Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Transcript

1 Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής

2 Μετασχηματισμός Laplace Στοιχειωδών Συναρτήσεων

3 Πίνακας Ιδιοτήτων και Μετασχηματισμοί Laplace ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟ ΣΕΠΙe at ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟ ΣΕΠΙ-t ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΚΑΤΑ C ΑΛΛΑΓΗ ΚΛΙΜΑΚΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Ως ΠΡΟΣ ΤΟ ΧΡΟΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΠΡΟΣ ΤΟ ΧΡΟΝΟ ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΗΜΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΙΜΑ ΤΕΛΙΚΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΧΕΣΗ L{ ax( t) } = ax ( s) () () { + } = ( ) + ( ) L x t y t X s Y s at { ( )} = ( ) L e x t X s a { ( )} = '( ) L t x t X s cs { ( )} = ( ) L x t c e X s { ( )} L x at 1 s = X a a L x t = sx s x () () ( 0 ) t { ( τ) τ } L x d = ( ) X s { () ( )} = ( ) ( ) L x t y t X s Y s 0 { ()} L x t s ( s) X T = 1 e st ( ) () = lim ( ) lim x t s X s t s + lim x t t + () = lim ( s X ( s) ) s 0 e e e ΣΗΜΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE u() t 1 s () t δ 1 () u t at 1 s + a () v v! tu t v = 1,,... v 1 s + s ( ) ( ) s + a cos at u t bt ( ) ( ) a s + a sin at u t cos( at) u( t) sin ( at) u( t) s+ b ( ) s + b + a a bt s + b + a ( ) tcos( at) u( t ) ( s + a ) tsin ( at) u( t) sin cos te te bt bt ( at) u ( t) ( at) u ( t) cos( at) u ( t) sin ( at) u ( t) s a as ( s + a ) s + a ( + 4a ) s s a ( + 4a ) s s ( ) ( ) s + b a s+ b + a ( ) ( + b) a s s+ b + a

4 Άσκηση 1

5 Άσκηση 1 (συνέχεια)

6 Άσκηση 1 (συνέχεια)

7 Άσκηση 1 (συνέχεια) H() s 3s + 17s+ 47 3s + 17s+ 47 ( + )(( + ) + 5 ) ( + )( + 5 )( ) = = s s s s j s j

8 Άσκηση 1 (συνέχεια) 3s + 17s+ 47 A B C H() s = = + + (1) ( s+ )( s+ 5 j)( s+ + 5 j) s+ ( s+ 5 j) ( s+ + 5 j) 3s + 17s+ 47 3s + 17s+ 47 3( ) + 17( ) s= ( s+ )( s+ 5 j)( s+ + 5 j) s= ( s+ ) + 5 s= ( + ) A= ( s+ ) H( s) = ( s+ ) = = = = = 1() 3s + 17s+ 47 3( + 5 j) + 17( + 5 j) + 47 B = ( s+ 5 jhs ) ( ) s= + 5j= ( s+ 5 j) = = ( s+ )( s+ 5 j )( s+ + 5 j ) ( + 5 j+ )( + 5 j+ + 5 j ) s= 5j s= + 5j 3(4 0 j 5) j j j j = = = = j (3 a) 5j 10j C = ( s+ + 5 j) H( s) 3s + 17s+ 47 3( 5 j) + 17( 5 j) + 47 = ( s+ + 5 j) = = ( s+ )( s+ 5 j )( s+ + 5 j ) ( 5 j+ )( 5 j+ 5 j ) s= 5j s= 5j 3(4 + 0 j 5) j j j j = = = = j (3 b) 5 j ( 10 j) ( ) H s j j 1 (1 05 j)( s+ + 5 j) + ( j)( s+ 0.5 j) = + + = + = s+ s+ 5j s+ + 5j s+ ( s+ + 5 j)( s+ 5 j) 1 s+ + 5 j 0.5 j 0.5 js j j+ 0.5 js+ j+.5 1 s+ 9 = + = + s+ ( s+ ) + 5 s+ ( s+ ) + 5 (4) Τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος τον διαμορφώνουμε ώστε να εμφανίζεται τοs στην μορφή της ποσότητας s+ δηλαδή s+ 9= s+ 4+ 5= ( s+ ) + 5

