Η Ημερομηνία του Πάσχα

Η Ημερομηνία του Πάσχα Δημήτρης Ι. Μπουνάκης τ. Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών dimitrmp@hotmail.com (Aπό τον Ευκλείδη Γ, τ.80,2014) ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η ιστορία της ημερομηνίας εορτασμού του Πάσχα χάνεται στα βάθη των αιώνων και αρχίζει σχεδόν αμέσως με την Ανάσταση του Χριστού. Από τότε μέχρι σήμερα εξακολουθεί να αποτελεί πεδίο διαφωνιών, ερίδων και αντιπαραθέσεων στην χριστιανική κοινότητα. Πολλά έχουν γραφτεί για το θέμα αυτό, αντιμετωπίζοντάς το από ιστορικής και εκκλησιαστικής πλευράς. Στο άρθρο αυτό θα ασχοληθούμε με την ημερομηνία του Πάσχα μόνο από μαθηματικής και αστρονομικής πλευράς, βρίσκοντας τον τύπο για την εύρεση της ημερομηνίας του ορθόδοξου αλλά και του καθολικού Πάσχα. Στην αρχή θα αναφέρουμε όσα στοιχεία, ιστορικά, αστρονομικά και μαθηματικά, είναι χρήσιμα για την πληρότητα του άρθρου. Σκοπός είναι να παρουσιαστεί με ολοκληρωμένη και σύγχρονη μορφή το Μαθηματικό μέρος της ημερομηνίας του ορθόδοξου και συνοπτικά του καθολικού Πάσχα και η έκφραση των σχετικών αλγορίθμων σε όσο γίνεται συνεπτυγμένη και χρήσιμη μορφή. The date of Easter Dimitris I. Bounakis Former Mathematics School Counsellor dimitrmp@hotmail.com ABSTRACT History related to Easter celebration date is deeply lost in the ages and begins almost right after the Christ s Resurrection. From that period until today, it remains a field of argument, dispute and controversy in the Christian community. There are many writings on this issue, confronting it from a historical and church aspect. In this article, we will analyse the Easter date only from the mathematical and astronomical aspect,

2 Δημήτρης Ι. Μπουνάκης introducing the calculation formula of the Orthodox as well as the Catholic Easter. Firstly, we will mention all the historical, astronomical and mathematical components that are useful for the completeness of the article. Its purpose is to fully and contemporarily present the mathematical aspect of the Orthodox Easter date and provide a brief reference to the Catholic Easter date as well as the expression of relevant algorithms as concisely and purposefully as possible. ΕIΣΑΓΩΓΗ - Ιστορικά και Αστρονομικά στοιχεία Οι διαφωνίες και οι έριδες για το ποια μέρα πρέπει να εορτάζεται το Πάσχα, άρχισαν αμέσως μετά την Ανάσταση του Χριστού (πιθανά έτη: 26, 30, 33 μ.χ., [3], σελ.270) και συνεχίστηκαν στα μετέπειτα χρόνια, ώσπου το θέμα έφτασε και στην Α Οικουμενική σύνοδο (Νίκαια -Iζνίκτης Βιθυνία, 325 μ.χ.). Η σύνοδος αυτή, λαμβάνοντας υπόψη ότι οι Eβραίοι εόρταζαν το Πάσχα κατά την ημέρα της πανσελήνου που γινόταν μετά ή κατά την εαρινή ισημερία και επειδή ο Χριστός αναστήθηκε την επομένη της εορτής του εβραϊκού Πάσχα, δηλ. την επομένη της εαρινής πανσελήνου, καθόρισε τον εξής κανόνα: Το χριστιανικό Πάσχα πρέπει να εορτάζεται την πρώτη Κυριακή μετά την Πανσέληνο που θα γίνει κατά την ημέρα της εαρινής ισημερίας ή μετά από αυτήν. Αν η πανσέληνος γίνει Κυριακή τότε το Πάσχα θα εορτάζεται την επομένη Κυριακή. Η πανσέληνος που συμβαίνει κατά, ή μετά, την εαρινή ισημερία λέγεται και πανσέληνος του Πάσχα ή πασχαλινή πανσέληνος. Ο κανόνας αυτός δεν τηρήθηκε τα πρώτα χρόνια μετά την σύνοδο από όλες τις χριστιανικές εκκλησίες, αλλά τελικά επικράτησε και εφαρμόστηκε από όλους τους χριστιανούς και διατηρείται μέχρι σήμερα τόσο για το ορθόδοξο όσο και για το καθολικό Πάσχα, ανεξάρτητα από κάποιες σημαντικές- διαφοροποιήσεις, που θα δούμε παρακάτω. Μετά την Α Οικουμενική σύνοδο ανετέθη στον Πατριάρχη της Αλεξάνδρειας να φροντίσει τον καθορισμό της πανσελήνου του Πάσχα

Η Ημερομηνία του Πάσχα 3 και κατ' επέκταση την ημερομηνία του Πάσχα για όλες τις χριστιανικές εκκλησίες. Στην Αλεξάνδρεια όμως χρησιμοποιούσαν τον Κύκλο του Μέτωνα για τον προσδιορισμό των μελλοντικών Πανσελήνων, καθώς και το Ιουλιανό ημερολόγιο. Το ημερολόγιο αυτό συντάχθηκε από τον Αλεξανδρινό Αστρονόμο Σωσιγένη και καθιερώθηκε το 45 π. Χ. από τον αυτοκράτορα Ιούλιο Καίσαρα (βλ. [1], το Ημερολόγιο). Σύμφωνα με το ημερολόγιο αυτό το (Ιουλιανό) έτος έχει 365 ημέρες για 3 χρόνια και στο τέταρτο (δίσεκτο) 366 ημέρες, δηλαδή έχει κατά μέσο όρο 365,25 ημέρες και θεωρεί δίσεκτα τα έτη που είναι πολλαπλάσια του 4. Πολλά χρόνια πριν, ο Αθηναίος Αστρονόμος Μέτων (432 π. Χ.) είχε ανακαλύψει ότι 235 συνοδικοί μήνες ισοδυναμούν με 19 τροπικά (ηλιακά) έτη. Συνοδικός μήνας είναι το χρονικό διάστημα μεταξύ δυο διαδοχικών ομωνύμων φάσεων της σελήνης (π.χ. μεταξύ δυο πανσελήνων ή μεταξύ δυο πρώτων τέταρτων) και είναι ίσος με 29,530588 ημέρες κατά μέσο όρο (ο χρόνος αυτός δεν είναι σταθερός και κυμαίνεται μεταξύ 13 ωρών). Η μη σταθερότητα του χρόνου αυτού και η ανάγκη για υπολογισμούς με ακέραιες ημέρες, λόγω του ημερολογίου και των αναγκών της καθημερινής ζωής, μας αναγκάζει στα σχετικά θέματα σε προσεγγιστικούς υπολογισμούς, παραβιάζοντας μερικές φορές την μαθηματική αυστηρότητα και αυτό ας το έχει υπόψη του ο αναγνώστης παρακάτω. Εξάλλου το τροπικό έτος, είναι το χρονικό διάστημα ανάμεσα σε δυο διαδοχικές διαβάσεις του ήλιου από το εαρινό ισημερινό σημείο (γ), κατά την φαινόμενη ετήσια κίνηση του ήλιου πάνω στην εκλειπτική (που αντιστοιχεί ακριβώς στην περιφορά της γης γύρω από τον Ήλιο) και είναι ίσο, περίπου, με 365,24219879 (μέσες ηλιακές) ημέρες. Επειδή το τροπικό έτος μειώνεται (μόνο) κατά 0,53 δευτερόλεπτα ανά αιώνα, θεωρούμε σταθερή την διάρκειά του για ένα μεγάλο διάστημα πριν και μετά το 1900 μ.χ. και λαμβάνουμε ως τιμή του, την παραπάνω, που είχε το 1900 μ.χ. (βλ.[2], σελ.9). To σημείο (γ) είναι το ένα από τα δυο σημεία στα οποία τέμνονται η Εκλειπτική και ο Ουράνιος ισημερινός και σ αυτό βρίσκεται ο ήλιος στις 20/21 Μαρτίου, όπου έχουμε την εαρινή ισημερία. Κάθε (πολιτικό ηλιακό ή σεληνιακό) ημερολόγιο προσπαθεί να εναρμονισθεί με το τροπικό έτος, επειδή πρέπει να εξασφαλίσει την πλήρη διαδοχή των 4 εποχών και ταυτόχρονα, για να είναι λειτουργικό στην καθημερινή χρήση, να έχει ακέραιο αριθμό ημερών.

