BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP (A1) Ths. ĐỖ PHI NGA

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A Bê soạ: TS. VŨ GIA TÊ Ths. ĐỖ PHI NGA

Chươg : Gớ hạ củ dã số CHƯƠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ.. SỐ THỰC.... Các tíh chất cơ ả củ tập số thực. A. Sự cầ thết ở rộg tập số hữu tỉ Q. Do hu cầu đò hỏ củ cuộc sốgtập các số tự hê N{...} cơ sở củ phép đế đã được ở rộg sg tập các số guê Z{ ± ±...}. Su đó do trog Z hôg có các phầ tử à tích vớ hoặc ằg ê guờ t đã â dựg tập các số hữu tỉ Q đó là tập gồ các số được ểu dễ ở tỉ số củ h số guê tức là số thập phâ hữu hạ hoặc vô hạ tuầ hoà. Nếu chỉ dừg lạ trê tập Q thì trog toá học gặp phả hều đều hạ chế đặc ệt là gặp hó hă trog vệc gả thích các hệ tượg củ cuộc sốg. Chẳg hạ vệc tíh đườg chéo củ hìh vuôg có ích thước đơ vị. Đườg chéo đó là hôg thể ô tả ở số hữu tỉ. Thật vậ ếu Q trog đó ƯSCLN thì p và 4p q. Đều à vô lí vì lúc à có ước chug là. Chứg tỏ Q. Nhữg số uất hệ và được dùg thườg uê trog gả tích hư e cũg hôg phả là số hữu tỉ. B. Số vô tỉ. Một số ểu dễ dướ dạg thập phâ vô hạ hôg tuầ hoàh hôg thể ểu dễ dướ dạg tỉ số củ h số guê được gọ là số vô tỉ. C. Số thực. Tất cả các số hữu tỉ và số vô tỉ tạo thàh tập hợp số thực. Kí hệu tập số thực là R. Vậ tập số vô tỉ là R\Q. Ngườ t có thể â dựg tập số thực R hờ vào ột hệ su dễ h ó cách hác hờ vào ột hệ tê đề.chúg t hôg trìh à ở đâ à co rằg tập hợp số thực R là quá que thuộc và ể tr lạ sự thoả ã tê đề đó. Chúg t co đó là các tíh chất củ tập hợp R. Tíh chất : Tập R là ột truờg go hoá vớ h phép cộg và hâ: R... R R. R. c R c c. c c. R 4. R có phầ tử trug hoà đố vớ phép cộg là và đố vớ phép hâ là R

Chươg : Gớ hạ củ dã số.. 5. Phâ phố đố vớ phép cộg c R c c c c 6. Tồ tạ phầ tử đố củ phép cộg R Tồ tạ phầ tủ ghịch đảo củ phép hâ R R R \ {}. Tíh chất : Tập R được ếp thứ tự toà phầ và đóg í đố vớ các số thực dươg.. R < hoặc hoặc >. c R c c R c R c c. R R R Tíh chất : Tập R là đầ theo ghĩ su đâ: Mọ tập co X hôg rỗg củ R ị chặ trê trog R đều có ột cậ trê đúg thuộc R và ọ tập co hôg rỗg X củ R ị chặ dướ trog R đều có ột cậ dướ đúg thuộc R. Cho X R và R Gọ là cậ trê củ X trog R ếu Gọ là cậ dướ củ X trog R ếu X. X. Gọ X ị chặ trê trog Rị chặ dướ h và chỉ h tồ tạ ít hất ột cậ trê cậ dướ củ X trog R. Gọ số hỏ hất trog các cậ trê củ X trog R là cậ trê đúg củ X trog R í hệu số đó là M h SupX đọc là Supréu củ X. Gọ số lớ hất trog các cậ dướ củ X trog R là cậ dướ đúg củ X trog R í hệu số đó là h IX đọc là Iu củ X. Nếu M X thì ó rằg M là phầ tử lớ hất củ X í hệu M SupXMX. Nếu X thì ó rằg là phầ tử hỏ hất củ X í hệu IX MX. Gọ X là ị chặ trog R h và chỉ h X ị chặ trê và ị chặ dướ trog R. Chú ý:. Tập R\Q hôg ổ địh đố vớ phép cộg và phép hâ chẳg hạ 4

Chươg : Gớ hạ củ dã số ± R \ Q hưg R \ Q. R \ Q. R \ Q Q R \ Q R \ Q R \ Q Nếu M là cậ trê củ tập X thì SupX M và ếu là cậ dướ củ tập X thì IM. 4. Nếu M SupX thì ε > α X M ε < α Nếu IX thì ε > α X ε > α Ví dụ : Chứg h 6 R \ Q Gả sử q dễ dàg chứg h 6 q và q. Đều à là âu thuẫ. Vậ q Q. Q 6 h q 6 q 6 Q tưog tự hư chứg h Q. Theo chú ý trê su r q Ví dụ : Tì các cậ dướ đúg và cậ trê đúg trog R ếu chúg tồ tạ củ tập X p N có N { u N } su r u u u p p p N có p < u p p u 4 u p p u u u 4 IXX SupXX 4 p p 8 Ví dụ : Cho A B là h tập hôg rỗg củ R và ị chặ trê.. Chứg h Sup A B MSupA SupB.. Gọ AB{ R A B } chứg h 5

SupAB SupA SupB Chươg : Gớ hạ củ dã số. Kí hệu α SupA β SupB γ M α β. Vậ tập hợp các cậ trê củ. A B chíh là X { α và β} h X { γ } Vậ γ Sup A B A SupA A B SupA SupB B SupB M Sup A B ε > ε A > SupA ε B > SupB A B > SupA SupB ε M... Tập số thực ở rộg SupA SupB Sup A B Ngườ t thê vào tập số thực R h phầ tử í hệu là và. Tập số thực ở rộg í hệu là R và R R { } các phép toá và. qu hệ thứ tự được địh ghĩ hư su:. R.. R R { R > } R R { R < } 4. 5. R 6

Chươg : Gớ hạ củ dã số < <... Các hoảg số thực Cho và. Trog R có chí loạ hoảg su đâ: R [ ] { R } ; được gọ là đoạ h hoảg đóg ị chặ [ { } ] { R R < < } ; ; được gọ là hoảg ử đóg hoặc ử ở [ { } ] { } { { } { R R R R R < < < < ; ; ; ; ; } } được gọ là các hoảg ở Các số thực gọ là các út củ hoảg...4. Gá trị tuệt đố củ số thực A. Địh ghĩ: Gá trị tuệt đố củ số thực í hệu là ột số thực hôg â ác địh hư su h h B. Tíh chất. M R.. R R N R K 7

Chươg : Gớ hạ củ dã số 4. R 5. R N R K 6. M M R 7. R..5. Khoảg cách thôg thườg trog R A. Địh ghĩ: Khoảg cách trog R là áh ạ R R R d : Đó là hìh ảh trực qu về hoảg cách gữ để và trê đườg thẳg trục số thực R. B. Tíh chất. d. d d R. z d d z d R z 4. z d z d d R z 8

Chươg : Gớ hạ củ dã số.. SỐ PHỨC Chúg t đã ết rằg trog trườg số thực R hôg thể phâ tích thàh thừ số t thức ậc h c h Δ 4c <.Tu hê sẽ rất tệ lợ ếu có thể thừ số hoá t thức à thàh dạg α trog đó α β R.Nhằ ục đích à thê vào R ột β phầ tử ớ í hệu là gọ là đơ vị ảo ết hợp vớ các cặp số thực số phức.... Địh ghĩ và các dạg số phức A. Địh ghĩ: Cho R ột số ểu dễ dướ dạg z trog đó gọ là ột số phức. Tập các số phức í hệu là C. Gọ là phầ thực củ z í hệu Rez là phầ ảo củ z í hệu là Iz Gọ ôđu củ zí hệu z ác địh ở số thực hôg â R để tạo r các z r Gọ Acgue củ z í hệu Argz ác địh ở số thực Argz θ R θ R; cosθ z ; và Như vậ Acgue củ z s hác hu Vậ số phức z có các dạg vết: s θ vớ z z Z và Arg hôg ác địh.. z gọ là dạg chíh tắc h dạg đạ số củ số phức z.. z cosθ sθ r gọ là dạg lượg gác củ số phức z. B. Bểu dễ hìh học củ các số phức r Mz θ 9

Chươg : Gớ hạ củ dã số Xét ặt phẳg vớ hệ toạ độ trực chuẩ. Áh ạ ϕ : C đặt ỗ số phức z ứg vớ để M có toạ độ trê ặt phẳg.vậ ϕ là sog áh.gọ ặt phẳg là ặt phẳg phức. z z C ϕ gọ là ảh củ z trê M ϕ M gọ là toạ vị củ M đó là số phức z C. Ngoà r OM cũg được gọ là véctơ ểu dễ số phức z. Như vậ OM z và O OM Argz Trê ặt phẳg phức hậ thấ: Trục ểu dễ các số thực z R trục à gọ là trục thựccò trục ểu dễ các số phức z R gọ là các số ảo thuầ tuýgườ t gọ trục là trục ảo.... Các phép toá trê tập C A. Phép so sáh ằg hu ' ' B. Phép lấ lê hợp 4 R ' ' ' ' Cho z C lê hợp củ z í hệu z cho ở z C. Phép lấ số phức đố Cho z C số phức đố củ z í hệu z đọc là trừ z được ác địh: -z -- D. Phép cộg Cho z z tổg củ z và z í hệu zz ác địh hư su: zz E. Phép hâ Cho z và z tích củ z và z í hệu z.z ác địh hư su: z.z - F. Phép trừ và phép ch Là các phép tíh gược củ phép cộg và phép hâ z z' z z' z z" z z'. z" z'

Chươg : Gớ hạ củ dã số Từ các phép toá trê hậ được các tíh chất dướ đâ:. z C z z.. z z' C z z' z z'. z z' C z. z' zz' N z z K z C z z z z 4. z C z' C C C \ {} z z z ' z' 5. z C z z z R z z z R R { R} 6. z C z. z z G. Phép luỹ thừ côg thức Movrờ Movre Cho z r cosθ sθ Z Gọ z là luỹ thừ ậc củ z. Bằg qu ạp dễ chứg h được z r cos θ s θ Gọ. là côg thức Movre. H. Phép h că ậc củ z C. hư su: Cho N z r cosθ sθ. Gọ ς C là că ậc củ z í hệu ς z. z ác địh ρ r Nếu gọ ρ ς và Φ Argς thì h là Φ θ.... r ρ và Φ θ vớ Vậ số z có đúg că ậc đó là các số phức có dạg: θ θ ς r cos s....

