4.4.4. tsitiktinių paklaidų įvertinimas tsitiktinės paklaidos įvertinamos nurodant du dydžius: pasikliaujamąjį intervalą ir pasikliaujamąją tikimybę. tsitiktinių paklaidų atveju, griežtai tariant, nėra įmanoma nurodyti didžiausią paklaidą: nors ir su maža tikimybe, ji gali būti neriboto dydžio. Pasikliaujamoji tikimybė P - tai tikimybė, kad aritmetinio vidurkio matavimų paklaida δx patenka į intervalą [ - x p, x p ]. Šis intervalas vadinamas pasikliaujamuoju intervalu. Matavimų rezultatas užrašomas nurodant paklaidą x p ir pasikliaujamąją tikimybę P: x = x ± x p, P. (4.3) Kaip apskaičiuoti pasikliaujamąjį intervalą ir pasikliaujamąją tikimybę? Pasikliaujamoji tikimybė P priklauso nuo matavimų skaičiaus n ir koeficiento x p t P,n =. (4.4) S x Dydis t P,n vadinamas Stjudento koeficientu.pasikliaujamosios tikimybės vertės, remiantis Stjudento pasiskirstymo dėsniu ( 4.9 skyrius) yra apskaičiuotos įvairioms matavimų skaičiaus n ir Stjudento koeficiento t P,n vertėms( žr. 1 lentelę prieduose). Pasirinkę pasikliaujamąją tikimybę P (laboratoriniame darbe dažniausiai P =0,95) konkrečiam matavimų skaičiui n iš 1 lentelės prieduose randame Stjudento koeficientą t P,n ir apskaičiuojame pasikliaujamąjį intervalą x p : x p = t P, n S x. (4.5) Jei, apsiriboję mažesniu matavimų paklaidos įvertinimo tikslumu, apskaičiuojame vidutinę aritmetinę paklaidą r x (4.18), pasikliaujamąjį intervalą x p, išreikštą per r x pasirinktai pasikliaujamajai tikimybei P, galime surasti iš 4.1 lentelės. Skaičiavimai grindžiami Stjudento pasiskirstymo dėsniu (4.9 skyrius), (4.0) sąryšiu ir pataisomis, kurios priklauso nuo matavimų skaičiaus n. 4.1lentelė. Pasikliaujamajam intervalui x p, išreikštam per vidutinę aritmetinę paklaidą, pasikliaujamosios tikimybės P priklausomybė nuo matavimų skaičiaus n.. n 4 5 6 7 8 9 10 x P P r x 0,75 0,8 0,87 0,905 0,930 0,945 0,960 r x 0,93 0,97 0,985 >0,99 - - - 3r x 0,98 0,99 >0,99 - - - - Iš 4.1 lentelės matyti,kad atlikus fizikinio dydžio matavimus 9 kartus, vidutinė aritmetinė paklaida lygi pasikliaujamajam intervalui x P su pasikliaujamąja tikimybe P= 0,95. Skaičiuojant aritmetinio vidurkio vidutinę kvadratinę paklaidą S x, pasikliaujamasis intervalas x P tai pačiai tikimybei P gaunamas mažesnis - matavimų paklaidos įvertinimas pasinaudojant S x yra tikslesnis. 0
Kai matavimų skaičius n, Stjudento koeficientas tikimybei P =0,997 lygus 3,0, o pasikliaujamasis intervalas (4.5 formulė) x 0,997 3 S x. Šis intervalas vadinamas didžiausia galima paklaida, nes tikimybė, kad tikroji vertė pateks į intervalą x - 3 S x x 0 x + 3 S x yra artima 100% ( P=99,7%). Iš 4.1 lentelės matyti, kad matavimų skaičiui n, vidutinė aritmetinė paklaida lygi didžiausiai galimai paklaidai: r x = x 0,997 3 S x. (4.6) tskiro matavimo didžiausia galima paklaida x 0,997 3 S x. (4.7) 4.4.5. tsitiktinės atskaitymų paklaidos Matavimo prietaisų parodymus dažniausiai atskaitome vienos ar pusės padalos tikslumu. Diskretinių, skaitmeninių prietaisų parodymus atskaitome mažiausio žingsnio (vienos padalos) tikslumu. Pavyzdžiui, jeigu sekundometro padalos vertė 0,1 s, galimi parodymai 0,1, 0, 0,3,... 