ΑΠΑΛΟΙΦΗ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΣΕ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΙΣ DC-AC ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΠΕΔΩΝ Ιωάννης Μπαλουκτσής Loughborough University Μετ/κός φοιτητής, Department of Electrical and Electronic Engineering balouktsis98@yahoo.co.uk Βασίλειος Αγγελίδης Murdoch University Καθηγητής, Chair of Power Engineering, School of Engineering Science Dixon Road, Rockingham 668, Western Australia V.Agelidis@murdoch.edu.au Αναστάσιος Μπαλουκτσής Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Καθηγητής, Τμήμα Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τέρμα Μαγνησίας, 64, Σέρρες tasosb@teiser.gr Περίληψη- Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται μία τεχνική επιλεκτικής απαλοιφής αρμονικών (SHE) σε αντιστροφείς DC-AC πολλαπλών επιπέδων με τη μέθοδο διαμόρφωσης εύρους παλμού (PWM). Η τεχνική της SHE-PWM συνίσταται στον ακριβή (μαθηματικό) υπολογισμό των γωνιών έναυσης και σβέσης των διακοπτών του αντιστροφέα, προκειμένου να επιτυγχάνεται ο μηδενισμός συγκεκριμένων αρμονικών από την πρωτογενή κυματομορφή της τάσης εξόδου. Συνεπώς, θεωρητικά, η τεχνική αυτή παρέχει τη δυνατότητα της παραγωγής ισχύος εξόδου με την πιο υψηλή ποιότητα από πλευράς αρμονικών, χρησιμοποιώντας τη μικρότερη δυνατή διακοπτική συχνότητα. Το χαρακτηριστικό αυτό είναι πολύ χρήσιμο σε εφαρμογές μεγάλης ισχύος, επειδή η υψηλή συχνότητα λειτουργίας των διακοπτών θα οδηγούσε σε μη αποδεκτά επίπεδα απωλειών. Η τεχνική SHE-PWM αναλύεται γενικώς και εφαρμόζεται επιτυχώς σε αντιστροφείς πέντε (5) και επτά (7) επιπέδων, όπου βρίσκονται λύσεις για όλο το φάσμα των δυνατών επιπέδων τάσης εξόδου.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μέχρι σήμερα έχουν αναπτυχθεί διάφορες τεχνικές εύρεσης του εύρους και της χρονικής εμφάνισης των παλμών (εύρεση γωνιών έναυσης και σβέσης των διακοπτών) με τη μέθοδο διαμόρφωσης εύρους παλμού (PWM) για επιλεκτική απαλοιφή αρμονικών (SHE-PWM), όταν εφαρμόζεται κυρίως σε διατάξεις αντιστροφέων δύο () ή τριών (3) επιπέδων [] []. Ουσιαστικά, το αντικείμενο των παραπάνω τεχνικών είναι η εύρεση λύσεων σε μη γραμμικά συστήματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων που εκφράζουν τους συντελεστές Fourier των αρμονικών στις οποίες αναλύονται οι κυματομορφές της τάσης εξόδου της μεθόδου PWM. Οι τεχνικές που έχουν εφαρμοστεί και υπάρχουν στη βιβλιογραφία περιλαμβάνουν: τη χρήση της μεθόδου της επαγωγικής ομοτοπίας [6], τη χρήση πολυωνυμικών συναρτήσεων και επίλυση του συστήματος με προσπάθεια διαδοχικής μείωσης των μεταβλητών (resultant theory) [7], τη χρήση συναρτήσεων Walsh [9]-[], άλλες μεθόδους [] και τη χρήση μεθόδου εύρεσης ελαχίστου σύνθετων μη γραμμικών συναρτήσεων με ταυτόχρονη ικανοποίηση περιορισμών ως προς τις μεταβλητές [8], []. Οι διατάξεις αντιστροφέων DC-AC πολλαπλών επιπέδων έχουν