ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Dr. Christos D. Tarantilis Associate Professor in Operations Research & Management Science http://tarantilis.dmst.aueb.gr/ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 1-
ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑ TOY ΑΛΓΟΡΙΘΜOY ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΩΣΗΣ Εύρεση Μέτριων Λύσεων όταν η έρευνα «παγιδεύεται» σε τοπικό ελάχιστο c(x) H έρευνα γίνεται αποδοτικότερη με τη χρήση των μεταευρετικών αλγορίθμων Τοπικό Ελάχιστο Ολικό Ελάχιστο Οι μεταευρετικοί βοηθούν την έρευνα να «σκαρφαλώσει» και να μην «παγιδευτεί» σε χαμηλής ποιότητας τοπικά ελάχιστα x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 2-
ΜΕΤΑΕΥΡΕΤΙΚΟΙ ΤΟΠΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μεταευρετικοί Τοπικής Έρευνας: Χρησιμοποιούν μηχανισμούς που καθοδηγούν τους Αλγορίθμους Τοπικής Έρευνας (π.χ. Αλγορίθμους Επαναληπτικής Βελτίωσης) Εφαρμόζουν στρατηγικές Εντατικοποίησης και Διαφοροποίησης της έρευνας εντός του Χώρου των Λύσεων. Εντατικοποίηση: Η στρατηγική που έχει ως στόχο την εστίαση της έρευνας σε περιοχές του Χώρου των Λύσεων με υψηλής ποιότητας λύσεις (π.χ. διεξαγωγή τοπικής έρευνας, χρησιμοποιώντας κινησεις που να μην τροποποιούν δραματικά την δομή της τρέχουσας λύσης) Διαφοροποίηση: Η στρατηγική που έχει ως στόχο είτε την μετακίνηση της έρευνας σε ανεξερεύνητες περιοχές του Χώρου των Λύσεων όταν κρίνεται αναγκαίο είτε τον απεγκλωβισμό της έρευνας από τοπικά βέλτιστα (π.χ. αποδοχή ακόμα και λύσεων που οδηγούν στην υποβάθμιση της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης για προβλήματα ελαχιστοποίησης το αντίστροφο για προβλήματα μεγιστοποίησης) Στόχος: Ο ταχύς προσδιορισμός των περιοχών στο Χώρο των Λύσεων (solution space) με υψηλής ποιότητας λύσεις καθώς κα η αποφυγή της σπατάλης χρόνου σε περιοχές του Χώρου των Λύσεων που έχουν ήδη εξερευνηθεί ή/και δεν παρέχουν υψηλής ποιότητας λύσεις. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 3-
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 4-
SIMULATED ANNEALING Το Φυσικό Φαινόμενο Η βασική Ιδέα προέρχεται από την θερμοδυναμική και την ανόπτηση (annealing) του υγρού μετάλλου από την υγρή στην κρυσταλλική στερεά κατάσταση Στις υψηλές θερμοκρασίες, τα άτομα του μετάλλου έχουν υψηλότερη ενέργεια και περισσότερη ελευθερία να τακτοποιηθούν. Όσο όμως η θερμοκρασία μειώνεται η ενέργεια των ατόμων του μετάλλου μειώνεται. Εάν το υγρό (π.χ. λιωμένο ατσάλι) ψυχθεί αργά και του επιτραπεί να σπαταλήσει αρκετό χρονικό διάστημα κοντά στην θερμοκρασία πήξης, τότε ένα τέλειος κρύσταλλος θα σχηματιστεί, τα άτομα θα έχουν περισσότερη ελευθερία να τακτοποιηθούν μέχρι να σχηματίσουν το ελάχιστης ενέργειας σύστημα. Εάν το υγρό δεν σπαταλήσει χρόνο κοντά στο σημείο πήξης και/ή ψυχθεί πολύ γρήγορα, τότε το υλικό θα σχηματίσει ένα κρύσταλλο με πολλές ατέλειες και με υψηλότερο εσωτερικό ενεργειακό επίπεδο (σκέψου την κατάψυξη με βύθιση στο νερό του πυρακτωμένου μετάλλου, το υλικό ενδέχεται να σπάσει). ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 5-