Chươg : Gớ hạ củ dã số Chú ý: Trog chươg 4 su h đã có các h trể củ các hà số sơ cấp sẽ hậ được dạg luỹ thừ củ số phức z: θ z re Kh đó côg thức. sẽ là : z θ r e Z θ. sẽ là : z r e N... Că ậc củ. Vì z có z r Argz.Vậ că ậc củ là số phức dạg: ω e... Vì ± e ê các số phức ω có hữg tíh chất su:. {... } ω. ω.. {... } ω ω. ω ω c. N \ { } ω ω d. Các số phức ω ểu dễ trê ặt phẳg phức ở các đỉh củ ột đ gác đều cạh ộ tếp trog đườg trò lượg gác và ột trog các đỉh là để có toạ vị ằg. Đ gác à hậ là trục đố ứg chẳg hạ vớ 4 ểu dễ hìh học các sốω cho trê hìh. - - - - 4 h...

Chươg : Gớ hạ củ dã số Ví dụ : Hã tì tất cả các áh ạ : C C so cho: Nếu tồ tạ thì Đặt Kể tr z C z z z z -z zz-z đúg z z z su r chứg tỏ z ếu z ±. α β C α β R thì α β : C C z α β α Sẽ thấ thoả ã đều ệ đặt r. h z ± h z h z Ví dụ. Tíh. α β R. c. 4. Đặt z z z trog đó z T đ tì ôđu và cgue củ các số phức à z z z tgθ r z θ rg z trog đó cosθ > Tươg tự hậ được Vậ. Đặt z r 4 θ r θ 6 5 5 cos s 5. 4. z e z trog đó z z z θ 4

Chươg : Gớ hạ củ dã số r r z z θ Argz 6 θ Argz 4 5 6 4 Vậ z e e c. Đặt ξ 4 z Trog đó r z z ϕ Argz Vậ z cos s ξ ξ ξ ξ 4 4 4 4 cos s 6 6 cos s 7 7 cos s 6 6 5 5 cos s 4 8 4 4 8 4 8 8 Ví dụ. Tì ôđu và cgue củ số phức z Đặt z z Từ đó có: z z z z z. θ Argz 4 θ Argz 6 5 Vậ z Argz 5 [ ]. T có ôđu và cgue củ các số phức trê là: z Argz 6 [ ] 4

Chươg : Gớ hạ củ dã số Cuố cùg 5 5. z z Arg Ví dụ 4: Chứg h rằg C z thì z z Gả sử C z so cho < < z z 4 4 4 < < < < < ' < Δ Chứg tỏ âu thuẫ. Ví dụ 5: Cho c và C c c c Chứg h Arg [ ] Arg c c Hã ét số phức dướ đâ để ý đế c c [ ] [ ] Arg c c Arg Arg c c Arg c c Arg c c c c c c c c. 5

Ví dụ 6: Cho R hã tíh că ậc 4 trog tập C củ số phức: Chươg : Gớ hạ củ dã số 4 z 8 z Nhậ ét [ ] Vậ z ± [ ] Tếp tục hậ ét thấ: Su r các gá trị củ 4 z sẽ là: ± [ ] [ ] { } ± { } Ví dụ 7: Gả phươg trìh vớ ẩ số 4 z z z Nhậ ét z là ghệ Xét z đặt z ςe θ ς R θ R z C : z 4 z z ς cos4θ s 4θ cosθ ς cos4θ cosθ s 4θ 4θ cosθ > ς cosθ Lấθ ς 6 Lấθ ς 4 [ ] hoặc [ ] 4θ cosθ < ς cosθ 6

Chươg : Gớ hạ củ dã số 5 6 Lấθ ς 4 Vậ các ghệ z là: z z z 4 6 cos s 4 4 5 5 6 cos s 4 4... Áp dụg số phức vào lượg gác A. Kh trể cos θ s θ tgθ Cho θ R N.Áp dụg côg thức Movre và côg thức hị thức Newto cos θ s θ Tách phầ thực và phầ ảo hậ được cosθ cos θ C s θ C cos cosθ sθ cos θ sθ C cos C θ s θ L cos θ s θ L Su h th s θ cos θ vào các côg thức trê sẽ có:. cos θ ểu dễ dướ dạg ột đ thức củ cos θ gọ đó là côg thức Cheshev loạ.. s θ ằg tích củ sθ vớ ột đ thức củ cos θ gọ là đ thức Cheshev loạ.. tg s θ s θ θ θ L cos θ Ctg Ctg 4 cosθ cosθ Ctg θ Ctg θ L cos θ θ 4 p p p q B. Tuế tíh hoá cos θ s θ cos θ.s θ Cho θ R p N ω e θ cosθ ω ω ω ω sθ ω ω ω ω θ. s θ 7

Chươg : Gớ hạ củ dã số Vậ p p p ω ω θ cos và p p p ω ω θ s Sử dụg côg thức hị thức Newto và ét các trườg hợp su đâ:. Trườg hợp N p. cos cos cos ` cos cos cos C C C C C C C θ θ θ θ θ ω ω ω ω θ L L. cos s cos cos s C C C C C C θ θ θ θ ω ω ω ω θ L L. Trườg hợp N p. C C C C C cos cos cos cos cos cos θ θ θ θ θ ω ω ω ω ω ω θ L L. θ θ θ θ θ ω ω ω ω θ s s s s. s s C C C C L L Để tuế tíh hoá θ θ q p.s cos trước hết tuế tíh hoá từg thừ số su đó thực hệ phép hâ rồ cùg tuế tíh hoá các số hạg thu được. θ θ q p s cos Ví dụ 7: Cho R R N tíh các tổg: S C s cos 8

Chươg : Gớ hạ củ dã số Xét C S e e e Nếu Z C cos S s Nếu Z C S C e e e s cos s Ví dụ 8: Chứg h N Vì s và s ê e. e e s s e s S s.. s s s s s s s. s. cos cos. s.cos s Vì s.cos s s ê s s.. DÃY SỐ THỰC Su h e ét dã số thựcchúg t hoà toà có thể ở rộg cho dã số phức vì rằg ột dã số phức tươg đươg vớ ột cặp dã số thực.... Các há ệ cơ ả củ dã số thực A. Địh ghĩ Một dã số thực là ột áh ạ từ N vào R í hệu: u : N R 9

Chươg : Gớ hạ củ dã số h đơ gả hấtí hệu u Vớ N ác địh u gọ là số phầ tử thứ củ dã u thườg là ột ểu thức phụ thuộc vào gọ là phầ tử tổg quát củ dã chẳg hạ cho các dã su đâ: B. Sự hô tụ sự phâ ì củ dã số. Dã u hộ tụ về R ếu ε > N N > u < ε Kí hệu l rõ ràg u- hộ tụ về. u. Dã u hộ tụ ếu có số R để l u. Dã u phâ ì ếu ó hôg hộ tụ ghĩ là: R ε > N N > u ε 4. Dã u hậ là gớ hạ ếu A > N > u > A Kí hệu l u đô h ó rằg u tế tớ 5. Dã u hậ - là gớ hạ ếu Kí hệu B < N > u < B. l u Dã có gớ hạ là hoặc - cũg gọ là phâ ỳ. C. Dã số ị chặ. Nó rằg u ị chặ trê ở số A R ếu N u A.. Nó rằg u ị chặ dướ ở số B R ếu N u B.. Nó rằg u là dã ị chặ ếu tồ tạ M R so cho N u M.... Tíh chất củ dã hộ tụ A. Tíh du hất củ gớ hạ Địh lí: Dã u hộ tụ về thì là du hất Chứg h: Gả sử l l

Chươg : Gớ hạ củ dã số Đặt ε N > > u u < ε < ε Gọ > M sẽ có: u u < ε âu thuẫ. B. Tíh ị chặ. Dã u hộ tụ thì ị chặ trog R.. Dã u tế đế thì ị chặ dướ.. Dã u tế đế - thì ị chặ trê. Chứg h:. Gả sử lu > u u > Đặt M{ u u } u.... Qu về. ằg cách ét -u. Chú ý:. Tồ tạ các dã số ị chặ hưg hôg hộ tụ chẳg hạ u.. Mọ dã hôg ị chặ sẽ phâ ỳ.. Một dã tế tớ thì hôg ị chặ trê đều gược lạ hôg đúg chẳg hạ:. u C. Tíh chất đạ số củ dã hộ tụ. l u l u.. l u l u.. l u l v l u v.

Chươg : Gớ hạ củ dã số 4. l u l λ u λ. 5. l u v ị chặ l u v. 6. l u l v l u v. 7. u l u l v l. v Chứg h:. ε > N > u < ε à u u < ε l u.. Vì t có u u u.. ε > ε : > u < ε > v < Đặt 4. ε > M > v ε ε < ε u. > u ε < λ λ λ u λ λ u ε < ε λ 5. M R so cho N v M ε > > u u v u. v 6. Gọ u εm < M α.vậ < ε ε < M α hộ tụ về T có u v α v v α v à l v vì v ị chặ ê l α v.