διερευνηθεί τις τελευταίες τρεις δεκαετίες. Αρχικά, όταν η συχνότητα λειτουργίας των διακοπτών περιορίζονταν στη συχνότητα του δικτύου, το πρόβλημα το οποίο έπρεπε να λυθεί ήταν η δημιουργία μιας τάσης εξόδου κλιμακωτής μορφής με ελεγχόμενη τη θεμελιώδη αρμονική και εξάλειψη μέγιστου αριθμού αρμονικών από τις υπόλοιπες [3]. Στο σχήμα δείχνεται η γενική μορφή της κλιμακωτής τάσης όπου οι γωνίες μετάβασης συνδέονται με τα σημεία αλλαγής των επιπέδων. Στη γενική μορφή τα επίπεδα τάσης δεν είναι ίσα, ενώ οι ίσες τάσεις αποτελούν υποπερίπτωση της κλιμακωτής μορφής. Σε πρόσφατες δημοσιεύσεις το παραπάνω πρόβλημα προσεγγίζεται χρησιμοποιώντας προηγούμενες μεθόδους που αναφέρθηκαν για τις περιπτώσεις των δύο (διπολική μορφή) και των τριών επιπέδων (μονοπολική μορφή) [4] [6]. Παρόλα αυτά όπως επισημαίνεται στη [6] οι μέθοδοι αυτές δεν μπορούν να δώσουν λύσεις για μεταβλητές περισσότερες των τεσσάρων έως πέντε μεταβλητών. Η γενικευμένη μέθοδος SHE-PWM για διατάξεις αντιστροφέων DC-AC πολλαπλών επιπέδων έχει διερευνηθεί στις πρόσφατες δημοσιεύσεις [7] [9]. Ο στόχος σ όλες τις περιπτώσεις είναι η δημιουργία τάσης εξόδου κλιμακωτής
Σχήμα. Γενικευμένη μορφή κλιμακωτής τάσης Σχήμα. Γενικευμένη μορφή κλιμακωτής τάσης με διαμόρφωση PWM μορφής με ταυτόχρονη διαμόρφωση PWM σε κάθε επίπεδο, έτσι ώστε να δίνει ελεγχόμενη τη θεμελιώδη αρμονική και εξάλειψη μέγιστου αριθμού αρμονικών από τις υπόλοιπες. Το σχήμα δείχνει τη γενικευμένη μορφή της κλιμακωτής τάσης με ταυτόχρονη διαμόρφωση PWM σε κάθε επίπεδό της. Οι προσεγγίσεις οι οποίες ακολουθούνται στις παραπάνω δημοσιεύσεις είτε δεν μπορούν να οδηγήσουν σε λύσεις μαθηματικώς, είτε όπου ισχυρίζονται ότι αριθμητικά βρέθηκαν λύσεις αυτές δεν είναι ξεκάθαρο ότι ισχύουν για όλο το φάσμα ελέγχου της βασικής αρμονικής και σε καμία περίπτωση αυτές οι λύσεις δεν καταγράφονται. Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται μια γενικευμένη μέθοδος SHE-PWM για διατάξεις αντιστροφέων DC-AC πολλαπλών επιπέδων. Το εύρος και η χρονική εμφάνιση των παλμών υπολογίζονται από την επίλυση των τριγωνομετρικών εξισώσεων, που εκφράζουν τους συντελεστές Fourier των αρμονικών που συνθέτουν την κυματομορφή της τάσης εξόδου του αντιστροφέα πολλαπλών επιπέδων. Η επίλυση των τριγωνομετρικών εξισώσεων γίνεται εφαρμόζοντας μεθόδους εύρεσης ελαχίστου σύνθετων μη γραμμικών συναρτήσεων με ταυτόχρονη ικανοποίηση περιορισμών ως προς τις μεταβλητές. Μέθοδοι εύρεσης ελαχίστου είναι η χρήση γενετικών αλγορίθμων, η Nelder Mead κλπ. Παρόλα αυτά, όλες αυτές οι μέθοδοι για να είναι αποδοτικές και επιτυχείς απαιτούν την καλή πρόβλεψη αρχικών τιμών για τις μεταβλητές. Αυτό, στην προκειμένη περίπτωση γίνεται με την εφαρμογή τεχνικών που βασίζονται, αφενός μεν στο γεγονός ότι οι λύσεις ακολουθούν μορφές οι οποίες δεν είναι τυχαίες αλλά υπακούουν σε λογικές, αφετέρου δε οι γωνίες έναυσης και σβέσης των παλμών, σε