4 Δημήτρης Ι. Μπουνάκης Αυτή η περίοδος των 19 τροπικών ετών ή 6940 ημερών περίπου, ονομάστηκε κύκλος του Μέτωνα ή κύκλος της σελήνης. Ο κύκλος αυτός είναι πρακτικά χρήσιμος, διότι αν καταγράψομε τις ημερομηνίες των φάσεων της σελήνης επί 19 συνεχόμενα έτη, οι φάσεις θα επανέρχονται στις ίδιες περίπου ημερομηνίες και κατά την ίδια σειρά στα επόμενα 19 έτη κ.o.κ.. Η αστρονομική βέβαια αλήθεια είναι ότι μια ορισμένη φάση, π.χ. πανσέληνος σε ένα μήνα ενός έτους, δεν συμβαίνει ακριβώς την ίδια στιγμή με αυτή που συνέβη πριν 19 έτη, αφού η συνοδική περιφορά της σελήνης, όπως αναφέραμε παραπάνω, δεν είναι σταθερή. Eπί πλέον εντός 19 ετών άλλοτε περιέχονται 4 και άλλοτε 5 δίσεκτα έτη και αυτό έχει ως συνέπεια επί της φάσεως, άλλοτε να συμβαίνει 17,5 ώρες βραδύτερα της προβλεπομένης από τους πίνακες των φάσεων της σελήνης («σεληνoδρόμια» με βάση των κύκλο του Μέτωνα) στιγμής και άλλοτε 6,5 ώρες ενωρίτερα της ίδιας στιγμής (βλ.[2], σελ. 39). Εκτός από αυτά, ο κύκλος του Μέτωνα παρουσιάζει και ένα άλλο σφάλμα, το οποίο οι ορθόδοξοι χριστιανοί δεν λαμβάνουν υπόψη, σε αντίθεση με τους καθολικούς, όπως θα δούμε παρακάτω στο Πάσχα των καθολικών. Η περίοδος των 235 συνοδικών μηνών (235x29,530588=6939,688180 ημερών) δεν είναι ακριβώς ίση με 19 Ιουλιανά έτη που έχουν 19x365,25=6939,75 ημέρες, αλλά μικρότερη κατά 0,06182 ημέρες ανά 19 έτη. Το σφάλμα αυτό έχει συγκεντρωθεί από το 325 μ.χ. (ελήφθη ως βάση) και σήμερα είναι 5 περίπου ημέρες, ακριβέστερα κυμαίνεται από 4 μέχρι 6 ημέρες αν λάβουμε υπόψη και την κύμανση της συνοδικής περιφοράς της σελήνης (13 ώρες) και του γεγονότος ότι εντός 19 ετών άλλοτε περιέχονται 4 και άλλοτε 5 δίσεκτα έτη (με σύνολο ημερών 6939, 6940 αντίστοιχα). Ακόμη ο υπολογισμός της ημερομηνίας του Πάσχα, όσον αφορά την εαρινή ισημερία, στηρίχθηκε στο Ιουλιανό (παλαιό) ημερολόγιο (π. η.), τo οποίο έχει και αυτό σφάλμα: επειδή το Ιουλιανό έτος είναι μεγαλύτερο του τροπικού έτους (κατά 11 λεπτά και 14 δευτερόλεπτα), καθυστερεί σε σχέση με αυτό, δηλαδή δείχνει την εαρινή ισημερία βαθμιαία όλο και με μεγαλύτερη καθυστέρηση (πιο ενωρίτερα), με αποτέλεσμα, π.χ. το 1582 μ. Χ. η εαρινή ισημερία να συμβεί στις 10 Μαρτίου, όταν το 325 μ. Χ ήταν στις 21 Μαρτίου!. Το διορθωμένο π. η. ή νέο ή Γρηγοριανό ημερολόγιο εφαρμόστηκε στη Δύση το 1582, από την Ελληνική πολιτεία το 1923 (1 Μαρτίου (16/2)), ενώ από την Εκκλησία της Ελλάδος το 1924. Σύμφωνα με την διόρθωση αυτή, η

Η Ημερομηνία του Πάσχα 5 5/10/1582 ονομάστηκε 15/10/1582 και καλύφθηκε η καθυστέρηση των 10 ημερών και επί πλέον θεσπίστηκε εις το εξής να λαμβάνονται ως δίσεκτα, όχι όλα τα πολλαπλάσια του 4 (όπως στο π.η.). Συγκεκριμένα, δίσεκτα θα είναι τα έτη που είναι πολλαπλάσια του 4 και από τα επαιώνια (:πολλαπλάσια του 100) μόνο όσα διαιρούνται με το 400. Η εκκλησία της Ελλάδας, δέχθηκε το νέο ημερολόγιο (ν. η.) στις 10 Μαρτίου 1924, αλλά χωρίς μετακίνηση του Πασχάλιου (και των κινητών εορτών που το συνοδεύουν) που εξακολουθούν να εξαρτώνται από το Ιουλιανό ή παλαιό ημερολόγιο (π. η.). Έτσι οι ορθόδοξοι χριστιανοί για τον υπολογισμό της εαρινής ισημερίας χρησιμοποιούν το Ιουλιανό (παλαιό) ημερολόγιο και για τον υπολογισμό της εαρινής πασχαλινής πανσελήνου τον κύκλο του Μέτωνα, παρά τα σφάλματά τους, ενώ οι καθολικοί χρησιμοποιούν το νέο ημερολόγιο και τον διορθωμένο κύκλο του Μέτωνα, όπως θα δούμε παρακάτω. Σ αυτές ακριβώς τις διαφορές οφείλεται η διαφοροποίηση στην ημερομηνία εορτασμού του ορθόδοξου και καθολικού Πάσχα. Α. XΡΗΣΙΜΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Α1. Πηλίκο και υπόλοιπο ακεραίας διαίρεσης Από την Ευκλείδεια διαίρεση μας είναι γνωστό ότι, αν α, βζ, β0, τότε υπάρχουν (μοναδικοί ) ακέραιοι λ, υ ώστε α = βλ + υ, 0 υβ. Ο αριθμός λ λέγεται ως γνωστό πηλίκο και ο αριθμός υ υπόλοιπο της διαίρεσης α:β. Τους αριθμούς αυτούς θα συμβολίζουμε στο άρθρο αυτό αντίστοιχα με α λ α / β β, υ = (α, β) α α Έτσι ισχύουν α = β + (α, β), (α, β) = α - β β β, 0 (α, β) β. Παραδείγματα: 14 3, 3 2, 4 0, (15, 7) = 1, (19, 30) = 19, (2014, 19) = 0. 4 2 5

6 Δημήτρης Ι. Μπουνάκης Α2. Ισοϋπόλοιποι αριθμοί Έστω α, β, ν Ζ, ν > 1.Θα λέμε ότι οι αριθμοί α, β είναι ισοϋπόλοιποι ως προς ν (ή μέτρου ν), αν διαιρούμενοι με τον αριθμό ν αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο. Συμβολικά α β(mod ν), π.χ. 9 1(mod 4), 30 2 (mod 7), -9 7(mod 4) κ.τ.λ.. Εύκολα προκύπτει ότι ισχύει, α β(mod ν), αν και μόνο ο ν διαιρεί την διαφορά α - β. Επίσης με κζ ισχύει, α+κ β+κ (mod ν) α β (mod ν). Παραδείγματα: 2003 3 (mod4), 28 0 (mod7 ), 365 1 (mod 7), -ν 6ν (mod 7), -11μ 19μ (mod30), 100α 2α (mod7) (ν, μ, α N) Τις παρακάτω χρήσιμες ιδιότητες, αφήνουμε ως ασκήσεις. 1.Το πηλίκο λ της διαίρεσης α:β (α, βζ, β0), δηλαδή το ακέραιο μέρος του ρητού α β μικρότεροι ή ίσοι του ρητού 2.Το πηλίκο, είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος από αυτούς που είναι α β α β, δηλαδή ισχύει α β α β 1 α β (α, βν*) δηλώνει το (μέγιστο) πλήθος των πολλαπλασίων του β από το 1 μέχρι και τον αριθμό α. Έτσι π.χ. τα πολλαπλάσια του 4 από το 1 μέχρι και το 2011 είναι [2011/4]=502 (όσα ακριβώς είναι τα δίσεκτα έτη με το παλαιό ημερολόγιο μέχρι το 2011). Τα πολλαπλάσια του 4 από το 1 μέχρι και τον αριθμό Ε είναι [Ε/4], δηλαδή ο αριθμός [Ε/4] δηλώνει το πλήθος των δίσεκτων ετών με το παλαιό ημερολόγιο (π.η.) από 1 μέχρι και το έτος Ε. 3. Αν α, β, κ ακέραιοι, β0 τότε ισχύει (α + κβ, β) = (α, β) ή α + κβ α(modβ),.

