Elektromagnetski valovi

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Elektromagnetski valovi"

Transcript

1 Elektromagnetski valovi Općenito, val je širenje poremećaja kojim se prenosi energija kroz neko sredstvo, a da se sredstvo kao cjelina ne pomiče. Mehanički valovi se mogu širiti samo kroz neku tvar (medij), dok se elektromagnetski valovi mogu širiti i vakuumom. Prema načinu širenja, valovi se mogu podijeliti na longitudinalne, koji se šire titranjem čestica u pravcu širenja vala (npr. zvuk, ili ultrazvuk), i transverzalne, koji se šire titranjem okomitim na smjer širenja vala (npr. radio valovi, svjetlost,..). Kako se mogu širiti elektromagnetski valovi kad nema elastičnog sredstva (medija)? Nosilac elektromagnetskih valova je elektromagnetsko polje. Promjenom električnog i magnetskog polja nastaju elektromagnetski valovi. Elektromagnetski valovi su svi valovi čije se širenje odvija titranjem električnog i magnetskog polja. Zajednička im je brzina širenja u vakuumu, a to je upravo brzina svjetlosti, a razlikuju se po valnim duljinama i frekvencijama. Izvori elektromagnetskih valova su različiti: atomi, elektroni, ioni, molekule, ( LC-krugovi, antene)

2 Elektromagnetski valovi su transverzalni valovi! Silnice električnog polja E su uvijek okomite na silnice magnetskog polja B, a i jedne i druge su okomite na smjer širenja vala. Elektromagnetski valovi svrstani su u elektromagnetski spektar koji se proteže od valova najmanje frekvencije i najveće valne duljine do valova najveće frekvencije i najmanje valne duljine. Budući, da se svi valovi elektromagnetskog spektra šire brzinom svjetlosti c ( m/s, ili km/s), umnožak njihovih valnih duljina λ i frekvencija f je uvijek stalan i upravo je jednak brzini svjetlosti c. c f

3 Energija valova, odnosno fotona, veća je što je veća frekvencija titraja valova i što je kraća valna duljina. Elektromagnetski spektar dijeli se na dva dijela: ne ionizirajuće i ionizirajuće zračenje. Valovi, zrake velike energije, mogu iz ljuske atoma izbaciti elektrone i time ionizirati atom, zato se zovu ionizirajuće zrake. Ionizirajuće zrake: ultraljubičaste zrake, rendgenske (X-zrake), gama zrake, kozmičke zrake, mogu štetno djelovati na ljudske stanice. Zrake manje energije: radiovalovi, mikrovalovi, vidljiva svjetlost, infracrvene, nemaju te jačine da ioniziraju i zato se zovu ne ionizirajuće zrake. Njihovo djelovanje na organska tkiva, zbog slabe energije, može biti štetno pri dugom izlaganju, ali mnogo manje štetno od ionizirajućih zračenja. Neionizirajuće zračenje Ionizirajuće zračenje ELF IF RF

4 Općenito u literaturi dani su tipični prikazi EM spektra s podjelom po frekvencijama odnosno valnoj duljini, uz dodane simboličke sličice antena, mobitela, mikrovalne pećnice, sunca, naočala za sunce, rtg-snimka, atoma itd. kao oznake frekventnih područja spektra uz navedene raspone valnih duljina. Te sličice simboliziraju izvore ili primjenu pojedinog dijela spektra, ne ulazeći dublje u značenje koje ti fotoni imaju za nas i naš okoliš. Za bliže upoznavanje sa spektrom treba ga opisati detaljnije naglašavajući kakvo značenje pojedine frekvencije i valne duljine imaju za naš svakodnevni život, držeći se uobičajene podjele po vrstama zračenja, počevši od fotona najveće energije. Ne smijemo zaobići ni psihološko pitanje utemeljenosti straha od zračenja, je li on opravdan ili nije. Je li strah iracionalna kategorija i kako utječe na političke odluke o korištenju pojedine vrste zračenja? Kozmičko zračenje Kozmičko zračenje je zračenje visoke energije koje dopire na Zemlju iz svemira. Dijeli se na dva tipa, primarno i sekundarno. Primarno kozmičko zračenje sastoji se od čestica vrlo visoke energije, a to su uglavnom protoni, alfa čestice, teži ioni i elektroni. Veliki postotak primarnog kozmičkog zračenja dolazi izvan našeg Sunčevog sustava, dok jedan dio dolazi od našeg Sunca. Vrlo malo primarnog kozmičkog zračenja prodre do Zemljine površine. Velika većina reagira s Zemljinom atmosferom proizvodeći sekundarno kozmičko zračenje koje se sastoji od fotona, elektrona, neutrona i gama zraka i koje dolazi do površine. Atmosfera i Zemljino magnetsko polje također se ponašaju kao štit protiv kozmičkog zračenja smanjujući količinu koja dolazi do površine. Na kozmičko zračenje utječe i Sunčeva aktivnost čije pojačanje uzrokuje pojačanje Zemljinog magnetskog polja, a time i slabljenje učinka kozmičkog zračenja. Može se zaključiti da godišnja doza apsorbiranog kozmičkog zračenja ovisi o nadmorskoj visini. Putovanje avionom može povećati godišnju dozu kozmičkog zračenja, ovisno o učestalosti letenja, visini leta i vremenu provedenom u zraku.

