Στατιστική Ι. Ενότητα 6: Kατανομή Poisson. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι Ενότητα 6: Kατανομή Poisson Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας 6 Να κατανοήσουν οι φοιτητές την έννοια της κατανομής Poisson καθώς και των Βασικών Στατιστικών μέτρων. 4

Περιεχόμενα ενότητας Κατανομή Poisson. Βασικά Στατιστικά Μέτρα. Aσκήσεις. 5

Κατανομή Poisson (1/3) Η τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την κατανομή Poisson μετράει τη συχνότητα εμφάνισης ενός ενδεχόμενου. Σε συγκεκριμένα ίσα χρονικό διάστημα, αποστάσεις ή περιοχές. Η πιθανότητα εμφάνισης του ενδεχόμενου παραμένει σταθερή για ίσα διαστήματα. Επίσης το κάθε συμβάν είναι ανεξάρτητο του άλλου. 6

Κατανομή Poisson (2/3) Με λ συμβολίζουμε τον μέσο όρο των συμβάντων σε ένα διάστημα και με χ τα συμβάντα που θέλω να πραγματοποιηθούν. p X = x = p x = e λ λ x. Όπου x = 0, 1, 2, 3,. x! e =βάση νεπέρειων λογαρίθμων = 2, 718. 7

Κατανομή Poisson (3/3) Χρησιμοποιούμε Poisson αντί Διωνυμικής Κατανομής, όταν διαπιστώνουμε ότι: Η τιμή του p (= πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο) είναι πολύ μικρή (p < 0, 120) το οποίο φανερώνει περιπτώσεις σπάνιων γεγονότων. Το n είναι μεγάλος αριθμός (n > 50) έτσι, ώστε ο μέσος αριθμητικός μ = np είναι μικρός αριθμός (0 < np < 10). Το λ προσεγγίζεται πολύ καλά με λ=np, (λ < 10): p X = x = p x = e λ λ x. x! 8

Βασικά Στατιστικά Μέτρα (1/2) Η Κατανομή Poisson είναι ασυνεχής, δηλαδή η Χ παίρνει μόνον ακέραιες τιμές 0,1,2,3. Ο μέσος αριθμητικός είναι: μ = λ = n p. Η διακύμανση είναι σ2 = λ. 9

Βασικά Στατιστικά Μέτρα (2/2) Συντελεστής ασυμμετρίας: β1 = 1/λ. Η κατανομή παρουσιάζει θετική ασυμμετρία Τείνει να καταστεί συμμετρική (β1 = 0) όταν αυξάνεται το λ. Συντελεστής κυρτώσεως: β2 = 3 + 1/λ.Η κατανομή είναι λεπτόκυρτη: Όταν αυξάνεται το λ, τότε το β2 3 (μεσόκυρτη). 10

Παράδειγμα 1 (1/2) Αν ο αριθμός των κλήσεων προς το κινητό μας ημερησίως ακολουθεί την κατανομή Poisson και ο μέσος αριθμός κλήσεων είναι λ=12. Να υπολογιστεί η πιθανότητα, σε μια συγκεκριμένη μέρα: Να έχουμε δύο κλήσεις. o p X = x = p x = e λ λ x p X = 1 = e 12 12 2 x! o = 72e 12 = 0,00044. 2! =. 11

Παράδειγμα 1 (2/2) Αν ο αριθμός των κλήσεων προς το κινητό μας ημερησίως ακολουθεί την κατανομή Poisson και ο μέσος αριθμός κλήσεων είναι λ=12. Να υπολογιστεί η πιθανότητα, σε μια συγκεκριμένη μέρα: Να έχουμε 15 κλήσεις. o p X = x = p x = e λ λ x p X = 15 = e 12 12 15 o = 0,0724. x! 15! =. 12