κάθε λύση, είναι συνεχείς συναρτήσεις ως προς το μέγεθος της επιθυμητής βασικής τάσης εξόδου του αντιστροφέα. Η παραπάνω μεθοδολογία εφαρμόστηκε, με απόλυτη επιτυχία, σε αντιστροφείς πέντε (5) και επτά (7) επιπέδων και με συνολικό αριθμό γωνιών έναυσης και σβέσης των παλμών διαμόρφωσης σε όλα τα επίπεδα του αντιστροφέα στο ¼ της περιόδου, 7 και 8 αντίστοιχα.. ΑΝΑΛΥΣΗ Στο σχήμα 3 δείχνεται η γενικευμένη δομή ενός αντιστροφέα πολλαπλών επιπέδων, ο οποίος ανάλογα με διάφορες πιθανές συνδεσμολογίες διόδων και πυκνωτών σχηματίζει διατάξεις που παρέχουν με κατάλληλα σήματα ελέγχου Σχήμα 3. Γενική δομή αντιστροφέα πολλαπλών επιπέδων Σχήμα 4. Μονοφασικός αντιστροφέας n επιπέδων με διαδοχικές μονάδες τύπου γέφυρας-η --
επιθυμητές κυματομορφές τάσεων εξόδου. Οι τιμές των αντιστάσεων R dci { ή }καθορίζουν την ύπαρξη ή όχι της πηγής. Στο σχήμα 4 δείχνεται μια δυνατή μονοφασική μορφή ενός αντιστροφέα n επιπέδων και n πηγών συνεχούς ρεύματος με διαδοχικές μονάδες διακοπτών τύπου γέφυρας-η. Η τάση εξόδου από τον μονοφασικό αντιστροφέα, με κατάλληλο έλεγχο των διακοπτών είναι της μορφής του σχήματος. Ο μετασχηματισμός Fourier μιας περιοδικής συνάρτησης, περιόδου Τ, δίνεται από τη σχέση: V ( t) όπου: h t + ( a cos( hω t) + b sin( hωt) ) () h h a ( u) du () t t + ah ( u)cos( hω u) du (3) t t + bh ( u)sin( hω u) du (4) t Η τάση εξόδου από τον μονοφασικό αντιστροφέα παρουσιάζει δυο ειδών συμμετρίες: η μία είναι περιττή συμμετρία ως προς το μέσον της περιόδου και η άλλη είναι συμμετρία ως προς το ¼ της περιόδου. Λόγω της περιττής συμμετρίας μηδενίζονται οι όροι του συνημιτόνου (α h για όλα τα h ) και λόγω της συμμετρίας ως προς το ¼ της περιόδου μηδενίζονται όλοι οι όροι b h για h άρτιο. Θεωρώντας ότι (α) η τάση εξόδου αποτελείται από p (περιττός αριθμός) επίπεδα, (β) η διαμόρφωση PWM σε όλα τα επίπεδα γίνεται από Ν συνολικό αριθμό γωνιών έναυσης και σβέσης στο ¼ της περιόδου και (γ) z i ο αριθμός των γωνιών στο επίπεδο i της κυματομορφής (i,.,(p-)/ ), χρησιμοποιώντας τη σχέση (4) προκύπτουν τα παρακάτω: Κατ αρχήν ( p ) q z q N όπου z, z,..,z ((p-)/)- είναι περιττοί αριθμοί. Θεωρώντας ότι οι DC πηγές είναι ίδιες, έστω V DC, οι συντελεστές Fourier b h για h περιττό δίνονται, χρησιμοποιώντας τη σχέση (4), ως εξής: 8 / 4 bh V ( u)sin( hω u) du 8 π ( θ )sin( hθ) d ω θ 8 π / 4 V ( θ )sin( hθ) d π θ 4 V π DC z θ / 4 z + z θ + θ k k+ sin( hθ) dθ + sin (h θ)dθ +... + sin(h θ)dθ k z + k N z θ ( p ) / k θ k k+ N k + θ k συνεπώς z 4 k b h V DC + ( ) cos( h θ k ) π h k Ορίζοντας το συντελεστή m από τη σχέση: ( p ) q n n z q n k + z q q ( ) n k z q q cos( h θ k ) (5) m V 4 V DC (6) π όπου V το πλάτος της θεμελιώδους αρμονικής ' π και ορίζοντας b h bh, διαμορφώνεται το παρακάτω πρόβλημα SHE-PWM για επίλυση: 4 V DC -3-
