Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα
|
|
- Ῥαάβ Διαμαντόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Μιχάλης Παπαδημητράκης Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα
2
3 1 Παράγωγος στο. Ας θυμηθούμε ότι μια μιγαδική συνάρτηση f ορισμένη σε ένα υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου λέμε ότι είναι αναλυτική στο αν είναι αναλυτική σε μια περιοχή του (χωρίς το ), δηλαδή σε σύνολο U = {z z > r} για κάποιο r > 0, αν υπάρχει το lim z f(z) C και αν, αφού ορίσουμε f( ) = lim z f(z), ισχύει lim z z(f(z) f( )) C. Τότε το τελευταίο όριο το ονομάζουμε παράγωγο της f στο και ορίζουμε f ( ) = lim z(f(z) f( )). z Πρέπει να παρατηρήσουμε ότι, αν θεωρήσουμε την συνάρτηση g στην αντίστοιχη περιοχή U 0 = {w 0 < w < 1 r } του 0 (χωρίς το 0) με τύπο ( 1 ) g(w) = f, w τότε από την αναλυτικότητα της f στην U συνεπάγεται η αναλυτικότητα της g στην U 0. Με την αλλαγή μεταβλητής z = 1 w έχουμε ( 1 ) lim g(w) = lim f = lim f(z) = f( ). w 0 w 0 w z Άρα, αν θέσουμε g(0) = f( ), τότε η g γίνεται συνεχής και στο 0 και, επίσης, με την ίδια αλλαγή μεταβλητής, g g(w) g(0) (0) = lim = lim w 0 w z(f(z) f( )) = f ( ). z Άρα η g είναι αναλυτική στο 0. Βλέπουμε, λοιπόν, ότι ο ορισμός της αναλυτικότητας της f στο ανάγεται στην αναλυτικότητα της αντίστοιχης g στο 0 και ότι η παράγωγος της f στο είναι η παράγωγος της g στο 0. Η g είναι αναλυτική στον δίσκο U 0 {0} = D(0; 1 r ), οπότε γράφεται ως δυναμοσειρά g(w) = a 0 + a 1 w + a 2 w 2 +, w < 1 r, με a 0 = g(0) και a 1 = g (0). Επομένως και η f γράφεται ως δυναμοσειρά στην περιοχή U { } = D( ; 1 r ) του : f(z) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 +, r < z +, με a 0 = f( ) και a 1 = f ( ). Λόγω ομοιόμορφης σύγκλισης της δυναμοσειράς της f σε περιφέρειες C(0; s) κέντρου 0 και ακτίνας s > r, έχουμε 1 f(z) dz = a 0 dz + a 1 C(0;s) C(0;s) C(0;s) z dz + a 1 2 C(0;s) z 2 dz + = 2πia 1, οπότε έχουμε και μια ολοκληρωτική αναπαράσταση της f ( ): f ( ) = 1 f(z) dz για μεγάλα s > 0. 2πi C(0;s) 2
4 2 Αναλυτική και συνεχής αναλυτική χωρητικότητα. Θεωρούμε ένα συμπαγές E C και το συμπλήρωμα Ω = περιέχει μια περιοχή του. Δείτε το σχήμα 1. Ĉ \ E. Το Ω είναι ανοικτό και Επίσης, θεωρούμε δύο χώρους συναρτήσεων στο Ω. Ο πρώτος χώρος είναι ο H (Ω) και αποτελείται από τις f οι οποίες είναι αναλυτικές και φραγμένες στο Ω, H (Ω) = {f f αναλυτική και φραγμένη στο Ω}. Ο H (Ω) είναι γραμμικός χώρος και με την νόρμα f = sup f(z), z Ω f H (Ω) είναι χώρος Banach. Ο δεύτερος χώρος είναι ο A(Ω) και αποτελείται από τις f οι οποίες είναι αναλυτικές στο Ω και επεκτείνονται συνεχώς στο Ω, A(Ω) = {f f αναλυτική στο Ω και επεκτείνεται συνεχώς στο Ω}. Αν μια f επεκτείνεται συνεχώς από το Ω στο Ω, τότε, επειδή το Ω είναι συμπαγές (ως κλειστό υποσύνολο του συμπαγούς Ĉ), η f είναι φραγμένη στο Ω και άρα και στο Ω. Άρα ο A(Ω) είναι γραμμικός υπόχωρος του H (Ω). Είναι εύκολο να δει κανείς ότι ο A(Ω) είναι κλειστός υπόχωρος του H (Ω), οπότε κι αυτός είναι χώρος Banach. Εννοείται ότι και στον A(Ω) θεωρούμε την ίδια νόρμα f = sup z Ω f(z) για την οποία, ειδικά για τις συναρτήσεις που επεκτείνονται συνεχώς από το Ω στο Ω, ισχύει f = sup f(z) = sup f(z), z Ω z Ω f A(Ω). Θεωρούμε γνωστό το ότι μια f αναλυτική (ή και απλώς συνεχής) στο Ω επεκτείνεται συνεχώς στο Ω αν και μόνο αν είναι ομοιόμορφα συνεχής στο Ω. Επίσης, είναι άμεσο πόρισμα του θεωρήματος του Tietze το ότι, αν μια f είναι συνεχής στο Ω, τότε αυτή επεκτείνεται συνεχώς στο Ĉ = Ω E και, μάλιστα, η επέκταση μπορεί να γίνει με τέτοιο τρόπο ώστε να ισχύει sup z Ĉ f(z) = sup z Ω f(z). Δηλαδή, A(Ω) = {f f αναλυτική και ομοιόμορφα συνεχής στο Ω} = {f f αναλυτική στο Ω και επεκτείνεται συνεχώς στο Ĉ}. Επειδή οι συναρτήσεις f στους χώρους H (Ω) και A(Ω) είναι αναλυτικές στο, έχει νόημα γι αυτές η f ( ). Άρα μπορούμε να ορίσουμε την αναλυτική χωρητικότητα του E γ(e) = sup{ f ( ) f H (Ω), f 1} 3