Παράδειγμα 2 Αν σε ένα αεροδρόμιο απογειώνονται κατά μέσο όρο 20 αεροπλάνα κάθε μια ώρα. Ποια είναι η πιθανότητα να απογειωθούν 15 αεροπλάνα την επόμενη ώρα; Λύση: Στο πρόβλημά μας έχουμε x=15 και λ=20. Οπότε από τον τύπο της κατανομής Poisson έχουμε: p X = x = e λ λ x p X = 15 = e 20 20 15 x! 15! = 0,0516. Η πιθανότητα να απογειωθούν 15 αεροπλάνα την επόμενη ώρα είναι 5,16%. 13

Παράδειγμα 3 Στο ένα παρκινγκ ενός αυτοκινητόδρομου σταματούν κατά μέσο όρο 3 αυτοκίνητα την ώρα. Ποια είναι η πιθανότητα να σταματήσουν 4 αυτοκίνητα την επόμενη ώρα; Ποια είναι η πιθανότητα να σταματήσουν λιγότερα από 2 αυτοκίνητα την επόμενη ώρα; 14

Κατανομή Poisson Χρησιμοποιούμε Poisson αντί Διωνυμικής Κατανομής, όταν διαπιστώνουμε ότι: Η τιμή του p (= πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο) είναι πολύ μικρή (π.χ. p < 0,10) το οποίο φανερώνει περιπτώσεις σπάνιων γεγονότων. Το n είναι μεγάλος αριθμός (π.χ. n > 70) έτσι, ώστε ο μέσος αριθμητικός μ = np να είναι μικρός αριθμός (0 np 10). τότε το λ προσεγγίζεται πολύ καλά με λ = np (λ < 10). όσο πιο μεγάλο είναι το n και όσο πιο μικρό είναι το p τόσο πιο καλή είναι η προσέγγιση της διωνυμικής από την Poisson. 15

Παράδειγμα 4 (1/4) Η πιθανότητα αλλοίωσης στα τρόφιμα συγκεκριμένης εταιρίας είναι 0.0001. Ποια η πιθανότητα σε 50.000 άτομα, που θα αγοράσουν ζυμαρικά από αυτή την εταιρία να τα βρουν αλλοιωμένα; Ακριβώς 4. x πλήθος ατόμων που θα αγοράσουν αλλοιωμένα τρόφιμα. λ = np = 50. 000 0, 0001 = 5 < 10. 16

Παράδειγμα 4 (2/4) Λύση με διωνυμική κατανομή: p X = x = e λ λ x p X = 4 = e 5 5 4 x! 4! = 0,175 p X = 4 = n x px q n x = 50.000 (0,0001) 4 (0,9999) 50.000 4 = 4 = 50.000 49999 49998 49997 0,175. 24 (0,0001) 4 (0,9999) 49996 = 17

Παράδειγμα 4 (3/4) Η πιθανότητα αλλοίωσης στα τρόφιμα συγκεκριμένης εταιρίας είναι 0.0001. Ποια η πιθανότητα σε 50.000 άτομα, που θα αγοράσουν ζυμαρικά από αυτή την εταιρία να τα βρουν αλλοιωμένα; Τουλάχιστον 4. -x πλήθος ασθενών που θα αντιδράσουν άσχημα. -λ = np = 50. 000 0, 0001 = 5 < 10. 18

Παράδειγμα 4 (4/4) P X > 3 = 1 p X = x = p x = e λ λ x P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 x!.. P X > 3 = 1 e 2 2 0 0! + e 2 2 1 1! + e 2 2 2 2! + e 2 2 3 3! = = 1 6,3333e 2 = 0,1429. 19

Παράδειγμα 5 (1/2) Εάν σε μια βιομηχανία παραγωγής ανταλλακτικών, τα ελαττωματικά ακολουθούν την κατανομή Poisson και στα 100 τα 5 είναι ελαττωματικά, να υπολογισθεί η πιθανότητα σε δείγμα 100 ανταλλακτικών να είναι ελαττωματικά Ακριβώς 3 X ελαττωματικά ανταλλακτικά. To δείγμα είναι n = 100. np = 100 0,05 λ = 5. p = 5 100 = 0,05. p X = x = e λ λ x x! p X = 3 = e 5 5 3 3! = 0,1404. 20

