sup(a + B) = sup A + sup B inf(a + B) = inf A + inf B.
|
|
- Ῥαάβ Κακριδής
- 4 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ασκήσεις, Φυλλάδιο. Βρειτε το συνολο Φ A ολων των ανω ϕραγματων του A, και το συνολο φ A ολων των κατω ϕραγματων του A, οταν: a) A = m :, m N}, b) A = + m 2. Βρειτε το if και sup οποτε υπαρχουν) των συνολων A = m :, m N}, B = +, ), :, m N} C = 0, ) +, ) D = + : N}, E = x R : x > x2 }, F = r 0, ) : r = 0, r r 2 r 3..., r i 9 i}. το F περιεχει τα r 0, ) των οποιων το δεκαδικο αναπτυγμα δεν περιεχει το ψηϕιο 9). 3. Αν A, B ειναι μη κενα ϕραγμενα υποσυνολα του R δειξετε οτι το A B ειναι ϕραγμενο και supa B) = maxsup A, sup B} ifa B) = miif A, if B} συμβολισμος: για x, y R, maxx, y} συμβολιζει τον μεγαλυτερο απο τους δυο, και mix, y} τον μικροτερο απο τους δυο) 4. Αν A, B ειναι μη κενα ϕραγμενα υποσυνολα του R, οριζομε A+B = a+b : a A, b B}. Δειξετε οτι supa + B) = sup A + sup B ifa + B) = if A + if B. 5. Δειξετε οτι το αθροισμα, το γινομενο και το πηλικο οταν οριζεται) δυο ρητων αριθμων ειναι ρητοι αριθμοι. 6. α) Αν r ειναι ρητος και α αρρητος, τοτε το αθροισμα r + α, το γινομενο rα και το πηλικο r ειναι αρρητοι. α β) Αν α, β ειναι αρρητοι, τι μπορουμε να πουμε για το αθροισμα α + β, το γινομενο αβ και το πηλικο α; β 7. Αν α ειναι υπερβατικος αριθμος δειξετε οτι ο α ειναι υπερβατικος για καθε Z 0}. 8. Δειξετε οτι αν a, b R με a < b τοτε: α) στο διαστημα a, b) υπαρχουν απειροι το πληθος ρητοι αριθμοι. β) στο διαστημα a, b) υπαρχουν απειροι το πληθος αρρητοι αλγεβρικοι αριθμοι. γ) στο διαστημα a, b) υπαρχουν απειροι το πληθος υπερβατικοι αριθμοι. 9. Γραψετε ως κλασματα ακεραιων οσους απο τους παρακατω αριθμους ειναι ρητοι 0. Εστω A το συνολο α =, , β = 0, γ = 0, , δ = 0, , ε = 0, A = x 0, ) : το δεκαδικο αναπτυγμα του x περιεχει μονον τα ψηϕία 3 και 7} Δειξετε οτι το A δεν ειναι αριθμήσιμο.
2 2. Εστω B το συνολο που περιεχει τις ριζες καθε ταξης, καθε ϕυσικου αριθμου. Δειξετε οτι το B ειναι αριθμησιμο. 2. Αποδειξετε τις ταυτοτητες a) + x + x 2 + x x = x+, x R, x, N x b) x y = x y)x + x 2 y + x 3 y y ), x, y R, N. 3. Αν b, b 2,, b ειναι θετικοι πραγματικοι αριθμοι με γινομενο b b 2 b = δειξετε οτι b + b b. υποδ.: επαγωγη επι του ) 4. Ανισοτητα αριθμητικου, γεωμετρικου και αρμονικου μεσου). Αν a, a 2,, a ειναι θετικοι πραγματικοι αριθμοι δειξετε οτι a + a a a a 2 a a + a a υποδ.: χρησιμοποιησετε την προηγουμενη ασκηση). 5. Για x R και N δειξετε οτι [ x] = [ [x] ]. οπου [x]=ακεραιο μερος του x). 6. Γραϕουμε κx) = x [x] για το κλασματικο μερος του x R αντι για x} = x [x], για μεγαλυτερη σαϕηνεια). Δοθεντος x R θεωρουμε το συνολο, A = κx) : N} = κx), κ2x), κ3x),, κx), } Βρειτε το sup A και if A οταν ο x ειναι θετικος ρητος αριθμος. 7 α) Με τον συμβολισμο της προηγουμενης ασκησης βρειτε το sup A και if A οταν ο x ειναι αρρητος αριθμος. β) Βρειτε το sup S και if S του συνολου S = si) : N} = si), si2), si3),, si), } γ) Ειναι το συνολο Θ = si) : N} = si), si2), si3),, si), } ϕραγμενο; ανω ϕραγμενο;