5 και την συνεχή αναλυτική χωρητικότητα του E α(e) = sup{ f ( ) f A(Ω), f 1}. Τώρα θα δούμε μερικές πρώτες, απλές ιδιότητες των γ και α. ΠΡΟΤΑΣΗ 2.1. [α] α(e) γ(e) για κάθε συμπαγές E C. [β] γ(e) γ(e ) και α(e) α(e ) για κάθε συμπαγή E, E C με E E. [γ] γ(λe +µ) = λ γ(e) και α(λe +µ) = λ α(e) για κάθε συμπαγές E C και κάθε λ, µ C. Απόδειξη. [α] Αυτό είναι προφανές, διότι A(Ω) H (Ω). [β] Κι αυτό είναι προφανές, αφού, αν θεωρήσουμε το Ω = Ĉ \ E, τότε Ω Ω και, επομένως, H (Ω) H (Ω ) και A(Ω) A(Ω ). [γ] Αν E = λe + µ και Ω = Ĉ \ E, τότε Ω = λω + µ. Τώρα, μια f ανήκει στον H (Ω) ή στον A(Ω) αν και μόνο αν η αντίστοιχη g, η οποία σχετίζεται με την f μέσω του ( z g(z µ ) ) = f, z Ω, λ ανήκει στον H (Ω ) ή στον A(Ω ), αντιστοίχως. Μάλιστα, οι f, g έχουν την ίδια νόρμα: g = sup z Ω g(z) = sup z Ω f Το τελικό αποτέλεσμα είναι φανερό από το ότι g ( ) = lim z z (g(z ) g( )) = lim z ( z µ = λ lim z z(f(z) f( )) = λf ( ) από το οποίο έχουμε g ( ) = λ f ( ). λ λz z µ 3 Μερικές λίγο πιο βαθειές ιδιότητες. ) = sup f(z) = f. z Ω z µ ( f λ ( z µ λ ) ) f( ) ΠΡΟΤΑΣΗ 3.1. Ο H (Ω) περιέχει μόνο τις σταθερές συναρτήσεις αν και μόνο αν γ(e) = 0. Ομοίως, ο A(Ω) περιέχει μόνο τις σταθερές συναρτήσεις αν και μόνο αν α(e) = 0. Απόδειξη. Η μία κατεύθυνση της πρότασης είναι προφανής: για κάθε σταθερή f στο Ω ισχύει f(z) = f( ) στο Ω και άρα f ( ) = lim z z(f(z) f( )) = 0. Τώρα, έστω ότι ο H (Ω) ή ο A(Ω) περιέχει μια μη-σταθερή f. Τότε η g = f f( ) είναι μη-σταθερή και ανήκει στον H (Ω) ή στον A(Ω), αντιστοίχως. Ισχύει g( ) = 0 και άρα υπάρχει z 0 Ω ώστε g(z 0 ) 0. Ορίζουμε την { g(z) g(z0 ) h(z) = z z 0, αν z Ω, z z 0 g (z 0 ), αν z = z 0 και τότε η h ανήκει στον H (Ω) ή στον A(Ω), αντιστοίχως. Επίσης, είναι h( ) = 0 και άρα h ( ) = lim zh(z) = lim z g(z) g(z 0) = g(z 0 ). z z z z 0 Συνεπάγεται h ( ) = g(z 0 ) > 0, οπότε η h δεν είναι σταθερή στο Ω και άρα h > 0. Τέλος, ορίζουμε την k = 1 h h η οποία ανήκει στον H (Ω) ή στον A(Ω), αντιστοίχως. Προφανώς, είναι k = 1 και άρα Η απόδειξη είναι πλήρης. γ(e) ή α(e) k ( ) = 1 h h ( ) > 0. 4
6 ΠΡΟΤΑΣΗ 3.2. Ισχύει Απόδειξη. Ορίζουμε γ(e) = sup{ f ( ) f H (Ω), f 1, f( ) = 0}, α(e) = sup{ f ( ) f A(Ω), f 1, f( ) = 0}. γ 0 (E) = sup{ f ( ) f H (Ω), f 1, f( ) = 0}. Προφανώς, γ 0 (E) γ(e). Έστω τυχούσα f στον H (Ω) με f 1. Δείτε το σχήμα 2. Αν f( ) < 1, τότε ορίζουμε την g με τύπο g(z) = f(z) f( ) 1 f( )f(z), z Ω. Η g ανήκει στον H (Ω) και g 1. Επίσης, ισχύει g( ) = 0 και, επομένως, Όμως, και άρα γ 0 (E) g ( ). g f(z) f( ) ( ) = lim zg(z) = lim z z z 1 f( )f(z) = f ( ) 1 f( ) 2 γ 0 (E) f ( ) 1 f( ) 2 f ( ). Αν f( ) = 1, τότε η f έχει σημείο μεγίστου στο, οπότε είναι σταθερή κοντά στο και άρα f ( ) = 0. Επομένως, πάλι ισχύει γ 0 (E) f ( ). Επειδή η γ 0 (E) f ( ) ισχύει για κάθε f στον H (Ω) με f 1, έχουμε γ 0 (E) γ(e). Από τις γ 0 (E) γ(e) και γ 0 (E) γ(e) συνεπάγεται η γ 0 (E) = γ(e). Η απόδειξη για την α(e) είναι ταυτόσημη. ΠΡΟΤΑΣΗ 3.3. Πάντοτε υπάρχει μεγιστοποιούσα συνάρτηση για την γ(e). 5
7 Απόδειξη. Υπάρχει ακολουθία συναρτήσεων (f n ) στον H (Ω) ώστε να είναι f n 1 για κάθε n και f n ( ) γ(e). Από το θεώρημα του Montel συνεπάγεται ότι υπάρχει υποακολουθία (f nk ) η οποία συγκλίνει σε κάποια f ομοιόμορφα στα συμπαγή υποσύνολα του Ω. Τότε η f ανήκει κι αυτή στον H (Ω) και ισχύει f 1 και f nk ( ) f ( ). Άρα f ( ) = γ(e) και, επομένως, η f είναι μεγιστοποιούσα συνάρτηση για την γ(e). Σχόλιο. Άρα έχουμε για κάθε συμπαγές E C. α(e) γ(e) < + Σχόλιο. Αν γ(e) > 0, τότε παρατηρώντας προσεκτικά την απόδειξη της πρότασης 3.2, συμπεραίνουμε ότι για οποιαδήποτε μεγιστοποιούσα συνάρτηση f για την γ(e) ισχύει f( ) = 0. Σχόλιο. Το πρόβλημα της μοναδικότητας της μεγιστοποιούσας συνάρτησης για την γ(e) έχει θετική λύση. Στην επόμενη ενότητα θα το δούμε σε μια ειδική περίπτωση συνόλων E. Ίσως δούμε και την γενική περίπτωση. Σχόλιο. Θα δούμε στην επόμενη ενότητα ότι το αποτέλεσμα της πρότασης 3.3 δεν ισχύει για την α(e). Υπάρχουν συμπαγή E για τα οποία δεν υπάρχει μεγιστοποιούσα συνάρτηση για την α(e). Θα δούμε, επίσης, μια ειδική περίπτωση συνόλων E για τα οποία ισχύει η ύπαρξη (και η μοναδικότητα) μεγιστοποιούσας συνάρτησης για την α(e). 