Παράδειγμα 5 (2/2) Η πιθανότητα p εξάγεται από την πραγματοποίηση του γεγονότος γενικώς. p X = 1 = n x px q n x = 100 3 98 99 100 0,05 3 0,95 97 = 0,14. 6 5 100 3 95 100 97 = 21

Παράδειγμα 6 (1/4) Αν ένας επενδυτής ακούσει την είδηση μιας ξαφνικής πολιτικής αναταραχής η πιθανότητα να έχει βεβιασμένη αντίδραση είναι 7%. Να βρεθεί η πιθανότητα σε ένα δείγμα 400 επενδυτών τουλάχιστον 3 να αντιδράσουν βεβιασμένα. Αναζητούμε την πιθανότητα: P(X 3)=P(X =2)+P(X =3)+ +P(X =400). 22

Παράδειγμα 6 (2/4) Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των πιθανοτήτων όλου του δειγματικού χώρου είναι ίσο με την μονάδα, δηλαδή στο δείγμα μας ισχύει: P(X = 0)+P(X = 1)+P(X =2)+P(X =3)+ +P(X =400)=1. P(X =3)+ +P(X =400)=1-P(X = 0)+P(X = 1)+P(X =2). 23

Παράδειγμα 6 (3/4) P(X = 0)+P(X = 1)+P(X =2)+P(X =3)+ +P(X =400)=1. P(X =3)+ +P(X =400)=1-P(X = 0)+P(X = 1)+P(X =2). Αντί, λοιπόν, να λύσουμε το πρώτο μέρος λύνουμε το δεύτερο. Για λ = np = 0, 07 400 = 28. 1-P(X = 0)+P(X = 1)+P(X =2) =. = 1 e 28 28 0 0! e 28 28 1 1! e 28 28 1 1! =. 24

Παράδειγμα 6 (4/4) = 1 e 28 28e 28 392e 28 =. = 1 421e 28 = 0,9999999997. Η πιθανότητα που υπολογίσαμε είναι πολύ μεγάλη, δηλαδή είναι σχεδόν βέβαιο ότι στους 400 επενδυτές τουλάχιστον 3 θα έχουν βεβιασμένη αντίδραση στο άκουσμα μιας δυσάρεστης είδησης. 25

Παράδειγμα 7 (1/5) Εάν σε ένα πανεπιστήμιο οι φοιτητές που ομιλούν δύο ξένες γλώσσες ακολουθούν την κατανομή Poisson και με δεδομένο ότι στους 100 οι 5 ομιλούν δύο ξένες γλώσσες, να υπολογισθεί η πιθανότητα σε δείγμα 100. Το πολύ 4 να ομιλούν δύο ξένες γλώσσες. Τουλάχιστον 5 να ομιλούν δύο ξένες γλώσσες. x φοιτητές που ομιλούν ξένες γλώσσες. 26

To δείγμα είναι n = 100. np = 100 0,05 λ = 5 p = 5 100 = 0,05. p(x = x) = e λ λ x. P X 4 =. Παράδειγμα 7 x! (2/5) 27

Παράδειγμα 7 (3/5) = [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)] =. = e 5 5 0 0! = 0,44. + e 5 5 1 1! + e 5 5 2 2! + e 5 5 3 3! + e 5 5 4 4! =65,375e 5 =. 28

Τουλάχιστον 5 Παράδειγμα 7 (4/5) x φοιτητές που ομιλούν ξένες γλώσσες. To δείγμα είναι n = 100. np = 100 0,05 λ = 5. p = 5 100 = 0,05. 29

p(x = x) = e λ λ x. Παράδειγμα 7 (5/5) x! X 5 = 1 P X < 5 =. = 1 [P(X = 0) + P(X = 1) + [P(X = 2) + [P(X = 30

Παράδειγμα 8 (1/2) Πίνακας 1. Παράδειγμα 8 (1/2) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960- 93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 31