' b m (7) ' b h για h 3,5,7,.. όταν πρόκειται για μονοφασικό αντιστροφέα και h 5,7,,..όταν πρόκειται για τριφασικό αντιστροφέα. Στον τριφασικό αντιστροφέα λόγω των ιδιοτήτων του τριφασικού συστήματος οι αρμονικές που είναι πολλαπλάσιες του τρία μηδενίζονται. Η επίλυση του συστήματος (7) γίνεται εφαρμόζοντας μεθόδους εύρεσης ελαχίστου σύνθετων μη γραμμικών συναρτήσεων με ταυτόχρονη ικανοποίηση περιορισμών ως προς τις μεταβλητές. Συνεπώς το πρόβλημα που διαμορφώνεται προς επίλυση για το τριφασικό σύστημα, είναι το εξής: Ελαχιστοποίση της συνάρτησης ' ( b m) ' ' ' + b5 + b7 +... b d υπό τον περιορισμό < θ < θ <... < θ Ν < / (8) π Μέθοδοι εύρεσης ελαχίστου είναι η χρήση γενετικών αλγορίθμων, η Nelder Mead κλπ. Παρόλα αυτά, όλες αυτές οι μέθοδοι για να είναι αποδοτικές και επιτυχείς απαιτούν την καλή πρόβλεψη αρχικών τιμών για τις μεταβλητές. Αυτό, στην προκειμένη περίπτωση γίνεται με την εφαρμογή τεχνικών που βασίζονται, αφενός μεν στο γεγονός ότι οι λύσεις ακολουθούν μορφές οι οποίες δεν είναι τυχαίες αλλά υπακούουν σε λογικές, αφετέρου δε οι γωνίες έναυσης και σβέσης των παλμών, σε κάθε λύση, είναι συνεχείς συναρτήσεις ως προς το μέγεθος της επιθυμητής βασικής τάσης εξόδου του αντιστροφέα. 3. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ SHE-PWM ΣΕ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΙΣ ΠΕΝΤΕ ΚΑΙ ΕΠΤΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ Η παραπάνω τεχνική εφαρμόστηκε σε αντιστροφείς πέντε (5) και επτά (7) επιπέδων και με συνολικό αριθμό γωνιών, στο ¼ της περιόδου, των παλμών διαμόρφωσης σε όλα τα επίπεδα του αντιστροφέα, 7 και 8 αντίστοιχα. Και στις δύο περιπτώσεις διερευνήθηκαν οι συνδυασμοί αριθμού γωνιών διαμόρφωσης στα διάφορα επίπεδα προκειμένου οι λύσεις να καλύπτουν την ευρύτερη δυνατή περιοχή του συντελεστή m. Οι λύσεις οι οποίες προέκυψαν, εμφανιζόμενες για πρώτη φορά στη βιβλιογραφία, απαλείφουν πλήρως τις αρμονικές μέχρι και την 49 για τις 7 γωνίες και την 53 για τις 8 γωνίες, δίνοντας ταυτόχρονα ελεγχόμενη βασική αρμονική (τάση εξόδου) m από έως,6 για τον αντιστροφέα επτά (7) επιπέδων και από έως,6 για τον αντιστροφέα πέντε (5) επιπέδων. Στο σχήμα 5 δίνεται μια διάταξη τριφασικού αντιστροφέα 5 επιπέδων. Στο σχήμα 6 δείχνονται οι 7 γωνίες για διάφορα m και διαφορετικούς συνδυασμούς γωνιών στα επίπεδα του αντιστροφέα για τέσσερις ενδεικτικές περιπτώσεις. Στον πίνακα φαίνονται οι περιοχές τιμών του m που καλύπτονται για διάφορους συνδυασμούς κατανομής γωνιών στα επίπεδα του αντιστροφέα. Οπωσδήποτε οι λύσεις αυτές δεν καλύπτουν όλες τις πιθανές λύσεις του προβλήματος, αλλά δίνουν με βεβαιότητα όλο το εύρος διαμόρφωσης της βασικής αρμονικής. Στα σχήματα 7 και 8 δείχνονται οι κυματομορφές της μονοφασικής και της τριφασικής τάσης για τον αντιστροφέα 5 επιπέδων με τα αντίστοιχα φάσματα Fourier, για m,5. Είναι εμφανές ότι επιτυγχάνεται η επιλεκτική εξάλειψη των αρμονικών προκειμένου να έχουμε πλήρη α- πουσία των χαμηλών αρμονικών από την κυματομορφή της τάσης εξόδου. Στα σχήματα 9 και δείχνονται αντίστοιχες περιπτώσεις για αντιστροφέα 7 επιπέδων. Τα αποτελέσματα και σ αυτή την περίπτωση είναι πολύ καλά. Σχήμα 5. Τριφασικός αντιστροφέας 5 επιπέδων με διαδοχικές μονάδες τύπου γέφυρας-η -4-