4 Η σχέση με το Θεώρημα Σύμμορφης Απεικόνισης του Riemann. Σ αυτήν την ενότητα θα δούμε, επιτέλους, κάποια παραδείγματα υπολογισμού της αναλυτικής και της συνεχούς αναλυτικής χωρητικότητας συνόλων. Παράδειγμα 4.1. Έστω μονοσύνολο E = {a}. Αν μια f είναι αναλυτική και φραγμένη στο Ω = Ĉ\{a}, τότε, επειδή η f είναι φραγμένη κοντά στο a, συνεπάγεται ότι η f ορίζεται και στο a και είναι αναλυτική και στο a. Άρα η f είναι αναλυτική στο Ĉ και, σύμφωνα με το θεώρημα του Liouville, είναι σταθερή. Άρα ο H (Ω) αποτελείται μόνο από σταθερές συναρτήσεις και από την εύκολη κατεύθυνση της πρότασης 3.1 έχουμε ότι γ(e) = 0. Προφανώς, α(e) = 0, επίσης. ΠΡΟΤΑΣΗ 4.1. Η γ(e) εξαρτάται μόνον από την συνεκτική συνιστώσα του Ω στην οποία ανήκει το. Δηλαδή, αν Ω είναι η συνεκτική συνιστώσα του Ω η οποία περιέχει το και το συμπαγές Ẽ = Ĉ\ Ω είναι η ένωση του E με τις συνεκτικές συνιστώσες του Ω οι οποίες είναι διαφορετικές από την Ω, τότε γ(e) = γ(ẽ). Δείτε το σχήμα 3. 6
8 Απόδειξη. Επειδή Ω Ω, έχουμε E Ẽ και άρα γ(e) γ(ẽ). Τώρα έστω τυχούσα f στον H ( Ω) με f 1. Ορίζουμε συνάρτηση g στο Ω με τύπο { f, στο g = Ω 0, σε κάθε άλλη συνεκτική συνιστώσα του Ω και τότε, επειδή κάθε συνεκτική συνιστώσα του Ω είναι ανοικτό σύνολο, η g είναι αναλυτική στο Ω. Προφανώς, ισχύει g 1 και άρα g ( ) γ(e). Τέλος, επειδή οι g, f ταυτίζονται κοντά στο, έχουμε g ( ) = f ( ). Άρα f ( ) γ(e). Επειδή αυτό ισχύει για κάθε f στον H ( Ω) με f 1, συνεπάγεται γ(ẽ) γ(e). Από τις γ(e) γ(ẽ) και γ(ẽ) γ(e) συνεπάγεται γ(e) = γ(ẽ). Σχόλιο. Όπως θα δούμε στο παράδειγμα που ακολουθεί, δεν ισχύει το ίδιο αποτέλεσμα για την α(e). Παράδειγμα 4.2. Έστω E = C(0; 1), η μοναδιαία περιφέρεια με κέντρο 0. Το Ω αποτελείται από δύο συνεκτικές συνιστώσες: τον δίσκο D(0; 1) = {z z < 1} και το {z z > 1} { }. Επομένως, Ω = {z z > 1} { } και Ẽ = D(0; 1) = {z z 1}. Η συνάρτηση 1 z είναι αναλυτική και φραγμένη στο Ω και δεν είναι σταθερή. Άρα ο H ( Ω) περιέχει και μη-σταθερές συναρτήσεις, οπότε από τις προτάσεις 3.1 και 4.1 συνεπάγεται γ(e) = γ(ẽ) > 0. Η ίδια συνάρτηση 1 z είναι αναλυτική και φραγμένη στο Ω, συνεχής στο Ω = {z z 1} { } και δεν είναι σταθερή. Άρα ο A( Ω) περιέχει και μη-σταθερές συναρτήσεις, οπότε από την πρόταση 3.1 συνεπάγεται α(ẽ) > 0. Τώρα, έστω τυχούσα f αναλυτική στο Ω και συνεχής στο Ω = Ω C(0; 1) = Ĉ. Μια απλή εφαρμογή του θεωρήματος του Morera αποδεικνύει ότι η f είναι αναλυτική και στα σημεία του C(0; 1), οπότε η f είναι αναλυτική στο Ĉ. Επομένως, η f είναι σταθερή. Δείτε το σχήμα 4. 7
9 Αποδείξαμε ότι ο A(Ω) αποτελείται μόνο από σταθερές συναρτήσεις και από την πρόταση 3.1 έχουμε ότι α(e) = 0. Σχόλιο. Σε λίγο θα υπολογίσουμε ακριβώς τις τιμές των γ(e) = γ(ẽ) και α(ẽ) του παραδείγματος 4.2. Λόγω της πρότασης 4.1, όταν μελετάμε την γ(e) μπορούμε να υποθέτουμε ότι το Ω είναι συνεκτικό. ΘΕΩΡΗΜΑ 4.1. Έστω ότι το συμπαγές E είναι συνεκτικό και όχι μονοσύνολο (δηλαδή το E είναι continuum). Υποθέτουμε, επίσης ότι το Ω είναι συνεκτικό και, επομένως, απλά συνεκτικό. Έστω g η (μοναδική) σύμμορφη απεικόνιση του Ω επί του D(0; 1) με g( ) = 0 και g ( ) > 0. Τότε γ(e) = g ( ). Επειδή η g ανήκει στον H (Ω) και g 1, η g είναι μεγιστοποιούσα συνάρτηση για την γ(e). Επιπλέον, έχουμε