ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΤΡΟΠΩΝ - ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ D.O. S Density Of States Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 1 DOS H DOS περιγράφει τον αριθμό των καταστάσεων που είναι προσιτές σε ένα σύστημα και είναι σημαντική για να προσδιορίσουμε αρκετές ιδιότητες ενός συστήματος όπωs: ενέργεια στερεό (ελαστικά κύματα) ελεύθερα ηλεκτρόνια μέταλλα, Ταλαντώσεις πλέγματος: Κ6 Ηλεκτρόνια αγωγιμότητας: Κ11 οπτικές ιδιότητες (εκπομπή, απορρόφηση), συγκέντρωση φορέων ημιαγωγό, ακτινοβολία μέλανος σώματος :Κ10 Απαρίθμηση τρόπων Για το συνεχές μέσο κάθε μορφή ταλάντωσης =τρόπος =mode Για κατανομή μάζας που είναι διακριτή (= κρύσταλλο) είναι δυνατοί μόνο διακριτοί ( = αριθμήσιμοι) τρόποι ταλάντωσης. Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 1
Καταμετρώντας τους τρόπους και βρίσκοντας την f() Ένας τρόπος δόνησης είναι μια δόνηση ενός δεδομένου κυματοδιανύσματος (), συχνότητας ω και ενέργειας E ω Πόσοι τρόποι βρίσκονται στο διάστημα μεταξύ ( ω, E, ) (,, ω dω E de d ) και? # τρόπων: dn f ( ) d f ( E) de f ( ) d αρχικά υπολογίζουμε τις επιτρεπόμενες καταστάσεις στον -χώρο f(). Κατόπιν θα είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε την f() και να βρούμε την C V για το πρότυπο του Debye. Στατιστική Φυσική Διαφάνεια Η πυκνότητα καταστάσεων για ένα ελεύθερο σωματίδιο στην 1-D υποθέτουμε ότι ένα σωματίδιο είναι σε ένα μεγάλο (ενεργειακή κβαντοποίηση) αλλά πεπερασμένο κουτί (φρεάτιο δυναμικού):v=0 0 Στο τέλος του υπολογισμού, θα επιτρέψουμε στο μέγεθος του κιβωτίου για να γίνει άπειρο, έτσι ώστε ο χωρισμός των σταθμών να τείνει στο μηδέν. Για μακροσκοπικό, οι ενεργειακές στάθμες είναι πολύ κοντά η μια στην άλλη (E ~ 1/ ), και η "συνεχής" περιγραφή λειτουργεί καλά Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 4
1-D Η κυμα. εξίσωση του Schrödinger φ( x ) V ( x) φ( x ) εφ( x ) m x μας δίνει τις επιτρεπτές κβαντικές καταστάσεις Oριακές συνθήκες a = Nα Πρώτο βήμα: απλοποιούμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας οριακές συνθήκες Ι. Σταθερά άκρα Στάσιμα κύματα II.Ταύτιση των άκρων-κυκλική συνθήκη Περιοδικές οριακές συνθήκες Οδεύοντα κύματα Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 5 Ι. Σταθερά άκρα ( x) 0 x 0, Οριακές συνθήκες ίδιες με μιας χορδής με σταθερά άκρα Στάσιμα κύματα Διαφάνεια 6
Ένα σωματίδιο μέσα σε ένα κουτί μιας διάστασης V(x) n V = 0 V = 0 n x n Asin Από τις κυμ.συν παίρνουμε και τις ενεργειακές ιδιοτιμές V = 0 x n Οι οριακές συνθήκες που ικανοποιούνται ορίζουν το n να είναι ακέραιος αριθμός θετικός αριθμός x=0 x = n n m n 1,,... n -D Κβαντική στατιστική Φανταζόμαστε το σωματίδιο μας να παγιδεύεται μέσα σε ένα κύβο πλευράς. Οι τρείς διευθύνσεις είναι ανεξάρτητες και έτσι μπορούμε να γράψουμε την κυματοσυνάρτηση σαν το γινόμενο των χωριστών συναρτήσεων. n1x ny n z i ( xyz,, ) Asin sin sin n, n, n 1,,... 1 Αυτό είναι ένα στάσιμο κύμα σε τρεις διαστάσεις Το i στη κυματοσυνάρτηση δηλώνει ένα μοναδικό σύνολο κβαντικών αριθμών (n 1,n,n ) μια μικροκατάσταση Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 8 4
i ˆ ˆj ˆ x y z πn1 x πn y z iˆ, ˆj, ˆ κυματοδιάνυσμα πn Όπου είναι μοναδιαία διανύσματα κατά μήκος των διευθύνσεων x,y και z Ξαναγράφουμε την κυματοσυνάρτηση σε όρους των συνιστωσών του κυματοδιανύσματος: το μέτρο του απο: φ ( x, y, z) Asin x sin y sin z i x y z κυματοδιανύσματος δίνεται x y z n1 n n Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 9 x y z n1 x n y n z ο όγκος που καταλαμβάνει κάθε σημείο= (/) = /V 5
i ˆ ˆj ˆ x y z n n n x y z 1 π/ Για κάθε λύση της εξίσωσης που καθορίζεται από τις τιμές των ακεραίων αριθμών (n 1,n,n ) υπάρχει μια μοναδική κατάσταση και ως εκ τούτου ένα σημείο στο -χώρο Κάθε μια από τις επιτρεπόμενες καταστάσεις του ένός σωματιδίου (κάθε τρόπος ταλάντωσης) είναι ένα σημείο στο -χώρο Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 11? # κανονικών τρόπων ταλάντωσης των στασίμων κυμάτων, που έχουν κυματοδιάνυσμα με μέτρο στο διάστημα και +d = Πόσοι τέτοιοι τρόποι (λύσεις) υπάρχουν που να έχουν κυματοδιάνυσμα με μέτρο ανάμεσα στο, +d? = # των πλεγματικών σημείων του χώρου που βρίσκονται σε ένα σφαιρικό φλοιό πάχους d και αφού n i >0 x >0, y >0 και z >0 Με ενδιαφέρει μόνο το θετικό ογδοημόριο : i ˆ ˆj ˆ x y z Αυτό το διάνυσμα θα <<αναπτύσσεται» συνεχώς.» x z y Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 1 +d 6
Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 1 V # V f ( d ) έ o 1 4 8 d 1 V 8 V. o V d x πυκνότητα καταστάσεων ΒΑΣΙΚΗ ΣΧΕΣΗ z g( d ) g() ή D(): +d y Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 14 7
Από το f()d f( ) d V d # κανονικών τρόπων ταλάντωσης με συχνότητα ω και ω+dω V d f ( ) d d d Η ταχύτητα ομάδας των κυμάτων: V f ( ) d d g στα μέσα δίχως διασπορά: υg υ στο f(ω)dω Η ταχύτητα φάσης των κυμάτων: υ ω dω υ g d, ω υ V d f ( ) d Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 15 Από το f()d στα f(p) dp και f(ε)dε p 1 E p m f( p) dp f( ) d V4 h V d / D V m 1/ f ( ) d d p dp Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 16 8
Oριακές συνθήκες Ταύτιση των άκρων = Na α II. Κυκλική συνθήκη- Περιοδικές οριακές συνθήκες Οδεύοντα κύματα s+n-1 s β s+1 x = sa x = (s+n)a s+ Υποθέτουμε ότι τα άτομα s και s+n έχουν την ίδια μετατόπιση, το πλέγμα έχει περιοδική συμπεριφορά, όπου το Ν είναι πολύ μεγάλο. (0, y, z) (, y, z) ( x,0, z) ( x,, z) ( xy,,0) ( x, y, ) n, n, n () r const. e 1 ( n, n, n ) n, n, n 0, 1,,... 1 1 Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 17 ir n, n, n () r const. e 1 ir ( n1, n, n)... n1, n, n 0, 1,,... Επίπεδο τρέχον (οδεύον) κύμα με κυματοδιάνυσμα V Η πυκνότητα καταστάσεων. # V o f ( d ) 4d Vd Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 18 9
Από το f()d f ( d ) στa f(p)dp και f(ω)dω V d g 4 h f( p) dp g V p dp f( ) d d g V g ένας παράγοντας εκφυλισμού Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 19 Πυκνότητa καταστάσεων (DOS) σε -D, 1-D και 0-D. Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 0 10
y -D: Λεπτά υμένια +d x π/ n n x y 1 O αριθμός καταστάσεων με μέτρο στο διάστημα μέχρι +d: D f ( d ) 1 S 4 S. ί 1 d 4 D f ( d ) d Για τα ηλεκτρόνια (σωματίδιο μάζας m) p, p m m Sm f ( ) d d D Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 1 1-D: Λεπτά νήματα n x 1 Δ=π/ O αριθμός καταστάσεων με μέτρο στο διάστημα μέχρι +d +d: x f 1D ( d ) d ί d f 1D d ( d ) Για τα ηλεκτρόνια p, p m m 1/ 1D m 1/ ( ) Στατιστική Φυσική Διαφάνεια f d d 11
0-D: Quantum dot η DOS θα περιγράφεται με μια δέλτα συνάρτηση Για τα ηλεκτρόνια 0 D f ( ) d ( E c ) Στατιστική Φυσική Διαφάνεια Ηλεκτρονική πυκνότητα κατaστάσεων: g() -D D V m g ( ) g D m ( ) / 1 / 1/ 1D m 1/ ( ) g g() g() -D 1-D 0 D g ( ) ( E c ) g() 0-D Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 4 1