Chứng minh. Cách 1. EO EB = EA. hay OC = AE

Transcript

1 ài tập ôn luyện đội tuyển I năm 2016 guyễn Văn inh ài 1. (Iran S 2007). ho tam giác. ột điểm nằm trong tam giác thỏa mãn = +. Gọi, Z lần lượt là điểm chính giữa các cung và của đường tròn ngoại tiếp các tam giác và. hứng minh rằng ( ) tiếp xúc với (Z). hứng minh. ách 1. Z F ' Dựng hai điểm, F trên tia, sao cho = = F. Hai điểm, thỏa mãn các cặp tam giác và, và F đồng dạng cùng hướng. Gọi đối xứng với qua. a có = = 2 F = nên. ương tự F. heo giả thiết = + nên =. Do đó từ cặp tam giác đồng dạng và ta thu được = hay =. Suy ra. ương tự. ặt khác, Z =, Z = 90 1 = nên Z. à 2 nên Z. hứng minh tương tự F. Vậy + Z = + F = + F =. ẻ tiếp tuyến t của ( ) ta có t =, do đó t = Z hay t là tiếp tuyến của (Z). Vậy hai đường tròn ( ) và (Z) tiếp xúc nhau. ách 2. 1

2 b c Z I b I c a Gọi a, b, c lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác,,, I b, I c lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác, Z. Gọi,, lần lượt là trung điểm,,. Do I b b, b c nên I b b c =. ương tự I b b a = 180. heo giả thiết là điểm chính giữa cung nên là phân giác ngoài. ừ đó suy ra I b b c = I b b a hay I b là chân phân giác kẻ từ b của tam giác a b c. ương tự I c là chân phân giác kẻ từ c của tam giác a b c. ại có = + nên = +, tức là khoảng cách từ đến b c bằng tổng khoảng cách từ đến a b và a c. heo kết quả quen thuộc nằm trên I b I c. Vậy (I b ) tiếp xúc với (I c ) tại. ài 2. (R 2016) ho tam giác nhọn, <, là trung điểm và Ω là đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi là điểm đối xứng của qua tâm của Ω., giao lần lượt tại,. Đường thẳng qua vuông góc với giao đường thẳng qua vuông góc với giao và cắt nhau tạo thành tam giác. hứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác và Ω tiếp xúc nhau. hứng minh. (ách 1) 2

3 S Z J J 1 ' J 2 R Gọi là giao điểm của đường đối trung ứng với đỉnh với (). giao tại, giao tại R. Gọi S là hình chiếu vuông góc của trên. Do nằm trên đường đối trung ứng với đỉnh của tam giác và, nên S = =. Suy ra S = hay R hay Z,, thẳng hàng. hứng minh tương tự, R,, thẳng hàng. a thu được là trực tâm của tam giác R. hưng = 90 nên,, thẳng hàng. ặt khác, Z nên áp dụng định lý Reim, tứ giác Z nội tiếp. hứng minh tương tự, R là tứ giác nội tiếp. Suy ra Z = Z + = + = 180 = Z. a thu được ( Z). Gọi t là tiếp tuyến của (). a có t = = Z nên t cũng là tiếp tuyến của (J). Suy ra đpcm. (ách 2). a phát biểu và không chứng minh các tính chất sau của tam giác paralogic (xem bài viết tam giác paralogic tại đây: ho hai tam giác và là hai tam giác paralogic ứng với bộ 3 thẳng hàng ( 1, 1, 1 ). hi đó () và ( ) trực giao, hai đường tròn này giao nhau tại hai điểm, một điểm là điểm iquel của tứ giác toàn phần 1 1 1, một điểm là giao của 2, 2, 2. rở lại bài toán. 3

4 Z S J ' Gọi J, lần lượt là giao điểm của với,. Do hai tam giác Z và J là hai tam giác paralogic ứng với bộ (,, ) ta thu được ( Z) trực giao với (J ). Gọi S là giao điểm thứ hai của ( J ) và (). Do J và là hai tam giác paralogic ứng với (,, ) nên S là điểm iquel của tứ giác toàn phần hay là giao điểm của đường tròn qua, và tiếp xúc với, qua, và tiếp xúc với. Suy ra S = = S hay S là tứ giác điều hòa. Gọi, lần lượt là giao của với Z, suy ra và là hai tam giác paralogic ứng với bộ (,, ). Gọi S là giao điểm của ( ) và ( ) sao cho,, đồng quy tại S. Suy ra S = S = = hay S là đường đối trung của tam giác. ghĩa là S S hay S,, thẳng hàng. a biết rằng, Z, J đồng quy tại giao điểm của ( Z) và (J ). Do đó ( Z), (J ), () đồng quy tại S. à ( Z) và () đều trực giao với (J ) nên ( Z) tiếp xúc với () tại S. ài 3. (guyễn Văn inh) ho tam giác nội tiếp đường tròn (). Hai tiếp tuyến của () tại, giao nhau tại. Gọi là điểm đối xứng với qua., giao lần lượt tại,. Đường thẳng qua vuông góc với, qua vuông góc với và đường thẳng cắt nhau tạo thành tam giác Z. hứng minh rằng ( Z) tiếp xúc với ( ). 4