3 Ασκήσεις, Φυλλαδιο 2. Ελεγξετε με χρηση του ορισμου την συγκλιση ή μη των ακολουθιων a = +, b = 2 ). 2. Αν a ) ειναι ακολουθια θετικων ορων με a a και k N, k 2 δειξετε οτι lim k a ) = k a. 3. Δειξετε οτι καθε πραγματικος αριθμος ειναι το οριο μιας γνησιως αυξουσας ακολουθιας ρητων αριθμων. 4. Δειξετε οτι η αναδρομικη ακολουθια a =, a + = + a, ειναι αυξουσα και οτι a 2 για καθε. 5. Στις παρακατω ακολουθιες οι, m συμβολιζουν ϕυσικους αριθμους. Βρειτε το οριο καθε μιας. a = + m, N b m = + m, m N c = m, N d m = m, m N 6. α) Αν a ) ειναι ακολουθια που συγκλινει στο 0 και b ) ειναι ϕραγμενη ακολουθια, δειξετε οτι η ακολουθια c ), c = a b, συγκλινει στο 0. β) Βρειτε ακολουθιες a ), b ) με a a 0, και b ) ϕραγμενη, ωστε η ακολουθια c = a b δεν συγκλινει. 7. α) Εστω x R και a = κ!x), N, οπου κx) = x [x], το κλασματικο μερος του x. Δειξετε οτι ) Αν x Q τοτε υπαρχει N N ωστε a = 0 για N 2) Αν x R Q τοτε a 0 για καθε N. β) Εστω m N, m 2, και b = mκ m ), N. Βρειτε τους αρχικους 2m + ορους της ακολουθιας b ), και βγαλτε συμπερασμα για την συνολικη μορϕη της b ). 8. Βρειτε το οριο καθε ακολουθιας a =!, b = 5!, c = si2 ), d = si2 ) Εξετασετε την συγκλιση και βρειτε το οριο καθε μιας απο τις ακολουθιες. a = 2, b = 2 + 3, c = 2 + si), d = 2 + 2, 0. Εξετασετε την συγκλιση και βρειτε το οριο καθε μιας απο τις ακολουθιες. a = 2 + 2, b = , c = log) + log 3 ) + Σημ.: log συμβολιζει τον ϕυσικο λογαριθμο ). Υποθετουμε οτι a ) ειναι μια ακολουθια θετικων πραγματικων αριθμων με a a. ) Αν 0 < a < δειξετε οτι η ακολουθια s = a εχει οριο lim s =. 2) Ισχυει το ιδιο αν a = 0 ή a = ; 2. Εστω a ) ακολουθια για την οποια υπαρχουν m, M R ωστε 0 < m a M < για καθε N. Δειξετε οτι s = a. 3. Δειξετε οτι οι ακολουθιες a = , b = , N δεν ειναι ανω ϕραγμενες. 4. Δειξετε οτι η ακολουθια a = ειναι αυξουσα και ανω ϕραγμενη. 5. Αν a 0, ) δειξετε οτι η ακολουθια , N, a = + a + a 2 + a a, N, ειναι ανω ϕραγμενη. 6. Αν a ) ειναι ϕραγμενη ακολουθια δειξετε οτι και η ακολουθια b ) με ειναι επισης ϕραγμενη. b = a + a 2 + a a, N,
4 Ασκήσεις, Φυλλάδιο 3. Βρειτε το οριο καθε ακολουθιας a = + 2, b = log), c = , d = Αν px) = a 0 +a x+a 2 x 2 + +a m x m ειναι πολυωνυμο με θετικους συντελεστες δειξετε οτι η ακολουθια p = p) εχει οριο τον αριθμο. 3. Εξετασετε την συγκλιση και βρειτε το οριο για οσες απο τις ακολουθιες υπαρχει. a = 2 + 3, b = ) Δειξετε οτι: ) Αν < a < και k N, τοτε a = k a 0. 2) Αν a > 0 και b R τοτε a = log))b a 0. +, c = 5. Εξετασετε την συγκλιση και βρειτε το οριο για οσες απο τις ακολουθιες υπαρχει. + )3 )2 7) 2. + )2 ) a = si), b = si ), c = si ), d = + 2 ). 6. Εξετασετε την συγκλιση των ακολουθιων a = + ) 2, b = + 2 ). 7. Εξετασετε την συγκλιση και βρειτε το οριο για οσες απο τις ακολουθιες υπαρχει. a = 2!, b = 3!, c = 2 ), d = ). 8. Αν a R δειξετε οτι η ακολουθια a = [a] 9. Θεωρουμε την ακολουθια ) Δειξετε οτι a 2 για καθε. 2) Ειναι σωστος ο παρακατω υπολογισμος; συγκλινει στο a. [ ] το ακεραιο μερος). a = , lim a = lim ) = lim + + lim N + + lim + 2 = = Θεωρουμε την ακολουθια b = , N. Δειξετε οτι b 2 b /2 για καθε προηγουμενη ασκηση). Σαν συνεπεια συμπερανετε οτι: ) Η b ) δεν ειναι ακολουθια Cauchy. 2) Η b ) δεν ειναι ανω ϕραγμενη.. Με χρηση του ορισμου δειξετε η ακολουθια a = ) + + δεν ειναι ακολουθια Cauchy. 2. Δειξετε οτι η ακολουθια που οριζεται a = και a + = 2a για συγκλινει και βρειτε το οριο. Υποδ. η a ) ειναι αυξουσα και ανω ϕραγμενη απο το 2, επαγωγη.) 3. Εξετασετε την συγκλιση και βρειτε το οριο της ακολουθιας x = 3 2 και x + = 3x 2 για. Υποδ. με επαγωγη δειξετε: ) 3/2 x 2 για καθε. 2) η x ) ειναι αυξουσα.)