Παράδειγμα 8 (2/2) Πίνακας 1 (Προηγούμενη Διαφάνεια). Αριθμός οικοδομικών τετραγώνων που αντιστοιχούν σε κάθε αριθμό βομβών κατά τετράγωνο. Κατά τη διάρκεια του Β' Παγκόσμιου Πολέμου, το Λονδίνο διαιρέθηκε σε 200 οικοδομικά τετράγωνα και καταγράφτηκε ο αριθμός των ιπτάμενων βομβών (V - 1) που έπεσαν σε κατοικημένα σπίτια και βρέθηκαν τα αποτελέσματα που αναγράφονται στον Πίνακα 1. Να γίνει προσαρμογή κατανομής Poisson στη δοσμένη εμπειρική κατανομή. 32

Παράδειγμα 9 (2/8) Πίνακας 2 (Προηγούμενη Διαφάνεια). Αριθμός οικοδομικών τετραγώνων f i που αντιστοιχούν σε κάθε αριθμό βομβών κατά τετράγωνο x i και οι τιμές x i f i. Να γίνει προσαρμογή κατανομής Poisson στη δοσμένη εμπειρική κατανομή. Θα βρούμε πρώτα το μέσο αριθμητικό της εμπειρικής κατανομής. 34

x = x if i f i Παράδειγμα 9 = 287 200 1,44. (3/8) Για να γίνει η προσαρμογή πρέπει να βρούμε τις θεωρητικές συχνότητες. Για να βρούμε τις θεωρητικές συχνότητες πρέπει: Να βρούμε πρώτα τις πιθανότητες όπως η μεταβλητή χ πάρει τις τιμές 0, 1,2,3,4,5. Στη συνέχεια πρέπει να πολλαπλασιάσουμε κάθε πιθανότητα επί το σύνολο των συχνοτήτων (= Σfi = Ν) της εμπειρικής κατανομής. 35

Παράδειγμα 9 (4/8) Αν υπολογίσουμε την πιθανότητα Χ= χ φορές τότε μπορούμε να υπολογίσουμε και την πιθανότητα Χ=χ+1 φορές χρησιμοποιώντας την προηγούμενη τιμή: P x+1 = λ x+1 p x. x = x if i = 287 f i 200 1,44 = λ. p(x = x) = e λ λ x p(x = 0) = e 1,44 1,44 0 x! 0! =0,23693. 36

Θεωρητικές Συχνότητες: p(x = x) = e λ λ x Παράδειγμα 9 x! (5/8) p(x = 0) = e 1,44 1,44 0 P x+1 = λ p x+1 x P 0+1 = λ p 0+1 0 P 1 = 1,44 1 =0,34118. P 2 = λ 2 p 1 P 2 = 1,44 2 0! 0,34118 =0,24565. =0,23693. 0,23693 =. 37

Παράδειγμα 9 (6/8) Θεωρητικές Συχνότητες (συνέχεια): P 3 = λ 3 p 2 P 3 = 1,44 3 P 4 = 0,04244. 0,24565 =0,11791. P 5 = 0,01222. 38

Παράδειγμα 9 (8/8) Πίνακας 2. Αριθμός οικοδομικών τετραγώνων f i που αντιστοιχούν σε κάθε αριθμό βομβών κατά τετράγωνο x i, οι πιθανότητες P x και οι θεωρητικές συχνότητες θ i = ΝP x. Δεν υπάρχουν μεγάλες διαφορές στις συχνότητες της εμπειρικής κατανομής με τις θεωρητικές συχνότητες. Συνεπώς, η εμπειρική κατανομή ακολουθεί το Νόμο του Poisson. 40

Βασικά Στατιστικά Μέτρα Ο μέσος αριθμητικός είναι: λ = 1, 44. Η διακύμανση είναι σ2 = 1,44. Συντελεστής ασυμμετρίας: β1 = 1/1,44 = 0,69 θετική ασυμμετρία. Συντελεστής κυρτώσεως: β2 = 3 + 1/λ = 3 + (1/1,44) = 3,69 > 3 Λεπτόκυρτη. 41

Τέλος Ενότητας