1. Matuojant įvykio trukmę intervale nuo 5,06 s iki 5,14 s, sekundometras parodys 5,1s. Tuo būdu, diskretinių prietaisų parodymai atskaitomi vienos padalos tikslumu, jei vizualiniai atskaitymai neįneša papildomos atsitiktinės paklaidos. Slankmačio, mikrometro parodymai atskaitomi vienos padalos tikslumu. Šios paklaidos vadinamos atskaitymo arba apvalinimo paklaidomis. Jos yra atsitiktinės, bet skiriasi nuo kitų matavimo atsitiktinių paklaidų tuo, kad joms galioja ne normalinis, o tolyginis pasiskirstymo dėsnis. tskaitymo paklaidoms įvertinti įvedamas apvalinimo intervalas h. pvalinimo intervalas lygus 1,0, jei atskaitome vienos padalos tikslumu ir lygus 0,5 - jei atskaitome pusės padalos tikslumu. Svirtinėms svarstyklėms apvalinimo intervalas lygus mažiausio svarelio masei. Didžiausia galima atskaitymo paklaida x a yra lygi pusei apvalinimo intervalo: x a = h/. (4.8) Pasirinktai pasikliaujamai tikimybei P pasikliaujamasis intervalas (atskaitymo paklaida) yra skaičiuojama taip: x a,p = P. x a = P h/. (4.9) 4.5. Tiesioginių matavimų sisteminės paklaidos Sisteminės paklaidos nuo atsitiktinių skiriasi tuo, kad jas sąlygoja pastovūs veiksniai, ir, kartojant matavimus,gauname pastovius parodymus. Galime pažymėti tris pagrindines sisteminių paklaidų rūšis: 1) Pataisos. Šių paklaidų buvimas yra žinomas, ir jos apskaičiuojamos kaip pataisa. Pvz., mikrometro atskaitymo žymė nesutampa su nuline padėtimi. ) Instrumentinės paklaidos. Tai matavimo prietaisų paklaidos, nusakomos tikslumo klase ( redukuotoji paklaida). Jeigu 0,5 tikslumo klasės voltmetro skalės matavimo riba U m =150 V, tai didžiausia įtampos matavimų sisteminė paklaida U s gali būti įvertinta iš (.7) formulės: 1
γ r Um U S =, 100 U S = 0,75 V. Matavimo prietaisų tikslumo klasė yra nuo 0,5 ik 4. Mažesnė tikslumo klasė yra nežymima. Laboratorinių svirtinių svarstyklių paklaidos didžiausia galima vertė (didžiausias jautris) lygi mažiausio svarelio masei. Sekundometro, milimetrinės liniuotės, termometro tikslumas nenurodomas, nes šiems prietaisams atsitiktinė atskaitymo paklaida x a yra žymiai didesnė už prietaiso sisteminę paklaidą x s ir, įvertindami pilnutinę matavimo paklaidą, ją atmetame. Matavimo prietaisų paklaidos dažniausiai įvertinamos kaip atsitiktinės, nurodant jos didžiausią vertę x s. Kadangi didžiausia galima paklaidos vertė x s = 3 S x, tai S x = ( x s )/ 3. (4.30) Pasirinktai pasikliaujamajai tikimybei P prietaiso paklaida (pasikliaujamasis intervalas) apskaičiuojamas taip: x s,p = t,p S x = t,p ( x s )/ 3. (4.31) Čia koeficientas t,p randamas iš Stjudento koeficientų lentelės ( 1 lentelė prieduose). Jei P= 0,95, t,p =,0. 