Η Ημερομηνία του Πάσχα 7 π.χ. (23+330, 30) = (23, 30) = 23, (15-11μ,30) = (15+19μ,30), μ N. 4. Αν α, β, γ ακέραιοι, β0 τότε ισχύει (α + γ, β) = ((α, β) +γ, β) π.χ. (334+α, 30) = (4+α, 30). ΛΗΜΜΑ 1 Η καθυστέρηση του παλαιού ημερολογίου (π.η.) το έτος Ε, σε σχέση με το νέο ημερολόγιο (ν.η.), είναι ίση με Κ= E 400 E 100 του έτους Ε > 1582. -2 = α α 2 4 ημέρες, όπου α = E 100 οι αιώνες Απόδειξη Η μόνη διαφορά στα δυο ημερολόγια είναι ο υπολογισμός των δίσεκτων ετών. Με το π. η. δίσεκτα είναι όσα διαιρούνται με το 4, οπότε από το 1 μ. Χ. μέχρι και το έτος Ε υπάρχουν [Ε/4] δίσεκτα έτη. Με το ν. η., που εφαρμόστηκε το 1582 μ. Χ., δίσεκτα είναι τα έτη που: α) δεν είναι επαιώνια, δηλαδή δεν είναι πολλαπλάσια του 100 και διαιρούνται με το 4, και β) Από τα επαιώνια μόνο όσα διαιρούνται με το 400. Έτσι τα δίσεκτα έτη με το ν.η. από το 1 μέχρι και το έτος Ε είναι πλήθους Δ(Ε)= E 4 - E 100 + E 400 Άρα το παλαιό ημερολόγιο έχει παραπάνω. E 100 - E 400 δίσεκτα έτη (γενικά, αν εφαρμοζόταν κανονικά από το έτος 1 μ.χ). Έτσι το 1582 (που εφαρμόστηκε το ν.η.) το παλιό είχε τυπικά καθυστέρηση E 100 - E 400 =15-3=12 έτη, που αντιστοιχούν σε 12 ημέρες, αλλά η πραγματική (αστρονομική) καθυστέρηση (στην εαρινή ισημερία) ήταν 10 ημέρες. Άρα η κανονική καθυστέρηση του π.η. είναι ίση με Κ= E 100 - E 400-2 ημέρες.

8 Δημήτρης Ι. Μπουνάκης Αν α = E 100 E α 400 4 οι αιώνες του έτους Ε, τότε εύκολα προκύπτει, οπότε Κ = α α 2 4, α >15. Αυτή η καθυστέρηση σημαίνει ότι όσοι ακολουθούν το π.η. έχουν την ίδια ημέρα της βδομάδας με όσους ακολουθούν το ν. η., αλλά με ημερομηνία κατά Κ ημέρες μικρότερη. Από το 1900 (1 Μαρτίου) μέχρι το 2100 (28 Φεβρουαρίου) είναι Κ=13, από 1/3/2100 μέχρι 28/2/2200 θα είναι Κ=14 κ.τ.λ.. Β. Η ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΤΟΥ ΟΡΘΟΔΟΞΟΥ ΠΑΣΧΑ Θα δούμε αναλυτικά τον τρόπο για την εύρεση της ημερομηνίας του Ορθόδοξου (Ιουλιανού) Πάσχα ενός έτους Ε, με το παλιό (π. η.) και το νέο ημερολόγιο (ν. η.), καθώς και την απόδειξη του σχετικού τύπου του Gauss. Όπως αναφέραμε παραπάνω ο υπολογισμός της ημερομηνίας του ορθόδοξου Πάσχα γίνεται με βάση τον κανόνα της Α Οικουμενικής συνόδου, χρησιμοποιώντας το παλιό ημερολόγιο για την εύρεση της εαρινής ισημερίας και τον κύκλο του Μέτωνα για την εύρεση της πασχαλινής πανσελήνου. Για τον καθορισμό λοιπόν της ημερομηνίας του ορθόδοξου Πάσχα απαιτούνται : α) Η εύρεση της ημερομηνίας της Μετώνειας ή Ιουλιανής, (όχι αστρονομικής) πασχαλινής πανσελήνου, έστω ΜΠ μέρες Μαρτίου με το π.η. ή ΜΡ μέρες Απριλίου με το ν. η. και β) Ο υπολογισμός των ημερών από την επόμενη της προηγούμενης ημερομηνίας μέχρι και την (αμέσως επόμενη) Κυριακή, του Πάσχα, έστω Η ημέρες. Τότε η ημερομηνία του Ορθοδόξου Πάσχα θα είναι στις ΟΠ = ΜΠ + Η Μαρτίου με το π.η. και ΟΠ = ΜΡ + Η Απριλίου με το ν.η. (Σημ. To να εκφράζουμε την ημερομηνία του Πάσχα με το π.η. σε μέρες Μαρτίου και με το ν.η. σε μέρες Απριλίου δεν έχει καμιά ουσιαστική σημασία. Απλά μας διευκολύνει, επειδή το ορθόδοξο Πάσχα με το π.η.

Η Ημερομηνία του Πάσχα 9 μπορεί να εορτάζεται μόνο σε μήνα Μάρτιο ή Απρίλιο, ενώ με το ν.η. μόνο σε Απρίλιο ή Μάιο). Για την εύρεση της ημέρας της πασχαλινής πανσελήνου ενός έτους, ένα στοιχείο χρήσιμο είναι η λεγόμενη Επακτή (ή Σελήνης Θεμέλιον, Epacte, Epact, Epakte) του έτους. ΟΡΙΣΜΟΣ Επακτή (Μετώνεια ή Ιουλιανή) ενός έτους Ε, συμβολικά Τ, είναι η ηλικία της σελήνης την 31 η Δεκεμβρίου (π.η.) του προηγούμενου έτους Ε-1 (με το Ιουλιανό ημερολόγιο και χωρίς να λαμβάνουμε υπόψη το σφάλμα του κύκλου του Μέτωνα). Λέγοντας ηλικία της σελήνης στις 31/12 /E-1 εννοούμε πόσων ημερών είναι η σελήνη στις 31/12/E-1 από την αμέσως προηγούμενη νέα σελήνη. Eπίσης λέγοντας γενικά ότι σήμερα η σελήνη είναι ν ημερών, εννοούμε ότι ο χρόνος από την τελευταία νέα σελήνη μέχρι σήμερα είναι μεγαλύτερος των ν-1 ημερών και μικρότερος ή ίσος των ν ημερών. Η Επακτή Τ παριστάνει μια υποθετική-προσεγγιστική ηλικία της σελήνης και όχι την ακριβή αστρονομική ηλικία της σελήνης. ΠΡΟΤΑΣΗ 1 Για την επακτή Τ του έτους Ε, ισχύει Τ = (11μ+8, 30), μ = (Ε, 19). Απόδειξη Η σελήνη για 12 περιφορές περί την Γη χρειάζεται (περίπου) 12x29,530588=354,367056 ημέρες, χρόνος που υπολείπεται του Ιουλιανού έτους κατά 365,25-354,367056=10,88294 11 μέρες Άρα σε ένα Ιουλιανό έτος η ηλικία της σελήνης αυξάνεται κατά 11 μέρες. Έχομε όμως την πληροφορία ότι, στις 31/12 του έτους -1 (2 π. Χ.) η σελήνη ήταν 8 ημερών ([2], σελ.42), οπότε η επακτή του έτους Ε = 0 (1 π. Χ.) είναι 8. Έτσι η επακτή του Ε=1 μ.χ. είναι Τ=8+11=19=(19, 30 ), του Ε=2 η επακτή είναι Τ=8+211=30 (άρα σελήνη 30 ημερών, δηλαδή (30, 30)=0 ημερών), το έτος Ε=3 η επακτή είναι Τ=8+311=41, δηλαδή η σελήνη είναι (41, 30) = 11 ημερών.

