Su otmalų srendnų aešos stuacose, uros nėra lna be grežta abrėžtos, roblemoms matemata susdūrė dar geroa ansčau, negu L. Zadeh aselbė dfuznės matematos dėas r radėo urt negrežtosos matematos formalzuotą albą be oeracnį aaratą. Pavyzdžu, su tooms stuacoms dar rmooe XX amžaus usėe buvo susdurta lošmų teoroe, uros radnnas laom JAV matemata Dž. Nomanas J. von Neuman) r O. Morgenšternas O. Morgenstern), 9 m. šledę vealą Lošmų teora r eonomns elgesys [9]. Lošmų teoroe bandoma surast tasyles, ledžančas lošėu, nežnančam tų lošėų būsmų ėmų, šsrnt otmalą lošmo strategą, masmzuoančą esamoms sąlygoms to lošėo garantuotą šlošį ar mnmzuoančą o galmą ralošį. Antagonstnuose ornuose lošmuose, uruose veno lošėo šlošs yra to lošėo ralošs, stuacos neabrėžtumas numamas vadovauants relada, ad lošėa yra aanama rotng, žno venas to nteresus r sugeba asrnt tous ėmus be ėmų dažnus, ad šloštų uo daugau be raloštų uo mažau. Ta ledža rtayt ta vadnamąį nuostolų mnmaso šlošo masmno) rncą, agal urį evenas lošėas masmzuoa garantuotą savo šlošį ar mnmzuoa masmalų galmą savo ralošį nuostolus), r lošmą, e lošėa elgas agalvota, averča determnuotu arba stochastnu lošmu su venarešmša abrėžtoms statstnėms charaterstoms. Tačau lošmuose su gamta be su tas ndferentšas lošėas toa nteresų antagonstšumo relada au nebegal būt laoma tesnga, todėl touose lošmuose vsuomet šlea daugau ar mažau neabrėžtumo, neledžančo š ansto grežta nustatyt, oe lošėo, lošančo su gamta, ėma bus geraus. Ka gamtos elgesye astebme ous nors dėsnngumus r turme aanama daug statstnės nformacos, ledžančos bent aytra nustatyt būsmų gamtos ar to ndferentšo lošėo ėmų tmybes, r lošma artoas aanama dažna, ta ndvdualų stuacų neabrėžtumas gal būt aetas, asrenant otmalumo rodlu būsmų šlošų matematnį vdurį matematnę vltį), t. y. sudarant lošmo stochastnį otmzacnį modelį. Tačau, a gamtos elgesye neastebme net stochastno stablumo be a neturme aanamos statstnės nformacos, ta stuacos neabrėžtumo lošmuose su gamta ne elmnuot, ne aet au nebeavysta, r todėl tena ešot oų nors rncų, ure lestų lošėu rmt oį nors srendmą tooe neabrėžtoe stuacoe. Tesa, te rnca nesutea lošėu oos aldomos obetyvos nformacos ae esamą stuacą r nesumažna os realaus neabrėžtumo, o galma aset, avyzdžu, analzuoant tą stuacą be renant statstnę nformacą, tačau e naudng bent au tuo, ad adeda lošėu assręst r eret nuo nevelumo re velos, asrenant bent au ne atį blogausą ėmą š vsų galmų tuo atveu, a aldomos nformacos gaut neįmanoma, o rmt oį nors srendmą vs dėlto rea, nes oo srendmo nerėmmas, artas gal būt blogesns už neaanama gero srendmo rėmmą. Venas toų rncų Lalaso rncas, uro esmę sudaro rsyrmas vsems galmems gamtos ėmams aror venodų tmybų. Tou būdu lošmo su gamta matematns models suvedamas į laba arastą stochastnį otmzacnį modelį. Žods otmzacns ča atetas abutėse, nes š trųų oa real otmzaca šuo atveu nevysta, o t arenamas tos lošėo su gamta ėmas, urs būtų otmalus t tuo atveu, e vsų gamtos ėmų tmybės būtų venodos. Bet os attnamos tame tare r) statstnės nformacos rnmas be adoromas, e ta būtų įmanoma, galėtų addnt lošėo nformuotumą r 9
sudaryt lošėu sąlygas elgts nors še te tslngau, labau atsžvelgant į esamą stuacą, negu vadovauants Lalaso rncu, neturnču daugumoe atveų ne statstno, ne logno agrndmo r neduodančo lošėu oų garantų. Ktas rncas, taomas neabrėžtnuose otmzacnuose modeluose, yra š raconalaus raštutno esmzmo šlauants Valdo rncas, vadnamas dar r šlošo masmno nuostolų mnmaso) rncu. Jo esmę sudaro ta, og lošėas asrena toą lošmo strategą, ad o garantuotas mnmalus galmas šlošs būtų masmalus arba masmalus galmas ralošs būtų mnmalus). Šs rncas sras nuo Lalaso rnco au tuo, ad gal sutet lošėu tam tras garantas. Palustruosu šo rnco taymą bagtno orno lošmo su gamta avyzdžu, urį vazduoa 7-o lentelė. Prmsme reladą, ad galmų gamtos ėmų abė yra bagtnė, urą sudaro ėmų. Sunumeruosme tuos ėmus numeras,,,...,. Ta at rmsme reladą, ad lošėo A galmų ėmų abė ta at yra bagtnė r susdeda š s ėmų, uruos sunumeruosme numeras,,,..., s. Pažymėsme lošėo A šlošį, urį s galėtų gaut adaręs ėmą tuo atveu, e gamta adarys ėmą t. y. eres į būseną ), žymenu a. Patalnsme lošėo A galmų šlošų rešmes a į 7-ąą lentelę, turnčą s elučų, attnančų vsus galmus lošėo A ėmus,,,..., s, r stulelų, attnančų vsus galmus gamtos ėmus,,,...,. Toa lentelė yra duotoo lošmo su gamta nformacns o artu r matematns) models, ledžants surast atsaymą į lausmą, ą šloš ar raloš, nes a ure a gal būt ne t tegam ar lygūs, bet r negam sača) lošėas A bet uruo galmu atveu, t. y. adaręs bet urį galmą savo ėmą gamta esant bet uroe os galmoe būsenoe. Š lentelė vadnama lošmo moėmų šlošų) matrca. Vadovaudamass Valdo rncu, lošėas A, nustatęs, oį šlošį mn a net blogausu atveu s galėtų garantuota gaut, adaręs tą ar tą ėmą A, asrntų toį ėmą A, urs atttų tų mnmalų garantuotų šlošų masmumą max mn a. Dydį 7. lentelė \... a a a... a a a a... a a a a... a M M M M... M s a s a s a s... a s max mn a vadnsme lošėo A šlošo masmnu ddžausu garantuotu šlošu. Je 7-o lentelė būtų lošėo A ralošų nuostolų) matrca r dydža a vazduotų galmus lošėo A ralošus nuostolus), ta lošėas A, vadovaudamass Valdo rncu,asrntų toį ėmą *, ad o ralošs galmų nuostolų dyds) būtų garantuota ne ddesns už mn maxa, t. y. už nuostolų matrcos mnmasą. Panašūs matrcna modela sudarom ne t lošmams su gamta, bet r ornams lošmams su nendferentšas lošėas, avyzdžu, antagonstnams lošmams su nulne suma, uruose veno lošėo tarme, A) šlošs tuo aču metu yra to lošėo tarme, B) ralošs r atvršča), dėl o algebrnė ų suma a b vsada lyg. Pornuose antogonstnuose lošmuose neabrėžtumas, a au buvo mnėta, gal būt numtas todėl, ad abu lošėa, uruos laome aanama rotngas, žno venas to nteresus r, laydam venas tą aanama rotngas, gal asačuot otmalus būsmus venas to ėmus grynosose strategose, attnančose venarešmša asrenamus ėmus, ar otmalus būsmus venas to ėmų 9
