ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. v. Σε αυτή την περίπτωση το lim v

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. v. Σε αυτή την περίπτωση το lim v"

Κανδάκη Αλεξιάδης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Η ακολουθία { α ν } λέγεται αθροίσιμη αν η ακολουθία {S ν } συγκλίνει, όπου S Σε αυτή την περίπτωση το lim S συμβολίζεται με και λέγεται το άθροισμα της ακολουθίας { α ν }. Μια σειρά συγκλίνει προς τον πραγματικό αριθμό α όταν και μονο όταν η ακολουθία {S ν } των μερικών αθροισμάτων της συγκλίνει προς τον πραγματικό αριθμό α.. Αν { α ν } και { β ν }είναι δυο αθροίσιμες ακολουθίες, τότε ισχύουν οι ιδιότητες: ( ) και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΕΙΡΑ: x - : συγκλίνει στο S =, όταν x <. - x ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΕΙΡΑ p-ταξησ : : συγκλίνει για p >. p Μια σειρά αποκλίνει όταν και μόνο όταν η η ακολουθία {S ν }δεν συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό ούτε στο άπειρο. ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ) Αν η σειρά ισχύει. συγκλίνει στο τότε είναι φραγμένη. Το αντίστροφο δεν 2) Αν η σειρά τότε συγκλίνει στο. είναι φραγμένη και έχει όλους τους όρους της θετικούς,

2 3) Αν η σειρά τότε απειρίζεται θετικά. 4) Αν η σειρά δεν είναι φραγμένη και έχει όλους τους όρους της θετικούς, συγκλίνει στο τότε η ακολουθία { α ν }είναι μηδενική. Αν η ακολουθία δεν είναι μηδενική, η σειρά δεν συγκλίνει. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ ) ο Κριτήριο σύγκρισης: Δίνονται οι σειρές, που ικανοποιούν τις ανισότητες: 0,. Τότε : Αν η σειρά β συγκλίνει στο τότε και η συγκλίνει στο. Αν η απειρίζεται, τότε και η β απειρίζεται. 2) Κριτήριο του λόγου (D Alembert) Έστω ότι η σειρά έχει όλους τους όρους της θετικούς πραγματικούς αριθμούς και lim p. Τότε: Αν p < η σειρά συγκλίνει στο. Αν p > η σειρά απειρίζεται θετικά. Αν p = δεν μπορούμε με το κριτήριο αυτό να αποφανθούμε για την σύγκλισγ ή όχι της σειράς. 2 ο Κριτήριο σύγκρισης: (οριακό κριτήριο ) Δίνονται οι σειρές, που έχουν όλους τους όρους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς., με lim. Τότε : Αν 0, τότε οι σειρές έχουν ίδια συμπεριφορά ως προς την σύγκλιση.

3 Αν κ = 0 και η σειρά β συγκλίνει στο, τότε και η. συγκλίνει στο Αν και η θετικά. β απειρίζεται θετικά τότε και η απειρίζεται Κριτήριο του Cuchy (της ρίζας) Έστω η σειρά που έχει όλους τους όρους της θετικούς πραγματικούς αριθμούς. Αν lim p, 0 p τότε: Η σειρά συγκλίνει στο αν p < Η σειρά απειρίζεται θετικά αν p> Αν p =, δεν μπορούμε με το κριτήριο αυτό να αποφανθούμε. Το κριτήριο του ολοκληρώματος: Έστω f μια συνάρτηση που είναι μη αρνητική, συνεχής και φθίνουσα στο διάστημα [, ), f ( ). Τότε η σειρά προς την σύγκλιση. και το ολοκλήρωμα f ( xdx ) έχουν την ίδια συμπεριφορά ως ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΥΣΕΣ ΣΕΙΡΕΣ Μια σειρά της οποίας οι όροι έχουν εναλλάξ πρόσημο ( α ν.α ν+ 0, λέγεται εναλλάσσουσα σειρά και έχει μια από τις επόμενες μορφές:, 0, 0 )

4 Κριτήριο του Leibiz : Έστω {α ν } μια φθίνουσα και μηδενική ακολουθία. Τότε η εναλλάσσουσα σειρά, συγκλίνει στο. ΑΠΟΛΥΤΩΣ ΣΥΓΚΛΙΝΟΥΣΕΣ ΣΕΙΡΕΣ Μια σειρά. λέγεται ότι συγκλίνει απολύτως αν η σειρά συγκλίνει στο Θεώρημα: Έστω ότι η σειρά συγκλίνει απολύτως στο, τότε η σειρά συγκλίνει στο και μάλιστα ισχύει. Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα. ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗ ΣΕΙΡΑΣ Έστω μια σειρά.αν T : μια αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση, τότε η σειρά T( ) ονομάζεται μια αναδιάταξη της. ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω μια σειρά που συγκλίνει απολύτως στον πραγματικό αριθμό Α και T( ) μια αναδιάταξη της. Τότε και η σειρά T( ) συγκλίνει στο Α. ΘΕΩΡΗΜΑ RIEMANN : Έστω μια σειρά που συγκλίνει υπο συνθήκη. Τότε, για κάθε προκαθορισμένο αριθμό β, υπάρχει μια αναδιάταξη της που συγκλίνει στο β.

5 Δηλαδή, η προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης ( α+(β+γ)) = (α+β) +γ ) δεν ισχύει σε άπειρα αθροίσματα. Παράδειγμα: Η σειρά δεν συγκλίνει ( ταλαντούται ή κυμαίνεται) γιατί η ακολουθία μερικών αθροισμάτων της είναι, 0,, 0, Βλέπουμε όμως ότι: ( ) ( ) ( )... 0 ενώ ( ) ( ) ( ) ΤΗΛΕΣΚΟΠΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ Με αυτό τον τρόπο ονομάζουμε σειρές των οποίων το άθροισμα μπορεί να βρεθεί αν μελετήσουμε την ιδιότητα τους, κάθε όρος να απλοποιείται με τον προηγούμενο η τον επόμενο. ( Η μέθοδος της διαφοράς) Πιο κλασσικό παράδειγμα : Βλέπουμε ότι :. ( ) ( ) ( ) ( )... ( ) 2 2 3

Σχετικά έγγραφα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 1. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση : 1 λέγεται ακολουθία πραγματικών αριθμών ή