10 Δημήτρης Ι. Μπουνάκης Γενικά το έτος Ε η σελήνη έχει, προς το παρόν ηλικία Τ = (11Ε+8, 30) με Ε=0,1,2,..,18. Γενικά και λόγω του κύκλου του Μέτωνα (επανάληψη κάθε 19 έτη, που χρησιμοποιούταν ανέκαθεν) η σελήνη θα έχει την ίδια ηλικία μετά από 19 έτη, άρα η επακτή του έτους Ε>18 είναι ίδια με αυτή του έτους (Ε, 19), οπότε Τ = (11(Ε,19) +8, 30) = (11μ+8, 30), μ = (Ε, 19), μ{0,1,,18} Η επακτή Τ παίρνει διαδοχικά και με περίοδο 19, τις τιμές Τ = 8, 19, 0, 11, 22, 3, 14, 25, 6, 17, 28, 9, 20, 1, 12, 23, 4, 15, 26 με μέγιστη τιμή 28 και ελάχιστη 0. Παράδειγμα: για την επακτή του έτους Ε=2013 έχουμε μ = (2013, 19) =18, Τ = (11μ+8, 30) = (206, 30) = 26, οπότε στις 31 Δεκεμβρίου 2012 π.η. ή 13/1/2013 ν.η., η σελήνη ήταν 26 ημερών. Για να ελέγξουμε την ακρίβειά της, θα βρούμε πόσων ημερών είναι πραγματικά (αστρονομικά) η σελήνη στις 31/12/2012 π.η. Από τους σύγχρονους αστρονομικούς πίνακες (βλ. [6]) έχουμε ότι η σελήνη στις 31/12/2012 ν.η, δηλαδή 18/12/2012 π.η. είναι 18 ημερών. Άρα στις 31/12/ 2012 π.η. η σελήνη αστρονομικά είναι 31 ημερών, επομένως η σελήνη είναι 26 ημερών στις 26/12 π.η., δηλαδή υπάρχει καθυστέρηση -σφάλμα-της Μετώνειας κατά 5 ημέρες. Σημείωση Με βάση την (Μετώνεια) Επακτή ενός έτους μπορεί να βρεθεί η (Μετώνεια ή Ιουλιανή) ηλικία της σελήνης μιας οποιαδήποτε ημέρας του έτους. Έτσι, αν Α ο αύξων αριθμός της ημέρας (από 1/1) τότε την ημέρα εκείνη η σελήνη είναι (Τ+Α, 30) ημερών και ακόμη καλύτερα (Τ+Α, 29,53) ημερών. (κατ επέκταση της ευκλείδειας διαίρεσης, εννοούμε τον ρητό αριθμό υ=τ+a-29,53 k, με την ιδιότητα 0υ<29,53 για κάποιο-μοναδικό όπως αποδεικνύεται-kn. Ο αριθμός αυτός εκφράζει το υπόλοιπο της διαίρεσης (Τ+A) : 29,53) Για παράδειγμα, η Σελήνη στις 26/8/2013 ν.η., δηλαδή 13/8/2013 π.η., είναι (Τ+Α, 29,53) = (26+431+28+230+13, 29,53) = ( 251, 29,53) = 14,76 ημερών, (η διαίρεση 251: 29,53 δίνει πηλίκο 8 και υπόλοιπο 14,76)

Η Ημερομηνία του Πάσχα 11 δηλαδή πανσέληνος. Δεδομένου ότι στις 21/8/2013 ν.η. έχουμε αστρονομική πανσέληνο (βλ. [6]), βλέπουμε ότι η Ιουλιανή πανσέληνος του Αυγούστου 2013 δίνεται 5 μέρες αργότερα της αστρονομικής. To παρακάτω Λήμμα βοηθά στην εύρεση της ημέρας της εβδομάδας στις Η Μαρτίου ενός έτους Ε με το παλαιό ημερολόγιο (π.η.). ΛΗΜΜΑ 2 Ι. Το πλήθος των ημερών από 1/1/1 μέχρι και Η/3/Ε (π.η.) είναι ίσο με Β = 365(Ε-1) + Δ(Ε) + 228 + 3 + Η όπου Δ(Ε) = [Ε/4] το πλήθος των δίσεκτων ετών (με το π.η.) από το έτος 1 μέχρι και το έτος Ε. ΙΙ. Αν Υ = (Ε+Δ(Ε)+Η+2, 7) τότε η Η/3/Ε είναι ημέρα Υ{0,1,2,3,4,5,6}, όπου 1: Σάββατο, 2: Κυριακή, 3: Δευτέρα, 4 : Τρίτη, 5: Τετάρτη, 6:Πέμπτη, 0: Παρασκευή. Απόδειξη Ι. Από 1/1/1 μέχρι 31/12/(Ε-1) υπάρχουν Δ(Ε-1) δίσεκτα και Ε-1-Δ(Ε-1) απλά έτη, επομένως περιέχονται 365(Ε-1-Δ(Ε-1))+366Δ(Ε-1) = 365(Ε-1) + Δ(Ε-1) ημέρες. Επίσης, από 1/1/Ε μέχρι τέλους Φεβρουαρίου του έτους Ε υπάρχουν 31+28+θ = 228+3+θ ημέρες, όπου θ=1 αν Ε δίσεκτο και θ=0 αν Ε απλό έτος (όχι δίσεκτο). Επειδή Δ(Ε) = Δ(Ε-1) +θ, θα έχουμε τελικά Β = 365(Ε-1)+Δ(Ε-1) +228+3+Η+θ =365(Ε-1)+Δ(Ε) +228+3+Η, Η1. ΙΙ. Λόγω της διαδοχικής συνέχειας του 7-ήμερου της εβδομάδας η ημέρα με αύξοντα αριθμό B, θα αντιστοιχεί στο υπόλοιπο της διαίρεσης B:7, αν τους αριθμούς 0,1,2,,6 αντιστοιχήσουμε στις 7 πρώτες ημέρες του έτους 1 μ.χ. Έχουμε όμως, λόγω και (365, 7) = 1, (28,7) = 0, (B, 7) = (365(Ε-1)+Δ(Ε) +228+3+Η, 7) = ( Ε-1+Δ(Ε) +3+Η, 7) = Υ Για την εύρεση της αντιστοιχίας των ημερών της εβδομάδας και των υπολοίπων 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, θεωρούμε μια γνωστή ημέρα, π.χ. την

12 Δημήτρης Ι. Μπουνάκης 15/4/2012 που ήταν μέρα Κυριακή (Πάσχα). Την ημέρα αυτή το π.η, δείχνει 15-13=2 Απριλίου. Η μέρα αυτή είναι η Η=31+2= 33 Μαρτίου π.η.. Έτσι με Ε=2012, Δ(Ε) = [Ε/4]=503 έχουμε, Υ= (Ε+Δ(Ε)+ Η +2, 7) = (2012+503+33+2, 7) = (2550,7) = 2 Άρα θα πρέπει να λάβουμε Υ=2 για την Κυριακή, 3: Δευτέρα, 4 : Τρίτη, 5: Τετάρτη, 6: Πέμπτη, 0: Παρασκευή, 1: Σάββατο. Για παράδειγμα: Τι μέρα είναι ήταν στις 17/4/2013 π.η. (30/4/2013 με το ν.η.); Η ημέρα αυτή είναι η 48/3/2013 π.η (Κ=13), οπότε Υ= (Ε+Δ(Ε)+ Η +2, 7) = (2013+503+50, 7) = (2566,7) = 4, δηλαδή Τρίτη. Σημείωση Γενικός τρόπος για τη εύρεση της ημέρας της εβδομάδας, οποιασδήποτε δοθείσης ημερομηνίας και με τα δυο ημερολόγια, ανάλογο με τον προηγούμενο, υπάρχει στο [4], σελ. 10. Το Λήμμα που ακολουθεί θα μας χρειαστεί στην επόμενη πρόταση 2. ΛΗΜΜΑ 3 Αν Τ η επακτή ενός έτους Ε και μ = (Ε, 19), τότε ισχύει 1 + (53-Τ, 30) = (19μ+16, 30) Απόδειξη Από την πρόταση 1 προκύπτει Τ=(11μ+8, 30) και αν κ το πηλίκο της διαίρεσης (11μ+8):30, έχουμε 1 53 11μ 8, 30, 30 1 23 11μ 8 30κ, 30 16 19μ, 30 1 15 11μ 30κ, 30 ιδιότητα 3 1 15 11μ, 30 ιδιότητα 3 1 15 19μ, 30 Η τελευταία ισότητα ισχύει, λόγω του ότι (15+19μ, 30) < 29 με μ = 0,1,.,18, όπως μπορούμε να επαληθεύσουμε.

