Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA"

Εὐνίκη Βιτάλη
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Eisagwg Οι δυναμοσειρές είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα κατηγορία σειρών. Βρίσκουν πολύ σημαντικές εφαρμογές στον ορισμό συναρτήσεων καθώς και σε διάφορες επιστήμες, όπως η στατιστική και οι πιθανοτητες. 2 Dunamoseirèc Ορισμός 2. Εστω x 0 R, σταθερό, x R και {a n } μια πραγματική ακολουθία. Η σειρά a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) a n (x x 0 ) n + = ονομάζεται δυναμοσειρά με κέντρο το σημείο x 0. a n (x x 0 ) n Μια δυναμοσειρά στην ουσία είναι μια ολόκληρη οικογένεια (ένα ολόκληρο σύνολο) απο σειρές. Για κάθε επιλογή του x παίρνουμε και μια διαφορετική σειρά! Επειδή το x R, έχουμε άπειρες επιλογές για το x οπότε μια δυναμοσειρά είναι μια άπειρη (και μη αριθμήσιμη) συλλογή απο σειρές. Παράδειγμα 2. Η σειρά + x + 2 x2 + 6 x3 + + n! xn + = n! xn, η οποία αντιστοιχεί την επιλογή x 0 = 0, a n = n!, είναι μια δυναμοσειρά. Στην πραγματικοτητα αυτή είναι μια άπειρη συλλογή απο σειρές, π.χ. για x = παίρνουμε την σειρά για x = 2 παίρνουμε την σειρά Παράδειγμα 2.2 Η σειρά είναι μια δυναμοσειρά n! + = + 2 / /2 + + n! 2n/2 + = n! = e + x + x 2 + = x, x < n! 2n/2 = e 2

Εστω x 0 R, σταθερό, x R και {a n } μια πραγματική ακολουθία. Η σειρά a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + + a n (x x 0 ) n + = ονομάζεται δυναμοσειρά με κέντρο το σημείο x 0.

2 3 AktÐna sôgklishc Ας μελετήσουμε την σύγκλιση μιας δυναμοσειράς. Κατ αρχήν εφόσον μια δυναμοσειρά είναι μια άπειρη συλλογή απο δυναμοσειρές μπορούμε να φανταστούμε ότι μια δυναμοσειρά μπορεί να συγκλίνει για ορισμένες τιμές του x R και να αποκλίνει για άλλες. Θα μας ενδιέφερε λοιπόν να μελετήσουμε την ακόλουθη ερώτηση: Μπορούμε να χαρακτηρίσουμε το σύνολο C := {x R, : a n x n συγκλίνει}? Προφανώς ειναι ένα υποσύνολο του R αλλά ποιάς μορφής; Πρόταση 3. Το σύνολο C είναι της μορφής C = {x R : x x 0 < R} για R = lim n /a n. Δηλαδή αν x x 0 < R η σειρά συγκλίνει ενώ αν x x 0 > R η σειρά αποκλίνει. x x 0 = R δεν μπορούμε εν γένει αν αποφανθούμε. Απόδειξη: Ας πάρουμε κάποιο x R και ας θεωρήσουμε την σειρά a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) a n (x x 0 ) n + = a n (x x 0 ) n για το συγκεκριμένο x. Αυτή ειναι μια αριθμητική σειρά, της μορφής n b n για b n = a n (x x 0 ) n. Η σύγκλιση της σειράς αυτής μπορεί να ελεγθεί απο το κριτήριο του λόγου, βάσει του οποίου θα ελέγξουμε το όριο της ποσότητας b n+ b n = (x x 0 ) n+ (x x 0 ) n = a n x x 0, Εχουμε λοιπόν ότι lim b n+ n b n = x x 0 lim n =: x x 0 r Σύμφωνα με το κριτήριο του λόγου η δυναμοσειρά συγκλίνει για την επιλογή αυτή του x αν x x 0 r < δηλαδή αν x είναι τέτοιο ώστε x x 0 < r =: R. Επίσης, αποκλίνει αν x x 0 r > δηλαδή αν x είναι τέτοιο ώστε x x 0 > r =: R. Για την περίπτωση που το x x 0 r = δηλαδή αν x είναι τέτοιο ώστε x x 0 = r =: R, δεν μπορούμε να αποφανθούμε τουλάχιστον χρησιμοποιώντας το κριτήριο του λόγου. Ορισμός 3. Το R της Πρότασης 3. όνομάζεται ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς Μια δυναμοσειρά μπορεί να έχει ακτίνα σύγκλισης πεπερασμένη, άπειρη ή μηδενική. Αυτό αντίστοιχα σημαίνει ότι η δυναμοσειρά συγκλίνει σε ένα πεπερασμένο διάστημα, σε όλο το R ή μόνο στο κέντρο της x 0 (δηλαδή μόνο σε ένα μοναδικό σημείο). Παράδειγμα 3. Η δυναμοσειρά + x + 2 x2 + 6 x3 + + n! xn + = έχει ακτίνα σύγκλισης R = δηλαδή συγκλίνει σε όλο το R. Πράγματι, a n = n! οπότε = n n! xn, συνεπώς r := = 0, άρα R = r =. 2