5 F R Z ' hứng minh. Dễ thấy Z và là hai tam giác paralogic ứng với (,, ). Suy ra ( Z) trực giao với (). Gọi, F lần lượt là trung điểm cung và cung ta thu được 2 = suy ra ( ) cũng trực giao với (). Vậy ta chỉ cần chứng minh 3 đường tròn ( Z), ( ) và () đồng quy. Gọi và R là giao điểm của ( Z) và () ( là điểm iquel của tứ giác toàn phần, R là giao điểm của,, Z). a có R = R = = nên R. Suy ra = R = hay ( ). Suy ra đpcm. ài 4. (rịnh Huy Vũ). ho tam giác. Đường cao D (D ), G là trung điểm D. Gọi, lần lượt là hình chiếu của D trên G, G. giao tại Z. hứng minh rằng ( Z) tiếp xúc với (D). 5

6 G J Z D hứng minh. Gọi là giao điểm của và. a có tứ giác G D nội tiếp nên G = GD = G, suy ra tứ giác nội tiếp đường tròn (). heo định lý rocard, Z vuông góc với G tại J là điểm iquel của tứ giác toàn phần G. Do (G D) tiếp xúc với tại D nên D 2 = = J G, suy ra DJ G. Suy ra, D, Z, J thẳng hàng. Gọi là điểm đối xứng với D qua J, GZ giao tại. a có 2 = D 2 = Z nên ( ) tiếp xúc với G tại. Do J là điểm iquel của tứ giác toàn phần G nên J ( ) và (). a có Z Z = Z Z = Z Z = ZG Z = ZD Z. Suy ra D và D nội tiếp. Do đó Z + Z = D + D = 180 hay ( Z). Vậy ( Z) tiếp xúc với (G) tại. ài 5. (a an 2013) ho tứ giác ngoại tiếp D. hứng minh rằng tồn tại đường tròn tiếp xúc với các đường tròn đường kính,, D, D. 6

7 J D hứng minh. hông mất tổng quát giả sử >. Gọi là trung điểm,,,, lần lượt là trung điểm,, D, D. ia cắt () tại. a có = = Do đó đường tròn tâm, bán kính 1 ( ) tiếp 2 xúc với (). hứng minh tương tự, (, 1 2 ( )) tiếp xúc với (), (, 1 (D D)) tiếp xúc với 2 (D), (D). à tứ giác D ngoại tiếp nên + D = D + hay = D D. Suy ra (, 1 ( )) tiếp xúc với cả 4 đường tròn đường kính,, D, D. 2 ương tự ta cũng có đường tròn có tâm là trung điểm D, bán kính bằng 1 D tiếp xúc 2 với 4 đường tròn trên. ài 6. (guyễn Văn inh) ho tứ giác D ngoại tiếp. Gọi, lần lượt là giao của D và, và D, d 1, d 2 là 2 đường thẳng bất kì qua. Dựng 2 đường tròn (I 1 ), (I 2 ) lần lượt nội tiếp các tam giác tạo bởi, d 1, d 2 và D, d 1, d 2. ừ kẻ 2 tiếp tuyến l 1, l 2 khác, D tới (I 1 ), (I 2 ). hứng minh rằng d 1, d 2, D, cắt nhau tạo thành một tứ giác ngoại tiếp. 7

8 I 3 I 2 Z I 4 I 1 D hứng minh. í hiệu (d 1, d 2, d 3, d 4 ) là tứ giác tạo bởi giao điểm của 4 đường thẳng d 1, d 2, d 3, d 4. Dựng đường tròn (I 3 ) và (I 4 ) lần lượt nội tiếp tam giác và Z. ừ kẻ đường thẳng d 3 khác tiếp xúc với (I 4 ). Áp dụng bài toán 2 suy ra tứ giác (d 3,,, ) ngoại tiếp. Do các tứ giác D và (Z,,, ) ngoại tiếp nên áp dụng bổ đề 1 suy ra tứ giác (, Z,, ) ngoại tiếp. à tứ giác (,,, ) ngoại tiếp nên lại áp dụng bổ đề 1 suy ra tứ giác Z ngoại tiếp. ài 7. (Fakazas unde) ho tứ giác D, giao D tại, D giao tại. ừ mỗi điểm và kẻ n 1 đường thẳng chia tứ giác D thành một ma trận có n hàng và n cột. ừ n 2 tứ giác con ta có thể chọn được n tứ giác ngoại tiếp sao cho mỗi hàng và mỗi cột có đúng một tứ giác. hứng minh rằng tứ giác D ngoại tiếp. hứng minh. -rường hợp n = 2, bài toán hiển nhiên đúng. -ét trường hợp n = k. ếu một tứ giác chứa tứ giác nhỏ ngoại tiếp nằm ở 1 trong 4 góc của tứ giác thì ta có thể quy nạp về trường hợp n = k 1. Vì vậy ta xét bài toán trong trường hợp không có tứ giác ngoại tiếp nằm ở 1 trong 4 góc. n+2 n+1 k 2 1 8