dažnus mšrose strategose, attnančose atsttnus ėmų asrnmus su tam troms venarešmša asačuotoms otmaloms tų ėmų asrnmo tmybėms. Nesunu įrodyt, ad 7-ooe lentelėe, esant bet uroms realoms os elementų a rešmėms, tos lentelės mnmasas mn maxa negal būt mažesns už tos lentelės masmną mn maxa max mn a max mn a, t. y., ad vsada galoa negrežta nelygybė. Ta at nesunu įrodyt, ad tas atveas, a antagonstno lošmo matrca tur ta vadnamąį balno tašą *, * ), t. y., a dydža a tenna lygybę max mn a mn max a a, otmalūs lošėų A r B ėma yra * r *, nes nė venam š lošėų, žnančam, ad rešnnas tuo būtna asnaudos, nenaudnga nuryt nuo šos otmalos strategos, vadnamos grynąa otmala stratega, r daryt toį ėmą negu ėmą, attnantį ažymėtąį žvagždute balno tašą. Abu tuos įrodymus aleu satytou žūr. užduotį...), reomenduodamas am nygas [7, 79, 9,, ], urose s gal susažnt su lošmų teoros agrndas. Nesunu įrodyt, ad tas atveas, a antagonstno orno lošmo su nulne suma matrca netur balno tašo, ta lošmas netur grynos otmalos strategos t. y., otmalos strategos su determnuotas lošėų ėmas), tačau, naudoants smleso algortmu, vsuomet galma surast otmalas mšras lošėų strategas, t. y. surast tmybes r q, vazduoančas tuos dažnus, su uras lošėa tur daryt tuos ar tus savo galmus ėmus, ad gautų sau otmalų galmą rezultatą ddžausą šlošo mažausą ralošo) vdurį υ. Palustruosu šį tegnį onrečas avyzdžas. Sudarysme too antagonstno orno lošmo su nulne suma, arašomo lošmo moėmų matrca, avazduota -ooe lentelėe, otmzacnį modelį. Iš sąlygos, ad lošėas A, stengdamass lošt otmala, stengss ta rnts savo ėmų A tmybes, ad o šlošo vdurs nerlausoma nuo o rešnno ėmų nebūtų mažesns už s tam trą e galma ddesnį ol as dar nežnomą dydį ν, šlaua nelygybų sstema a ν, galoantį vsems,,...,. J rboa ėmų A dažnų asrnmą. Nesunu įrodyt, ad otmal lošėo A stratega, abrėžama šuo atveu to lošėo ėmų A tmybų asrnmu, neasestų, e vsus -osos lentelės elementus addntume ar sumažntume venu r tuo aču dydžu. Pasestų t šlošo arba ralošo) vdurs, addėdamas ar sumažėdamas tuo dydžu, o otmalos lošėo A ėmų tmybės šltų tos ačos. Reomenduočau satytou ačam surast šo beve avazdaus tegno matematnį įrodymą žūr. užduotį...). Iš šo tegno šlaua, og, sręsdam too antagonstno lošmo otmalos strategos aešos uždavnį, mes vsada galme layt, ad a ) r ν>. Tuomet nelygybų sstemą s a ν galma ertvaryt į sstemą a Sstema a s x s abrėžant lestnų srendnų srtį LSS). x, uroe x ν r,,...,. ta arbomų sstema, rboant valdomųų ntamųų x asrnmą r Konretų too modelo sudarymo r o taymo avyzdį, satytoas gal rast... syrelye. Ten ateam detalūs aašnma r taomų metodų agrndmas. 9
s Kadang, ta s s s x ν ν s, š ur šlaua, og, mnmzuodam ν ntamųų x sumą x, mes tuo aču masmzuosme garantuotą lošėo A šlošo vdurį ν ν. s Todėl funcą Fx,x,..., x s )x mn galme layt otmzacno modelo tslo funca. Kadang š funca yra tesnė r arboma tesnės nelygybės, o valdomų ntamųų rešmės x, negal tat negamos, ta šo uždavno srendmu galma tayt smleso algortmą. Pavyzdžu, e, onretzuodam lošėo A šlošų a matrcą, urą bendruou atveu vazduoa 7-o lentelė, turnt s elučų, attnančų lošėo A ėmus, r stulelų, attnančų antroo lošėo ėmus, rmtume, ad s,, a 8, a, a, a, a, a, a, a 7 r a, ta too antagonstno orno lošmo su nulne suma matematnį modelį sudarytų tslo funca Fx,x,x ) x x x mn r arboma: x ν, x ν, x ν, 8x x x, x x 7x, x x x. Paleu ačam satytou įstnt žūr...8. užduotį), ad šsrendę šį tesnį otmzavmo uždavnį smleso metodu, rastume, og x ot) ; x ot) ; x ot) ; F ot) 7. Atsžvelgdam į ta, ad x ν r ad Fx,x,x )x x x, gautume, ad otmalus ν vdutns lošėo A šlošs yra ν ot ) ν ot) 7 ot, o o ėmų tmybės yra ), ot), 7 7 7 ot) ot, t. y., ad otmal lošėo A stratega yra stratega S ) A ; ;. 7 7 Sręsdam šį uždavnį antroo lošėo atžvlgu, t. y. mnmzuodam vdutnį o ralošį, gautume: y q ν, y q ν, y q ν, 8y y y, y y y, y 7y y, Φy,y,y )y y y max, t. y. gautume otmzacnį modelį, dualų rmoo lošėo otmzacnam modelu. Išsrendę šį uždavnį smleso metodu, rastume, og y ot), y ot) 8, ot) ν 7 ot, S ) B ; ;. Reomenduočau satytou ačam surast šų otmzavmo uždavnų 7 7 7 tesogno r dualaus) srendnus žūr...8. r..9. užduots). Nagrnėdam gautuosus antagonstno lošmo otmzavmo uždavnų srendnus, galme astebėt, og gavome stuacą, anašą į tą, a antagonstno lošmo matrca, avazduota 7-ooe lentelėe, turėo balno tašą. Tuomet lošėams buvo nenaudnga nuryt nuo tą tašą attnančų grynųų strategų, o dabar ems nenaudnga nuryt nuo savo otmalų mšrųų strategų ot S ) A ot) ; ot) ; ot) ot ) ; ; r S ) B q ot) ; q ot) ; q ot) ) ; ;. Lygndam 7 7 7 7 grynąsas r mšrąsas lošmų strategas, ta at galme astebėt, ad grynosos strategos yra dalns rbns) mšrųų strategų atves: mšro lošėo A stratega tama grynąa, a vena š tmybų tama lyg venetu, o vsos tos nulu. Ka r grynųų, ta r mšrųų strategų asrnmo atveu rotng lošėa, lošdam ornį antagonstnį lošmą r otmzuodam savo ėmų asrnmą, asrena uos ta, ad lošėų vdutns šlošs ar ralošs) būtų lygus maxmn q s a q mnmax q s a q. ν s a q Ka orname antagonstname lošme su nulne suma uro nors lošėo galmų ėmų sačus yra lygus, t. y. a s) ), ta otmalas lošmo strategas ) ot) r S B galma surast ne t naudoants smleso metodu, bet r S A ot 9
arasčau vazduoant galmus lošėų ėmus grafša, t. y. astelant nomogramų metodą. Palustruosu šo metodo taymą onrečas avyzdžas. Tarme, og s, r toį antagonstnį ornį lošmą su nulne suma arašo lošėo A šlošų a matrca, avazduota 8-ooe lentelėe, urą galma layt venu š galmų 7-osos lentelės varantų. Pažymėsme lošėo A galmų ėmų A r A tmybes 8. lentelė žymenms r, o lošėo B galmų ėmų B, B, B r B tmybes A \ B B B B B žymenms q, q, q r q. A,,9 A Lošėo A ėmą A attna šlošo vdurs ν a q. Je, 7, lošėas A žnotų lošėo B ėmų B tmybes q, ta s galėtų asrnt tą ėmą A A *, urs atttų masmalų šlošo vdurį ν * max ν max a q a *q. Tačau lošėas A lošėo B ėmų tmybų q nežno r, žnodamas t lošmo moėmų matrcą, avazduotą 8-ooe lentelėe, gal šrešt savo galmų šlošų vdurų rlausomybes nuo r q matematša be avazduot tas rlausomybes grafša, t. y. gal sudaryt nomogramą, avazduotą av., uroe abscsų ašs yra tmybės rešmų ašs, o ordnačų ašs lošėo A galmų šlošų υ ašs. υ Šame brėžnėlye ãtaros B, ungančos tašus ; νa ) r ; νa ), vazduoa lošėo A vdutno šlošo ν 8 7 B K B B B S R T L M N rlausomybę nuo o ėmo A tmybės rešmės, a lošėas B daro ėmą B. Pavyzdžu, atara B, ungant tašus ;) r ;,), vazduoa lošėo A vdutno šlošo ν B rlausomybę nuo tuo atveu, a lošėas B daro ėmą B. Š rlausomybė arašoma formule ν B,,. Analogša gauname formules ν B, ν B,,,, ν B,9 7, 7,,, uros av.,, avazduotos ataroms, ažymėtoms B, B r B. Nagrnėdam av. galme astebėt, ad lošėas B, av. stengdamass masmala sumažnt lošėo A vdutnį šlošį savo vdutnį ralošį), ou būdu negal sumažnt to šlošo žemau laužtnės KLMNP. Kadang lošėas A sunteresuotas gaut uo ddesnį garantuotą vdutnį šlošį ν, ta am tslnga asrnt toį ėmo A dažnį, urs būtų uo artmesns tmybe, attnanča tašą M, urame garantuotas vdutns šlošs ν būtų ddžausas. Tmybę, attnančą tašą M, galma rast ne t gryna grafša, bet r asačuot, atsžvelgant į ta, ad tašas M yra atarų B r B susrtmo tašas, uro oordnatės rvalo tennt lygybę ν ν, t. y. lygybę,,. Iš tos lygybės šlaua, og ot ),,., ot Tag lošėo A otmal stratega šuo atveu yra mšr stratega S ) A ot) ; ot) ) ot,;,). Pasnaudodamas ša stratega, lošėas A garantuota gaus vdutnį šlošį ν ) A,: e ot lošėas B naudoss t ėmas B r B, ta ν ) A ot) q ot) q ot) q, ot) q,q,q,q,,q,q q ),, o e lošėas B loš neotmala r naudoss dar r ot ėmas B be B, ta ν ) A ot),q q q,9q ) ot) q q,q 7,q ),q,q,q,q,q q q q ),q,9q,,q,9q,. Lošėo A garantuotas vdutns masmalus šlošs ν ot ), bus lygus garantuotam mnmalam vdutnam lošėo B ralošu, o ta reša, ad tašas M bus otmumo tašas ne t lošėu s A, bet r lošėu B, t. y., ad lošmo matrcos masmnas maxmnaq sutas su os mnmasu mnmax q s P 8 7 a q. q B 9
