Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές

ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής: x = x max cos(!t + ") όπου! 2 = K m q Φθίνουσες ταλαντώσεις q Εξαναγκασµένες ταλαντώσεις

ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 3 Ελατήρια q Θεωρήστε το γνωστό σας ελατήριο Κ Μ Το σύστηµα έχει ένα βαθµό ελευθερίας Η εξίσωση της κίνησης γράφεται σύµφωνα µε το 2 ο νόµο του Newton F = ma =!Kx σε συνδυασµό µε το νόµο του Hooke Ξέρουµε όµως ότι η επιτάχυνση a = d 2 x dt 2 =!!x H εξίσωση της κίνησης γράφεται λοιπόν σαν: F = m!!x =!Kx " m!!x + Kx = 0 Δευτέρας τάξης (δεύτερη παράγωγος), οµογενής (=0), γραµµική (οι παράγωγοι εµφανίζονται σε πρώτη δύναµη) διαφορική εξίσωση Οοοοps τι κάνουµε?

Λύση της Δ.Ε. του απλού αρµονικού ταλαντωτή Ένας τρόπος για να λύσουµε την εξίσωση είναι µε τη µέθοδο διαχωρισµού των µεταβλητών. ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 4 Ορίζω:! 2 = K m d 2 x dt =!" 2 x! d"!d! = "# 2 xdx 2 dt = #$ 2 x! d" dx dx dt = #$ 2 x! " d" dx = #$ 2 x!! #" d" = $% 2 1 # x dx!! 2 = "# 2 x 2 $! = ± "# 2 x 2! 2 = " 1 2 # 2 x 2 $ Παύση... Είµαστε στη µέση!! Αυτή τη στιγµή έχουµε τη ταχύτητα συναρτήσει της θέσης. Θέλουµε όµως την θέση συναρτήσει του χρόνου! Δηλαδή x(t) =! = "# 2 x! dx! dx x = "# 2 dt dt = "# 2 x! " dx x = " #$ 2 dt! ln x + C =!" 2 t! x = Ae ± "# 2 t Λύση της διαφορικής εξίσωσης

ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 5 Λύση της Δ.Ε. απλού αρµονικού ταλαντωτή q Υeaks!!! Η µέθοδος είναι µακρόσυρτη και καθόλου ευχάριστη Το αποτέλεσµα είναι όµως ενδιαφέρον: x( t) = Ae ±!" 2 t Τη λύση αυτή µπορούσαµε να την δοκιµάσουµε από την αρχή!! Δηλαδή για να λύσουµε την Δ.Ε. δοκιµάζουµε διάφορες λύσεις. Αν την επαληθεύουν τότε το τι δοκιµάσαµε είναι όντως λύση!!! q Η λύση που βρήκαµε είναι η µοναδική? Υπάρχουν άλλες λύσεις? Από θεωρία Δ.Ε.: Για κάθε Δ.Ε. εξίσωση n-τάξης υπάρχουν n-ανεξάρτητες µεταξύ τους λύσεις. (γραµµικές µόνο): Αν n-λύσεις είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους τότε και o γραµµικός τους συνδυασµός είναι λύση Δηλαδή x( t) = Ae +!" 2 t + Be!!" 2 t είναι λύση και µάλιστα καλείται γενική λύση ή πλήρης λύση της εξίσωσης Ø Ένα ακόµα προβληµατικό σηµείο: Tι συµβαίνει µε το ω? Είναι θετικό? αρνητικό?

ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 6 Λύση Δ.Ε. απλού αρµονικού ταλαντωτή q Αν Κ < 0 ή m < 0 (δεν έχουµε φυσικό σύστηµα) ω 2 = -K/m > 0 Ø Οι λύσεις είναι της µορφής x( t) = Ae!t και x( t) = Be!"t Ο γραµµικός τους συνδυασµός είναι επίσης λύση x( t) = Ae!t + Be "!t H εξίσωση αυτή δεν αντιστοιχεί σε αρµονική κίνηση. Εν αντιθέσει αντιστοιχεί σε εκθετικά αυξανόµενη ή φθίνουσα κίνηση x ( t) x(t) = Ae!t cosh x = 1 2 ( e x + e! x ) sinh x = 1 2 e x! e! x ( ) cosh 2 x! sinh 2 x = 1 d cosh x = sinh x dx d sinh x = cosh x dx "! t = # e Χρησιµοποιώντας την: e!t = cosh! t + sinh! t Μπορούµε να γράψουµε τις λύσεις µε τις ακόλουθες ισοδύναµες µορφές: ( ) = Ae!t + Be "!t ( ) = C cosh!t + Dsinh!t ( ) =! cosh ("t + # 1 ) ( ) = F sinh (!t + " 2 )

ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 7 Λύση Δ.Ε. Απλού αρµονικού ταλαντωτή q Αν Κ > 0 και m > 0 (φυσικό σύστηµα) τότε ω > 0 è -ω 2 < 0 Οι λύσεις είναι της µορφής µε πλήρη λύση: x( t) = Ae i!t + Be "i!t Χρησιµοποιώντας e i! = cos! + isin! x( t) = C cos!t + Dsin!t x( t) = E cos (!t + " 1 ) x( t) = F sin (!t + " 2 ) ( ) = Ae i!t και x( t) = Be!i"t έχουµε Όλες οι μορφές είναι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης του αρμονικού ταλαντωτή Oι σταθερές Α,Β, ή C και D, Ε,F και φ 1,φ 2 καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες του προβλήµατος. Δηλαδή την κατάσταση του συστήµατος µια χρονική στιγµή t=t 0 συνήθως t 0 = 0. Aν ( ) = Acos!t + Bsin!t τότε ( ) = A αρχική θέση x 0 dx( 0) dt =! B αρχική ταχύτητα

ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 8 Απλός αρµονικός ταλαντωτής Η γενική µορφή της λύσης του αρµονικού ταλαντωτή είναι ( ) = Acos! t + Bsin! t q Εν γένει αν x(t) = x(t+t) η κίνηση είναι περιοδική µε περίοδο Τ cos! t = cos! ( t + T ) ( ) = cos(! t + 2" ) αν! = 2" # = 1 $ Περίοδος ταλάντωσης ή συχνότητα Οι µορφές που γράψαµε πριν βγαίνουν από την γενική µε την βοήθεια τριγωνοµετρικών σχέσεων και οι σταθερές συνδέονται µεταξύ τους Χρησιµοποιώντας ( ) = E cos (! t + " 1 ) = E cos!t cos(a + B) = cos Acos B! sin Asin B ( )cos" 1 # E sin (!t)sin" 1 Εποµένως για A = E cos! 1 και B =!E sin" 1 ( ) = E cos (!t + " 1 ) = Acos (!t) + Bsin (!t) γίνεται: -φ/ω E 0 t

ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 9 Απλός αρµονικός ταλαντωτής και κυκλική κίνηση q Εποµένως η εξίσωση x(t) = Acos(! t + ") παριστάνει µια περιοδική, συνηµιτονοειδή κίνηση µε αποµάκρυνση ή πλάτος Α και η γωνία φ προσδιορίζει την φάση της κίνησης. Το πλάτος και η φάση είναι σταθερές της κίνησης που προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες του συστήµατος. Η φάση εν γένει χρησιµοποιείται για την σύγκριση της κίνησης δύο συστηµάτων. q Χαρακτηριστικά, η κίνηση που περιγράφεται από την εξίσωση είναι όµοια µε την κίνηση που εκτελεί η προβολή µιας κυκλικής κίνησης στον x-άξονα A ωt x x Οµοιόµορφη κυκλική κίνηση χαρακτηρίζεται από!! a =!" 2 r # ax =!" 2 x # d 2 x dt 2 =!" 2 x # ""x =!" 2 x Ίδια διαφορική εξίσωση µε αυτή µάζας εξαρτηµένης σε ελατήριο

Απλός αρµονικός ταλαντωτής και κυκλική κίνηση P y t=0 θ T 0 x 0 υ=ωa v υ x υ x P T 0 α=ω 2 A P α α x T ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 10 θ=ωt+φ Ø Για t=0, θ=φ η γωνία που διαγράφει η ΟP µε τον x-άξονα Ø Συναρτήσει του t, το P περιστρέφεται πάνω στο κύκλο ακτίνας R=A ενώ το Τ κινείται παλινδροµικά στο x-άξονα ανάµεσα σε +Α και Α Τα σηµεία P και T έχουν την ίδια συντεταγµένη x è x=αcos(ωt+φ) Ø Ο χρόνος για µια πλήρη περιστροφή είναι ίσος µε την περίοδο κίνησης è γωνιακή ταχύτητα περιστροφής = γωνιακή συχνότητα ταλάντωσης Ø Η γραµµική ταχύτητα του P, υ=ωr=ωα ενώ του Τ, υ x =-ωαsin(ωt+φ) από dx/dt Ø H γραµµική επιτάχυνση του P έχει φορά προς το κέντρο, α=ω 2 Α Ø Η επιτάχυνση του Τ: α x =-ω 2 Αcos(ωt+φ)=x-συνιστώσα της α του P

ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 11 Απλή Αρµονική ταλάντωση Εξισώσεις κίνησης θέση Τ Από την εξίσωση-λύσης της ΔΕ του αρµονικού ταλαντωτή µπορούµε να εξαγάγουµε τις υπόλοιπες εξισώσεις κίνησης: ταχύτητα επιτάχυνση x(t) = Acos(! t + ")!(t) = dx dt = "A# sin(# t + $) a(t) a(t) = d 2 x dt 2 = d! dt = "# 2 Acos(# t + $) % Oι ακραίες τιµές είναι εποµένως:!(t) max = "A# a(t) max =!A" 2 =!" 2 x Ø H φάση της ταχύτητας διαφέρει από αυτή της θέσης κατά 90 ο ή π/2 Ø H φάση της ταχύτητας διαφέρει από αυτή της επιτάχυνσης κατά 90 ο ή π/2 Ø H φάση της επιτάχυνσης διαφέρει από αυτή της θέσης κατά 180 ο ή π

ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 12 Μάζα σε ελατήριο x(t) = Acos(! t) Για t=0, x(0)=0 το σύστηµα περνά από τη θέση ισορροπίας

ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 13 Απλή αρµονική ταλάντωση q Τι έχουµε δει µέχρι τώρα F = m!!x =!Kx " m!!x + Kx = 0 Διάφορες µορφές λύσεις της εξίσωσης: x( t) = Acos (!t + ") ( ) = Bsin (! t + ") ( ) = C cos!t + Dsin!t ( ) = Ee i!t + Fe "i!t Άλλες εξισώσεις κίνησης:! x = "( A# )sin(# t + $ ) a( t) =!!x =!( A" 2 )cos "t + # ( ) Εξίσωση κίνησης αρµονικού ταλαντωτή A: πλάτος ταλάντωσης φ: φάση K 2! γωνιακή # = = = 2!" m $ συχνότητα Ταχύτητα:! max = A" Επιτάχυνση: a max = A! 2 Ø Κίνηση παρόµοια µε την κίνηση της προβολής στον x-άξονα ενός σώµατος που εκτελεί κυκλική κίνηση Ø Η ταχύτητα µικρότερη κοντά στο Α è περνά περισσότερη ώρα εκεί

ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 14 Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή ü Στις διαλέξεις για έργο και ενέργεια είχαµε συζητήσει την δυναµική ενέργεια που αποθηκεύεται σε ένα ελατήριο κατά την συµπίεση ή επιµήκυνσή του καθώς και την σχέση µεταξύ δυναµικής και κινητικής ενέργειας για µια µάζα m εξαρτηµένη από το ελατήριο. q Ξέρουµε ότι το ελατήριο µε µια µάζα εξαρτώµενη από το ένα άκρο του αποτελούν σύστηµα απλού αρµονικού ταλαντωτή: ( ) = Acos (!t + ") q H µηχανική ενέργεια είναι: E = K + U και διατηρείται K = 1 2 m! 2 = 1 2 m" 2 # 2 sin 2 ("t + $ ) = 1 2 ka2 sin 2 ("t + $ ) αφού! = U = 1 2 kx2 = 1 2 ka2 cos 2 (!t + ") U max = K max 1 2 m! 2 + 1 2 kx 2 = 1 2 ka2 "! = ± k m A2 " x 2 Ε ανάλογη πλάτους ( ) = ±# ( A 2 " x 2 ) U K U k m K

ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 15 Παράδειγµα q Μάζα 12Κg είναι εξαρτηµένη σε ελατήριο µε Κ=1.3x10 4. To σύστηµα ξεκινά µε επιµήκυνση +55cm. Ποια η υ max. Κ Μ ( ) = Acos (!t + ") ( ) = "A# sin (#t + $ )! t! ( t = 0) = "A# sin ( $ ) = 0 % $ = 0 & $ = ' Διαλέγουµε την περίπτωση µε φ=0 µια και η αρχική επιµήκυνση >0 x( t = 0) = Acos (! ) = 0.55! = k m = 33rad / s x( t) = 0.55 cos( 33t )! max = A" = 18m / s! ( t) = "! max sin( 33t)

ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 16 Συνθήκες για να έχουµε απλή αρµονική ταλάντωση q Μια κίνηση είναι απλή αρµονική ταλάντωση µόνο όταν µια από τις 2 παρακάτω ισοδύναµες συνθήκες ισχύουν: (α) Αν υπάρχει µια συνισταµένη δύναµη σε ένα σύστηµα η οποία είναι ανάλογη της θέσης του συστήµατος όπως µετριέται από τη θέση ισορροπίας του µε µια σταθερά αναλογίας του τύπου του ελατηρίου! F tot =!kxî ανεξάρτητα από το αν η δύναµη είναι από ελατήριο ή όχι και αν η δύναµη αυτή, ή η δύναµη µαζί µε µια σταθερή δύναµη που ασκείται κατά µήκος του ίδιου άξονα, είναι οι µόνες δυνάµεις του συστήµατος ενεργούσες στην x-διεύθυνση (β) Αν εφαρµόζοντας το νόµο του Newton καταλήξουµε σε Δ.Ε. πανοµοιότυπη της Δ.Ε. του απλού αρµονικού ταλαντωτή. d 2 x dt 2 +! 2 x = 0 m /s 2

Απλή αρµονική ταλάντωση - Αρχικές συνθήκες q Αν δίνονται τα K και m, και οι αρχικές συνθήκες x(0)=x 0 και υ(0) = υ 0, να βρεθεί η εξίσωση τροχιάς x(t). Λύση: Ø Κάθε µορφή της λύσης της εξίσωσης κίνησης περιέχει ΔΥΟ άγνωστες ποσότητες. Αυτές δεν µπορούν να υπολογισθούν από την F=mα. Ø Προσδιορίζονται από τις 2 αρχικές τιµές της θέσης (x) και ταχύτητας (υ) Ø Αν γράψουµε το x σαν ( ) = Acos " ( ) = A$ sin " x 0! = 0 # 0! # t = 0 % ' & (' x( t) = Acos (!t + ") # µ$! = K m ) tan" = * # 0 $ x 0 A = x 0 2 + # 2 0 Ø Αν χρησιµοποιούσαµε x( t) = C cos!t + Dsin!t ( ) = C ( ) = # D x 0! = 0 " 0! " t = 0 $ & % '& $ 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 17 Διατήρηση ενέργειας 1 2 KA2 = 1 2 Kx 2 0 + 1 2 m! 2 0 2 A 2 = x 2 0 +! 0 " = x 2 2 0 + m K! 2 0 ( x( t) = x 0 cos#t + " 0 # sin#t Έτσι φαίνονται περισσότερο οι αρχικές συνθήκες

Γιατί τα κοιτάζουµε όλα αυτά? ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 18 q Διαλέγουµε να µελετήσουµε την F=-kx για δύο βασικούς λόγους: Ø Τέτοιες δυνάμεις συναντάμε πολύ συχνά στη φύση Ø Μπορούµε εύκολα να λύσουµε την εξίσωση κίνησης q Σχετικά µε το πρώτο λόγο, φανταστείτε ένα δυναµικό της µορφής V(x). q Επικεντρώνουµε την προσοχή µας σε ένα τοπικό ελάχιστο. q Έστω ότι το V(x) έχει ένα ελάχιστο στη θέση x 0. Μπορούµε να πάρουµε το ανάπτυγµα σε σειρά Taylor του V(x) της µορφής: V ( x) = V ( x 0 ) + V! ( x 0 )( x " x 0 ) + 1 2! ( )( x " x 0 ) 2 + 1 3! V!! x 0 V!!! x 0 ( )( x " x 0 ) 3 +! σταθ. εξ ορισμού=0 αρκετά μικρό για x κοντά στο x 0 V παραβολή Εποµένως µπορούµε να γράψουµε: ( )! 1 2 V"" ( x 0 )( x # x 0 ) 2 V x Δηλαδή κάθε δυναµικό µοιάζει µε µια παραβολή αν πάµε αρκετά κοντά σε ένα ελάχιστο. x 0 x Δηλαδή π.χ. V!! ( x 0 ) = "K " τότε: 1 2 V!! x 0 ( )( x " x 0 ) 2 # 1 2 K ax ( )2