9 a đơn giản hóa bài toán bằng một bảng ô vuông n n, trong đó các đường thẳng thuộc các hàng đồng quy (tại ) và các đường thẳng thuộc các cột đồng quy (tại ). ính từ hàng dưới cùng, kí hiệu i là tứ giác ngoại tiếp thuộc hàng thứ i. Gọi k là tứ giác ngoại tiếp ngoài cùng bên phải. hực hiện liên tiếp phép dựng tứ giác ngoại tiếp n+1 trên cột có tứ giác 1, tứ giác n+2 trên cột có tứ giác 2,... đến tứ giác ngoại tiếp n+k 1 như hình vẽ. hi đó ta có một bảng n n chứa n tứ giác ngoại tiếp k, k+1,..., n+k 1, với k là tứ giác ngoại tiếp nằm ở 1 trong 4 góc. í hiệu k là tứ giác bao ngoài bảng trên. heo trường hợp thứ nhất, tứ giác k ngoại tiếp. Áp dụng bài toán 6, tứ giác k 1 chứa các tứ giác ngoại tiếp k 1, k,..., n+k 2 cũng là một tứ giác ngoại tiếp. ại tiếp tục áp dụng bài toán 6 suy ra k 2,..., 1 là các tứ giác ngoại tiếp. a có đpcm. ài 8. (evietn-guyễn Văn inh) ho tứ giác D nội tiếp đường tròn (). giao D tại. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác D và lần lượt giao D tại và F sao cho, F thuộc đoạn thẳng D. Gọi I 1, J 1 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác D, F. hứng minh rằng I 1, J 1,, D đồng viên. hứng minh. (ách 1-elv olh). I I 1 F J 1 D I 2 J 2 Gọi là giao của D và. I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác D, () và ( ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác D và. a có và lần lượt là điểm chính giữa cung D và của ( D) và ( ) nên là phân giác D. Dễ thấy I song song với phân giác D nên I. à D = nên nằm trên trục đẳng phương của () và ( ). Suy ra I là trục đẳng phương của () và ( ). Do đó ID II 1 = I IJ 1 hay tứ giác DI 1 J 1 nội tiếp. (ách 2-uis González). 9

10 J 5 I 5 S I 3 J 3 I1 I4 J 4 J 1 D F I 2 J 2 Gọi I 3, I 4, J 3, J 4 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác D, D,, D. I 4 giao J 4 tại là trung điểm cung D của (). Dễ thấy tứ giác DJ 4 I 4 nội tiếp đường tròn (, ) nên I 4 = J 4. ại có I 3 J 3 đi qua và I 3 I 4 = D = = J 3J 4 nên tam giác I 3 J 3 cân tại. a thu được I 3 J 3 J 4 I 4 là hình thang cân. ặt khác, dễ thấy tứ giác I 3 I 1 D và J 3 J 1 lần lượt nội tiếp đường tròn có tâm và là trung điểm cung D và của ( D) và ( ). Gọi là giao của I 1 I 3 và J 1 J 4, S là giao của I 1 I 4 và J 1 J 3. a có I 1 I 3 I 4 = DI 1 = DI 1 = I 4 J 4 nên tứ giác I 3 I 4 J 4 nội tiếp. ương tự tứ giác SJ 3 J 4 I 4 nội tiếp. Vậy S, (I 4 J 4 J 3 I 3 ). Suy ra I 1 J 1 = I 3 J 4 = J 3 SI 4 = J 1 SI 1 hay tứ giác SJ 1 I 1 nội tiếp. Do các tứ giác SJ 4 I 4 và DJ 4 I 4 nội tiếp nên áp dụng định lý Reim, S D. ại có SJ 1 I 1 nội tiếp nên áp dụng định lý Reim ta có DJ 1 I 1 nội tiếp và I 1 J 1 I 4 J 4 I 3 J 3. ài 9. (guyễn Văn inh) ho tứ giác D nội tiếp đường tròn (). giao D tại. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác D và lần lượt giao D tại và F sao cho, F thuộc đoạn thẳng D., F giao () lần lượt tại,. Gọi I 1, I 2, J 1, J 2 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác D,, F, DF. hứng minh rằng I 1, I 2, J 1, J 2 đồng viên. hứng minh. (xem hình bài 1) ừ tứ giác DI 1 J 1 nội tiếp ta thu được I 1 J 1 = DI 1 J 1 DI 1 = D ( D) = 1 2 D 1 2 D = =. Do đó I 1J 1. Gọi, lần lượt là điểm đối xứng với I 1 qua, J 1 qua suy ra I 1 J 1. Suy ra = J 1 + J 1 = I 1 J 1 F + J 1 = I 1 J 1 F + F J 1 90 = I 1 J 1 90 = 270 I 1 D = 180 (90 + I 1 D) = 180 D. Do đó tứ giác D nội tiếp. a có I 2 = = D = D nên I 2 (D), tương tự với J 2. Suy ra tứ giác J 2 I 2 nội tiếp. à I 1 J 1 nên theo định lý Reim, tứ giác I 1 J 1 J 2 I 2 nội tiếp. ài 10. (guyễn Văn inh) ho tam giác nội tiếp đường tròn (), ngoại tiếp đường tròn (I). ác đường tròn (I a ), (I b ), (I c ) bàng tiếp góc,, lần lượt tiếp xúc với,, tại,, Z. Giả sử I. hứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác Z nằm trên phân giác. 10