Pasnaudodam ša alnybe, o ta at tuo, ad tašas M yra atarų B r B, attnančų lošėo B ėmus B r B, susrtmo tašas, galme asačuot otmalą lošėo B strategą, ur ta ot at bus mšr: S ) ot) ot) ot) ot) ot) ot) B q, q, q, q ), q, q,). Tmybų q r q otmalos rešmės turėtų būt lygos, nes, a ta matyt š av., lošėu B daryt ėmus B r B būtų nuostolnga: tuo galėtų asnaudot lošėas A, addndamas savo vdutnį šlošį o tuo aču r lošėo B ralošį). Pavyzdžu, e lošėas B naudotųs t ėmas B r B, ta lošėas A sumažntų ėmų A dažnį ta, ad o garantuotas vdutns šlošs addėtų r atttų au ne tašą M, o tašą R. Paddėtų r lošėo B vdutns ralošs. Dar labau addėtų lošėo A šlošs r lošėo B ralošs, e lošėas B naudotųs t ėmas B r B, o lošėas A attnama addntų ėmų A ėmų dažnį ta, ad tas dažns atttų tašą S. Abeų lošėų bendro otmumo taše M turėtų galot ne t lygybės a a a a,, bet r lygybės a q a q a q a q, be lygybė q q, š urų gauname, og q ot), r q ot) ot,. Tag, S ) B ;,;,;). Lošėu B laants otmalos strategos, lošėo A vdutns šlošs o artu r lošėo B vdutns ralošs) au neberlausytų nuo to, oą strategą asrntų lošėas A. Įrodysme ta. Otmalus lošėo B vdutns ralošs ) ν B ot s a ot) q a q ot ) ) a q ot a q ot) a q ot),,,,,,,,. Ka matyt š gauto rezultato, a tmybės q r q yra lygos savo otmaloms rešmėms, lošėo B vdutns ralošs au neberlauso nuo, r r yra onstanta tmybų r tmo atžvlgu. Reomenduočau satytou abandyt įrodyt šį tegnį bendruou atveu, t. y. esant bet oa orno antagonstno lošmo su nulne suma matrca a ). Tą atį rezultatą, urį gavome, sręsdam šį antagonstno lošmo uždavnį grafnu metodu, galma buvo gaut r naudoants smleso algortmu. Pavyzdžu, ešodam lošėo B otmalos strategos, būtume gavę arbomus y q ν, y q ν, y q ν, y q ν,,y y y,9y, y y,y 7,y r tslo funcą Φy,y,y,y )y y y y max. Peredam nuo nelygybų re lygybų, gautume toį šo uždavno matematnį modelį: y,y y y,9y ), y y y,y 7,y ), Fy,y,y,y ) Φy,y,y,y ) y y y y ) mn. Šo uždavno srendmą smleso metodu vazduoa 9-o, -o r -o lentelės: 9. lentelė. lentelė. lentelė B.K.\L.K. L.n. y y y y B.K.\L.K. L.n. y y y y B.K.\L.K. L.n. y y y y y,,9 y y, 7, y F F 9 7 y 7 7 y 7 F 7 Otmalųį srendnį y ot), y ot), y ot), y ot), y ot) vazduoa -o lentelė, š uros matyt, ad otmal tslo funcos Fy,y, y, y ) Φy,y,y,y ) y y y y ) rešmė yra lyg ot. Kadang y ) y ot) y ot) y ot), ta ν ot ) ν ot ) ot,, š ur šlaua, ad q ) ν ot) y ot),, q ot) ν ot) y ot),,, ),,, ot) ot q. Todėl S ) B ;,;,;), o ta sutama su tuo rezultatu, urs buvo gautas srendžant šį uždavnį grafnu būdu žūr. av.). Nesunu įstnt, ad, sręsdam smleso metodu šam uždavnu dualų uždavnį q ot) ν ot) y ot x ν, x ν,,x x, x x, x,x,,9x 7,x, Fx,x )x x 97
x x ) mn, būtume gavę: x ot), x ot), x ot) x ot) x ot) x ot), ν ot ),, ot š ur šlaua, og S ) A ot), ot) ),;,), o ta rg sutama su ansčau gautu rezultatu. Panaša gal būt šsręstas r antagonstno orno lošmo su nulne suma uždavnys, a lošėo A šlošų matrca tur s s ) matavmų. T šuo atveu, srendžant uždavnį grafnu metodu, rboančą laužtnę sudaro ne aatnė žūr. laužtnę KLMNP -aame av.), o vršutnė laužtnė žūr. laužtnę USV 7-aame av.). Tarme, og lošėo A šlošų a matrcą s ) ) vazduoa -o lentelė, urą attna grafas, avazduotas 7 av. Tame grafe avazduotos lošėo A vdutnų šlošų ν rlausomybės, atsrandančos adarus ėmą A, nuo lošėo B ėmų B tmybų q : ν q q q, ν,q q,q, ν,q,7q,7,q, ν q 7q 7 q. υ. lentelė A \ B B B A A, A,,7 A 7 8 A A A A U 8 7 A V S R T L M N P K q, q 7 av. Iš 7 av. matyt, ad lošėu A, nornčam šlošt uo daugau, tslnga naudots t ėmas A r A su tam tras dažnas ot) ot) r, o lošėu B, surantant ad lošėas A būtent ta r darys, ot asrnt toą mšrąą strategą S ) B q ot), q ot) ), ur atttų laužtnės USV mnmumo tašą S. Tame taše vdutns lošėo A šlošs ν q q tur būt lygus vdutnam o šlošu ν q 7q, š ur šlaua lygybė q 7 q, t. y. q ot) ot,7. Todėl S ) B, ) r ν ot ). ot Otmalą lošėo A strategą S ) A ot) ; ot) ; ot) ; ot) ) ot) ; ; ; ot) ) gausme š lygybės 7, aesdam į : 7 ; ot) 9 ; ot) 9 ; S ot ) A ; ; ; 9 ), ν ot ) 9 9 9. Iešodam otmalos lošėo A strategos smleso metodu būtume gavę: x ν, x ν, x ν, x ν, x,x,x x, x x,7x 7x, Fx,x,x,x ) x x x x mn. Pertvarydam šas formules į standartnę bendroo tesno otmzacno modelo formą ta, a ta buvo adaryta... syrelye, būtume gavę lygybes: x 7 x,x,x x x ) x 8 x x,7x 7x x ) Fx, x, x, x ) x x x x ) mn Wx, x, x, x, x, x )x 7 x 8 x,x,x 9x x x ). Šo uždavno srendmą smleso metodu vazduoa -o, -o r -o lentelės. A A A q 98
. lentelė. lentelė. lentelė \ L.n. x x x x x x \ L.n. x 7 x x x x x \ L.n. x 7 x x x 8 x x x 7,, - x,,,7,, -, x x 8,7 7 - x 8,8 -,,,,, - x 9 F - - - - F,, -, -, -, -, F - - - - W,, 9 - - W,8 -,,,,, - W - - -o lentelė rodo, ad lestnas srendnys egzstuoa, nes agalbnės tslo funcos W mnmal rešmė yra lyg. Išbrauę š tos lentelės neberealngus stulelus, attnančus ftyvus ntamuosus x 7 r x 8, matome, og vsų tų tslo funcos F oefcentų rešmės yra negamos, t. y., matome, ad -o lentelė vazduoa ne t lestną, bet r otmalų srendnį, urs yra tos: x ot), x ot), x ot), x ot), x ot), x ot). Otmal tslo funcos Fx,x,x,x ) x x x x rešmė yra lyg, todėl νot) r ot) ν ot) x ot) 9, ot), ot), ot) 9, S A ot) 9 ;;; ). Analogša, naudoants smleso metodu, buvo galma gaut, 9 og S ot) B q ot),q ot) ) ; ). Reomenduou satytou tuo įstnt žūr.... užduotį). Tag, a antagonstno orno lošmo su nulne suma matrca netur balno tašo, otmalas lošėų strategas, uros šuo atveu bus mšros, vsada galma rast, naudoants smleso metodu. Ka lošmo matrcos matmenys s yra arba s, ta otmalų srendnį galma rast r arasčau: grafnu metodu nustatant, ure lošėų ėma turėtų būt atyvūs r ure asyvūs t. y. toe, uras naudots mšrose strategose nėra tslnga), o o to asačuoant otmalus teornus atyvųų ėmų dažnus tmybes r q be otmalas vdutno šlošo ralošo) rešmes ν atyvas strategas vazduoančų atarų susrtmo taše. Ka antagonstno orno lošmo su nulne suma