5 Gama zrake Gama zraka je paket elektromagnetske energije, tj. foton. Gama fotoni su fotoni s najviše energije u elektromagnetskom spektru. Emitiraju ih jezgre nekih radioaktivnih atoma. Gama fotoni nemaju masu ni električni naboj, ali imaju vrlo visoku energiju, otprilike puta veću od energije fotona u vidljivom dijelu elektromagnetskog spektra. Zbog visoke energije gama čestice putuju brzinom svjetlosti i u zraku mogu prijeći stotine tisuća metara prije nego što potroše energiju. Mogu proći kroz mnogo vrsta materijala uključujući i ljudsko tkivo. Vrlo gusti materijali, poput olova, obično se koriste za zaštitu od gama zračenja. Gama zrake postoje samo dok imaju energije. Kada potroše energiju, bilo u zraku ili u čvrstom materijalu, one prestaju postojati. Kozmičko gama zračenje vrlo visokih energija ovdje ćemo samo ukratko spomenuti i krenuti sa zračenjem koje koristimo u energetici i zdravstvu. Treba naglasiti dva krajnja suprotstavljena gledišta. Velik broj ljudi smatra da je gama zračenje nuklearnih postrojenja neprihvatljiv rizik za zdravlje i okoliš i to uzimaju kao uporište za proteste i borbu aktivista. S druge strane, kada se dijagnosticira tumor nastojat ćemo se izložiti upravo tom zračenju u medicinskoj ustanovi. Možemo zaključiti da je izrazito protivljenje onom zračenju o čijem utjecaju i izloženosti ne odlučujemo sami nego nam se nameće iz manje ili više opravdanih razloga. Međutim, liječenju tim istim zračenjem izlažemo se dobrovoljno važući omjer štete i koristi. Dobar primjer za to je rendgensko zračenje. Pitanja za raspravu: Ako se s toliko muke usvojila predodžba o gama zračenju kao česticama fotonima, zašto se kod nuklearnog raspad alfa i beta čestice smatraju pravim česticama, a gama zračenje se izdvaja i prikazuje kao elektromagnetski val? Da li gama zračenje liječi rak ili uzrokuje rak?

6 ionizirajuce Mutageni i karcinogeni učinci

7 ionizirajuce Izvor: Kobalt 60 Prodiranje kroz čelik : 15 cm GAMMA RAY Cargo INSPECTION Primjena gama zračenja u pregledu roba koje se prevoze u zatvorenim kontejnerima. Ljudi skriveni u vagonu-silosu otkriveni su gama-zrakama, no njima to zračenje nije naškodilo.