11 I c Z F J I U D V I a hứng minh. Gọi D,, F lần lượt là tiếp điểm của (I) với,, ; đối xứng với D qua I, là trung điểm. Do đi qua và là trung điểm D nên I. à I nên = ID, suy ra = I hay I là hình bình hành. Suy ra I. a thu được,,, thẳng hàng. ua kẻ đường vuông góc với cắt I tại. Gọi U, V lần lượt là tiếp điểm của (I c ), (I b ) với. là điểm chính giữa cung không chứa. Do nên I I = I I = I. ại có F I nên I = F = Z = U I. Suy ra I = U hay I U. à I UZ nên UZ đi qua. ương tự V đi qua. Gọi J, lần lượt đối xứng với Z, qua phân giác I. a có Z = I = , Z = = nên Z + Z = 180, suy ra tứ giác Z nội tiếp. Suy ra 5 điểm Z, J,,, cùng thuộc một đường tròn. ại có I là hình bình hành và, đẳng giác trong nên I là phân giác, suy ra I là hình thoi. ghĩa là đối xứng với qua I. Suy ra 6 điểm, J,,,, thuộc một đường tròn. éo dài cắt () tại. a có là trung điểm nên =. Suy ra = = = D D = F = Z = J. Suy ra tứ giác J nội tiếp. Vậy (ZJ ). à ZJ là hình thang cân có trục đối xứng I nên tâm của ( Z) nằm trên I. ài 11. (guyễn Văn inh) ho tam giác nội tiếp đường tròn (), ngoại tiếp đường tròn (I). (I) tiếp xúc với tại D. Gọi là điểm đối xứng với D qua I;,, Z lần lượt là tiếp điểm của các đường tròn bàng tiếp góc,, với cạnh,,. Giả sử I = 90. hứng minh rằng,, Z, cùng thuộc một đường tròn. 11

12 Z F G I D hứng minh. Gọi là điểm chính giữa cung, G là trọng tâm tam giác, là trung điểm, là giao của I với, F là tiếp điểm của (I) với. Do I = 90 nên I = I = =. ại có IF = nên IF = (g.c.g). a thu được = IF = ID. Suy ra I = = 1 2 I = 1 2 I. Suy ra I I = G hay IG. Gọi là giao của IG với ta thu được = ID =. Gọi G là giao của với ID suy ra I là đường trung bình của tam giác, suy ra I = 1 2 = 1 2. Do đó IG I = 1. a thu được là điểm agel của tam giác, tức là,, Z đồng quy tại 2. Gọi là giao của Z và suy ra () = 1. à I là đường trung bình của tam giác nên =. Áp dụng hệ thức aclaurin suy ra =. ặt khác, do đối xứng với qua nên Z = = = 180, suy ra tứ giác Z nội tiếp. Do đó = Z. Vậy Z = hay tứ giác Z nội tiếp. ài 12. (guyễn Văn inh) ho tam giác nội tiếp (). Đường cao H. là trung điểm. giao H tại G. hứng minh rằng G nằm trên trục đẳng phương của () và đường tròn uler của tam giác. 12

13 F G H hứng minh. Gọi, lần lượt là giao của, H với ();, F là chân đường cao kẻ từ,. Gọi ( u ) là đường tròn uler của tam giác, d là trục đẳng phương của ( u ) và (). ét 3 đường tròn (), ( u ), () có F,, d là các trục đẳng phương nên F,, d đồng quy tại. a có là đường kính của () nên H = 90. ét 3 đường tròn (H ), (), ( u ) có, H, d là các trục đẳng phương nên đi qua. Gọi là giao điểm thứ hai của với ( u ), là trung điểm. a có vuông góc với F tại, suy ra tứ giác nội tiếp. Suy ra = = hay tứ giác nội tiếp. à các điểm,, cùng nằm trên đường tròn đường kính nên tứ giác nội tiếp. Vậy G G = G G hay G thuộc trục đẳng phương của () và ( u ). ài 13. ho tam giác không cân có l là phân giác góc. hứng minh rằng l song song với đường thẳng uler của tam giác khi và chỉ khi = 120. hứng minh. ổ đề 1. ho tam giác không vuông. Gọi D là điểm thỏa mãn D = = D. hi đó D nằm trên đường thẳng uler của tam giác. ách 1. 13