3) Paklaidos, atsirandančios dėl matuojamojo objekto nekokybiškumo. Tokios paklaidos atsiranda, pavyzdžiui, matuojant medžiagos tankį bandinio, kuriame yra tuštumų, kitų medžiagų priemaišų, defektų ir pan. 4.6. Tiesioginių matavimų pilnutinė paklaida Tiesioginių matavimų paklaida susideda iš: 1) sisteminės prietaiso paklaidos x s,p ; ) atsitiktinės atskaitymo paklaidos x a,p ; 3) atsitiktinės matavimų paklaidos x n,p. Pilnutinė matavimo paklaida apskaičiuojama taip: ( ) ( ) ( ) P s,p a,p n,p x = x + x + x. (4.3) Ši formulė galioja ir didžiausiai matavimo paklaidai, ir pasikliaujamajam intervalui apskaičiuoti. Pastaruoju atveju visų sudedamųjų intervalų pasikliaujamosios tikimybės turi būti vienodos. Tuomet pilnutinės paklaidos x pasikliaujamoji tikimybė bus tokia pat kaip ir sudedamųjų. Jeigu atsitiktinė matavimų paklaida yra kelis kartus ( du ir daugiau kartų) mažesnė už atskaitymo ir sisteminę prietaiso paklaidą, nėra tikslinga atlikti daug matavimų ir ieškoti aritmetinio vidurkio, nes tai nepagerins matavimo rezultato. Dėl to, prieš pradedant matavimus, reikia nustatyti atskaitymo paklaidos x a (4.4.5. skyrius) ir sisteminės paklaidos x s (4.5. skyrius) dydį ir, atlikus 4-5 matavimus, palyginti paklaidų didumą. Jeigu matavimų duomenų skirtumas yra du ar daugiau kartų mažesnis už atskaitymo ir sistemines paklaidas, galima apsiriboti vienkartiniu matavimu, neatsižvelgiant į atsitiktines paklaidas. Tuomet matavimo pilnutinė paklaida
( ) ( ) P s,p a,p x = x + x. (4.33) Jeigu matavimų duomenų skirtumas yra artimas paklaidų x a ir x s didumui ar jas viršija, atsitiktinės matavimų paklaidos yra lygiavertės ar vyrauja. Tokiu atveju daugkartiniai matavimai būtini; apskaičiuojamas aritmetinis vidurkis, pasikliaujamasis intervalas ir pilnutinė paklaida (4.3). Paklaidos skaitinė vertė yra apytikslis skaičius. Jo pirmasis reikšminis skaitmuo yra tikslus, antrasis - abejotinas, o kiti netikslūs, ir nėra prasmės juos rašyti. Užrašant matavimo paklaidą, reikia apsiriboti dviem reikšminiais skaitmenimis, jei santykinė paklaida iki 10%, ir vienu reikšminiu skaitmeniu, jei santykinė paklaida didesnė už 10%. Matavimo aritmetinis vidurkis ir pilnutinė paklaida užrašomi taip, kad paskutinieji skaitmenys būtų to paties skyriaus, pvz., (,1 ± 0,01 ) s arba (5,3 ± 0,1) s. Žemiau pateikiame tiesioginių matavimų paklaidos įvertinimo pavyzdį. Pavyzdys. Matuojamas bandinio ilgis l. Matuojama slankmačiu, kurio tikslumas (prietaiso sisteminė paklaida) l s = 0,05 mm. Didžiausia atskaitymo atsitiktinė paklaida (4.8) l a = 0,05 mm. tlikę 5 matavimus gauname vertes, kurios skiriasi viena nuo kitos ±(0,05-0,10 ) mm. Todėl turime atlikti daugkartinius matavimus, skaičiuoti atsitiktinę matavimų paklaidą (4.5), o po to ir pilnutinę paklaidą (4.3). Tegu buvo atlikta 10 matavimų; matavimų ir skaičiavimų duomenis patogu surašyti į lentelę ( 4. lentelė). Eil. Nr. 4. lentelė. Bandinio ilgio matavimų duomenys l i, mm l i, mm ( l i ), mm 1,5 +0,07 0,0049,0 +0,00 0,0004 3,0 +0,0 0,0004 4,5 +0,07 0,0049 5,10-0,08 0,0064 6,0 +0,0 0,0004 7,15-0,03 0,0009 8,30 +0,1 0,0144 9,10-0,08 0,0064 10,05-0,13 0,0169 l =,18 n ( l i ) = 0 ( ) 1. pskaičiuojame aritmetinį vidurkį (4. lentelė): i=1 n l i = i=1 0, 057 3