Η Ημερομηνία του Πάσχα 13 ΠΡΟΤΑΣΗ 2 - Ημερομηνία Πασχαλινής Πανσελήνου Α. Η Μετώνεια (Ιουλιανή) πασχαλινή πανσέληνος του έτους Ε, με το π. η., είναι στις ΜΠ = 21+(53-Τ, 30) = Λ+20 Μαρτίου π. η., όπου Τ η επακτή του έτους Ε και Λ = (19μ+16, 30). Β. Η Μετώνεια ( Ιουλιανή) πασχαλινή πανσέληνος με το ν. η. είναι στις ΜΡ = Λ + Κ - 11 Απριλίου ν. η. όπου Κ = α - [α/4]-2 η καθυστέρηση των δυο ημερολογίων το έτος E, α = [E/4]. Απόδειξη Α. Σύμφωνα με την Πρόταση 1, η ηλικία της σελήνης στις 31 Δεκεμβρίου του έτους Ε-1 είναι Τ = (11μ+8, 30) ημέρες, όπου μ = (Ε, 19). Επειδή από 1/1 μέχρι 30/3 μεσολαβούν κατά μέσο όρο (λαμβάνοντας υπόψη και την ημέρα του ανά τετραετία δίσεκτου) 31+28,25+30=30+29,25+30 ημέρες, η σελήνη στις 30/3 μπορούμε να θεωρήσουμε ότι είναι επίσης Τ ημερών, οπότε στις 31/3/Ε η σελήνη είναι Τ+1 ημερών. Έτσι η πρώτη μέρα της είναι στις (31 Τ ) Μαρτίου (31 Τ 3) και η Πανσέληνος μετά από 13 μέρες, στις 31-Τ +13 = 44 - Τ Μαρτίου (π.η.). Αν 44 Τ = 21+ (23 - Τ) 21 (ή Τ 23), η πανσέληνος είναι Πασχαλινή αφού είναι μετά την εαρινή ισημερία ή κατά την εαρινή ισημερία (21 Μαρτίου π.η.). Αν 44 - Τ < 21, (ουσιαστικά τότε Τ = 25, 26, 28), τότε η πανσέληνος αυτή του Μαρτίου δεν είναι πασχαλινή και στην περίπτωση αυτή περιμένουμε την μετά 30 μέρες νέα (πασχαλινή πλέον) πανσέληνο στις ΜΠ = 44 Τ + 30 = 21+ (53 Τ ) = 74 - Τ Μαρτίου Επειδή στην πρώτη περίπτωση είναι 023-Τ<30, ενώ στην δεύτερη 0<53-Τ<30, γενικά θα έχουμε ΜΠ = 21 + (23-Τ, 30) = 21+ (53 - Τ, 30) Μαρτίου και σύμφωνα με το Λήμμα 3, ΜΠ = 20 + Λ Μαρτίου, όπου Λ = (19μ+16, 30), μ = (Ε, 19).

14 Δημήτρης Ι. Μπουνάκης Β. Επειδή η καθυστέρηση του Ιουλιανού ημερολογίου είναι Κ = [Ε/100]-[Ε/400]-2 μέρες (μέχρι και το 2099 είναι Κ=13) η ημερομηνία της Ιουλιανής πανσελήνου με το ν. η. είναι ΜΡ = 20+Λ + Κ μέρες Μαρτίου και σε μέρες Απριλίου ΜΡ = 20 + Λ+ Κ - 31= Λ + Κ - 11 Απριλίου ν.η.. Παρατήρηση Είναι, Λ + 20 μέρες Μαρτίου = Λ - 11 Aπριλίου π.η., άρα η Μετώνεια πασχαλινή πανσέληνος δίνεται την ίδια ημέρα αλλά με άλλη ημερομηνία στα δυο ημερολόγια (Κ μικρότερη με το π.η.) Παραδείγματα 1. Για την (Μετώνεια) πασχαλινή πανσέληνο του έτους Ε=2013 έχουμε, μ = (Ε,19)=18, Λ = (19μ+16, 30) =(358, 30)=28, οπότε ΜΠ = 20 + Λ=48 Μαρτίου, δηλαδή 17 Απριλίου π.η. και ΜΡ = 28+13-11=30 Απριλίου με το ν.η. (λόγω K=13). 2. Για την πασχαλινή πανσέληνο του έτους Ε=2014 έχουμε, μ = (Ε,19)=0, Λ = (19μ+16, 30) = 16, οπότε ΜΠ = 20 + Λ=36 Μαρτίου, δηλαδή 5 Απριλίου π.η. και ΜΡ = 16+13-11=18 Απριλίου με το ν.η. (λόγω K=13). ΠΡΟΤΑΣΗ 3 - Ημέρα Πασχαλινής Πανσελήνου Αν Υ = (Ε+[E/4]+Λ +1, 7) τότε η Μετώνεια (Ιουλιανή) πασχαλινή πανσέληνος είναι ημέρα Υ (Υ=1: Σ, 2: Κ, 3: Δ,,0: Πα) και το πλήθος των ημερών Η, από την επομένη της πασχαλινής πανσελήνου μέχρι και την Κυριακή του Πάσχα είναι ίσο με Η = 7- (Ε+[E/4] + Λ -1, 7). Απόδειξη Με βάση τo Λήμμα 2.ΙΙ η (20+Λ) Μαρτίου (π.η.) της Μετώνειας (Ιουλιανής) πασχαλινής πανσελήνου είναι ημέρα Υ= (Ε+[E/4] + 20+Λ+2, 7) = (Ε+[E/4]+ Λ +1, 7) Έτσι οι ημέρες από την επαύριον της Υ μέχρι και την αμέσως επόμενη Κυριακή είναι Η =7- (Υ+5, 7), όπως μπορούμε επαληθεύουμε. Άρα

Η Ημερομηνία του Πάσχα 15 Η 7 Υ 5, 7 7 ((Ε [E / 4] Λ 1, 7) 5, 7) ιδιότητα Α2.4 7 (Ε E / 4 Λ 6, 7) 7 (Ε [E / 4] Λ 1,7) Έτσι π.χ. η Μετώνεια πασχαλινή πανσέληνος του 2013 είναι ημέρα (Λ = 28) Υ = (2013+503+29, 7) = (2545, 7) = 4, Τρίτη και το πλήθος των ημερών μέχρι την Κυριακή του Πάσχα είναι Η = 7 - (2543, 7) = 5. Επίσης του 2014, είναι Υ=(2014+503+17, 7) = (2534, 7) = 0, Παρασκευή και το πλήθος των ημερών μέχρι την Κυριακή του Πάσχα είναι Η=7-(2532, 7) = 2. ΠΡΟΤΑΣΗ 4 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΟΡΘΟΔΟΞΟΥ ΠΑΣΧΑ Για ένα έτος Ε, έστω μ = (Ε, 19), δ = (Ε, 4), β = (Ε, 7), Λ = (19μ+16, 30), Μ = (2δ+4β+6Λ,7). Τότε η ημερομηνία του ορθόδοξου Πάσχα είναι στις ΟΠ = 21+Λ+Μ Μαρτίου με το π. η. και ΟΠ = Κ+Λ+Μ -10 Απριλίου με το ν. η., όπου Κ= α-[α/4]-2, α = [Ε/100]>15, η καθυστέρηση των δυο ημερολογίων. Aπόδειξη Έχουμε ήδη αποδείξει ότι η πασχαλινή πανσέληνος είναι στις MΠ = 21+(53-Τ, 30) = Λ+20 μέρες Μαρτίου π.η. και MΡ = Λ+K-11 Απριλίου ν.η., οπότε η ημερομηνία του Πάσχα είναι αντίστοιχα ΟΠ = MΠ + Η = Λ+20+Η Μαρτίου με π.η., ΟΠ = MΡ + Η= Λ+K-11+Η Απριλίου με ν.η.. Οπότε αρκεί να δείξουμε ότι Η = Μ+1 (και για τις δυο περιπτώσεις). Από την προηγούμενη Πρόταση 3 έχουμε, Η =7- (Ε+[E/4]+ Λ-1, 7) Αν Π το πηλίκο της διαίρεσης (Ε+[E/4]+ Λ -1):7 θα ισχύει (Ε+[E/4]+Λ -1, 7) = (Ε + [E/4] + Λ -1) 7Π, οπότε χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του υπολοίπου έχουμε,

16 Δημήτρης Ι. Μπουνάκης H 1 6 (E [E / 4] Λ 1, 7) 6 Ε E / 4 Λ 1 7Π 7 Ε E / 4 Λ 7Π mod7 Ε E / 4 Λ 6E 6 E / 4 6Λ 2Ε 4(7 E / 7 β) 6 E / 4 6Λ 2Ε 4β 8 E / 4 6Λ 4β 2 E 4 E / 4 6Λ 4β 2δ 6Λ Άρα (Η-1, 7) = (2δ+4β+6Λ, 7) = Μ. Όμως Η-1 = 0,1,2,,6 (αφού 1Η7) οπότε Μ = Η - 1. Σημειώσεις 1. Όρια του Ορθόδοξου - Ιουλιανού Πάσχα Aπό τη πρόταση 2 και δοθέντος ότι, με μ=0,1,2..,18 έχουμε για το Λ μικρότερη τιμή 1 και μεγαλύτερη 29, συμπεραίνουμε ότι τα όρια της Μετώνειας πασχαλινής πανσελήνου είναι από 21 Μαρτίου μέχρι 18 Απριλίου π.η. Έτσι, αν η 21 Μαρτίου είναι Σάββατο έχομε το ενωρίτερα εορταζόμενο Πάσχα στις 22 Μαρτίου π.η., ενώ αν στις 18 Απριλίου είναι Κυριακή έχουμε το πιο όψιμο Ορθόδοξο Πάσχα στις 25 Απριλίου με το π.η.. Με το ν.η., από το 1900 μέχρι το 2099, που είναι Κ=13, έχουμε το πιο πρώιμο Ορθόδοξο Πάσχα στις 4 Απριλίου και το πιο όψιμο στις 8 Μαΐου. Οι ημερομηνίες αυτές μετατοπίζονται αργότερα όσο αυξάνει η καθυστέρηση του π.η. έναντι του ν.η. Το 2010 είχαμε στις 4 Απριλίου (με το ν. η.) το τελευταίο πιο πρώιμο Ορθόδοξο Πάσχα του αιώνα μας αλλά και όλων των επόμενων αιώνων! (βλ. επόμενο σχόλιο). 2. Περίοδος του Ορθόδοξου Πάσχα Παρατηρούμε ότι η ημερομηνία του Ορθοδόξου-Ιουλιανού Πάσχα δομείται βασικά από τις ποσότητες μ = (Ε, 19), δ = Ε, 4), β = (Ε, 7). Έτσι, λόγω της ιδιότητας Α2.3, μετά από 19x4x7 = 532 (EKΠ των 19,4,7) έτη, οι ποσότητες αυτές θα είναι ίδιες και έτσι το Πάσχα θα εορτάζεται την ίδια μέρα. Επομένως η Περίοδος του Ορθόδοξου Πάσχα,