Chươg : Gớ hạ củ dã số 7. Trước hết t sẽ chỉ r l v Vì l v ê N > v < v > T có v v v. v su r ε > N > v < ε Lấ M > v < ε T thấ u u theo 6. t hậ được v v u l. v D. Tíh chất về thứ tự và guê lý ẹp. Gả sử l l.kh đó u > có u h đó l u. Gả sử dã u v w thoả ã: > u v w và l u l w Kh đó l v 4. Gả sử > à u v và l u.kh đó l v Chứg h:. > > u u l < l có <u<. Lập luậ phả chứg và theo.. ε > N > > u < ε w < ε

Chươg : Gớ hạ củ dã số Lấ M > sẽ có: ε u > A Gọ M > v > A u Chứg tỏ l v. Chú ý:. Để chứg h dã u hộ tụ về thôg thườg chỉ r dã ε hộ tụ về và thoả ã ε. Bằg cách chuể qu phầ tử đố hậ được ết quả su đâ: Nếu > u v và l u thì l v Ví dụ : Chứg h l ε > > < ε h > ε Vậ chọ E Kí ệu E là phầ guê củ. ε Ví dụ : Tíh l u l N N l v l w u u w lu v Ví dụ : Chứg h l h < h h > 4

Chươg : Gớ hạ củ dã số Xét > R h để h h h l h l h l C h Xét l < > l l Vớ rõ ràg l Xét l Ví dụ 4: Tì l R Xét rõ ràg l l Xét > áp dụg côg thức hị thức Newto { } C C N thì ε l Xét < < > l à ê l Kết luậ R l. Ví dụ 5: Tíh l α > α N h R α Vì > ê để α h áp dụg côg thức hị thức Nutơ Newto 5

Chươg : Gớ hạ củ dã số { } N \ h h h h C α h α α l Su r α α α α α α l. Áp dụg guê lí ẹp dễ dàg thấ được ết quả vẫ đúg R α Ngườ t ó rằg hà ũ tăg hh hơ hà luỹ thừ. Ví dụ 6: Th R! l Đặt E > sẽ có:! l...........! ε Ngườ t ó rằg g thừ tăg hh hơ hà số ũ.... Tíh đơ đệu củ dã số A. Dã đơ đệu. Dã u tăg ếu u u N Dã u tăg gặt ếu u u N.. Dã u đơ đệu ếu ó tăg hoặc gả. Dã u đơ đệu gặt ếu ó tăg gặt hoặc gả gặt Địh lí :. Mọ dã tăg và ị chặ trê thì hộ tụ. 6

Chươg : Gớ hạ củ dã số. Mọ dã gả và chặ dướ thì hộ tụ. Chứg h:. u ị chặ trê l Sup u ε > ε so cho ε u l < l ε ε l Vì u tăg > l ε so cho u > Vì u tăg ê > u u > A l. Áp dụg ết quả. vớ dã -u.. Nếu u tăg thì hoặc u hộ tụ hoặc l u.. Nếu u tăg và hộ tụ đế l thì l Sup u N và N u l.. Nếu u tăg thì dã ị chặ dướ ở u. A Ví dụ 7: Chứg h rằg u hộ tụ N có u u u Vậ u tăg và ị chặ trê ê ó hộ tụ. Ví dụ 8: Tì gớ hạ củ dã số cho dướ dạg ẩ su: > 5 > 5 7

Chươg : Gớ hạ củ dã số Trước hết dùg qu ạp chứg h > - > 5 đúg vớ Gả sử > t sẽ chứg h > 5 Thật vậ > do tử số và ẫu số đều dươg Chứg tỏ > Mặt hác dự vào ất đẳg thức Côs Cuch thì Su r 5 h Cộg vào các vế vớ Chứg tỏ dã 5 5 t có: 5 5 h đơ đệu gả. Kết hợp h ết quả trê t có l 5 Vì 5 ê l Từ đó t có 5 l 5 và 5 Gả phươg trìh đố vớ hậ được 5. Ví dụ 9: Cho dã u v thoả ã u u l u l v v gả gặt l l v v Chứg h u l v l u u Cho ε > N > l < ε v v 8

Chươg : Gớ hạ củ dã số Lấ p N so cho p > > sẽ có: u lv u lv < ε v v M u lv u lv < ε v v p p p p Cộg lạ các vế vớ vế sẽ có: p u l. v u l. v < ε. v v p p p Cho p và cố địh > từ trê hậ được u u lv εv. H l ε v Vì v gả gặt và dầ về ê v > >. B. Dã ề hu p H dã u v gọ là ề hu h và chỉ h u tăg v gả và l v u Địh lí: H dã ề hu thì hộ tụ và có chug ột gớ hạ lgoà r Chứg h: N u u l v < v N gọ w v u w gả vì w -w v u - v u w gả và hộ tụ về w h u v. v v - u u Chứg tỏ u tăg và ị chặ trê ở v v gả và ị chặ dướ ở u Su r l u l l v l Vì l v u l l l Theo chú ý ở ục A su r u u l v v Ví dụ : Chứg h rằg e Trước hết chỉ r e tăg Theo côg thức hị thức Newto sẽ có hộ tụ. 9

Chươg : Gớ hạ củ dã số e!!!......... L L L L L Su r!!! e L L L e hều hơ e ột số hạg dươg và từ số hạg thứ trở đ ọ số hạg củ e hỏ hơ số hạg tươg ứg củ e vì <. Su r e > e. Ngoà r!!! < < e L L su r e < Gọ gớ hạ củ e là số e rõ ràg.su đâ dùg số e là cơ số củ logrt. > e e l. Ví dụ : Chứg h rằg e! hộ tụ về e N đặt!. ' e v. rõ ràg e tăg gặt và!. l l ' e v Hơ ữ t có:!!.!!!..! ' ' e e v v v gả gặt. Trước hết chứg h e Q ằg phươg pháp phả chứg: Thật vậ ếu e! l à Q e tức là N q p q p e t sẽ có:

Chươg : Gớ hạ củ dã số e e ' q ' q q! < e < v q! < q! L q! q! p q < q! q. q! N H < pq-! < q. Đều à âu thuẫ vì pq-! N. Su đâ t sẽ chứg h l! e : Rõ ràg h cố địh và > thì e > L L!!! Cho su r e L e!!! Như vậ e e ' ' > e. Theo địh lí ẹp su r e e. Hệ quả: Địh lí về các đoạ lồg hu ' N ] và Cho h dã thoả ã : [ ] [ l Kh đó tồ tạ du hất số l so cho I [ ] { l} Chứg h: N Vì ề hu ê cùg hộ tụ và..4. Dã co Cho u từ các số hạg củ ó lập ột dã ớ Gọ u là ột dã co củ u.chẳg hạ: u và u là các dã co củ u u là các dã co củ u u có < < l < <. u vớ < <...< <... hôg phả là dã co củ u vì số hạg u uất hệ lầ ứg vớ Địh lí : Nếu u hộ tụ về Chứg h: ε > > u < ε R thì ọ dã co củ ó cũg hộ tụ về Vì h ê > > u < ε su r l. : u

Chươg : Gớ hạ củ dã số Chú ý: Nếu l thì l u Từ địh lí trê chúg t hậ được đều ệ đủ cho dã số phâ ì: Nếu tồ tạ h dã co hộ tụ về h số hác hu thì dã số phâ ì. Chẳg hạ - phâ ì vì có dã co - hộ tụ về và dã co - hộ tụ về - Hệ quả: Để u hộ tụ đế l đều ệ cầ và đủ là h dã co u và u đều hộ đế l. Chứg h: Đều ệ cầ su từ địh lí. Đều ệ đủ: : ε > p > u l < ε > u l p p < ε Đặt M lấ p N so cho p hoặc p Trườg hợp p p > u l u l < ε p. Trườg hợp p p > u l u l < ε p. Trog ọ trườg hợp có u l < ε lu l. Địh lí: Địh lí Bôzô Vâơtrse Bolzo -Weerstrss: Từ ọ dã u ị chặ đều có thể lấ r ột dã co hộ tụ Chứg h: Dùg phươg pháp ch đô. T sẽ â dựg ằg qu ạp h dã thực ề hu và ột dã co u [ ] N Vì u ị chặ ê tồ tạ so cho N có u rõ ràg N u [ ] N R Cho gả sử so cho { }. Tập u [ ] N là vô hạ và Xét để gữ củ [ ] rõ ràg ít hất ột trog h hoảg chứ u là

Chươg : Gớ hạ củ dã số vô hạ. Do đó tồ tạ R so cho vô hạ và { N}. Tập u [ ] là Rõ ràg các đoạ [ ] lồg hu. Vậ tồ tạ l so cho u l Vì l l u l Ví dụ : Chứg h rằg ọ dã u tuầ hoà và hộ tụ là dã dừg u tuầ hoà ê T N N u T u Lấ u T N N có u u T là ột dã co và là dã dừg ê l u u T Vì u hộ tụ l u u vì ất ì vậ u u đó là dã dừg. Ví dụ : Cho dã u thoả ã N u Chứg h l u N có u u Vậ l u.

Chươg : Hà số ột ế số CHƯƠNG II: HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ.. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ... Các địh ghĩ cơ ả A. Địh ghĩ hà số Cho X là tập hôg rỗg củ R. Một áh ạ : X R từ X vào R gọ là ột hà số ột ế số X gọ là tập ác địh củ X gọ là tập gá trị củ. Đô h ý hệu X gọ là đố số gọ là hà số. B. Hà chẵ lẻ Cho X đố ứg vớ tức là Hà số Hà số C. Hà số tuầ hoà X X chẵ h và chỉ h. lẻ h và chỉ h. Hà số gọ là tuầ hoà trê X ếu tồ tạ τ R so cho X thì τ X và τ. Số T dươg é hất trog các số τ gọ là chu ì củ hà số tuầ hoà. D. Hà số đơ đệu Cho vớ X.. Nó rằg tăg ếu X. và tăg gặt ếu X < <.. Nó rằg gả ếu X. và gả gặt ếu X < >.. Nó rằg đơ đệu ếu ó tăg hoặc gả. Nó rằg đơ đệu gặt ếu ó tăg gặt hoặc gả gặt. 4

Chươg : Hà số ột ế số E. Hà số ị chặ. Hà số ị chặ trê trog X ếu tồ tạ số A so cho: X A.. Hà số ị chặ dướ trog X ếu tồ tạ số B so cho: X B. Hà số ị chặ trog X ếu tồ tạ các số AB so cho: X B A. Hệ quả: Nếu A là số chặ trê củ trog X thì F. Hà số hợp Sup X Sup{ X} A Nếu B là số chặ dướ củ I X trog X thì I { X} B Cho : X R và g: Y R vớ X Y gọ áh ạ g : X R g H g là hà số hợp củ h hà và g. Địh lí: Nếu g : X R ị chặ trê thì g cũg ị chặ trê và Sup g Sup Sup g X. Nếu g : X R ị chặ trê và hôg â thì. g ị chặ trê và Sup. g Sup. Sup g X X. Nếu X R ị chặ trê và λ R thì λ ị chặ trê đồg thờ : Supλ. λ Sup X X X. Để : X R ị chặ dướ đều ệ cầ và đủ là - ị chặ trê và h đó Chứg h: I Sup X X. Rõ ràg g Sup Sup g chứg tò g ị chặ trê. X X X X 5

