ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ"

Διονυσόδωρος Καψής
7 χρόνια πριν
Προβολές:

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ι ΣΕΙΡΕΣ Διδάσκουσα : Δρ Μαρία Αδάμ Λυμένες ασκήσεις ) Να μελετηθούν ως προς τη

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ι ΣΕΙΡΕΣ Διδάσκουσα : Δρ Μαρία Αδάμ Λυμένες ασκήσεις ) Να μελετηθούν ως προς τη σύγκλισή τους οι σειρές και να βρεθεί το άθροισμά τους, όπου αυτό είναι δυνατόν: (α), (β) = =, (γ) + = + + Λύση: (α) αποκλίνει, επειδή = = / / / = / + / (β) + = + =+ =+ = = = = / γεωμετρική σειρά έχει λόγο (/)>, άρα αποκλίνει αφού η πρώτη (γ) + = + + = + =(τηλεσκοπική)= = ( + ) ) Να υπολογισθούν τα αθροίσματα των παρακάτω σειρών : α) β) Λύση: α) (γεωμετρικές σειρές)

2 β) (τηλεσκοπική σειρά) A B AB AB AB B B B B / AB A B A B A / / a lim a lim ) Ποια από τις παρακάτω σειρές συγκλίνει και ποια αποκλίνει; Αιτιολογείστε την απάντηση σας β) γ) = δ) ε) στ) α) ( + ) Λύση: α) ( + ) ( ) + = = Η σειρά = / + απειρίζεται θετικά και επομένως και η σειρά ( + ) = απειρίζεται θετικά β) Χρησιμοποιούμε το γενικευμένο κριτήριο σύγκρισης με τη σειρά = = lim lim + = = > Εφόσον η σειρά απειρίζεται θετικά, τότε και η σειρά απειρίζεται θετικά γ) Χρησιμοποιούμε το γενικευμένο κριτήριο σύγκρισης με τη σειρά lim lim + = = > Εφόσον η σειρά συγκλίνει θα συγκλίνει και η σειρά + δ) = + lim = Άρα η σειρά αποκλίνει + + ε) Εφαρμόζουμε το κριτήριο λόγου συγκλίνει + = + lim lim Άρα η σειρά

3 στ) Εφαρμόζουμε το κριτήριο λόγου αποκλίνει ( ) lim lim Άρα η σειρά ( ) Άσκηση (α) Για ποια από τις τιμές του x συγκλίνει η σειρά : (β) Δίνεται η παρακάτω σειρά : = = x + ( ) ( + ) π η οποία έχει αποδειχθεί από τον Eulr ότι συγκλίνει στον αριθμό Προσπαθήστε να υπολογίσετε π το πλήθος + των όρων της σειράς που πρέπει να πάρουμε ώστε να προσεγγίσουμε το (και συνεπώς και το π) με ακρίβεια ε = Μπορείτε να υπολογίσετε το άθροισμα των + πρώτων όρων και κατά συνέπεια να εκτιμήσετε το π ; Υπόδειξη Πρώτα αποδείξτε ότι έχουμε μια εναλλάσσουσα σειρά πχ ( ) a όπου a είναι θετική, φθίνουσα και με όριο το μηδέν και στη συνέχεια κάντε χρήση της ανισότητας ( ) ώστε να υπολογίσετε το πλήθος των όρων που θα πρέπει να πάρουμε ώστε S a a + = να υπολογίσουμε το άθροισμα S Θα πρέπει να έχουμε S a = x + x + x + Λύση: (α) Εφαρμόζουμε το κριτήριο ρίζας: lim = lim = Η γεωμετρική + + x σειρά συγκλίνει για + < x < < x < Για x η σειρά γίνεται η οποία αποκλίνει Τελικά το διάστημα στο οποίο η σειρά συγκλίνει είναι το < x < (β) Έστω a Παρατηρούμε ότι a a + ( ( ) ) ( + ) ( ) ( ( + ) + ) ( ) ( + ) = = = <