5 Ασκήσεις, Φυλλάδιο 4. Εστω a > 0. Θετουμε x = και x + = 2 x ) και βρειτε το οριο της. 2. Βρειτε την τιμη του συνεχομενου κλασματος ) x + a x για. Μελετησετε την ακολουθια a = ερμηνευοντας την σαν οριο της αναδρομικης ακολουθιας: a = και a + = + a για 2 Υποδ. Δειξετε οτι < a < 2 για καθε, και οτι η ακολουθια συγκλινει) 3. Δειξετε οτι lim ) = Γενικωτερα αν a ) ακολουθια θετουμε b = a +a 2 + +a, N. Δειξετε οτι αν a a R τοτε και b a. 5. Βρειτε τα οριακα σημεια και το lim sup και lim if καθε ακολουθιας π + 2si 2 ) a = ) +, b = +2 ), c = + 2 ) d = si π 4 ), e = cos!π ), m N. m 6. Βρειτε τα οριακα σημεια της ακολουθιας a ) με ορους 2, 4, 2 4, 3 4, 8, 2 8, 7 8, 6 2, 2 2,, 2, 2 2, + 7. Εστω a ) ϕραγμενη ακολουθια και S = a R : το a ειναι οριακο σημειο της a )}. Αν x ) ειναι ακολουθια σημειων του S με x x δειξετε οτι x S. 8. Αν C = c, c 2, c 3, } ειναι αριθμησιμο συνολο πραγματικων αριθμων δειξετε οτι υπαρχει ακολουθια a ) ωστε καθε σημειο του C να ειναι οριακο σημειο της a ). 9. Αν a ), b ) ειναι δυο ϕραγμενες ακαλουθιες, δειξετε οτι υπαρχει επιλογη ϕυσικων αριθμων m, m 2,, m k, ωστε οι υπακολουθιες a mk ) και b mk ) να ειναι και οι δυο συγκλινουσες. Γενικευσετε το συμπερασμα για πεπερασμενες το πληθος δοθεισες ϕραγμενες ακολουθιες. 0. Αν a ) ειναι ακολουθια θετουμε b = a +, N. Δειξετε οτι καθε οριακο σημειο της a ) ειναι επισης οριακο σημειο της b ).. Αν a ) ειναι ϕραγμενη ακολουθια και a R δειξετε οτι a = lim sup a αν και μονον αν: Για καθε ε > 0 το συνολο N : a ε < a } ειναι απειρο και το συνολο N : a + ε < a } ειναι πεπερασμενο.
6 . Ποιες απο τις σειρες ειναι αθροισιμες; a) d) k + k), e) log). 3 Ασκήσεις, Φυλλαδιο , b) log), c) si ), 2. Εξετασετε ποιες απο τις σειρες συγκλινουν: a) 3!, b) 2, c) +, d) =2 3. α) Αν a > 0 για καθε και η σειρα a συγκλινει, δειξετε οτι η σειρα a2 συγκλινει. β) Αν a > 0, b > 0 για καθε και οι σειρες a, και b συγκλινουν δειξετε οτι η a b συγκλινει. log). 4. Εστω a ακολουθια θετικων αριθμων. Δειξετε οτι η σειρα a συγκλινει αν και μονον αν η σειρα a +a συγκλινει. 5. Δειξετε οτι: α) =2 2 = 3 4, β) 2+ =, γ) 2 +) 2 2 = Εξετασετε την συγκλιση των σειρων και το αντιστοιχο αθροισμα. α) + m), β) + m), m=, m N). 7. Απο το συνολο, 2, 3,,, } διαγραϕομε τα στοιχεια με παρονομαστη τελειο τετραγωνο = k 2, k N), και αυτα με παρονομαστη τελειο κυβο = k 3, k N). Δειξετε οτι η σειρα με ορους ολα τα υπολοιπα στοιχεια αποκλινει. 8. Ποιες απο τις παρακατω σειρες συγκλινουν; 4 a) 2, b) 3!, c) 2!, d) 3!, e) 3 2,! 9. Ποιες απο τις παρακατω σειρες συγκλινουν; 2 a) + 3, b) 2 3 2, c) ), d) + ) 2, e) ). =3 0. Εξετασετε την συγκλιση των σειρων a) log2), b) =2 log)) 2, c) =2. Εστω a, b > 0. Εξετασετε την συγκλιση της σειρας =2 log)) 2, d) log)) b a, log a )) b. 2. Εστω p > 0 και b R. Δειξετε οτι η σειρα =2 ) αν p > και b R συγκλινει. 2) αν 0 < p < και b R αποκλινει. 3) Αν p = τοτε για b < συγκλινει ενω για b αποκλινει. =2 + log) log)) 2, e) 2 log).