Θα μας ενδιέφερε λοιπόν να μελετήσουμε την ακόλουθη ερώτηση: Μπορούμε να χαρακτηρίσουμε το σύνολο C := {x R, : a n x n συγκλίνει}? Προφανώς ειναι ένα υποσύνολο του R αλλά ποιάς μορφής; Πρόταση 3.

3 Παράδειγμα 3.2 Η δυναμοσειρά + x + 2x 2 + 6x n!x n + = n n!x n έχει ακτίνα σύγκλισης το R = 0. Πράγματι, a n = n! οπότε συνεπώς = n r := =, άρα R = r = 0. Παράδειγμα 3.3 Η δυναμοσειρά + x + x 2 + x x n + = n x n έχει ακτίνα σύγκλισης το R =. Πράγματι, a n = οπότε συνεπώς = r := =, άρα R = r =. Σχόλιο 3. Κατά την μελέτη των αριθμητικών σειρών είδαμε και άλλα κριτήρια σύγκλισης εκτός απο το κριτήριο του λόγου, π.χ., το κριτήριο της ρίζας. Η προφανής ερώτηση λοιπόν είναι αν θα μπορούσαμε να μελετήσουμε την ακτίνα σύγκλισης μιας δυναμοσειράς με το κριτήριο της ρίζας αντι για το κριτήριο του λόγου Η απάντηση είναι θετική, θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε το R με βάση τον τύπο R = r, όπου r = lim n a n /n (ή πιο σωστά το lim sup a n /n ). Εφόσον και οι δύο ποσοτητες υπάρχουν, θα δώσουν το ίδιο αποτέλεσμα. 4 Orismìc sunart sewn mèsw unamoseir n Οι δυναμοσειρές είναι ένας πολύ χρήσιμος τρόπος για να ορίζουμε συναρτησεις. η δυναμοσειρά n = a n(x x 0 ) n έχει ακτίνα σύγκλισης R μπορούμε να ορίσουμε την συνάρτηση f : C = {x R : x x 0 < R} R ως x n = x C, ή ισοδύναμα f(x) := n = x C. Οι περισσότερες απο τις συναρτήσεις που έχουμε δει μέχρι τώρα, ή θα δούμε στο μέλλον ορίζονται μέσω μιας δυναμοσειράς, ή με άλλα λόγια είναι μια συντομογραφία για το άθροισμα μιας δυναμοσειράς. Δίνουμε ένα σύντομο κατάλογο: 3

Κατά την μελέτη των αριθμητικών σειρών είδαμε και άλλα κριτήρια σύγκλισης εκτός απο το κριτήριο του λόγου, π.χ., το κριτήριο της ρίζας.

4 e x = n! xn, x R ln( + x) = sin(x) = cos(x) = ( ) n+ x n, x <, x, n ( ) n (2n + )! x2n+, x R ( ) n (2n)! x2n, x R και ο κατάλογος αυτός θα μπορούσε να εκτείνεται για πολλές σελίδες. 5 Prˆxeic metaxô unamoseir n Για x που ανήκει στο διάστημα σύγκλισης και των δύο δυναμοσειρών μπορούμε να χειριστούμε τις δυναμοσειρές με τον ίδιο τρόπο που θα χειριζόμασταν πεπερασμένα αθροίσματα ως προς τις αλγεβρικές πράξεις. 5. Ajroisma unamoseir n (f + g)(x) = g(x) = b n (x x 0 ) n, (a n + b n )(x x 0 ) n 5.2 Grammikìc sunuasmìc unamoseir n (λ f + λ 2 g)(x) = g(x) = b n (x x 0 ) n, (λ a n + λ 2 b n )(x x 0 ) n, λ, λ 2 R 5.3 Ginìmeno unamoseir n g(x) = b n (x x 0 ) n, 4