9 Άσκηση 1 (συνέχεια)

10 Άσκηση (συνέχεια)

11 ΦΙΛΤΡΑ

12 Φίλτρα Το φίλτρο είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας παίρνει σημαντικές τιμές μόνο για συγκεκριμένες ζώνες του άξονα συχνοτήτων. Στο παρακάτω σχήμα δείχνουμε την απόκριση συχνότητας Α(ω) ενός χαμηλοδιαβατού και ενός υψηλοδιαβατού φίλτρου. Κάθε φίλτρο έχει εύρος ζώνης που καθορίζεται από τα σημεία αποκοπής. Αυτά τα σημεία καθορίζονται από τις συχνότητες ω c στις οποίες η Α(ω) είναι κλάσμα της μέγιστης τιμής της Α(ω) (συνήθως χρησιμοποιούνται τα σημεία ήμισυς ισχύος, δηλ. όπου A( ω) = max A( ω)/

13 Φίλτρα Το εύρος ζώνης Β ενός χαμηλοδιαβατού φίλτρου ισούται με τη συχνότητα αποκοπής ω c. Το εύρος ζώνης ενός ζωνοδιαβατού φίλτρου είναι η απόσταση Β=ω α -ω β μεταξύ των σημείων αποκοπής. Το σημείο ω 0 που βρίσκεται στο μέσο του διαστήματος (ω α, ω β ) είναι η κεντρική συχνότητα του φίλτρου. Ένα ζωνοδιαβατό φίλτρο καλείται φίλτρο στενής-ζώνης αν Β<<ω 0. Η απόκριση συχνότητας H(jω) ενός φίλτρου επιλέγεται έτσι ώστε να προσεγγίζει τις προδιαγραφές που έχουν επιλεγεί κατά τη σχεδίαση (διακεκομμένες γραμμές στο παρακάτω σχήμα). Το πρόβλημα της προσέγγισης εκφράζεται ως προς το πλάτος Α(ω) της H(jω).

14 Φίλτρα Για να υλοποιήσουμε ένα φίλτρο, πρέπει να ξέρουμε τη συνάρτηση του συστήματος H(s) στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας (μετασχηματισμός Laplace). Η συνάρτηση του συστήματος μπορεί να εκφρασθεί ως προς πλάτος Α(ω). Παρακάτω αναπτύσσουμε διάφορα απλά φίλτρα, τα οποία πραγματοποιούνται με κανονικοποιημένες συχνότητες και ωμικά φορτία του 1 Ohm.

15 Χαμηλοπερατά Φίλτρα Στο σχήμα παρουσιάζεται ένα χαμηλοπερατό φίλτρο με ένα πόλο που υλοποιείται ως συνάρτηση μεταφοράς σύνθετης αντίστασης ή σύνθετης αγωγιμότητας. Όπως βλέπουμε από το σχήμα, η απόκριση συχνότητας εξασθενίζει σταδιακά. Για να αυξήσουμε το ρυθμό αποκοπής πρέπει να χρησιμοποιήσουμε υψηλότερης τάξης συστήματα (με περισσότερους πόλους). 1 H() s = s + a

16 Χαμηλοπερατά Φίλτρα δευτέρου βαθμού Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζεται ένα φίλτρο δευτέρου βαθμού (δηλαδή το φίλτρο έχει δύο πόλους). H() s = s ω r + as+ ωr με μιγαδικούς πόλους A( ω) = ω r ( r ) s = a± jβ α + β = ω ω ω + 4a ω 1,, r