SIMULATED ANNEALING Η Αντιστοιχία Αν η πτώση της θερμοκρασίας γίνει με αργό τρόπο, το στερεό επιτυγχάνει μια θερμική ισορροπία σε κάθε θερμοκρασία. H αναλογία ανάμεσα στην SA και στην φυσική ψύξη ενός στερεού παριστάνεται ως εξής: Φυσικό Σύστημα Κατάσταση του Υγρού Επίπεδο Ενέργειας της κάθε Κατάστασης Ελάχιστη Κατάσταση Ενέργειας Απότομη Πτώση Θερμοκρασίας Πρόβλημα Βελτιστοποίησης Εφικτή λύση Τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης της κάθε κατάστασης Βέλτιστη Λύση Σύγκλιση σε Τοπικό Ελάχιστο ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 6-
SIMULATED ANNEALING Η SA ανήκει στην κατηγορία των μεταευρετικών Τοπικής Έρευνας και κύριο χαρακτηριστικό της είναι ότι αποδέχεται ακόμα και λύσεις που οδηγούν σε υποβάθμιση την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης με σκοπό να απεγκλωβίζει τη έρευνα από χαμηλής ποιότητας τοπικά βέλτιστα. Η SA ξεκινά από μία αρχική λύσηx 1 και σε κάθε επανάληψη επιλέγει με στοχαστικό τρόπο μία γειτονική λύση. Αυτό σημαίνει ότι η SA δεν βρίσκει όλες τις γειτονικές λύσεις της τρέχουσας λύσης αλλά επιλέγει με στοχαστικό τρόπο μια από τις εφικτές γειτονικές λύσεις, με βάση τα χαρακτηριστικά της Κίνησης (κορυφές ή συνδέσεις) που στοχαστικά επιλέχθηκαν. Θεωρώντας τηx ως τη τρέχουσα λύση και τηx ως τη γειτονική λύση τηςx, τότε σύμφωνα με τον αλγόριθμο Simulated Annealing Εάνc(x )-c(x) 0, ηx γίνεται αποδεκτή και «βαπτίζεται» ως η νέα τρέχουσα λύση (η συγκεκριμένη ανισότητα ισχύει στην περίπτωση για προβλήματα ελαχιστοποίησης. Για πρόβλημα μεγιστοποίησης ισχύει ακριβώς η αντίθετη ανισότητα) ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 7-
SIMULATED ANNEALING Διαφορετικά, εάνc(x )-c(x)>0, τότε επιλέγεταιμία από τις επόμενες δύο εκδοχές σύμφωνα με τον ακόλουθο πιθανοκρατικό κανόνα: η x γίνεται αποδεκτή ως η νέα τρέχουσα λύση με πιθανότητα p t =exp-([c(x )-c(x)] / θ t ) η x δεν γίνεται αποδεκτή και η x παραμένει η τρέχουσα λύση με πιθανότητα 1-p t c(x ): συνάρτηση κόστους της προτεινόμενης γειτονικής λύσης x c(x): συνάρτηση κόστους της τρέχουσας λύσης x θ t : παράμετρος που συμβολίζει τη θερμοκρασία σε κάθε επανάληψη t. (καθορίζεται από το σχεδιαστή του αλγορίθμου) ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 8-
SIMULATED ANNEALING Η αποδοχή με πιθανότηταp t ακόμα και μίας λύσηςx που είναι χαμηλότερης ποιότητας από την τρέχουσα λύση x στην επανάληψη t, λαμβάνει χώρα με σκοπό η έρευνα να μπορέσει να «σκαρφαλώσει» από το «χαντάκι» ενός πρόωρου τοπικού βέλτιστου. Όσον αφορά την παράμετροθ t (την καθορίζει ο σχεδιαστής του αλγορίθμου),αποτελεί μία φθίνουσα συνάρτηση της επανάληψης t, δηλαδή Αρχικώς τίθεται ίση με μία δεδομένη τιμή, η οποία συνηθίζεται να είναι αρκετά υψηλή ώστε να γίνονται αποδεκτές (βλέπε τον ορισμό της πιθανότηταςp t στην προηγούμενη διαφάνεια) και γειτονικές λύσεις με «χειρότερο» κόστος σε σχέση με την εκάστοτε τρέχουσα λύση. Ακολούθως, ηθ t πολλαπλασιάζεται με ένα συντελεστή (0 < z <1) (μειώνεται δηλαδή με ένα ρυθμό που καθορίζει ο σχεδιαστής του αλγορίθμου) μετά από κάθε μ επαναλήψεις του εσωτερικού βρόγχου (βλέπε επόμενη διαφάνεια) της SA, με σκοπό η πιθανότητα αποδοχής μίας χαμηλότερης ποιότητας γειτονικής λύσης να μειώνεται με το χρόνο. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 9-