Σχήμα 6. Οι 7 γωνίες για τον αντιστροφέα 5 επιπέδων ως συνάρτηση του m για τέσσερις ενδεικτικές περιπτώσεις κατανομής γωνιών στα επίπεδα (α) κατανομή γωνιών /6, (β) 5/, (γ) 9/8, (δ) 5/. Πίνακας. Περιοχές διαμόρφωσης του M για διάφορες κατανομές γωνιών k/m Σχήμα 7. Τάση μονοφασικού αντιστροφέα 5 επιπέδων (5/) για m,5 και ο αντίστοιχος μετασχηματισμός Fourier. -5-
Σχήμα 8. Τάση τριφασικού αντιστροφέα 5 επιπέδων (5/) για m,5 και ο αντίστοιχος μετασχηματισμός Fourier. 9...3.4 9 8 8 8 8 7 7 7 7 6 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3..3.4.5 Σχήμα 9. Οι 8 γωνίες για τον αντιστροφέα 7 επιπέδων ως συνάρτηση του m για δύο ενδεικτικές περιπτώσεις κατανομής γωνιών στα επίπεδα (α) κατανομή γωνιών /3/4 και (β) 3/5/. Σχήμα. Τάση του μονοφασικού και του αντίστοιχου τριφασικού αντιστροφέα 7 επιπέδων (/3/4) για m, και οι αντίστοιχοι μετασχηματισμοί Fourier. -6-
4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Παρουσιάστηκε μία τεχνική επιλεκτικής απαλοιφής αρμονικών (SHE) σε αντιστροφείς DC-AC πολλαπλών επιπέδων με διαμόρφωση εύρους παλμού (PWM). Η τεχνική της SHE-PWM συνίσταται στον ακριβή (μαθηματικό) υπολογισμό των γωνιών έναυσης και σβέσης των διακοπτών του αντιστροφέα, προκειμένου να επιτυγχάνεται ο μηδενισμός συγκεκριμένων αρμονικών από την πρωτογενή κυματομορφή της τάσης εξόδου. Η τεχνική SHE-PWM αναλύθηκε και εφαρμόστηκε επιτυχώς σε αντιστροφείς πέντε (5) και επτά (7) επιπέδων, όπου βρέθηκαν λύσεις για όλο το φάσμα των δυνατών επιπέδων τάσης εξόδου με άριστη ποιότητα από πλευράς απουσίας χαμηλών αρμονικών. Οι λύσεις αυτές παρουσιάζονται για πρώτη φορά στη βιβλιογραφία. 5. ΑΝΑΦΟΡΕΣ [] H.S. Patel and R.G. Hoft, Generalised harmonic elimination and voltage control in thyristor inverters: part I harmonic elimination, IEEE ransactions on Industry Applications, Vol. 9, pp. 3-37, May/June 973. [] H.S. Patel and R.G. Hoft, Generalized harmonic elimination and voltage control in thyristor inverters: part II voltage control technique, IEEE ransactions on Industry Applications, Vol., pp. 666-673, September/October 974. [3] P. Enjeti and J.F. Lindsay, Solving nonlinear equations of harmonic elimination PWM in power control, in IEE Electronics Letters, Vol. 3, No., pp. 656-657, June 987. [4] P.N. Enjeti, P.D. Ziogas, J.F. Lindsay, Programmed PWM techniques to eliminate harmonics: a critical evaluation, IEEE ransactions on Industry Applications, Vol. 6, No, pp. 3-36, March/April 99. [5] Kato,., Precise PWM waveform analysis of inverter for selected harmonic elimination, IEEE Industry Applications Society Annual Meeting, 986, pp. 6-66. [6]. Kato, Sequential homotopy-based computation of