Chươg : Hà số ột ế số Theo hệ quả su r Sup g Sup Sup g X X X. Sup g Sup g X X X. g Sup. Sup g X X Tươg tự hư trê.. Co λ hư hà hằg. Ap dụg sẽ có Supλ λ. Sup X X Vớ λ. Đẳg thức cầ chứg h là hể hê Vớ λ >. áp dụg ất đẳg thức ứg vớ hằg số và hà số λ λ Sup. λ Supλ X λ λ X Supλ λ Sup X X Supλ λ Sup X X 4. Gả sử ị chặ dướ đặt I X X. Vậ - ị chặ trê và rõ ràg Sup I. Mặt hác Sup X X Sup I Su h so sáh h ất đẳg thức su r I Sup. X X X X X Sup X Phầ đảo chứg h tươg tự. G. Hà số gược Cho sog áh : X Y X Y R Áh ạ gược : Y X gọ là hà số gược củ Thôg thườg đố số í hệu là hà số í hệu là vậ hà gược củ là hà số. Vì thế trê cùg ặt phẳg toạ độ đồ thị củ h hà số và là đố ứg hu qu đườg phâ gác củ góc phầ tư thứ I và III. Ví dụ : Cho g : R R thoả ã R g g Chứg h rằg ít hất ột trog h hà số là hằg số. 6

Chươg : Hà số ột ế số Gả sử R và t sẽ chỉ r g là hằg số. Trước hết có R : g g g g Trừ từg vế và để ý đế gg su r: g g g g Ví dụ : Tì hà trê R so cho. R Gả sử tồ tạ th ở - vào hệ thức đã cho:. Su r Kể tr thoả ã. Ví dụ : Cho vầ g trog []. Kể tr tíh gặt củ ất đẳg thức: Sup g < Sup Sup g [ ] [ ] [ ] Sup g < Sup Sup g [ ] [ ] [ ] Sup Sup g ; Sup g Sup ; Supg Sup - [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 4 tỏ tíh gặt thoả ã do < < 4 Chứg... Các hà số thôg dụg A. Hà luỹ thừ Choα R. Hà luỹ thừ vớ số ũ α được í hệu là là áh ạ từ vào R ác địh hư su R P α α Nếu α > co rằg P α Nếu α co rằg P P α R Đồ thị củ P α cho ở h.. 7

Chươg : Hà số ột ế số α > α α < α < α < B. Hà ũ cơ số H.. Xét R \ {}. Hà ũ cơ số í hệu là ep là áh ạ từ R vào R ác địh hư su: R ep. Đồ thị củ cho ở h... C. Hà lôgrt cơ số Xét R \ {}. Hà lôgrt cơ số í hệu là log là áh ạ gược vớ áh ạ ep hư vậ R R log Đồ thị củ hà số log cho ở hìh h... Chú ý: Hà luỹ thừ có thể ở rộg h ề ác địh là R. log > > < < log << H.. Tíh chất củ hà số lôgrt. log H.. 8

Chươg : Hà số ột ế số. R α R log log log log α log α log log log. R log log. log 4. R log log Chú ý: Su à gườ t thườg lấ cơ số là số e và gọ là lôgrt êpe h lôgrt tự hê l củ í hệu l và su r log l D. Các hà số lượg gác Các hà số lượg gác: s cos tg cotg đã được ét ỹ trog chươg trìh phổ thôg trug học. Dướ đâ chúg t chỉ hắc lạ ột số tíh chất cơ ả củ chúg. Tíh chất:. s ác địh trê R là hà số lẻ tuầ hoà vớ chu ì T và ị chặ: s R. cos ác địh trê R là hà số chẵ tuầ hoà vớ chu ì T và ị chặ:. tg ác địh trê R\{ Z gá trị trê hoảg. cos R } là hà số lẻ tuầ hoà vớ chu ỳ T và hậ 4. cotg ác địh trê R\{ Z } là hà số lẻ tuầ hoà vớ chu ỳ T và hậ gá trị trê hoảg. E. Các hà số lượg gác gược. Hà rcs là áh ạ gược củ s: [ ] Kí hệu là rcs:[ ]. rcs s Vậ t có: [ ] Chú ý: [ ] srcs 9

Chươg : Hà số ột ế số rcss là hà lẻ tuầ hoà vớ chu ỳ và cho dướ dạg: Õu Õu Đồ thị củ rcs cho trê hìh.4 - Arcs Arccos H..4. Hà rccos là áh ạ gược củ cos : [ ] [ ] rccos: í hệu: H..5 [ ] [ ] [ ] [ ] rccos cos Đồ thị hà số rccos cho trê hìh.5 Chú ý: [ ] cosrccos g rccoscos là hà số chẵ tuầ hoà vớ chu ỳ g ếu [ ] Vì rcs [ ] và cos rcs srcs Vậ rccos rcs và ểu dễ dướ dạg: 4

Chươg : Hà số ột ế số. Hà ctg là áh ạ gược củ tg : R í hệu: rctg : R Vậ t có R rctg tg Đồ thị củ rctg cho trê hìh.6 Chú ý: R tg rctg h rctg tg ác địh trê R \ Z là hà số lẻ tuầ hoà vớ chu ỳ và h 4. Hà ccôtg là áh ạ gược củ cotg: R í hệu: Vậ t có rc cot g : R R rc cot g cot g Đồ thị hà rccotg cho trê hìh.7 tg rctg H..6 4

Chươg : Hà số ột ế số rccotg H..7 Chú ý: R cot g rc cot g rc cot g tg ác địh trê R \ Z tuầ hoà vớ chu ỳ và Vì rc cot gcot g và cot g rctg tg rctg Vậ rctg rc cot g Ngườ t gọ hà số luỹ thừ hà số ũ hà số lôgrt các hà số lượg gác và các hà số lượg gác gược là các hà số sơ cấp cơ ả. F. Các hà hpeôlc thuậ 4. Hà shpeôlc là áh ạ sh : R R ác địh hư su: R sh e e

Chươg : Hà số ột ế số. Hà côshpeôlc là áh ạ ch : R R ác địh hư su: R ch e e. Hà tghpeôlc là áh ạ th : R R ác địh hư su: R sh ch e e th 4. Hà cotghpeôlc là áh ạ coth : R R ác địh hư su: Tíh chất: R ch e coth sh th e. Shthcoth là các hà số lẻ cò ch là chẵ và R ch >. p q R các hà hpeôlc thoả ã côg thức su đâ ch sh Hpero ểu dễ th số sẽ là: cht sht t R ch ch. ch sh. sh ; sh sh. ch sh. ch ch ch. ch sh. sh ; sh sh. ch sh. ch th th th ; th. th ch ch sh ch sh. sh sh. ch. th th. th ch ch ; sh ch. p chp chq ch q ch p q p q p q chp chq sh sh p q p q shp shq sh ch p q p q shp shq ch sh th th th th. th 4

Chươg : Hà số ột ế số.9 Tíh chất đã êu lý gả tê gọ shpeôlc... Đồ thị củ các hà sh ch cho trê hìh.8 cò đồ thị các hà th coth cho trê hìh ch coth sh e th H..8 H..9 G. Các hà hpeôlc gược. Hà Acshpeôlc là áh ạ gược củ sh : R R í hệu: Argsh : R R hlà R Argsh sh. Hà Accôshpeôlc là áh ạ gược củ ch : R [ ] í hệu: Argch [ R tức là [ R Argch ch :. Hà Actghpeôlc là áh ạ gược củ th : R í hệu: Argth : R tức là R Argth th 4. Hà Accôtghpeôlc là áh ạ gược củ coth : R R \ [ ] í hệu: Argcoth : R R \ \ [ ] R tức là [ ] R Arg coth coth Bểu thức logrt củ hà hpeôlc gược:. Trước hết thấ g rằg Argsh là hà số lẻ và vì: Argsh sh e e 44

Chươg : Hà số ột ế số H e và do e > ê e Cuố cùg R Argsh l. [ R Argch ch e e e e. Vì e ê lấ e [ Argch l R Argth th e e Cuố cùg 4. R \ [ ] e e H. Đ thức hà hữu tỉ. e e e Argth l Arg coth Argth l l. Áh ạ P: X R được gọ là đ thức h và chỉ h tồ tạ... R Nếu so cho X P gọ là ậc củ đ thức í hệu degp. Áh ạ : X R được gọ là hà hữu tỉ h và chỉ h tồ tạ h đ thức PQ: Gọ P X R so cho X Q Q P là hà hữu tỉ thực sự h và chỉ h: degp<degq Q. Hà hữu tỉ tố gả là các phâ thức có dạg: Trog đó A hoặc B C p q N p q A B C là các số thực và < p 4q Dướ đâ t đư r các địh lí được chứg h trog lí thuết đạ số N và Địh lí : Mọ đ thức ậc vớ các hệ số thực đều có thể phâ tích r thừ số trog dạg: l β β P α... α p q... p q l Trog đó α l là các ghệ thực ộ củ đ thức cò p q β R j j j 45

Chươg : Hà số ột ế số vớ l j... và β j pj 4qj < ; j j Địh lí : Mọ hà hữu tỉ thực sự đều có thể phâ tích thàh tổg hữu hạ các hà hữu tỉ tố gả. Ví dụ 4: Cho R \ {} gả phươg trìh log log log 4 4 Đều ệ R l l l l l 4l 4 Ví dụ 5: Cho N R hã tíh ch P cht ch t t 4ch t cht P ch cht cht cht ch ch ch ch o Ví dụ 6: Cho hã ế đổ ểu thức Argth Argth. Áp dụg hã ế đổ Argth Argth l th Argth th l l l l Argth th Argth Argth Argth th l th Ví dụ 7: Gả phươg trìh: rcstg 46

Chươg : Hà số ột ế số Vì Đều ệ:... Hà số sơ cấp tg s tg [ ] 4 4 rcs tg rcss s cos s cos Z. 4 4 ê phươg trìh vô ghê. Địh ghĩ: Hà số sơ cấp là hữg hà số được tạo thàh ở ột số hữu hạ các phép tíh cộg trừ hâ ch và các phép lấ hà hợp đố vớ các hà số sơ cấp cơ ả và các hằg số... GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ... Khá ệ về gớ hạ A. Địh ghĩ gớ hạ T gọ δ lâ cậ củ để R là tập Ω δ δ δ Gọ A- lâ cậ củ Gọ B- lâ cậ củ là tập ΩA A vớ A> và há lớ. là tập Ω B vớ B> và há lớ. B Cho ác địh ở lâ cậ để có thể hôg ác địh tạ. Nó rằg có gớ hạ là ε > Ω. Nó rằg có gớ hạ là l h dầ đế gọ tắt: có gớ hạ là l tạ ếu { } l ε η X Ωη \ < tạ ếu { } A A > Ω X Ω \ >. Nó rằg có gớ hạ là η η. 4. Nó rằg có gớ hạ là l tạ ếu tạ ếu có gớ hạ là tạ 47