suma l =,18 mm..pskaičiuojame atsitiktinius nuokrypius l i = l i - l ir jų kvadratus ( l i ) (4. lentelė). 3. Patikriname atsitiktinių nuokrypių sklaidos simetriškumą. Jeigu n ( ) l i 0, i=1 matavimo duomenų l i sklaida aritmetinio vidurkio l atžvilgiu simetriška. Priešingu atveju reikia padidinti matavimų skaičių. 4. pskaičiuojame vidutinę kvadratinę paklaidą S: S = ( ) l i n -1 0, 057 S = = 0,084 mm. 9 5. Patikriname, ar nepadaryta stambių klaidų. Pasitaiko, kad vienas ar keli matavimo duomenys labai skiriasi nuo kitų: padaromos stambios atsitiktinės paklaidos, nebūdingos kitiems matavimo duomenims. Tokius duomenis reikia atmesti. tmestini yra tie matavimų duomenys, kurių nuokrypiai nuo vidurkio l i 3 S. Po atmetimo skaičiuojamas naujas aritmetinis vidurkis ir aritmetinio vidurkio vidutinė kvadratinė paklaida S l. Tuo būdu, skaičiuojame didžiausią tiesioginių matavimų paklaidą l m = 3 S; l m = 3 0,084 =0,5 mm. Gautą vertę palyginę su l i vertėmis 4. lentelėje, matome, kad matavimuose stambių paklaidų nepadaryta. 6. pskaičiuojame aritmetinio vidurkio vidutinę kvadratinę paklaidą: S l = S/ n = 0,084 / 10 = 0,06 mm. 7. pskaičiuojame atsitiktinę matavimo paklaidą ( pasikliaujamąjį intervalą) (4.5). Matavimų skaičiui n = 10, tikimybė P= 0,95, Stjudento koeficientas t n,p =,3 ( 1 lentelė prieduose). Tada l P =,3 0,06 = 0,060 mm. 8. pskaičiuojame atsitiktinę atskaitymo paklaidą pasikliaujamajai tikimybei P =0.95 (4.9): l a,p =0,95 0,05 = 0,04 mm. 9. pskaičiuojame sisteminę prietaiso paklaidą pasikliaujamajai tikimybei P=0,95 (4.3): l s,p =,0 0,05 / 3 = 0,033 mm. 10. pskaičiuojame pilnutinę matavimų paklaidą (4.33): ; 4
l = 0, 060 + 0, 033 + 0, 04 0,073 mm. Tuo būdu, išmatuotas bandinio ilgis ( su tikimybe 0,95) l = (,18 ± 0,07 ) mm, P = 0,95. Santykinė matavimo paklaida l/l= 0,07 /,18 0,004; ε= 0,4 %. 11. Didžiausia matavimo paklaida ( ) ( ) ( ) l = 3S + ls + la ; l ( ) ( ) ( ) l = 3 0,06 + 0,05 + 0,05 0,09 mm. Bandinio ilgis (su didžiausia matavimo paklaida) l =(,18 ± 0,09)mm. 4.7. Netiesioginių matavimų paklaidos Tais atvejais, kai fizikinio dydžio negalima išmatuoti tiesiogiai, naudojami netiesioginiai matavimai. Tegu fizikinis dydis z yra tiesiogiai matuojamų dydžių a, b... funkcija: z= f(a,b,...). (4.34) Netiesiogiai išmatuoto dydžio z paklaida priklauso nuo tiesiogiai išmatuotų dydžių (a,b,...) paklaidų. Kiekvieno tiesiogiai matuojamo dydžio įtaka z tikslumui priklauso nuo jų funkcinio ryšio. Pavyzdžiui, Jeigu cilindro tūrio formulėje V= πr H dydis R pakeltas kvadratu, o H pirmuoju laipsniu, tai, esant tam pačiam matavimo tikslumui, H dydžio įtaka V tūrio paklaidai bus mažesnė už R dydžio. Kad nustatytume kaip atskirų matavimų paklaidos įtakoja galutiniam rezultatui, įrodysime keletą teoremų. 1 teorema: Sumos absoliutinė paklaida lygi dėmenų absoliutinių paklaidų sumai. Įrodymas. Tegu z = a + b (4.35) Išmatavus a ir b reikšmes, apskaičiuojame a ir b vidurkius. Kad apskaičiuotume sumos vidurkį, reikia į (1) formulę įrašyti vidutines a ir b vertes, t.y. z = a + b (4.36) Be to, a = a ± a; b = b ± b; z = z ± z. Įrašę šias reikšmes į (1), gauname: z ± z = a ± a + b ± b. (4.37) Iš (3) atėmę (), turime: ± z = ± a ± b. Kadangi neaišku į kurią pusę padaryta paklaida a ir b, tai ženklai parenkami taip, kad absoliutinė paklaida z būtų didžiausia: z = a + b (4.38) 5
