z a R 3 (με R 3 > R 3 ); 2R P O a

: Θέμα o από εξέταση της 9/9/: Κύβος από διηεκτρικό υικό κατααμβάνει τον όγκο x, y, z και φέρει μόνιμη πόωση P k r kxˆx + yŷ + zẑ). α) Βρείτε τα χωρικά και επιφανειακά δέσμια φορτία. β) Ποια η συνοική διποική ροπή του κύβου; Ο υποογισμός μπορεί να γίνει μέσω του ορισμού της πόωσης.) γ) Ποιο το ηεκτρικό πεδίο στο σημείο r ẑ; : Θέμα o από εξέταση της 4/5/: Μια πάκα απείρων διαστάσεων και πάχους έχει επιφάνειες τα επίπεδα z και z. Η πάκα αποτεείται από διηεκτρικό υικό και έχει αποκτήσει μόνιμη πόωση P z P ẑ. α) Ποια τα χωρικά και επιφανειακά δέσμια φορτία; z O β) Αφού δείξετε ότι το πεδίο D είναι μηδέν παντού, βρείτε το πεδίο E που δημιουργεί η πάκα. γ) Ποια η διαφορά δυναμικού μεταξύ των δυο επιφανειών της πάκας z και z ; : Πρόβημα 4. από Griffiths: Μία σφαίρα ακτίνας R φέρει μία πόωση P r) k r, όπου k είναι μία σταθερά και r είναι το διάνυσμα με αρχή το κέντρο της σφαίρας. α) Υποογίστε τα δέσμια φορτία σ b και ρ b. β) Βρείτε το πεδίο μέσα και έξω από τη σφαίρα. γ) Επαναάβατε αν η πόωση γράφεται σε σφαιρικές συντεταγμένες συστήματος με αρχή το κέντρο της σφαίρας P σ [ r cos θ ) ˆr sin θ cos θ R ˆθ ], όπου σ σταθερά. Δίνεται P x) x ). δ) Βρείτε το πεδίο D και στις δύο προηγούμενες περιπτώσεις. 4 : Θέμα o από εξέταση της 7/9/: P P P α b P P x Ο σφαιρικός πυκνωτής του σχήματος με οπισμούς ακτίνων και b) είναι γεμάτος με μη γραμμικό διηεκτρικό στο χώρο < r < b). Το διηεκτρικό έχει αποκτήσει μια μόνιμη πόωση P k r ˆr. α) Υποογίστε τα φορτία πόωσης ρ b και σ b ). β) Οι οπισμοί του πυκνωτή βραχυκυκώνονται κάτι που σημαίνει ότι θα υπάρξει μετακίνηση φορτίου μεταξύ των οπισμών ώστε να αποκτήσουν ίδιο δυναμικό. Να υποογιστεί το φορτίο του εσωτερικού οπισμού από την απαίτηση V V b. Υπόδειξη: D ˆr για < r < b. 4πr γ) Να βρεθεί η ένταση του ηεκτρικού πεδίου μέσα στο διηεκτρικό. 5 : Θέμα o από εξέταση της 7/7/9: Σφαιρικός αγωγός ακτίνας R φέρει φορτίο +. Ο αγωγός περιβάεται μέχρι την ακτίνα R από ένα σφαιρικό στρώμα γραμμικού διηεκτρικού επιδεκτικότητας χ, ενώ σε ακτίνα R μεγαύτερη της R ) υπάρχει αγώγιμος σφαιρικός φοιός απειροστού πάχους, φορτισμένος με φορτίο. α) Ποια τα πεδία D και E σε όο το χώρο; β) Πόση ενέργεια πρέπει να δώσουμε για να αάξουμε την ακτίνα του εξωτερικού φοιού από R σε R με R > R ); 6 : Θέμα o από εξέταση της 5/5/: Κυινδρικό κέυφος απείρου μήκους, εσωτερικής ακτίνας α και εξωτερικής ακτίνας β αποτεείται από γραμμικό διηεκτρικό υικό με σταθερά ηεκτρική διαπερατότητα ε. Στον άξονα του κεύφους τοποθετούμε γραμμική κατανομή φορτίου με γραμμική πυκνότητα. Να βρεθούν τα πεδία D, E και P σε όο το χώρο. 7 : Θέμα o από εξέταση της 8/9/8: Δυο αγώγιμες ομόκεντρες σφαιρικές επιφάνειες έχουν ακτίνες και b με < b). Ο χώρος μεταξύ τους είναι γεμάτος με ανομοιογενές διηεκτρικό διηεκτρικής σταθεράς ɛ ɛ r, όπου ɛ η διηεκτρική σταθερά του κενού, θετική σταθερά μικρότερη από /b) και r η ακτίνα από το κέντρο. Η εσωτερική επιφάνεια φορτίζεται με φορτίο ενώ η εξωτερική επιφάνεια γειώνεται. α) Ποια τα πεδία D, E και P στο χώρο < r < b; β) Ποια η επιφανειακή πυκνότητα του φορτίου πόωσης στα r και r b; γ) Ποια η χωρική πυκνότητα του φορτίου πόωσης στο χώρο < r < b; δ) Ποια η χωρητικότητα του συστήματος; Νεκτάριος Βαχάκης, //5