ε > Ω X Ω l < ε. A A 5. Nó rằg có gớ hạ là l tạ ếu ε > Ω X Ω l < ε. 6. Nó rằg có gớ hạ là B B tạ ếu A > Ω X Ω A. 7. Nó rằg có gớ hạ là M M > Chươg : Hà số ột ế số tạ ếu và chỉ ếu có gớ hạ là tạ 8. Nó rằg có gớ hạ là A > Ω X Ω A. 9. Nó rằg có gớ hạ là M M > tạ ếu tạ h và chỉ h có gớ hạ là tạ Kh có gớ hạ là l tạ hoặc tạ ± ó rằg có gớ hạ hữu hạ tạ hoặc tạ ±. Ngược lạ có gớ hạ là B. Địh ghĩ gớ hạ ột phí.. Nó rằg có gớ hạ trá tạ là l ếu ± ó rằg ó có gớ hạ vô hạ. ε > η > Ωη X < < η l < ε.. Nó rằg có gớ hạ phả tạ là l ếu ε > η > < < η l < ε. Kí hệu có gớ hạ là l tạ thườg là: l l hoặc l Tươg tự có các í hệu: l ; l l ± Kí hệu có gớ hạ trá tạ là thườg dùg l l Tươg tự l l l Hệ quả: Đều ệ cầ và đủ để l l là l. 48

Chươg : Hà số ột ế số... Tíh chất củ hà có gớ hạ. A. Sự lê hệ vớ dã số Địh lí: Để có gớ hạ là l tạ đều ệ cầ và đủ là ọ dã trog u X hộ tụ về thì l u l Chứg h: Cho l và u. Kh đó ε > η > < < η l < ε Vì l u η > u < η Như vậ ε > > u l < ε ghĩ là l u l. Ngược lạ cho u à l u l sẽ có l l Nếu hôg tức là ε > η > để < η và l ε tức là N lấ η u để u < và u l ε. Rõ ràg l u hưg l u l vô lý. Chứg tỏ phả ả r l l B.Tíh du hất củ gớ hạ Địh lí: Nếu l l thì l là du hất. Chứg h: Là hệ quả củ địh lí về tíh du hất củ gớ hạ củ dã số và địh lí vừ phát ểu ở trê. C.Tíh ị chặ Địh lí: Nếu l l thì ị chặ trog ột lâ cậ củ. Chứg h: Lấ ε η > Ω \ { } l <. η H l l l l l Chú ý: Trườg hợp cũg chứg h tươg tự. 49

tạ. Địh lí đảo: Hà Chẳg hạ Chươg : Hà số ột ế số hôg ị chặ trog lâ cậ củ thì hôg có gớ hạ hữu hạ s hôg có gớ hạ hữu hạ tạ. D.Tíh chất thứ tự củ gớ hạ và guê lí ẹp. Địh lí : Cho. Nếu l. Nếu d l l. Kh đó: c < thì trog lâ cậ đủ é củ : c < l < thì trog lâ cậ đủ é củ : < d. Nếu c < l < d thì trog lâ cậ đủ é củ : c < < d Chứg h: ε η. l c > Ω \ { } l < l c c < η. ε d l Ω \ { } l < d l < d η η. η M η η Ω \ { } c < < d η Chú ý: Địh lí trê hôg cò đúg h th các ất đẳg thức gặt ằg các ất đẳg thức hôg gặt. Kh đó Địh lí : Cho l l h đó. Nếu c trog lâ cậ củ thì c l. Nếu d trog lâ cậ củ thì l d. Nếu c d trog lâ cậ củ thì c l d Nhờ vào lập luậ phả chứg chúg t thấ địh lí trê thực chất là hệ quả củ địh lí. Địh lí : Nguê lí ẹp: Cho hà số l g l g h thoả ã: g h trê X; l l h l Chứg h: ε > η η : < < η l < ε < < η h l < ε Lấ η M η η thì X : < l < ε < η h l < ε ε < l g l h l < ε. Tức là l g l 5

Chươg : Hà số ột ế số Chú ý: Địh lí đúg vớ các trườg hợp Địh lí 4: Nếu trog lâ cậ củ có g và l thì: l g Chứg h: A > η : < < > A η Mặt hác η : < < η g Lấ η M η η : < < g > A chứg tỏ g η Chú ý: Địh lí đúg vớ trườg hợp Tươg tự có địh lí h E. Các phép tíh đạ số củ hà số có gớ hạ Địh lí Trườg hợp gớ hạ hữu hạ:. l l.. l và g l g l l 4. l λ. λl λ R 5. và g ị chặ trog lâ cậ củ. g 6. l và g l. g l. l 7. l và Chứg h: g l l g l. ε > η > : < < η l < ε Mà l l < ε l. Hể hê vì. ε ε > η > : < < η l < 5

Chươg : Hà số ột ế số : ε η η < < < > l g Gọ η η η η < < M : sẽ có: ε ε ε < l g l l l g Chứg tỏ l l g 4. λ ε η η ε < < < > > : l vớ R λ Su r ε λ λ ε λ λ η < < < : l Chứg tỏ l λ λ 5. M < < < > : ε η η ε Trog đó ị chặ ở số M trog lâ cậ g η Ω. Tức là M g M < < - : η η Đặt η M η η thì... : < < < < g M M g g ε ε η 6. Đặt... g h g l g h l h Vì l g ê ị chặ trog lâ cậ củ. Theo 4. thì.. l l g l theo 5. thì. g h Vậ.. l l g 7. Trước hết t chỉ r l g Vì > l g l g. Theo địh lí về tíh thứ tự củ gớ hạ thì : l g > < < > η η. : l l g l g l g l g < < < η 5

Chươg : Hà số ột ế số Vì g l. Vậ. g l Áp dụg 6. vớ. g g Địh lí Trườg hợp gớ hạ vô hạ:. Nếu và g trog lâ cậ củ thì g. Nếu và g > trog lâ cậ củ thì. g Chứg h:. A > η : < < η > A. g > A. Tức là g A > η : < < η > A. g >. A. Tức là. g Chú ý: - Địh lí trê đúg cho trườg hợp - Có sự tươg tự cho địh lí h F. Gớ hạ củ hà hợp Cho : X R g : Y R và X Y A Địh lí: Nếu và g l thì g l Chứg h: ε > η : < < η g l < ε δη : < < δη < η Chứg tỏ: : < < δ η g l < ε. Vậ g l G. Gớ hạ củ hà đơ đệu Địh lí : Cho : R R hoặc R và là hà tăg.. Nếu ị chặ trê thì l Sup 5

Chươg : Hà số ột ế số. Nếu hôg ị chặ trê thì l Chứg h:. Gọ l Sup. ε > ξ để l ε < ξ l Do tăg ê: : ξ ξ l ε < l l ε < < l ε H l < ε Gả sử R. Đặt η > ξ > : < < η l < ε Chứg tỏ l Gả sử. Lấ A > ξ > A > ξ l < ε. Chứg tỏ l. A R ξ ξ > A. Vậ so cho ξ ξ > A. > A chứg tỏ Vớ Chú ý: ét tươg tự hư trê Nếu hữu hạ địh lí trê ó về gớ hạ trá tạ. Từ địh lí su r: ọ hà tăg trê luô có gớ hạ hữu hạ hoặc vô hạ tạ. Địh lí có thể su dễ cho trườg hợp hợp được ô tả trê hìh.. gả trê. Kết quả trog các trườg 54

Chươg : Hà số ột ế số : R Kết luậ Đồ thị Tăg và ị Sup chặ trê Gả và ị chặ dướ I Gả và ị chặ trê Sup Tăg và ị chặ dướ I Tăg và hôg ị chặ trê Gả và hôg ị chặ dướ Gả và hôg ị chặ trê Tăg và hôg ị chặ dướ H.. Địh lí : Nếu ác địh tạ và tăg ở lâ cậ củ thì luô tồ tạ ột gớ hạ trá và ột gớ hạ phả hữu hạ tạ và: l l 55

Chứg h: Rõ ràg: tăg và ị chặ trê ở ở lâ cậ ê trá củ. tăg và ị chặ dướ ở ở lâ cậ ê phả củ. Theo địh lí chúg t hậ được ết quả cầ chứg h. T có ết quả tươg tự h gả. Hìh.. ô tả địh lí. Chươg : Hà số ột ế số H..... Các gớ hạ đág hớ s A. l l s Chứg h: Dễ dàg thấ được \ {} thì có ất đẳg thức ép: s cos < <.. Dùg địh ghĩ chứg h được l cos. Vậ su r côg thức. B. l l e. Chứg h: R { } \ N so cho Su r. 56

Chươg : Hà số ột ế số Theo ví dụ. ở chươg và tíh chất đạ số củ dã hộ tụ thì:. e. e Su r e. Thực hệ phép ế đổ l l l e Tổg quát ếu u thì u u e s u và u C. l l l l. Chứg h: Vì l tăg trê R ê tạ Gả sử có gớ hạ hữu hạ l thì l l l l l. Tu hê l l l l l vô lý. Vậ hà số có gớ hạ hữu hạ hoặc là. l. R l l Ví dụ : Chứg h: l s l ± ε > ε é Ω ε \ { } có s <. Lấ η ε : < < ε s < ε ε > để < ε > A ε Vậ A R : > A < ε. Chứg tỏ ± Ví dụ : Tíh l l 4 57

Chươg : Hà số ột ế số 4.. 4 4.. cos cos Ví dụ : Tíh l cos cos s cos cos s s 9 Ví dụ 4: Tíh l l s. - e. s s s e s D. Sự tồ tạ gớ hạ củ các hà sơ cấp. s 9 4 Địh lí: Hà số sơ cấp ác địh tạ thì l.. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ VCB VÀ ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG LỚN VCL... Đạ lượg VCB A. Địh ghĩ: hoặc - tạ. Áh ạ α : X R gọ là đạ lượg VCB tạ ếu hư α có thể là Hệ quả: Để tồ tạ l l đều ệ cầ và đủ là hà số α l là VCB 58