matrca tur balno tašą, ta, a au buvo mnėta, otmalus srendnys surandamas dar arasčau surandant grynąsas masmnnes r mnmasnes lošėų strategas, attnančas tą tašą. Tag, orname antagonstname lošme su nulne suma vsuomet galma rast otmalas lošėų strategas: e lošmo matrca tur balno tašą, ta tos strategos bus grynosos, o e balno tašo netur mšrosos. O ta reša, og antagonstname orname lošme relada, ad to lošmo lošėa yra aanama rotng, vsas atveas ledža elmnuot stuacos neabrėžtumą r rast otmalas lošmo strategas. Vsa toa stuaca susdaro lošme su gamta, nes gamta nėra lošėo A antagonstas, r todėl gal nebett tos relados r te metoda, uras vadovaudames lošėa antagonsta galėdavo asačuot venas to būsmus otmalus ėmus. Žnoma, e lošėas A tur suauęs gana daug statstnės nformacos ae buvusus gamtos ėmus r ta nformaca rodo, og dėl gamtos elgeso stochastno stablumo galma aanama atma asačuot galmų gamtos ėmų tmybes q, ta s gal asačuot savo galmo būsmo šlošo vdurus a a q, attnančus eveną galmą savo ėmą, r šsrnt tą - 7 - - 99
ėmą *, urį attna ddžausas šlošo vdurs a a maxa maxa q a q. Ka lošėas A netur galmybės asačuot gamtos ėmų tmybų q, ta s galėtų asnaudot au mnėtuou tačau dažnausa neuo neagrįstu) Lalaso rncu r rmt, og q, t. y., ad vsų galmų gamtos ėmų tmybės yra venodos, arba asrnt toį savo ėmų dažnį, ad o šlošs neebrlausytų nuo gamtos ėmų. Vadovaudamass Lalaso rncu, lošėas A asrntų tą ėmą *, urs atttų lošmo matrcos elutę *, turnčą ddžausą savo elementų sumą a, o antruou atveu galėtų, naudodamass smleso algortmu, rast atyvąsas strategas r savo ėmų dažnus. Ka lošėas A raštutns esmstas r vsada ts blogauso, ta s grečausa asrns tą ėmą *, urs duoda gerausą rezultatą tar galmų blogausų, gaudamas šlošį, ne mažesnį už max mn a. Ta r sudaro mūsų au mnėto Valdo rnco esmę. Todėl formulę W maxmna vadna Valdo rterum o ta at šlošo masmno rterum be raštutno esmzmo rterum). Kartas naudoamas r tu raštutno esmzmo rterum mnmasnės rzos, arba Sevdžo rterum. Naudoants šuo rterum, lošmo šlošų matrca a transformuoama į lošmo rzos matrcą r, uros elementa r asačuoam, naudoants formule r max a a. Dyds r rodo, e lošėas A, asrndamas ėmą stuacoe, a gamta daro ėmą, raranda, lygnant su tuo masmalu šlošu max a, urį s būtų galėęs gaut stuacoe, e būtų š ansto žnoęs, ad gamta tra bus būsenoe. Išsrndam š galmų blogausų atveų gerausąį, r gauname formulę S mn max r Sevdžo rteraus matematnę šrašą. Srendma, rmam vadovauants Valdo r Sevdžo rteras, gal sutat, bet gal r nesutat žūr. užduotį..8.). Ka lošėas A nėra raštutns esmstas r todėl nėra įstnęs, ad vsada nuts ta, as blogausa, s, lošdamas neabrėžtnį lošmą su gamta, gal asnaudot Hurvco rterum, urs unga savye tam trą dalį esmzmo su tam tra dalm otmzmo. Santyį tar esmzmo r otmzmo šreša esmzmo oefcentas γ, uro rešmę, rlausančą ntervalu, ), asrena ats lošėas: uo labau s lnęs į esmzmą, tuo artmesnę oefcento γ rešmę s renas. Hurvco rteraus matematnė šraša formulė H max γmna ) γ maxa. Iš os šlaua, og lošėas, vadovaudamass šuo rterum, asrns tą ėmą *, urs attna ddžausą sumos γ mna γ)maxa rešmę max γ mn a γ)maxa γ mn a * γ) max a *. Ka γ, ta Hurvco rterus sutama su Valdo rterum, attnanču raštutnį esmzmą, o a γ tama lygu, ta 9
Hurvco rterus tama raštutno otmzmo rterum. Dėl to, ad oefcento γ rešmė asrenama subetyva, Hurvco rterus yra subetyvus. Tačau e ta surasta otmal rešmė * yra stabl gana lačame γ rešmės tmo daazone, ta galma tėts, ad ėmas * yra ne t subetyva, bet r obetyva otmalus ar bent aanama artmas obetyva otmalam, a tos egzstuoa. Gana dažna r lošmuose su gamta lošėa, a nesugeba rognozuot gamtos ėmų tmybų, asrndam ėmus be ų dažnus tmybes ) mšrose strategose, vadovauas au mums š antagonstnų lošmų teoros žnomu lošėo A vdutnų nuostolų mnmaso rterum, uruo naudoants surandamos otmalos lošėų strategos tuose lošmuose. Ka lošmo su gamta matrca tur balno tašą, ta tas rterus sutama su Valdo rterum, tačau tas atveas, a lošmo matrca balno tašo netur, tų rterų taymas duoda au srtngus rezultatus: taydamas Valdo rterų lošėas A asrena attnamą grynąą strategą, o laydamas gamtą savo antagonstu mšrąą strategą. Pavyzdžu, e lošmo matrca, avazduota 8-ooe lentelėe, būtų lošėo A lošmo su gamta šlošų matrca, ta lošėas A, vadovaudamass Valdo rterum, asrntų grynąą strategą S A ;), nes elementas a max mn a, rlauso antraa tos lentelės elute. Laydamas gamtą savo antagonstu, lošėas A, a ta šlaua š mūsų ansčau gautų šo antagonstno lošmo otmzavmo rezultatų, asrntų mšrąą strategą S A ; ),;,). Ka ta matyt š av., lošėas A, laydamass šos strategos, galėtų būt garantuota tras, ad o vdutns šlošs neada nebus mažesns už,, a tuo taru, vadovaudamass Valdo rterum r asrndamas strategą S A ;), s galėtų būt garantuota tras, og o šlošs neada nebus mažesns t už max mna,. Je lošmo su gamta matrca būtų -o lentelė, ta lošėas A, vadovaudamass Valdo rterum, asrntų grynąą strategą S A ; ; ; ) ;;;), nes a max mn a, rlauso trečaa tos lentelės elute. Tos strategos asrnmas garantuotų lošėu A, ad o šlošs neada nebus mažesns už a,. Je lošėas A, laydamas gamtą savo antagonstu, šuo atveu asrntų, a mes au buvome asačavę, otmalą mšrąą strategą S A 9 ;;; 9 ), ta o garantuotas vdutns šlošs ν n m a q q,q,q q 9 9 8 8 q q,7q 7 q q q q q ) 9 9 9 9 9 9 9 nerlausytų nuo gamtos ėmų r būtų lygus, o ta daugau už, nors artas, a q >, gal būt r mažau už,,q ). Abendrndam šų dveų avyzdžų nagrnėmo rezultatus, galme suformuluot o o to r įrodyt) švadą, galoančą r bendruou atveu: a lošmo su gamta matrca netur balno tašo, ta lošėas A, laydamas gamtą rotngu antagonstu r naudodamass antagonstnuose lošmuose taoma 9