8 : Θέμα o από εξέταση της //: Δύο ημιάπειρα γραμμικά διηεκτρικά με διαπερατότητες ε, ε, καύπτουν τους χώρους z > και z <, αντίστοιχα. Σε σημείο της διαχωριστικής επιφάνειας τοποθετείται σημειακό φορτίο q. Να βρεθούν το δυναμικό V και τα πεδία E, D, P σε όο το χώρο. z ε ϖ < R; Ο χώρος για < ϖ < R είναι κενός.) Ποιο το δυναμικό στον υπόοιπο χώρο ϖ > R; β) Ποια η επιφανειακή πυκνότητα φορτίων στο κέυφος; γ) Γεμίζουμε το μισό του εσωτερικού του κεύφους με γραμμικό διηεκτρικό διαπερατότητας ε, όπως στο σχήμα. q ε ε Δίνεται ότι το δυναμικό είναι της μορφής V b r. Προσδιορίστε το b από το νόμο ροής του D. 9 : Θέμα o από εξέταση της 8/9/9: Σφαιρικός πυκνωτής ακτίνων R και R R < R ) γεμίζει με γραμμικό διηεκτρικό σταθεράς εθ) ε + cos θ). Ο εσωτερικός οπισμός φορτίζεται με φορτίο + και ο εξωτερικός γειώνεται. α) Γνωρίζοντας ότι δεν υπάρχουν χωρικά φορτία πόωσης και άρα το δυναμικό είναι της μορφής V r, θ) l A l r l + B l r l+ ) P l cos θ), δείξτε ότι V V R R r) r R R ) στο χώρο R r R. β) Υποογίστε τα μεγέθη E, D, P στο χώρο μεταξύ των οπισμών. γ) Οοκηρώνοντας την πυκνότητα εεύθερου φορτίου σ f θ) του εσωτερικού οπισμού προσδιορίστε τη σταθερά V συναρτήσει του, καθώς και τη χωρητικότητα του πυκνωτή. : Θέμα o από εξέταση της 9/6/: Αγώγιμο κυινδρικό κέυφος απείρου μήκους και εσωτερικής ακτίνας R είναι γειωμένο. Στον άξονά του τοποθετούμε γραμμικό φορτίο απείρου μήκους) πυκνότητας. α) Ποιο το δυναμικό στο εσωτερικό του κεύφους ε Δείξτε ότι το δυναμικό στην περιοχή ϖ < R είναι τώρα V π ε + ε ) ln ϖ R. Ποια είναι τώρα τα εεύθερα φορτία στο κέυφος; : Θέμα o από εξέταση της 4/9/7: Ο χώρος μεταξύ δύο παράηων αγώγιμων δίσκων ακτίνας R, που απέχουν απόσταση d R, είναι γεμάτος με μη-ομογενές διηεκτρικό. Η ηεκτρική διαπερατότητα του υικού είναι συνάρτηση της απόστασης από το κέντρο ɛr) ɛ + ɛ ɛ ) r/r. Υποογίστε την χωρητικότητα. : Αγνοώντας τα περαττωτικά πεδία βρείτε τα πεδία E και D στο εσωτερικό του παρακάτω πυκνωτή, για τον οποίο d. Το εμβαδόν των πακών είναι A. Ποια η χωρητικότητα του πυκνωτή; V / / ε r V d/ d/ Νεκτάριος Βαχάκης, //5

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Καρτεσιανές x, y, z) Κυινδρικές ϖ, φ, z) Σφαιρικές r, θ, φ) x ϖ cos φ x r sin θ cos φ y ϖ sin φ y r sin θ sin φ z z z r cos θ v v xˆx + v y ŷ + v z ẑ v ϖ ˆϖ + v φ ˆφ + vz ẑ v rˆr + v θ ˆθ + vφ ˆφ f f f ˆx + x y ŷ + f z ẑ f ϖ ˆϖ + f ϖ φ ˆφ + f z ẑ f r ˆr + f r θ ˆθ + f r sin θ φ ˆφ v x v x + v y y + v z ϖv ϖ ) z ϖ ϖ + v φ ϖ φ + v ) z r v r z r + v θ sin θ) + r r sin θ θ r sin θ vz y v ) y v z ˆx+ z vx v z v ) ϖ φ v ) [ φ vφ sin θ) ˆϖ+ v ] θ ˆr+ z z vϖ ŷ+ x vy x v ) z v ) r sin[ θ θ φ z v r ˆφ+ [ ϖ x ϖvφ ) ẑ y ϖ ϖ v ] r sin θ φ rv ] φ) ˆθ+ [ r ϖ rvθ ) ẑ v ] r ˆφ φ r r θ f f x + f y + f z ϖ f ) + f ϖ ϖ ϖ ϖ φ + f z r r f ) + r r r sin θ f ) + sin θ θ θ d l dxˆx + dyŷ + dzẑ dϖ ˆϖ + ϖdφ ˆφ + dzẑ drˆr + rdθˆθ + r sin θdφ ˆφ d dydzˆx + dxdzŷ + dxdyẑ ϖdφdz ˆϖ + dϖdz ˆφ + ϖdϖdφẑ r sin θdθdφˆr + r sin θdrdφˆθ + rdrdθ ˆφ dτ dxdydz ϖdϖdφdz r sin θdrdθdφ v φ φ f r sin θ φ Νεκτάριος Βαχάκης, //5

: α) ρ b P P x x ˆx P x y ŷ P x z ẑ k στο εσωτερικό του κύβου και σ b P ˆn σε κάθε έδρα, συγκεκριμένα σ x P x ˆx) k στην έδρα x, σ x+ P x ˆx k στην έδρα x, σ y P y ŷ) k στην έδρα y, σ y+ P y ŷ k στην έδρα y, σ z P z ẑ) στην έδρα z και σ z+ P z ẑ k στην έδρα z. Το οικό επιφανειακό δέσμιο φορτίο είναι 4 k ) + k ) 4k, αντίθετο του φορτίου όγκου k ) 4k, όπως αναμέναμε. β) Η συνοική διποική ροπή είναι p P dτ x y z kxˆx + yŷ + zẑ)dxdydz. Οι ˆx και ŷ συνιστώσες μηδενίζονται όπως αναμέναμε από τη συμμετρία της κατανομής) ενώ η ẑ συνιστώσα δίνει [ ] z p k [x] [y] ẑ 8k 4 ẑ. Θα μπορούσαμε να βρούμε την διποική ροπή μέσω της σχέσης p r dq αθροίζοντας τις συνεισφορές τόσο στις έδρες, όσο και στον όγκο του κύβου. Λόγω της συμμετρίας είναι p pẑ με p z dq. Η συνεισφορά από την έδρα x είναι zσd σ x+ z dz dy 4k 4. Ιδια είναι η συνεισφορά