Σειρές Taylor και MacLaurin

Transcript

1 Σειρές Taylor και MacLaurin Πολυωνυμική προσέγγιση: Υποθέτουμε ότι για μια συνάρτηση f γνωρίζουμε την τιμή της f(α) αλλά δεν γνωρίζουμε πώς να βρούμε την τιμή f(x) σε άλλα σημεία x κοντά στο α. Για παράδειγμα γνωρίζουμε ότι sin0=0 αλλά όχι την τιμή του sin(0.). Μπορούμε να προσπαθήσουμε να βρούμε μια προσεγγιστική τιμή του f(x). Αν προσέξουμε στο διπλανό σχήμα στην γραφική παράσταση της f(x) και την εφαπτομένη της στο σημείο (α, f(α)), διαπιστώνουμε ότι σημεία της εφαπτομένης βρίσκονται κοντά στην γραφική παράσταση της f επομένως οι τεταγμένες αυτών των σημείων είναι πιθανές προσεγγίσεις της f(x). Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο α είναι άρα θα ισχύει για x κοντά στο α. y=f(α)+f (α)(x-α), f(x)f(α)+f (α)(x-α). Επομένως sinxsinα+cosα(x-α). Για α=0 παίρνουμε τη σχέση: sinxx. Άρα sin(0.)0.. Στην πραγματικότητα sin(0.)= τιμή που είναι κοντά στο 0.. Παρατηρούμε ότι αν θέσουμε: Τ(x)=f(α)+f (α)(x-α) το οποίο είναι ένα πολυώνυμο ου βαθμού, τότε: Επεκτείνοντας την ιδέα για πολυώνυμο 2 ου βαθμού της μορφής: με απαίτηση: παίρνουμε το πολυώνυμο: Τ2(x)=c0+c(x-α)+c2(x-α) 2 Τ2(α)=f(α), Τ2 (α)=f (α) και Τ2 (α)=f (α), Τ2(x)=f(α)+f (α)(x-α)+ f(α) 2! Τ(α)=f(α) και Τ (α)=f (α). (x-α) 2.

2 Τα προηγούμενα οδηγούν στον παρακάτω ορισμό: Ορισμός: Έστω μια συνάρτηση f(x) η οποία έχει n+ συνεχείς παραγώγους σε ένα διάστημα που περιέχει το x=α. Θεωρούμε το παρακάτω πολυώνυμο n βαθμού που το συμβολίζουμε με Τn(x) και το ονομάζουμε πολυώνυμο του Taylor βαθμού n στο x=α. Παράδειγμα: Το πολυώνυμο Taylor ου βαθμού της συνάρτησης f(x)=sinx στο x=α είναι το Για α=0 ισχύει Τ(x)=x- Τ(x)=sinα+(x-α)cosα- sinα 2! (x-α)2 - cosa (x-α)! x 6 Με την βοήθεια μικροϋπολογιστή βρίσκουμε ότι sin(0.)= , ενώ το Τ (0.) = Οι δύο τιμές συμπίπτουν μέχρι το 6 ο δεκαδικό ψηφίο. Η διαφορά Rn(x)=f(x)-Tn(x), δηλαδή η διαφορά μεταξύ της τιμής μιας συνάρτησης και του πολυωνύμου Taylor καλείται υπόλοιπο. Θεώρημα Taylor Έστω μια συνάρτηση f η οποία έχει n+ συνεχείς παραγώγους σε ένα ανοικτό διάστημα που περιέχει το α. Τότε για κάθε x που ανήκει στο ανοικτό αυτό διάστημα ισχύει: f(x)=f(α)+f (α)(x-α)+ f(α) 2! = n k=0 f (α) (x-α) k! (k) κ +Rn(x). (x-α) (n) f (α) (x-α) n +Rn(x) = n! Αν lim R (x) =0, τότε και μόνο τότε: n n f(x) = f (k) (α) (x - α) κ. k! k=0 H σειρά στην προηγούμενη ισότητα καλείται σειρά Taylor της f(x) στο x=α. Αν το α=0 καλείται σειρά Maclaurin. 2