14 F H D Gọi là giao của và D, F là giao của và D. hi đó hai tam giác F và lần lượt cân tại F và. Gọi, lần lượt là trung điểm của, suy ra F giao tại tâm ngoại tiếp của tam giác. Gọi, lần lượt là hình chiếu của trên, trên. giao tại trực tâm H của tam giác. ét hai đường tròn đường kính F và. a có H H = H H nên H /(F ) = H /(). Do tứ giác F nội tiếp đường tròn đường kính F nên F = hay /(F ) = /(). a có F = F nên tứ giác F nội tiếp, suy ra D DF = D D hay D /(F ) = D /(). Vậy H,, D cùng nằm trên trục đẳng phương của () và (F ) hay D nằm trên đường thẳng uler của tam giác. ách 2. F G D Gọi, F lần lượt là giao điểm của và D, và D;, lần lượt là trung điểm,. Do = = nên hai tam giác F và lần lượt cân tại F,. Suy ra F giao tại là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Gọi G là trọng tâm của tam giác thì giao tại G. 14

15 Áp dụng định lý appus cho hai bộ ba điểm (,, ) và (F,, ) ta có giao điểm của các cặp đường thẳng F và, F và, và lần lượt là D,, G thẳng hàng hay D nằm trên đường thẳng uler của tam giác. rở lại bài toán. H F F R - ếu = 120. Về phía ngoài tam giác dựng các tam giác đều F và. hi đó d F. heo cách chứng minh bổ đề 1, ta biết rằng F giao tại một điểm nằm trên đường thẳng uler của tam giác. Do đó các đường thẳng l, F, và đường thẳng uler của tam giác đôi một song song. - ếu l song song với đường thẳng uler của tam giác. Gọi, F lần lượt là giao của đường trung trực với, đường trung trực với. Giả sử F và không song song. hi đó F giao tại. Gọi, lần lượt là trung điểm F,. giao, lần lượt tại, R. Dễ thấy là trục đẳng phương của các đường tròn (, F 2 ) và (, ). Do đó. 2 à là đường thẳng uler của tam giác nên l. Suy ra tam giác R cân tại. à hai tam giác F và đồng dạng nên = R. Suy ra tam giác cân tại hay =. ặt khác nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn (), () nên F =. Điều này vô lý do hai tam giác F và đồng dạng và. Do đó F. Suy ra = F = = hay và F là hai tam giác đều. Suy ra = 120. ài 14. ho tam giác. I a là tâm đường tròn bàng tiếp góc. Gọi là điểm đối xứng với I a qua. hứng minh rằng song song với đường thẳng uler của tam giác I a. 15

16 R I G F J I a hứng minh. Gọi, F lần lượt là trung điểm các cung, của đường tròn (). Suy ra I a và F I a. Gọi G là giao điểm của và F. a có I a F = = I a nên F I a = F hay GI a = I a. hứng minh tương tự suy ra GI a = I a = GI a. Áp dụng bổ đề về tứ giác có 3 góc bằng nhau, G nằm trên đường thẳng uler của tam giác I a. Gọi là giao điểm của F và, J là điểm chính giữa cung,, J giao () lần thứ hai tại, R. Áp dụng định lý rocard cho tứ giác F, ta có là trực tâm tam giác GI a. ại áp dụng định lý rocard lần thứ hai cho tứ giác RJ, suy ra R giao J tại G. Do F là đường trung trực của I a và là đường trung trực của I a nên là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I a. a có G = J = + 1 2, = = 90 I a = 90 I a I a. ằng một số phép tính góc đơn giản ta thu được G = hay GJ. ài 15. (guyễn Văn inh) ho tam giác. ác đường cao 1, 1. hứng minh rằng đường thẳng uler của hai tam giác 1 1 và song song khi và chỉ khi = 60. ài 16. hứng minh rằng tiếp tuyến chung của đường tròn nội tiếp và đường tròn uler của một tam giác song song với đường thẳng uler của tam giác đó khi và chỉ khi có một trong ba góc của tam giác bằng 60. hứng minh. ài 15, 16 là các ứng dụng của bổ đề 1. ự giải. ài 17. (guyễn Văn inh) ho tam giác nội tiếp đường tròn (). ác đường cao 1, 1, 1 đồng quy tại H. là điểm bất kì trên H.,, cắt () lần thứ hai lần lượt tại 2, 2, 2. Gọi 3, 3, 3 là các điểm đối xứng với 2, 2, 2 qua 1, 1, 1. hứng minh rằng H, 3, 3, 3 cùng thuộc một đường tròn có tâm nằm trên H. 16