4 (γιατί ο παρονομαστής είναι μεγαλύτερος του αριθμητή) Άρα a+ < a+ < a και επομένως η ( a ) είναι γνησίως φθίνουσα a Επίσης lim a = lim = Άρα η = ( ) ( + ) ( ) συγκλίνει S ( ) ( + ) ( + ) ( ) + = + = Αρκεί να πάρουμε, οπότε + = 9 ( ) π ( ) = π = ( + ),9897,9897,9 ) Χρησιμοποιώντας το κριτήριο του λόγου, να βρεθούν όλες οι τιμές του x για τις οποίες συγκλίνουν οι σειρές: Λύση + = ( x + ) i α Εφαρμόζουμε το κριτήριο λόγου: + = x + ( x + ) ( x+ ) x + = = + = ( x + ) ( + ) ( x+ ) ( + ) + ( + ) lim lim x lim + Άρα, αν x + < x+ < 7 < x<, τότε η Για x + > x> ή x< 7, προφανώς η σειρά + ( x + ) συγκλίνει = + ( x + ) αποκλίνει = Για x =, προκύπτει η αριθμητική σειρά όπως η αντίστοιχη αρμονική =, η οποία αποκλίνει, + + = = Για x = 7, έχουμε + + ( ) ( ) = = =, η οποία συγκλίνει, γιατί είναι η εναλλάσσουσα αρμονική, (ικανοποιεί τις υποθέσεις του κριτηρίου Libiz) Συνεπώς, η σειρά συγκλίνει όταν x [ 7,)

5 β Εφαρμόζουμε το κριτήριο λόγου: Άρα, αν + + x + x + x x x < < < < < x >, τότε η + x + x x+ ( ) ( ) lim + x = lim = + x + x + = x + συγκλίνει Για x > < x < + x x > ή, η σειρά + x x < x < + x Για x =, η σειρά + = x + δεν συγκλίνει + αποκλίνει, όπως η αντίστοιχη p-σειρά ( = Συνεπώς, η σειρά συγκλίνει όταν x (, ) p = ) ) Να βρεθούν όλες οι τιμές του x, για τις οποίες συγκλίνει η σειρά: Λύση: Με το κριτήριο του λόγου έχουμε ότι για x < δηλαδή x ( x ) = < < συγκλίνει και για x > δηλαδή x< ή x> αποκλίνει Για x= συγκλίνει (κριτήριο Libiz), για x= αποκλίνει (αρμονική σειρά)

6 Άλυτες ασκήσεις i) Να εξετασθεί αν οι ακόλουθες σειρές συγκλίνουν (a) + = (b) = (c) + + ( ) = + (d) + = () ( ) = (f) + + = ( + )! + (g) + (h) = (i) = = + και σε περίπτωση θετικής απάντησης να βρεθεί το αντίστοιχο άθροισμα ii) iii) Θεωρώντας ως δεδομένο ότι ισχύει x =, x <, να βρεθούν τα διαστήματα x = σύγκλισης και τα αθροίσματα των ακόλουθων δυναμοσειρών: (a) = (b) Να εξετασθεί αν οι ακόλουθες σειρές συγκλίνουν = x (c) x = x ) + ) + = ) = ( + )! = ) ( θ ) si ) = + + )! = ( + ) = ( + )! + 8 7) 8) = + 9) = + ( ) = + ) 7 + ) + = = ( ) + ( + ) ) + 8+ = + + )! ) = cos ( π a) ) = = + ( ) ( + ) ( + )( + ) + ) 7) + + = = ( ) 8) + + ( ) ( + ) = + 9) + ) = + = + + ( ) ) = + 7+ ) ( ) ) = ) = = +

7 si ) ( ) ) = + + ( ) 7) = + = ( ) + l 8) + ( ) 9) = l + + ) +! + = ( ) + ( ) = iv) Να βρεθούν όλες οι τιμές του x για τις οποίες οι ακόλουθες σειρές (a) ( x ) + (b) = + ( x) ( )! (c) ( + )! = + = (x) ( )! x (+ ) + (x + 8) (d) () 8 = + x! (x) (f) = = ( x ) + 7 συγκλίνουν Η σύγκλιση να εξετασθεί και στα άκρα των αντίστοιχων διαστημάτων 7

Σχετικά έγγραφα

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΜΑΣ00: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΣΕΙΡΕΣ:. Να γράψετε τους πρώτους πέντε όρους της κάθε ακολουθίας: (β) (γ), Απαντήσεις: {/, /, 7/8, 5/6, /} (β) {, /5, /,5/, /7} (γ) {, /,, /,