SIMULATED ANNEALING Αρχική λύση x 1, αρχική θερµοκρασία θ 1. Εξωτερικός βρόγχος: όσο το κριτήριο εξωτερικού βρόγχου ΕΝ ικανοποιείται πράξε Εσωτερικός βρόγχος: όσο το κριτήριο εσωτερικού βρόγχου ΕΝ ικανοποιείται πράξε i) Παρήγαγε µία λύση ii) Θέσε = c( x ) - c(x). iii) Εάν 0, θέσε x = ' ' x N(x) όπου (x) ' x. Έλεγξε αν c(x)< c( iv) Εάν > 0, θέσε x = Επανέλαβε τον εσωτερικό βρόγχο. Μείωσε τη θερµοκρασίαθ. Επανέλαβε τον εξωτερικό βρόγχο. Ανέφερε την καλύτερη λύση που έχει βρεθεί; ' N είναι η γειτονία της τωρινής λύσης x. x ), τότε τερη καλύτερη θ ). x µε πιθανότητα exp(- / t x = x. καλύ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 10-
SIMULATED ANNEALING Ο σχεδιαστής ενός αλγορίθμου Simulated Annealing (εσείς στην προκειμένη περίπτωση) πρέπει να καθορίσει τις τιμές των παραμέτρων που σχετίζονται με τον αλγόριθμο: Καθορισμός της αρχικής θερμοκρασίας θ1. Καθορισμός της συνάρτησης μείωσης της θερμοκρασίας θt (δηλαδή πως θα μειώνεται η θερμοκρασία μετά τις μ επαναλήψεις του εσωτερικού βρόγχου). Καθορισμός των κριτηρίων τερματισμού του εσωτερικού και εξωτερικού βρόγχου. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 11-
SIMULATED ANNEALING Ο καθορισμός της τιμής της αρχικής θερμοκρασίας θ 1 πρέπει να γίνεται με τέτοιο τρόπο ώστε να εξασφαλίζεται ταυτοχρόνως: τόσο η αποδοχή και χαμηλότερης ποιότητας γειτονικών λύσεων της εκάστοτε τρέχουσας λύσης (ώστε να αποφεύγεται η παγίδευση της έρευνας σε χαμηλής ποιότητας τοπικά ελάχιστα). όσο και ο τερματισμός του αλγορίθμου εντός αποδεκτού χρονικού διαστήματος. Πρέπει να επιδιώκεται μια σχετικώς αργή πτώση της θερμοκρασίας θ t, καθώς σε αντίθετη περίπτωση ο αλγόριθμος θα συγκλίνει πολύ γρήγορα σε κάποιο χαμηλής ποιότητας τοπικό βέλτιστο. Σε κάθε θερμοκρασία θ t, ο αριθμός των επαναλήψεων εντός του εσωτερικού βρόγχου επιδιώκεται να είναι αρκετά μεγάλος, χωρίς βέβαια να επιβαρύνεται σημαντικά υπολογιστικός χρόνος του αλγορίθμου ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 12-
SIMULATED ANNEALING Κριτήρια Τερματισμού Η καλύτερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης να μην έχει μειωθεί τουλάχιστονπ 1 % για τουλάχιστονκ 1 συνεχόμενους εξωτερικούς βρόχους των μ εσωτερικών βρόχων, ή/και κ 3 συνεχόμενοι εξωτερικοί βρόχοι τωνμεσωτερικών βρόχων να έχουν εκτελεστεί. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 13-
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΚΑΛΩ ;;;;; tarantil@aueb.gr 210-8203805, Πατησίων 95, 3 ος όροφος Ώρες Γραφείου: Παρασκευή 11.00-14.00 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 14-