5 Prˆxeic metaxô unamoseir n Για x που ανήκει στο διάστημα σύγκλισης και των δύο δυναμοσειρών μπορούμε να χειριστούμε τις δυναμοσειρές με τον ίδιο τρόπο που θα

5 (fg)(x) = c n = c n (x x 0 ) n, a i b n i Παρατηρείστε ότι το δεύτερο άθροισμα είναι πεπερασμένο άθροισμα. Παράδειγμα 5. Με βάση το παραπάνω μπορεί να αποδειχθεί ότι η εκθετική συνάρτηση έχει την ιδιότητα 5.4 Parag gish unamoseir n e 2x = e x e x x c n (x x 0 ) n, c n = (n + ) Αυτό σημαίνει ότι επιτρέπεται να παραγωγίσουμε μια δυναμοσειρά παραγωγίζοντας όρο προς όρο! Σχόλιο 5. Ο σωστός τρόπος να καταλάβουμε την σχέση a n(x x 0 ) n είναι σαν το όριο της ακολουθίας y m = m a n(x x 0 ) n, δηλαδή lim y m. Οι παραπάνω σχέσεις μας λένε ότι μπορούμε να εναλλάξουμε την πράξη της παραγώγισης με την πράξη του ορίου δηλαδή ότι δηλαδή στο όριο x x lim a n (x x 0 ) n = m a n (x x 0 ) n = lim x (a n(x x 0 ) n ) = x m a n (x x 0 ) n na n (x x 0 ) n = (n + )x x 0 ) n. Αυτό είναι μια ιδιότητα των δυναμοσειρών που δεν ισχύει γενικά για οποιαδήποτε σειρά συναρτήσεων. Παράδειγμα 5.2 Με βάση το παραπάνω μπορεί να αποδειχθεί ότι η εκθετική συνάρτηση έχει την ιδιότητα 5.5 Olokl rwsh unamoseir n c n = x eax = ae ax f(x)x = C + a n n + c n (x x 0 ) n, Αυτό σημαίνει ότι επιτρέπεται να ολοκληρώσουμε μια δυναμοσειρά ολοκληρώνοντας όρο προς όρο! 5

4 Parag gish unamoseir n e 2x = e x e x x c n (x x 0 ) n, c n = (n + ) Αυτό σημαίνει ότι επιτρέπεται να παραγωγίσουμε μια δυναμοσειρά παραγωγίζοντας όρο προς όρο! Σχόλιο 5.

6 Σχόλιο 5.2 Ο σωστός τρόπος να καταλάβουμε την σχέση a n(x x 0 ) n είναι σαν το όριο της ακολουθίας y m = m a n(x x 0 ) n, δηλαδή lim y m. Οι παραπάνω σχέσεις μας λένε ότι μπορούμε να εναλλάξουμε την πράξη της ολοκλήρωσης με την πράξη του ορίου δηλαδή ότι m m lim a n (x x 0 ) n = lim a n (x x 0 ) n δηλαδή στο όριο a n (x x 0 ) n = (a n (x x 0 ) n a n ) = n + (x x 0) n+. Αυτό είναι μια ιδιότητα των δυναμοσειρών που δεν ισχύει γενικά για οποιαδήποτε σειρά συναρτήσεων. Παράδειγμα 5.3 Με βάση το παραπάνω μπορεί να αποδειχθεί ότι η εκθετική συνάρτηση έχει την ιδιότητα e ax x = C + a eax 6 Efarmogèc twn unamoseir n stic pijanìthtec Οι δυναμοσειρές βρίσκουν σημαντικές εφαρμογές στις πιθανότητες, μέσω της πιθανογεννήτριας. Ορισμός 6. Εστω X μία διακριτή τυχαία μεταβλητή η οποία παίρνει τιμές στο N και έστω p n = P (X = n). Η γεννήτρια συνάρτηση της X ορίζεται απο την δυναμοσειρά φ X (s) := p n s n = E[s X ], s. Η γεννήτρια συνάρτηση έχει την ιδιότητα φ X () =. Δίνουμε τις γεννήτριες συναρτήσεις ορισμένων διακριτών κατανομών: Γεωμετρική p n = p( p) n, φ X (s) = Poisson p n = n! λn e λ, φ X (s) = e λ(s ). ps ( p)s, s < ( p), Παράδειγμα 6. Η παράγωγος της γεννήτριας συνάρτησης σχετίζεται με την πρώτη ροπή. Πράγματι, εφόσον το s βρισκεται μέσα στο διάστημα σύγκλισης της δυναμοσειράς, απο τα αποτελέσματα σχετικά με την παραγώγιση δυναμοσειρών έχουμε και θέτωντας s =, s φ X(s) = s p n s n = s p ns n = np n s n s φ X(s) = np n = E[X]. s= Ετσι για παράδειγμα για να υπολογίσουμε την μέση τιμή της X αν X P ois(λ), αρκεί να υπολογίσουμε την παράγωγο οπότε s φ X(s) = s eλ(s ) = λe λ(s ) E[X] = s φ X(s) = λ. s= Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να δούμε ότι οι μεγαλύτερης τάξης παράγωγοι της φ X, υπολογισμένες στο s = δίνουν τις μεγαλύτερες ροπές. 6