από κάθε μία από τις έδρες x, y ±. Από την έδρα z δεν υπάρχει συνεισφορά, ενώ από την z είναι σ z+ d 6k 4. Τέος η συνεισφορά από το χωρικό φορτίο είναι zρ b dτ k dx dy z dz 4k 4. Αθροίζοντας τις συνεισφορές προκύπτει p 8k 4 ẑ. ΛΥΣΕΙΣ: Λόγω του ότι το συνοικό φορτίο της κατανομής είναι μηδέν η διποική ροπή δεν εξαρτάται από το σύστημα συντεταγμένων, επομένως ο υποογισμός θα μπορούσε να γίνει ευκοότερα στο σύστημα αναφοράς με κέντρο το κέντρο του κύβου, δη. στο σύστημα x y z με x x, y y, z z. Στο σύστημα αυτό P kx ˆx + ky ŷ + kz + )ẑ. Η χωρική ρ b k και οι επιφανειακές πυκνότητες k στις έδρες x ±, y ± όγω συμμετρίας δεν συνεισφέρουν στην συνοική διποική ροπή για κάθε φορτίο dq στη θέση r υπάρχει ίσο φορτίο σε αντίθετη θέση r ). Η έδρα z επίσης δεν συνεισφέρει διότι σ αυτήν δεν υπάρχει επιφανειακό φορτίο. Μένει μόνο η έδρα z με σ b k, η οποία δίνει p pẑ όγω συμμετρίας) με p zσ b dx dy k) ) 8k 4. γ) Το ηεκτρικό πεδίο στο σημείο r ẑ είναι με καή ακρίβεια πεδίο διπόου αφού η απόσταση είναι πού μεγαύτερη των διαστάσεων της κατανομής, r ). Ετσι E p ˆr)ˆr p 6 k 4 ẑ. 4πε r πε : α) ρ b P z P στο εσωτερικό της πάκας και σ b P z± ±ẑ) ±P στην πάνω και κάτω επιφάνεια αντίστοιχα. β) Λόγω συμμετρίας η ηεκτρική μετατόπιση είναι D Dz)ẑ. Από το διαφορικό νόμο Guss D ddz) προκύπτει D σταθε- dz ρό σε όο το χώρο. Σε μεγάες αποστάσεις από την πάκα z ± ) η πάκα φαίνεται σαν ένα φύο με μηδενικό φορτίο, γιατί το συνοικό δέσμιο φορτίο είναι πάντα μηδέν. Άρα το ηεκτρικό πεδίο μηδενίζεται και το πεδίο D ομοίως αφού έξω από την πάκα D ε E). Αφού όπως έχουμε δείξει το D είναι σταθερό, συμπεραίνουμε ότι είναι παντού D. Το ηεκτρικό πεδίο προκύπτει από D ε E + P P E. Δη. είναι P z E ẑ στο εσωτερικό ε ε της πάκας και E έξω. Θα μπορούσαμε να ύσουμε την διαφορική εξίσωση Guss E ρ b P ε ε z E P μέσα στην πάκα όπου de dz z + C, στο χώρο z > ε όπου de dz E C + και στο χώρο z < όπου de dz E C και να βρούμε τις σταθερές C, C ± από τις οριακές συνθήκες. Αφού η συνοική επιφανειακή πυκνότητα της πάκας είναι μηδενική το πεδίο μηδενίζεται σε μακρινές αποστάσεις. Άρα C ±. Η σταθερά C προκύπτει από E z + E z σ b z P ε ε P ε + C C. Το ίδιο προκύπτει από την αντίστοιχη οριακή στην επιφάνεια z.) γ) Η διαφορά δυναμικού είναι V z V z z P z E d r z ε dz P. ε : α) σ b [ P ˆn ]rr [k r ˆr] rr kr. ρ b P k r k xˆx+yŷ+zẑ) k. ) Νεκτάριος Βαχάκης, //5

Αιώς σε σφαιρικές συντεταγμένες ρ b P krˆr) r r r kr) k. β) Λόγω συμμετρίας D Dr)ˆr και από νόμο Guss βρίσκουμε D4πr D αφού δεν υπάρχουν εεύθερα φορτία. Από D ε E + P, με D βρίσκουμε E P ε k r ε, για r < R, για r > R Αιώς: Λόγω συμμετρίας E Er)ˆr και από νόμο Guss βρίσκουμε E4πr ρ b4πr /) ε k4πr /) E kr για r < R και E4πr ε ε ρ b 4πR / + σ b 4πR k4πr / + kr4πr ε ε E για r > R. Για r > R προέκυψε εγκ αφού το συνοικό δέσμιο φορτίο είναι μηδέν.) γ) σ b [ P ˆr ]rr σ cos θ σ P cos θ). ρ b P r P r ) P θ sin θ). r r r sin θ θ Φορτία υπάρχουν μόνο στη επιφάνεια r R, οπότε ισχύει η εξίσωση Lplce στις περιοχές r < R και r > R. Λόγω της μορφής της επιφανειακής πυκνότητας υποθέτουμε ύση της μορφής αφού διώξουμε τους όρους που απειρίζονται και υποθέσουμε V b στο άπειρο) V r P cos θ), r R r P cos θ), r R Η συνέχεια του δυναμικού για r R δίνει b R 5. Άρα E r rr ± V r b R P 4 cos θ) RP cos θ), r R + RP cos θ), r R E r rr + E r rr σ rr ± και σ b ε δεν υπάρχουν εεύθερα φορτία το πεδίο D δεν είναι μηδέν έχει βέβαια κειστές δυναμικές γραμμές αφού D ). Μετά τις πράξεις προκύπτει D σ R 4 [ cos θ ) ˆr + sin θ cos θ r ˆθ ], r > R σ 4 r [ cos θ ) ˆr sin θ cos θ R ˆθ ], r < R Παρατηρούμε ότι στην επιφάνεια r R η ˆr συνιστώσα είναι συνεχής αναμενόμενη συνέπεια της σ f ), ενώ η ˆθ συνιστώσα είναι ασυνεχής όγω της ασυνέχειας της εφαπτομενικής συνιστώσας της πόωσης είναι D θ rr + D θ rr P θ rr + P θ rr σ sin θ cos θ) σ sin θ cos θ). 4 : α) ρ b P r k ) k r r r r για < r < b. σ b P P r ˆr) k ˆn, για r P rb ˆr k b, για r b Το διηεκτρικό δημιουργεί πεδίο E δ P /ε k ε r ˆr, < r < b αού διότι D όπως εύκοα προκύπτει από νόμο Guss και τη σφαιρική συμμετρία της κατανομής). Ετσι το διηεκτρικό δεν ασκεί καμία δύναμη στα φορτία των αγώγιμων οπισμών. Η b διαφορά δυναμικού V δ V δb E δ dr k ln b ε θα μπορούσε να κινήσει φορτία μόνο αν αυτά βρίσκονταν στην περιοχή < r < b. Το βραχυκύκωμα προσφέρει αυτή τη «δίοδο», οπότε μόις οι οπισμοί βραχυκυκωθούν θα κινηθεί φορτίο από τον ένα στον άο οπισμό. Το φορτίο που θα μετακινηθεί μειώνει το συνοικό πεδίο και η μετακίνηση συνεχίζεται μέχρι η διαφορά δυναμικού να μηδενιστεί. β) Αν το φορτίο που αποκτά ο εσωτερικός οπισμός, ο νόμος Guss σε σφαιρικές επιφάνειες ακτίνων < r < b δίνει D4πr αφού 5ε R και b σ R 4. Τεικά V 5ε σ R 4 cos θ ), r R όγω συμμετρίας D Dr)ˆr). Άρα στην περιοχή < r < b είναι ε r σ r cos θ ) και E V D, r R 4πr ˆr και k P ˆr, οπότε r ε R D σ R 4 [ cos θ ) ˆr + sin θ cos θ ε r ˆθ ] E P, r > R ε 4πε r k ) ˆr. ε r 4 σ [ r cos θ ) ˆr sin θ cos θ 5ε R ˆθ ] Το ίδιο προκύπτει και από νόμο Guss σε σφαιρική επιφάνεια ακτίνας r με < r < b: Λόγω, r < R Αφού όες οι οριακές συνθήκες ικανοποιήθηκαν και συμμετρίας E Eˆr και E4πε r εγκ r η ύση είναι μοναδική, σωστά υποθέσαμε τη μορφή + ρ b 4πr dr + [σ b ] r 4π 4πkr. του δυναμικού.) b δ) Το πεδίο D ε E + P στην α) περίπτωση προκύπτει μηδέν ενώ στην β) προκύπτει μη μηδενικό. Πρέπει V V b E d r b Αυτό είναι ένα παράδειγμα κατανομής όπου παρότι 4πε r k ) dr ε r Νεκτάριος Βαχάκης, //5

[ 4πε r k ] b 4πk lnb/) ln r ε / /b. γ) Αντικατάσταση στην E 4πε r k ) ˆr ε r δίνει E k [ b lnb/) ε b )r ] ˆr για < r < b. r Το παραπάνω πεδίο έχει τη φορά του ˆr για < r < b ln b b b ln b και τη φορά του ˆr για b < r < b. Ετσι, αν υποτεθεί ότι ένα θετικό φορτίο κινείται από r σε r b, το παραπάνω πεδίο το επιταχύνει b ln b του δίνει ενέργεια) μέχρι την ακτίνα r b, στη συνέχεια το επιβραδύνει του παίρνει ενέργεια), αά το συνοικό έργο η συνοική ενέργεια που δίνει) είναι μηδέν. 5 : α) Λόγω συμμετρίας D Dr)ˆr. Από Guss, r < R D4πr f,εγκ D 4πr ˆr, R < r < R, r > R ου απείρων διαστάσεων φορτισμένου με σταθερή σ, δη. Eδ ε < r < R σ, οπότε σ, r < R ˆr, αν r R + D E ε 4πε + χ)r ˆr, R ˆr, αν r R ε 4πε r ˆr, R < r < R για το οικό πεδίο κοντά στην επιφάνεια του αγωγού είναι ε, r > R E rr + E άα + σ ˆr β) Α τρόπος: Η ενέργεια της κατανομής E rr E άα σ E άα ˆr για συγκεκριμένο R είναι W C με ε E rr + + E rr. Μάιστα για την περίπτωση C και V rr V rr V rr V rr αγωγού, στον οποίο το πεδίο είναι μηδέν στο εσωτερικό, προκύπτει ισοδύναμα E rr R R Edr R R 4πε + χ)r dr+ R R 4πε r dr + E άα + σ ˆr [ ε ) + ]. Αντικαθιστώντας W E άα + ) ˆr 4πε + χ R R R R ε 4πR E άα ˆr). 8πε R [ ) + Εμείς ασκούμε αντίθετη δύναμη E ]. δ δq της R 8πε + χ R R R R οποίας το έργο είναι δq ) dr Αφού αάξουμε την ακτίνα του εξωτερικού R 8πε R φοιού σε R η νέα ενέργεια θα είναι W [ ) + ] δq ). Αθροίζοντας πάνω σε όα 8πε R R. Επομένως 8πε + χ R R R R τα φορτία δq των οποίων το σύνοο αποτεεί το έχουμε δώσει ενέργεια W W ) φορτίο του εξωτερικού οπισμού) βρίσκουμε ότι 8πε R R δίνουμε ενέργεια ). θετική αφού R > R ). 8πε R R Β τρόπος: Η ενέργεια της κατανομής για συγκεκριμένο R είναι W dτ E D ED 4πr dr R R 8πε + χ)r dr + R [ R 8πε r dr ) + ]. 8πε + χ R R R R Ομοια με πριν υποογίζουμε την ενέργεια W W που δίνουμε. R Αιώς: W ED R W R 4πr dr R 8πε r dr διότι η θέση του φοιού δεν επηρεάζει τα πεδία στο εσωτερικό του καθορίζει μόνο από ποια ακτίνα και μετά δεν υπάρχει πεδίο). Γ τρόπος: Κάθε φορτίο δq στην επιφάνεια του εξωτερικού αγωγού κινείται ακτινικά από ακτίνα R σε ακτίνα R. Κατά την κίνηση αυτή δέχεται δύναμη E άα δq όπου E άα είναι ο μέσος όρος του πεδίου ίγο έξω και ίγο μέσα από την επιφάνεια του αγωγού, δη. Eάα ) ˆr + ˆr. 4πε R 8πε R Για να βρούμε το E άα στη θέση κάθε στοιχειώδους επιφάνειας δ, χωρίζουμε το ηεκτρικό πεδίο στο κομμάτι Eδ που δημιουργείται από το δ, και στο E άα. Το πεδίο E δ, σε σημεία ίγο πάνω και ίγο κάτω από το τμήμα δ για r R πού μικρότερα των διαστάσεών του) είναι πεδίο φύ- 6 : Λόγω συμμετρίας D Dϖ) ˆϖ σε κυινδρικές συντεταγμένες συστήματος με άξονα την γραμμική κατανομή φορτίου. Από νόμο Guss σε κυινδρική επιφάνεια ακτίνας ϖ και μήκους L βρίσκουμε Νεκτάριος Βαχάκης, //5

DπϖL L D D E ε πεϖ πε ϖ P ε ε ε ˆϖ σε όο το χώρο. πϖ ˆϖ, για α < ϖ < β ˆϖ, για ϖ < α και ϖ > β ε ε ˆϖ, για α < ϖ < β D ε πϖ, για ϖ < α και ϖ > β 7 : α) Λόγω συμμετρίας D Dr)ˆr και από νόμο Guss D4πr D ˆr για < r < 4πr b. Στο χώρο αυτό E D ε r) ˆr και 4πε r P ε ε D ε 4πr ˆr. β) Για r, σ b r P r ˆr) 4π, και για r b, σ b rb P rb ˆr γ) ρ b P r d dr Το οικό δέσμιο φορτίο είναι 4πb. r P ) 4πr. b ρ b 4πr dr + σ b r 4π + σ b rb 4πb όπως περιμέναμε. b δ) Η διαφορά δυναμικού είναι V V b Edr b 4πε r ) dr r 4πε b ln b ), 4πε οπότε C V V b b ln b. 8 : V b r, E b r ˆr, b D ε ˆr για z > και r b D ε ˆr για z <. r Το ότι το δυναμικό και το ηεκτρικό πεδίο είναι σφαιρικά συμμετρικά πηγάζει από την απαίτηση η εφαπτομενική συνιστώσα του ηεκτρικού πεδίου να είναι συνεχής στην διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ των δύο διηεκτρικών. Από D d q σε μια σφαίρα γύρω από το φορτίο q προκύπτει D d + D d q z> z< b b q ε r πr + ε r πr q b πε + ε ). Ετσι E q πε + ε )r ˆr, ε q D πε + ε )r ˆr για z > και D ε q ˆr για z <, πε + ε )r P ε ε ) E ε ε )q ˆr για z > και πε + ε )r P ε ε )q ˆr για z <. πε + ε )r A + B V ➀ 9 : α) V rr V R A l + B l R l+ για l ➁ A + B ➂ V rr R A l + B l R l+ για l ➃ R A V ➀,➂ R R R R B V R R ➁,➃ A l B l για l. Αιώς, οι ➀-➁ γράφονται συνεπτυγμένα A l + B l R l+ V δ l, οι ➂-➃ γράφονται A l + B l R l+ και η ύση του συστήματος A l V R R R δ l, B l V R R R R δ l. Αντικαθιστώντας στη γενική ύση προκύπτει V V R R r) R R )r. Αν δεν δινόταν ότι «δεν υπάρχουν χωρικά φορτία πόωσης» θα μπορούσαμε να εργαστούμε ως εξής: Ψάχνουμε ύση της ε V ) η οποία προκύπτει από D με D εe και E V ), με ε εθ), που να ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες V rr V αφού ο εσωτερικός οπισμός είναι αγωγός και άρα έχει σταθερό ) δυναμικό) και V rr. Είναι ε V dε V r dθ θ + ε V. Δοκιμάζοντας ύση V V r) προκύπτει η σφαιρικά συμμετρική ύση της εξίσωσης Lplce V A + B r, η οποία μπορεί να ικανοποιήσει τις οριακές συνθήκες αν A + B R V A V R A + B R R R R Σύμφωνα με το θεώρημα μοναδικότητας η ύση που προ- B V R R R R R r) κύπτει V V η οποία ικανοποιεί όες R R )r Νεκτάριος Βαχάκης, //5 τις οριακές συνθήκες οι οριακές που σχετίζονται με τις ˆr συνιστώσες των πεδίων D και E στις ακτίνες r και r b προσδιορίζουν τις επιφανειακές πυκνότητες εεύθερων και δέσμιων φορτίων) είναι η μοναδική ύση του προβήματος. β) E V dv dr ˆr V R R R R )r ˆr, D ε E ε V R R + cos θ) R R )r ˆr,