7 Φυλλάδιο 6. Εξετασετε την συγκλιση και την απολυτη συγκλιση των σειρων a) ) + + ) ), b) log)) 3, c) ) + + log), d) =2 2. Εξετασετε αν συγκλινει η σειρα )+ a οπου a = =2, αρτιος 2, περιττος. + 2 )!. 3. Βρειτε τις τιμες s R για τις οποιες συγκλινει καθε σειρα a) s s, b)!, c) sis) 2, d) =0 s, e) 2 s. 4. Θεωρουμε την ακολουθια a με ορους:, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6,. ) Αν S ειναι τα μερικα αθροισματα της σειρας a δειξετε οτι 0 S για καθε. 2) Δειξετε οτι η σειρα δεν συγκλινει. 5. Εξετασετε τη συγκλιση της a οπου a = 6. *) Θετομε s =, αν ο ειναι τελειο τετραγωνο ϕυσικου αριθμου, αν ο δεν ειναι τελειο τετραγωνο ϕυσικου αριθμου 2 ) +, και θεωρουμε την ακολουθη αναδιαταξη της σειρας Δειξετε οτι η αναδιατεταγμενη σειρα συγκλινει, με αθροισμα s/2. Υποδειξη: S 3 = ) 4 = lims 3 ) = lims 3+ ) = lims 3+2 ) Αν a > 0, N, και a + a a, a > 0, δειξετε οτι a a. 4 = 2 ) ) ) = 2 σ 2, οπου σ = ) k+ k s, και 8. Αν a = 2 ) βρειτε το lim a και δειξετε οτι lim if a + a < lim a < lim sup a + a 9. Εστω a k > 0, k N, και s τα μερικα αθροισματα της σειρας k= a k. Δειξετε οτι η ) s συγκλινει αν και μονον αν η k= a k αποκλινει. 0. Αν r = k= δειξετε οτι η k 2 )+ r συγκλινει αλλα οχι απολυτως. Υποδ.: Για m >, r > > 2 +) 2 m 2 +) + +)+2) + + mm+) = + +2 ) + + m m+ ) = m+ > 2. + ) +
8 . Δειξετε οτι η fx) = σημειο. x 2, αν x αρρητος, αν x ρητος, Ασκήσεις, Φυλλαδιο 7 ειναι συνεχης στα σημεια, και σε κανενα αλλο 2. Βρειτε τα ορια. a) lim x 0 x si x ), b) lim x 0 x2 si x ), c) lim x[ si x) ], d) lim. x 0 x x 0 + x 3. Αν a, b ειναι θετικοι αριθμοι βρειτε τα ορια lim x 0 + x a [ b x ]) και lim x 0 + b x [ x a ]) 4. Δειξετε οτι αν f : [0, ] [0, ] ειναι συνεχης συναρτηση τοτε υπαρχει ξ [0, ] με fξ) = ξ. 5. Εστω f : R R συναρτηση που ικανοποιει την συναρτησιακη εξισωση Cauchy: fx + y) = fx) + fy), για καθε x, y R. Δειξετε οτι: α) f0) = 0 και f x) = fx) για καθε x R. β) Υπαρχει c R ωστε f ) = c για καθε N. γ) fr) = cr για καθε r Q. δ) Αν η f ειναι επιπλεον συνεχης τοτε fx) = cx για καθε x R. 6. Βρειτε σε ποια σημεια ειναι συνεχης η συναρτηση fx) = 0, αν x αρρητος, cosx), αν x ρητος. 7. Δωσετε παραδειγμα συναρτησης f : R R που δεν ειναι συνεχης σε κανενα σημειο, αλλα η f ειναι συνεχης παντου. 8. Εστω f : [0, ] R συνεχής με f0) = f). Δείξτε ότι υπάρχει ξ [0, 2 ] τέτοιο ώστε fξ) = fξ + 2 ). 9. Δείξτε ότι το πολυώνυμο P x) = x 4 + 7x 3 9 έχει τουλάχιστον δύο πραγματικές ρίζες. 0. Εστω f : [a, b] R συνεχης με την ιδιότητα: Για καθε x [a, b] υπαρχει y [a, b] ωστε fy) 2 fx). Δείξετε ότι υπαρχει ξ [a, b] ωστε fξ) = 0.. Αν f, g : [a, b] R ειναι συνεχεις θετουμε A = x [a, b] : fx) = gx)}, και υποθετουμε A. Δειξετε οτι sup A A και if A A. 2. Αν f, g : [a, b] R ειναι συνεχεις και ισχυει fx) > gx) για καθε x [a, b] δειξετε οτι υπαρχει ρ > 0 ωστε fx) > gx) + ρ για καθε x [a, b]. 3. Αν f : [a, b] R ειναι συνεχης και x, x 2,, x [a, b] δειξετε οτι υπαρχει y [a, b] ωστε fy) = fx )+fx 2 )+ +fx ). 4. Αν f : [0, ) R ειναι συνεχης και το οριο lim x fx) υπαρχει και ειναι πεπερασμενο, δειξετε οτι η f ειναι ϕραγμενη στο [0, ).
9 Ασκήσεις, Φυλλαδιο 8. Εξετασετε αν οι συναρτησεις f, g : 0, ] R, fx) = si x ), gx) = x si x ), ειναι ομοιομορϕα συνεχεις στο 0, ]. 2. Βρειτε συναρτηση f :, ) R παραγωγισιμη σε καθε σημειο του πεδιου ορισμου της, της οποιας η παραγωγος δεν ειναι συνεχης συναρτηση στο σημειο x 0 = Εξετασετε αν οι συναρτησεις ειναι παραγωγισιμες στο σημειο x 0 = 0. a) fx) = x 2 si x ), x 0 0, x = 0, 4. Εξετασετε αν η συναρτηση fx) = b) gx) = six) x, x 0, x = 0, 2 si x 2 ) x, 0 < x < π, 0, x = 0, c) hx) = x x. ειναι παραγωγισιμη στο 0. fc+h) fc h) 5. Αν f : [a, b] R ειναι παραγωγισιμη στο c a, b) δειξετε οτι lim h 0 2h = f c). 6. Εστω m, N, m, 2. Βρειτε τη μεγιστη τιμη της συναρτησης fx) = x x) m στο διατημα [0, ]. 7. α) Αν f : 0, ) R παραγωγισιμη και lim x f x) = 0, τοτε lim x fx + ) fx)) = 0. β) Αν f : 0, ) R παραγωγισιμη με f) = 0 και f x) 2x για καθε x >, τοτε fx) < 2x 2 για καθε x >. 