ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ. και f= 1 T. Κινητική προσέγγιση της Α.Α.Τ. υναμική προσέγγιση της Α.Α.Τ. D = m. Ενεργειακή προσέγγιση της Α.Α.Τ.

Transcript

1 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της Α.Α.Τ. Συχνότητα f Ν t και f T Γωνιακή συχνότητα ω π και ωπf Τ. Απομάκρυνση: Κινητική προσέγγιση της Α.Α.Τ. χ Α ημ(ωt + φ 0 ) όταν φ 0 0: χ Α ημωt. Ταχύτητα max συν(ωt + φ 0 ) όπου max ωa το πάτος (η μέγιστη τιμή) της ταχύτητας όταν φ 0 0: max συνωt 3. Επιτάχυνση α-α max ημ(ωt+φ 0 ) όπου α max ω Α το πάτος (η μέγιστη τιμή) της επιτάχυνσης όταν φ 0 0: α-α max ημωt Σχέση επιτάχυνσης απομάκρυνσης α-α max ημ(ωt+φ 0 )-ω Αημ(ωt+φ 0 ) α-ω χ υναμική προσέγγιση της Α.Α.Τ.. Συνισταμένη δύναμη (δύναμη επαναφοράς) Σχέση δύναμης χρόνου ΣFF επ mα -mα max ημωt -F max ημωt Σχέση δύναμης απομάκρυνσης ΣF F επ mα - m ω χ - Dχ όπου Dmω μια σταθερά η οποία εξαρτάται από τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος και έγεται σταθερά επαναφοράς. Περίοδος της ΑΑΤ D mω D m π D m 4π T 4π m T π m Τ Τ D D. υναμική ενέργεια Ενεργειακή προσέγγιση της Α.Α.Τ. U D χ U max D A. Κινητική ενέργεια Σχέση της U ταάντωσης με το χρόνο U D A ημ ωt U E ο ημ ωt Κ m K max m max 3. Μηχανική (οική) ενέργεια Σχέση της K ταάντωσης με το χρόνο K m max συν ωt K E ο συν ωt Ε ο D A m E max ο U max K max Σχέση ταχύτητας και απομάκρυνσης: ± ω A-χ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Αρχικές συνθήκες (t0): qq και i0. Φορτίο στον πυκνωτή qq ημ(ωt+ π )Q συνωt

2 . Ένταση ρεύματος στο κύκωμα ii συν(ωt+ π )-I ημωt όπου IωQ το πάτος (η μέγιστη τιμή) της έντασης του ρεύματος 3. Ιδιοπερίοδος και ιδιοσυχνότητα: 4. Κυκική συχνότητα: 5. Ενέργεια του ηεκτρικού πεδίου του πυκνωτή Tπ LC και f U Ε ω π f π Τ q Σχέση της U E με το χρόνο U E 6. Ενέργεια μαγνητικού πεδίου του πηνίου C π LC LC U Ε, max Q C Q U B L i U B, max L I C συν ωt U E E ο συν ωt 7. Οική ενέργεια Ε ο Σχέση της U B με το χρόνο U B L I ημ ωt U B E ο ημ ωt Q C L I E ο U E, max U B, max Ε ο U E + U B Αν τη χρονική στιγμή t 0 που κείνουμε το διακόπτη το φορτίο του πυκνωτή είναι q0 και i > 0, θα είναι φ 0 0 οπότε ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:. Φορτίο στον πυκνωτή q Q ημ(ωt + 0) Q ημωt. Ένταση ρεύματος στο κύκωμα ii συν(ωt+0)i συνωt όπου IωQ το πάτος (η μέγιστη τιμή) της έντασης του ρεύματος ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Αν η δύναμη που προκαεί τις απώειες ενέργειας είναι της μορφής F αντ -b, τότε: Το πάτος της μηχανικής ταάντωσης μειώνεται εκθετικά με το χρόνο. Α κ Α 0 e -Λt, όπου t κ Τ, (κ0,,..) και Λ b (s - ) m Ο όγος των διαδοχικών πατών στην ίδια διεύθυνση, είναι σταθερός. - Λ κτ Aκ A 0 e - Λ (κ+)τ Α Α e κ+ 0 e ΛκΤ+Λ(κ+)Τ e ΛκΤ+ΛκΤ+ΛΤ e ΛT σταθ. (κ0,, ) Η ενέργεια της ταάντωσης μειώνεται εκθετικά με το χρόνο. Ε κ D Α ή Ε κ κ D Α e -Λt ή Ε 0 κ Ε 0 e -Λt όπου tκτ, (κ0,, ) και Λ b m Ο όγος των διαδοχικών μεγίστων ενεργειών είναι σταθερός. - Λ κτ Eκ E 0 e - Λ (κ+)τ E e κ+ 0 E e Λ κτ +Λ (κ+)τ e Λ κτ+λ κτ+ ΛΤ e ΛT σταθ. (κ0,, ) Το μέγιστο φορτίο της ηεκτρικής ταάντωσης μειώνεται εκθετικά με το χρόνο. Q κ Q 0 e -Λt, όπου t κ Τ, (κ0,, ) και Λ R L ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Συντονισμός είναι το φαινόμενο κατά το οποίο η συχνότητα f του διεγέρτη είναι περίπου ίση με την ιδιοσυχνότητα f 0 του συστήματος και το πάτος της ταάντωσης γίνεται μέγιστο.