3 (n+) f (c) Για το υπόλοιπο ισχύει Rn(x)= (n+)! (x-α)n+ για κάποιο c μεταξύ α και x (υπόλοιπο Lagrange). Πρόταση: (Ανισότητα Taylor) Αν ισχύει (n+) f (x) M για x-α d τότε το υπόλοιπο ικανοποιεί την ανισότητα: R (x) n M n+ x-α για x-α d (n+)! Παράδειγμα: Να βρεθεί το πολυώνυμο ου βαθμού για την συνάρτηση sinx στο x=0 και με τη βοήθειά του να βρεθεί μια προσεγγιστική τιμή για το sin(0.) και να εκτιμηθεί η διαφορά του από την πραγματική τιμή της συνάρτησης. Από τα προηγούμενα γνωρίζουμε ότι για α=0 ισχύει Τ(x)=x Ισχύει f (4) (x)=sinx και sinx, επομένως = = x 6 καθώς επίσης ότι Τ (0.) = R (0.) 0. 4! Πραγματικά χρησιμοποιώντας μικροϋπολογιστή βρίσκουμε ότι Τ (0.)-sin(0.) = < Παράδειγμα: Δίνεται η συνάρτηση f(x)=e x, xr. Με δεδομένο ότι f (κ) (x)=e x και c n+ e x lim =0 για οποιοδήποτε c μεταξύ του 0 και του x, θα ισχύει: n+! e x = k=0 k x, xr. Για x= από την τελευταία σχέση παίρνουμε ένα τύπο για τον υπολογισμό του e k! αφού e= !! 4!. Υπάρχουν συναρτήσεις όπως τα πολυώνυμα, η εκθετική συνάρτηση, οι συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο οι οποίες ισούνται με την οικεία σειρά Τέιλορ σε όλο το R. Για άλλες συναρτήσεις δεν συμβαίνει αυτό όπως. ο λογάριθμος η εφαπτομένης, το τόξο εφαπτομένης. Οι χρήσεις της σειράς Τέιλορ για τις συναρτήσεις περιλαμβάνουν:

4 . Τα πολυώνυμα Τέιλορ της σειράς που μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως προσεγγίσεις ολόκληρης της συνάρτησης. 2. Παραγώγιση και ολοκλήρωση σειρών που μπορεί να πραγματοποιηθεί όρο προς όρο και επομένως είναι ιδιαίτερα εύκολη. Μερικές σημαντικές σειρές Maclaurin Στη συνέχεια δίνουμε μερικές εξαιρετικά χρήσιμες σειρές μαζί με τα διαστήματα σύγκλισής τους. e x = + x + x2 + x + + xn + x R 2!! n! ln( + x) = x x2 2 + x xn + ( )n+ n + < x ln( x) = x x2 2 x xn n x < συνx = cosx = x2 + x4 2! 4! x2n + + ( )n + x R (2n)! ημx = sinx = x x! + x5 5! + x 2n+ ( )n + x R (2n + )! x = + x + x2 + x + + x n + x < +x = x + x2 x + + ( ) n x n + x < 4

5 Καθώς ο βαθμός του πολυωνύμου Τέιλορ αυξάνεται, προσεγγίζει την σωστή συνάρτηση. Η εικόνα δείχνει την συνάρτηση sinx (σε μαύρο) και τις προσεγγίσεις Τέιλορ, πολυώνυμα βαθμού,, 5, 7, 9, και. Είναι κοινή πρακτική να χρησιμοποιείται πεπερασμένος αριθμός από τους όρους της σειράς Τέιλορ για να προσεγγίσουμε μια συνάρτηση. 5

6 Η εκθετική συνάρτηση (μπλε), και το άθροισμα των πρώτων n+ (n=0,,2,,4,5,6,7) όρων της οικείας σειράς Τέιλορ στο 0 (κόκκινο). 6