17 2 1 Z V ' S 3 3 W U 2 1 hứng minh. a chứng minh bằng cách mở rộng bài toán như sau. ở rộng. ho tam giác nội tiếp đường tròn (). Gọi, là hai điểm bất kì sao cho,, thẳng hàng. Gọi 1 1 1, lần lượt là các tam giác circumcevian của và ứng với tam giác. Gọi 3, 3, 3 lần lượt là điểm đối xứng của 2, 2, 2 qua trung điểm 1, 1, 1. hi đó 3, 3, 3, cùng nằm trên một đường tròn có tâm nằm trên. hứng minh. Gọi S là giao điểm của 1 2 và 2 1. Áp dụng định lý ascal cho 6 điểm 1, 2, 1, 2,, ta thu được S. Gọi, U lần lượt là giao điểm thứ hai của đường thẳng qua 1, 1 lần lượt vuông góc với 1 2, 1 2 với (). 1 cắt 1 U tại. Áp dụng định lý ascal lần thứ hai cho 6 điểm 1, 2, 1, 2,, U suy ra. ương tự ta thu được đường thẳng qua 1 vuông góc với 1 2 cũng đi qua, các đường thẳng lần lượt qua 2, 2, 2 và vuông góc với 1 2, 1 2, 1 2 đồng quy tại. Dựng các điểm V, W, Z sao cho V = 1 2, W = 1 2, Z = 1 2. Suy ra V = 1 2 = 3. Gọi là trung điểm thì V đối xứng với 3 qua. ương tự suy ra ( ) là đối xứng của (V W Z) qua. à, V, W, Z nằm trên đường tròn tâm đường kính và đối xứng với qua nên nằm trên ( ). Hơn nữa, đối xứng với qua, suy ra. ài 18. (guyễn Văn inh) ho tam giác nội tiếp (), trực tâm H. là điểm bất kì trên cung. đối xứng với qua. Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại G. hứng minh rằng trực tâm tam giác G nằm trên H. 17

18 J H G ' ' a hứng minh. Gọi J là giao của với H. a có JG = G = GJ nên tứ giác JG nội tiếp. (GH) giao H lần thứ hai tại suy ra G là điểm iquel của tam giác JH ứng với bộ 3 điểm (,, ). a thu được tứ giác G nội tiếp. Gọi a là tâm ngoại tiếp của tam giác H, GH giao ( a ) lần thứ hai tại. Gọi là giao điểm của H với (). Do hai đường tròn () và ( a ) đối xứng nhau qua nên = H. a có G = H = H = HG nên ( ). Gọi là giao của a H với ( ). Do a H = a = a, ta thu được H là tâm nội tiếp của tam giác. Suy ra G = GH = G. ại có H = a = HJ nên tứ giác HJ nội tiếp đường tròn tâm G. Do hai đường tròn (G) và (GH) cắt nhau tại và G, đồng thời G = GJH = GHJ nên R(G) = R(GH). ặt khác, G = G nên R(G) = R( G). Vậy 3 đường tròn (G), (G), (G) có bán kính bằng nhau và đồng quy tại G nên là trực tâm tam giác G. ài 19. (guyễn Văn inh) ho tam giác nội tiếp (). Hai tiếp tuyến tại, giao nhau tại. hân giác góc cắt (, ) tại điểm nằm trong tam giác. Gọi, là điểm chính giữa cung và cung. Đường tròn đường kính cắt đoạn thẳng tại F. hứng minh rằng trực tâm tam giác F nằm trên. 18

19 F I J hứng minh. Gọi I là trung điểm. a có I = = nên là phân giác I, suy ra là tâm vị tự trong của (I) và ( ). Do = 90 nên là tâm vị tự ngoài của (I) và ( ). Gọi, là giao của F với ( ) ( nằm giữa F và ). ét phép vị tự H I IF. : F, suy ra ại xét phép vị tự H I : F, suy ra IF. Vậy,, thẳng hàng hay là đường kính của ( ), suy ra = 90. Gọi J là giao điểm thứ hai của F với (). ét 3 đường tròn (), ( ), (J) có trục đẳng phương lần lượt là,, J nên cắt J tại nằm trên. Vậy trực tâm của tam giác F nằm trên. ài 20. (guyễn Văn inh-mở rộng bài toán của rần uang Hùng) ho tam giác nội tiếp (). là điểm bất kì nằm trên phân giác góc. giao ( ) lần thứ hai tại, giao ( ) lần thứ hai tại. J là điểm bất kì nằm trên sao cho đường tròn tâm J tiếp xúc với không chứa trong (). Hai tiếp tuyến chung ngoài của () và (J) tiếp xúc với () tại và. hứng minh rằng,,, đồng viên. 19

20 S R V U J hứng minh. Gọi S là điểm chính giữa cung. a có S = S và S = = 2 = 2 = 2 nên S là tâm ngoại tiếp của tứ giác. ặt khác, = = = nên, đẳng giác trong hay là phân giác của, suy ra S là phân giác ngoài. à S = S nên,, S, đồng viên. Áp dụng định lý về tâm đẳng phương cho 3 đường tròn (S), (), (S) suy ra, S, đồng quy tại. éo dài S, S giao tại,. Gọi U, V lần lượt là tiếp điểm của tiếp tuyến chung ngoài với (J), R là tiếp điểm của (J) với. a có S JR suy ra S RU, S RV. a có S S = S 2 = S S nên tứ giác nội tiếp, suy ra = S = U, suy ra RU là hình thang cân có J nằm trên trục đối xứng, suy ra J = J. ương tự J = J, mà J = J nên tứ giác nội tiếp đường tròn tâm J. Gọi là điểm chính giữa cung suy ra là giao của J với (S). ừ đó là điểm iquel của tứ giác toàn phần nội tiếp S, suy ra S,, đồng quy tại. Vậy = S = hay tứ giác nội tiếp. ài 21. (Jean-ouis yme) ho tam giác ngoại tiếp đường tròn (I). (I) tiếp xúc với, lần lượt tại, F. ẻ H. Đường tròn (, ) giao đoạn thẳng H tại. I cắt tại. hứng minh rằng đường tròn đường kính tiếp xúc với (I). 20

21 U t F I J R H D hứng minh. Gọi là giao điểm thứ hai của I với (). (I) tiếp xúc với tại D. D cắt () lần thứ hai tại. ẻ tiếp tuyến t của () suy ra t. a có = t = D suy ra tứ giác D nội tiếp. Suy ra D = D. ại có I I = I 2 = ID 2 nên DI = ID = DH = =. Do đó = D = D, suy ra,, thẳng hàng. Gọi R là giao điểm của () với (I) (R nằm trên cung DF ). R cắt tại U. a có = nên U R = 2 = F 2 nên U (I). Suy ra RDH = RUD = RU = R, suy ra RD nội tiếp. ừ đó RH = R = R D, suy ra tứ giác R H nội tiếp. Do đó HR = H = 2 = 2 DR, suy ra RD là phân giác HR. Suy ra (I) tiếp xúc với ( ) tại R. ài 22. (ongolia 1996). ho tam giác nội tiếp đường tròn (). là điểm bất kì trên (). Gọi,, Z lần lượt là hình chiếu của trên,,. hứng minh rằng đường thẳng Simson của ứng với tam giác đi qua tâm nội tiếp tam giác Z. 21

22 H c I Z H a hứng minh. Gọi H a, H c lần lượt là hình chiếu của trên, ;, lần lượt là giao của H c, H a và đường tròn đường kính. hú ý rằng,, Z,, đồng viên. Do = = = nên là trung điểm của cung. ương tự, là trung điểm của cung Z. Gọi là giao của H c và H a Z. a có: (, Z) (, H c ) + (H c, H a ) + (H a, Z) (, ) + (, ) + (, ) (, ) + (, ) + (, ) (, ) + (, Z) + (, ) (, Z) (mod π) Suy ra (). Áp dụng định lý ascal cho 6 điểm,,, Z,, ta thu được H c, I, H a thẳng hàng. ài 23. ho tam giác nhọn nội tiếp (). í hiệu l, l, l lần lượt là tiếp tuyến tại,, của (). ột đường thẳng l qua trực tâm H sao cho l H. 1 = l l. 2 là điểm đối xứng của 1 qua, ương tự xác định được 2, 2. hứng minh rằng 2, 2, 2 thẳng hàng. 2 1 H' 2 H 1 hứng minh. Gọi là điểm nti-steiner của l ứng với tam giác. í hiệu H là điểm đối xứng với H qua. a sẽ chứng minh 2 là tiếp tuyến của (). Điều này tương đương 2 22

