấp là vi phâ của vi phâ cấp (- ). d f d d f f. d Vi phâ cấp cao của hàm hợp Cho hàm hợp: f(g()). Vi phâ cấp : d f d df d f ' d d f f d d f '. d f '. d d f d f d CÁC ĐỊNH LÝ HÀM KHẢ VI Địh lý về giá rị rg bìh (ham khảo) Côg hức Talor Qi ắc L Hospial Địh lý Frma Cho hàm số =f() ác địh rog lâ cậ. Nế f() đạ cực đại ại và có đạo hàm ại hì: f ' 8

9//6 Địh lý Roll Địh lý Lagrag Nế hàm f() liê ục rê [a,b], khả vi rê (a,b) và f(a)=f(b) hị ồ ại điểm c hộc (a,b) sao cho f (c)= Đặc biệ ế f(a)=f(b)= hì địh lý Roll có ghĩa giữa hai ghiệm của hàm số có í hấ mộ ghiệm của đạo hàm. Nế f() liê ục rê [a,b], khả vi rog (a,b) hì ồ ại c hộc (a,b) sao cho: f b b f a a f ' c Địh lý Cach Nế f(), g() liê ục rê [a,b], khả vi rog (a,b) và g() khác rê (a,b) hì ồ ại c hộc (a,b) sao cho: f b f a f ' c g b g a g ' c Côg hức Talor Khai riể mộ hàm số phức ạp hàh dạg đơ giả Khai riể hàm phức ạp hàh hàm đa hức. : khai riể Talor ại = 5 arca... 5...!!! Côg hức Talor Cho hàm số f(): Liê ục rê [a,b] Có đạo hàm đế cấp + rê (a,b) Xé (a,b). Khi đó rê [a,b] a có: Phầ dư rog côg hức Talor Dạg Lagrag: f c R! f ' f " f f!! f f c...!! Dạg Pao: (hườg dùg hơ) R lim R 9

9//6 Côg hức Maclari Cho hàm số f(): Liê ục rê [a,b] Có đạo hàm đế cấp + rê (a,b) Xé = (a,b). Khi đó rê [a,b] a có: f f ' f " f f...!!! Côg hức L Hospial Áp dùg ìm giới hạ dạg: ; f Ñòh lù: Cho giôùi haï: lim coù daïg ; a g f f Ná lim L hì lim a g a g f f lim lim a g a g L L ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM. Ý ghĩa của đạo hàm. Giá rị cậ biê. Hệ số co dã 4. Lựa chọ ối ư rog kih ế. Ý ghĩa của đạo hàm Cho hàm số =f() Tại khi ha đổi mộ lượg Δ Thì ha đổi: Δ = f( + Δ)-f( ) f f f ' lim Tốc độ ha đổi của ho ại điểm chíh là đạo hàm f ( ) f ' khi ra ho. Ý ghĩa của đạo hàm. Hàm cầ của mộ loại hàg hóa là p=5-q Tìm ốc độ ha đổi giá khi lượg cầ ha đổi Giá sẽ ha đổi hế ào khi Q=. Ý ghĩa của đạo hàm. Hàm cầ của mộ loại hàg hóa là p = 45 Q Tìm ốc độ ha đổi giá khi lượg cầ ha đổi Giá sẽ ha đổi hế ào khi Q=4

9//6. Giá rị cậ biê Giá rị cậ biê của chi phí Đo ốc độ ha đổi của ho, ký hiệ M() M f ' Ta hườg chọ ấp ỉ M() ức là M() gầ bằg lượg ha đổi của khi ha đổi mộ đơ vị = Cho hàm chi phí C=C(Q) Hàm cậ biê của chi phí: MC(Q)=C (Q) Lượg ha đổi của chi phí khi Q ăg lê đơ vị Giả sử chi phí rg bìh để sả ấ mộ sả phẩm là: 5 C, Q, Q 5 Q A) Xác địh hàm ổg chi phí để sả ấ ra Q sả phẩm. B) Tìm giá rị cậ biê của hàm chi phí. Nê ý ghĩa khi Q=5. Giá rị cậ biê của doah h Cho hàm doah h R=R(Q) Hàm cậ biê của doah h: MR(Q)=R (Q) Lượg ha đổi của doah h khi Q ăg lê đơ vị Số vé bá được Q và giá vé p của mộ hãg bs được cho bởi côg hức: Q 5p A) Xác địh hàm ổg doah h B) Xác địh doah h cậ biê khi p= và p= Độ ha đổi ệ đối và ươg đối Địh ghĩa: khi đại lượg ha đổi mộ lượg Δ hì a ói: Δ là độ ha đổi ệ đối của Tỷ số. % gọi là độ ha đổi ươg đối của

9//6 Hệ số co dã Hệ số co dã của ho là ỷ số giữa độ ha đổi ươg đối của và của ha đổi mộ lượg Δ. Ký hiệ: / f '.. / f Cho hàm cầ Q=-4p-p. Tìm hệ số co dã khi p= Thể hiệ % ha đổi của khi ha đổi %. Lựa chọ ối ư rog kih ế Trog kih ế a qa âm các bài oá sa: + Tìm p để sả lượg Q đạ ối đa + Tìm p hoặc Q để doah h R đạ ối đa + Tìm Q để chi phí C đạ ối hiể (cực iể) Cho hàm cầ Q=-p, hàm chi phí C=Q - 9Q +Q+ Tìm Q để lợi hậ lớ hấ. Ta đưa các bài oá rê về dạg ìm cực rị của hàm mộ biế số đã học. Cho hàm cầ Q=-p, hàm chi phí C=Q - 5Q +84Q+5 Tìm Q để lợi hậ lớ hấ.