Tứ giác BLHN là nội tiếp. Từ đó suy ra AL.AH = AB. AN = AW.AZ. Như thế LHZW nội tiếp. Suy ra HZW = HLM = 1v. Vì vậy điểm H cũng nằm trên

Transcript

1 MỘT SỐ ÀI TOÁN THẲNG HÀNG ài toán 1. (Imo Shortlist G1) ho là một tm giác nhọn với trực tâm H, và W là một điểm trên cạnh. Gọi M và N là chân đường co hạ từ và tương ứng. Gọi (ω 1 ) là đường tròn ngoại tiếp tm giác WN. X là một điểm trên (ω 1 ) xuyên tâm đối với W. Tương tự, gọi (ω 2 ) là đường tròn ngoại tiếp tm giác WM. Y là một điểm trên (ω 2 ) xuyên tâm đối với W. hứng minh rằng X, Y và H thẳng hàng. Gọi L là chân đường co hạ từ, và Z là gio điểm thứ hi củ vòng tròn (ω 1 ) và (ω 2 ), khác W. T sẽ chứng minh rằng X, Y, Z và H nằm trên cùng một đường thẳng. Do N = M = 90 0 nên các điểm,, N và M cùng thuộc một đường tròn, gọi là (ω 3 ). Thấy ngy đường thẳng (WZ) là trục đẳng phương củ (ω 1 ) và (ω 2 ). Tương tự, (N) là trục đẳng phương củ (ω 1 ) và (ω 3 ), và đường thẳng (M) là trục đẳng phương củ (ω 2 ) và (ω 3 ). Do đó = (N) (M) là tâm đẳng phương củ b vòng tròn, và do đó (WZ) đi qu. Theo giả thiết các đoạn WX và WY là đường kính củ (ω 1 ) và (ω 2 ), tương ứng. T có WZX = WZY = 90 0, do đó, các điểm X và Y nằm trên đường thẳng đi qu Z, vuông góc với WZ. M Y w1 w2 N H Z X L W w3 Tứ giác LHN là nội tiếp. Từ đó suy r L.H =. N = W.Z. Như thế LHZW nội tiếp. Suy r HZW = HLM = 1v. Vì vậy điểm H cũng nằm trên đường XYZ. ình luận. ó thể đề xuất bài toán: Trần Xuân ng - THPT huyên Võ Nguyên Giáp 1

2 ho P là một điểm trên (ω 1 ) so cho WP song song với N, và Q là một điểm trên (ω 2 ) so cho WQ song song với M. hứng minh rằng P, Q và H thẳng hàng khi và chỉ khi W = W hoặc W. ài toán 2. (Imo Shortlist G8) Điểm P nằm trên cạnh củ một tứ giác lồi D. Gọi (ω) là đường tròn nội tiếp tm giác PD, và I là tâm củ đường tròn đó. Giả sử rằng đường tròn (ω) tiếp xúc với các đường tròn nội tiếp các tm giác PD và P theo thứ tự tại các điểm K và L. Gọi E là gio điểm củ và D, và F là gio điểm củ K và L. hứng minh rằng các điểm E, I, F thẳng hàng. T sẽ chứng minh E và F thuộc đường thẳng (IJ). i) F thuộc đường thẳng (IJ). Gọi ( ) là đường tròn tâm J tiếp xúc, D và ; (ω ), (ω b ) là các đường tròn nội tiếp các tm giác DP và P có tâm lần lượt là I, I b. ( ) D (w) I J F (w) I K L (wb) Ib P Khi đó hi tâm vị tự (trong và ngoài) củ hi đường tròn ( ) và (ω) thuộc đường thẳng (IJ). là tâm vị tự ngoài củ ( ) và (w ). K là tâm vị tự trong củ hi đường tròn (w ) và (w). D Đường thẳng (K) cắt (IJ) tại F' thì F' là tâm vị tự trong củ hi đường tròn ( ) và (ω). Tương tự, đường thẳng (L) cắt (IJ) tại F'' thì F'' (w) là tâm vị tự trong củ hi đường tròn ( ) và (ω). (w) Như thế F' F'' và do đó trùng với F. Nói cách khác là F thuộc đường thẳng (IJ). ii) E thuộc đường thẳng (IJ). P Từ tính chất củ các tiếp tuyến phát xuất từ Trần Xuân ng - THPT huyên Võ Nguyên Giáp 2