8 X-zrake (rendgenske zrake) X-zrake su elektromagnetsko zračenje slično svjetlosti, ali s višom energijom. Strojevi za generiranje X-zraka imaju vakuumiranu staklenu cijev na čijim krajevima su postavljene elektrode, negativna katoda i pozitivna anoda. Na elektrode je doveden visoki napon koji može biti u rasponu od nekoliko tisuća volti do nekoliko stotina tisuća volti. Razlika potencijala tada elektrone nakupljene na katodi ubrzava prema anodi te oni udaraju u metalnu ploču s velikom energijom. Pri sudaru s metalnom pločom elektrone će privući pozitivno nabijena jezgra atoma metala, pri čemu se smanjuje energija elektrona, tj. dolazi do emisije X-zraka, koje imaju veliku moć prodiranja. Ovo područje spektra dijeli na mekane i tvrde zrake ovisno o njihovoj prodornosti. Gotovo svatko je bio izložen tom zračenju i mogli smo uočiti vrlo kratko vrijeme ekspozicije i primjenu zaštitne pregače. Iz toga se može zaključiti o njegovom mogućem štetnom djelovanju. Ali je ono korisno za medicinski uvid u neprozirno tijelo ili u prtljagu u sklopu aerodromske sigurnosti. Kompjutorska tomografija pomoću X-zraka omogućava detaljne presjeke tijela i otkrivanje zloćudnih bolesti. Međutim, službenici koji rade na pregledu prtljage izloženi su profesionalnim dozama i zahtijevaju dozimetrijsko praćenje izloženosti. Pitanja za raspravu: Jesu li doze rtg zračenja kojem se izlažemo pri medicinskim pregledima kumulativne ili se treba čuvati samo jednokratnog dužeg izlaganja?

9 ionizirajuce Oštećenje makromolekula u DNK

10 Ultraljubičasto zračenje (UV-zračenje) Ultraljubičasto zračenje (UV) je elektromagnetsko zračenje valnih duljina od približno 10 do 400 nm, tj. između rendgenskoga zračenja i ljubičastoga dijela vidljive svjetlosti. UV zrake dijele se na A, B i C područje pri čemu svako od njih ima drugačiju štetnost. C područje ima germicidno (sterilizirajuće i dezinfekcijsko) djelovanje. B područje izaziva melanom kože i izrazito je prisutno kod elektrolučnog zavarivanja. A području smo izloženi kada se sunčamo, a posebno treba zaštititi djecu. Kod potamnjivanja kože UV zrakama pigment melanin postaje tamniji i prelazi u površinske stanice kože kao zaštita od tog zračenja. Štetno djelovanje UV zračenja Preveliko izlaganje UVB zračenju može izazvati akutno oštećenje kože (eritem - crvenilo) u obliku opeklina, koje dovodi do degeneracije kože, njezina starenja, a može izazvati i rak kože, zbog oštećenja gena za obnovu stanica kože. Ultraljubičasto zračenje tipa UVA prodire u dublje slojeve kože uzrokujući oštećenja i mogući razvoj raka kože u kasnijoj fazi života. UVC zračenje ima najveću energiju i zato je najopasnija vrsta UV zračenja. Prije se vrlo malo pažnje posvećivalo UVC zračenju, jer atmosfera upija gotovo sve što nam stigne sa Sunca. Međutim, neki uređaji (sterilizacija) koriste tu vrstu zračenja i treba biti vrlo oprezan kod rukovanja s njima. Medicinska primjena UV zračenja UV zračenje se koristi za liječenje kožnih bolesti, kao što je psorijaza i vitiligo. Psorijaza je reativno česta kožna bolest i od nje boluje od 1-5% populacije. Najčešće ne stvara veće probleme oboljelom. Ono što je važno u terapiji psorijaze je izlaganje UV zračenju, bilo prirodnim izvorima - Sunčeva svjetlost ili umjetnim izvorima - UV svjetiljke. Izlaganje suncu je u većini slučajeva učinkovito.

11 ionizirajuce UV-A UV-B UV-C 400 nm 315 nm 280 nm 10 nm 100 nm germicidno djelovanje melanogeneza melanom Trganje veza između molekula

12 ionizirajuce 400 nm UV-A 315 nm UV-B 280 nm UV-C 10 nm 100 nm

13 Vidljivi spektar Vidljivi spektar (koji zamjećuje ljudsko oko) odgovara nizu boja što nastaje rasapom bijele Sunčeve svjetlosti (disperzija; duga), od ljubičaste (valne duljine 400 nm), preko plave, zelene, žute i narančaste do crvene (800 nm). Mrak je stanje kada možemo najbolje osvijestiti vidljivo svjetlo koje uglavnom uzimamo zdravo za gotovo. U potpunom mraku, naše su oči u stanju osjetiti pojedinačne fotone, ali općenito ono što vidimo dolazi do nas u vidu nebrojenih fotona koji su se odbili od predmeta. Ako se osvrnemo oko sebe, vjerojatno ćemo uočiti izvor koji proizvodi fotone, i predmete od kojih ih se oni odbijaju. Oči upijaju neke od tih fotona i tako mi vidimo. Treba naglasiti činjenicu da fotoni vidljivog svjetla nastaju pri relaksaciji elektrona iz razina više energije na nižu razinu. Procesi u kojima se to događa su nuklearni, toplinski, izboj u plinu, električni luk, kemijski. Fotoni valne duljine od 400 do 800 nm čine vidljivi dio spektra. Unutar tog područja oni se razlikuju po valnim duljinama što naše oko registrira različitim bojama. Energija im nije dovoljna za izbijanje elektrona pa ih svrstavamo u ne ionizirajuće zračenje i oni nam omogućavaju da vidimo svijet oko nas. spektar svjetlosti 800 nm 400 nm Vidljiva svjetlost sadrži spektar valnih duljina koje se očituju kao boje. Razlaganjem kroz prizmu te se boje daju razdvojiti u rasponu od 400 nm do 800 nm.

14 ne ionizirajuce Sunce gorenje žarenje izboj u plinu električni luk bio-lumin.

15 ne ionizirajuce Fotodinamička terapija (PDT) puta veća snaga Zašto na laserskim izvorima stoje upozorenja o opasnosti, a na običnim žaruljama puta veće snage tih upozorenja nema? Promjena razine energije elektrona

16 Infracrveno zračenje Infracrveno zračenje je elektromagnetsko zračenje valnih duljina približno između 0,8 μm i nekoliko stotina mikrometara. Za ljudsko oko to je zračenje nevidljivo, ali se može osjetiti na koži kao osjećaj topline. Glavnina zračenja elektromagnetskih valova ljudskoga tijela je u infracrvenom području. Infracrvene grijalice služe za zagrijavanje prostorija, u medicini za dubinsko grijanje (npr. paranazalnih sinusa ili dubokih infiltrata), u industriji za sušenje boja i lakova, a područja su primjene infracrvenoga zračenja meteorologija, mikroskopija, daljinsko upravljanje, sigurnosni i alarmni sustavi i sl. Infracrveno zračenje dijelom se apsorbira prolaskom kroz vodenu paru, ozon i ugljikov dioksid u atmosferi, ali se obično mnogo lakše probija kroz sredstva koja inače raspršuju vidljivo zračenje (sumaglica, zagađena atmosfera, međuzvjezdana prašina). Na tome se temelji primjena infracrvene fotografije, koja osim toga omogućuje snimanje predmeta čak i u potpunome mraku na temelju razlike u toplini pojedinih dijelova predmeta. Zato se ona široko primjenjuje: u vojne svrhe (za pronalaženje i snimanje objekata, osobito u mraku), u medicini (za lokalizaciju upalnih procesa i tumora), u industriji, astronomiji, kriminalistici, u istraživanju starih umjetnina (za otkrivanje slika ispod površinskoga sloja boje), u daljinskim istraživanjima snimanjem iz zrakoplova ili satelita, npr. u geologiji za otkrivanje rudnih nalazišta Koje od tri infracrvena zračenja je opasno (štetno)? Ovisi o snazi. Obzirom da je nevidljivo, treba osvijestiti činjenicu da svi predmeti odašilju toplinsko zračenje koje zovemo infracrveno zračenje. Što je predmet topliji emitira više zračenja. Toplina prenošena infracrvenim zračenjem može se prenositi i kroz vakuum u svemiru. Zbog toga osjećamo toplinu Sunca iako je udaljeno 150 milijuna km od Zemlje. Kao i kod drugih dijelova spektra, tako i kod infracrvenog zračenja postoje poželjni i nepoželjni učinci. Kada je zračenje prejako moramo se štititi specijalnom odjećom, a kada je nedovoljno moramo ga proizvoditi iz drugih oblika energije.

17 ne ionizirajuce 0,1 W 500 W Vibracije molekula > 5 kw

18

19 Ne možemo znati kada je, potpuno začađena žarulja, uključena, a kada isključena jer oko registrira samo vidljivo zračenje. Međutim postoje uređaji koji pokazuju da postoji nevidljivo toplinsko zračenje. radiometar crna žarulja termo-stup

20 Tera-hertz zračenje Tera-hertz područje nalazi se između dalekog infracrvenog zračenja i mikrovalova. Donedavno ovo područje spektra nije bilo istraživano, a postojalo je tek nekoliko izvora koji su mogli proizvesti te valove. Danas se ovo zračenje počinje primijenjivati u komunikaciji, a znanstvenici traže načine kako upotrijebiti tehnologiju u vojsci u svrhu onesposobljivanja elektroničke opreme neprijatelja.

21 ne ionizirajuce THz - područje

22 Mikrovalovi Mikrovalovi su zajednički naziv za decimetarsko, centimetarsko i milimetarsko područje radiovalova. Tradicionalno to obuhvaća područje frekvencija iznad 300 MHz, međutim danas se često kao donja granica mikrovalova uzima i frekvencija od 1 GHz. Mikrovalovi se koriste u radarskoj tehnici, mikrovalnim pećnicama, bežičnim komunikacijama (GSM, WLAN, Bluetooth), astronomiji itd. Područja oko frekvencija 800 MHz, 2,45 GHz i 13 GHz su slobodna za različite primjene u industriji, znanosti i medicini. Antene se na mikrovalne uređaje obično spajaju pomoću valovoda, jer gubitak snage s porastom frekvencije u koaksijalnom kabelu postaje prevelik. O zračenju mobitela i mikrovalne pećnice postoji najviše upitnih tvrdnji o njihovoj izuzetnoj štetnosti pa čak i jakom karcinogenom djelovanju. Zato je nužno detaljnije pokazati kakva je snaga i učinak ovog zračenja. Bazne stanice su posebno istaknute kao povod sukoba pri postavljanju u naseljima u blizini škola i općenito mjesta gdje borave ljudi. Tri istaknuta područja primjene ovog dijela spektra su radar, mikrovalna pećnica i bežična mobilna komunikacija. Zanimljivo je da Wi-Fi ruter koji omogućava bežično spajanje na internetsku mrežu radi na gotovo identičnoj frekvenciji kao i mikrovalna pećnica (2,4 GHz) samo mu je snaga oko 7000 puta manja. Zračenja ovog dijela spektra uzrokuju rotacije dipolnih molekula vode zbog čega se voda grije. Trebamo li se bojati zračenja mobitela zbog blizine na koju ga prinosimo glavi i može li njegovo zračenje skuhati jaje?

23 30 cm 12,5 cm 12,5 cm 3 cm (X) Mobitel Wi-Fi ruter Mikrovalna pećnica Radar

24 ne ionizirajuce Mikrovalna dijatermija Rotacije i torzija molekula

25 ne ionizirajuce Rotacije i torzija molekula

26 Radiovalovi Radiovalovi ili radijski valovi su veliko područje elektromagnetskih valova s valnom duljinom većom od one infracrvenog zračenja, a zajednička im je osobina da se mogu proizvesti protjecanjem izmjenične električne struje u napravi koja se zove antena. Prema valnoj se duljini dijele na valna područja, iako je danas uobičajenija podjela prema frekvenciji. Radiovalovi, dio spektra elektromagnetskih valova koji ima najveće valne duljine i najmanje frekvencije, obuhvaća valove valnih duljina od približno 30 km do 1 mm, odnosno frekvencije od 10 khz do 3000 GHz. Proizvode se s pomoću antena, a primjenjuju u radio komunikacijama. Istraživanjima radioizvora u svemiru bavi se radioastronomija. No osim što ih poznajemo kao dugi, srednji i kratki val radija, VHF i UHF televizije, oni se koriste i u medicini kao uređaji za grijanje tkiva tzv. kratkovalnom dijatermijom a u novije doba i za oslikavanje kod NMR uređaja. Trebamo li se brinuti oko utjecaja ogromne količine ovog zračenja na naše zdravlje? U magnetskoj zavojnici jezgre vodika se magnetiziraju u istom smjeru snažnim magnetnim poljem. Radio frekventni (RF) puls usmjeri se na područje tijela koje se ispituje. Različite vrste tkiva u tijelu reagiraju na različite frekvencije. Radio frekventno zračenje diže energiju atoma vodika specifičnog tkiva na višu energijsku razinu i uzrokuje da se oni izbace iz poretka u odnosu na ostale atome vodika u tijelu. Kada se radio frekvencija ukloni, poremećeni atomi vodika polako se vraćaju (relaksiraju) u magnetizirano stanje. Dok se vraćaju u magnetsko polje stroja, oni oslobađaju RF signale kao energiju koju su dobili od radio frekventnog zračenja. Posebne zavojnice u stroju bilježe tu oslobođenu energiju, a iz otkrivenih izboja energije stvara se slika.

27 neionizirajuće ionizirajuće Kratkovalna dijatermija ( progrijavanje )

28 ne ionizirajuce Intermediate Frequencies (IF) NMR

29 Zračenje ekstremno niskih frekvencija Ekstremno niske frekvencije (ELF) je naziv za valove s frekvencijama od 3 do 50 Hz. Niske frekvencije mogu lakše prolaziti kroz tekućine poput mora i koriste se za komunikacije s duboko uronjenim podmornicama. Obzirom da ovo područje uključuje dalekovode i elektrodistribucijsku mrežu postavlja se pitanje je li naša svakodnevna izloženost predstavlja rizik za zdravlje. Valovi ovih duljina odbijaju se od ionosfere pa u prostiranju oko Zemlje mogu proizvesti tzv. Shumannovu rezonanciju. Osim toga predmet su mnogih teorija zavjere koje tvrde da se njima može kontrolirati ljudski um ili upravljati meteorološkim prilikama u atmosferi. Ima neukih ljudi koji žive u uvjerenju da je hrana iz frižidera na kojem su na vratima učvršćene cedulje pomoću magneta kancerogena. Također postoji uvjerenje da je hrana koju grijemo mikrovalovima izmijenjenih svojstava i da uzrokuje karcinom. Međutim razumno je prihvatiti stavove Svjetske zdravstvene organizacije (WHO) koja neprekidno prati najsuvremenija istraživanja relevantnih laboratorija u svijetu i izdaje biltene o tim nalazima.

30 ne ionizirajuce ELF - Extremely low frequency dalekovod, 50 Hz, 110 kv komunikacija s podmornicama

31 Laici Kome vjerovati? Struka Electromagnetic fields and public health: Mobile phones - Fact sheet N 193 Microwave ovens - Information sheet WHO zaključuje da trenutni pokazatelji ne potvrđuju postojanje ikakvih posljedica na zdravlje od izlaganja elektomagnetskim poljima niskih razina. Međutim, postoje neke praznine u znanju o biološkim učincima i zahtijevaju daljnja istraživanja.

32 Intenzitet zračenja opada s kvadratom udaljenosti. Dva najsigurnija načina zaštite od zračenja: Biti daleko! Biti kratko izložen! ZAKLJUČAK Prihvaćajući tvrdnju da se nikome ništa ne može objasniti ako ga to barem malo ne zanima, nastojimo osmisliti nastavu prožetu pokusima. Ta klica interesa osnova je poučavanja fizike u školi. Opisane pojave djelovanja elektromagnetskog zračenja i pokusi koji ih ilustriraju namijenjeni prvenstveno kao motivacijski sadržaji. Oni nemaju pretenziju reći sve o svakom pojedinom dijelu spektra, ali omogućavaju uvođenje problemske situacije i vođenje široke rasprave u učionici. Jer ta tema zadire u brojna područja svakodnevnog života, kao što su komunikacije, zdravlje, zaštita, politika, vojska, oružje, medicinska dijagnostika, pseudoznanost, i brojna druga. A tu su i fizikalni pojmovi o snazi, energiji, intenzitetu, brzini prostiranja, transmisiji, refleksiji, apsorpciji, s jednostavnim formulama i jednadžbama. Studenti isto tako kroz zanimljive pokuse mogu steći uvid u nevjerojatnu prožetost naše civilizacije cijelim spektrom elektromagnetskog zračenja. Zato je ovo idealna tema za studentske radove, članke i seminare.

33 Literatura: 1. Jakobović, Zvonimir, Fizika zračenja. Zdravstveno veleučilište, Zagreb, Mesić, Hrvoje, Ionizirajuće Neionizirajuće zračenje (Stručni skup međužupanijskog stručnog vijeća nastavnica zdravstvene njege, Zagreb, 2017.)

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Elementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton,

Elementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton, Elementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton, neutron Građa atoma Pozitron, neutrino, antineutrino Beta

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

UVOD U KVANTNU TEORIJU

UVOD U KVANTNU TEORIJU UVOD U KVANTNU TEORIJU UVOD U KVANTNU TEORIJU 1.) FOTOELEKTRIČKI EFEKT 2.) LINIJSKI SPEKTRI ATOMA 3.) BOHROV MODEL ATOMA 4.) CRNO TIJELO 5.) ČESTICE I VALOVI Elektromagnetsko zračenje UVOD U KVANTNU TEORIJU

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 2. Fizikalna optika 2009/10

Fizika 2. Fizikalna optika 2009/10 Fizika 2 Fizikalna optika 2009/10 1 Optika..definicija Optika, u širem smislu, je dio fizike koji proučava elektromagnetske valove; njihova svojstva i pojave. Elektromagnetski valovi ili (elektromagnetsko

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 2. Auditorne vježbe 11. Kvatna priroda svjetlosti, Planckova hipoteza, fotoefekt, Comptonov efekt. Ivica Sorić

Fizika 2. Auditorne vježbe 11. Kvatna priroda svjetlosti, Planckova hipoteza, fotoefekt, Comptonov efekt. Ivica Sorić Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstava Fizika 2 Auditorne vježbe 11 Kvatna priroda svjetlosti, Planckova hipoteza, fotoefekt, Comptonov efekt Ivica Sorić (Ivica.Soric@fesb.hr)

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Što je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val

Što je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val Optika Što je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val Transvezalan Boja ovisi o valnoj duljini idljiva svjetlost (od 400 nm do 700 nm) Ljubičasta ( 400 nm) ima kradu valnu duljinu od crvene (700 nm)

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

V A L O V I. * pregled osnovnih pojmova *

V A L O V I. * pregled osnovnih pojmova * V A L O V I * pregled osnovnih pojmova * Val predstavlja prijenos energije titranja kroz prostor. Izvor vala svojim oscilacijama emitira energiju u okolinu. U prirodi postoje dvije vrste valova, mehanički

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Elektricitet i magnetizam. 2. Magnetizam

Elektricitet i magnetizam. 2. Magnetizam 2. Magnetizam Od Oersteda do Einsteina Zimi 1819/1820 Oersted je održao predavanja iz kolegija Elektricitet, galvanizam i magnetizam U to vrijeme izgledalo je kao da elektricitet i magnetizam nemaju ništa

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Atomi i jezgre 1.1. Atomi i kvanti 1.2. Atomska jezgra λ = h p E = hf, E niži

Atomi i jezgre 1.1. Atomi i kvanti 1.2. Atomska jezgra λ = h p E = hf, E niži tomi i jezgre.. tomi i kvanti.. tomska jezgra Kvant je najmanji mogući iznos neke veličine. Foton, čestica svjetlosti, je kvant energije: gdje je f frekvencija fotona, a h Planckova konstanta. E = hf,

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Zadatci s dosadašnjih državnih matura poredani po nastavnom programu (više-manje svi, izdanje proljeće 2017.)

Zadatci s dosadašnjih državnih matura poredani po nastavnom programu (više-manje svi, izdanje proljeće 2017.) Zadatci s dosadašnjih državnih matura poredani po nastavnom programu (više-manje svi, izdanje proljeće 2017.) četvrti razred (valna optika, relativnost, uvod u kvantnu fiziku, nuklearna fizika) Sve primjedbe

Διαβάστε περισσότερα

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Spektar X-zraka. Atomska fizika

Spektar X-zraka. Atomska fizika Spektar X-zraka Emitirana X- zraka Katoda Anoda Upadni elektron 1895. godine W. Röntgen opazio je nevidljivo (X-zrake) zračenje koje nastaje pri izboju u cijevi s razrijeđenim plinom. Rendgensko zračenje

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Promet i ekologija 1

Promet i ekologija 1 Promet i ekologija 1 Promet i ekologija Elektrostres tj. elektrosmog SAR Utjecaj električnih magnetskih polja na okoliš i zdravlje Tehnička zračenja Zakon o elektrosmogu Ionizirajuće i neionizirajuće elektromagnetsko

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Podsjetnik za državnu maturu iz fizike značenje formula

Podsjetnik za državnu maturu iz fizike značenje formula Podsjetnik za državnu maturu iz fizike značenje formula ukratko je objašnjeno značenje svih slova u formulama koje se dobiju uz ispit [u uglatim zagradama su SI mjerne jedinice] Kinetika v = brzina ( =

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

F2_K2, R: nastavni materijali s predavanja, preporučena literatura, web stranica katedre fizike;

F2_K2, R: nastavni materijali s predavanja, preporučena literatura, web stranica katedre fizike; F_K,.06.08.. Interferencija elektromagnetskih valova; posebno vidljive svjetlosti. Uvjeti za konstruktivnu i destruktivnu interferenciju. Opišite interferentni uzorak za monokromatsku i polikromatsku svjetlost

Διαβάστε περισσότερα

F2_kolokvij_K2_zadaci izbor_rješenja lipanj, 2008

F2_kolokvij_K2_zadaci izbor_rješenja lipanj, 2008 F_kolokvij_K_zadai izbor_rješenja lipanj, 008 Fermatov prinip:. Fermatov prinip o širenju svjetlosnih zraka; izvedite zakon refleksije pomoću prinipa minimalnog vremena širenja svjetlosti između dviju

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

SPEKTROSKOPSKE METODE ZA ODREĐIVANJE STRUKTURE BIOLOŠKIH MAKROMOLEKULA. D. Krilov

SPEKTROSKOPSKE METODE ZA ODREĐIVANJE STRUKTURE BIOLOŠKIH MAKROMOLEKULA. D. Krilov SPEKTROSKOPSKE METODE ZA ODREĐIVANJE STRUKTURE BIOLOŠKIH MAKROMOLEKULA D. Krilov 30.01. 2006. Interakcije u biološkim makromolekulama Van der Waalsove sile; vodikova veza; hidrofobne interakcije; ionske

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROMAGNETSKI VALOVI U NASTAVI FIZIKE

ELEKTROMAGNETSKI VALOVI U NASTAVI FIZIKE SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET FIZIČKI ODSJEK SMJER: Profesor fizike i informatike Goran Matoničkin Diplomski rad ELEKTROMAGNETSKI VALOVI U NASTAVI FIZIKE Voditelj diplomskog

Διαβάστε περισσότερα

Priprema za državnu maturu

Priprema za državnu maturu Priprema za državnu maturu G E O M E T R I J S K A O P T I K A 1. Valna duljina elektromagnetskoga vala približno je jednaka promjeru jabuke. Kojemu dijelu elektromagnetskoga spektra pripada taj val? A.

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Elektronički Elementi i Sklopovi

Elektronički Elementi i Sklopovi Elektronički Elementi i Sklopovi Sadržaj predavanja: 1. LED diode 2. Sažetak predavanja o diodama 3. Teoretski zadaci sa diodama 4. Elektronički sklopovi sa diodama LED Diode LED dioda je poluvodički element

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 2. Fizikalna optika 2008/09

Fizika 2. Fizikalna optika 2008/09 Fizika 2 Fizikalna optika 2008/09 Što je svjetlost; što je priroda svjetlosti? U geometrijskoj optici: Svjetlost je pravocrtna pojava određene brzine u nekom sredstvu (optičkom sredstvu). U fizikalnoj

Διαβάστε περισσότερα

SPEKTROSKOPIJA SPEKTROSKOPIJA

SPEKTROSKOPIJA SPEKTROSKOPIJA Spektroskopija je proučavanje interakcija elektromagnetnog zraka (EMZ) sa materijom. Elektromagnetno zračenje Proces koji se odigrava Talasna dužina (m) Energija (J) Frekvencija (Hz) γ-zračenje Nuklearni

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Kvantna optika Toplotno zračenje Apsorpciona sposobnost tela je sposobnost apsorbovanja energije zračenja iz intervala l, l+ l na površini tela ds za vreme dt. Apsorpciona moć tela je sposobnost apsorbovanja

Διαβάστε περισσότερα

Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora. Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo

Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora. Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo Operacijsko Pojačalo Kod operacijsko pojačala izlazni napon je proporcionalan diferencijalu

Διαβάστε περισσότερα