Chươg : Hà số ột ế số B. Tíh chất đạ số củ VCB Dự vào tíh chất đạ số củ hà có gớ hạ hậ được tíh chất đạ số củ các VCB su đâ: VCB tạ. Nếu α... là các VCB tạ thì tổg α tích α cũg là. Nếu α là VCB tạ ị chặ trog lâ cậ củ thì α. là VCB tạ. C. So sáh các VCB Cho α β là các VCB tạ. α. Nếu β cũg ó rằg β là VCB cấp thấp hơ α tạ. thì ó rằg α là VCB cấp co hơ β tạ í hệu α oβ tạ α. Nếu c β thì ó rằg α β là các VCB gg cấp tạ. Đặc ệt c thì ó rằg Rõ ràg ếu α β gg cấp tạ thì α ~ cβ tạ. α β là các VCB tươg đươg tạ. Kh đó í hệu α ~ β tạ.. Nếu γ o α thì ó rằg γ là VCB có cấp co hơ so vớ VCB α tạ 4. Nếu γ ~ cα c thì ó rằg γ là VCB có cấp so vớ VCB α tạ α α Hệ quả : Nếu γ ~ α β ~ β tạ thì l l β β Hệ quả : Nếu α oβ tạ thì α β ~ β tạ. Hệ quả : Qu tắc gắt ỏ VCB cấp co: Nếu α là VCB cấp thấp hất trog số các VCB α và β là VCB cấp thấp hất trog số các VCB β tạ. Kh đó: l α α l β β j Chú ý: Các VCB đág hớ là: α. α > j 59

Chươg : Hà số ột ế số. > < <. sh th Argth 4. S tg rcs 5. rctg... Đạ lượg VCL A. Địh ghĩ Áh ạ A: X R gọ là đạ lượgvcl tạ ếu hư A hoặc có thể là hoặc. Hệ quả: Để B. Tíh chất củ VCL A là VCL tạ thì cầ và đủ là α là VCB tạ. A. Nếu A... là các VCL cùg dấu A là VCL g dấu đó tạ. Nếu B... là các VCL tạ thì tích B là VCL tạ h tạ thì tổg. Nếu A là VCL tạ và gữ guê dấu tạ và lâ cậ củ ó thì A. là VCL tạ. C. So sáh các VCL Cho A B là các VCL tạ A. Nếu B thì ó rằg A là VCL cấp co hơ B tạ h B là VCL có cấp thấp hơ A tạ A. Nếu c thì ó rằg A B là VCL gg cấp tạ. B Đặc ệt c thì ó rằg A B là các VCL tươg đươg tạ í hệu A ~ B tạ. Hệ quả : Nếu A ~ A B B ~ tạ thì A A l l B B Hệ quả : Nếu A làvcl cấp co hơ B tạ thì Hệ quả : Qu tắc gắt ỏ cácvcl cấp thấp: A B ~ A. 6

Chươg : Hà số ột ế số Nếu A co hất trog số các VCL là các CVL cấp co hất trog số các VCL B j j... tạ thì t có A A l l B B j Chú ý: Các VCL su đâ thườg h dùg: α. α > j A... và. > < <. log > log < < 4. log > log < < 5. ch sh sh ± 6. coth coth B là VCL cấp Ví dụ : Tíh ls.cos s l S cos ls.cos s s l Ví dụ : Tíh s tg l l s 4 s s ~ s l s 4 ~ 4 s 4 tg ~ s ~ l 4 tg l s l Ví dụ : Tì l l l l l 6

Chươg : Hà số ột ế số l l l l l.4. SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ.4.. Các há ệ cơ ả A. Hà lê tục tạ ột để Cho : X R và X. Nó rằg lê tục tạ ếu l h l l Tức là ε > η > : < η < ε B. Hà lê tục ột phí tạ Cho : X R X. Nó rằg hà lê tục ê trá tạ ếu l Hà lê tục ê phả tạ ếu l Hệ quả: Để hà lê tục tạ đều ệ cầ và đủ là: C. Hà lê tục trê ột hoảg. Hà lê tục tạ ọ để X thì ó rằg ó lê tục trê tập X.. Hà lê tục trê hoảg ở và lê tục trá tạ lê tục phả tạ ó rằg ó lê tục trê [] D. Hà lê tục từg húc Hà : [ ] R R. Nó rằg hà [ ]...... lê tục từg húc trê [ ] h và chỉ h N và so cho < <... < và lê tục trê tất cả các hoảg ở và có gớ hạ phả hữu hạ tạ có gớ hạ trá hữu hạ tạ E. Để gá đoạ củ hà số. Nếu hôg lê tục tạ ó rằg có để gá đoạ tạ. 6

Chươg : Hà số ột ế số. Nếu là để gá đoạ và là các số hữu hạ thì gọ đoạ loạ củ hà số và gọ h là ước hả củ tạ. là để gá Hệ quả: Nếu tăg gả ở lâ cậ để h đó lê tục tạ h và chỉ h h. Đều à su r từ địh lí củ hà số đơ đệu.. Nếu là để gá đoạ củ và hôg phả là để gá đoạ loạ thì ó rằg có để gá đoạ loạ tạ. Các địh ghĩ trê được ô tả trê hìh.. 4 loạ loạ lê tục từg húc H...4.. Các phép toá đạ số củ hà lê tục Địh lí : Cho g : X R X λ R. Nếu lê tục tạ thì lê tục tạ.. Nếu g cùg lê tục tạ thì g lê tục tạ.. Nếu lê tục tạ thì λ lê tục tạ. 4. Nếu g lê tục tạ thì. g lê tục tạ. 5. Nếu g lê tục tạ và g thì Chú ý: g lê tục tạ. Địh lí trê được phát ểu tươg tự cho các hà lê tục trê cùg hoảg X 6

Chươg : Hà số ột ế số Nếu và g lê tục tạ thì Sup g và I g cũg lê tục tạ. Vớ Sup g : X R I g : X R Sup g I g Thật vậ Sup g g g I g g g Chứg h địh lí tươg tự hư chứg h địh lí về các phép toá đạ số củ hà có gớ hạ hữu hạ. Địh lí : Cho : X R; X g : Y R và Nếu lê tục tạ và g lê tục tạ thì hà hợp g lê tục tạ. Chứg h tươg tự hư chứg h địh lí về gớ hạ củ hà hợp. Chú ý: X Y. Địh lí cũg được phát ểu tươg tự cho lê tục trê X và g lê tục trê Y. Sử dụg địh lí hậ được các gớ hạ qu trọg dướ đâ: Vì h thỏ ã địh lí thì l g gl do đó: log l log l Đặc ệt l e.4.5 l l <.6 Thật vậ gọ log. Theo.4 sẽ có: l l log log e l l α α.7 64 α Gọ α l l l Từ trê dễ dàg hậ được địh lý su: α αl l l α l

Chươg : Hà số ột ế số Địh lý : Mọ hà số sơ cấp ác địh tạ.4. Tíh chất củ hà số lê tục trê ột đoạ : là lê tục <. Cho [ ] R thì lê tục tạ. A. Tíh trù ật củ hà số lê tục Địh lí : Nếu lê tục trê [ ] và. < c Chứg h: Thực hệ phươg pháp ch đô đoạ [ ] thì tồ tạ c để. Nếu trog quá trìh ch đô tì được để c sẽ dừg lạ. Nếu hôg tì được c thì hậ được dã các đoạ lồg hu [ ] trog đó < > và. Su r l l c và l l c trog đó Địh lí : Nếu c. Vậ c. gữ và ghĩ là: Chứg h : Địh lí là đúg vớ lê tục trê [ ] h đó hậ gá trị trug g [ ] c [ ] c γ γ γ hoặc γ. Gả sử < và ét < γ <. Đặt γ g < g >. Theo địh lí thì tồ tạ c để g c h c γ. B. Tíh ị chặ củ hà số lê tục Địh lí : Hà số [ ] ghĩ là: g lê tục trê [ ] và lê tục trê [ ] thì đạt được gá trị lớ hất và hỏ hất trê [ ] [ ] M có M Chứg h : Trước hết chứg h [ ] N ị chặ trog [ ]. Gả sử hôg ị chặ tức là: ị chặ ê theo địh lí Bolzo-Weerstrss tồ tạ dã co củ ó [ ]. Chuể qu gớ hạ sẽ có. Vô lí vì lê tục tạ. Gọ I và M Sup. [ ] [ ] 65

Lấ ε N [ ] > là dã co củ và Qu gớ hạ sẽ có Tươg tự M để Hệ quả: Nếu Trog đó.4.4 Tíh lê tục đều l [ ] > M Sup M [ ] : [ ] R lê tục thì [ ] M I [ ] [ ] Chươg : Hà số ột ế số.theo địh lí Bolzo-Weerstrss [ ] R M Sup A. Địh ghĩ: Cho : X R. Nó rằg lê tục đều trê X ếu ' " X : ' " < η ' " ε ε > η > < Chú ý rằg trog địh ghĩ à số η R hôg phụ thuộc vào ' và " ó hác vớ tíh lê tục củ hà Hệ quả: Nếu tạ ở đó η có thể phụ thuộc vào. lê tục đều trê X thì lê tục trê X. Đều à là hể hê vì lấ ' ất ì thì đều ệ lê tục tạ là thoả ã.tu hê ột hà số lê tục trê X có thể hôg lê tục đều trê X chẳg hạ ét hà số : R R cho ở. Thật vậ ' " ε > η > R so cho ' " < η và ' " ε Lấ " R ' " η h đó ' " η và ' " η" η ε 4 ε ếu lấ ". Cụ thể chọ η ε " và ' η η η Địh lí Hâe Hee Nếu lê tục trê đoạ đóg [ ] R thì lê tục đều trê [ ]. Chứg h : Chúg t lập luậ phả chứg hư su: Gả sử ' " [ ] hôg lê tục đều tức là ε > η > để có ' " < η và ' " ε N lấ η ' " [ ] 66