και την μοναδικότητα της μεγιστοποιούσας συνάρτησης g με την εξής έννοια: αν η f είναι οποιαδήποτε μεγιστοποιούσα συνάρτηση στον H (Ω) για την γ(e), τότε υπάρχει αριθμός λ με λ = 1 ώστε να είναι f = λg στο Ω. Αν, επιπλέον, το σύνορο του E ή, ισοδύναμα, το σύνορο του Ω είναι μια καμπύλη Jordan, τότε έχουμε και α(e) = g ( ) και η ίδια g είναι μεγιστοποιούσα συνάρτηση για την α(e). Απόδειξη. Επειδή g H (Ω) και g 1, συνεπάγεται g ( ) γ(e). Τώρα έστω τυχούσα f H (Ω) με f 1 και f( ) = 0. Δείτε το σχήμα 5. Αν ισχύει f(z) < 1 για κάθε z Ω, τότε η συνάρτηση h = f g 1 : D(0; 1) D(0; 1) είναι αναλυτική στον D(0; 1) και ισχύει h(0) = 0. Από το Λήμμα του Schwarz συνεπάγεται h (0) 1, οπότε f ( ) g ( ) 1. Άρα f ( ) g ( ). 8
10 Αν ισχύει f(z 0 ) = 1 για κάποιο z 0 Ω, τότε από την Αρχή Μεγίστου συνεπάγεται ότι η f είναι σταθερή στο συνεκτικό Ω και, επειδή, f( ) = 0 έχουμε f(z 0 ) = 0 το οποίο είναι άτοπο. Επειδή η f ( ) g ( ) ισχύει για κάθε f H (Ω) με f 1 και f( ) = 0, συνεπάγεται ότι γ(e) g ( ). Από τις g ( ) γ(e) και γ(e) g ( ) συνεπάγεται γ(e) = g ( ). Έστω, τώρα, τυχούσα μεγιστοποιούσα συνάρτηση f στον H (Ω) για την γ(e). Από το δεύτερο σχόλιο μετά από την πρόταση 3.3 έχουμε ότι f( ) = 0. Ακριβώς όπως πριν, αποκλείουμε την περίπτωση να ισχύει f(z 0 ) = 1 για κάποιο z 0 Ω. Άρα ισχύει f(z) < 1 για κάθε z Ω, οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε και πάλι την ίδια συνάρτηση h = f g 1 : D(0; 1) D(0; 1) όπως πριν. Επειδή f ( ) = γ(e) = g ( ) συνεπάγεται ότι h (0) = f ( ) g ( ) = 1. Τώρα, πάλι από το Λήμμα του Schwarz έχουμε ότι υπάρχει αριθμός λ με λ = 1 ώστε να είναι f = λg στο Ω. Τέλος, έστω ότι το σύνορο του Ω είναι καμπύλη Jordan. Τότε, όπως είναι γνωστό, η σύμμορφη απεικόνιση g του Ω επί του D(0; 1) επεκτείνεται συνεχώς στο Ω και άρα η g ανήκει στον A(Ω) (με g 1). Άρα γ(e) = g ( ) α(e) οπότε α(e) = g ( ). Παράδειγμα 4.3. Έστω E = D(0; 1) = {z z 1} και Ω = {z z > 1} { }. Η συνάρτηση g(z) = 1 z είναι η σύμμορφη απεικόνιση του Ω επί του D(0; 1) με g( ) = 0 και g ( ) = lim z zg(z) = 1 > 0. Άρα γ(d(0; 1)) = α(d(0; 1)) = 1. Εφαρμόζοντας την πρόταση 2.1[γ], βρίσκουμε για κάθε κλειστό δίσκο ότι γ(d(z 0 ; r)) = α(d(z 0 ; r)) = r. Συνδυάζοντας με το παράδειγμα 4.2, έχουμε και για κάθε περιφέρεια ότι (και α(c(z 0 ; r)) = 0). γ(c(z 0 ; r)) = r Παράδειγμα 4.4. Έστω E = [ 1, 1] και Ω = Ĉ \ [ 1, 1]. Δείτε το σχήμα 6. Η συνάρτηση με τύπο h(w) = 1 2 (w + 1 w ) είναι η σύμμορφη απεικόνιση του D(0; 1) επί του Ω με h(0) =. Άρα η αντίστροφη συνάρτηση g = h 1 είναι η σύμμορφη απεικόνιση του Ω επί του D(0; 1) με g( ) = 0 και g ( ) = lim zg(z) = lim h(w)w = 1 z w
11 Άρα γ([ 1, 1]) = 1 2. Εφαρμόζοντας την πρόταση 2.1[γ], έχουμε για κάθε ευθύγραμμο τμήμα [a, b] μήκους l = a b ότι Από την άλλη μεριά, μπορούμε να δούμε ότι γ([a, b]) = l 4. α([a, b]) = 0. Πράγματι, έστω τυχούσα f αναλυτική στο Ω = Ĉ\[a, b] και συνεχής στο Ω = Ω [a, b] = Ĉ. Από το θεώρημα του Morera συνεπάγεται ότι η f είναι αναλυτική και στα σημεία του [a, b], οπότε η f είναι αναλυτική στο Ĉ. Άρα η f είναι σταθερή. Επομένως, ο A(Ω) αποτελείται μόνο από σταθερές συναρτήσεις και από την πρόταση 3.1 έχουμε ότι α([a, b]) = 0. Σχόλιο. Σε όσα παραδείγματα είδαμε μέχρι τώρα στα οποία είναι α(e) < γ(e) (δηλαδή, όταν το E είναι κύκλος ή ευθύγραμμο τμήμα) ισχύει α(e) = 0. Τώρα θα δούμε παράδειγμα με 0 < α(e) < γ(e). Παράδειγμα 4.5. Παίρνουμε E 1 = D(0; 1) και E = D(0; 1) [1, a] με a > 1. Δηλαδή στον μοναδιαίο δίσκο επισυνάπτουμε ένα ευθ. τμήμα θετικού μήκους. Επειδή E 1 E, έχουμε 1 = γ(e 1 ) γ(e). Τα E, E 1 είναι συνεκτικά και τα συμπληρώματα Ω = Ĉ \ E και Ω 1 = Ĉ \ E 1 είναι, επίσης, συνεκτικά. Θεωρούμε τις σύμμορφες απεικονίσεις των Ω, Ω 1 επί του D(0; 1) g : Ω D(0; 1), g 1 : Ω 1 D(0; 1) με g( ) = g 1 ( ) = 0 και g ( ) > 0, g 1 ( ) > 0. Δείτε το σχήμα 7. Από το θεώρημα 4.1 συνεπάγεται Τώρα έστω g 1 ( ) = g ( ). g ( ) = γ(e), g 1 ( ) = γ(e 1 ). 10