3 một điểm, xem hình vẽ bên, t thấy D + P = P + D. Suy r tứ giác PD ngoại tiếp được một đường tròn. Gọi đường tròn này là đường tròn ( ), tâm ( J ). Tương tự DP ngoại tiếp được một đường tròn. Gọi đường tròn này là đường tròn ( b ), tâm ( J b ). D ( ) K J J F I E Jb L (w) P Thấy ngy là tâm vị tự ngoài củ ( ) và ( ), là tâm vị tự ngoài củ ( ) và (ω). Khi đó E' là tâm vị tự ngoài củ ( ) và (ω) thì E' thuộc ()( tâm vị tự ngoài thẳng hàng) và E' thuộc (IJ). Tương tự, thấy ngy là tâm vị tự ngoài củ ( b ) và ( ), D là tâm vị tự ngoài củ ( b ) và (ω). Khi đó E'' là tâm vị tự ngoài củ ( ) và (ω) thì E'' thuộc (D)( tâm vị tự ngoài thẳng hàng) và E'' thuộc (IJ). Như thế E' I '', hy (), (D), (Ị) đồng quy. ài toán 3. (họn ĐT PTNK năm Ngày thứ hi- ài 8) Tm giác nhọn có H là trực tâm và P là điểm di động bên trong tm giác so cho P = H. Đường thẳng qu và vuông góc với cắt tại M, đường thẳng qu và vuông góc với cắt P tại N. hứng minh trung điểm I củ MN luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định. Trần Xuân ng - THPT huyên Võ Nguyên Giáp 3

4 ách tiếp cận bài này là xét trường hợp đặt biệt khi P dần về thì đường thẳng P sẽ là tiếp tuyến củ đường tròn ( w) ngoại tiếp tm giác P. Tương tự khi P dần về. Gọi D là gio điểm củ đường thẳng qu vuông góc và đường thẳng qu vuông góc. T có D thuộc (). ho tiếp tuyến tại củ (w) cắt D tại G, tiếp tuyến tại củ (PD) cắt D tại F. Gọi J là trung điểm G, K là trung điểm F. T có J, K cố định. T chứng minh I, J, K thẳng hàng. T có DPMN nội tiếp, suy N.D = P.M. Tm giác D và F đồng dạng nên D.F = 2. Suy r N F P. M (1) 2 T cũng có D.G = 2. Hi tm giác GM và N đồng dạng, suy r GM.N = M.N. Do đó GM N. M. D (2) G Mặt khác 2. N P PD D (3). N MN N GM Từ (1), (2), (3) t có N. F G Áp dung bổ đề E.R.I.Q t có I, J, K thẳng hàng. ài 4. (Đề thi đội tuyển PTNK năm 2013 Ngày thứ nhất - ài 4) Tm giác có, cố định còn di động so cho = và Đường thẳng đối xứng với qu cắt tại P. Trên đoạn P lấy điểm M so cho PM = P. Gọi N là gio điểm củ với phân giác ngoài củ góc. hứng minh MN luôn luôn đi qu một điểm cố định. Trần Xuân ng - THPT huyên Võ Nguyên Giáp 4