toas atveas otmala mšrąa stratega, gal sau garantuot vdutnį masmnnį šlošį mnmasnį ralošį), ne blogesnį, o dažna r geresnį už tą, urį s galėtų sau garantuot, naudodamass š Valdo rteraus šlauanča grynąa stratega. Todėl tas atveas, a gamtos ėmų tmybės q lošėu A nėra žnomos, o o šlošų a matrca netur balno tašo, ta lošėas A, norėdamas, ad garantuotas o šlošo vduro mnmumas būtų uo ddesns, gal, asrndamas savo ėmus, šoe neaanama abrėžtoe stuacoe, naudots antagonstnų lošmų otmzavmo metodas. Tačau ddžauso garantuoto vdutno šlošo gavmas dar ne vsada reša, ad r realus, t. y. fatšass, vdutns šlošs, urs rlauso nuo gamtos ėmų tmybų r artas gal būt ddesns už ą t mnėtąą ddžausą garantuotą šlošį, vsada bus ats ddžausas. Prlausoma nuo to, oos yra gamtos ėmų B trosos tmybės q, realus vdutns šlošs, nebūdamas mažesns už garantuotą vdutnį šlošį, gal būt už į geroa ddesns, r todėl artas gal atstt r ta, ad, vadovaudamass esmstnu Valdo rterum, lošėas A gaus ddesnį realų vdutnį šlošį, negu vadovaudamass tas rteras žūr.... užduotį). Palustruosu įvarų otmalumo rterų taymą lošmuose onrečas avyzdžas, onretzuodamas 7-ąą lentelę be nagrnėdamas įvaras stuacas. Tarme, ad lošme su gamta lošėas A r gamta gal daryt o eturs ėmus r ad lošėo A šlošų matrcą vazduoa lentelė.. lentelė 7. lentelė 8. lentelė 9. lentelė \ \ \ \ 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 8 7 8 8 7 8 7 8 Lošėas A gal astebėt, ad antrass o ėmas neada negal būt geresns už etvrtąį. Todėl am vsada yra naudngau veto antroo ėmo daryt etvrtąį, r todėl s lošmų matrcą gal suarastnt, šbraudamas antrąą elutę r gaudamas matrcą, avazduotą 7-ooe lentelėe. Je veto gamtos loštų rotngas lošėas B lošėo A antagonstas, ta s, astebėęs, ad o ėmas neada nebūna geresns už ėmą adang a a ) r todėl lošėas B, darydamas ėmą, vsada raloša arba te at arba daugau, negu darydamas ėmą ), nusręstų šbraut lošmų matrcoe etvrtąį stulelį. Tuomet gautume antagonstno lošmo matrcą, avazduotą 8-ooe lentelėe. Nesunu astebėt, ad š matrca tur balno tašą *, * ), ), urį attna lošėo A šlošs, lygus a. Ka au buvo mnėta, balno tašu būdnga ta, ad nė venam antagonstno lošmo lošėu neasmoa nuryt nuo to tašo. Pavyzdžu, e lošėas A, norėdamas šlošt a 9, adarytų ėmą, ta lošėas B, norėdamas ralošt uo mažau, adarytų ne ėmą, o ėmą, r lošėas A veto svaotoo šlošo a 9 gautų šlošį a, urs būtų mažesns ne t už a 9, bet r už a. Panaša atsttų r lošėu B, e s asrntų ne ėmą *, o urį nors tą ėmą. Pavyzdžu, e s, norėdamas ralošt uo mažau, asrntų ėmą, tėdamass ralošt a, ta š trųų s rotngam lošėu A raloštų a 8, t. y., daugau negu a. Tag, abems lošėams antagonstams šuo atveu egzstuoa venntelė otmal gryno determnuota) stratega *, * ), ), uomet a max mn a mn maxa, r ems neasmoa nuo os nuryt. Ka lošėas B yra gamta, ta etvrtoo stulelo elmnuot au negalma, nes gamta nėra lošėo A atžvlgu antagonstas r nesrena savo ėmų, orentuodamas į lošėo A šlošų be ralošų dydį. Todėl lošėo A lošmo su gamta matematns models yra 7-o lentelė. Je lošėas A, adorodamas statstnę nformacą, nustatytų, og gamta savo ėmus daro su astovoms tmybėms q avyzdžu: q,; q,; q, r q,), ta s, masmzuodamas savo šlošo vdurį, asrntų toį ėmą *, ad tas vdurs būtų ddžausas. Je lošėas A, esant 9
duotoms tmybėms q, asrntų rmąį ėmą, ta o šlošo vdurs a būtų lygus a,8,,,7,. Analogša gautume, og asrnęs, lošėas A šloštų vdutnša a,, o asrnęs, šloštų a 7,. Lygndam šlošo vdurus, matome, og šuo atveu otmal lošėo A stratega būtų vsada rnts ėmą r gaut šlošo vdurį a 7,. Tuo atveu, a lošėas A nežnotų gamtos ėmų tmybų r, sręsdamas šį nelna abrėžtą uždavnį, vadovautųs Lalaso rterum, ta s asrntų ėmą, nes suma a 9 yra ddesnė už sumą a r už sumą a 7. Šuo atveu s veto vdutno šlošo a 7,, uro galėo tėts, e gamtos ėmų tmybės a ta šlaua š Lalaso relados) būtų venodos, š trųų gautų, esant gamtos ėmų tmybėms q,, q,, q, r q,, t vdutnį šlošį a 7,, t. y. mažesnį už tą, ur gautų turėdamas realngą statstnę nformacą ae trąį gamtos ėmų tmybų q assrstymą r asrndamas strategą S A ;;;). Je lošėas A būtų raštutns esmstas r vadovautųs Valdo rterum, ta s ta at asrntų ėmą, nes, adaręs tą ėmą, s blogausu atveu tėtųs šlošt, a tuo taru, adarus ėmą, blogausu atveu gaunamas šlošs yra lygus, o ėmą attna mažausas galmas šlošs, lygus. Tag, ddžausą garantuotą šlošį max mn a a lošėas A gautų asrnęs ėmą A. Tą ėmą r reomenduoa Valdo rterus. Kadang gamta nėra lošėo A antagonstas, ta lošėas A, vadovaudamass Valdo rterum r asrndamas ėmą A, gal tėts ne t garantuoto šlošo υ, bet r realaus vdutno šlošo υ 8q 7q q 8q q q q q )q q q q q q, urs, būdamas ne mažesnu už, artas galėtų būt r ddesns, o e gamta darytų t ėmus arba ), galėtų tat lygus net 8 venetams. Je vsų gamtos ėmų tmybės būtų venodos, ta realus vdutns lošėo A šlošs, gautas vadovauants Valdo rterum, tatų lygus υ 7,, t. y. ėmas A tou atveu, a au buvo mnėta, būtų otmalus. Tag, raconalus raštutns esmzmas ne vsada veda re raštutna esmstnų rezultatų, tačau vsada garantuoa, ad gaunamas rezultatas neada nebus blogesns už gerausą tar galmų blogausų rezultatų. Panašą švadą galma adaryt r Sevdžo rteraus atžvlgu. Tuo nesunu įstnt, ratęsus lošmo, arašyto 7-ooe lentelėe, nagrnėmą. Būdamas raštutnu esmstu r norėdamas asnaudot Sevdžo rterum, lošėas A lošmo moėmų matrcą, avazduotą 7-ooe lentelėe, ertvarytų į lošmo rzos matrcą, avazduotą 9-ooe lentelėe. Sedamas, ad blogausu atveu o rza būtų mažausa, lošėas A asrntų ėmą, nes max r yra mažesns dyds už max r r už max r. Lošant su gamta r naudoants Sevdžo rterum, t. y. asrenant ėmą, vdutnė lošėo A rza būtų lyg r q q q q, t. y. ne ddesnė už max r, o artas r mažesnė. J galėtų tat lyg, a q, o mūsų nagrnėamu atveu, a q,, būtų lyg,8. Vdutns šlošs υ, urį besvadovaudamas raštutno esmzmo rteras, esant duotoms gautos ėmų tmybės, q,, q,, q,, q,, gautų lošėas A būtų lygus 7,, t. y. ddesns už garantuotą mnmalų šlošį υ, tačau mažesns už tą vdutnį šlošį υ 7,, urį galėtų gaut rotngas lošėas, e žnotų gamtos ėmų tmybes q. Nesunu įrodyt, o vadovauants raštutno esmzmo rteras gautas vdutns šlošs vdutns ralošs), neada nebūdamas mažesns ddesns) už garantuotą mnmalų šlošį masmalų ralošį), neada negal tat geresns už vdutnį šlošį. vdutnį ralošį), urį lošėas galėtų gaut, žnodamas gamtos ėmų tmybes q. Je lošėas A nebūtų raštutns esmstas r nusręstų šame negrežta abrėžtame lošme su gamta vadovauts Hurvco rterum, asrndamas gana otmstnę esmzmo oefcento γ rešmę γ,, ta, asačavęs sumą υ γ mn a γ) max a rmaa 7-osos lentelės elute, s gautų υ,,787,, antraa ) υ,,797, r asutne ) υ, q 9