(x x 0 ) n a n ) = n + (x x 0) n+. Αυτό είναι μια ιδιότητα των δυναμοσειρών που δεν ισχύει γενικά για οποιαδήποτε σειρά συναρτήσεων. Παράδειγμα 5.

7 Παράδειγμα 6.2 Εστω X και Y ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, με P (X = n) = p n και P (Y = n) = q n. Εστω επίσης φ X και φ Y οι γεννήτριες συναρτήσεις των X και Y αντιστοίχως. Οι φ X και φ Y ορίζονται αο τις δυναμοσειρές φ X (s) = p n s n, φ Y (s) = q n s n. Ας πάρουμε τώρα το γινόμενο των δύο συναρτήσεων φ X φ Y. Η τιμή της σε οποιοδήποτε s θα δίνεται απο την σχέση ( ) ) (φ X φ Y )(s) = φ X (s)φ Y (s) = φ X (s) = p n s (φ n X (s) = q n s n = Q n s n όπου Q n = p i q n i. Η ποσότητα Q n όμως για κάθε n μπορεί να ερμηνευθεί ως Q n = P (X + Y = n). Πράγματι, P (X + Y = n) = {ω Ω : X(ω) + Y (ω) = n} = {ω Ω : X(ω) = 0, Y (ω) = n} {ω Ω : X(ω) =, Y (ω) = n } {ω Ω : X(ω) = n, Y (ω) = n} n = {ω Ω : X(ω) = i, Y (ω) = n i} και χρησιμοποιώντας ότι τα γεγονότα A i = {ω Ω : X(ω) = i, Y (ω) = n i} είναι ξένα μεταξύ τους για διαφορετικά i και επίσης τα γεγονότα {ω Ω : (ω) = i} και {ω Ω : (ω) = j} είναι ανεξάρτητα καταλήγουμε ότι Συνεπώς, P (X + Y = n) = P (X = i, Y = n i) = P (X = i)p (Y = n i) = (φ X φ Y )(s) = Q n s n = P (X + Y = n)s n = φ X+Y (s) p i q n i = Q n. δηλαδή, η γεννήτρια συνάρτηση του αθροίσματος ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι το γινόμενο των γεννητριών συναρτήσεων της κάθε μιας απο αυτές. 7

Η τιμή της σε οποιοδήποτε s θα δίνεται απο την σχέση ( ) ) (φ X φ Y )(s) = φ X (s)φ Y (s) = φ X (s) = p n s (φ n X (s) = q n s n = Q n s n όπου Q n = p i q n i.

Σχετικά έγγραφα

AkoloujÐec sunart sewn A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

AkoloujÐec sunart sewn A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA AkoloujÐec sunrt sewn A. N. Ginnkìpouloc, Tm m Sttistik c OPA Eisgwg Στη διάλεξη αυτή θα μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης ακολουθίων συναρτήσεων και συγκεκριμένα την έννοια της ομοιόμορφης σύγκλισης.