Η Ημερομηνία του Πάσχα 17 σύμφωνα με το π.η., είναι 532 έτη, οπότε το Πάσχα του έτους Ε είναι την ίδια μέρα με αυτό του έτους Ε+532ν, ν=1,2,3 Ο κανόνας αυτός χρησιμοποιούταν παλαιά για την σύνταξη των Πασχάλιων πινάκων. Mε το ν.η. η περιοδικότητα αυτή χαλάει στην ημερομηνία του ορθόδοξου Πάσχα, λόγω της καθυστέρησης του π.η. που μετατοπίζει την ημερομηνία αυτή αργότερα. Έτσι κάθε 532 χρόνια, έχουμε 3 ή 4 ή 5 μέρες αργότερα την ημερομηνία του Πάσχα με το ν.η., λόγω ακριβώς της καθυστέρησης του π.η. έναντι του ν.η. που μπορεί να υπάρχει στα 532 χρόνια. Για παράδειγμα, το 2010 το Πάσχα ήταν στις 4 Απριλίου (με το ν.η.) ενώ το 2542 θα είναι στις 8 Απριλίου, λόγω της διαφοράς των 4 επί πλέον δίσεκτων ετών του π.η. που μεσολαβούν στα 532 χρόνια (ενώ με το π.η. και στα δυο έτη το Πάσχα είναι στις 22 Μαρτίου). Όμοια το 2070 το ορθόδοξο Πάσχα θα είναι στις 4 Μαΐου (με το ν.η.) και το 2602 στις 9 Μαΐου (ενώ με το π.η. και τα δυο έτη στις 21 Απριλίου). 3. Κοινός εορτασμός του Πάσχα. Eπειδή ΟΠ=21+Λ+Μ Μαρτίου π. η. = Λ+Μ-10 Απριλίου π.η. προκύπτει ότι το ορθόδοξο Πάσχα εορτάζεται την ίδια μέρα (κοινός εορτασμός) και στα δυο ημερολόγια και η μόνη διαφορά είναι στον αριθμό της ημερομηνίας του ημερολογίου (Κ μέρες μικρότερη στο π.η.). 4. Από το Πάσχα του 1924 (που η Ελληνική εκκλησία άρχισε να εφαρμόζει για το Πάσχα το ν.η.) μέχρι και το Πάσχα του 2099, λόγω της καθυστέρησης Κ=13 ημέρες του παλαιού ημερολογίου, έχουμε Ορθόδοξου Πάσχα στις ΟΠ = Λ+ Μ + 3 Απριλίου με το ν.η., με την πασχαλινή πανσέληνο στις ΜΠ = Λ+2 Απριλίου ν.η., όπου, μ = (Ε, 19), δ = (Ε,4), β = (Ε, 7), Λ = (19μ+16,30), Μ = (2δ+4β+6Λ,7). Από το 2100 μέχρι το 2199 είναι Κ=14, οπότε ΟΠ = Λ+ Μ + 4 Απριλίου με το ν.η. κ.τ.λ.. 5. Αν Λ+Μ+Κ-10 > 30 τότε έχουμε Πάσχα στις Λ+Μ+Κ-40 Μαΐου, ενώ αν Λ+Μ+Κ-10 > 61 έχουμε Πάσχα Λ+Μ+Κ-71 Ιουνίου κ.τ.λ.. 6. O παραπάνω τύπος της Πρότασης 4 αναφέρεται συχνά ως τύπος του Gauss. Πράγματι σε εργασία του Gauss (1800, [5], σελ.128) αναφέρεται παρόμοια έκφραση με Κ=13 με διαφορετική απόδειξη. Στο [2] (1959) δεν αναφέρεται καθόλου ο τύπος αυτός για την ημερομηνία του Ιουλιανού Πάσχα, αλλά μια άλλη ισοδύναμη -πιο πολύπλοκη- έκφραση

18 Δημήτρης Ι. Μπουνάκης ([2], σελ. 49). Αντίθετα, στο [2], σελ. 51, αναφέρεται η προσφορά του Gauss στην ενιαία έκφραση του τύπου του Γρηγοριανού Πάσχα. Εφαρμογές 1. Για το έτος Ε=2014 έχουμε, μ = (Ε, 19) = (2014, 19) = 0, δ = (2014, 4) = 2, β = (Ε, 7) = (2014, 7)=5, Λ = (19μ+16, 30)= (16, 30) = 16, Μ = (2δ+4β+6Λ, 7) = (24+96, 7) = (120, 7) = 1, οπότε το Πάσχα είναι στις ΟΠ = Λ+ Μ + 3 = 16+1+3 = 20 Απριλίου ν.η., και στις ΟΠ =Λ+Μ-10=7 Απριλίου με το π. η. Η πασχαλινή πανσέληνος είναι στις ΜΠ= Λ+2=16+2=18 Απριλίου ν.η.. 2. Για το έτος Ε=2015 έχουμε, μ = (Ε, 19) = (2015, 19) = 1, δ = (2015, 4) = 3, β = (Ε, 7) = (2015, 7) = 6, Λ = (19μ+16, 30)= (35, 30) = 5, Μ = (2δ+4β+6Λ, 7) = (6+24+30, 7) = (60, 7) =4, οπότε το Πάσχα είναι στις ΟΠ = Λ+ Μ + 3 Απριλίου = 5+4+3 = 12 Απριλίου ν.η., και στις ΟΠ =Λ+Μ-10=9-10=-1 Απριλίου, δηλαδή 30 Μαρτίου με π. η.. Η (Μετώνεια) πασχαλινή πανσέληνος είναι στις ΜΠ= Λ+Κ-11=18-11=7 Απριλίου ν. η. (25/3 με π. η.). 3. Για το έτος Ε=2100, έχουμε μ = (Ε, 19) = (2100, 19) = 10, δ= (2100, 4) = 0, β = (Ε, 7) = (2100, 7)=0, Λ = (19μ+16, 30)= (206, 30) = 26, Μ = (2δ+4β+6Λ, 7) = (156, 7) = 2, οπότε, λόγω και Κ=14, το Πάσχα του 2100 θα είναι στις ΟΠ = K+Λ+ Μ -10 Απριλίου =14+28-10 = 32 Απριλίου ν.η., δηλαδή 2 Μαΐου και στις ΟΠ =Λ+Μ-10=18 Απριλίου με το π. η.. Η πασχαλινή πανσέληνος του 2100 είναι στις ΜΠ= Λ+Κ-11=26+14-11=29 Απριλίου ν.η.. Γ. Η ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΤΟΥ ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ ΠΑΣΧΑ Ο υπολογισμός της ημερομηνίας του Πάσχα των Καθολικών και Διαμαρτυρομένων (Λατίνων Πάσχα) χρησιμοποιεί τον κανόνα της Α Οικουμενικής συνόδου, αλλά διαφοροποιείται σε δυο βασικά σημεία σε σχέση με αυτόν του Ορθόδοξου: χρησιμοποιεί το Γρηγοριανό (νέο) ημερολόγιο (ν.η.) για τον προσδιορισμό της εαρινής ισημερίας και την

