ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Κυριακή 10 Μαΐου 2015 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΆΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 0 Μαΐου 05 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ A Α Αόδειξη (βλέε σχολικό σελ 35) Α Σχολικό σελίδα 97 x Α3 Για την f (x) = α έχουµε: εδίο ορισµού το A = R σύνολο τιµών το B = (0, + ) Για την g(x) = log x, µε 0 < α έχουµε: εδίο ορισµού το Α = ( 0, + ) σύνολο τιµών το Α4 α ΛΑΘΟΣ β ΛΑΘΟΣ γ ΛΑΘΟΣ δ ΣΩΣΤΟ ε ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑ Β Έχουµε f (x) = συνx Β Αφού α Β = R συνx συνx 3 συνx f f (x) f (0) Έτσι έχουµε f max =, min f= 3 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

2 Η ερίοδος της f είναι T = T = Β f (x) = 0 συνx = 0 συνx = συνx = συν 3 x = κ ± x = κ ±, κ z 3 Αφού 0 x 0 κ + κ z κ κ κ = 0 x = 7 κ = x = Αφού 0 x 0 κ 3 3 κ z κ κ 5 κ = x = κ = x = Έτσι η, 0 Cf τέµνει τον x x στα σηµεία: A,0, 7 Β,0, 5 Γ, 0 και Β3 Υολογίζουµε: 3 f = συν = = f = συν = συν = συν = = 3 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

3 ΘΕΜΑ Γ f = συν = = 0 3 f = συν = 0 = 4 ( 3 ) ( 3 ) + 0 ( ) ( 3 + ) Έτσι Κ = = = ( ) ( ) 3 3 = = Γ Έχουµε P(x) = x 3 + αx + βx + γ P ( ) = α β + γ = 4 4α β + γ = 3 () P(0) = 8 γ = 8 P() = 0 + α + β + γ = 0 α + β + γ = () () γ= 8 4α β = 4 4a β = 4 Έτσι + { α = α = () α + β = 9 α + β = 8 () + β + 8 = β =0 Γ α) Το ολυώνυµο γίνεται: f(x) = x 3 + x + 0x + 8 Με το σχήµα Horner για x = βρίσκουµε: -0 8 x= Οότε η εξίσωση f (x) = 0 γίνεται (x )(x + x 8) = 0, εοµένως x = 0 x = ή x + x 9 = 0 x = ή x = 4 Άρα οι ρίζες της εξίσωσης f (x) = 0 είναι οι 4,, β) Η γραφική αράσταση της f βρίσκεται κάτω αό τον άξονα xx, όταν f (x) < 0 Η ανίσωση f (x) < 0 αληθεύει όταν x (, 4) (,) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 3 ΑΠΟ

4 x 4 + x x + x f (x) Γ3 x+ 4 f (x) f (x) + f ( x) 8 () 3 3 Είναι f ( x) = ( x) + ( x) 0( x) + 8= x + x + 0x+ 8, f (x) + f ( x) 8= 3 3 = x + x 0x+ 8 x + x + 0x+ 8 8= x = (x ) εοµένως Πρέει f (x) 0 x 4,, και f (x) + f ( x) 8 0 (x ) 0 x x ±, εοµένως συνολικά οι εριορισµοί είναι x 4,,, η ανίσωση () γίνεται: x + 4 x f (x) f (x) + f ( x) 8 x + x 0x + 8 (x ) x (x + 4)(x )(x ) (x )(x + ) (x )(x ) (x )(x + ) x + (x ) x + x (x )(x + )(x ) (x )(x + )(x ) (x )(x + )(x ) 3(x )(x + )(x ) 0 Είναι x 0 x, x + 0 x, x 0 x x 4 + x x x 0 + Γ Η ανίσωση αληθεύει όταν x (, 4) ( 4, ) (,) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ

5 ΘΕΜΑ f () = =, µε x > 0 α) Είναι β) Πρέει x> 0 και f () > 0, οότε > 0 ( ) > 0 (αφού είναι > 0 ) + > 0 και εειδή είναι + > 0 για κάθε x> 0, τότε ( ) ( ) 0 > 0 > > > 0 > ln x > Οι ανισώσεις x > 0 και x > συναληθεύουν όταν x (, + ), εοµένως το εδίο ορισµού της συνάρτησης g είναι το (, + ) 3 x Είναι h(x) = ln + ln + ln + ln + = x x + x + 3 x+ x+ + x = ln + ln + ln + ln = x x+ x+ 3 x x+ x+ = ln + ln + ln + ln x x+ x+ Για x> 0 είναι 3 x x + 0, 0, 0, x + > > > > 0, x x+ x+ 3 x x + x + 3 οότε h(x) = ln = ln x x + x + 3 Για x> έχουµε h(x) = g(x), ln = ln( f () ) f () = = Θέτουµε = ω > 0, οότε η εξίσωση γίνεται: 3 ω = ω 3ω = 0 ω = ή ω = ω Η τιµή ω = αορρίτεται γιατί < 0, οότε ω =, = = x = e 4 Είναι 3 5 f () = = =, f () = = 4 =, τότε 4 4 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ

6 ηµθ = ( 5) ηµθ = ηµθ = ηµθ = Γνωρίζουµε ότι για κάθε θ R ισχύει ηµθ, οότε 5 5 µε x> 0 και έχουµε τις ανισώσεις: 5 () και 5 () () : 5 + 0, θέτουµε = ω, οότε τριωνύµου ω 5ω + είναι οι ω =, ω = 3 ω 5ω + 0 Οι ρίζες του ω 3 + ω 5ω Η ανίσωση ω 5ω + 0 αληθεύει όταν ω ή ω 3, οότε ή ln e ή ln e x e ή x e και αφού ρέει x> 0 τότε 3 x (0,e ] [e, + ) () : 5 0, θέτουµε = ϕ, οότε τριωνύµου ϕ 5ϕ είναι οι ϕ =, ϕ = ϕ 5ϕ 0 Οι ρίζες του Η ανίσωση ϕ ϕ ϕ + 5 ϕ 5ϕ 0 αληθεύει όταν ln e ln e x e x,e e e Οι ανισώσεις () και () συναληθεύουν όταν ϕ, οότε e 3 x,e [e,e ] ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