,787,. Pasrndamas masmalą sumą max υ max γ mn a γ) max a ), s asrntų strategą *, tačau, esant ansčau nurodytoms gamtos ėmų tmybėms q, gautų veto to vdutno šlošo υ γ m a γ) max a,,797,, uro tėos, t šlošį a a q aq,. Ta rodo, ad šuo atveu lošėo A ntutyvus otmzmas neastesntų: veto vdutnša gerausos strategos s šuo atveu tarama moslša agrįsta u ne ša sau sėloo, o matematnu rterum vadovavos!) asrntų vdutnša blogausą strategą. Tačau ča reėtų altnt ne t r ne te Hurvco rteraus netobulumą, e lošėo A neatsargumą, o neagrįstą otmzmą. Je lošėas A būtų buvęs atsargesns r nebūtų ala astėęs savo ntuca, s būtų asstengęs atrnt gauto otmalaus srendno stablumą be o autrumą oefcento γ oyčams, atrndamas, ar stratega šlea otmal r mažau otmstnėms oefcento γ rešmėms. Pavyzdžu, asrndamas γ,, s būtų gavęs, og šuo atveu *, t. y. būtų įstnęs, og otmal stratega nėra aanama stabl r, matyt, būtų asrnęs mažau otmstnį tačau stablesnį r daugumoe atveų geresnį) lošmo strategos varantą, š trųų ledžantį šlošt še te daugau, negu vadovauants stratega. Nagrnėdam lošmų, urų matrca netur balno tašo, avyzdžus, au esame nustatę, ad mšr masmnnė stratega, ur yra otmal ornuose antagonstnuose lošmuose, ledža r lošmuose su 7. lentelė A \ G G G G A 8 A A 7 gamta addnt lošėo A garantuotą vdutnį masmnį šlošį, lygnant su tuo garantuotu šlošu, urį užtrna gryno lošėo A stratega, šlauant š Valdo rteraus taymo. Pavyzdžu, a lošmo su gamta matrcą sudaro lošėo A šlošų matrca, avazduota 7-ooe lentelėe, onretzuoančoe 7-ąą lentelę, ta, a au buvome gavę ansčau, naudodames smleso algortmu, otmzuodam toą ačą šlošų matrcą turntį ornį antagonstnį lošmą su nulne suma, lošėas A, naudodamass mšra stratega S A ; ; ) ; ;, gautų vdutnį šlošį, 7 7 urs bet uruo atveu nebūtų mažesns už, a tuo taru Valdo rteraus taymas, 7 7 asrenant grynąą strategą S A ; ; ), garantuotų lošėu A t ta, og o vdutns šlošs, esant bet uram gamtos ėmu, nebus mažesns t už. Iš trųų: e lošėas A vadovautųs mšrąa stratega S A ; ;, ta o realus vdutns šlošs būtų lygus υ 8 q q 7 7 7 7 8 q q q q q q q q, o e s vadovautųs grynąa stratega S A ; ; ), ta realus vdutns o šlošs būtų υ q q q q q. 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 Tag garantuotas vdutns lošėo A šlošs būtų ddesns tada, ada lošėas vadovautųs mšrąa masmnne stratega S A ; ;, o ne tada, ada s vadovautųs š Valdo rteraus taymo 7 7 šlauanča grynąa stratega S A ; ; ). Analogšą švadą gautume r nagrnėdam lošmus su gamta, uruos vazduoa r 7 av., nes tų lošmų matrcos ta at netur balno tašų. Reomenduočau satytou abandyt įrodyt šos švados tesngumą bendruou atveu, t. y. vsems lošmams su gamta, urų matrcos netur balno tašų. Rea srt ddžausą mnmalų garantuotą vdutnį šlošį, nerlausantį nuo gamtos ėmų tmybų, r fatšąį vdutnį šlošį, urs au rlauso nuo gamtos ėmų tmybų q. Porname lošme su gamta, uro matrca netur balno tašo, lošėo A fatšass vdutns šlošs srtnga nuo garantuoto vdutno masmno šlošo) ne vsada būna ddesns tuo atveu, a lošėas A naudoas mšra masmnne stratega, negu tuo atveu, a s naudoas grynąa stratega, šlauanča š Valdo rnco. Pavyzdžu, lošme su gamta, uro matrcą vazduoa 7-o lentelė, fatšass vdutns lošėo A šlošs, gautas vadovauants mšrąa masmnne stratega S A ; ;, bus ddesns už fatšąį vdutnį šlošį, gautą, vadovauants Valdo rncu, t tas 7 7 9
8 atveas, a q > q q, t. y., a 7q q <. Atveas, a 7q q >, ddesnį fatšąį 7 7 vdutnį šlošį duos Valdo rterus. Tas atveas, a lošmo matrca tur balno tašą, bandymas eret nuo grynosos strategos, šlauančos š Valdo rteraus taymo, re mšrosos masmnnės strategos, ur būtų otmal attnamame antagonstname lošme, arašomame mnėtąa lošmo matrca, turnča balno tašą, au nebeaddntų lošėo A garantuoto vdutno šlošo. Pavyzdžu, e lošme su gamta, urį arašo 7-o lentelė, turnt balno tašą *, * ); ), eretume re mšrosos strategos, otmalos attnamame antagonstname lošme, ta lošėo A garantuotas vdutns šlošs, lygnant su balno tašą attnanču šlošu υ, neaddėtų. Įrodysme šį tegnį. Je šame lošme, vadovaudamass Valdo rterum, lošėas A asrntų grynąą strategą S A ; ; ); ; ), ta, a au esame gavę ansčau, o vdutns realus šlošs būtų lygus υ 8q 7q q 8q q q q. Šs vdutns šlošs, esant bet oam gamtos ėmu, nebūtų mažesns už garantuotą šlošį, lygų, o fatšass vdutns šlošs nereta būtų ddesns už į, artas sedamas net 8. Je lošėas A sudarytų 7-osos lentelės matrcą attnančo antagonstno lošmo otmzacnį modelį su arbomas x, x, x, x, x, x 7, x 8, x 9, υ υ υ x, x, x, x 9 x 9x 8x x ), x 8x x 7x x ), x x x x x 7 ), x x 9x 8x x 8 ) r tslo funca Fx, x, x ) x x x ) mn be agalbne tslo funca Wx, x, x, x, x, x 7, x 8 ) x 7x 9x x x x 7 x 8 ) mn, ta, naudodamass ot) ot) ot) ot) smleso algortmu, gautų toį otmalų srendnį: x, x, x, x, 9 8 ot) ot) ot) ot) ot) ot) ot) x, x7, x8, x9, x, x, x. Mnmal tslo 8 9 funcos Fx, x, x 7 ) x x x7 rešmė šuo atveu būtų lyg, todėl masmal lošėo A vdutno šlošo υ rešmė būtų υ, t. y. lyga toa at, a r garantuotas šlošs, taant Valdo rterų r naudoants grynąa stratega S A ; ; ); ; ). Kadang otmalų srendnį attnančoe tslo funcos šrašoe Fx, x, x 7 ) x x x7 oefcentas re lasvoo ntamoo x yra lygus r x gal ests segmente ;, ta bazno ntamoo x otmal ot) rešmė x x x x7 gal ests segmente 9 9 9 ;, o otmal bazno ntamoo 9 ot) 9 x rešmė x x x x7 gal ests segmente 8 8 8 ;. Ka x, ta, 8 ot) ot) ot) naudodames lygybėms x υ, gautume, og x υ, x υ, 9 ot) x υ, š ur šlautų, og fatšass lošėo A vdutns šlošs, naudoants masmnne mšrąa stratega S A ; ; ) ;;, būtų lygus υ q 8q q q ) 8q 7q q 8q ) q q. Je rmtume, ad x, ta gautume, og x ot) ot) ot), x, x, ot) ot) ot),,, t. y. gautume tą ačą grynąą strategą, a r vadovaudames Valdo rncu. Mšr stratega S A ; ; ) ;;, būdama evvalent grynaa stratega S A ; ; ) vdutno garantuoto masmno šlošo atžvlgu, būtų fatša geresnė už grynąą strategą S A ; ; ) t tas atveas, a gamtos ėmų dažna būtų toe, og būtų tennama nelygybė 9
q q >q q q, t. y. nelygybė q >q q. Atveu q <q q š Valdo rteraus šlauant gryno stratega S A ; ; ), vdutno garantuoto masmno šlošo atžvlgu būdama evvalent smleso algortmu naudoants asačuota mšraa stratega S A ;;, būtų fatšoo vdutno šlošo atžvlgu net geresnė už ą. Pavyzdžu, e vsų gamtos ėmų tmybės q būtų venodos, ta gryno stratega S A ; ; ) būtų otmal. Kntamoo x rešme ečants ntervale ;, gautume tarnes mšrąsas masmnnes strategas S A ; ; ) α;; α, ur α ;. Tas strategas atttų lošėo A šlošo vdurs υ A q q α q q q ), t. y. vsos tos strategos garantuotų venodą masmnnį lošėo A šlošo vdurį, lygų, tačau srtųs fatšuou vdutnu šlošu. Šs šlošs, a q >q q, ddėtų, mažėant α, r būtų ddžausas, a α, as attna mūsų au mnėtąą mšrąą masmnnę strategą S A ;;. Ka q <q q, fatšass lošėo A šlošo vdurs ddėtų, ddėant α, r tatų ddžausas, a α, as atttų mūsų au nagrnėtąą strategą SA ; ; ). Atveu a q q q, vsos naudoants smleso algortmu surastos masmnnės strategos S A α;; α būtų evvalenčos ne t lošėo A garantuoto masmno šlošo vduro, bet r o fatšoo šlošo vduro atžvlgu. Šs avyzdėls rodo, ad tuo atveu, a lošėu A gamtos ėmų tmybės q nėra žnomos r lošmo matrca tur balno tašą, gryno lošėo stratega, attnant tą tašą, gal būt laoma otmala ne t antagonstname lošme. J gal būt laoma otmala r lošme su gamta, nes ledža gaut ddžausą garantuotą vdutnį šlošį. Žods otmal ča avartotas abutėse todėl, ad lošme su gamta š stratega, garantuodama, og mnmalus šlošs bus ats ddžausas masmalus ralošs bus