P D ε E ε V R R + cos θ) ˆr. R R )r γ) Για r < R είναι D εσωτερικό αγωγού), οπότε σ f rr D r rr + ε V R + cos θ). R R )R Το εεύθερο φορτίο είναι σ f rr d με d R sin θdθdφ, οπότε π π ε V R + cos θ) R sin θdθdφ θ φ R R )R π ε [ ] π V R R cos θ cos θ 8πε V R R R R R R V R R ) και C 8πε R R. 8πε R R V R R Η επιφανειακή πυκνότητα των δέσμιων φορτίων στην επιφάνεια r R είναι σ b rr P rr ˆr) ε V R + cos θ) και άρα η συνοική επιφανειακή πυκνότητα είναι σφαιρικά συμμετρική σ rr R R )R ε V R σ f rr + σ b rr, όπως άωστε R R )R προκύπτει και από την ασυνέχεια του ηεκτρικού πεδίου σ rr ε E r rr + ). Το ίδιο προκύπτει στην επιφάνεια r R, όπου σ f rr D r rr ε V R + cos θ), σ b rr R R )R P rr ˆr ε V R + cos θ), και σ rr R R )R σ f rr + σ b rr ε V R. Στο εσωτερικό R R )R του διηεκτρικού δεν υπάρχουν δέσμια φορτία, αφού ρ b P ) r P r r. Ετσι η κατανομή των φορτίων που δημιουργούν το ηεκτρικό r πεδίο είναι σφαιρικά συμμετρική παρότι οι επιμέρους κατανομές των εεύθερων και δέσμιων φορτίων δεν είναι σφαιρικά συμμετρικές) και αυτό συμφωνεί με το ότι και το E είναι σφαιρικά συμμετρικό. οπότε E V b ϖ ˆϖ. Η απαίτηση να είναι V rr δίνει b ln R. Ο νόμος Guss σε κυινδρική επιφάνεια γύρω από τον άξονα δίνει EπϖL L/ε b. πε Στο χώρο ϖ > R η προφανής ύση της εξίσωσης Lplce είναι η μηδενική μηδενίζονται και τα E, D). β) Από την οριακή σ ε ˆϖ E ϖr + E ϖr ˆϖ προκύπτει επιφανειακή πυκνότητα φορτίων σ στο πε R κέυφος. πr γ) Το δυναμικό και το ηεκτρικό πεδίο εξαρτώνται μόνο από την κυινδρική απόσταση, δη. V V ϖ) και E Eϖ) ˆϖ, ώστε να είναι συνεχής τόσο η εφαπτομενική συνιστώσα του E όσο και η κάθετη συνιστώσα του D η οποία είναι μηδέν) στην διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ διηεκτρικού κενού. Αφού δεν υπάρχουν φορτία χώρου ούτε μέσα στο διηεκτρικό αφού ρ b P ε ε ε D ε ε ρ f ε ) το δυναμικό δίνεται από την αξισυμμετρική ύση της Lplce V + b ln ϖ. Η απαίτηση να είναι V rr δίνει b ln R, δη. V b ln ϖ R. Είναι E V b ϖ ˆϖ, D b ε ˆϖ στο ϖ κενό και D b ε ˆϖ στο διηεκτρικό. ϖ Ο νόμος Guss D d f,εγκ σε κυινδρική κειστή επιφάνεια με άξονα την γραμμική κατανομή φορτίου, ακτίνα ϖ < R και μήκος L δίνει b ) ε πϖl + ϖ b ) ε πϖl L b ϖ π ε + ε ). Άρα V για ϖ < R και μηδέν για ϖ > R). π ε + ε ) ln ϖ R Το ηεκτρικό πεδίο είναι E ˆϖ, και η π ε + ε ) ϖ : α) Λόγω συμμετρίας D Dϖ) ˆϖ. Ο νόμος ηεκτρική μετατόπιση είναι ε D ˆϖ στο π ε + ε Guss σε κυινδρική κειστή επιφάνεια με άξονα την ) ϖ γραμμική κατανομή φορτίου, ακτίνα ϖ < R και μήκος L δίνει Dϖ)πϖL L Dϖ) π ε + ε ) ϖ κενό και ε D ˆϖ στο διηεκτρικό. πϖ. Θα μπορούσαμε να βρούμε πρώτα τα πεδία και μετά το δυναμικό ως εξής: Ηεκτρικό πεδίο της μορφής Το ηεκτρικό πεδίο είναι E D ˆϖ και E Eϖ) ˆϖ σε όο το χώρο ϖ < R συνεπάγεται ε πε ϖ ϖ ηεκτρική μετατόπιση D το δυναμικό V ϖ) V R) E ε Eϖ) ˆϖ στο κενό και d r R D ϖ R πε ϖ dϖ ln ϖ εeϖ) ˆϖ στο διηεκτρικό κι έτσι ικανοποιούνται η συνέχεια των επφαπτομενικών συνιστωσών του πε R. E και της κάθετης συνιστώσας του D στην διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ διηεκτρικού κενού. Ο Αιώς: Το δυναμικό V V ϖ) δίνεται από την αξισυμμετρική ύση της Lplce V + b ln ϖ, νόμος Guss D d f,εγκ σε κυινδρική κειστή επιφάνεια με άξονα την γραμμική κατανομή φορ- Νεκτάριος Βαχάκης, //5