23 2 = 1 2 = H (1) Do 1 H là tứ giác nội tiếp nên 2 = 1 = 1 H = H H 1 = H. Vậy (1) đúng. ương tự suy ra 2, 2, 2 nằm trên tiếp tuyến kẻ từ của (). ài 24. (Đào hanh ai). ho tam giác nội tiếp đường tròn (). là điểm bất kì nằm trên () và l là một đường thẳng bất kì qua. Gọi 1, 1, 1 lần lượt là giao của,, với l; 2, 2, 2 lần lượt là hình chiếu của 1, 1, 1 trên,,. hứng minh rằng 2, 2, 2 thẳng hàng và đường thẳng qua 2, 2, 2 chia đôi đoạn nối trực tâm tam giác với. hú ý rằng khi l đi qua ta thu được đường thẳng Simson của ứng với tam giác. hứng minh. húng ta phát biểu lại bài toán dưới dạng sau. ho tứ giác D nội tiếp đường tròn (). ột đường thẳng l bất kì qua cắt,, D, D,, D lần lượt tại,, Z,, U, V. Gọi 1, 1, Z 1, 1, U 1, V 1 lần lượt là hình chiếu của,, Z,, U, V trên D, D,,, D,. hi đó 1, 1, Z 1, 1, U 1, V 1 cùng nằm trên một đường thẳng d. goài ra, nếu ta gọi H a, H b, H c, H d lần lượt là trực tâm các tam giác D, D, D, thì H a, H b, H c, DH d đồng quy tại trung điểm của mỗi đường và d đi qua. rước tiên xin phát biểu hai bổ đề. ổ đề 2. uỹ tích các điểm có tỉ số phương tích tới hai đường tròn không đồng tâm cho trước không đổi là một đường tròn đồng trục với hai đường tròn đã cho. ổ đề 3. Gọi,,, lần lượt là trung điểm của,, D, D, d, d, d, d lần lượt là các đường thẳng qua,,, và vuông góc với D, D,,. hi đó H a, H b, H c, DH d, d, d, d, d đồng quy tại. H a H b D hứng minh. Dễ thấy H b = 2 = H a. à H b H a nên H b H a là hình bình hành. Điều này nghĩa là H a và H b có chung trung điểm. ương tự H a, H b, H c và DH d đồng quy tại. goài ra, là đường trung bình của tam giác H a nên H a hay D. ương tự ta có thể chứng minh D, and. ổ đề 3 được chứng minh. 23

24 Z Z D 1 hật vậy, gọi Z 1, 1 lần lượt là giao của 1 1 với, D. a sẽ chứng minh tỉ số phương tích của 4 điểm Z 1,, 1, Z đến hai đường tròn () và ( ) bằng nhau. a có Z 1 /() Z 1 /( ) = /() /( ) khi và chỉ khi Z 1 Z 1 Z 1 1 Z 1 = 1. Áp dụng định lý hàm số sin trong tam giác suy ra điều này tương đương: sin Z 1 1 sin Z 1 sin Z 1 1 sin sin 1 sin Z 1 = 1 sin sin (1) à Z 1 1 = 1 1 = 1 =, Z = 180, Z 1 1 =, Z = 180 nên (1) hiển nhiên đúng. hứng minh tương tự suy ra Z 1 /() Z 1 /( ) = /() /( ) = 1 /() 1 /( ) = Z/() Z /( ). Suy ra, Z, 1, Z 1 cùng nằm trên đường tròn ω đồng trục với () và ( ). âm của đường tròn này nằm trên l nên Z là đường kính của ω. Suy ra Z 1 Z 1, 1 1. Vậy 1, 1, Z 1, 1 thẳng hàng. hứng minh tương tự suy ra 6 điểm 1, 1, Z 1, 1, U 1, V 1 thẳng hàng. 24

25 1 1 D ặt khác, từ bổ đề 3 suy ra song song với và song song với. Suy ra là hình bình hành. ừ đó 1 = 1 = = 1 1. heo định lý hales, 1,, 1 thẳng hàng. Do đó đường thẳng qua 6 điểm 1, 1, Z 1, 1, U 1, V 1 phải đi qua. ài toán được chứng minh. ài 25. ho tam giác nội tiếp (). là điểm bất kì trên (). rên các đường thẳng,, lấy các điểm 1, 1, 1 bất kì. ác đường thẳng đối xứng với 1 1 qua, 1 1 qua, 1 1 qua cắt nhau tạo thành tam giác hứng minh rằng 2, 2, 2 đồng quy tại một điểm nằm trên (). 2 F 2 Z hứng minh. Gọi,, Z lần lượt là giao điểm của 1 1 với, 1 1 với, 1 1 với. Do 1, 1, 1 đồng quy nên theo định lý Desargues,,, Z thẳng hàng. ại áp dụng định lý Desargues cho hai tam giác, suy ra 2, 2, 2 đồng quy tại. Gọi, F lần lượt là giao điểm thứ hai của ( 2 ), (Z 2 ) với 2 2,, lần lượt là giao điểm thứ hai của ( 1 ), (Z 1 ) với 1 1. a có F = 2 = 1 = 1. Suy ra và đối xứng qua. 25

26 ương tự, F và đối xứng qua. Do đó F. ặt khác, = 1 = = Z. Suy ra Z. a có hai tam giác F Z và có 2 cặp cạnh song song và F, Z, đồng quy tại nên F Z và vị tự tâm. Suy ra F Z. Suy ra Z = ZF = = 2 =. Suy ra (). 26