5 ài này có nhiều cách tiếp cận khác nhu, nhưng mấu chốt là phải chứng minh được M là ti phân giác củ góc. ách 1: T có theo giả thiết P = = P, Mặt khác pbm = P + M, PM = + M. Tm giác PM cân tại P nên từ đó t có M = M. Gọi D là gio điểm củ M và N. Trong tm giác, N là phân giác ngoài góc, D là phân giác trong góc nên D là phân giác ngoài góc. Do tm giác cân đỉnh nên D//. D là hình thng có M, N lần lượt là gio điểm củ hi cạnh bên và hi đường chéo nên (MN) đi qu trung điểm củ cố định. ách 2: Dùng Menelus. Do M, N là phân giác góc và nên H Gọi H là trung điểm t có. H M M. N N M N M N = 1. Do đó H, M, N thẳng hàng. ách 3. (Hàng điểm điều hò) Gọi H là gio điểm củ MN và. Khi đó để chứng minh H là trung điểm, t có thể vẽ một đường thẳng song song với và chứng minh chùm điều hò. Vẽ NQ//, Q. Khi đó N là hình thng cân, suy r Q cũng là phân giác ngoài góc. Khi đó (QM) = - 1. Hy N(QM) = - 1. Từ đó suy r điều cần chứng minh. ổ đề ERIQ ho hi bộ b điểm thẳng hàng,, và ', ', ' so cho X, Y, Z lần lượt là các điểm thuộc ', ', ' so cho hứng minh rằng X, Y, Z thẳng hàng và Y hứng minh. k Z ' ' k ' ' X Y Z. ' X ' Y ' Z. Gọi Trần Xuân ng - THPT huyên Võ Nguyên Giáp 5

6 Dựng các hình bình hành XN và 'XN''. Kẻ các đường thẳng (M), ('M') lần lượt song song với ' với M XN, M' XN'. Xét tm giác MY và 'M'Y có MY = M''Y(so le trong, M//'M' do cùng song song với '). Suy r M X Y k MY ' M ' ' X ' Y "M"Y MY = M'Y. Suy r M, Y, M' thẳng hàng. Tương tự t có N, Z, N' thẳng hàng. Theo định lí Thles, t có : Mặt khác lại có XM ' ' XM ' XN ' ' XN ' MY Y k Z N M ' Y ' Y ' Z ' N MXM' // NZN' Suy r X, Y, Z thẳng hàng. Từ đó cũng dễ dàng có được XY k XZ. ổ đề ERIQđược chứng minh. * Trường hợp đặc biệt : ho tm giác. 1, 1 lần lượt thuộc, so cho 1 1 //. 1, 2 lần lượt thuộc 1 1, so cho. Khi đó, 1, 2 thẳng hàng ài toán áp dụng. ho tứ giác D nội tiếp được đường tròn. Gọi E, F lần lượt là các gio điểm củ D và, và D. Gọi I là gio điểm củ phân giác hi góc F, DE. G, H lần lượt là trung điểm củ D,. hứng minh rằng G, H, I thẳng hàng. Trần Xuân ng - THPT huyên Võ Nguyên Giáp 6

7 Gọi M, N lần lượt là gio điểm củ EI với, D. T sẽ chứng minh IM = IN. Thật vậy, t có FMI + MFI = EM F = ME - E ( ) = ( D - ) - D ( ) = ( + D) = 900 FI MN Mà trong tm giác FMN thì FI cũng là phân giác, do đó nó cũng là trung tuyến, hy IM = IN. Theo tính chất phân giác : M E ND ED, M E N E Theo hệ thức lượng trong đường tròn thì E.ED = E.E E Suy r M ND M N E E ED Xét hi bộ b điểm thẳng hàng, M, và D, N,. ác điểm M, N lần lượt thuộc, và thỏ mãn M ND (chứng minh trên) M N G IN HD G IM H ác điểm G, H, I lần lượt thuộc, D, MN và thỏ 1 Như vậy theo bổ đề ERIQ t có G, H, I thẳng hàng. Đó là điều phải chứng minh. Trần Xuân ng - THPT huyên Võ Nguyên Giáp 7