τίου, ακτίνα ϖ < R και μήκος L δίνει ε Eϖ)πϖL+ εeϖ)πϖl L Eϖ) π ε + ε ) ϖ. Το δυναμικό προκύπτει από V V R) ϖ ϖ R E d r Eϖ)dϖ R π ε + ε ) ln ϖ για ϖ < R και R μηδέν για ϖ > R). Η επιφανειακή πυκνότητα των εεύθερων φορτίων στο κέυφος δίνεται από την οριακή σ f ε D ϖ ϖr και είναι στο μέρος που π ε + ε ) R ε συνορεύει με το κενό και στο μέρος π ε + ε ) R που συνορεύει με το διηεκτρικό. Στο μέρος που συνορεύει με το διηεκτρικό υπάρχει και δέσμιο φορτίο με επιφανειακή πυκνότητα P ϖr ˆϖ ε ε ) E ϖr ˆϖ ε ε ) π ε + ε ) R. Το συνοικό φορτίο σε αυτό το μέρος του κεύφους ε εεύθερο και δέσμιο) είναι, όσο και στο π ε + ε ) R υπόοιπο μέρος που συνορεύει με το κενό. : Αν αγνοηθούν τα περατωτικά πεδία ο πυκνωτής μπορεί να θεωρηθεί ισοδύναμος με την συνδεσμοογία του σχήματος. C / / / d V C C ε r V / ε r d/ d/ d/ d/ : Αφού d R το ηεκτρικό πεδίο είναι ομογενές και ίσο με E V/d όπου V η διαφορά δυναμικού μεταξύ των οπισμών. Αγνοώντας τα περαττωτικά πεδία οι οριακές συνθήκες για το δυναμικό είναι V z V και V zd V, όπου θεωρήσαμε ότι οι οπισμοί βρίσκονται στις θέσεις z, z d και έχουν δυναμικά V, V. Η ύση της ε V ) V V ϖ,z) dε V dϖ ϖ + [ ε ϖ V ) ] + V που τις ικανοποιεί ϖ ϖ ϖ z και είναι μοναδική σύμφωνα με το θεώρημα μοναδικότητας) είναι η V V +V V )z/d, η οποία δίνει ομογενές πεδίο E V V ẑ. [ d D εe ε + ε ε ) ϖ ] V R d και σ f R D, οπότε το εεύθερο φορτίο στον θετικό οπισμό είναι σ f πϖ dϖ π V [ ] R ε ϖ + ε ε ) ϖ dϖ d R π V [ ϖ ] R ε d + ε ε ) ϖ πr ε + ε V. R d Η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι C V πr d ε + ε. C C Οι χωρητικότητες των επιμέρους πυκνωτών είναι γνωστές βρίσκονται από C i i σ fa i V i E i d i D i A i ε ε ri A i όπου A i το εμβαδόν των πακών και E i d i d i d i η απόσταση μεταξύ τους): C ε A/ ε d d, C ε ε r A/ ε ε r, C ε A/ d/ d d/ ε d. Οι C και C συνδεόμενοι σε σειρά ισοδυναμούν με ένα πυκνωτή χωρητικότητας C C C C + C ε ε r. Απόδειξη: Η διαφορά δυναμικού στον ε r + ) d πυκνωτή C είναι το άθροισμα των επιμέρους διαφορών δυναμικού ενώ το φορτίο είναι ίδιο, οπότε V C Κατά την διάρκεια της εξέτασης είχε δοθεί προφορικά η υπόδειξη να θεωρηθεί το πεδίο E ομογενές. Νεκτάριος Βαχάκης, //5

V + V + +.) C C C C C C Το εεύθερο φορτίο στον πυκνωτή C είναι C V ε ε r V. Αυτό είναι το εεύθερο φορτίο ε r + ) d και στους πυκνωτές C και C. Επομένως οι επιμέρους διαφορές δυναμικού είναι V C V ε r + και V V ε r C ε r +. Οι C και C συνδεόμενοι παράηα ισοδυναμούν με ένα πυκνωτή χωρητικότητας C C + C + ε r ε. Απόδειξη: Η διαφορά δυναμικού είναι ίδια ενώ το φορτίο στον συνοικό πυκνωτή εί- + ε r d ναι το άθροισμα των επιμέρους φορτίων, οπότε + CV C V + C V C C + C.) Στην περιοχή ➊ είναι E V d και D ε E. Στην περιοχή ➋ είναι E V d/ V ε r + d D ε ε r E. Στην περιοχή ➌ είναι E V d/ ε r V ε r + d D ε E. Για την περίπτωση με ε r προκύπτει E V, στο μέρος ➊ d /, στο μέρος ➋ 4/, στο μέρος ➌ {, στο μέρος ➊ 4/, στα μέρη ➋ και ➌ και και D ε V d Επιέγοντας σύστημα Oxyz με αρχή το μέσο της αρνητικής πάκας και άξονα y κάθετο στις πάκες έτσι ώστε η αρνητική πάκα με V ) να είναι στο y και η θετική με V V ) να είναι στο y d, η ένταση του πεδίου είναι E ŷ V d, στο μέρος ➊ /, στο μέρος ➋ 4/, στο μέρος ➌ y και το δυναμικό προκύπτει V E ŷdy V d y, στο μέρος ➊ y, στο μέρος ➋ 4y d, στο μέρος ➌ Κοιτάζοντας το αποτέεσμα για τα πεδία E, D και V παρατηρούμε ότι η κάθετη συνιστώσα του D στις επιφάνειες του διηεκτρικού είναι συνεχής όπως θα έπρεπε. Η παράηη συνιστώσα όμως του E στην επιφάνεια x, y < d/ που χωρίζει τα μέρη ➊-➋ και στην επιφάνεια x, y > d/ που χωρίζει τα μέρη ➊-➌ δεν είναι συνεχής. Το ίδιο φαίνεται και από τη συνάρτηση του δυναμικού, η οποία δεν είναι συνεχής στην περιοχή x για παράδειγμα είναι Νεκτάριος Βαχάκης, //5 V x, y d/4) d/4 ενώ V x +, y d/4) d/6). Αυτό οφείεται στο ότι έχουμε αγνοήσει τα περατωτικά πεδία στην περιοχή x, μέσω των οποίων γίνεται ομαά η μετάβαση από την μια στην άη τιμή της έντασης του πεδίου ή του δυναμικού. Τα σχήματα της επόμενης σείδας δείχνουν το πήρες πεδίο στο εσωτερικό και το εξωτερικό του πυκνωτή, όπως προκύπτει