3 ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ. Σύνθεση δύο αρμονικών τααντώσεων ίδιας διεύθυνσης, ίδιας συχνότητας που εξείσσονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. χ Α ημωt και χ Α ημ(ωt + φ) Συνισταμένη αρμονική ταάντωση: χ Α ημ(ωt + θ) όπου Α A + A + A A συνφ, εφθ Α ημφ Α + Α συνφ και (ωt+φ) ωtφ η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο συνιστωσών τααντώσεων.. Σύνθεση δύο αρμονικών τααντώσεων ίδιας διεύθυνσης, ίδιου πάτους με κοινή θέση ισορροπίας και συχνότητες που διαφέρουν πού ίγο. χ Α ημω t και χ Α ημω t με ω ω Συνισταμένη ταάντωση (μη αρμονική): χaσυν ω- ω t ημ ω + ω t Πάτος της συνισταμένης ταάντωσης: Α A ω-ω συν t Φάση της συνισταμένης ταάντωσης: φ ω + ω t Γωνιακή συχνότητα της συνισταμένης ταάντωσης: ω ω + ω Συχνότητα της συνισταμένης ταάντωσης: f f + f Περίοδος της συνισταμένης ταάντωσης: Τ f f + f ιακρότημα ονομάζουμε την ταάντωση του πάτους Α της συνισταμένης ταάντωσης και το χρόνο μεταξύ δύο διαδοχικών μεγίστων του πάτους (ή μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του) τον ονομάζουμε περίοδο του διακροτήματος Τ δ. Περίοδος διακροτήματος: Τ δ f - f Συχνότητα διακροτήματος: f δ f - f ΚΥΜΑΤΑ. ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΚΥΜΑΤΑ Θεμειώδης εξίσωση της κυματικής f Τ Εξισώσεις αρμονικού κύματος όταν η πηγή δεν έχει αρχική φάση: (για t0, ψ0 και >0) ιάδοση του κύματος στον θετικό ημιάξονα κατά την θετική φορά. ψ Α ημπ t χ ιάδοση του κύματος στον θετικό ημιάξονα κατά την αρνητική φορά. ψ Α ημπ t χ + Ταχύτητα ενός σωματιδίου του μέσου. ωα συνπ t χ Επιτάχυνση ενός σωματιδίου του μέσου. α - ω Α ημπ t χ Στιγμιότυπο αρμονικού κύματος. ψ Α ημπ χ σταθ.- Φάση αρμονικού κύματος. φ π t χ ιαφορά φάσης των τααντώσεων δύο σημείων του μέσου την ίδια χρονική στιγμή. φ π χ. ΣΥΜΒΟΛΗ ΥΟ ΟΜΟΙΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΕΝΟΣ ΥΓΡΟΥ r-r Απομάκρυνση ενός σημείου του υγρού. ψα συνπ Πάτος της ταάντωσης ενός σημείου του υγρού. Α Α r-r συνπ ημπ t r +r - T

4 t r +r Φάση της ταάντωσης ενός σημείου του υγρού. φπ T Ταχύτητα ενός σημείου του υγρού. ω Α συνφ Επιτάχυνση ενός σημείου του υγρού. α - ω Α ημφ Συνθήκη ενίσχυσης (Α A). r-r N (Ν 0,,,3,..) Συνθήκη απόσβεσης (Α 0) r-r (N+) (Ν0,,,3, ) 3. ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ Εξίσωση στάσιμου κύματος. Πάτος ενός σημείου του στάσιμου κύματος. Φάση ενός σημείου του στάσιμου κύματος. Ταχύτητα ενός σημείου του στάσιμου κύματος. Επιτάχυνση ενός σημείου του στάσιμου κύματος. ψ Α συν π χ ημ π t T Α A πχ συν φ π t T ωα συνφπfασυν π χ συν π t T α-ω Α ημφ-4π f Ασυν π χ ημ π t T Θέσεις κοιιών. χ Κ κ (κ0,,,3, ) Θέσεις δεσμών. χ (κ + ) 4 (κ0,,,3, ) Απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών (ή διαδοχικών κοιιών). στασ 4. ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Ηεκτρικό πεδίο. Ε Ε max ημπ t χ Μαγνητικό πεδίο. Β Β max ημπ t χ Σχέσεις μεταξύ των μέτρων των εντάσεων των δύο πεδίων κάθε χρονική στιγμή. Ε c και Εmax c Β Βmax 5. ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΙΑΘΛΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Όταν αάζει το μέσο διάδοσης του κύματος, παραμένει σταθερή η συχνότητα του f, αάζει η ταχύτητα διάδοσης οπότε από τη σχέση c f συμπεραίνουμε ότι αάζει και το μήκος κύματος. Νόμος της ανάκασης γωνία πρόσπτωσης γωνία ανάκασης, θ π θ α Νόμος της διάθασης Νόμος του nell: n π ημθ π n δ ημθ δ είκτης διάθασης n c και n 0 Κρίσιμη γωνία είναι η γωνία πρόσπτωσης για την την οποία η γωνία διάθασης Κρίσιμη γωνία n είναι n π ημθ cr n δ ημ90 0 ημθ cr δ n Οική ανάκαση Οική ανάκαση έχουμε όταν:. Το φως περνάει από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο μέσο.. Η γωνία πρόσπτωσης είναι μεγαύτερη από την κρίσιμη γωνία (θ π > θ cr. ) π

5 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Γραμμική ταχύτητα: ds (m/s) Σχέση γραμμικής γωνιακής ταχύτητας: ds dθr Γωνιακή επιτάχυνση: α γων dω (rad/s ). dθ Γωνιακή ταχύτητα: ω dθ R ωr. (rad/s) Σχέση επιτρόχιας γωνιακής επιτάχυνσης: α ε d d(ω R) R dω R α γων α ε α γων R Όταν ένας τροχός κυίεται χωρίς να οισθαίνει, ισχύουν τα ακόουθα: Η μετατόπιση του κέντρου μάζας του dχ είναι ίση με το μήκος του τόξου περιστροφής ds R dθ δηαδή: dχ ds R dθ Η γραμμική ταχύτητα των σημείων της περιφέρειας του τροχού, όγω στροφικής κίνησης, έχει το ίδιο μέτρο με την ταχύτητα του κέντρου μάζας του τροχού, δηαδή: dχ ds R dθ dχ ds R dθ ω R Η αντιστοίχιση των μεγεθών μεταφορικής - περιστροφικής κίνησης είναι: Μεταφορική κίνηση Στροφική κίνηση ιάστημα χ (σε m) Γωνία θ (σε rad) Ταχύτητα r r r dχ Γωνιακή ταχύτητα ω r dθ ω Επιτάχυνση α r r r d α Γωνιακή επιτάχυνση α r dω γων α γων Μάζα m Ροπή αδράνειας Ι (Ι Σm i r ) ύναμη F r Ροπή τ r (τ F d) p m Στροφορμή L r (L I ω) Ορμή r p ( ) Οι εξισώσεις που ισχύουν κατά την κύιση στερεού σώματος είναι: i Μεταφορική κίνηση Ευθύγραμμη ομαή κίνηση: χ t Ευθύγραμμη ομαά μεταβαόμενη κίνηση Στροφική κίνηση Ομαή στροφική κίνηση: θ ω t Στροφική μεταβαόμενη κίνηση 0 ±α t χ 0 t± α t ωω 0 ±α γων t θω 0 t ± α γων t Θεμειώδης νόμος της Μηχανικής: ΣFm α Θεμειώδης νόμος της Στροφικής κίνησης: Στ Ι α γων r r εύτερος νόμος του Νεύτωνα στη Στροφική κίνηση: Σ τ εύτερος νόμος του Νεύτωνα: r dp r ΣF dl Αρχή διατήρησης της ορμής: Αν ΣF εξ 0 τότε pσταθ. r Αρχή διατήρησης της στροφορμής: Αν Στ εξ 0 τότε Lσταθ. Κινητική ενέργεια: Κ m Κινητική ενέργεια όγω περιστροφής: Κ Ι ω Ισορροπία στερεού σώματος: r ΣF 0 ( ΣF 0 και ΣF 0) και Σ τ r 0 χ Θεώρημα παράηων αξόνων (teiner): Ι Ι + M d όπου Ι η ροπή αδράνειας ενός σώματος μάζας M, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του, Ι η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς άξονα που είναι παράηος με τον προηγούμενο και d η απόσταση μεταξύ των δύο αξόνων. Έργο δύναμης με σταθερή ροπή Έργο κατά την στροφική κίνηση ψ W τ θ

6 Ισχύς ροπής Θεώρημα έργου - ενέργειας P τ ω Ι ω - Ι ω ΣW ΟΡΜΗ ΚΡΟΥΣΗ Κεντρική εαστική κρούση Ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση: V m m-m και V + m m-m + m+m m+m m+m m+m Αν το σώμα μάζας m είναι ακίνητο πριν τη κρούση ( 0) οι ταχύτητες των σωμάτων αμέσως μετά την κρούση θα δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: m -m m V και V m +m m +m Αν τα δύο σώματα που συγκρούονται έχουν ίσες μάζες (m m ), οι ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση θα είναι: V m m-m V + m V m+ m m+ m m V m m-m V + m V m+ m m+ m m δηαδή τα σώματα ανταάσσουν ταχύτητες Αν το σώμα μάζας m είναι ακίνητο πριν τη κρούση ( 0) και m >> m οι ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση θα είναι: V - m V - και V m V 0 m m δηαδή η σφαίρα μάζας m ανακάται με ταχύτητα ίδιου μέτρου και αντίθετης φοράς από αυτή που είχε πριν τη κρούση, ενώ η σφαίρα μάζας m παραμένει ακίνητη. ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER Ακίνητη πηγή ακίνητος παρατηρητής f A f U±U A Ακίνητη πηγή κινούμενος παρατηρητής f A U Το (+), ισχύει όταν ο παρατηρητής πησιάζει προς την πηγή και το (-), όταν ο παρατηρητής απομακρύνεται από την πηγή. Κινούμενη πηγή ακίνητος παρατηρητής f A U U m U Το (-),ισχύει όταν η πηγή πησιάζει τον παρατηρητή και το (+), όταν απομακρύνεται από αυτόν. Κινούμενη πηγή κινούμενος παρατηρητής f A U±U A U±U f f f