Η Ημερομηνία του Πάσχα 19 διορθωμένη Μετώνεια (Ιουλιανή) πανσέληνο για τον προσδιορισμό της πασχαλινής πανσελήνου. Όπως και προηγουμένως για τον καθορισμό της ημερομηνίας αυτής απαιτούνται: α) Η εύρεση της ημερομηνίας της Γρηγοριανής πασχαλινής πανσελήνου, έστω ΓΠ μέρες Απριλίου με το ν.η., και β) Ο υπολογισμός των ημερών από την επόμενη της προηγούμενης ημερομηνίας μέχρι και την Κυριακή του Πάσχα, έστω Η ημέρες, 1 H 7. Τότε η ημερομηνία KΠ του Καθολικού (ή Γρηγοριανού) Πάσχα θα είναι στις KΠ = ΓΠ + Η Απριλίου (στην ενότητα αυτή όλες οι ημερομηνίες θα είναι με το νέο ημερολόγιο (ν. η.) εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά) Επειδή οι αποδείξεις των σχετικών προτάσεων στην ενότητα αυτή είναι μακροσκελείς και επίπονες, θα αναφέρουμε τις προτάσεις χωρίς αποδείξεις, δίνοντας στο τέλος και τον προσωπικό ενιαίο τύπο της ημερομηνίας του καθολικού Πάσχα. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να μου τις ζητήσει. Γρηγοριανή Επακτή (Ρ) Όπως είδαμε η Μετώνεια-Ιουλιανή (πασχαλινή ή μη) πανσέληνος προσδιορίζεται μόνο από την Ιουλιανή επακτή Τ. To ίδιο συμβαίνει και με την Γρηγοριανή πανσέληνο, αλλά η Γρηγοριανή πανσέληνος για να είναι πιο ακριβής (πιο κοντά στην πραγματική-αστρονομική) χρησιμοποιεί την Γρηγοριανή επακτή, έστω Ρ, που είναι η Ιουλιανή επακτή διορθωμένη κατά το σφάλμα του κύκλου του Μέτωνα, την λεγόμενη εκκλησιαστική πρόπτωση Θ, αναγόμενη στην 31 Δεκεμβρίου με το ν.η.. Aποδεικνύεται ([2], σελ. 40-41) ότι ο κύκλος του Μέτωνα δίνει κάθε φάση της σελήνης, από την εποχή της Α Οικουμενικής συνόδου μέχρι και το έτος Ε, Θ ημέρες αργότερα της πραγματικής φάσης, όπου Θ = - 2, α = Ε 100 8α 13 25 8. Για παράδειγμα: για το 2014 είναι Θ=4 που εκφράζει την διαφορά μεταξύ της Γρηγοριανής πανσέληνου, στις 14 Απριλίου 2014 (όπως θα

20 Δημήτρης Ι. Μπουνάκης δούμε παρακάτω) και της παραπάνω, στις 18 Απριλίου. Μετώνειας πανσέληνου, όπως είδαμε ΠPOTAΣH 5 Αν Τ η Mετώνεια (Ιουλιανή) επακτή του έτους Ε, τότε η Γρηγοριανή επακτή του έτους Ε είναι ίση με Ρ = (Τ+Θ- Κ, 30) = (11μ+8+ [(8α+13)/25] α+[α/4], 30) ή Ρ = (11μ+23-F, 30), όπου F = 15- [(8α+13)/25] +α-[α /4], Θ η εκκλησιαστική πρόπτωση, Κ = α - [α/4] - 2 η καθυστέρηση του π.η., μ = (Ε, 19), α = [Ε/100]. Παράδειγμα 1 Για το έτος Ε=2013 έχουμε μ=(ε, 19) = 18, α=[2013/100]=20 οπότε η Γρηγοριανή επακτή είναι Ρ = (197, 30) = 17. Άρα η (Γρηγοριανή) σελήνη στις 31/12/2012 ν.η. είναι 17 ημερών. Από τους αστρονομικούς πίνακες (βλ. [6]) στις 31/12/2012 έχουμε σελήνη 18 ημερών, δηλαδή μια μέρα μόνο διαφορά, ενώ χωρίς την διόρθωση (με την Mετώνεια επακτή), όπως είδαμε, στο παράδειγμα μετά την πρόταση 1, είχαμε σφάλμα 5 ημερών. Παράδειγμα 2 Για το Ε=2014 έχουμε, α=20, μ=0, Ρ=(8+6+5-20,30)=(-1, 30)=29, δηλαδή η σελήνη στις 31/12/2013 είναι 29 ημερών, που συμπίπτει με την αστρονομική (βλ. [6]). Σημείωση Με βάση την Γρηγοριανή Επακτή ενός έτους μπορεί να βρεθεί η ηλικία της σελήνης μιας οποιαδήποτε ημέρας του έτους. Έτσι, αν Α ο αύξων αριθμός της ημέρας (από 1/1) τότε την ημέρα εκείνη η σελήνη είναι (Ρ+Α, 30) ημερών και ακόμη καλύτερα (Ρ+Α, 29,53) ημερών. Για παράδειγμα, η σελήνη στις 22/8/2013 είναι (Ρ+Α, 29,53) = (17+431+28+230+22, 29,53) = ( 251, 29,53) = 14,76 ( η διαίρεση 251: 29,53 δίνει πηλίκο 8 και υπόλοιπο 14,76) ημερών, δηλαδή πανσέληνος. Δεδομένου ότι στις 21/8/2013 ν.η. έχουμε αστρονομική πανσέληνο (βλ. [6]), βλέπουμε ότι η Γρηγοριανή πανσέληνος του Αυγούστου 2013 δίνεται 1 μόνο ημέρα αργότερα της πραγματικής, ενώ όπως είδαμε (πρόταση 1, σημείωση) η Ιουλιανή

Η Ημερομηνία του Πάσχα 21 πανσέληνος του Αυγούστου 2013 δίνεται 5 μέρες αργότερα. Στην μεγάλη πάντως πλειοψηφία των ετών οι δυο πανσέληνοι, Γρηγοριανή και αστρονομική, συμπίπτουν. Γρηγοριανή Πασχαλινή Πανσέληνος (ΓΠ) ΠΡΟΤΑΣΗ 6 Ι. Η Γρηγοριανή πασχαλινή πανσέληνος ΓΠ του έτους Ε, συναρτήσει της επακτής Ρ, είναι (συμβαίνει) στις ΓΠ = (53-Ρ, 30)-10 - Σ Απριλίου όπου Σ=1 αν Ρ=24 ή (Ρ=25 και μ>10) και Σ = 0 διαφορετικά. ΙΙ. Η Γρηγοριανή πασχαλινή πανσέληνος του έτους Ε δίνεται και με την ισοδύναμη μορφή, στις ΓΠ = 21 + D - Σ Μαρτίου = D-10- Σ Aπριλίου όπου D = (53-Ρ, 30) = (19μ+F, 30), μ = (Ε,19), α = [Ε/100], F = 15- [(8α+13)/25] +α-[α /4]. Η παράμετρος Σ μπορεί να εκφραστεί και με ενιαίο τύπο, ως Σ = 1 1 P 24 ( P 25 [11/ (1 μ)]) 1 = 1 D 29 ( D 28 [11/ (1 μ)]). (Iσχύουν: P=24 D=29, P=25 D=28) Παράδειγμα 1 Για το έτος Ε=2013, όπως είδαμε είναι P=17, οπότε Σ=0 και η Γρηγοριανή πασχαλινή πανσέληνος είναι στις ΓΠ = (53-17, 30)-10 = 6-10= -4 Απριλίου, δηλ. 27 Μαρτίου. Παράδειγμα 2 Για το Ε=2014 έχουμε, Ρ=29, οπότε Σ=0 και η Γρηγοριανή πασχαλινή πανσέληνος είναι στις ΓΠ = (53-29, 30)-10 = 24-10 = 14 Απριλίου.

22 Δημήτρης Ι. Μπουνάκης ΠΡΟΤΑΣΗ 7 - Εύρεση ημέρας Γρ. Πασχαλινής πανσελήνου και Η Αν Υ =(Ε+[E/4]+ΓΠ-Κ+2, 7) με την (Γρηγοριανή) πασχαλινή πανσέληνο ΓΠ σε μέρες Μαρτίου (ν.η.), τότε η πασχαλινή πανσέληνος συμβαίνει ημέρα Υ (Υ= 1:Σ, 2:Κ, 3:Δ, 4:Τ, 5:Τε, 6::Π, 0:Πα), και το πλήθος των ημερών, Η, από την επομένη της πασχαλινής πανσελήνου μέχρι και την Κυριακή του Πάσχα είναι ίσο με Η = 7 - ( Ε + [E/4] + ΓΠ - Κ, 7). Παράδειγμα Για το έτος Ε=2013, είναι ΓΠ=27 Μαρτίου, οπότε Υ = (Ε+[E/4]+ΓΠ-Κ+2, 7) = (2013+503+27-13+2, 7) = (2532, 7) =5. Άρα η Γρηγοριανή πασχαλινή πανσέληνος είναι ημέρα Τετάρτη και το πλήθος των ημερών μέχρι την Κυριακή του Πάσχα είναι Η =7- ( Ε+[E/4]+ΓΠ-Κ,7) = 7- ( 2530,7) =7-3 = 4. Όμοια για το έτος Ε=2014 είναι Υ = (2014+503+45-11,7) = (2551,7) =3, οπότε η Γρηγοριανή πασχαλινή πανσέληνος είναι ημέρα Δευτέρα (14/4) και το πλήθος των ημερών μέχρι την Κυριακή του Πάσχα είναι Η=7-(2549,7) =7-1=6. ΠΡΟΤΑΣΗ 8 - Ημερομηνία Καθολικού Πάσχα - Τύπος ΔΙΜ Για ένα έτος Ε, έστω οι αριθμοί α = Ε 100, 8α 13 α F 15 α 25 4, α R 4 α,7 4 μ = (Ε, 19), δ = (Ε, 4), β = (Ε, 7), D = (19μ+F, 30), Ζ = (2δ+4β+6D+R, 7) S = 1 Σ, ε = (Ε, 100), L = ε-2α + [α/4] + [ε/4]. 1+ D + (L,7) - 33 Τότε το καθολικό (Γρηγοριανό) Πάσχα το έτος Ε εορτάζεται στις ΚΠ = D + Ζ - 9-7S Απριλίου