Chươg : Hà số ột ế số so cho ' " < và ' " ε Vì ' ị chặ ê tồ tạ dã co " đươg hê ị chặ. Vậ tồ tạ ột dã co củ ó Rõ ràg j ' hộ tụ về c [ ] " hộ tụ về c [ ]. ' " < và qu gớ hạ su r cd đồg thờ: j j có tươg ứg dã co ' j " j ε.qu gớ hạ do tíh lê tục su r c c ε. Vô lý. Ví dụ : Chứg h rằg Lấ > hà số lê tục đều trê lê tục đều trê hoảg [ [ ] Lấ tuỳ ý trê [ < T có < < ε ε > δ ε so cho < δ < ε Vậ lê tục đều trê [. Hợp h hoảg lạ t hậ được Ví dụ : Chứg h rằg T phả chỉ r lê tục đều trê [ cos hôg lê tục đều trê [ ε > δ so cho < δ à ε Thật vậ: δ > δ R < < δ Lấ > cos cos lấ ε. δ 67

Chươg : Phép tíh v phâ hà số ột ế số CHƯƠNG III: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ.. ĐẠO HÀM Từ về su đế hết ục.8 luô í hệu ột để tức là X là hoảg ào đó trê R và đồ thị củ hà số.... Đạo hà tạ ột để... Địh ghĩ đạo hà tạ ột để : X R X φ và X hôg thu về X R là tập các áh ạ đã ó ở trê cò X Cho X h X R. Nó rằg hả v tạ ếu tồ tạ gớ hạ hữu hạ h l h h Gớ hạ à thườg í hệu Tỉ số h h d ' h d gọ là đạo hà củ tạ. Δ gọ là tỉ số củ các số g hà số và số g đố số. Δ... Địh ghĩ đạo hà ột phí. Cho X h X. Nó rằg hả v phả tạ ếu tồ tạ gớ hạ hữu hạ l h h h Gớ hạ à í hệu là ' gọ là đạo hà phả củ tạ. p. Cho X h X. Nó rằg hả v trá tạ ếu tồ tạ gớ hạ hữu hạ l h h h Gớ hạ à í hệu là ' gọ là đạo hà trá củ tạ. t Hệ quả : Để hả v tạ đều ệ cầ và đủ là hả v trá và phả tạ đồg thờ t ' p' ' Hệ quả : đều ệ cầ củ hà hả v Nếu hả v tạ thì lê tục tạ C là 68

Chươg : Phép tíh v phâ hà số ột ế số Chứg h: Lấ rõ ràg h h R để h X h h. h h à ' h h h h chứg tỏ lê tục tạ. Chú ý:. có thể lê tục tạ hưg hôg hả v tạ chẳg hạ các hà dướ đâ và đồ thị củ chúg trê hìh.. ô tả đều đó R R cho ở h. lê tục tạ hưg hôg hả v tạ vì hôg có gớ h hạ h h ở đâ t thấ ' ' t p R R cho ở h h h h R R cho ở lê tục tạ hưg hôg hả v tạ vì vớ.s lê tục tạ vì hưg hôg hả v vì h R h.s h h s hôg có gớ hạ h h h h - H.. 69

. Nếu hả v phả hoặc trá tạ thì lê tục phả hoặc trá tạ.. Nếu hả v phả và trá tạ thì lê tục tạ.... Ý ghĩ hìh học củ đạo hà Chươg : Phép tíh v phâ hà số ột ế số Nếu hả v tạ thì tồ tạ tếp tuế củ đồ thị C tạ để A. Tếp tuế à hôg sog sog vớ trục và có hệ số góc là '. Trườg hợp hôg hả v tạ à tồ tạ t ' và p '. Lúc đó gọ để A C là để góc củ C và h á tếp tuế tạ A hôg sog sog vớ hu. Trườg hợp hôg hả v tạ hưg có hoặc h hoæc h h h hoæc h h thì tạ A đườg cog C có ột á tếp tuế sog sog vớ. Hìh.. ô tả các ộ dug trê. C C H.....4. Ý ghĩ cơ học củ đạo hà hìh.. Cho chất để chuể độg tạ thờ để t được địh vị ở véc tơ á íh r t Xe 7

Chươg : Phép tíh v phâ hà số ột ế số z r t H.. Gọ r rt là phươg trìh chuể độg củ chất để. Gả sử tạ thờ để t véc tơ á íh củ chất để là r t r t t Gọ v TB r r t r t Δ là vậ tốc trug ìh từ thờ để t đế t t t t t t t Vậ tốc tức thờ v t củ chất để tạ thờ để sẽ là gớ hạ củ tỉ số trê h r t r t v t l r t t t t t. Vậ vậ tốc tức thờ củ chất để chíh ằg đạo hà củ véc tơ á íh theo thờ g t.... Các phép tíh đạ số củ các hà hả v tạ ột để Địh lí : Cho và g hả v tạ h đó. g hả v tạ và g' ' g'. λ R λ hả v tạ và λ ' λ. '.. g hả v tạ và. g' '. g. g' t 4. Nếu g thì g hả v tạ và g ' '. g. g' g 7

Chươg : Phép tíh v phâ hà số ột ế số Chứg h :. ' ' g g h g h h h g h g h h. ' h h h h h λ λ λ λ.. g h g h g h h g h g h '.. '. g g g h g h h g h h h do g h g h vì g hả v tạ. 4. Trước hết chứg h ' ' g g g g lê tục tạ và g vậ g hác hôg trog ột lâ cậ củ do đó tồ tạ hà g ác địh ở lâ cậ củ vớ h đủ é thì g h g g h g h g h g h g h g h. '. g g g h g g h g h su r ' ' '.. ' ' ' g g g g g g g g. Địh lí : Đạo hà củ hà hợp. Cho vớ. Nếu hả v tạ và g hả v tạ thì hà hợp hả v tạ và R Y g R X X : : Y X go. '. ' ' g go. Chứg h: Lấ tuỳ ý so cho R h X h. Đặt 7

Chươg : Phép tíh v phâ hà số ột ế số h ε h h ' Õu h Õu h su r h h ' hε h Lấ R tuỳ ý so cho g ε ε h h Y. Đặt g g' su r g g g ' ε ε Õu Õu g h R so cho h X sẽ có go h g h g h ' hε h h ' hε h g' h ' hε h. ε h ' hε h g h ' g' hε h trog đó ε h ε h g' ' ε h. ε h ' hε h vì ε h ε su r ε h. Dẫ đế h go h go h h '. g' h Địh lí : Đạo hà củ hà gược. Gả sử : X R đơ đệu gặt và lê tục trê X hả v tạ X và ' Kh đó hà gược củ là : X R hả v tạ và ' '. Chứg h: Theo gả thết tồ tạ sog áh vậ tồ tạ hà gược lê tục trê X. { } X \ chúg t ét 7

A' ếu ' Chứg tỏ hả v tạ và C ' Chươg : Phép tíh v phâ hà số ột ế số ' '. ' A C Nếu gọ là đồ thị củ hà thì các tếp tuế tạ C Hìh.4. ô tả đều đó đố ứg vớ hu qu đườg phâ gác củ góc phầ tư thứ I và III ' và C C ' ' H..4... Đạo hà trê ột hoảg áh ạ đạo hà X A. Địh ghĩ: Cho R hả v tạ ỗ để R Kí hệu áh ạ ': R ' d d là áh ạ đạo hà h đạo hà củ trê thườg í hệu ' h. Cũg ó rằg hả v trê X B. Các tíh chất Các địh lí dướ đâ su r ột cách dễ dàg từ các địh lí ở ục.. 74

Chươg : Phép tíh v phâ hà số ột ế số Địh lí : Cho g : X R hả v trê X tức là X h đó.. g hả v trê X và g' ' g'. λ R λ hả v trê X và λ ' λ '.. g hả v trê X và. g' ' g g' 4. g trê X thì g ' g hả v trê X và g g Bằg ột phép qu ạp đơ gả hậ được: Nếu N và... hả v trê X thì ' g' hả v trê X và hả v trê X và ' ' '... Địh lí : Cho X R Y và g R. Nếu hả v trê X và g hả v trê X thì hả v trê X và go ' g' o ' Mở rộg hogo ' h' ogo g' o ' '... go Địh lí : Cho hả v trê X và X R đơ đệu gặt trê X hả v trê X và ' trê ' '..4. Đạo hà củ các hà số thôg thườg X h đó A. Hà số ũ Cho : R R h h ' h h h h Vậ hà ũ hả v trê R. Đặc ệt e ' e l hờ vào côg thức.6 B. Hà số lôgrt Cho R log R ' l ' l. Hà gược l 75

Chươg : Phép tíh v phâ hà số ột ế số Đặc ệt l thì ' C. Hà luỹ thừ Cho α R R R α l α l Sử dụg đạo hà củ hà hợp t có ' α ' α α lấ logrt cả vế sẽ có α Trườg hợp tuỳ theo α để ểu thức ác địh thì t vẫ có ' α α D. Hà lượg gác s Cho [ ] R s h s h cosh sh s cos h h s s h h sh cos h h s sh Theo côg thức. su r h h h h Vậ s ' cos Tươg tự có thể chỉ r và R cos cũg hả v trê R cos s cos ' cos s su r tg hả v trê R \ Z và ' s cos s tg' tg cos cos cos cotg hả v trê R { Z} E. Hà lượg gác gược \ và cot g ' cot g. s Cho [ ] [ ] rccos t sẽ chứg h hả v trê. 76

Chươg : Phép tíh v phâ hà số ột ế số Thật vậ hà gược củ ó Vậ Tươg tự rccos ' rcs ' cos rctg' F. Hà cho theo th số Cho Cụ thể Nếu X R cos. ' s cos vì rc cot g' dướ dạg th số : α β X : α β R ϕ t ψ t ví t α β T hả v trê T tồ tạ hà gược t ϕ hả v và ϕ ' t hác hôg trê T thì theo côg thức tíh đạo hà củ hà số gược và hà số hợp sẽ hậ được d d G. Đạo hà lôgrt ψ ' t. ϕ' t Nếu có dạg tích củ các hâ tử vớ số ũ cố địh hoặc u u u > v v thì t có thể ét đạo hà logrt củ trog ục A Su đó sử dụg địh lí đạo hà củ hà hợp. Thật vậ tươg tự hư hà luỹ thừ trog ục C hoặc hà số ũ α β γ u v ω trog đó α β γ R cò các hà u v ω hả v trê X và luô dươg trê X. Kh đó. l α l u β l v γ lω ' u' v' ω' α β γ. u v ω u' v' ω' ' α β γ u v ω Hoặc có thể ểu dễ e α lu β l v γ l w Các cách tíh đạo hà thôg qu côg thức đạo hà củ hà lôgrt gọ là đạo hà lôg. v 77