ats mažausas), negarantuoa og fatšass šlošs bus ats ddžausas. Tas atveas, a lošmo su gamta matrca netur balno tašo, ddžausą garantuotą mnmalų vdutnį šlošį, a au matėme š anstesnų avyzdžų, lošėas A gal aset, naudodamass mšrąa stratega, uros asačavmu galma asnaudot smleso algortmu, arba, a s) ), r grafnu metodu. Tou būdu surasta mšro stratega attnamame antagonstname lošme būtų otmal trąa to žodžo rasme. Bagant šį syrelį, reėtų ažymėt, og garantuotą mnmalų šlošį lošme su gamta dažna galma būtų rešmnga addnt, e avytų atsėt būsmų gamtos ėmų tmybes q.... Atyvūs dealūs r nedealūs esermenta. Statstnų srendmų teora r os tayma Žyma daugau r dažnau lošėas A galėtų šlošt ne sėlodamas, o asstengęs gaut daugau nformacos ae galmus gamtos ėmus, t. y. sumažndamas stuacos, uroe s rma srendmą, neabrėžtumą. Veną š toų būdų mes au mnėome. Ta statstnės nformacos ae au buvusus gamtos ėmus surnmas r os adoromas, asačuoant ta vadnamąsas arornes gamtos ėmų tmybes q. Tačau ne vsada tos tmybės q yra aanama stablos, t. y. nebūtna būsmų gamtos ėmų tmybės dabar tsla sutama su arornėms tmybėms, asačuotoms naudoants nformaca ae ta, a gamta elgės ansčau. Todėl dažna būna tslnga, reš darant atsangą ėmą, neasrbot ven t arorne nformaca, o aesermentuot, bandant nustatyt dabartnę gamtos būseną os ėmą dabar) ar bent au atslnt galmų gamtos ėmų tmybų rešmes, nustatant ta vadnamas aosterornes tmybes. Kad satytoas gerau suvotų arornų r aosterornų tmybų esmę r vadmenį rognozėse, atesu toį avyzdėlį. Daugameča meteorologna stebėma ledža nustatyt ne t 9
vdutnę temeratūrą be vdutnį rtulų eį Vlnue eveno mėneso evena dena, bet r įvertnt tų dydžų assrstymo tmybes. Prognozuoant temeratūros r rtulų eo assrstymą atenančam mėnesu, mnėtosos tmybės vadns arornų tmybų vadmenį. Tačau tos tmybės charaterzuoa temeratūros r rtulų assrstymą t vdutnša r, vadovauants t oms, negalma tėts laba atmų trumalaų rognozų, rognozuoant, ls ar nels šanden o vdurdeno be oa tada bus temeratūra. Žyma atmesnes trumalaes rognozes mes gausme, e arornes tmybes aldysme aosterornėms, uras mes galėsme aytra nustatyt tos denos rytą šėę į baloną r ažvelgę į dangų be asžūrėę, ą rodo re lango š lauo usės rtvrtntas termometras be barometras. Nenorėčau, ad a ure satytoa, neaanama įsglnę į šį avyzdėlį, nuvertntų arornų tmybų rešmę. Vsų rma, tų tmybų žnomas gal būt laba vertngas lgalaėms atsttnų dydžų vdurų rognozėms, a tuo taru aosterornų tmybų žnomas toms rognozėms ne vsuomet yra vertngas. Antra, arornų tmybų assrstymo žnomas svara aldo tą nformacą, urą gauname š aosterornų tmybų žnomo, r nereta adeda švengt amaudžų ladų. Pavyzdžu, š lgalaų stebėmų žnodam, oe neastovūs yra ora Letuvoe, lygnant su oras vetovėse, uroms būdngas ontnentns lmatas, mes, net matydam, ad š ryto šveča saulė, artas vs dėl to, edam į darbą, asmtume letsargį, uomet tou atveu to nedarytų šales su ontnentnu lmatu gyventoas. Tag, gal būt naudngas r arornų, r aosterornų tmybų žnomas. Esermenta, srt aosterornų tmybų nustatymu, realaua tam trų šladų, tačau a esermento ana c būna mažesnė už tą aldomą šlošį, urį gauna lošėas, asnaudodamas esermento metu gauta aldoma nformaca, ta esermentuot asmoa. Esermento ana rlauso ne t nuo esermento sudėtngumo, bet r nuo to, ar esermentas yra atyvus, ar asyvus. Atyvas esermentas vadnam esermenta, ure atleam secala, seant gaut atsaymą į šlusį lausmą. Pasyvu esermentu vadnamas au turmos nformacos regstravmas r adoromas, seant atvrtnt ar anegt šeltas hotezes. Statstnės nformacos rnmas r adoromas asyvaus esermento avyzdys. Esermentus, urų metu mums avysta lna šsašnt gamtos būseną, t. y. tsla sužnot os ėmą, vadnsme dealas, o vsus tus nedealas. Nedealų esermentų metu mes gauname aldomą nformacą, uros dar neaana vsšam stuacos neabrėžtumo nuėmmu, tačau ta nformaca ledža asačuot ar bent aytra įvertnt) aosterornes gamtos ėmų tmybes, adevačau arašančas galmą gamtos elgesį dabar negu arornės tmybės, arašančos vdutnį gamtos elgesį. Asačuosme, oį aldomą šlošį galėtų duot dealus esermentas, uro ana yra c. Įvydę dealų esermentą, mes eveną artą, žnodam onretų gamtos ėmą, stulelye šsrntume tą elutę, uroe mūsų šlošo a rešmė yra ddžausa, r šloštume max a. Pažymėsme tą šlošį β. Atsžvelgdam į dealaus esermento aną, gautume, ad grynas šlošs tuomet būtų lygus β c. Laydam, ad gamtos ėma assrstę su arornėms tmybėms q, gautume, og to šlošo vdurs, esermentuoant aanama daug artų, būtų lygus β q cq β c)q β q c. Je neesermentuotumėme, o, naudodames žnomoms arornėms gamtos ėmų tmybėms, šart rntumėmės strategą *, masmzuoančą šlošo matematnį vdurį, ta, a au esame... syrelye asačavę ansčau, gautume vdutnį šlošį a max aq a. 97
Lygndam galmus vdutnus šlošus β q c q maxa c r a maxa q, švedame, og dealus esermentas asmoa, e tennama nelygybė β q c > max a q, t. y., e esermento ana c yra mažesnė už srtumą β q max a q mn β q a q mn mn maxa a )q mn r q mnr. β a ) q Tag, e c < mnr, t. y., e dealaus esermento ana yra mažesnė už mnmalą vdutnę duotoo lošmo su gamta rzą, ta esermentuot asmoa, nes tuomet mes gauname aldomą vdutnį šlošį mnr c, lygnant su tuo vdutnu šlošu, urį gautume, e naudotumėmės t arornėms gamtos ėmų tmybėms q r nesnaudotumėme dealu esermentu. Palustruosu šą švadą onreču avyzdžu. Lošme su gamta, uro nformacns models yra 7-o lentelė, lošėas A, naudodamass am žnomoms gamtos ėmų arornėms tmybėms q, a au matėme, būtų asrnęs strategą * r gautų vdutnį šlošį a a 7,. Je lošėas būtų naudoęss dealu esermentu, ta matematns o šlošo vdurs būtų lygus β q c q max a c,9,8,,9 c7,8 c. Je dealaus esermento ana c<7,8 7,,7, ta esermentuot asmoėtų. Tą ačą švadą būtume gavę, asnaudodam 9-ąa lentele, vazduoanča lošmo rzos matrcą, nes mn r mnr, r, r ) mn,,,,;,,,,;,,,,)mn,7;,;,8),7. Peresme re esermento, urs nėra dealus, nagrnėmo. Tarme, og tos esermentas gal duot w srtngų rezultatų E, E,..., E v,..., E w, rlausančų nuo to, ooe būsenoe z buvo gamta to esermento metu. Laysme tuos rezultatus srtngas nesudernamas įvyas, nes venas r tas ats esermentas negal venu r tuo aču metu duot r rezultatą E, r, avyzdžu, E. Tarme ta at, ad mes š anstesnų secalų esermentų au žnome sąlygnes tmybes E v /z ), nusaančas, a rlauso tmybė gaut esermento rezultatą E v nuo to, ooe būsenoe z yra gamta. Ka au žnome š..7 r... syrelų, A B)A)B/A) B)A/B), todėl sąlygnę aosterornę tmybę z /E v ), t. y. tmybę, ad, gavus esermento rezultatą E v, gamta bus būsenoe z, galma asačuot, naudoants lygybėms E v z )E v )z /E v )z )E v /z ) r z )q, š urų gauname formulę z ) E v z ) z ) E v z ) q E v z ) z /E v ). E v ) z ) E z q E z ) v ) Žnodam arornes gamtos ėmų tmybes z )q be sąlygnes tmybes E v /z ) r naudodames ą t švestąa formule, vadnama Beeso Th.Bayes) formule, mes nesuna galme asačuot sąlygnes aosterornes gamtos ėmų tmybes z /E v ). Gavę nedealaus esermento rezultatą E v, mes galme rmt gana natūralą reladą, og duotuou momentu gamtos ėmų tmybės yra lygos sąlygnėms v 98