Η Ημερομηνία του Πάσχα 23 και η Γρηγοριανή πασχαλινή πανσέληνος είναι στις (D-10-Σ) Απριλίου, όπου Σ = 1 1 D 29 ( D 28 [11/ (1 μ)]) (Είναι Σ=1 όταν D=29 ή (D=28 και μ>10) ενώ διαφορετικά Σ=0. Επίσης S=1 όταν Σ=1 και D+ (L, 7)=33, ενώ διαφορετικά S =0). Παραδείγματα 1. Για το έτος Ε=2014 έχουμε α = 20, F = 15- [(8α+13)/25] +α-[α/4] = 24, R = (4+α-[α/4], 7) = 5 (οι αριθμοί F, R είναι σταθεροί για όλα τα έτη του ίδιου αιώνα) μ = (2014,19) = 0, D= (19μ+F, 30) = (24,30) = 24, οπότε Σ=S= 0, δ = (Ε, 4) = 2, β = (Ε,7) = 5, Ζ= (24+624+5,7) = 5, οπότε το καθολικό Πάσχα είναι στις ΚΠ= D +Ζ- 9-7S =24+5-9 = 20 Απριλίου (μαζί με το ορθόδοξο), με τη Γρηγοριανή πανσέληνο ΓΠ στις D - 10 - Σ =24-10 = 14 Απριλίου. 2. Για το έτος Ε=2015, έχουμε, α = 20, F = 24, R = 5, μ = (2015,19) = 1, D= (19μ+F, 30) = (43,30) = 13, οπότε Σ=S= 0, δ = (Ε, 4) = 3, β = (Ε,7) = 6, Ζ = (2δ+4β+6D+R, 7) = (6+24+78+5,7) = (113, 7) = 1. Έτσι το καθολικό Πάσχα του 2015 εορτάζεται στις ΚΠ = D +Ζ- 9-7S = 13+1-9 = 5 Απριλίου. (με τη Γρηγοριανή πανσέληνο ΓΠ στις D - 10 - Σ =13-10 =3 Απριλίου). 3. Για το έτος Ε=2100, έχουμε, α = 21, F = 15-7+16=24, R = (20,7)=6, μ = (2100,19) = 10, D= (19μ+F, 30) = (214,30) =4, οπότε Σ=S= 0, δ = (Ε, 4) = 0, β = (Ε,7) = 0, Ζ = (2δ+4β+6D+R, 7) = (0+0+24+6,7) = (30, 7) =2. Έτσι το καθολικό Πάσχα του 2100 θα εορταστεί στις ΚΠ = D +Ζ- 9-7S = 4+2-9 = -3 Απριλίου, δηλαδή 28 Μαρτίου. (με τη Γρηγοριανή πανσέληνο ΓΠ στις D - 10 - Σ =4-10 = -6 Απριλίου, δηλαδή 25 Μαρτίου)..

24 Δημήτρης Ι. Μπουνάκης Σημειώσεις 1. Τα έτη με D=29 ή ( D=28 και μ>10) και των οποίων η Γρηγοριανή πανσέληνος είναι Σάββατο, ας τα ονομάσουμε έτη με Σ - πασχαλινή πανσέληνο (Σ π. πανσέληνο). Τα έτη Ε με Σ π. πανσέληνο ικανοποιούν τις συνθήκες (D=29 ή (D=28 και μ>10)) και Υ = (Ε+[E/4]+ D+1 - Κ, 7) =1 ή, ισοδύναμα, όπως αποδεικνύεται, (D=29 ή ( D=28 και μ>10)) και D+(L, 7)=33 με L=ε-2α+[α/4]+[ε/4]. Τα έτη με Σ π. πανσέληνο είναι ακριβώς αυτά για τα οποία S = 1. 2. Για τα έτη με Σ π. πανσέληνο αποδεικνύεται ότι Ζ=6, οπότε το Καθολικό Πάσχα εορτάζεται στις ΚΠ = D - 10 Απριλίου, με D=29, 28, δηλαδή στις 19 ή 18 Απριλίου, με την πασχαλινή πανσέληνο (Σ=1) στις 18, 17 Απριλίου αντίστοιχα). Έτσι ο τύπος του Καθολικού Πάσχα μπορεί να πάρει και την μορφή ΚΠ = (1-S) (D + Z 9)+ (D-10)S Απριλίου με την Γρ. πασχ. πανσέληνο στις ΓΠ = D 10 - Σ Απριλίου. 3. Αποδεικνύεται ότι τα μόνα έτη του 21 ου αιώνα με Σ-π. πανσέληνο είναι τα έτη 2049 και 2076. Έτσι, για όλα τα έτη του 21 ου αιώνα ο τύπος του Καθολικού Πάσχα παίρνει την απλούστερη μορφή ΚΠ = ( 1-S) (D + Z - 9) + (D-10)S, με S= 1 1 E 2049 E 2076. Mε την Γρηγοριανή πανσέληνο στις ΓΠ = D -10 - Σ Απριλίου. Ειδικότερα, τo 2049, το Πάσχα είναι στις D-10=28-10=18 Απριλίου και το 2076 στις D-10=29-10=19 Απριλίου και οι πανσέληνοι στις 17, 18 Απριλίου αντίστοιχα. Ανάλογες απλές εκφράσεις μπορούμε να έχουμε και για τους άλλους αιώνες, έχοντας υπόψη και τον παρακάτω πίνακα. 4. Αποδεικνύεται ότι μεταξύ των ετών 2000 3164 μ.χ. υπάρχουν ακριβώς 10 έτη με Σ- π. πανσέληνο, τα οποία φαίνονται στον πίνακα:

Η Ημερομηνία του Πάσχα 25 Έτη με Σ - Π. Πανσέληνο μεταξύ 2000 3164 μ. Χ. D=29 2076 2133 2201 2296 2448 2668 2725 2820 KΠ:19/4 D=28 μ>10 2049 2106 KΠ:.18/4 5. Από την παραπάνω μορφή του αλγορίθμου για την εύρεση του Καθολικού Πάσχα, μπορεί να προκύψει ως ειδική περίπτωση ο αλγόριθμος του Ορθόδοξου-Ιουλιανού Πάσχα: πράγματι, αν λάβουμε S=0 και K=Θ=0 (συνθήκες λογικές για τα Ιουλιανά δεδομένα) τότε, R=6, F=15 και προκύπτει η ημερομηνία ΚΠ = D +Ζ- 9-7S= D +Ζ- 9= (D+1) + Z - 10 = Λ+Z-10 Aπριλίου με D = (19μ+15, 30), Λ= D+1 = (19μ+16, 30) (λόγω 0D<29), Ζ = (2δ+4β+6D+6, 7) = (2δ+4β+6Λ, 7) = Μ, η οποία είναι η ημερομηνία του ορθόδοξου Πάσχα με το π. η. σε μέρες Απριλίου, που είδαμε στην πρόταση 4 (και Λ+Μ +Κ -10 Απριλίου με το ν.η.). ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. http://www.mathher.gr/s/2010-03-13-14-39-35 (ΙΙ. Ημερολόγιο, ημερομηνίες κ.ά.) 2. Κατσή Δ. (1959), Τα ημερολόγια και ο κανών του Πάσχα, Αθήναι. 3. Διονυσίου Στ.- Δανέζη Μ.(1995), Η Οδύσσεια των ημερολογίων, τόμος Β. 4. Μπουνάκη Δ., Το Ημερολόγιο, Ευκλείδης Β τεύχος 3, 1992-93. 5. http://webdoc.sub.gwdg.de/ebook/e/2005/gausscd/html/osterformel/seite 2.htm 6. http://www.timeanddate.com/calendar/moonphases.html?year=2013&n=0