multiple solutions for selected harmonic elimination in PWM inverters, IEEE rans. On Circuits and Systems I: Fundamental heory and Applications, Vol. 46, No. 5, pp. 586-593, May 999. [7] J. Chiasson, L.M. olbert, K. McKenzie, and Z. Du, A complete solution to the harmonic elimination problem, IEEE ransactions on Power Electronics, Vol. 9, No, pp. 49-499, March 4. [8] V.G. Agelidis, A. Balouktsis, and I. Balouktsis, On applying a minimization technique to the harmonic elimination PWM control: the bipolar waveform, in IEEE Power Electronics Letters, Vol., No, June 4, pp. 4-44. [9] F. Swift and A. Kamberis, A new Walsh domain technique of harmonic elimination and voltage control in pulsewidth modulated inverters, in IEEE ransactions on Power Electronics, Vol. 8, No., April 993, pp. 7-85. [].J. Liang, R.M. O Connell and R.G. Hoft, Inverter harmonic reduction using Walsh function harmonic elimination method, in IEEE ransactions on Power Electronics, Vol., No. 6, November 997, pp. 97-98. [] J.R. Wells, B.M. Nee, P.L. Chapman, and P.. Krein, Optimal harmonic elimination control, in Proc. of IEEE Power Electronics Specialists Conference 4, pp. 44-49. [] V.G. Agelidis, A. Balouktsis, I. Balouktsis, and C. Cossar, Multiple sets of solutions for harmonic elimination PWM bipolar waveforms: analysis and experimental results, to appear in IEEE ransactions on Power Electronics 6. [3] P.M. Bhagwat and V.R. Stefanovic, Generalized structure of a multilevel PWM inverter, in IEEE ransactions on Industry Applications, Vol. IA-9, No. 6, Nov./Dec. 983, pp. 57-69. [4] J.N. Chiasson, L.M. olbert, K.J. McKenzie and Z. Du, Control of a multilevel converter using resultant theory, in IEEE ransactions on Control Systems echnology, Vol., no. 3, May 3. pp. 345-354. [5] J.N. Chiasson, L.M. olbert, K.J. McKenzie, Z.Du, A unified approach to solving the harmonic elimination equations in multilevel converters, in IEEE ransactions on Power Electronics, Vol. 9, No., March 4, pp 478-49 [6] J.N. Chiasson, L.M. olbert, K.J. McKenzie, and D. Zhong, Elimination of harmonics in a multilevel converter using the theory of symmetric polynomials and resultants, in IEEE ransactions on Control Systems echnology, Vol. 3, No., March 5, pp. 6-3. [7] L.Li, D. Czarkowski, Y. Liu and P. Pilay, Multilevel selective harmonic elimination PWM technique in seriesconnected voltage inverters, in IEEE ransactions on Industry Applications, Vol. 36, No., Jan./Feb., pp. 6-7. [8] Z. Du, L.M. olbert and J.N. Chiasson, Harmonic elimination in multilevel converter with programmed PWM method, IEEE Industry Applications Society Annual meeting 4, pp. -5. [9] J. Vassallo, J.C. Clare, P.W. Wheeler, A power-equalized harmonic elimination scheme for utility-connected cascaded H-bridge multilevel converters IEEE IECON 3, Vol., pp. 85-9. [] Mathematica 5., Wolfram Research Inc. -7-