ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία: Κυριακή Απριλίου ΘΕΜΑ A ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α.. Θεωρία Σχολικό Βιλίο (έκδοση ) σελίδα 9. Α.. Θεωρία Σχολικό Βιλίο (έκδοση ) σελίδα 95. Α.. α) Σωστό ) Λάθος γ) Λάθος δ) Λάθος ε) Λάθος A.. Αριθµός Με µορφή λογαρίθµου Με µορφή δύαµης log 7 log 7 log log log ln e ΘΕΜΑ Β Β.. Έχουµε f (x) = x x + = (). Επειδή όλοι οι συτελεστές είαι ακέραιοι, οι πιθαές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης f (x) =, είαι το - ή το. Το - δε είαι ρίζα, γιατί f ( ) = ( ) ( ) + =. Εώ το είαι ρίζα, γιατί f () = () () + =. Με εφαρµογή του σχήµατος Horner έχουµε: - ρ= ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5

2 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ(α) Η εξίσωση () είαι τώρα ισοδύαµη µε τη Έτσι, x = x = ή x x = µε ρίζες x= ή x= - αφού =9. (x )(x x ) =. Οι ρίζες λοιπό της εξίσωσης () είαι x= ή x= (διπλή). Β.. Επειδή το α = είαι η διπλή ρίζα τότε: π π ηµ x = ηµ x = ηµ x = κπ + ( κ Z ) ή π π x = κπ + π = κπ + ( κ Z ). Όµοια, το = είαι η άλλη ρίζα οπότε: π π π συ x = συ x = συ( π ) x = κπ + ή x = κπ ( κ Z ). Β.. Επειδή η γραφική παράσταση της f δε είαι πάω από το άξοα x x πρέπει: f (x) (x )(x x ).Το πρόσηµο της f (x) φαίεται στο παρακάτω πίακα: x - -/ + x x -x f(x) Έτσι, οι τιµές τω x R για τις οποίες η γραφική παράσταση της f δε ρίσκεται πάω από το άξοα x x είαι: x ή x=. Β.. Έχουµε f ( x) = ( x) ( x) + = x x +. Εκτελούµε τη ευκλείδεια διαίρεση, όπως φαίεται παρακάτω: -x - x +x+ x + x +x -x- - x +x + + x + x+ Το πηλίκο είαι: π (x) = x και το υπόλοιπο: υ (x) = x +. Εποµέως, f ( x) = (x + )( x ) + (x+ ). ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5

3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ(α) ΘΕΜΑ Γ Γ.. Αφού ln α,ln,ln γ διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου ισχύει: ln ln ln ln ln () = α + γ = αγ = αγ. Για τη συάρτηση f µε f (x) = α x + x + γ, x R έχουµε: = αγ = = <, αφού >. Επειδή α > και < είαι f (x) >, για κάθε πραγµατικό αριθµό x. Έτσι το πεδίο ορισµού της συάρτησης h είαι το R. Γ. α) Είαι Επειδή έχουµε ln log γ α = α = ln e =, α = e =, α = = γ. α 5 = α λ. Έχουµε 5 56 α = α λ, όπου λ ο λόγος της προόδου, τότε για = 5 α = και α =, 56 = λ λ = λ = ή λ =. α Επειδή λ = = > τότε η τιµή λ = απορρίπτεται. α Για λ = έχουµε = α λ = και γ = λ = = 6. Έτσι, λοιπό α =, = και γ = 6. εποµέως ) Για α =, =, γ = 6 είαι f (x) = x + x+ 6 και g(x) = ηµ x +. Η εξίσωση f ( συ x) = g(x) είαι ισοδύαµη µε τη συ + συ + = ηµ + Επειδή x x 6 x συ x + συx ηµ x 5 = (). ηµ x = συ x τότε από τη () έχουµε: συ x + συx + συ x 5 = συ x + συx 6 = συ x + συx = (). Θέτουµε συ x = y όπου y οπότε η () γίεται µε ρίζες y= ή y=. Η y= απορρίπτεται. y + y = Για y= έχουµε: συ x = συ x = συ x = κπ, κ Z. Όµως, x (, π] < x π < κπ π < κ. Ο κ είαι ακέραιος, οπότε κ = ή κ =. Για κ = : x = π και για κ = : x = π. Γ.. Αφού ω > τότε = π και = π. Η διαφορά είαι: ω = = π. Ο ιοστός όρος της αριθµητικής προόδου ( ) είαι: = + ( ) ω = π + ( )π = π. Το άθροισµα τω πρώτω δίεται από το τύπο S = ( + ). ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5

4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ(α) Επειδή Sv = 55π έχουµε: 55 π = (π + π) 55 π = π( + ) + = =. Η διακρίουσα είαι = ( 55) = =. + Έτσι, = = 5 ή = = 5. Επειδή ο είαι θετικός ακέραιος, τότε = 5. ΘΕΜΑ.. Για α ορίζεται η g πρέπει α ισχύει x>. Έτσι, Α g = (, + ) (είαι ln γιατί ) Για α συγκρίουµε g και ρίσκουµε το πρόσηµο της διαφοράς Είαι ln ln ln ln ln ln ln ln g = = = = =. ln ln ln ln ln Όµως < άρα ln < και >, οπότε ln >. g < g <. Είαι Εαλλακτικά λύουµε τη ln g < < ln αληθεύει, γιατί <. επί ln> g. ln < ln ln < ln ln < ln η οποία.. x x > και ln( ). ln > x x x ln Για α ορίζεται η f πρέπει Έχουµε > > ln > ln x ln > ln x > ln και x ln x ln x x ln x x. ln Από το είαι ln <, οπότε ln Α f = (,), +. ln.. Είαι f( log ) κ = = ln log κ ( ) ln( κ ) log, αφού κ = κ. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5

5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ(α) κ < <. ln Έχουµε f( log ) ( κ ) Επειδή κ > ισχύει Οπότε Τελικά ln κ >. ln κ > ln κ > ln e κ > e κ > + e. κ ( + e, + )... Το υπόλοιπο της διαίρεσης ( x 7x + 6 ) :( x+ ) υ (x) = = =. είαι Έχουµε υ (x) = (f ) x + g( α ) + g( α ) + g( α ) g( α ). ln Από τη ισότητα τω δύο πολυωύµω έχουµε : f = και g( α ) + g( α ) + g( α ) g( α ) =. ln ιαδοχικά έχουµε: f = f( ) = = ln ( ) ln = ln e = e = e + () και g( α ) + g( α ) + g( α ) g( α ) = ln lnα ln α ln α ln α = ln ln ln ln ln l ( ln α + ln α + ln α ln α ) = ln ln ln α ( ) = (). ln ln Το S= είαι άθροισµα τω πρώτω όρω της αριθµητικής προόδου µε α =, ω =.Έτσι, S = ( α + α ) = ( + ) =. Από τη () προκύπτει ln α = ln α = α = e () ln ln Έτσι, έχουµε () () ln ln e = (e ) = = e + = α +. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 5