Ši taisyklė tinka, išvedant visas paklaidų formules. teorema : Skirtumo absoliutinė paklaida lygi absoliutinių paklaidų sumai. Ši teorema įrodoma analogiškai. bi teoremos taikomos, esant bet kokiam dėmenų skaičiui. 3 teorema: Dviejų dauginamųjų sandaugos absoliutinė paklaida lygi: z = ( a b) = a b + b a. (4.39) Įrodymas. Tegu z= a b ir z = a b. (4.40) Tada z ± z =( a ± a)( b ± b) = a b ± a b ± b a ± a b. (4.41) tmetę a b narį, kaip antros eilės mažą dydį, gauname: z ± z = a b ± ( a b + b a). (4.4) Iš (4.4) atėmę (4.40), turime: z = a b ± b a. Tai ir reikėjo įrodyti. 3 teoremą galima apibendrinti n daugikliams: jei z = a 1 a... a n, (4.43) z = a a 3... a n a 1 + a 1 a 3...a n a +... + a 1 a... a n-1 a n. (4.44) Iš 3 teoremos išvedama laipsnio absoliutinė paklaida. Tegu z = a n. (4.45) Tuomet z= n a n-1 a. (4.46) 4 teorema: Santykio absoliutinė paklaida yra lygi: a b a + a b z = = b b. (4.47) Įrodymas. Tegu z = a/b = a b -1. Iš 3 teoremos žinome,kad z = [a(b) -1 ] = a (b -1 ) + b -1 a. (4.48) Be to (b -1 ) = -1 b - b. (4.49) (4.49) įrašę į (4.48) ir pritaikę ženklų taisyklę, gauname a z = = b a + a b b b. Iš šių teoremų galima daryti išvadą, kad netiesioginių matavimų absoliutinės paklaidos gaunamos taip: duotoji išraiška z = f(a,b,... ) diferencijuojama ( kintamieji - tiesiogiai išmatuoti dydžiai a, b,... ); diferencialo ženklas pakeičiamas paklaidos ženklu ; nariai su a, b,... atitinkamai grupuojami ir rašomos jų absoliutinės vertės. 6
f(a, b,...) f(a, b,...) zmax = a + b +.... a b Pavyzdžiai. (4.50) 1. V =a b c; dv = (b c)da + (a c)db + (a b)dc; V = b c a + a c b +a b c.. V = πr H; dv = πr H dr + πr dh; V = πr H R + πr H. 3. T = π l ; g d dg dt = l l π - l g g l ; g g π l T = l + g. l g g g Įvertinant netiesiogiai išmatuoto dydžio z paklaidą, dažnai patogiau iš pradžių apskaičiuoti šio dydžio santykinę paklaidą ε, o po to absoliutinę z. Pagal apibrėžimą santykinė paklaida lygi: ε = z / z. Be to d(ln z) = dz /z (4.51) arba (ln z ) = z / z. (4.5) Matome, kad rezultato santykinę paklaidą galima nustatyti taip: funkcija z=f(a,b,...) išlogaritmuojama natūriniu pagrindu; gauta išraiška diferencijuojama ( kintamieji - tiesiogiai išmatuoti dydžiai a, b,... ); diferencialo ženklas pakeičiamas paklaidos ženklu ; nariai su a, b,... atitinkamai grupuojami ir rašomos jų absoliutinės vertės. ε max = zmax 1 f(a,b,...) 1 f(a, b,...) = a + z f(a, b,...) a f(a, b,...) b b+.... (4.53) z max = ε max z. (4.54) 7
Pavyzdžiai: 1. Q = U R t ; ln Q = ln U + ln t - ln R; Q Q = U U + R R + t t. g = 4 π l ; T. ln g = ln 4 + ln π + ln l - ln T; g π l T = + + g π l T. 3. x = a - a ; a + b ln x = ln (a - dx x = = d(a - a a - a da a - a - a ) - ln (a + b); ) d (a + b) - = a + b da a a - a - a da db a + b a + b. x x = 1 a - a - 1 a a -1 - a a + b ( ) a + + b. a + b Tokiu būdu, gavome maksimalią santykinę ε max ir absoliutinę z max paklaidą. Tai tokia didžiausia netiesiogiai matuojama dydžio z paklaida, kuri būtų, jei visų tiesiogiai matuojamų dydžių paklaidos keistų z vertę į tą pačią pusę. Taip apskaičiuota dydžio z paklaida yra didesnė už realią, nes tikimybė, kad visų išmatuotų dydžių paklaidos bus tokio ženklo, jog rezultato paklaida būtų didžiausia, yra tuo mažesnė, kuo didesnis tiesiogiai matuojamųjų dydžių skaičius. Kai tiesioginiais matavimais nustatomas dydžių pasikliaujamasis intervalas su tam tikra tikimybe P, absoliutinė ir santykinė netiesioginio matavimo paklaida apskaičiuojama tiksliau ( su ta pačia tikimybe P ).Tuo atveju maksimalios paklaidos atskiri nariai pakeliami kvadratu ir iš gautos išraiškos ištraukiama kvadratinė šaknis. f(a, b,...) f(a, b,...) z = a + b... a + ; (4.55) b 8
ε =. 1 f(a,b,...) 1 a + f(a, b,... a f(a,b,... f(a, b,... b b +.... (4.56) Pavyzdys. γ = h h - h 1 ; ln γ = ln h - ln( h- h 1 ); d γ h h h1 = - + ; γ h h - h1 h - h1 ε max = γ 1 1 = - h + γ h h - h 1 h1 h - h 1 ; ε = 1 1 h h - h1 h1 h + h - h1. γ = γ 1 1 h h - h1 h1 h + h - h1. Netiesiogiai matuojamo dydžio z, kuris yra tiesiogiai matuojamo dydžio x funkcija z =f (x), paklaidą galime išreikšti per jo neapibrėžties intervalą pagal formulę: z =1/ [z(x+ x) - z(x- x)]. (4.57) Šiuo būdu galima apskaičiuoti trigonometrinių ir kitų elementariųjų funkcijų paklaidas. Pavyzdys. Lūžio rodiklis n = sin α sin β. 1. Eksperimentiškai išmatavus, gautos tokios α ir β vertės: α = 45 ± ; P= 0,95. β = 6 ± ; P= 0,95.. pskaičiuojamas vidutinis lūžio rodiklis: o sin 45 n = o sin 6 = 1,61. 3. Įvertinama n paklaida: n = n sin α β + sin α sin sin β. 9
sin α ir sin β galima apskaičiuoti dviem būdais: a) per neapibrėžties intervalą pagal (4.57) formulę: ( ) ( ) sin α + α - sin α - sin α = α ; o o sin 47 - sin 43 sin α = = 0,05. o o sin 8 - sin 4 sin β = = 0,031. b) funkciją diferencijuojant ( žr. 4.3 lentelę): sin α = cos α α; sin α = cos 45 0,0175 = 0,05. sin β = cos 6 0,0175 = 0,031. Reikia nepamiršti, kad čia α išreikšta radianais, t.y. = 0,0175 rad. Tuomet n = 1,61 0, 05 0, 031 + 0, 707 =0,13, P = 0,95. 0, 438 4. Užrašome galutinį rezultatą n = 1,6 ± 0,1, P= 0,95. Netiesioginių matavimų kai kurios paklaidų įvertinimo formulės pateiktos 4.3 ir 4.4 lentelėse. Eil. Nr. 1.. 4.3. lentelė. Netiesioginių matavimų paklaidos. Vieno kintamojo funkcija. Funkcija bsoliutinė paklaida Santykinė paklaida n n n n n n-1 n 1 n - 1 3. 1 n 4. sin (cos ) (ctg ) 5. cos (sin ) (tg ) 1 n 30
tg 6. cos sin ctg 7. sin sin ln 8. ln 9. e e 4.4. lentelė. Netiesioginių matavimų paklaidos. Kelių kintamųjų funkcija. Didžiausia paklaida Vidutinė kvadratinė paklaida Eil. Nr. Funkc ija bsoliutinė Santykinė bsoliutinė Santykinė 1. ± B + B + B σ + σ B σ + σ B ± B ± B. B B+B + B B 3. /B B + B B + B B σ B σ B + B σ σ B + B σ + σ σ 4 B B B + B 4. n B m....c k - n m + B +... B + k C C - σ n + k B σ C C + m σ +... B 31