8. Εστω f : R R παραγωγισιμη με f x) = fx) για καθε x R. Δειξετε οτι υπαρχει c R ωστε fx) = ce x για καθε x R. 9. Εστω f :, ) R παραγωγισιμη συναρτηση για την οποια ισχυει f0) = 0 και f x) 3 x για καθε x, ). Δειξετε οτι η σειρα =2 f ) συγκλινει. 0. Εστω f :, ) R παραγωγισιμη με f0) = 0 και f 0) =. Δειξετε οτι η σειρα =2 f/) δεν ειναι αθροισιμη. Γενικα, για ποιες ακολουθιες x ) με ορους στο 0, ) και x 0 ειναι η σειρα fx ) αθροισιμη;. Μια ακομη αποδειξη οτι η αρμονικη σειρα δεν ειναι αθροισιμη). Με χρηση του θεωρηματος μεσης τιμης δειξετε οτι + < log + ) < για καθε N. Δειξετε στην συνεχεια οτι < log) , 2 log) και συμπερανετε οτι lim S = οπου S ειναι το -υοστο μερικο αθροισμα της σειρας. 2. Εστω f : 0, ) R παραγωγισιμη συναρτηση για την οποια ισχυει f x) = x για καθε x 0, ) και f) = 0. Δειξετε οτι fxy) = fx) + fy) για καθε x, y 0, ). 3. Εστω f : a, b) R συναρτηση. Αν υπαρχουν 0 < M < και < ρ < ωστε να ισχυει fx) fy) M x y ρ για καθε x, y a, b) δειξετε οτι η f ειναι σταθερη. 4. Δειξετε οτι για καθε x 0 ισχυουν οι ανισοτητες: a) six) x, b) six) x x3, c) six) x x3 3! 3! +x5, d) cosx) x2 5! 2! six) x+ 5. Βρειτε τα ορια: i) lim x 3 cosx) + 3! x 0, ii) lim x 2 x 5 2 x 0, iii) lim x 0 6. ) α) Δειξετε οτι η συναρτηση fx) = στο x 0 = 0. β) Δειξετε οτι η συναρτηση gx) = παραγωγισιμη σε καθε x R. e x, x > 0, 0, x 0, si 4 x) e x + x, x 0, ), 0, x, 0] [, ),, e) cosx) x2 2! +x4 4!. ). six) six) x ειναι απειρες ϕορες παραγωγισιμη ειναι απειρες ϕορες
10 ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, Χειμ. Εξαμ. 208 Ασκήσεις, Φυλλάδιο 9. Βρειτε το συνολο συγκλισης καθε δυναμοσειρας: α) x ), β) + ) x ), γ) ϵ) =0 2 x ), ζ) =0 =0 log) x, η) 2. Βρειτε την ακτινα συγκλισης καθε δυναμοσειρας =0 2 x 2), δ) =0 2! x, θ) =0 =0 2 x + ), ι) a) + 3x + x x 3 + x x 5 + x , b) 3 + cos))x, c) 2 x + ), 2 x 2).! +! )x, 3. Βρειτε την ακτινα συγκλισης της δυναμοσειρας a x σε καθε μια απο τις παρακατω περιπτωσεις ) a = 2 + si 2 ), 2) 2 a 3, 3) a 2, αρτιος, 4) a = 2 2, περιττος,, = 3k, 2 5) a = 3, = 3k +, k Z. 2, = 3k Βρειτε ολα τα x για τα οποια καθε μια απο τις σειρες συγκλινει a) x, b) x+ =0 x ). 5. Βρειτε τα πολυωνυμα Taylor P 5,a x) της συναρτησης fx) = +x στα σημεια α) a = 0, β) a =. 6. Γραψετε το πολυωνυμο P x) = + 2x x 2 + 5x 3 x 4 σε δυναμεις του x ). 7. Βρειτε το πολυωνυμο Taylor βαθμου 8 στο a = 0 για την συναρτηση fx) = cos x + 2! x2 4! x4 + 6! x6 8. Για τις παρακατω συναρτησεις βρειτε τα αντιστοιχα πολυωνυμα Taylor fx) = e x2, P 3,0 x). gx) = + x 2, P 4,x). hx) = 3 + cosx), kx) = six), P 2,0 x). P 6, π 6 x). ϕx) = e x + x + x2 2 ), P 5,0x). sx) = 3 + x, P 3,0 x). 9. Βρειτε το αναπτυγμα σε δυναμοσειρα καθε μιας απο τις παρακατω συναρτησεις στο αντιστοιχο σημειο fx) = e x, x 0 =. gx) = x, x 0 =. hx) = log + x), x 0 = 0. ϕx) = cos x, x 0 = π. 0. Βρειτε το μεγιστο σϕαλμα κατα την προσεγγιση της fx) = cosx) απο το πολυωνυμο P 4,0 x) = x2 2! + x4 4! στο διαστημα [ 2, 2 ].. Βρειτε το μικροτερου δυνατου βαθμου πολυωνυμο Taylor P,0 x) της fx) = e x, τετοιο ωστε να ισχυει e x P,0 x) για καθε x [, ] Κανετε τις γραϕικες παραστασεις της συναρτησης fx) = six) και των πολυωνυμων Taylor της, P,0 x), P 3,0 x), P 5,0 x), P 7,0 x), στο ιδιο συστημα αξονων, στο διαστημα [ π, π].
n a n = 2. Θεωρούµε τα σύνολα a n = n2 n n 2 + n 1. n a n = a > 0, δείξτε ότι a n > 0 τελικά.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α) Κάθε
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε
Διαβάστε περισσότεραn 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1
Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a
Διαβάστε περισσότερα1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών
Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Απειροστικού Λογισμού ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Περιεχόμενα Υπακολουθίες και ακολουθίες Cuchy Σειρές πραγματικών αριθμών 3 3 Ομοιόμορφη συνέχεια 3 4 Ολοκλήρωμα
Διαβάστε περισσότεραΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 1. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση : 1 λέγεται ακολουθία πραγματικών αριθμών ή
Διαβάστε περισσότεραΑκολουθίες & Σειρές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ακολουθίες, Σειρές, Δυναμοσειρές. τεχνικές.
Ακολουθίες & Σειρές Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Ακολουθίες Σειρές Δυναμοσειρές τεχνικές 0 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / / 0 9 εκδόσεις Καλό
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΕΙΚΟΣΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω μια δυναμοσειρά a (x ξ) = a 0 + a (x ξ) + a 2 (x ξ) 2 + με ακτίνα σύγκλισης R και με ρ = lim a. Αν x = ξ, η δυναμοσειρά συγκλίνει και έχει άθροισμα
Διαβάστε περισσότεραΑκολουθίες & Σειρές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ακολουθίες, Σειρές, Δυναμοσειρές. τεχνικές.
Ακολουθίες & Σειρές Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Ακολουθίες, Σειρές, Δυναμοσειρές τεχνικές 0 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / / 0 7 εκδόσεις Καλό
Διαβάστε περισσότεραΓια την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να
Διαβάστε περισσότερα= f(x) για κάθε x R.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 4: Συνέχεια και όρια συναρτήσεων Α Οµάδα 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α)
Διαβάστε περισσότεραΑπειροσ τικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών
Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών - Περιεχόμενα Υπακολουθίες και βασικές ακολουθίες. Υπακολουθίες. Θεώρημα Bolzno Weierstrss.αʹ Απόδειξη με χρήση της
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στο μάθημα Ανάλυση Ι & Εφαρμογές 26 Φεβρουαρίου 2015
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στο μάθημα Ανάλυση Ι & Εφαρμογές 26 Φεβρουαρίου 25 Απαντήστε και στα 4 προβλήματα με σαφήνεια και απλότητα. Όσοι έχουν πάρει προβιβάσιμο βαθμό στην Πρόοδο (πάνω
Διαβάστε περισσότεραsin(5x 2 ) sin(4x) e 5t 2 1 (ii) lim x 0 10x 3 (iii) lim (iv) lim. 10t sin(ax) = 1. = 1 1 a lim = sin(5x2 ) = 2. f (x) = sin x. = e5t 1 = 1 0 = 0.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Ι, Φυλλάδιο 3 Λύσεις Ασκήσεων. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια. sia) i) ποιες συνθήκες πρέπει να ισχύουν για τα a, β ώστε να έχει νόημα το όριο;) 0 siβ) si5 ) si4) cos cos
Διαβάστε περισσότεραProapaitoÔmenec gn seic.
ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία
Διαβάστε περισσότεραΑκουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Μονοτονία Ακολουθίας Φραγµένη Ακολουθία Υπακολουθίες Σύγκλιση - Απόκλιση Ακολουθιών N = {1, 2,
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)
Διαβάστε περισσότεραΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. v. Σε αυτή την περίπτωση το lim v
ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Η ακολουθία { α ν } λέγεται αθροίσιμη αν η ακολουθία {S ν } συγκλίνει, όπου S 2 3.... Σε αυτή την περίπτωση το lim S συμβολίζεται με και λέγεται το άθροισμα της ακολουθίας {
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων Εισαγωγή Ορισμός 5.1 Γενικά, το πρόβλημα της αριθμητικής
Διαβάστε περισσότεραB = F i. (X \ F i ) = i I
Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Διαβάστε περισσότερα1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n
Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.
ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos
Διαβάστε περισσότεραlim (f(x + 1) f(x)) = 0.
Ανάλυση Ι και Εφαρμογές 4ο Τεστ (Σειρά Α) 17-19 Δεκεμβρίου 2018 Ονοματεπώνυμο:.................................................................. Αριθμός Μητρώου:...............................................................
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν
Διαβάστε περισσότεραΞέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.
Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.
Διαβάστε περισσότερα> ln 1 + ln ln n = ln(1 2 3 n) = ln(n!).
η Διάλεξη: Άρρητοι αριθμοί Το σύνολο Q των ρητών αριθμών είναι το Q = { m n : m Z, n N}. αριθμός που δεν είναι ρητός λέγεται άρρητος. Ενας πραγματικός Ασκηση: Αποδείξτε ότι το άθροισμα και το γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR
KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ι ΣΕΙΡΕΣ Διδάσκουσα : Δρ Μαρία Αδάμ Λυμένες ασκήσεις ) Να μελετηθούν ως προς τη σύγκλισή
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Διαγωνισμάτος 1 Ενότητα: Ακολουθίες-Σειρές
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegea.gr Λύσεις Διαγωνισμάτος Ενότητα: Ακολουθίες-Σειρές Άσκηση. Έστω ακολουθία (a ), για την οποία ισχύει ότι Θεωρούμε
Διαβάστε περισσότεραΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy
ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy Augustin- Louis Cauchy 1789-1857 ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ Ορισμός σύγκλισης Cauchy συγκλίνει για x ξ Η συνάρτηση f(x) ɛ > 0 δ (ɛ, ξ) : x ξ < δ f(x) l < ɛ f(x) = l + f(x) = l +
Διαβάστε περισσότεραΑπειροστικός Λογισμός Ι Ασκήσεις
Απειροστικός Λογισμός Ι Ασκήσεις Μ. Παπαδημητράκης . Για καθεμία από τις ανισότητες ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ + >, +, + > +3 3+, ( )( 3) ( ) 0 γράψτε ως διάστημα ή ως ένωση διαστημάτων το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n +
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ) Να υπολογιστούν τα όρια των κάτωθι ακολουθιών με : (α) + 5 + 7 + + (β) + 5 + + (γ) + + + (δ) ( 5 ) + + 4 + ( ) + 5 ) Να βρεθούν
Διαβάστε περισσότεραf(x) f(c) x 1 c x 2 c
Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς
Διαβάστε περισσότεραΌταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει.
Όταν η s δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Παρατήρηση: Το αντίστροφο του προηγουμένου θεωρήματος δεν ισχύει. Παράδειγμα η σειρά με νιοστό όρο α = +-. Τότε lim α =0. Όμως s =α +α + +α = - + 3- +...+
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 18 Φεβρουαρίου 005. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου
Διαβάστε περισσότεραx + ax x x 4 να είναι παραγωγίσιμη στο x Υπόδειξη: Μπορείτε να εφαρμόσετε κανόνα L Hospital ή μπορεί σας χρειαστεί η sin sin = 2sin cos
http://lar.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Άσκηση. (5 μονάδες) i) ( μονάδες) Υπολογίστε την παράγωγο για κάθε μία από τις επόμενες συναρτήσεις: a)
Διαβάστε περισσότεραf (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ 1β. 2n + 1 n(n + 1) xn. n=1. 2n + 1 ln(1 x)(1 + x) + x. a n = 2n + 1 n(n + 1) = 1 n + 1. a n+1 x n+1 a n x n.
ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ β 4 Ιανουαρίου 005 Τα ϑέµατα,, και 4 είναι υποχρεωτικά. Από τα ϑέµατα 5 και 6 ϑα επίλέξετε ϑέµα. ηλαδή ϑα γράψετε ΜΟΝΟ 5 ϑέµατα. ΘΕΜΑ o.5 + 0.5 = ϐ.) α) Να αποδειχθεί ότι η δυναµοσειρά
Διαβάστε περισσότεραΤύπος TAYLOR. f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) ξ μεταξύ x και x 0. (x x 0 ) k k! f(x) = f (k) (x 0 ) + R n (x)
Τύπος TAYLOR f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) f(x) = ξ μεταξύ x και x 0 n 1 (x x 0 ) k f (k) (x 0 ) + R n (x) R n (x) = (x ξ)n p (x x 0 ) p p(n 1)! f (n) (ξ) υπόλοιπο Sclömlich-Roche
Διαβάστε περισσότεραf(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).
Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ln 4 i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να δείξετε ότι η παραπάνω συνάρτηση γράφεται: ln iii Να λύσετε την εξίσωση ln 5 ln 3 4 a a1 4,, a i Να βρείτε τον αριθμό
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).
ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους
Διαβάστε περισσότεραa n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες
Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με
Διαβάστε περισσότεραn sin 1 n. 2 n n+1 6 n. = 1. = 1 2, = 13 4.
ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΟΛΟΗΜΕΡΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Λύσεις ασκήσεων φυλλαδίου. Άσκηση : Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση τη σειρά si. Λύση: Παρατηρούμε ότι si 0 άρα η σειρά δεν συγκλίνει. Συγκεκριμένα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)
ΜΑΣ00: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΣΕΙΡΕΣ:. Να γράψετε τους πρώτους πέντε όρους της κάθε ακολουθίας: (β) (γ), Απαντήσεις: {/, /, 7/8, 5/6, /} (β) {, /5, /,5/, /7} (γ) {, /,, /,
Διαβάστε περισσότεραΑπειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις τέταρτου φυλλαδίου ασκήσεων. ( n(n+1) e 1 (
. Αποδείξτε ότι: Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 08-9. Λύσεις τέταρτου φυλλαδίου ασκήσεων. +) 7 +) +), 5 +7 5 5, +log ) 7 log 4, +, ++ + + ) +4+4 + +4, + si +, +) +), + [ ], + + 0, + +, ) +,,
Διαβάστε περισσότεραΟρισμένες σελίδες του βιβλίου
Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των
Διαβάστε περισσότερα1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών
Διαβάστε περισσότερα~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Η συνάρτηση f ( ) γράφεται f x y + x + y x y + x + y xy ( ) ( ) ( ) ( ) Το πραγματικό και
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου
Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται
Διαβάστε περισσότεραf(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)
Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 20 Νοεμβρίου 2012
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι ανανεωμένο στις 20 Νοεμβρίου 202 Τμήμα Θ Αποστολάτου & Π Ιωάννου Ακολουθίες - Όρια ακολουθιών Έστω η ακολουθία μια αριθμημένη σειρά δηλαδή) των αριθμών:
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΚΟΣΤΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 9--3 Μ. Παπαδημητράκης. Εκτός από το κριτήριο του Cauchy, όλα τα άλλα κριτήρια σύγκλισης μιας σειράς που είδαμε μέχρι τώρα (απόλυτης σύγκλισης, σύγκρισης δυο σειρών, λόγου,
Διαβάστε περισσότεραn = r J n,r J n,s = J
Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση
Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο
Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα
Διαβάστε περισσότεραβ) Αν επιπλέον το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι υ(x) = - 3x + 5, τότε να βρείτε το Δ(x). (Απ. α) 5 ος β) Δ(x) = x 5 5x 4 + 6x 3 + 4x 2 11x + 5)
ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Γενικής Παιδείας Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο 2 Δ Ι Α Ι Ρ Ε Σ Η ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ένα πολυώνυμο Δ(x),
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΑκολουθίες πραγματικών αριθμών
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ακολουθίες πραγματικών αριθμών Όταν διαδοχικές τιµές που παίρνει µία μεταβλητή προσεγγίζουν απεριόριστα µία συγκεκριµένη τιµή έτσι ώστε τελικά να διαφέρουν από αυτήν λιγότερο από όσο επιθυµεί
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Εισαγωγή Οι γεννήτριες συναρτήσεις είναι ένα από τα ισχυρά εργαλεία για μια ενοποιημένη αντιμετώπιση πολλών κατηγοριών προβλημάτων απαρίθμησης Ο Lplce έθεσε πρώτος τις
Διαβάστε περισσότερα0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3/2/2010
Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3//00 Θέµα ( µονάδα) Θεωρούµε το σύνολο B = {x Q : x < 5}. είξτε ότι sup B = 5. Απάντηση : Για να δείξουµε ότι sup B = 5 αρκεί να δειχθεί ότι α) Το 5 είναι
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές Ασκήσεις
Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x
Διαβάστε περισσότερα- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ
ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.
Διαβάστε περισσότερα7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z
7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Σκοπός του Κεφαλαίου είναι να ορίσει
Διαβάστε περισσότεραx y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y
Διαβάστε περισσότεραΑ. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - -. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Αν + y = -, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α A = + y + ( + y β B = ( - y -( y γ Γ = -(
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση 1. Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 3 + + + 3= (1) έχει ακριβώς μία πραγματική
Διαβάστε περισσότεραΟι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [2008-2009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για
Διαβάστε περισσότεραΣειρές πραγματικών αριθμών
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Σειρές πραγματικών αριθμών Προσέγγιση του π < π < Αρχιμήδης ο Συρακούσιος (87 π.χ - π.χ.) 7 7 π = Frçois Viète (54-6) + + + π 4 4 6 6 8 8 = Joh Wllis (66-7) 5 5 7 7 9 4 π = + Viscout Broucker
Διαβάστε περισσότερα(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac
Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας
Διαβάστε περισσότεραΓια να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :
Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την
Διαβάστε περισσότεραV. Διαφορικός Λογισμός. math-gr
V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν
Διαβάστε περισσότεραPragmatikèc Sunart seic miac Metablht c
Aˆlush Prgmtikèc Surt seic mic Metblht c Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Στη Μαρία και στα παιδιά μας, Μυρτώ και Δημήτρη. 3 4 Proktrktikˆ. Το αντικείμενο αυτών των σημειώσεων
Διαβάστε περισσότεραΜέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 2
Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗΣ ΣΕΙΡΑΣ Εστω μη ϰενά διαστήματα J, I R, με 0 Ī. Ονομάζουμε μεταβλητή το x J ϰαι ασυμπτωτιϰή (ή διαταραϰτιϰή) παράμετρο
Διαβάστε περισσότερα1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..: Κανόνες Παραγώγισης του
Διαβάστε περισσότεραh(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i
Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,
Διαβάστε περισσότεραf(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2].
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riem Α Οµάδα. Εστω f : [, ] R. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας).
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα(s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). s n (f) g = (f D n ) g = f (D n g) = f (g D n ) = f s n (g). K n (x)g δ (x) dx. K n (x) dx.
Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωμα Lebesgue (11 1) 3ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω f, g : T C ολοκληρώσιμες συναρτήσεις. Δείξτε ότι, για κάθε n N, (s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). Υπόδειξη. Θυμηθείτε
Διαβάστε περισσότεραΠ Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων
Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Πρ. Η f : [0, ] R είναι συνεχής στο [0, ]. Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Bolzao- Weierstraß δείξτε ότι η f είναι φραγμένη στο [0, ]. Μην επικαλεστείτε κάποιο άλλο θεώρημα.
Διαβάστε περισσότεραΠερίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Με N θα συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλ. N = {1, 2, 3, 4, }.
Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Με N θα συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλ. N = {1, 2, 3, 4, }. Με Z θα συμβολίζουμε το σύνολο των ακεραίων αριθμών, δηλ. Z = N {0, 1, 2, 3, 4, }. Με Q θα
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.
Διαβάστε περισσότεραΣχόλια στα όρια. Γενικά
Σχόλια στα όρια. Γενικά Η αναζήτηση του ορίου έχει νόημα όταν η συνάρτηση ορίζεται κοντά στο x, δηλαδή σε διάστημα (α,x ) (x,β) ή φυσικά σε (α,β) με x (α,β) και όχι κατ ανάγκη στο ίδιο το x. Για παράδειγμα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 1ο Α. α) Να αποδείξετε ότι, αν z 1 =α+βi και. είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί, τότε
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 6 ΙΟΥΛΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 11. Πολυώνυμα Taylor Ορισμός
Κεφάλαιο Πολυώνυμα Taylor Στο κεφάλαιο αυτό θα κάνουμε μια σύντομη εισαγωγή στα πολυώνυμα Taylor. Τα πολυώνυμα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως προσεγγίσεις μιας συνάρτησης γύρω από ένα σημείο, και έχουν
Διαβάστε περισσότερα2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων
ιαίρεση Πολυωνύμων 1 Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x + x - 9) : (x - 1) β) (x 4-7x + x - 15) : (x + 5) γ) (x - 4αx + α ) : (x - α) δ) [7x - (9α + 7α ) x + 9α ] : (x - α) Με τη βοήθεια του σχήματος
Διαβάστε περισσότερα4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Αν η εξίσωση α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +... +α 1 x+α 0 = 0 με α ν,α ν-1,...,α 1,α 0 Ζ : έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό ρ, τότε το ρ διαιρεί το α 0. έχει ρίζα το κλάσμα,
Διαβάστε περισσότερα