17 Χαμηλοπερατά Φίλτρα δευτέρου βαθμού ΗμορφήτηςΑ(ω) εξαρτάται από την τιμή του λόγου β/α. Οι δύο καμπύλες στο σχήμα επιτυγχάνονται θέτοντας β=α και β=α αντίστοιχα. Στη δεύτερη περίπτωση η εξασθένηση εξωτερικά της ζώνης του φίλτρου είναι μεγαλύτερη, ενώ υπάρχει υπέρβαση (overshoot) στη ζώνη διέλευσης συχνοτήτων, και το μέγιστο της για ω = ω = β + = m a a 3

18 Χαμηλοπερατά Φίλτρα υψηλής τάξης Παρακάτω θ' ασχοληθούμε με το σχεδιασμό φίλτρων υψηλότερης τάξης, περιορίζοντας την μελέτη μας σε δύο κοινούς τύπους: Ένα φίλτρο Butterworth τάξης n είναι ένα σύστημα με απόκριση συχνότητας A( ω) = 1 1+ ω Αυτή η απόκριση πλησιάζει ένα ιδανικό χαμηλοπερατό φίλτρο με συχνότητα αποκοπής ω c =1 γιατί n A( ω) n 1 ω < 1 0 ω > 1 Η απόκριση ενός φίλτρου Butterworth είναι "επίπεδη" κοντά στην περιοχή του ω=0. Όμως ο ρυθμός αποκοπής δεν είναι ικανοποιητικός.

19 Χαμηλοπερατά Φίλτρα υψηλής τάξης Ένα φίλτρο Chebycheff τάξης n είναι φίλτρο με απόκριση συχνότητας όπου ΗσυνάρτησηC n (ω) είναι πολυώνυμο (Chebycheff) ως προς ω γιατί η cos(nx) μπορεί να εκφρασθεί ως πολυώνυμο ως προς cosx. Πράγματι έχουμε: Επομένως

20 Χαμηλοπερατά Φίλτρα υψηλής τάξης Από την έχουμε ότι ένα πολυώνυμο Chebycheff C n (ω) ταλαντώνεται μεταξύ 1 και -1 καθώς το ω αυξάνεται από 0 σε 1. Αυτό αποδεικνύει ότι η Α(ω) έχει την ισοκυμματική (equiripple) ιδιότητα στη ζώνη του φίλτρου, δηλαδή ταλαντώνεται μεταξύ του 1 (μεγίστου) και της ελαχίστου τιμής 1 1+ ε όπως φαίνεται στο σχήμα

21 Χαμηλοπερατά Φίλτρα υψηλής τάξης Το πλάτος της κυμάτωση ισούται με ε και ελαττώνεται, καθώς μειώνεται το ε. Ανάμεσα στα άλλα φίλτρα της ίδιας τάξης και της ίδιας κυμάτωσης, έχει το μεγαλύτερο ρυθμό αποκοπής. Για παράδειγμα η κλίση της Α(ω) στο σημείο αποκοπής ω C =1 είναι μεγίστη.

22 Χαμηλοπερατά Φίλτρα υψηλής τάξης Το παραπάνω σχήμα δείχνει την απόκριση φίλτρου τάξης n=3 και ε=9/16 Στηζώνηδιέλευσης(0,1) η Α(ω) κυμαίνεται μεταξύ του μέγιστου Α(0)=1 και του ελαχίστου A(1) = ε = 0,8

23 Χαμηλοπερατά Φίλτρα υψηλής τάξης Η αντίστοιχη συνάρτηση του συστήματος είναι Οι πόλοι της s 1 =-0,374 και s,3 =-0,187 ± j 0,95 βρίσκονται πάνω σε μία έλλειψη όπως στο σχήμα της προηγούμενης διαφάνειας Στο ίδιο σχήμα επίσης δείχνουμε και την απόκριση ενός φίλτρου Butterworth της ίδιας τάξης. Η συνάρτηση του συστήματος δίνεται από καιοιπόλοιs 1 =-1 και s,3 =-0,5(1 ±j 3 ) βρίσκονται πάνω στο μοναδιαίο κύκλο.