aosterornėms tmybėms z /E v ) r asrnt tą savo ėmą Ev, urį adarę, galėtume gaut masmalų šlošo sąlygnį matematnį vdurį max a z E ) a z E ) v. E v Kadang esermento rezultata E v assrstę su tmybėms E v ) q E z ) v, uras, žnodam arornes gamtos ėmų tmybes q z ) r sąlygnes tmybes E v /z ), ta at galme lengva asačuot, ta gauname toį bendrąį šlošo, naudoants nedealu esermentu, matematnį vdurį w w ~ a E v) a * z E v ) q E v z ) maxa z E v ) E v v v w E z ) q v maxa v q E v z ) E z ) E z ) w max a q v. v q v ~ w Ka srtumas a a maxa q Ev z ) max v a q v yra ddesns už nedealaus esermento aną c, ta naudots nedealu esermentu asmoa, o e mažesns neasmoa. Tuo atveu, a nedealus esermentas asmoa r uo naudots tena eveną artą reš asrenant ėmą *, naudnga š ansto šsvest r suformuluot tasyles, nurodančas, a turėtų rlausyt otmalaus ėmo * asrnmas nuo esermento rezultato E v. Palustruosu vsą ta onreču avyzdžu. Tarme, ad lošmo su gamta šlošų matrcą vazduoa 7-o lentelė, o sąlygnes tmybes E v /z ), nustatytas dar ansčau, reš radedant tayt nedealų esermentą, vazduoa 7-o lentelė. 7. lentelė 7. lentelė \ E v \z z z z z 9 E,,9,, 8 E,,,, E,7,, Tarme ta at, ad arornės gamtos ėmų tmybės q z ) yra toos: q,, q,, q,, q,. Je nesnaudotume nedealu esermentu, ta otmalą lošmo strategą gautume masmzuodam matematnį šlošo vdurį, asačuoamą naudoants arornėms gamtos ėmų tmybėms. Tas masmalus matematns vdurs būtų max q a max,;,;,), r atttų ėmą *. Asačuosme dabar sąlygnes aosterornes tmybes z E v ), naudodames arornėms tmybėms q, 7-ąa lentele r Beeso formule: ) z) E z),,, z E, ; E ),;,,,,9,,,,, z E z ) ) 99
,,9, z E ), 9 ; z E ), 8 ; z E ), z E ) z ) E z ),,,,, ;,,,,,,,,,,,,,, z ) E z ),,,,9 ; E ),; z E ), 88 ; z E ), 7 ; z E ), 7 z E ) z ) E z ) z ) E z ),,,,, ;,,,7,,7,,7,,,,,, z E ) ; z E ), ; z E ),, ; E ),;,,,,,.,,, Tuo atveu, a esermentas duoda rezultatą E, asačuoame, naudodames sąlygnėms z E, evenam ėmu šlošo sąlygnus aosterornėms gamtos ėmų tmybėms ) matematnus vdurus z E) a r šsrename tą ėmą *, urs attna ddžausą sąlygnį matematnį vdurį. Gauname, ad maxa z E) max,9;,9;,9),9, š ur šlaua tasylė: e esermentas davė rezultatą E, rea rnts ėmą * nors, žnoma, ėmo rezultatas t dėl sačavmų alados atrodo truut blogesns, o š trųų abu rezultata yra lygūs 9,9). Ka esermentas duoda rezultatą E, ta lošėo A šlošų sąlygnų matematnų vdurų asačavmu naudoamės sąlygnėms aosterornėms tmybėms z /E ). Gauname, og max a z E ) max,9;,9;,),9, š ur šlaua tasylė: e esermento rezultatas yra E, ta rea rnts ėmą *. Ka esermentas duoda rezultatą E, ta šlošų sąlygnų matematnų vdurų asačavmu naudoamės sąlygnėms aosterornėms tmybėms z /E ). Gauname, og max a z E ) max,;,;,7),, š ur šlaua tasylė: e esermento rezultatas yra E, ta rea rnts ėmą *. Abendrndam vsas trs ą t švestas tasyles, gauname toą bendrąą otmalos lošmo su gamta strategos šsrnmo tasylę, urą galma truma avadnt otmala duotoo lošmo su gamta stratega: a esermento rezultatas yra E, rea rnts ėmą * arba *, o vsas tas atveas ėmą *. Naudodames ča arašytuou nedealu esermentu r ša tasyle, gausme bendrą besąlygnį) šlošo matematnį vdurį ~ w a E v ) maxa z E v ) v,9,,9,,,,,, š uro, ad gautume grynąį šlošį, dar rea atmt esermento aną c. w Je ta ana mažesnė už max a q E v z ) max v a q,,,, ta esermento taymas atsera, o e ne, ta esermentuot reš asrenant ėmą * neasmoa r otmalos strategos šsrnmu aana asnaudot arornėms gamtos ėmų tmybėms, asačuoant max q a. Esermento rezultatų matematnį adoromą galma buvo atlt žyma arasčau r grečau, e būtume naudoęs galutne grynoo šlošo besąlygno matematno vduro, 9
naudoants nedealu esermentu, asačavmo formule maxa q E v z ) c c nedealaus esermento ana. Tada būtume gavę: ~ a maxa q E v z ) v w v max[,,,,9,, 9,,);,,8,,9,,,,);,,,,9,,,,)] max[,,,,,,9,,);,,8,,,,,,);,,,,,,,,)]max[,,7,,,9,,);,,78,,,,,);,,7,,,,,)]max,8;,8;,8)max,88;,7;,78)max,;,;,7),8,88,,. Tuomet ~ a c, c. Še asačavma būtų ne t arastesn, bet r be sačavmo aladų, nes, as naudoants, au nebereėo radžoe dalnt š E ),, E ), r E ), r o to vėl daugnt š tų ačų dydžų. Otmalus ėmus ta at lengva nustatyt sačavmų egoe žūr. tų sačavmų metu gautas aryšntas max a q E v z ), ur rešmes: os rodo, re oų * rešmų aseam šlošo vdurų masmuma). Iešant lošmuose su gamta otmalų srendnų realose stuacose, nešvengama susdurama su ų neaanamu abrėžtumu, r į ta tena atsžvelgt, vertnant tų srendnų tslumą be ų otmalumo atmumą. Tačau daugelye atveų galma, surnus r adorous aldomą nformacą avyzdžu, atlus attnamus atyvus ar asyvus esermentus), sumažnt to neabrėžtumo lasnį r gaut aldomą naudą. Je aldomos nformacos surnmo r adoromo ana yra mažesnė negu tas aldomas šlošs, urį galma būtų gaut asnaudous ta nformaca, r, e alnybės ledža srendmo rėmmą atdėt to lao, ol bus surnta r adorota aldoma nformaca, neatrant dėl to atdėmo aldomų nuostolų, vršančų aldomo šlošo r nformacos surnmo be adoromo anos srtumą, ta tslnga rnt aldomą nformacą r mažnt stuacos neabrėžtumą. Šas mnts alustruosu onrečas avyzdžas, nagrnėdamas įvaras galmas tnes stuacas lošme su gamta r nterretuodamas žodį gamta ača lačąa rasme, t. y. laydamas, ad gamtoe gal vet ne t stchnės, bet r sąmonngos ėgos, o ta at, ad astarosos gal turėt ne t nenusėamų, bet r nusėamų nteresų. Nagrnėamas stuacas agal ų neabrėžtumo lasnį r o mažnmo galmybes susrstysu į elas tnų stuacų grues: ) gamtos ėmų tmybės yra nežnomos r nėra galmybės gaut aldomą nformacą, ledžančą sumažnt stuacos neabrėžtumą avyzdžu, dėl lao ar lėšų stoos nėra galmybų atlt esermentą, š uro rezultatų galma būtų sręst ae gamtos būsmą ėmą ar bent au ae galmų os ėmų tmybes; gamtos ėmų tmybės gal būt nežnomos r dėl gamtos elgeso stochastno nestablumo); ) gamtos ėmų arornės tmybės nėra žnomos, tačau galma atlt esermentą, š uro rezultatų būtų galma sręst, os bus būsmas gamtos ėmas dealus esermentas ), ar bent au aytra įvertnt galmų gamtos ėmų tmybes nedealus esermentas ); ) arornės gamtos ėmų tmybės yra žnomos, bet dabartnu metu nėra galmybės atlt esermentą, uro rezultata lestų asačuot aosterornes gamtos ėmų tmybes; 9