Chươg : Phép tíh v phâ hà số ột ế số H. Bảg các đạo hà củ các hà số thôg dụg R R cost C ' X X X R ' α α α α R R cos ' s R R s ' cos Z R tg Z R tg \ cos ' \ { } { } Z R g Z R g \ cot s ' \ cot R R l ' l ' log R R [ ] ' rcs [ ] ' rccos R R rctg ' R R g rc ' cot R ch R sh ' R sh R ch ' R th ch R th ' {} {} \ coth ' \ coth R sh R Ví dụ : Hã tíh đạo hà tạ củ các hà số su ếu có. s.. 78

Chươg : Phép tíh v phâ hà số ột ế số h s h. h hs ' h h h h h h. h h h hôg hả v tạ h h h. h h h h h hôg hả v tạ Ví dụ : Cho X R hả v tạ X. Hã tì h h h l h h h Ví dụ : Chứg tỏ rằg h h h h h h ' R R cho ở ểu thức dướ đâ hôg hả v tạ ọ Õu Q Õu R \ Q Nhậ thấ tập Q và R\Q đều trù ật lấ l Q Để lê tục tạ R l R \ Q thì Vậ hà hôg hả v tạ h h Xét h Q h h h h Q h h Xét h R \ Q h h h Vậ hôg tồ tạ ' Ví dụ 4: Cho và g hả v tạ tíh g g l h R \ Q R 79

Chươg : Phép tíh v phâ hà số ột ế số Lập hà số g g h hả v tạ và h ' l l h h h g g ' ' g g Ví dụ 5: Vẽ đồ thị củ hà số và đạo hà củ hà số su đâ... l Trước hết t hã tíh '. > < ' p t p t ' ' ' ' l '. trê R. > < l l l > < ' ' vớ R Hìh.5. ô tả các đồ thị củ và - - - - - - H..5 8

Chươg : Phép tíh v phâ hà số ột ế số Ví dụ 6 : Tíh đạo hà.. VI PHÂN CỦA HÀM SỐ ' củ hà số l t t rctgt... Địh ghĩ v phâ tạ ột để d d t rctgt ' t t d d l t t t Cho côg thức R X hả v tạ d '. h vớ h R X. V phâ củ tạ í hệu d ác địh ở Vậ d là ột hà tuế tíh củ h Xét hà số trê R ' R vậ d. h Từ đó cũg thườg í hệu d '. d Hệ quả: Để hả v tạ đều ệ cầ và đủ là tồ tạ hằg số λ R và ột VCB αh tạ so cho h λ h hα h đồg thờ λ '. Thật vậ hả v tạ h và chỉ h tồ tạ ' Nghĩ là h l ' h h H là h ' α h h h h '. h hα h Vậ ' λ Tươg tự hư đạo hà tạ ột để t hậ được tíh chất đạ số củ v phâ. Địh lí : Nếu X g R và hả v tạ X thì. d g d dg. d λ λd vớ λ R 8

Chươg : Phép tíh v phâ hà số ột ế số. d. g dg g d g g 4. d g d dg h g Chú ý: h Δ là số g củ hà số ứg vớ số g đố số Δ h. Vậ ếu hả v tạ thì vớ h há é sẽ có côg thức tíh gầ đúg số g củ hà số Δ d. Xét hà hợp go. Nếu hả v tạ và g hả v tạ theo địh lí thì go hả v tạ. Tức là go go '. h g'. '. h g'. d d. Như vậ dù là ế độc lập h ế phụ thuộc thì dạg v phâ đều gốg hu. Ngườ t ó v phâ cấp có tíh ất ế.... V phâ trê ột hoảg X Cho R hả v trê X. V phâ củ hà số trê được ác địh theo côg thức d '. h vớ. Tươg tự hư địh lí trê t hậ được địh lí su đâ. Địh lí: Nếu g hả v trê thì trê hoảg đó cũg thoả ã các hê thức su.. d g d dg. d λ λd. d. g dg g d g g 4. d g d dg h g Ví dụ : Tíh gầ đúg o s 6 4' Đặt s t có ' cos Chọ o 6 o h đó 4. h 4' 6.8 7 8

Chươg : Phép tíh v phâ hà số ột ế số Δ R Theo côg thức ấp ỉ t có: o s 6 4' s 6 o o cos 6. 7. 866 6 87 7 Ví dụ : Một hìh cầu ằg loạ á íh R h óg lê á íh ở thê ột đoạ. Tíh thể tích ớ củ hìh cầu ột cách chíh ác và gầ đúg. Áp dụg ằg số R 5 c ΔR c Côg thức tíh thể tích V củ hìh cầu là: 4 V R Su h gã ở á íh hìh cầu là R ΔR thể tích ớ củ hìh cầu tíh chíh ác là: tích V 4 V ΔV R Nếu tíh gầ đúg t e: 4 R R 4 Δ 5 Δ V e hư hà số củ đố số R. Vậ: 76868 c dv Số g củ thể tích gầ ằg v phâ và h đó thể dv V R '. ΔR 4R 4.5. c Thể tích đầu củ hìh cầu:. ΔR V 4 R 4 5 66666 c Vậ thể tích ớ củ hìh cầu tíh gầ đúg là: V ΔV V dv 76666 c S số tuệt đố trog à toá à là: 76868 c 76666 c c Như vậ s số tươg đố là: δ 76868 8

Chươg : Phép tíh v phâ hà số ột ế số.. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO... Đạo hà cấp co A. Địh ghĩ. Cho hả v trê X ếu ' hả v tạ X thì ó rằg có đạo hà cấp tạ và í hệu đạo hà đó là ". Tươg tự đạo hà cấp củ tạ í hệu là chíh là đạo hà củ hà tạ.. Nó rằg hả v đế cấp h lầ trê X h và chỉ h tồ tạ trê X N trog đó là đạo hà củ. Nó rằg hả v vô hạ lầ trê X h và chỉ h hả v lầ trê X N. Su đâ thườg í hệu Chú ý: B. Địh lí Nếu hả v lầ trê X thì p q N so cho p q t có p q p q Tập ác địh củ thườg chứ trog tập ác địh củ Cho λ R N g g g λ λ. X R hả v lầ trê. g C g gọ là côg thức Letz. g trê X thì g Chứg h: hả v lầ trê X. và. được chứg h dễ dàg ằg qu ạp. chứg h qu ạp theo hư su: Vớ côg thức đúg theo địh lí trog... Gả sử g hả v lầ trê X h đó trê X có các hệ thức su đâ: X và côg thức Letz đã đúg vớ tức là:. g C g đó là tổg củ hữg g hả v trê X ê tồ. g tạ và 84

Chươg : Phép tíh v phâ hà số ột ế số l l l l g C g C g C g C g. vì và l l l l g C g C C C. g C g C C 4. Qu ạp theo. Vớ t có côg thức ' ' ' g g g g chứg tỏ rằg g hả v Gả sử rằg hả v lầ và tíh chất đã đúg vớ. Vì hả v lầ trê g ' ' g g X ê và hả v lầ trê ' g' g g X. Theo gả thết qu ạp ' ' g g g hả v lầ trê X hư vậ g hả v lầ trê X.... V phâ cấp co A. Địh ghĩ. Nếu hả v đế cấp tạ X thì ểu thức gọ là v phâ cấp tạ í hệu là. Vậ là h h. d h d d d. Nếu hả v đế cấp trê X thì v phâ cấp củ trê X được í hệu là và ác địh theo côg thức su X d d h d X B. Côg thức tíh v phâ cấp co Từ địh lí về đạo hà cấp co trực tếp hậ được các côg thức tíh v phâ cấp co dướ đâ Địh lí: Nếu hả v đế cấp trê g X thì h đó. g d d g d. Vớ d d R λ λ λ. g d d C g d.. 4. Nếu g thì g có v phâ đế cấp. 85

Chươg : Phép tíh v phâ hà số ột ế số Chú ý: Khôg có côg thức đơ gả cho g cũg hư d. g Tíh ất ế củ v phâ ị phá vỡ h lấ v phâ cấp co từ trở lê Ví dụ su sẽ chứg tỏ đều đó. Cho hà hợp go trog đó 6 g g dg 5 4 6 d d g d Mặt hác dg d d g d à d 4 4 d d g 8 d d... Lớp củ ột hà A. Địh ghĩ X và. Cho N T ó thuộc lớp C í hệu C trê X ếu hả v lầ trê lê tục trê X.. Nó rằg C trê X ếu hả v vô hạ lầ trê X.. Nó rằg C trê X ếu lê tục trê X. Chú ý: Như vậ ột hà có thể hả v lầ trê X hưg chư chắc đã thuộc C. Chẳg hạ s hả v trê R hưg hôg thuộc lớp C trê R Thật vậ s cos ' 4. Nó rằg C từg húc trê [ ] trê [ ]... C Chẳg hạ p Õu Õu ] [ ] hôg có l ' h và chỉ h tồ tạ p N... R để p 86

Chươg : Phép tíh v phâ hà số ột ế số B. Địh lí ' Vậ C trê [ ] " Õu Õu Õu Õu C từg húc trê [ ] ] [ ] ] [ ] Địh lí : Nếu g C trê X thì. g C trê X. λ C trê. g C trê X λ R X 4. trê X h g X g C go C Địh lí à thực chất là hệ quả củ địh lí trog ục... X Y Địh lí : Cho R và g R X Y. Nếu và g thuộc lớp C thì trê X Chứg h : Qu ạp theo. Vớ địh lí đúg theo địh lí trog ục... Gả sử địh lí đã đúg vớ cho g C trê X và trê Y. T có go ' g' o ' Vì g' C từ gả thết qu ạp chứg tỏ g' o C. Hơ ữ ' C Vậ tích g' o. ' C chứg tỏ go C Ví dụ : Cho N R Tíh vớ N ' "...... 87

Chươg : Phép tíh v phâ hà số ột ế số Chứg tỏ...! Ví dụ : Chứg h ếu s thì Õu < Õu Õu > R N s Trườg hợp. Đúg s ' cos s Gả sử côg thức đúg vớ s cos s Tươg tự cũg hậ được cos Ví dụ : Cho Vì cos N rctg hã tíh tg ' cos cos.s " s.s cos.cos ' cos Bằg qu ạp su r T có.cos cos.s Z rctg!cos.s ét Vậ! s Z H! s. rctg 88