από αριθμητική επίυση της εξίσωσης ε r V ) η οποία προκύπτει από D με D ε r ε E εr ε V ) στην περίπτωση όπου V,, d. Η θετική πάκα με V ) αντιστοιχεί σε y., 5 x 5, η αρνητική με V ) σε. y, 5 x 5, η διηεκτρική σταθερά είναι ε r για < x < 5, < y <.5 και ε r στον υπόοιπο χώρο, υπάρχει συμμετρία ως προς z, δη. V V x, y), και έχει υποτεθεί ότι το δυναμικό είναι V στο άπειρο. Το πρώτο σχήμα δείχνει το μέτρο της έντασης E. Το δεύτερο και τρίτο σχήμα δείχνουν τις ισοδυναμικές επιφάνειες σε όο το χώρο και στο εσωτερικό του πυκνωτή, αντίστοιχα). Εμμεσα μπορούμε να σκεφτούμε το πεδίο E από αυτά, σαν κάθετο στις ισοδυναμικές και με φορά από μεγαύτερο σε μικρότερο δυναμικό. Τα σχήματα αυτά δείχνουν ότι η αναυτική ύση για το εσωτερικό του πυκνωτή E, x < ŷ /, x >, y < / και V 4/, x >, y > / y, x y, x, y είναι καή προσέγγιση. 4y, x, y Τα τρία σχήματα της τεευταίας σειράς δείχνουν τα περατωτικά πεδία στα άκρα του πυκνωτή και στην κεντρική του περιοχή. Συγκεκριμένα, στα σχήματα αυτά φαίνονται οι δυναμικές γραμμές του D, οι οποίες είναι παράηες με αυτές του E, ενώ με χρώμα φαίνεται το μέτρο της έντασης E. Το πεδίο D είναι συνεχές στην κεντρική περιοχή αφού δεν υπάρχει εεύθερο φορτίο στο εσωτερικό του πυκνωτή). Αφού όμως υπάρχει D x οι δυναμικές γραμμές διαθώνται όταν τέμνουν την επιφάνεια του διηεκτρικού. Η ύπαρξη D x > σημαίνει ότι υπάρχει και P x > στο εσωτερικό του διηεκτρικού, οπότε η πευρά x του διηεκτρικού έχει αρνητικό δέσμιο φορτίο με σ b P ˆx) P x το φορτίο αυτό είναι πού μικρότερο του αρνητικού δέσμιου φορτίου της πευράς y / το οποίο έχει σ b P y y/ < και είναι σχεδόν αντίθετο του θετικού δέσμιου φορτίου της πευράς y που έχει σ b P y y < ).

-8-6 -4-4 6 8 x 4 - -8-6 -4-4 6 8 x y.9.8.7.6 y.5.4.... e-7 Vx,y).5.5.5 Ex,y) -4-4 x.8.6.4. y.9.8.7.6.5.4... Vx,y)...5.5....5.8.6.5..4..5..5. 7. 6.5 6. 5.5 5. 4.5..6.4....4.6. 4.5 5. 5.5 6. 6.5 7. Νεκτάριος Βαχάκης, //5

Οι γραμμές του E επίσης διαθώνται όταν τέμνουν την επιφάνεια του διηεκτρικού. Επιπέον, όγω της ύπαρξης επιφανειακού φορτίου, η E είναι ασυνεχής: Ενα υποσύνοο των δυναμικών γραμμών του E που έχουν ξεκινήσει από την θετική πάκα καταήγουν στα αρνητικά φορτία των πευρών x και y / του διηεκτρικού και οι υπόοιπες, αφού διαθαστούν, συνεχίζουν στο εσωτερικό του διηεκτρικού και καταήγουν στην πευρά y. Μέσω των παραπάνω μπορούμε να καταάβουμε πως παρακάμπτεται η ισότητα της E y στα μέρη ➊ ➋ ➌ του πυκνωτή αριστερά, δεξιά και κάτω, δεξιά και πάνω, αντίστοιχα): Το επτό σημείο είναι η ύπαρξη συνιστώσας E x έστω μικρής σε σχέση με την E y ), μέσω της οποίας το πεδίο μπορεί να «απώνεται» οδηγώντας σε ομαή μετάβαση της E y από την τιμή στο μέρος ➊ του πυκνωτή στην τιμή / στο μέρος ➋ και από την τιμή στο μέρος ➊ στην τιμή 4/ στο μέρος ➌. Τεικά οι συνθήκες που καθορίζουν τα πεδία στις τρεις περιοχές του εσωτερικού του πυκνωτή αγνοώντας τα περατωτικά πεδία) είναι αφενός η συνέχεια της D y μεταξύ των μερών ➋ και ➌ και αφετέρου η απαίτηση η διαφορά δυναμικού x,yd x,y E y dy να είναι V και στα αρνητικά και στα θετικά x. Η συνέχεια της E y δεν πρέπει να ηφθεί υπόψη.) Γράφοντας τα πεδία E E, στο μέρος ➊ ŷ E, στο μέρος ➋ E, στο μέρος ➌ και D E, στο μέρος ➊ ε ŷ ε r E, στο μέρος ➋ E, στο μέρος ➌ οι παραπάνω συνθήκες δίνουν ε r E E E V d E d V E V d E + E d V + ε r d E ε r V + ε r d Η επιφανειακή πυκνότητα του εεύθερου φορτίου στην θετική πάκα είναι σ f D V ε d, x < V A ε r V επομένως ε ε + ε r d, x > d + ε r V A ε + ε r d ε V + ε r d + ε r και η χωρητικότητα C + ε r ε V + ε r d. Ειδικά για ε r προκύπτει C 7ε 6d. Νεκτάριος Βαχάκης, //5