12 Θεωρούμε την h = g 1 g 1 : D(0, 1) D(0; 1), η οποία είναι αναλυτική στο D(0; 1) με h(0) = 0. Τότε h (0) = g 1 ( ) g ( ) = 1, οπότε από το Λήμμα του Schwarz συνεπάγεται ότι h(w) = w για κάθε w D(0; 1). Άρα g 1 (g 1 (w)) = w για κάθε w D(0; 1) και άρα g 1 (w) = g 1 1 (w) για κάθε w D(0; 1). Δηλαδή οι g 1, g 1 1 ταυτίζονται στο D(0; 1) και καταλήγουμε σε άτοπο. Άρα g 1 ( ) g ( ), δηλαδή γ(e 1 ) γ(e), οπότε 1 = γ(e 1 ) < γ(e). Τώρα, έστω οποιαδήποτε f A(Ω) με f 1. Δείτε το σχήμα 8. Η f είναι αναλυτική στο Ω και συνεχής στα σημεία του (0, a] το οποίο περιέχεται στο Ω. Άρα, βάσει του θεωρήματος του Morera, η f είναι αναλυτική στο Ω 1, οπότε f A(Ω 1 ). Συνεπάγεται f ( ) α(e 1 ) και άρα α(e) α(e 1 ). Όμως, επειδή E 1 E, έχουμε Συμπεραίνουμε ότι 0 < α(e) < γ(e). α(e) = α(e 1 ) = 1. Σχόλιο. Στο παράδειγμα αυτό μπορούμε να βρούμε τη σύμμορφη απεικόνιση g : Ω D(0; 1) και να δούμε ότι γ(e) = a+1 2 > 1. Τώρα θα δούμε παράδειγμα συνόλου E τέτοιο ώστε να μην υπάρχει μεγιστοποιούσα συνάρτηση για την α(e). Παράδειγμα 4.6. Δείτε το σχήμα 9. Θεωρούμε το σύνολο E = {(x, y) (x 2 + y 2 ) 2 x 2 y 2 } = {(r, θ) r 2 cos 2θ}. Το E είναι λημνίσκος και αποτελείται από δύο μέρη: το ένα είναι στο τεταρτημόριο y x και το άλλο στο τεταρτημόριο y x. Τα δύο μέρη έχουν κοινό το σημείο 0 = (0, 0). Το E είναι συνεκτικό και το συμπλήρωμα Ω = Ĉ \ E είναι, επίσης, συνεκτικό. Θεωρούμε την σύμμορφη απεικόνιση g : Ω D(0; 1) 11
13 του Ω επί του D(0; 1) με g( ) = 0 και g ( ) > 0, οπότε από το θεώρημα 4.1 έχουμε γ(e) = g ( ). Είναι σαφές ότι το Ω είναι συμμετρικό ως προς το 0, δηλαδή ότι z Ω για κάθε z Ω. Επομένως, αν θεωρήσουμε την g 1 : Ω D(0; 1) με τύπο g 1 (z) = g( z), τότε η g 1 είναι σύμμορφη απεικόνιση του Ω επί του D(0; 1) με g 1 ( ) = 0 και g 1 ( ) > 0. Άρα η g 1 ταυτίζεται με την g, οπότε έχουμε g( z) = g(z) για z Ω. Το σύνορο Ω αποτελείται από μια λεία κλειστή καμπύλη η οποία αυτοτέμνεται στο σημείο 0. Άρα η g επεκτείνεται συνεχώς στα σημεία του Ω εκτός ίσως στο σημείο 0. Μάλιστα, οι συνοριακές τιμές της g έχουν μέτρο 1. Επίσης, αν το z προσεγγίζει το 0 από το μέρος του Ω που βρίσκεται στο άνω ημιεπίπεδο, τότε υπάρχει το όριο η του g(z) και η = 1. Τώρα, αν το z προσεγγίζει το 0 από το μέρος του Ω που βρίσκεται στο κάτω ημιεπίπεδο, τότε υπάρχει το όριο ζ του g(z) και, επειδή η g είναι περιττή, έχουμε ότι ζ = η. Δηλαδή, lim g(z) = η, lim z 0,z Ω,Re z>0 g(z) = η. z 0,z Ω,Re z<0 (Αν κάποιος εκμεταλλευτεί τις συμμετρίες του Ω, όπως κάναμε πριν με τη συμμετρία ως προς το 0, μπορεί εύκολα να δει ότι η = i.) Τώρα θεωρούμε παράμετρο a με 1 < a < 1 και τις συναρτήσεις f a (z) = g(z) g(z) aη 1 aηg(z) για z Ω. Κάθε f a είναι αναλυτική στο Ω και f a : Ω D(0; 1) με f a ( ) = 0 και f a ( ) = lim zf g(z) aη a(z) = lim zg(z) z z 1 aηg(z) = aηg ( ) = aηγ(e). Η f a επεκτείνεται συνεχώς στα σημεία του Ω εκτός ίσως στο σημείο 0. Όμως lim f a(z) = η η aη z 0,z Ω,Re z>0 1 aηη = η2, lim f η aη a(z) = η z 0,z Ω,Re z<0 1 + aηη = η2. Άρα η f a επεκτείνεται συνεχώς και στο σημείο 0 του Ω, οπότε f a f a ( ) α(e). Δηλαδή a γ(e) α(e). Παίρνοντας a 1 και με δεδομένο ότι α(e) γ(e), βρίσκουμε A(Ω) και, επομένως, α(e) = γ(e). Ας υποθέσουμε τώρα ότι υπάρχει μεγιστοποιούσα συνάρτηση f για την α(e). Επειδή α(e) = γ(e), η f είναι μεγιστοποιούσα συνάρτηση και για την γ(e) και άρα η f είναι σταθερό πολλαπλάσιο της g: f = λg στο Ω με λ = 1. Όμως, η f επεκτείνεται συνεχώς στο Ω ενώ η g δεν επεκτείνεται συνεχώς στο Ω και καταλήγουμε σε άτοπο. Άρα δεν υπάρχει μεγιστοποιούσα συνάρτηση για την α(e). 12
v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i.
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Α 0 Ιουλίου, 0 Θέμα. (αʹ) Να βρεθεί η τιμή του a R για την οποία η συνάρτηση u(x, y) ax 3 y +4xy
Διαβάστε περισσότεραΜιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης
Μιχάλης Παπαδημητράκης Μιγαδική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα Οι μιγαδικοί αριθμοί.. Οι μιγαδικοί αριθμοί..................................2 Το Ĉ, η στερεογραφική προβολή και
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Ας θυμηθούμε από την περασμένη φορά ότι ένα σύνολο M σε έναν μετρικό χώρο (X, d είναι συμπαγές όταν: αν έχουμε οποιαδήποτε ανοικτά σύνολα που καλύπτουν
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 12-12-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Ας δούμε ένα παράδειγμα υπολογισμού ορίου με χρήση της συνέχειας της σύνθεσης συνεχών συναρτήσεων. Παράδειγμα. Θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 5-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα μιλήσουμε για την έννοια της περιοχής, η οποία έχει κεντρικό ρόλο στη μελέτη της έννοιας του ορίου (ακολουθίας και συνάρτησης). Αν > 0, ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα
Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για
Διαβάστε περισσότερα4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.
8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, 6-12-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα δούμε την απόδειξη του Θεωρήματος που διατυπώσαμε στο τέλος του προηγούμενου μαθήματος. Απόδειξη. [α] Θεωρούμε συνάρτηση f : A R και
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΟΓΔΟΟ ΜΑΘΗΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ. Έστω μετρικός χώρος (X, d) και A X. Ονομάζουμε εσωτερικό του A το σύνολο Ονομάζουμε σύνορο του A το σύνολο A = {x x εσωτερικό του A}. A = {x
Διαβάστε περισσότεραTo Je rhma tou Mergelyan
Diplwmatik ErgasÐa To Je rhma tou Mergelyan gia omoiìmorfh sôgklish poluwnômwn se sumpag uposônola tou migadikoô epipèdou. Ν. Παττακός Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Άνοιξη 008 Την Επιτροπή Εξέτασης
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΕΙΚΟΣΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω μια δυναμοσειρά a (x ξ) = a 0 + a (x ξ) + a 2 (x ξ) 2 + με ακτίνα σύγκλισης R και με ρ = lim a. Αν x = ξ, η δυναμοσειρά συγκλίνει και έχει άθροισμα
Διαβάστε περισσότεραΤο φασματικό Θεώρημα
Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή
Διαβάστε περισσότεραu x = 2uu y u y = 0 ϕ x = x t h (t), ϕ xx = x2 t 3 h (t) και ϕ y = y t h (t), ϕ yy = y2 t 3 h (t). t 2 h (t) + x2
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Β 9 Ιουνίου, 07 Θ. αʹ) Αν το G είναι ένας τόπος, δηλαδή ένα ανοικτό και συνεκτικό σύνολο στο
Διαβάστε περισσότερα6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι
36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται
Διαβάστε περισσότεραΜιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση
Μιχάλης Παπαδημητράκης Μιγαδική Ανάλυση Περιεχόμενα Οι μιγαδικοί αριθμοί.. Οι μιγαδικοί αριθμοί..................................2 Το Ĉ, η στερεογραφική προβολή και η σφαίρα του Riemann............ 0
Διαβάστε περισσότεραR ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος
73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b
Διαβάστε περισσότεραΣυνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.
4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )
Διαβάστε περισσότεραΜιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης
Μιχάλης Παπαδημητράκης Αρμονική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα 1 Το ολοκλήρωμα Lebesgue. 1 1.1 Σύνολα μηδενικού μέτρου..................................... 1 1.2 Η συλλογή C
Διαβάστε περισσότερα3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.
7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ Άσκηση 11.1.2. (i) Είναι η συνάρτηση d : R R R με τύπο d(x, y) = (x y) 2 μετρική στο R; (ii) Ίδια ερώτηση για την d : R R R με τύπο d(x, y) = x y
Διαβάστε περισσότεραf(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).
Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:
Διαβάστε περισσότεραΚ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ
8 5 Το θεώρημα Kre-Mlm Βασικές ιδιότητες συμπαγών και κυρτών συνόλων. Ορισμός 5. Έστω X διανυσματικός χώρος και Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ λέγεται ακραίο ( extreme ) σημείο του Κ, αν δεν είναι γνήσιος
Διαβάστε περισσότερα4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη
94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος
Διαβάστε περισσότεραI = 1. cos z. dz = = 1 z 2 cos z + 2z sin z + 2 cos z 2. z(z π) 3 dz. f(re iθ. f(z)
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση. Χρησιμοποιώντας τους ολοκληρωτικούς τύπους Cauchy υπολογίστε το ολοκλήρωμα I = πi z(z π) 3 dz,
Διαβάστε περισσότεραi=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),
Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο
Διαβάστε περισσότεραΣυνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.
4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (
Διαβάστε περισσότεραΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ»
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ σε ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» Εφαρμογές
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΗΜΜΑ. Έστω μετρικός χώρος (X, d) και x, y X με x y. Τότε υπάρχει μια περιοχή του x και μια περιοχή του y (και, μάλιστα, ίδιας ακτίνας) οι οποίες είναι
Διαβάστε περισσότερα4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη
94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΕΚΑΤΟ ΤΡΙΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Χρησιμοποιούμε τα σύμβολα f και f() d για να συμβολίσουμε όλα μαζί τα αόριστα ολοκληρώματα της f σε ένα διάστημα I. Δηλαδή, γράφουμε f = f + c ή f() d =
Διαβάστε περισσότερα(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ) 6 Νοεμβρίου 07 Αναλυτικές συναρτήσεις Άσκηση (i) Δείξτε ότι η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου εάν και μόνο εάν η if(z) είναι αναλυτική
Διαβάστε περισσότεραΤο φασματικό Θεώρημα
Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή
Διαβάστε περισσότεραB = F i. (X \ F i ) = i I
Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι
Διαβάστε περισσότεραΜιχάλης Παπαδημητράκης. Πραγματική Ανάλυση. Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο R. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης
Μιχάλης Παπαδημητράκης Πραγματική Ανάλυση Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο R Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα Το μέτρο Lebesgue.. Μήκη διαστημάτων..................................2
Διαβάστε περισσότεραΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014
ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε
Διαβάστε περισσότεραf(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)
Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων
Διαβάστε περισσότερα5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους
121 5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους Στο κεφάλαιο αυτό πρόκειται να μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, πέραν των μετρικών χώρων. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ( πρβλ.
Διαβάστε περισσότερα2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.
2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω ( X, ) και (, ) X Y {( x, ) : x X και Y} Y χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΕΚΔΟΣΗ 12 ΜΑΡΤΙΟΥ 2018
ΝΙΚΟΛΑΟΣ M. ΣΤΑΥΡΑΚΑΚΗΣ: «Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις & Μιγαδικές Συναρτήσεις: Θεωρία και Εφαρμογές» η Έκδοση, Αυτοέκδοση) Αθήνα, ΜΑΡΤΙΟΣ 06, Εξώφυλλο: ΜΑΛΑΚΟ, ΕΥΔΟΞΟΣ: 5084750, ISBN: 978-960-93-7366-
Διαβάστε περισσότερα1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον
Χώροι πηλίκα Έστω διανυσματικός χώρος και Y διανυσματικός υπόχωρος του. Για κάθε θεωρούμε το σύμπλοκο σχετικά με τον Y, = + y y Y = + Y ορ { : } δηλαδή το είναι η παράλληλη μεταφορά του Y κατά το διάνυσμα.
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΚΑΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΚΑΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 8-11-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Το Θεώρημα των Bolzano και Weierstrass συμπληρώνεται με την εξής Πρόταση (.16 του βιβλίου). ΠΡΟΤΑΣΗ. [α] Κάθε όχι άνω φραγμένη ακολουθία έχει
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα I. Λέμε ότι η F είναι αντιπαράγωγος της f στο I αν ισχύει F = f στο I. ΠΡΟΤΑΣΗ. Αν η F είναι αντιπαράγωγος της f στο
Διαβάστε περισσότεραπ B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση.
3 Παράρτημα 2 Παρατηρήσεις, ασκήσεις και Διορθώσεις Παράγραφος ) Σελίδα, : Παρατηρούμε τα ακόλουθα για το χώρο πηλίκο / Y : Y = / Y και (α) { } (β) = Y / Y { } Επίσης από τον τύπο () έπεται ιδιαίτερα ότι
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτησιακή Ανάλυση, εαρινό εξάμηνο Έκτο φυλλάδιο ασκήσεων. Παραδώστε τις ασκήσεις 1, 3, 4, 8 και 10 μέχρι το μάθημα της Παρασκευής 24/3.
Συναρτησιακή Ανάλυση, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Έκτο φυλλάδιο ασκήσεων. Παραδώστε τις ασκήσεις 1, 3, 4, 8 και 10 μέχρι το μάθημα της Παρασκευής 24/3. 1. Αν ο X είναι χώρος Bnch, αποδείξτε ότι ο X είναι αυτοπαθής
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)].
3 Ασκήσεις ) Έστω διανυσματικός χώρος, C κυρτό και C. (α) Αποδείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (ι) e( C) = +,(ιι), = = και (ιιι) Το σύνολο C \{ } είναι κυρτό. (β) Επίσης αποδείξτε ότι αν e( C) και
Διαβάστε περισσότεραΑς ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα
33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο
Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,
Διαβάστε περισσότερα8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι
94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό ) είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΤΟ ΔΡΟΜΙΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΤΡΙΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΚΟΣΤΟ ΤΡΙΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 28--3 Μ. Παπαδημητράκης. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ. Αν η σειρά + = x συγκλίνει απολύτως, τότε συγκλίνει και + x x. = = Δεν θα παρουσιάσω την απόδειξη. Διαβάστε την στο βιβλίο.
Διαβάστε περισσότεραΕλλειπτικές Καµπύλες υπέρ του σώµατος C
Ελλειπτικές Καµπύλες υπέρ του σώµατος C Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 11 Νοεµβρίου 2014, 1/18 ιακριτές υποοµάδες του C Ορισµός Εστω ω 1, ω 2 δύο µιγαδικοί αριθµοί µε Im(ω
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 17-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Την προηγούμενη φορά αναφέραμε (και αποδείξαμε στην περίπτωση n = 2) το θεώρημα που λέει ότι, αν n N, n 2, τότε για κάθε y 0 υπάρχει μοναδική μηαρνητική
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος
Διαβάστε περισσότεραf I X i I f i X, για κάθεi I.
47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Συνεχίζουμε την λύση της άσκησης 6.3.. Μέχρι τώρα έχουμε αποδείξει ότι για κάθε διαμέριση του [, b] υπάρχει μια αντίστοιχη διαμέριση του [, B] ώστε να ισχύουν
Διαβάστε περισσότερα= lim. (P QP ) n x, x. E(Ex) = lim. (P QP ) m P x = Ex, EP x = lim
Άσκηση: Η προβολή στην τομή δύο υποχώρων Αν P, Q είναι δύο ορθές προβολές σε έναν χώρο Hilbert H και R = P Q είναι η προβολή στην τομή im P im Q, δείξτε ότι, για κάθε x H, Rx = lim (P QP ) x = lim (P Q)
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας
Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι ικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 207 Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Επισκόπηση γνωστών εννοιών. -8. Σειρές πραγµατικών αριθµών..2 Σειρές συναρτήσεων..3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα. Κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΕΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: Ν : = + + + Ν : = + + + Ν : = ma 3 για κάθε = ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε = ( ) ισχύει: Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν (
Διαβάστε περισσότεραj=1 x n (i) x s (i) < ε.
Κεφάλαιο 5 Πληρότητα 5.1 Πλήρεις μετρικοί χώροι Ορισμός 5.1.1 (πλήρης μετρικός χώρος). Ενας μετρικός χώρος (X, ρ) λέγεται πλήρης (complete) αν κάθε ρ βασική ακολουθία (x n ) στον X είναι ρ συγκλίνουσα.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΤΗ ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Τύπος de Moivre Έστω ένας µιγαδικός αριθµός: Τότε. Ν-οστή ρίζα µιγαδικού
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΤΗ ΜΙΓΑ ΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Τύπος de Moivre Έστω ένας µιγαδικός αριθµός: z r(cosϑ + isi ϑ) Τότε z r (cos ϑ + isi ϑ ) Ν-οστή ρίζα µιγαδικού / ϑ + π ϑ+ π z r cos + isi όπου 0,,,, Συνθήκες
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. ιατεταγµένοι χώροι. 1.1 Κώνοι και διάταξη
Κεφάλαιο 1 ιατεταγµένοι χώροι 1.1 Κώνοι και διάταξη Εστω E γραµµικός χώρος. Ενα κυρτό, µη κενό υποσύνολο P του E είναι κώνος αν λ P για κάθε λ R +. Αν επιπλέον ισχύει P ( P) = {0} το P είναι οξύς κώνος
Διαβάστε περισσότεραΌταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος).
4 Τοπολογικοί χώροι. Στοιχειώδεις έννοιες της τοπολογίας Στην παράγραφο αυτή εισάγουμε τις βασικές έννοιες της τοπολογίας, δηλαδή αυτές του ανοικτού και κλειστού συνόλου, της κλειστότητας και του εσωτερικού
Διαβάστε περισσότεραa n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο
Διαβάστε περισσότεραn = r J n,r J n,s = J
Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2 ΣΕ 37 ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 ΣΕ 37 ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μ. Παπαδημητράκης. ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω [, b] ένα κλειστό διάστημα με < b. Διαμέριση του [, b] είναι ένα οποιοδήποτε πεπερασμένο υποσύνολο του [, b] το οποίο περιέχει τουλάχιστον
Διαβάστε περισσότερα8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι
94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΕΙΚΟΣΤΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ Άσκηση 0... Θεωρήστε τη σειρά συναρτήσεων sin( ). Αποδείξτε ότι η σειρά συγκλίνει σε κάποια συνάρτηση s κατά σημείο στο R και ομοιόμορφα στο [ a, a]
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων.
Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. 1. Ποιά από τα παρακάτω σύνολα είναι συμπαγή; Μία κλειστή μπάλα, μία ανοικτή μπάλα, ένα ανοικτό ορθ. παραλληλεπίπεδο, ένα ευθ. τμήμα (στον R n ), μία
Διαβάστε περισσότερα= 1. z n 1 = z z n = 1. f(z) = x 0. (0, 0) = lim
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση 1. Να λυθεί η εξίσωση: 4 1 + 3i. Λύση. Επειδή 1 + 3i e πi/3, οι λύσεις της εξίσωσης 4 1 + 3i
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )
Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά
Διαβάστε περισσότερα~ 1 ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
~ ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Μια συνάρτηση f ( ) u( x, y) iv( x, y ) έχει παράγωγο σε ένα σημείο x iy αν ικανοποιούνται
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΗΜΑ. Αν η f είναι συνεχής στο [, b], τότε είναι ομοιόμορφα συνεχής στο [, b]. Απόδειξη. Έστω ότι η f δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής στο [, b]. Τότε υπάρχει κάποιο
Διαβάστε περισσότεραΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΜΜΟΡΦΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Διπλωματική εργασία της Κουγιούρη
Διαβάστε περισσότεραΔώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας
Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΔΕΚΑΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Τώρα θα μας απασχολήσουν τρία ερωτήματα σε σχέση με την κατά σημείο σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων. Και για τα τρία ερωτήματα θα υποθέσουμε ότι f f στο
Διαβάστε περισσότεραΣυντελεστές και σειρές Fourier
Κεφάλαιο 3 Συντελεστές και σειρές Fourier Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund 22, Katznelson 24 και Stein and Shakarchi 211. 3.1 Συντελεστές Fourier μιας ολοκληρώσιμης
Διαβάστε περισσότερααβ (, ) τέτοιος ώστε f(x
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.
Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές
Διαβάστε περισσότεραι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.
6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται
Διαβάστε περισσότεραΚυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα
Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για
Διαβάστε περισσότερα6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).
6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε
Διαβάστε περισσότεραΌριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης Αγνοώ το πώς με βλέπει ο κόσμος αλλά στον εαυτό μου, φαίνομαι σαν να μην ήμουν τίποτα άλλο από ένα αγοράκι που παίζει στην ακρογιαλιά και κατά καιρούς
Διαβάστε περισσότεραΗ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας
Διαβάστε περισσότερα(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac
Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
[] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ β) Ας είναι ux (, ) = x+ cos( π ) και vx (, ) = cos( π x) το πραγματικό και το φανταστικό μέρος
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΛογισμός 4 Ενότητα 15
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 15: Αρμονικές συναρτήσεις. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΗΣΗΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 03, 12 Φεβρουαρίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Επαναληπτικές μέθοδοι - Γενική θεωρία 2. Η μέθοδος του Newton
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ, 10-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα δούμε την συμμετρική ιδιότητα της Ιδιότητας Supremum. Η ΙΔΙΟΤΗΤΑ INFIMUM. Κάθε μη-κενό και κάτω φραγμένο σύνολο έχει μέγιστο κάτω φράγμα.
Διαβάστε περισσότεραΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΠαναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής
Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότερα