Građevinski fakultet Podgorica, specijalističke studije saobraćajni smjer Inženjerska geodezija

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Građevinski fakultet Podgorica, specijalističke studije saobraćajni smjer Inženjerska geodezija"

Transcript

1 X Predavanje Tuneli. Tunelske mreže, podzemna i nadzemna, njihovo povezivanje, proračun tačnosti proboja. Geodetski radovi pri iskopu tunela. Mjerenja konvergencije i osmatranje pomjeranja tunela u izgradnji i eksploataciji Tuneli Podzemne građevine u obliku cijevi otvorene na oba kraja, postavljene horizontalno ili u blagom nagibu, a kroz koje se provodi saobraćajnica: željeznička pruga, put, kanal ili vodni tok, koji spajaju dva dijela puta razdvojena preprekom koju nije moguće savladati na drugi način, nazivamo tunelima. Uz mostove, tuneli se mogu svrstati u najsloženije inženjerske objekte za saobraćaj koji spajaju dva dijela saobraćajnice razdvojene preprekom. Prema namjeni tuneli se dijele na: saobraćajne metro, drumski, plovni, hidrotehničke dovodni i odvodni tuneli hidrocentrala, irigacioni tuneli itd., komunalne kanalizacioni, kolektori itd., tunele rudarske industrije za omogućavanje eksploatacije rudnih nalazišta. Prema položaju na terenu tuneli se dijele na: brdske tunele (ispod brda i planina), podvodne tunele (ispod rijeka i zaliva), gradske tunele (ispod naselja - metro). Podjela tunela prema veličini iskopa: tunelski potkopi 5-12 m 2, mali tunelski profili m 2, srednji tunelski profili m 2, veliki tunelski profili m 2, vrlo veliki tunelski profili preko 75 m 2. Podjela tunela prema broju voznih traka: jednotračni tuneli, dvotračni tuneli, višetračni tuneli. 1

2 Podjela tunela prema dužini: mali tuneli kraći od 50 m, kratki tuneli m, srednji tuneli m, dugi tuneli m, vrlo dugi tuneli duži od 4000 m. Zavisno od načina građenja tunela razvijeno je nekoliko metoda nazvanih po zemljama u kojima su prvi puta našle svoju primjenu, pa tako razlikujemo: belgijsku, austrijsku, englesku, njemačku, italijansku metodu itd. Kod klasičnih metoda radovi uvijek počinju kopanjem jednog potkopa, pa se one međusobno razlikuju redoslijedom kopanja potkopa u tunelskom profilu. Osim toga postoji način rada kopanja punog profila koji se najčešće primjenjuje u čvrstom i postojanom materijalu (stijena) tako da se u čelu napredovanja buši nekoliko minskih rupa koje se nakon toga ispunjavaju eksplozivnim materijalom. U tom slučaju se tunelski profil ne podgrađuje ali se stijene ne ostavljaju dugo otvorene zbog atmosferskih uticaja kako ne bi došlo do njihovog raspadanja. Tunel je sastavni dio saobraćajnice, pa se njegova trasa označava na karti sitnije razmjere, a način projektovanja trase zavisi od dužini tunela. Kod kratkih tunela oblik ose tunela prilagođava se osi saobraćajnice. Kod dugačkih tunela prvo se izabere položaj tunela, a zatim se trasa saobraćajnice ispred i iza tunela prilagođava sa već izabranim položajem i pravcem. Prirodno je da su niski tuneli najduži, što najčešće znači i najskuplji. Kako bi se oni skratili tunel se može projektovati na višoj koti. Tunel se znatno skraćuje projektovanjem na višoj koti, ali se zbog toga trasa saobraćajnice mora razvijati tako da bi se pod povoljnim usponom i padom mogla priključiti na osu tunela. Osim dužine tunela, troškovi građenja zavise i od geološkog sastava terena kroz koji će se tunel probijati (vrsta stijene, nagib slojeva, itd.). Jačina podzemnih voda i deformacije tla koje one izazivaju i niz drugih faktora jednako tako utiču na trasu tunela. Sve provedene analize trebaju otkloniti teškoće građenja tunela koje se mogu izbjeći pomicanjem njegove trase, kao i da omoguće predviđanje metode podgrađivanja i kopanja. Kada je trasa tunela utvrđena, potrebno je obaviti opsežna geološka i geofizička istraživanja da bi se provjerile pretpostavke o geološkom sastavu tla kroz koji se probija tunel. Na osnovu provedenih istraživanja trasa tunela se zadržava ili pomjera, odnosno utvrđuje se definitivna trasa tunela. Kad je usvojena definitivna trasa tunela slijede visokoprecizni geodetski radovi Nadzemne tunelske mreže terestička i GPS metoda Za geodetske radove način izgradnje tunela vrlo je bitan jer od njega zavise metode rada, način stabilizacije tačaka i tačnost mjerenja. Tačnost proboja tunela može biti bitno manja pri izgradnji tunela metodom potkopa, nego što je to slučaj pri kopanju tunela u punom profilu. U prvom se slučaju nakon proboja može korigovati iskolčenje 2

3 projektovane trase, dok se u drugom proboj tunela mora ostvariti u okviru unaprijed postavljenih zahtjeva tačnosti. Cilj izrade projekta geodetskih radova u proboju tunela je da se uradi optimizacija tih radova: geometrije, tačnosti, grešaka, broja mjerenja i tačnosti mjerenja elementarnih veličina u mreži. Na taj način utvrdiće se kojim instrumentima i metodama mjerenja i pod kojim uslovima tačnosti i uslovima pri mjerenju treba izvesti mjerenja elementarnih veličina u mreži izabrane geometrije u cilju dobijanja geodetske mreže odgovarajućeg kvaliteta. Cjelokupna geodetska osnova, mikromreže ispred ulaznog i izlaznog portala, kao i mreža tačaka koja ih povezuje projektuje se na karti razmjere 1:5000, a same mikromreže projektuju se na topografskom planu razmjere 1:1000 na kojem je nanesen plan organizacije gradilišta. Osnovu pri projektovanju geodetske osnove za potrebe izgradnje bilo kojeg tunela je dozvoljeno odstupanje pri proboju tunela, što znači da geodetska osnova mora zadovoljiti najveće zahtjeve u vezi s preciznošću i pouzdanošću. Glavne osobine projekta geodetske osnove u pravilu su: Nadzemna geodetska osnova mora imati na ulaznom, odnosno izlaznom portalu najmanje dvije tačke za prenos direkcionog ugla u podzemnu poligonometriju; Osim tačaka u blizini portala potrebno je stabilizovati još najmanje dvije kontrolne tačke radi preciznijeg definisanja orijentacije poligonskog vlaka u tunelu; Nadzemna geodetska osnova treba biti integrisana u državni koordinatni sistem; Projekt mreže se radi na projektu tunela, gdje su već projektovani i svi pomoćni objekti koji će služiti u toku građenja; Projekt mreže mora pokrivati cijelo gradilište tunela i udovoljavati svim njegovim potrebama do kraja građenja; Mreža mora biti homogena za cijelo gradilište tunela i odgovarati tačnosti koja je potrebna za označavanje tačaka tunelske osovine pri probijanju tunela; Tačke nadzemne tunelske triangulacije ne treba postavljati iznad same trase, jer tokom izgradnje može doći do deformacije terena i prema tome i do pomjeranja tačaka. To zavisi i od dubine na kojoj će se tunel graditi i od kvaliteta tla kroz koje tunel prolazi. Prilikom izrade projekta tunelskih mikromreža na ulaznom i izlaznom portalu, kao i mreže tačaka koja povezuje mikromreže najveću teškoću predstavlja činjenica da se ne može sa sigurnošću tvrditi da postoji međusobno dogledanje za tačke mikromreže kako su zamišljene na kartografskim podlogama, tj. da se vizure na terenu mogu nesmetano ostvariti, bez prepreka. Kada se s kartografskih podloga ne može pouzdano utvrditi međusobno dogledanje između tačaka mikromreže potrebno je izraditi uzdužni profil terena za pravce gdje postoji sumnja da postoji neka prepreka koja onemogućava slobodnu vizuru. Ukoliko uzdužni profil pokaže da postoje moguće prepreke do nivoa tangiranja sa tačkama između kojih treba provesti terenska mjerenja, tada se na terenu treba provjeriti 3

4 da li se spomenute tačke međusobno dogledaju. Tamo gdje se projekt mikromreže ne može ostvariti prema projektu, koriguje se na samom terenu uvijek kada je to moguće. Pri tome treba voditi računa da su mjesta izabrana za stabilizaciju pojedinih tačaka mikromreže geološki stabilna (izbjegavati geološki nestabilan teren kao što su klizišta i sl.), kao i da u neposrednoj blizini vizure nema objekata, zidova, drveća itd. što se zbog uticaja refrakcije može nepovoljno odraziti na rezultate mjerenja. Tunelska mreža, kao geodetska osnova za izgradnju tunela ima dva dijela: nadzemni i podzemni dio. Nadzemna mreža je uvijek neki oblik triangulacije (Slika 1). Kako je tunel izdužen objekat, tunelska triangulacija je do pojave GPS uređaja, kao po pravilu imala oblik jednostavnog lanca trouglova, kombinovanog sa dva geodetska četvorogla kod početnog i izlaznog portala tunela. Slika 1. Nadzemna tunelska triangulacija U posljednje vrijeme, upotrebom novih tehnika i tehnologija, lanac trouglova, koji je bio za mjerenja dosta težak i komplikovan jer je postavljan preko planinskih predjela, zamijenjen je poligonometrijskim vlakom (Slika 2) koji povezuje dvije manje trigonometrijske mreže kod oba portala, a kod kraćih tunela je potpuno napušten jer se rade samo mreže kod portala. Slika 2. Tunelska triangulacija sa poligonometrijskim vlakom Dužine strana triangulacijske mreže će zavisiti od mjesnih uslova (konfiguracija terena), broja i razmaka napadnih tačaka za izvođenje radova u tunelu. Što je više napadnih tačaka i što je veća nepravilnost u udaljenosti između njih, to će mreža biti složenija. Prema tome, ako se tunel izgrađuje samo kroz ulazni i izlazni portal, onda će tunelska triangulacija imati formu kao na slikama 1 i 2, pri čemu će se ulazna i izlazna tačka odrediti neposrednim uključenjem u osnovnu triangulaciju. Nadzemna triangulacija se koristi u projektovanju pozicije tunela na terenu, određivanju tačne dužine tunela i da se omogućavanju tačnog proboja tunela, koji će 4

5 zavisiti od tačnosti i nadzemne i podzemne mreže koja se kasnije razvija kroz prokopane djelove tunela. Materijalizacija tačaka dijela mreže kod oba portala izvodi se pomoću stubova za prisilno centrisanje instrumenta i signala, slično kao kod mostovske mreže. Visina stuba nad zemljom obično je m, a u presjeku ima dimenzije 0.4x0.4m ili je oblika valjka (Slika 3). Moguće je gornju površinu uređaja za prisilno centriranje definirati kao visinsku tačku. Formu nadzemne i podzemne mreže najčešće generišu geodetski stručnjaci u zavisnosti od konfiguracije terena za nadzemni dio i oblika osovine tunela za podzemni dio.. Slika 3. Izgled tačaka tunelske mreže za posebne namjene U poslednje vrijeme, razvojem GPS tehnologije sve više se ova metoda koristi kod određivanja koordinata tačaka spoljne tunelske geodetske mreže, naročito kod tunela veće dužine (na svim tunelskim mrežama dionice Autoputa Smokovac Mateševo korišćena je ova metoda). S obzirom da su tuneli najčešće locirani u teško pristupačnim terenima, i obzirom da je za terestičko određivanje mreže potrebno ostvariti međusobna dogledanja između tačaka mikromreže i povezati mikromreže na ulaznom i izlaznom portalu, GPS tehnologija nameće se sama po sebi kao ekonomičnije i lakše rješenje. Posebna prednost primjene GPS tehnologije nasuprot klasičnom terestričkom načinu prilikom razvijanja geodetske osnove ogleda se u naknadnim izmjenama projekta, kada je potrebno izvršiti dodatna mjerenja, budući da se GPS mjerenja mogu izvesti vrlo brzo nezavisno od vremenskih uslova i uklopiti u već postojeću mrežu. Najčešće, prije nego što počnu radovi na proboju tunela već postoji operativni poligon razvijen za potrebe gradnje saobraćajnice. Za uklapanje slobodne GPS mreže potrebno je mjerenjima obuhvatiti i tačke operativnog poligona na ulaznom i izlaznom portalu, odnosno tačke državne trigonometrijske mreže kada ne postoji operativni poligon, i nakon sprovedenog izravnanja sve tačke transformisati u državni koordinatni sistem. Pri ovom postupku ne dolazi do deformacija ni uglova ni dužina. Osim toga, sa obzirom da se prilikom izravnanja GPS-om mjerenih podataka ponekad ne može utvrditi 5

6 iz obrađenih vektora postojanje moguće greške, potrebno je prije računanja podzemne poligonometrije poređenjem međusobnih udaljenosti (iz direktnih mjerenja na terenu i koordinata dobijenih transformacijom u državni koordinatni sistem) ustanoviti pouzdanost svake pojedine tačke mikromreže. Radi dobijanja što preciznijih koordinata koristi se statička GPS metoda sa unaprijed napravljenim planom opažanja da bi se dobio što veći broj zatvorenih poligona za lakšu o bolju obradu dobijenih podataka. Na Slici 4 prikazan je raspored tačaka tunelske mikromreže na tunelu Vjeternik (dužina jedne cijevi preko 3km). Slika 4. Izgled tačaka tunelske mreže na tunelu Vjeternik Na lokacijama tačaka tunelske triangulacije mora biti obezbijeđeno otvoreno nebo, radio vidljivost i drugi uslovi neophodni za primjenu satelitske GPS tehnologije a na istima treba biti obezbjeđena i optička vidljivost, za potrebe korišćenja terestričke mjerne tehnologije. Istraživanjima na postignutim rezultatima dobijenih iz slobodnih mreža određenih GPS-om i klasičnim terestričkim mjerenjima, je pokazano da ne postoji značajna razlika u tačnosti proboja. Iz toga se može zaključiti da se GPS metoda, kao sigurno ekonomičnija, preporučuje kao metoda koju treba koristiti na uspostavljanju horizontalne geodetske osnove za potrebe tunelogradnje. Analiza rezultata tačnosti proboja u visinskom smislu je pokazala da se u podzemnoj poligonometriji za određivanje visina pojedinih tačaka može u potpunosti geometrijski nivelman zamijeniti trigonometrijskim, ukoliko se mjerenje visinskih razlika trigonometrijskim nivelmanom vrši s instrumentima čija je preciznost mjerenja pravaca 1 i dužina 1mm + 2ppm. Ovo dosta skraćuje postupak sa obzirom na veliki broj izmjerenih visinskih razlika trigonometrijskim nivelmanom (vrše se kontrole iskopa tunela svakih 500m prilikom kojih se ponovno opaža cijela podzemna mreža u određenom broju girusa), budući da se visinske razlike mjere istovremeno s prelomnim uglovima. Pri tome valja napomenuti da se svaka visinska razlika trigonometrijskim nivelmanom mora određivati naprijed i nazad, uzimajući u obzir atmosferske uslove, visine instrumenta i signala, uticaje refrakcije, Zemljine zakrivljenosti i srednje nadmorske visine tačaka. 6

7 10.3 Podzemne tunelske mreže Nakon određivanja koordinata tačaka spoljašnje mreže pristupa se iskopu tunela koji se zajedno sa svim ostalim podzemnim radovima prati kroz privremenu unutrašnju mrežu. Prije toga potrebno je orjentisati podzemnu mrežu, tj uspostaviti geometrijsku vezu između nje i nadzemne mreže jer obje moraju biti određene u istom koordinatnom sistemu. Kod tunela, za orjentaciju su karakteristična dva slučaja: kada se prenos direkcionog ugla i koordinata izvodi kroz tunelske portale i slučaj prenosa ovih elemenata kroz vertikalna okna. Slučaj orjentacija kroz vertikalno okno se sreće u rudarstvu i pri gradnji metroa. Žiro teodolit ima žiroskop koji omogućuje određivanje pravca sjevera. Orjentacija pomoću žiro teodolita je danas sve više primjenjiva, jer ne zahtijeva i ne traži prekid drugih radova u tzunelu. Ovim teodolitom se može izmjeriti direkcioni ugao sa tačnošću. Podzemna mreža je nekad razvijana kroz tunel, načešće preko poligonskog vlaka čije tačke su bile materijalizovane u sredini kalote probijenog tunela. Taj vlak je bio dosta nesiguran jer je u stvari to bio takozvani slijepi poligonski vlak. Danas se ova metoda više ne koristi. Kada se prenos direkcionog ugla i koordinata vrši preko tunelskih portala postoji nekoliko načina za taj postupak kao i način stabilizacije tačaka podzemne mreže. Ove tačke je moguće postaviti na bočni zid prije betoniranja sekundarne obloge na način što se u njega ugrađuje postolje sa položajnim zavrtnjem (Slika 5) Slika 5. Izgled privremene tačke tunelske mreže (Tip 1) Materijalizacija tačaka podzemne mreže može da se izvodi i sa specijalnim šipkama stalne dužine koje na jednom kraju imaju pločicu sa rupicom (Slika 6) u sredini iznad koje se centriše instrumenat i signal a na drugom kraju zavrtanj kojim se šipka uvrće u jednu metalnu cijev sa unutrašnjim navojem koja je ugrađena u stijenu tunela. 7

8 Slika 6. Izgled privremene tačke tunelske mreže (Tip 2) Prednost ovog načina sastoji se u tome, što prije svega ovim tačkama ne opterećujemo normalnu komunikaciju kroz tunel (Slika 7) jer su tačke ugrađene u špalu (bočni zid), lako se pronalaze, dobro su zaštićene od eventualnog uništenja, nakon izvršenih mjerenja, šipke se odvrnu i pakuju sa ostalim geodetskim priborom. Centrisanje instrumenta je omogućeno iznad tačke, jer se instrument u toku mjerenja nalazi uz sam zid tunela, tako da ne opterećuje normalnu komunikaciju i rad ostalim izvođačima radova. Slika 7. Materijalizacija tačke podzemne mreže (Tip 2) Za potrebe mjerenja izrađuju se najmanje četiri šipke iste dužine, sa graničnikom koji spaja šipku sa dijelom u koji se navrće, uvijek do kraja, jer od dužine šipke zavisi položaj rupice na kraju šipke a to znači i položaj poligonske tačke. Treći način stabilizacije kontrolnih tačaka podzemne mreže je njihova materijalizacija direktno na izbetonirani dio u temelju tunela. Ovdje treba imati u vidu da se tačke kvalitetno stabilizuju a da pri tome ne smetaju prilikom transporta kamiona (Slika 8). Ovakve stabilizovane tačke se obično postavljaju na samim portalima tunela, služe za orjentaciju i na njima se signal obavezno centriše pomoću držača za prizmu. 8

9 Slika 8. Izgled privremene tačke tunelske mreže (Tip 3) Koordinate privremenih tačaka unutrašnje tunelske mreže se sukcesivno određuju zajedno sa prokopom tunela. Ove tačke se stabilizuju u dijelu gdje je tunel ravan na m a u dijelu gdje je tunel zakrivljen, dužina poligonske stanice c e biti najmanje 70m. One služe za praćenje iskopa, postavljanje remenata, praćenje primarne i sekundarne obloge kao i praćenje konvergencije u tunelu. Određivanju koordinata ovih tačaka se mora pristupiti maksimalno oprezno sa najpreciznijim instrumentima i mjerenjem uglova i visinskih razlika u bar dva girusa. Neki od oblika ovih mreža dati su na Slici 9. Slika 9. Oblici privremene unutrašnje tunelske mreže Prilikom probijanja višetračnih tunela (autoput) situacija sa određivanjem koordinata tačaka privremene unutrašnje mreže je nešto povoljnija. Ovdje je moguće kroz poprečne prolaze koji se postavljaju na cca 250m (Slika 10) zatvoriti poligonski vlak na tačke spoljašnje tunelske mreže (Slika 11). Na ovaj način je moguće izravnati koordinate unutrašnjih tačaka i time povećati njihovu tačnost. 9

10 Slika 10. Poprečna veza u tunelu TKJ-R1 Bocni zid tunela TKJ-R2 A B Glavni C lijevi ulaz pješacki prelaz desni ulaz Glavni B-B C-C A-A Bocni zid tunela celo tunela Slika 11. Zatvoreni poligonski vlak kroz poprečnu vezu u tunelu Pri proboju tunela treba osigurati tačnost ne samo u horizontalnom nego i u visinskom smislu. Radi osiguranja prenosa visina u tunel i zbog izgradnje podzemnih građevina, potrebno je na površini u blizini tunela razviti visinsku geodetsku osnovu. Sve napadne tačke tunela trebaju biti međusobno povezane nivelmanskom mrežom. Tačke visinske geodetske osnove (reperi) moraju biti brižljivo stabilizirane i osigurane. Tako posebno razvijenu mrežu treba priključiti na više repera državne nivelmanske mreže, pri tome nastojati da se priključak izvrši na repere što je moguće višeg reda. Za repere na koje se vrši priključak potrebno je provesti kontrolu njihove stabilnosti. 10

11 Mreža visinskih tačaka se dijeli na repere nadzemne i repere podzemne nivelmanske mreže, a njihova veza se ostvaruje kroz ulazni, odnosno izlazni portal. Tačnost mjerenja za tako razvijenu mrežu računa se na osnovu potrebne visinske tačnosti tokom gradnje tunela, kao i u momentu proboja. Mreža visinskih tačaka je osnova za sva visinska mjerenja i obilježavanja tokom gradnje tunela, kao i kontrolna mjerenja. Kao što je već rečeno, sa poboljšanjem preciznosti totalnih stanica, sve se više koristi trigonometrijski nivelman za kontrolu visine. Ovdje se istovremeno sa izravnanjem unutrašnje mreže u položajnom smislu vriši i njeno visinsko izravnanje mjereći vertikalne uglove i dužine pa se tako dobija unutrašnja tunelska 3D mreža Geodetski radovi pri iskopu tunela Iskop se vrši obilježavanjem njegove linije na čelu tunela tunela. Iz projekta tunela se uzimaju karakteristični profili koji se nanose na osovinu saobraćajnice iz kojih se očitavaju koordinate linija iskopa na odgovarajućim stacionažama. Ova linija se može računati odnosu na osu tunela (Slika 12). Pri proračunu ovih koordinata posebno se treba voditi računa o horizontalnim i vertikalnim krivinama osovine kao i promjenama poprečnih padova (vitoperenja). Slika 12. Obilježavanje iskopa u odnosu na centralnu osu tunela Tradicionalnom metodom iskolčavanja linije iskopa unaprijed se označava projektni okvir a zatim se mjeri rastojanje od konturne linije do centralne linije na svakih 0.5m. U lošijim kategorijama terena potrebno je postavljati rešetkaste nosače remenate. Rešetkasti nosač (remenata) je fiksirani model čije su dimenzije predviđene projektom. On se fiksira pomoću 5 tačaka se označavaju na istim pozicijama (Slika 13) na čelu kosine. 11

12 Slika 13. Tačke za fiksiranje remenate Prilikom izvođenja terena potrebno je praviti geodetske izvještaje na kojima će biti prikazane koordinate tačaka na profilima kao i njihova rastojanja od odgovarajuće projektovane linije. Na Slici 14 su prikazana rastojanja aktuelne linije na terenu od projektovane unutrašnje linije sekundarne obloge. Uz ovaj crtež se pravi i spisak koordinata mjerenih tačaka. Aktuelna linija na terenu Stacionaža TIP STIJENE=5PC i=-4% Projektovana linija iskopa Projektovana linija primarne obloge Projektovana spoljna linija sekundarne obloge Projektovana unutrašnja linija sekundarne obloge Vrijednost rezerve za konvergenciju=15cm Slika 14. Geodetska kontrola tunelskih profila 12

13 U zavisnosti od načina iskopa tunela, kao i kategorije zemljišta mogu se posebno obilježavati različiti elementi tunela: gornji svod, lijevi i desni oporac kao i donji svod (temelj). Prije postavljanja sekundarne obloge potrebno je i geodetski provjeriti dimenzije pokretne oplate. Nakon sastavljanja pokretne oplate, totalna stanica se koristi za snimanje obrisa oplate (pomoću fiksnih tačaka kao kod remenata) koje se porede sa projektovanim linijama sekundarne obloge (Slika 15). Slika 15. Klizna oplata i njena kontrola 13

14 Sa razvojem elektronike i precizne mehanike razvijaju se i odgovarajući softveri za totalne stanice za rad sa tunelima. Jedan od takvih programa je Roadrunner tunnel i njegov prateći softver Amberg koji se instalira u PC računar. U Amberg se ubacuju podaci o osovini tunela, niveleti tunela, poprečnim padovima (njihove promjene na stacionažama iz projekta) i kategorizaciji zemljišta (za svaku kategoriju je u projektu definisan karakterističan poprečni profil). Na ovaj način se u totalnu stanicu mogu unijeti sve projektovane karakteristične površi u tunelu: površ iskopa, površ primarne obloge, površ sekundarne obloge itd. Nakon klasične orjentacije instrumenta u podzemnoj mreži tunela i pokretanjem ovog programa može se provjeriti bilo koja tačka u tunelu i njeno rastojanje od izabrane površi (Slika 16). Neki od tunelskih programa se mogu instalirati i preko aplikacija na mobilnom telefonu koji se pomoću bluetooth-a poveže sa totalnom stanicom i na taj način daju podatke za obilježavanje. U okviru ove aplikacije potrebno je unijeti podatke o osovini tunela. Slika 16. Prikaz iz tunelskog programa za totalnu stanicu Treba napomenuti da danas postoje još napredniji i sofisticiraniji programi (npr. TMS office) koji u sistemu sa odgovarajućom mehanizacijom mogu služiti za automatizaciju njenog rada. U poslednje vrijeme sve je veća i upotreba laserskih skenera (biće opisani u narednom predavanju) u mjerenjima u tunelu. Pomoću njih je moguće dobiti oblak tačaka sa kompletnim 3D modelom terena ili snimljene profile sa velikim brojem tačaka Proračun tačnosti proboja tunela Građevinski inženjer treba da bude načelno obaviješten o formi mreže radi učešća u izradi tačaka nadzemne i podzemne mreže ali je njegovo učešće posebno važno kod određivanja dozvoljene tolerancije razmimoilaženja osovina odnosno koliko je dozvoljeno odstupanje u proboju tunela u slučajevima kad se proboj izvodi kroz dvije ili više napadnih tačaka. Prema tome, projektant će u zavisnosti od vrste tunela, načina proboja i ugrađivanja betonske oplate, projektovati dozvoljeno odstupanje mimoilaženja osovina tunela obilježenih sa podzemne mreže kod oba portala. 14

15 Tačnost proboja tunela zavisiće od: tačnosti nadzemne i podzemne geodetske osnove, metoda mjerenja, načina prenosa elemenata u tunel (bilo da se radi o prenosu kroz ulazne portale ili vertikalna okna), načina prostiranja tunela (pravac, kružni luk) i načina građenja (puni profil, potkop), grešaka pri građenju. Greške pri proboju tunela su rezultat ukupnog djelovanja svih navedenih faktora. Malo dopušteno odstupanje pri proboju dovodi do potrebe da se i nadzemna i podzemna geodetska osnova moraju odrediti sa visokom tačnošću kako se ne bi prekoračilo dozvoljeno odstupanje i time prouzrokovale velike štete u gradnji tunela. U tački proboja tunela mogu nastati odstupanja od projektovanog položaja trase: a) Po smjeru qp; b) Po dužini ql; c) U visinskom smislu qh. Uzdužna greška ql za tunele u pravcu nema veliko značenje jer će se susret osovina dogoditi malo ranije ili kasnije bez negativnih posledica. Ova greška ima veliki značaj ako je tunel u krivini ili u vezi se drugim objektima Poprečna greška proboja štetna je za sve vrste tunela. Usled greške dolazi do nepoklapanja profila tunela na mjestu susreta radova (tzv. paralaksa). Na tim mjestima se kod željezničkih tunela osjećaju bočni udari a ako je riječ o tunelima za vodu pod pritiskom tu može doći do razaranja zidova od vodenih struja. Visinska greška je takođe štetna kada pređe unaprijed zadato odstupanje. Ova greška nastaje usled grešaka visinske osnove i visinskog obilježavanja u procesu građenja tunela. Osa tunela CC (Slika 17), ako ne bi postojale greške mjerenja, trebalo bi da se poklopi na mjestu susreta dva proboja. Međutim, zbog poznate činjenice da sva mjerenja sadrže neizbježne greške mjerenja, to će se odraziti kao mimoilaženje osa a i b za neku vrijednost Q = 2Δ. Slika 17. Dozvoljena odstupanja mimoilaženja osovina Veličina dopuštenog odstupanja uslovljena je veličinom gabaritne rezerve, koju određuje projektant. Ovaj podatak geodetama omogućava da izvrše proračun tačnosti nadzemnih i podzemnih mjerenja, da bi se proboj tunela izveo s dozvoljenom tolerancijom. 15

16 Preciznost u geodeziji razmatra se na osnovu standardnih odstupanja. Polazeći od dozvoljenog odstupanja koje je, obično, zadano projektom, trebalo bi usvojiti odnos između standardnog i dozvoljenog odstupanja (tolerancije). Pri iskolčenju tunelskih osa uzima se da je standardno odstupanje jednako polovini tolerancije. Ako je projektom predviđeno granično odstupanje u veličini Δ, onda će međusobno odstupanje (razmimoilaženje) radnih osa biti 2Δ, pa će proračun tačnosti u proboju tunela polaziti od ove veličine kao date tolerancije: Q = 2 / 2 =, gdje je Q - ukupna srednja greška svih mjerenja. Sada se na osnovu ove vrijednosti vrši izbor metode, instrumenata i proračunava tačnost sa kojima treba vršiti mjerenja elementarnih veličina. U literaturi se mogu naći dozvoljena odstupanja proboja za pravolinijske tunele koja se računaju po formulama: P = 8.5* L / 2 za poprečno odstupanje, H = 3.5 L / 2 za visinsko odstupanje, Gdje se: dobijaju [cm] ako se L izrazi u [km]. P i H 10.6 Mjerenja konvergencije i oskultacije u tunelima Postoji još jedna vrsta geodetskih mjerenja koja je u toku izgradnje tunela veoma važna, jer je povezana sa neposrednom bezbijednošću izvođača radova. Radi se o mjerenju konvergencije tunelskih zidova i kalote. Poznata je činjenica, da kod izrade proboja tunela, postoji tendencija zidova tunela i kalote ka izvjesnom sažimanju, odnosno težnji da se uruše u otkopani dio. Da bi se to spriječilo u posljednje vrijeme se radi betonska obloga tunela skoro paralelno sa iskopom, pa ipak zbog tehnologije radova, uvijek ostaje jedan dio između izvedene obloge i probijenog dijela na kojemu je moguće da dođe do obrušavanja izazvanog konvergencijom. Mjerenja konvergencije se vrše po profilima koje zadaje projektant ili nadzorni organ u tunelu. Pored lokacije profila, projektant ili nadzorni organ u tunelu zadaju i tačke na kojima treba mjeriti konvergenciju. Ranije su se konvergencije mjerile preciznim mjerenjima dužina na mjernim mjestima pomoću specijalnih instrumenata (Slika 18). Slika 18. Mjerenje konvergencija mjerenjem dužina 16

17 Sa unapređenjem preciznosti totalnih stanica mijenja se pristup ovim mjerenjima. Sada se na mjernim mjestima ugrađuju reflektori (Slika 19) na projektovanim pozicijama kojima se određuju 3D koordinate da bi se izračunale konvergencije i pomjeranja. Reflektirajuća prizma treba biti postavljena na armaturi koja je ugrađena u zid i čiji kraj treba da bude zaobljen na način da se ona sa njega može stavljati i skidati. Ovo je naročito bitno zbog toga što prilikom bušenja tunela miniranjem ove prizme treba privremeno skidati sa profila bliskih čelu da iste ne bi bile uništene. Ako je tačka mjerenja oštec ena, treba je odmah zamijeniti bušenjem rupe u blizini prethodne tačke mjerenja i postaviti armaturu u rupu sa malterom. Obično se konvergencija mjeri na pet mjernih mjesta i to jedna, ključna tačka smještena na kruni tunela, dvije tačke sa strane (srednji dio iskopanog prostora u prvoj fazi iskopavanja), zatim dvije tačke smještene na bočnim zidovima. Slika 18. Reflektori (prizme) za mjerenje konvergencije u tunelima sa načinom stabilizacije Mjerenje se vrši po određenoj frekvenciji i tada se poređenjem dobijenih koordinata sa nultim mjerenjem može dobiti konvergentna deformacija. Bušenje tunela izaziva pomjeranje zemljišta, pa se test profili određuju na osnovu geoloških uslova i tipova ojačanja. Profili provjere i profili mjerenja rade se u intervalu od 20m-50m. Na području gdje su geološki uslovi loši, test profili se mjere na kraćem intervalu. Veoma je važno da se tačke na profilu za konvergenciju stabilizuju i odrede njihove nulte koordinate najviše 24h od miniranja jer su tada očekivana pomjeranja najveća. 17

18 Frekvencija mjerenja se utvrđuje u zavisnosti od dobijenih pomjeranja. U početku se mjerenja vrše svakodnevno, zatim kad dođe do postepenog umirivanja sve rjeđe dok se ne postignu projektom predviđeni zahtjevi za prestanak mjerenja konvergencije. Pri ovoj metodi mjerenja, uporedo sa mjerenjem konvergencije, tj rastojanja među postavljenim mjernim tačkama računaju se i ukupna trodimenzionalna pomjeranja tačaka. Nakon što se završe mjerenja, izrađuje se dijagram sa osama vrijeme i pomjeranje (Slika 19) koja predstavlja odnos položaja u prostoru sa vremenom mjerenja podataka. Slika 19. Dijagram vrijeme pomjeranje Prema analizi podataka praćenja, može se predvidjeti konačna vrijednost slijeganja i stanje bezbjednosti tunela. Mjerenja ukazuju na promjene vremena ili razdaljine od čela iskopa kroz krivulju slijeganja i konvergencije. S obzirom na tendenciju stabilizacije, određuje se je li potporna konstukcija na mjerenom mjestu odgovarajuća i adekvatna. Ako nije stabilna, može se koristiti za provjeru oblasti koja se obrađuje, a usvaja se čak i dodatno i dopunsko ojačanje. Konačne referentne vrijednosti za svaki tip profila koji se prati i kontroliše (a koje su date od strane projektanta ili stručnog nadzora) i provjerene vrijednosti se upoređuju da bi se analizirao opseg i snaga obrade i ojačavanja. Maksimalno dozvoljene deformacije zavise od tipa stijene koji utvrđuju geolozi i definisane su u projektu. Obično je projektom definisano da kada mjerenja pokažu da je stopa radijalnog izmiještanja na svakoj poziciji periferije tunela manja od 4mm za 30 dana, smatra se da je okolna stijena generalno dostigla stabilnost. U tom momentu se demontiraju mjerne tačke i izvode se radovi na sekundarnoj oblogi. Osim praćenja pomjeranja konvergencije na terenu je potrebno i pratiti vertikalno slijeganje i horizontalno izmiještanje površine tla. Ova mjerenja obuhvataju dvije pozicije - portali tunela i lokacije sa plitkim nadslojem između dva portala tunela, kao što su doline (Slika 20). Kada je debljina nadsloja iznad svoda tunela manja od širine tunela, neophodno je pratiti stabilnost okolnog tla. Ako postoje neka pomjeranja iznad dozvoljenih tolerancija, izgradnja se odmah obustavlja i moraju se preduzeti mjere da ne bi došlo do urušavanja tunela. Sve ove koordinate tačaka prac enja treba da se odrede pomoc u tačaka referentne mreže. 18

19 Slika 20. Tačke mjerenja za mjerenje slijeganja tla u plitko ukopanim presjecima Nakon kompletno završenih radova i početka perioda eksploatacije tunela, u zavisnosti od metode izgradnje tunela u njema se vrše geodetska mjerenja osmatranja stabilnosti tunela, takozvane oskultacije. Projekat oskultacije tunela treba da urade građevinski i geodetski inženjeri, svaki za svoj dio radova. Građevinski inženjer, još za vrijeme radova u tunelu, treba da projektuje profile na kojima će se vršiti oskultacije i da se na vrijeme ugrade neophodne fluoroscentne markice ili reflektujuće prizme koje će poslužiti za oskultacije na sličan način kao kod mjerenja konvergencije. Geodetski stručnjak u projektu oskultacije, treba da projektuje osnovnu mrežu sa koje će se vršiti mjerenja, način stabilizacije tačaka, izbor instrumenata i metodu mjerenja, sa prethodnom ocjenom tačnosti koja će kao i kod proboja zavisiti od tolerancija koja zadaje projektant. Da bi se vršile oskultacije tunela potrebno je stabilizovati i odrediti koordinate stalnih tačaka unutrašnje tunelske mreže. Ove tačke se postavljaju u beton oporca, i obično se njihova stabilizacija vrši čeličnim bolcnama na čijem čelu se nalazi urezani krst. Spoljašnji dio čelika treba da bude 1cm dug i da pokriven gvozdenom pločom ili daskama. Na Slici 21 se vidi način i mjesto stabilizacije ovih tačaka za slučaj kada ima i kada nema podnožni svod. Iznad ovih tačaka trebalo bi da stoji znak upozorenja i mjere zaštite za spriječavanje štete od vozila ili nečeg drugog. Nulto mjerenje za oskultaciju, izvodi se odmah po kompletnom završetku radova a kontrolna mjerenja u terminima koje odredi projektant. Slika 21. Mjesta stabilizacije trajne tačke tunelske mreže 19

20 Prilikom bušenja tunela novijim metodama sa primarnom oblogom oskultacije tunela se vrše samo po potrebi ukoliko je vizuelniom pregledom utvrđeno da se na sekundarnoj oblogi javljaju pukotine. 20

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Metode i instrumenti za određivanje visinskih razlika. Zdravka Šimić

Metode i instrumenti za određivanje visinskih razlika. Zdravka Šimić Metode i instrumenti za određivanje visinskih razlika Zdravka Šimić Visinski prikaz terena - konfiguracija dio plana dio karte 2 Visinski prikaz terena Izohipse ili slojnice povezuju točke iste visine.

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

GRAĐEVINSKI FAKULTEТ. Katedra za a geodeziju i geoinformatiku GEODETSKA MREŽA U INŽENJERSKIM RADOVIMA

GRAĐEVINSKI FAKULTEТ. Katedra za a geodeziju i geoinformatiku GEODETSKA MREŽA U INŽENJERSKIM RADOVIMA GRAĐEVINSKI FAKULTEТ Katedra za a geodeziju i geoinformatiku GEODETSKA MREŽA U INŽENJERSKIM RADOVIMA Doc. dr Zagorka Gospavić, dipl.geod.inž. Školska 2010/110 Geodetska mreža a objekta - Geodetska mreža

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Visinska predstava na topografskim podlogama. Pojedine tačke sa kotama Izohipse Hipsometrijska skala Šrafura Senčenje. Kombinacija

Visinska predstava na topografskim podlogama. Pojedine tačke sa kotama Izohipse Hipsometrijska skala Šrafura Senčenje. Kombinacija Visinska predstava na topografskim podlogama Pojedine tačke sa kotama Izohipse Hipsometrijska skala Šrafura Senčenje Kombinacija 15 Tačke sa visinama 16 Izohipse E ekvidistancija Vrednosti: 0.5, 1, 2.5,...

Διαβάστε περισσότερα

TOLERANCIJE I DOSJEDI

TOLERANCIJE I DOSJEDI 11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel OSNOVE STROJARSTVA TOLERANCIJE I DOSJEDI 1 Tolerancije dimenzija Nijednu dimenziju nije moguće izraditi savršeno točno, bez ikakvih odstupanja. Stoga, kada

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

INŽENJERSTVO NAFTE I GASA. 2. vežbe. 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 1 of 50

INŽENJERSTVO NAFTE I GASA. 2. vežbe. 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 1 of 50 INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 2. vežbe 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 1 of 50 Proračuni trajektorija koso-usmerenih bušotina 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 2 of 50 Proračun

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

- Geodetske točke in geodetske mreže

- Geodetske točke in geodetske mreže - Geodetske točke in geodetske mreže 15 Geodetske točke in geodetske mreže Materializacija koordinatnih sistemov 2 Geodetske točke Geodetska točka je točka, označena na fizični površini Zemlje z izbrano

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona.

Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona. Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona Prema osnovnoj formuli za dimenzionisanje maksimalni tangencijalni napon τ max koji se javlja u štapu mora biti manji

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

Sistem sučeljnih sila

Sistem sučeljnih sila Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele: Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n

Διαβάστε περισσότερα

= 6.25 Ω I B1 = 3U =529 Ω I B2 = 3U = 1905 Ω I B3G = 3U

= 6.25 Ω I B1 = 3U =529 Ω I B2 = 3U = 1905 Ω I B3G = 3U 1. Za EES dat na slici: a) odrediti bazne struje i impedanse elemenata ako je S B = 100 MVA, a naponi jednaki nominalnim vrijednostima napona pojedinih naponskih nivoa, b) Nacrtati ekvivalentne šeme direktnog,

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα