ΜΕΛΕΤΩ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ: Η δύναμη της Ανάλυσης και Σύνθεσης FOURIER

Transcript

1 ΕΥΔΟΞΟΣ EΘΝΙΚΟ ΑΣΤΕΡΟΣΚΟΠΕΙΟ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Ορος Αίνος Νήσου Κεφαλληνίας, Τηλ. / Fax: , nsolom@leon.nrcps.ariadne-t.gr, nsolom@snd.edu.gr, Web: ΜΕΛΕΤΩ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ: Η δύναμη της Ανάλυσης και Σύνθεσης FOURIER ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΧΡΟΝΟ-ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΙ ΑΣΤΕΡΕΣ ΧΡΟΝΟ-ΦΩΤΟΜΕΤΡΙΑ UBVRI. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Προκαταρκτική Εκδοση (Δεκ.2000) για χρήση Συνεργατών Προγράμματος

2 ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΙ ΑΣΤΕΡΕΣ: ΤΥΠΟΙ, ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΦΩΤΟΣ, ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ THΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER 1. ΠΕΡΙΛΗΨΗ - ΣΚΟΠΟΣ Σκοπός του Εκπαιδευτικού Πειράματος είναι η μέτρηση, καταγραφή και ανάλυση της μεταβαλόμενης με το χρόνο φωτεινότητας (της καμπύλης φωτός) των μεταβλητών αστέρων (variable stars). Παράλληλα δίνονται βασικές έννοιες της ανάλυσης Fourier μιας κυματομορφής και εμπεδώνεται ο τρόπος χρήσης της ως εργαλείο εντοπισμού περιοδικοτήτων σέ ένα φαινόμενο. Κατά φυσικό τρόπο εισάγεται ο μαθητής στην η έννοια και χρήση του ολοκληρώματος. 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ - ΣΧΕΣΕΙΣ 2.1 ΣΥΜΒΟΛΑ - ΜΟΝΑΔΕΣ - ΟΡΙΣΜΟΙ - ΒΑΣΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ 1 parcec [pc] = έτη φωτός = 3.09x10 13 [Km], μονάδα μέτρησης μήκους Ηλεκτρομαγνητικό φάσμα : Είναι όλη η περιοχή των μηκών κύματος που μπορεί να περιέχει η ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία (το φώς ) V δείκτης/σύμβολο για την ορατή (visual) περιοχή (ζώνη) του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος (4500 έως 7500Å, 1Å= m) L [Watt] φωτεινότητα ή πραγματική λαμπρότητα άστρου. Είναι η ισχύς της φωτεινής ακτινοβολίας του άστρου (δηλ. η φωτεινή ενέργεια ανά μονάδα χρόνου) που ακτινοβολείται απ όλη την επιφάνεια του άστρου και σε όλα τα μήκη κύματος του φωτός, δηλ όχι μόνο στην οπτική περιοχή του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος. Ο Ηλιος έχει φωτεινότητα : L = 3.8x10 26 W 2

3 B m φαινόμενη λαμπρότητα άστρου. Η ισχύς φωτεινής ακτινοβολίας που μετράται με μια συσκευή στη Γη και η οποία εξαρτάται : από τη φωτεινότητα L, από την απόσταση d του άστρου, από το ποσοστό απώλειας της αρχικής αστρικής ακτινοβολίας λόγω απορροφήσεώς της από τη μεσοαστρική ύλη, από τη συλλεκτική ικανότητα του τηλεσκοπίου και από την ευαισθησία της μετρητικής συσκευής. Δηλ. πρόκειται για ένα αντικειμενικό φυσικό μέγεθος, που μπορεί να μετρηθεί με τη βοήθεια καταλλήλων οργάνων. φαινόμενο μέγεθος (apparent magnitude) άστρου. Εκφραση της λαμπρότητας ενός αστέρος σε υποκειμενική κλίμακα βασισμένη στην ευαισθησία του ανθρώπινου οφθαλμού και στο ψυχοφυσικό και ΜΗ αντικειμενικό αίσθημα της λαμπρότητας, που δημιουργείται στον ανθρώπινο εγκέφαλο. Με βάση αυτή την κλίμακα - η οποία ΔΕΝ είναι γραμμική (δηλ. διπλάσια λαμπρότητα ΔΕΝ αντιστοιχεί σε διπλάσιο αίσθημα λαμπρότητας από τον εγκέφαλο) - οι λαμπρότεροι από τους ορατούς με γυμνό οφθαλμό αστέρες έχουν m=1 ενώ οι μόλις ορατοί με γυμνό οφθαλμό έχουν m=6. Αξιοσημείωτο είναι, ότι η πρώτη ταξινόμηση αστέρων σε κλίμακα φαινόμενων μεγεθών έγινε από τον Ιππαρχο το 120 π.χ. και επεκτάθηκε από τον Πτολεμαίο το 180 μ.χ.. Αργότερα οι γνώσεις αυτές μεταφράστηκαν στα αραβικά για να περάσουν τέλος στην Ευρώπη του Μεσαίωνα και να γίνουν οι βάσεις για μια νέα ανάπτυξη της επιστήμης. Από τα μέσα του 18ου αιώνα (Herschel, Pogson) αποδείχθηκε πειραματικά, ότι διαφορά πέντε φαινόμενων μεγεθών (m) αντιστοιχεί σε λόγο φαινόμενων λαμπροτήτων (b) ίσο με εκατό. Η διαπίστωση αυτή εκφράζεται μαθηματικά από τον ακόλουθο τύπο, που καθιερώθηκε για τη συσχέτιση των υποκειμενικών (m) και αντικειμενικών (b) μονάδων μέτρησης της ισχύος φωτεινής ακτινοβολίας από ουράνια αντικείμενα: 3

4 m 2 - m 1 = Log(b 1 /b 2 ) ( όπου Log(x) είναι ο Δεκαδικός Λογάριθμος του x (Λογάριθμος με βάση το 10), δηλ. x = 10 Log(x) ) Με βάση τα παραπάνω, όσον ασθενέστερος φαίνεται ένας αστέρας τόσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός που εκφράζει το φαινόμενο μεγεθός του, όπως και ενδεικτικά απεικονίζεται στο παρακάτω διάγραμμα : Ουράνιο Σώμα : Sir Ve ---* * *----* *-- Φαιν. Μέγεθος : όπου : ο Ηλιος η Πανσέληνος Sir ο αστέρας Σείριος Ve ο αστέρας Βέγας M M bol m V, M V απόλυτο μέγεθος άστρου Είναι το φαινόμενο μέγεθος ενός άστρου, αν η απόστασή του από τη Γη ήταν 10 pc. Αποδεικνύεται ότι είναι : M - m = 5-5 Log(d) απόλυτο βολομετρικό μέγεθος άστρου Είναι το απόλυτο μέγεθος του άστρου, στην περίπτωση που η συσκευή μέτρησης μπορούσε να μετρήσει την ολική ισχύ της αστρικής ακτινοβολίας σε όλα τα μήκη κύματος του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος και όχι μόνον σε μια ζώνη του φάσματος. Με χρήση π.χ. ενός υπέρυθρου φίλτρου μετράται η ισχύς της αστρικής ακτινοβολίας μόνον στην υπέρυθρη περιοχή του φάσματος. Προφανώς είναι : M bol > M Το απόλυτο βολομετρικό μέγεθος του Ηλιου : Μbol = 4.72 φαινόμενο, απόλυτο μέγεθος στην ορατή ζώνη του φάσματος 4

5 [ mag ] [ μέγεθος ], π.χ. λέμε ο αστέρας αυτός έχει φαινόμενο μέγεθος m=3.5 mag, ή εκείνος ο αστέρας έχει απόλυτο μέγεθος M=9.9 mag. sin(φ) ημ(φ) [ η συνάρτηση : ημίτονο... ] cos(φ)συν(φ) [ η συνάρτηση : συνημίτονο... ] tg(φ) εφ(φ) [ η συνάρτηση : εφαπτομένη... ] Arctan(κ),τοξεφ(φ) [ η συνάρτηση : τόξο που έχει εφαπτομένη... ] ΙΟΥΛΙΑΝΗ ΗΜΕΡΑ JD ( Julian Day ) Στην καθημερινή ζωή χρησιμοποιούμε το λεγόμενο Γρηγοριανό Ημερολόγιο. Για πολλούς λόγους η χρησιμοποίηση του Γρηγοριανού Ημερολογίου ΔΕΝ είναι πρακτική στην Αστρονομία και στην Αστροφυσική, ιδιαίτερα για περιγραφή φαινομένων των οποίων η εξέλιξη παρατηρείται και καταγράφεται για μεγάλα χρονικά διαστήματα, π.χ. για πολλές δεκαετίες. Στο Γρηγοριανό Ημερολόγιο π.χ. το έτος δεν είναι σταθερής διάρκειας (άλλοτε 365 και άλλοτε 366 ημέρες), δεν υπάρχει το έτος 0 κλπ. Ετσι στην Αστρονομία και στην Αστροφυσική ο χρόνος μετράται απλά σε ΗΜΕΡΕΣ ( ΙΟΥΛΙΑΝΗ ΗΜΕΡΑ, Julian Day ), έχοντας θέσει το μηδέν (την αρχή του χρόνου) το μεσημέρι της 1ης Ιανουαρίου του έτους 4713 π.χ. (προ Χριστού). Ετσι π.χ. η 1η Ιανουαρίου του έτους 2000 σε μονάδες Ιουλιανής Ημέρας είναι η JD. H κάθε JD αρχίζει το μεσημέρι ώρας Greenwich (Αστεροσκοπείο πλησίον του Λονδίνου) (GMT : Greenwich Mean Time) και ο χρόνος μετά το μεσημέρι εκφράζονται ως δεκαδικό κλάσμα των 24 ωρών της ημέρας. Για παράδειγμα η ώρα ( 1 μετά το μεσημέρι ) στο Λονδίνο την 1η Ιανουαρίου 2000 σε μονάδες Ιουλιανής Ημέρας είναι , JD (διότι η μια ώρα είναι το 1/24 = 0, της ημέρας). Ενα χρήσιμο σημείο αναφοράς για πρόσφατες σχετικά μετρήσεις είναι το μεσημέρι της 9ης Οκτωβρίου 1995, που αντιστοιχεί στην JD. ΚΑΜΠΥΛΗ ΦΩΤΟΣ αστέρα ( Light Curve ) Η Καμπύλη Φωτός (Light Curve) ενός άστρου είναι η γραφική παράσταση του χρονικά μεταβαλλόμενου φαινόμενου μεγέθους m 5

6 του άστρου συναρτήσει του χρόνου. Ο χρόνος στο διάγραμμα της καμπύλης φωτός μετράται συνήθως σε JD. Από την ανάλυση και μελέτη της Καμπύλης Φωτός ενός άστρου μπορεί να προκύψουν πληροφορίες για τα χαρακτηριστικά του όπως μάζα, μέγεθος κλπ. Σε πολλούς τύπους μεταβλητών αστέρων η Καμπύλη Φωτός παρουσιάζει περιοδικότητα και το πρώτο μέγεθος που ενδιαφέρει τότε είναι η Περίοδος της μεταβλητότητας. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ (Integral) ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f(t) f(t) dt t1 + + _ t2 t t Σχήμα 1. Ολοκλήρωμα Συνάρτησης f(t) Εστω μια γνωστή συνάρτηση f(t), όπου μεταβλητή είναι π.χ. ο χρόνος t, με τη γραφική παράσταση του Σχήματος 1. Το ορισμένο ολοκλήρωμα της f(t) από τη χρονική στιγμή t 1 έως τη χρονική στιγμή t 2 είναι - με κάποια κλίμακα - το εμβαδό της επιφάνειας μεταξύ της καμπύλης της f(t) και του οριζόντιου άξονα των συντεταγμένων, κατά το διάστημα από t 1 έως t 2. Εμβαδά πάνω από τον οριζόντιο άξονα μετρώνται ως θετικά, ενώ κάτω από τον οριζόντιο άξονα ως αρνητικά. 6

7 Το εμβαδό που μας ενδιαφέρει - που ας το συμβολίσουμε εδώ έστω F(1,2) - μπορεί να θεωρηθεί σαν το άθροισμα των εμβαδών πάρα πολλών παραλληλογράμμων, διάρκειας το καθένα dt και ύψους f(t), αρκεί το dt να τείνει στο μηδέν. Ετσι γράφουμε : F(1,2) = όριο του t1 Σ t2 f(t).dt, όταν dt 0 [ 1 ] Αυτό το όριο του αθροίσματος των ποσοτήτων f(t).dt, για το διάστημα τιμών της μεταβλητής t από t1 έως t2, όταν το dt τείνει στο μηδέν, το παριστάνουμε συμβολικά ως : F(1,2) = 2 t1 t F( t). dt [ 2 ] και λέμε ότι είναι το ορισμένο ολοκλήρωμα της f(t) στο διάστημα από t1 έως t2. Δεν θα επεκταθούμε εδώ στον τρόπο υπολογισμού των ολοκληρωμάτων για τις διάφορες μορφές των συναρτήσεων f(t), παραπέμποντας στα αντίστοιχα κεφάλαια περί ολοκληρωτικού λογισμού σε κάθε Μαθηματικό εκπαιδευτικό εγχειρίδιο. Aναφέρουμε μόνον για παράδειγμα, ότι π.χ. ισχύει : - αν είναι f(t) = Κ.t τότε t1! t2 Κ.t.dt = Κ.(t t 2 1 )/2 - αν είναι f(t) = Α.sin(ωt) τότε t 1! t2 Α.sin(ωt).dt = (Α/ω).[ -cos(ωt 2 ) + cos(ωt 1 ) ] - κλπ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ - ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΣΗΜΑΤΑ - ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ Η/Υ Στις κλίμακες του χρόνου που -στα περισσότερα προβλήματα με τα οποία ασχολείται ο άνθρωπος- συνήθως μας ενδιαφέρουν, τα φυσικά φαινόμενα και τα μεγέθη που τα περιγράφουν εξελίσσονται, όπως λέμε, κατά αναλογικό ή συνεχή τρόπο, χωρίς να παρουσιάζονται κενά ή διαλείψεις. Δηλαδή, η συνάρτηση f(t) και η αντίστοιχη καμπύλη έχει 7

8 νόημα για κάθε χρονική στιγμή t, μέσα στο διάστημα [ t 1, t 2 ] που παρακολουθούμε το φαινόμενο. Λέμε τότε, ότι έχουμε ένα αναλογικό σήμα, και έχουμε στην ουσία άπειρα ζευγάρια τιμών [ t, f(t) ]. Ο όρος σήμα χρησιμοποιείται, με την έννοια, ότι η καμπύλη μεταβολής του κάθε φυσικού μεγέθους κρύβει κάποια πληροφορία π.χ. για τις παραμέτρους και τους νόμους που επηρεάζουν το φαινόμενο που εξετάζουμε, σε αντιστοιχία με τα κοινά σήματα όπως π.χ. στη μεταβλητότητα ενός ραδιοφωνικού σήματος εμπεριέχεται η πληροφορία (φωνή-ήχος) που μεταφέρει. Στις σύγχρονες ψηφιακές μετρήσεις όμως και στην εν συνεχεία επεξεργασία που γίνεται με Ηλεκτρονικό Υπολογιστή (Η/Υ) των δεδομένων που συλλέγονται από τις μετρήσεις αυτές, τα σήματα έχουν πλέον μετατραπεί σε διακριτά, δηλ. γνωρίζουμε μόνον για συγκεκριμένες και πεπερασμένες σε αριθμό τιμές της μεταβλητής t, έστω για τις τιμές t i, i = 1,2,3,...,N τις αντίστοιχες τιμές του μεγέθους f(t i ). Ετσι έχουμε πεπερασμένο αριθμό Ν, ζευγαριών τιμών [ t i, f(t i ) ], στο διάστημα [ t 1, t 2 ] που παρακολουθούμε το φαινόμενο. Ας σημειωθεί, ότι στις περισσότερες περιπτώσεις επιδιώκεται - επειδή είναι βολικό για την περαιτέρω επεξεργασία των δεδομένων των μετρήσεων - και πολύ συχνά επιτυγχάνεται να έχουμε ομοιόμορφη δειγματοληψία της συνάρτησης f(t), δηλ. δυο διαδοχικές τιμές t i να ισαπέχουν, θα είναι δηλ. (t (i+1) - t i ) = (t 2 - t 1 )/(Ν-1) = σταθερό = dt, όπου το dt είναι συνήθως πολύ μικρότερο από τη διαφορά (t 2 - t 1 ). Ομως υπάρχουν περιπτώσεις, όπως πολλές φορές συμβαίνει και στις μετρήσεις της Αστρονομίας και της Αστροφυσικής, που ΔΕΝ είναι δυνατό να επιτευχθεί ομοιόμορφη δειγματοληψία και στις οποίες οι τιμές t i ΔΕΝ ισαπέχουν, αλλά είναι λίγο πολύ τυχαία κατανεμημένες στο διάστημα [t 1,t 2 ]. Τότε μιλάμε για ανομοιόμορφη δειγματοληψία της συνάρτησης f(t). Είναι εύκολο να καταλάβουμε, ότι στις μετρήσεις της Αστρονομίας και της Αστροφυσικής πολλές φορές η δειγματοληψία είναι ανομοιόμορφη, καθ όσον πολλοί παράγοντες - το φώς της ημέρας, συνεφιασμένος ουρανός, η θέση π.χ. ενός τηλεσκοπίου στη Γη σε σχέση με το παρατηρούμενο αντικείμενο κλπ - δεν επιτρέπουν να παίρνουμε μια μέτρηση, όποτε θέλουμε εμείς. 8

9 * Στους υπολογισμούς τώρα που γίνονται με (Η/Υ), μπορεί να βρεθούμε αντιμέτωποι με τις εξής περιπτώσεις : 1) είτε να γνωρίζουμε την αναλυτική μορφή (δηλ. τον μαθηματικό τύπο) μιας συνάρτησης f(t), π.χ. f(t) = Α.sin(ωt), οπότε είναι σαν να έχουμε ένα αναλογικό σήμα, 2) είτε να έχουμε τη συνάρτηση f(t) υπό διακριτή μορφή, δηλ. να έχουμε π.χ. από κάποιες μετρήσεις Ν το πλήθος ζευγάρια τιμών [ t i, f(t i ) ], στο διάστημα [ t 1, t 2 ] και μάλιστα : 2.α) είτε να έχουμε ομοιόμορφη δειγματοληψία, 2.β) είτε να έχουμε ανομοιόμορφη δειγματοληψία. Ανεξάρτητα όμως από τη μορφή με την οποίαν έχουμε μια συνάρτηση, ο υπολογισμός π.χ. ενός ολοκληρώματος με Η/Υ γίνεται πάντα με βάση το σκεπτικό της σχέσης [1] της προηγούμενης ενότητας ( δηλ. υπολογίζουμε το t1 Σ t2 f(t).dt ) όπου όμως τώρα δεν θα έχουμε βέβαια dt 0 (οπότε το πλήθος των όρων του αθροίσματος θα πήγαινε στο άπειρο), αλλά με dt κατάλληλα μικρό ανάλογα και με τη μορφή της συναρτήσεως f(t) σε συνδιασμό με την επιθυμητή ακρίβεια του υπολογισμού. Αυτό γίνεται ως εξής : Στην περίπτωση που γνωρίζουμε την αναλυτική έκφραση της συνάρτησης f(t) και ανάλογα με τη μορφή της f(t) και με την επιθυμητή ακρίβεια του υπολογισμού, υπολογίζουμε κατ αρχάς Ν το πλήθος τιμές f(t i ) της συνάρτησης f(t) σε ισαπέχουσες (συνήθως) χρονικές στιγμές t i = t 1 + i. dt, με i = 1,2,3,...,N και με dt=(t 2 -t 1 )/(Ν-1)=σταθερό και κατάλληλα μικρό. Ετσι θα διαθέτουμε Ν το πλήθος ζευγάρια τιμών [ t i, f(t i ) ], στο διάστημα [t 1, t 2 ]. Στην περίπτωση που η συνάρτηση f(t) είναι γνωστή από την αρχή υπό διακριτή μορφή ( και έστω για απλότητα ότι έχουμε ομοιόμορφη δειγματοληψία ), τότε θα έχουμε ήδη από την αρχή τα Ν το πλήθος ζευγάρια τιμών [ t i, f(t i ) ], στο διάστημα [ t 1, t 2 ]. Στη συνέχεια υπολογίζεται (ταχύτατα, ανάλογα και με την υπολογιστική ισχύ του Η/Υ που διαθέτουμε) το άθροισμα Σ ι f(t i ).dt, με i = 1,2,3,...,N το οποίο προσεγγίζει τόσον περισσότερο την σωστή τιμή του ολοκληρώματος, όσον μικρότερο είναι το dt σε σχέση με το διάστημα [t 1, t 2 ], δηλ. όσο πιο πυκνά είναι στο διάστημα [t 1, t 2 ] τα σημεία που χρησιμοποιούμε. 9

10 Σημείωση : Αν γνωρίζουμε τη συνάρτηση f(t) υπό διακριτή μορφή αλλά με ανομοιόμορφη δειγματοληψία, τότε τα πράγματα δυσκολεύουν λίγο. Στην περίπτωση αυτή υπάρχουν διάφοροι τρόποι να δουλέψουμε, στους οποίους εδώ δεν μπορούμε να επεκταθούμε λεπτομερώς. Σε συντομία όμως λέμε, ότι το πρόβλημα μπορεί να ληθεί με τους παρακάτω τρόπους : α. Χρησιμοποιώντας τα γνωστά Ν το πλήθος ζευγάρια τιμών [ t i, f(t i ) ] στο διάστημα [ t 1, t 2 ], βρίσκουμε με κατάλληλες μαθηματικές μεθόδους τον τύπο ( την αναλυτικά έκφραση) μιας συνάρτησης f*(t), η οποία να προσεγγίζει με τον καλύτερο δυνατό τρόπο τη συνάρτηση f(t) στο διάστημα [ t 1, t 2 ]. Το κριτήριο για την καλύτερη προσέγγιση είναι η αρχή του ελάχιστου τεραγωνικού σφάλματος, δηλ. η f*(t) πρέπει να είναι τέτοια, ώστε η ποσότητα σ 2 = Σ i [f*(t i ) - f(t i ) ] 2 να έχει τη μικρότερη δυνατή τιμή. Στη συνέχεια αντί της συνάρτησης f(t) χρησιμοποιούμε πια την f*(t), και εργαζόμαστε, όπως εξηγήσαμε πιο πάνω για την περίπτωση μιας συνάρτησης, της οποίας γνωρίζουμε την αναλυτική μορφή. β. Χρησιμοποιώντας απευθείας τα γνωστά Ν το πλήθος ζευγάρια τιμών [ t i, f(t i ) ], όπως είναι ανομοιόμορφα κατανεμημένα στο διάστημα [ t 1, t 2 ], και εφαρμόζουμε κατάλληλους για την περίπτωση αυτή μαθηματικούς αλγορίθμους (διαδικασίες μαθηματικών υπολογισμών), στην ανάπτυξη των οποίων δεν μπορούμε να προχωρήσουμε εδώ. 10

11 ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER Η ανάλυση Fourier (Φουριέ) είναι ένα πάρα πολύ βασικό και ιδιαίτερα χρήσιμο εργαλείο σχεδόν σε όλους τους κλάδους των Θετικών Επιστημών. Στo εδάφιο αυτό δίνεται μια σύντομη και απλοποιημένη παρουσίαση των βασικών εννοιών και του βασικού σκεπτικού της ανάλυσης Fourier ενός χρονικά επαναλαμβαμόμενου φυσικού μεγέθους, βασισμένη στη Βιβλιογραφία με α/α [8]. 1. Εδώ και περίπου 200 χρόνια έχει αποδειχθεί, ότι ισχύει ο παρακάτω φυσικός νόμος, για τον οποίον έχουν αναπτυχθεί και πολλά μαθηματικά εργαλεία με βάση κυρίως τις εργασίες του Γάλλου Μαθηματικού/Μηχανικού Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) [περισσότερες πληροφορίες για τον J.B.Fourier υπάρχουν στη διεύθυνση του Διαδικτύου (internet) ] : Οταν ένα φυσικό μέγεθος μεταβάλλεται περιοδικά συναρτήσει του χρόνου, έστω με περίοδο Τ 1 ( και άρα έχει συχνότητα f 1 = 1/Τ 1 και κυκλική συχνότητα ω 1 = 2π/Τ 1 = 2πf 1 ), τότε το μέγεθος αυτό μπορεί να θεωρηθεί σαν το άθροισμα ενός σταθερού μεγέθους C 0 και πολλών άλλων μεγεθών C n (t), 11

12 που το καθένα μεταβάλλεται ημιτονοειδώς με το χρόνο και τα οποία λέμε ότι είναι οι αρμονικές του αρχικού μεγέθους. Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό των αρμονικών είναι, ότι η κάθε μια από αυτές έχει διαφορετική συχνότητα f n, η οποία είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της συχνότητας f 1, δηλ. είναι f n = n.f 1, όπου n = 1,2,3,... ακέραιος αριθμός. 2. Στη μαθηματική γλώσσα το παραπάνω εκφράζεται ως εξής: Εστω μια περιοδική συνάρτηση f(t) = f(t +/- T 1 ) η οποία εκφράζει τη χρονική μεταβολή ενός φυσικού μεγέθους (π.χ. μιας ηλεκτρικής τάσεως σε ένα ηλ. κύκλωμα, της φαινόμενης λαμπρότητας ενός Μεταβλητού Αστέρα κλπ), όπου : η μεταβλητή t είναι ο χρόνος ( γενικά - < t < + ) και το T 1 ( με T 1 > 0 ) είναι η περίοδος του φαινομένου. [πολλές φορές η f(t) λέγεται τότε και περιοδική κυματομορφή ] Αποδεικνύεται ότι -εφ όσον η f(t) πληροί ορισμένες προϋποθέσεις-, που στα φυσικά μεγέθη σχεδόν πάντα ισχύουν - η f(t) μπορεί να γραφεί και ως εξής : f(t) = C Σ Ν C n (t) = C Σ Ν C n.sin (n.ω 1.t + θ n ) [ 3 ] (όπου 1Σ Ν σημαίνει άθροισμα όρων με δείκτη n ακέραιο αριθμό από 1 έως Ν ). Ας σημειωθεί, ότι ανάλογα με τη μορφή της f(t), το Ν μπορεί να είναι πολύ μεγάλο, ακόμη και να τείνει στο άπειρο! Η σχέση [3] λέμε ότι μας δίνει την ανάλυση σε σειρά Fourier της συνάρτησης f(t) και συχνά λέμε, ότι έχουμε αναπτύξει την f(t) κατά Fourier. Ο κάθε όρος C n (t) = C n.sin (ω n.t + θ n ) = C n.sin (2πf n.t + θ n ) με n=1,2,...,n και ω n = n.ω 1 = n.2πf 1 =2π.nf 1 =2πf n, όπου f n =nf 1 του παραπάνω αθροίσματος λέγεται αρμονική τάξεως n της συνάρτησης f(t). Ετσι, π.χ. ο όρος C 1.sin (ω 1.t + θ 1 ) είναι η 1η αρμονική της f(t) ο όρος C 2.sin (ω 2.t + θ 2 ) είναι η 2η αρμονική της f(t) 12

13 ο όρος C 5.sin (ω 5.t + θ 5 ) είναι η 5η αρμονική της f(t) κλπ Η κάθε αρμονική χαρακτηρίζεται από τις παρακάτω τρείς παραμέτρους : 1. την κυκλική συχνότητα ω n = n.ω 1 = n.2πf 1 =2π.nf 1 =2πf n ή τη συχνότητα f n =nf 1. Παρατηρούμε, ότι τόσον η ω n όσον και f n είναι ακέραια πολλαπλάσια της ω 1 και της f 1 αντίστοιχα. Αν ο χρόνος t μετράται σε δευτερόλεπτα [sec] τότε η κυκλική συχνότητα μετράται σε [rad/sec] και η συχνότητα σε [Hz = 1/sec]. Αν ο χρόνος t μετράται σε ημέρες [day] τότε η κυκλική συχνότητα μετράται σε [rad/ day] και η συχνότητα σε [1/ day]. 2. τη μέγιστη τιμή ή το πλάτος C n, το οποίο έχει τις φυσικές διαστάσεις του μεγέθους f(t) και το οποίο είναι γενικά διαφορετικό από αρμονική σε αρμονική. 3. τη φάση θ n [rad], η οποία είναι γενικά διαφορετική από αρμονική σε αρμονική. * Εφ όσον η μαθηματική συνάρτηση που εκφράζει τη μεταβολλή στο χρόνο του αρχικού φυσικού μεγέθους, δηλ. η f(t), είναι γνωστή, τότε το πλάτος C n και η φάση θ n της κάθε αρμονικής (για n=1,2,...,n) υπολογίζονται από τις παρακάτω απλές σχετικά μαθηματικές σχέσεις : C A + B n 2 2 B n = n n, θ n = Arc tg [4] An όπου: t + T An =. f ( t).sin( nω 1t) dt [5.α] T 1 t 0 13

14 t + T Bn =. f ( t).cos( nω 1t) dt [5.β] T 1 t 0 * Ο όρος C 0, δηλ. η αρμονική τάξεως μηδέν, λέγεται και συνεχής συνιστώσα ( ή ο σταθερός όρος ) της f(t) και είναι απλά η μέση τιμή της συνάρτησης f(t) κατά τη διάρκεια μιας περιόδου, δηλ. υπολογίζεται από τη σχέση : t + T C 0 = f ( t) dt [6] T 1 t 0 ΣΗΜΕΙΩΣΗ (1) : Παρατηρούμε, ότι τα ορισμένα ολοκληρώματα στους παραπάνω τύπους [5] και [6] υπολογίζονται από τη χρονική στιγμή t o μέχρι τη χρονική στιγμή (t o + Τ 1 ), όπου το to είναι οποιοδήποτε, δηλ. υπολογίζονται για ένα διάστημα ίσο με μια περίδο Τ 1 της περιοδικής συνάρτησης, χωρίς να παίζει ρόλο από που θα αρχίσουμε να μετράμε το διάστημα αυτό. ΣΗΜΕΙΩΣΗ (2) : Πολλές φορές αντί C n, θ n με n=1,2,..., N γράφουμε C n, θ n με n= 0,1,2,..., N με την έννοια ότι το C 0 είναι η αρμονική μηδενικής τάξεως. Ας προσεχθεί, ότι τότε η θ 0 δεν έχει νόημα, διότι η αρμονική μηδενικής τάξεως C 0 δεν είναι ημιτονοειδής συνάρτηση, αλλά μια σταθερά. 3. Φάσματα Fourier Συνοψίζοντας, μπορούμε να πούμε, ότι με την ανάπτυξη μίας περιοδικής συνάρτησης f(t) σε σειρά Fourier παίρνουμε μία άλλη μορφή της f(t), που προσδιορίζεται από τους συντελεστές Fourier, δηλαδή από τη συνεχή συνιστώσα C 0, από τα C n και από τις γωνίες φάσεως θ n και βέβαια από τη θεμελιώδη γωνιακή συχνότητα ω 1. Ετσι την ίδια πληροφορία που μας δίνει η συνάρτηση f(t), δηλ. το σύνολο των ζευγαριών τιμών [ t, f(t) ] μας τη δίνει το σύνολο των τιμών : ω 1, C 0, C n, θ n με n=1,2,..., N. Συνηθίζεται να γίνονται οι γραφικές παραστάσεις των C n, θ n αλλά και συχνά των C n 2 (που έχει αποδειχθεί, ότι αντιπροσωπεύει καλύτερα την 14

15 ισχύ δηλ. τη βαρύτητα, τη σπουδαιότητα που έχει η αρμονική τάξεως n σε μια κυματομορφή) συναρτήσει του n ή του ω n, οι οποίες λέγονται : - ΦΑΣΜΑ ΠΛΑΤΟΥΣ το διάγραμμα C n (n) - ΦΑΣΜΑ ΓΩΝΙΑΣ το διάγραμμα θ n (n) - ΦΑΣΜΑ ΙΣΧΥΟΣ το διάγραμμα C n 2 (n) Από τη μορφή των Φασμάτων αυτών προκύπτουν διάφορα πολύ ενδιαφέροντα συμπεράσματα, για την κυματομορφή που αναλύεται. Για παράδειγμα τα διάφορα μέγιστα της γραφικής παράστασης, μας δείχνουν ποιές αρμονικές δηλ ποιές συχνότητες είναι πιο ισχυρές σε σχέση με τις άλλες και έτσι μπορούμε να βοηθηθούμε π.χ. στον εντοπισμό των φυσικών φαινομένων, που επηρεάζουν ισχυρότερα το μέγεθος που παρακολουθούμε κλπ. Για καλύτερη κατανόηση των Φασμάτων βλ. και παρακάτω στο (5). 4. Τι συμβαίνει τώρα σε πολλά φαινόμενα και μετρήσεις στην πράξη ; Σε σχέση με αυτά που αναπτύχθηκαν προηγουμένως, τα δεδομένα που συλλέγονται κατά τις μετρήσεις των διαφόρων φυσικών μεγεθών στην πράξη, ΔΕΝ είναι μια αναλυτική συνάρτηση f(t) στο άπειρο διάστημα - < t < +, αλλά : α. Οι παρατηρήσεις/μετρήσεις δεν γίνονται επί άπειρο χρόνο, αλλά για ένα περιορισμένο χρονικό διάς1τημα έστω από t 1 έως t 2, δηλ. είναι t 1 < t < t 2. β. Στις μετρήσεις στην πράξη, έχουμε, όπως προαναφέραμε, συνήθως τη συνάρτηση f(t) σε διακριτή μορφή, δηλ. είναι γνωστά Ν το πλήθος ζευγάρια τιμών [ t i, f(t i ) ], στο διάστημα [ t 1, t 2 ]. γ. Ακόμη και αν το φαινόμενο που παρακολουθούμε είναι περιοδικό, με περίοδο έστω Τ 1, στις περισσότερες των περιπτώσεων δεν γνωρίζουμε αυτή την περίοδο εκ των προτέρων. Μπορεί να έχουμε κάνει μετρήσεις για ένα χρονικό διάστημα ( t 2 - t 1 ), που να μεγαλύτερο της περιόδου Τ 1 και μπορεί το ( t 2 - t 1 ) να είναι κατά σύμτωση ακέραιο πολλαπλάσιο της (άγνωστης) περιόδου Τ 1 αλλά βέβαια γενικά δεν θα είναι κλπ. Μπορεί να έχουμε κάνει μετρήσεις για ένα χρονικό διάστημα Τ = ( t 2 - t 1 ), που να είναι μικρότερο της περιόδου Τ 1. Πώς λοιπόν θα κάνουμε τα ολοκληρώματα των τύπων [5] και [6] από to έως (to + Τ 1 ), αν δεν γνωρίζουμε το Τ 1 ; 15

16 δ. Αλλά βέβαια ΔΕΝ είναι όλα τα φαινόμενα περιοδικά. Τι μπορεί να μας χρησιμεύσει η ανάλυση Fourier σε μη περιοδικά φαινόμενα ; ε. Ολες οι μετρήσεις που κάνουν οι επιστήμονες περιέχουν για διαφόρους προφανείς λόγους και σφάλματα, περιέχουν θόρυβο, όπως λέμε. Δηλ. οι τιμές f(t i ) που έχουμε στη διάθεσή μας, δεν αντιπροσωπεύουν ακριβώς τις πραγματικές τιμές του φυσικού μεγέθους στις αντίστοιχες χρονικές στιγμές t i. κλπ. Προβλήματα σαν τα παραπάνω έχουν απασχολήσει επί δεκαετίες τους επιστήμονες και έχουν δοθεί -με χρήση κάπως προχωρημένων μαθηματικών- διάφορες λύσεις που βοηθούν σε πολλές περιπτώσεις στην ανάλυση των μετρήσεων και την εξαγωγή συμπερασμάτων, παρόλες τις δυσκολίες που προαναφέρθηκαν. Δεν είναι δυνατόν βέβαια να επεκταθούμε εδώ σε βάθος, αναφέρουμε μόνον ενδεικτικά ορισμένα από τα μαθηματικά κόλπα που χρησιμοποιούμε : * π.χ. εύκολα καταλαβαίνουμε, ότι για την ανάλυση Fourier μετρήσεων στην πράξη, που έχουμε τη συνάρτηση f(t) σε διακριτή μορφή, τα ολοκληρώματα των τύπων [ 5 ] και [ 6 ] γίνονται με το διακριτό τρόπο, που έχουμε εξηγήσει πιο πάνω. * Το πρόβλημα, ότι οι παρατηρήσεις/μετρήσεις γίνονται μόνον για ένα περιορισμένο χρονικό διάστημα έστω Τ = ( t 2 - t 1 ), αντιμετωπίζεται ως εξής : Θεωρούμε, ότι τα δεδομένα [ t i, f(t i ) ] που έχουμε στο διάστημα [ t 1, t 2 ] - π.χ. από μια σειρά μετρήσεων της φωτεινότητας ενός αστέρος κατά τη διάρκεια μερικών μηνών - επαναλαμβάνονται δήθεν συνεχώς και περιοδικά έξω από αυτό το διάστημα. Κατά συνέπεια έχουμε μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο T = (t 2 - t 1 ), και την αναλύουμε κατά Fourier. Αυτό που πρέπει βέβαια να καταλάβουμε, είναι ότι αν στο Φάσμα Πλάτους ισχυρότερη είναι π.χ. η 5η αρμονική ( n=5), τότε αυτό σημαίνει, ότι η επικρατούσα συχνότητα στο φαινόμενο είναι η f = 5.(1/T), καθ όσον ως θεμελειώδης (1η) αρμονική θεωρείται εκείνη με συχνότητα (1/Τ). Επίσης, με βάση τα C 0, C n, θ n που θα βρούμε, μπορούμε να γράψουμε σύμφωνα με τη σχέση [ 3 ] f(t) = C Σ Ν C n.sin (n.ω 1.t + θ n ) [ 3 ] 16

17 αλλά μόνο για το διάστημα [t 1, t 2 ]. Δηλ. η ανάλυση που κάναμε αντιπροσωπεύει την κυματομορφή μόνο στο συγκεκριμένο διάστημα [ t 1, t 2 ], ενώ έξω από αυτό το διάστημα δεν ξέρουμε, πώς θα είναι η f(t). * Τελικά η ανάπτυξη σε σειρά Fourier επεκτείνεται σε αυτό που λέμε ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER (Fourier Transform, FT), που για τα διακριτά δεδομένα στην πράξη επεκτείνεται στο ΔΙΑΚΡΙΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER (Discrete Fourier Transform, DFT), ο οποίος εφαρμόζεται τόσο για δεδομένα με ομοιόμορφη δειγματοληψία, όσον και για εκείνα με ανομοιόμορφη δειγματοληψία. Τέλος πρέπει να αναφερθεί και ο περίφημος Διακριτός Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier ( Discrete Fast Fourier Trasform, DFFT ). * O DFFT είναι ένας αλγόριθμος, που χρησιμοποιείται ευρύτατα στους υπολογισμούς με Η/Υ, ώστε να συντομεύει πάρα πολύ το χρόνο που χρειάζεται για να γίνουν οι διάφορες πράξεις της ανάλυσης Fourier. Για να εφαρμοσθεί ο DFFT πρέπει : - Τα δεδομένα που θα αναλύσουμε, δηλ τα ζευγαριών τιμών [ t i, f(t i ) ], να είναι με ομοιόμορφη δειγματοληψία. - Ο αριθμός Ν των ζευγαριών τιμών [ t i, f(t i ) ] πρείπει να είναι δύναμη του 2, δηλ. πρέπει να έχουμε Ν=2 ή 4 ή 8 ή 16 ή 32 ή 64 κλπ. 5. Ας δούμε σε ένα παράδειγμα μιας κάποιας μέτρησης (της χρονοσειράς μεταβολής ενός φυσικού μεγέθους), τι θα μας δώσει η ανάλυση Fourier. Εστω ότι έχουμε μετρήσει - με ομοιόμορφη δειγματοληψία - ένα φυσικό φαινόμενο, έστω κάποιο ηλεκτρικό σήμα και ότι η γραφική παράσταση των ζευγών τιμών [ t i, f(t i ) ] είναι όπως στο Σχήμα 2 (πάνω). Οριζόντιος άξονας είναι ο χρόνος σε msec, ενώ ο κατακόρυφος σε Volt. Στο κάτω διάγραμμα του Σχήματος 2 παριστάνονται οι ίδιες μετρήσεις, μόνον που έχουμε ενώσει τα διαδοχικά σημεία με συνεχή γραμμή, ώστε να το βλέπουμε καλύτερα. 17

18 5 Σήμα με θόρυβο Volts milliseconds 5 Σήμα με θόρυβο V o lt s m illis e c o n d s Σχήμα 2. τρόπους ) 70 Σήμα με θόρυβο (το ίδιο σήμα έχει παρασταθεί με δυο διαφορετικούς Φάσμα Ισχύος Συχνότητα (Hz) Σχήμα 3. Το Φάσμα Ισχύος του Σήματος του Σχήματος 2 18

19 Πρέπει να παραδεχτούμε, ότι από καμιά από τις δυο γραφικές παραστάσεις είναι εύκολο να καταλάβουμε με το μάτι, αν το σήμα είναι περιοδικό ή όχι και αν ναι ποιά η περίοδός του. Επίσης δε μπορούμε να ξέρουμε, αν και πόσο θόρυβο περιέχουν οι μετρήσεις μας, που βέβαια γενικά πάντα και κάποιος θόρυβος θα υπάρχει. Πήραμε τώρα τα ζεύγη τιμών [ t i, f(t i ) ] και εφαρμόσουμε ανάλυση Fourier (με τον αλγόριθμο DFFT κλπ) και κάναμε το ΦΑΣΜΑ ΙΣΧΥΟΣ, το οποίο φαίνεται στο Σχήμα-3. Ο οριζόντιος άξονας είναι η συχνότητα των αρμονικών σε Hz, ενώ ο κατακόρυφος σε κάποιες μονάδες, που δεν παίζουν ρόλο τώρα. Στο Φάσμα Ισχύος φαίνονται δυο πολύ έντονα μέγιστα στις συχνότητες f 1 =50 Hz, και η f 2 =120 Hz (τα πλάτη των οποίων C 1 και C 2 μας τα δίνει ανάλυση Fourier) και πολύ μικρές τιμές σε ένα πλήθος άλλων συχνοτήτων. Το ερώτημα είναι τώρα είναι, αν το φυσικό μέγεθος που μετρήσαμε περιέχει μόνον τις δυο συχνότητες που σαφώς φαίνονται και οι άλλες συχνότητες είναι θόρυβος ή μήπως όμως το φυσικό φαινόμενο περιέχει και μικρού πλάτους ημιτονοειδείς συνιστώσες με συχνότητες π.χ. 310 Hz ή και 475 Hz κλπ, εκεί δηλ. που υπάρχουν μικρά τοπικά μέγιστα ; Το ερώτημα αυτό είναι σωστό και δεν μπορεί να απαντηθεί απλά και επιπόλαια. Υπάρχει τεράστια βιβλιογραφία, η οποία αναφέρεται σε στατιστικές μεθόδους με βάση τις οποίες, από το σχετικό μέγεθος των μεγίστων στο διάγραμμα να μπορούμε να εκτιμήσουμε την πιθανότητα μία συχνότητα, που φαίνεται στο φάσμα ισχύος, να είναι αληθινή και να μην οφείλεται σε θόρυβο. Δεν θα επεκταθούμε εδώ σε αυτό το άκρως ενδιαφέρον και σημαντικό στην πράξη πρόβλημα. Λέμε μόνον, ότι η κατάλληλη ανάλυση δίνει, για το παράδειγμα που εξετάσαμε, τη (σχεδόν) συγουριά, ότι το φυσικό μέγεθος που μετρήσαμε αποτελείται από δυο ημιτονοειδείς συνιστώσες και το ιπόλοιπο είναι θόρυβος. Ετσι από τα αριθμητικά δεδομένα του υπολογισμού που έχουμε κάνει, προκύπτει ότι η εξέλιξη του φυσικού φαινομένου περιγράφεται από τον τύπο : f ( t) = cos(2 π 50 t) + cos(2 π 120 t) [ 7 ] Τώρα πρέπει να ομολογήσουμε, ότι πράγματι στο παράδειγμα που εξετάσαμε, το σήμα το είχαμε συνθέσει από την αρχή με βάση την f(t) της σχέσεως [7] έχοντας προσθέσει και ένα ποσοστό τυχαίου θορύβου, όπως φαίνεται στο Σχήμα-4. Στο Σχήμα αυτό φαίνεται, πώς αλλοιώνονται οι τιμές ενός περιοδικού σήματος με την παρουσία θορύβου. Η μαύρη συνεχής γραμμή δείχνει τις θεωρητικές τιμές του σήματος της σχέσεως [7 ], ενώ η οι αστερίσκοι δείχνουν τις μετρηθείσες τιμές του σήματος παρουσία θορύβου. Παρατηρείται, ότι οι αντίστοιχες τιμές του σήματος μέσα στις διάφορες 19

20 περιόδους δεν έχουν αλλοιωθεί ομοιόμορφα. Αυτή την ιδιότητα του θορύβου, να είναι δηλαδή τυχαίος και συγχρόνως να έχουν βρεθεί στατιστικά μοντέλα που να τον περιγράφουν με αρκετή ακρίβεια, χρησιμοποιούμε στις διαδικασίες (διεργασίες) επεξεργασίας σημάτων (signal processing) προκειμένου από τις μετρήσεις ενός σήματος να είναι δυνατή η αφαίρεση μέχρι ένα βαθμό του θορύβου για να μείνει κατά το δυνατόν καθαρή η πληροφορία του σήματος. Βέβαια, αν ο θόρυβος είναι μεγάλος σχετικά με το πρωταρχικό σήμα αυτό καθεαυτό, τότε μπορεί και η ανάλυση Fourier να μην μπορεί να δώσει σαφή απάντηση, όπως π.χ. φαίνεται στο Σχήμα 5, που είναι το Φάσμα Ισχύος του ίδιου αρχικού σήματος της σχέσεως [7], στο οποίο όμως έχουμε βάλει πολύ περισσότερο θόρυβο (5 φορές περισσότερο), από το θόρυβο που είχαμε βάλει στο σήμα των Σχημάτων 2 και 3. Βλέπουμε, ότι η ανάλυση Fourier κατάλαβε τη συχνότητα στα 120 Hz, αλλά η συχνότητα των 50 Hz πνίγηκε στο πλήθος των άλλων συχνοτήτων, που οφείλονται στο μεγάλο θόρυβο. Υπάρχουν διάφοροι μαθηματικοί μέθοδοι, για να καθαρίσουμε το σήμα από το θόρυβο, στις οποίες όμως δεν θα επεκταθούμε εδώ. 20

21 Volts seconds Σχήμα 4. Το Σήμα του Σχήματος 2: Σήμα ( συνεχής γραμμή ) και Σήμα μαζί με το θόρυβο ( αστερίσκοι ) 800 Φάσμα Ισχύος - Σήμα με πολύ θόρυβο Συχνότητα (Hz) Σχήμα 5. Φάσμα Ισχύος του Σήματος της σχέσεως [ 7 ] αλλά με πολύ περισσότερο θόρυβο, απ ότι το σήμα του Σχήματος 2 και 4. 21

22 2.2 ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΙ ΑΣΤΕΡΕΣ Tι είναι ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΙ ΑΣΤΕΡΕΣ λέγονται τα άστρα, που η φωτεινότητά τους (άρα και η λαμπρότητα τους) ΔΕΝ είναι σταθερή αλλά είναι χρονικά μεταβαλλόμενη. Η μελέτη της ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΦΩΤΟΣ, (αγγλικά light curve) δηλ. της καμπύλης που παριστάνει τη χρονική μεταβολή της λαμπρότητας, είναι χρήσιμη στην επιστήμη, καθ όσον από αυτήν προκύπτουν πληροφορίες για τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες των διαφόρων άστρων. Ανάλογα με την περίπτωση η χρονική περίοδος μεταβολλής της λαμπρότητάς μπορεί να είναι από δέκατα του δευτερόλεπτου μέχρι και μερικά χρόνια, η δε διαφοροποίηση της λαμπρότητας (λόγος μέγιστης προς ελάχιστη λαμπρότητα) μπορεί να φθάνει και μέχρι μερικές εκατοντάδες. Μέχρι σήμερα έχουν παρατηρηθεί και καταγραφεί πάνω από μεταβλητοί αστέρες διαφόρων τύπων. Στη μελέτη των μεταβλητών αστέρων παίζουν όλο και μεγαλύτερο ρόλο μικρά σχετικά τηλεσκόπια εφοδιασμένα με CCD, όπως είναι το υπερσύγχρονο Ρομποτικό Τηλεσκόπιο ΑΜ του κέντρου ΕΥΔΟΞΟΣ. Ο λόγος είναι, ότι πολλοί αστρονόμοι και αστροφυσικοί ασχολούνται με πολλά άλλα προβλήματα και δεν έχουν πια το χρόνο, αλλά ούτε και τους διατίθεται στα μεγάλα τηλεσκόπια ο απαιτούμενος μεγάλος παρατηρησιακός χρόνος, ώστε να συλλέγουν δεδομένα για τις καμπύλες φωτός των μεταβλητών αστέρων. Ετσι η συλλογή δεδομένων για μεταβλητούς αστέρες από το τηλεσκόπιο ΑΜ δεν είναι μόνον εκπαιδευτικό πείραμα, αλλά αποτελεί και συμβολή στη διεθνή επιστήμη. Η προώθηση των δεδομένων αυτών που θα λάβετε με τα πειράματά σας, στη Διεθνή Βάση Δεδομένων Μεταβλητών Αστέρων AAVSO, θα τα καθιστά προσβάσιμα στην παγκόσμια επιστημονική κοινότητα και θα αυξάνει και θα διευρύνει τη διεθνή γνώση πάνω στο θέμα αυτό. 22

23 2.2.2 TΥΠΟΙ Μεταβλητών Αστέρων Η μεταβολή της λαμπρότητας ενός Μεταβλητού Αστέρα οφείλεται σε διάφορες αιτίες, ανάλογα και προς τις οποίες οι Αστέρες αυτοί έχουν κατηγοροποιηθεί σε διαφόρους ΤΥΠΟΥΣ, όπως : α. Μεταβλητοί Αστέρες Εσωτερικής (ενδογενούς ή Φυσικής ) Μεταβλητότητας α.1 Παλλόμενοι Μεταβλητοί Αστέρες (Pulsating Stars) α.2 Εκρηκτικοί ή Κατακλυσμικοί Μεταβλητοί Αστέρες (Eruptive or Cataclysmic Stars) β. Μεταβλητοί Αστέρες Εξωτερικής Μεταβλητότητας β.1 Ecliptic Binaries (Διπλοί Εκλειπτικοί) β.2 Rotating Variables (περιστρφόμενοι μεταβλητοί) γ. Αλλοι Τύποι Μεταβλητών Αστέρων γ.1 Flare Stars ή UV Ceti Stars (Αστέρες Εκλάμψεων) γ.2 Irregular Variables (Ακανόνιστοι Μεταβλητοί) Στη συνέχεια δίνονται ορισμένες βασικές πληροφορίες που έχουμε αποκομίσει με την Επιστημονική Μέθοδο, για τις διάφορες κατηγορίες των μεταβλητών αστέρων. Α. Μεταβλητοί Αστέρες ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ (ΕΝΔΟΓΕΝΟΥΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ) ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ (Intrinsic Variables) Πρόκειται για άστρα, των οποίων η φωτεινότητα (δηλ. η ολικά εκπεμπόμενη ενέργεια από την επιφάνειά τους) πράγματι μεταβάλλεται λόγω εσωτερικών φυσικών αιτίων της δομής τους ή του όλου αστρικού συστήματος που ανήκουν και χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες/υποκατηγορίες ως εξής : Α.1 Παλλόμενοι Μεταβλητοί Αστέρες (Pulsating Stars) Η μεταβλητότητα της λαμπρότητάς τους οφείλεται σε περιοδικές αλλαγές του μεγέθους ή και του σχήματος του άστρου και ανάλογα με τα χαρακτηριστικά της καμπύλης φωτός τους διακρίνονται στις εξής υποκατηγορίες : Α.1.1 Cepheid Variables (Κηφείδες) Η καμπύλη φωτός τους παρουσιάζει μεταβλητότητα με περίοδο από μερικές ώρες μέχρι 70 ημέρες και μεταβολές λαμπρότητας από 0.1 έως 2 μεγέθη. Το βασικό χαρακτηριστικό των 23

24 Κηφειδών είναι, ότι η περίοδος μεταβολής της λαμπρότητας σχετίζεται άμεσα με το φαινόμενο μέγεθος m. Ετσι, επειδή με βάση άλλες τεχνικές είναι σχετικά εύκολος και ο προσδιορισμός της απόστασης ενός Κηφείδα (στο Γαλαξία μας αλλά και σε άλλους κοντινούς Γαλαξίες), οι Κηφείδες χρησιμοποιούνται για μετρήσεις αποστάσεων ομάδων αστέρων, αστρικών σμηνών και κοντινών Γαλαξιών. A.1.2 RR Lyrae Εχουν μικρές περιόδους μεταβλητότητας, από 0.5 έως 1.2 ημέρες, απόλυτο μέγεθος M V = και μεταβολές λαμπρότητας από 0.3 έως 2 μεγέθη. Πρόκειται για άστρα μεγαλύτερης ηλικίας και μικρότερης μάζας, απ ότι οι κηφείδες και χρησιμοποιούνται και αυτά για προσδιορισμό αποστάσεων π.χ. σφαιρικών σμηνών, μέσα στα οποία βρίσκονται. A.1.3 Αστέρες τύπου RV Tauri Εχουν περιόδους μεταβλητότητας, από 30 έως 100 ημέρες και μεταβολές λαμπρότητας έως 3 μεγέθη. Στην καμπύλη φωτός τους εμφανίζονται εναλλασσόμενα εντονώτερα και ασθενέστερα ελάχιστα. A.1.4 Μεταβλητοί μακράς περιόδου -Long-Period Variables (LPVs) α. Τύπου Mira Εχουν καλώς καθορισμένες περιόδους μεταβλητότητας, από 80 έως 1000 ημέρες και μεταβολές λαμπρότητας από 2.5 έως 5 μεγέθη. Πρόκειται για άστρα Ερυθροί Γίγαντες. b. Semiregular (Ημικανονικοί) Εχουν περιόδους μεταβλητότητας, από 30 έως 1000 ημέρες και μεταβολές λαμπρότητας από 1 έως 2 μεγέθη. Πρόκειται για άστρα Γίγαντες και Υπεργίγαντες. Στην καμπύλη φωτός τους παρουσιά-ζονται περιοχές με σαφή περιοδικότητα αλλά και περιοχές με ακανόνιστη μεταβλητότητα. Α.2 Εκρηκτικοί ή Κατακλυσμικοί Μεταβλητοί Αστέρες (Eruptive or Cataclysmic Stars) Χαρακτηριστικά φυσικά φαινόμενα (τα οποία διερευνά συνεχώς η επιστήμη) στην επιφάνεια ή στο εσωτερικό των άστρων αυτών οδηγούν σε απότομες και βίαιες (εκρηκτικές) μεταβολές, οι οποίες προκαλούν μεταβολές στη λαμπρότητα, που δεν έχουν πάντα περιοδικότητα. 24

25 A.2.1 Supernovae (Υπερ-καινοφανείς) Πρόκειται για βίαιη έκρηξη του άστρου, κατά την οποίαν το άστρο διαστέλλεται εκτινάσσοντας προς τα έξω τις εξωτερικές στιβάδες της επιφάνειάς του. Η φωτεινότητα του άστρου αυξάνει τότε κατά εκατομύρια φορές (μέχρι και 20 μεγέθη) μέσα σε πολύ μικρό χρονικό διάστημα ( λίγες ώρες ή λίγες ημέρες! ), παραμένει στα πολύ υψηλά επίπεδα για μερικές ημέρες και μετά μειώνεται αργά. A.2.2 Novae (Καινοφανείς) Οι απότομες αλλαγές της φωτεινότητας οφείλονται σε εκρήξεις θερμο-πυρηνικής σύντηξης. Μετά την απότομη (μερικές χιλιάδες φορές, από 7 έως 16 μεγέθη) αύξηση στη φωτεινότητα, που μπορεί να συμβεί μέσα και σε μια μέρα αλλά σε άλλες περιπτώσεις μπορεί να διαρκεί και μερικές εκατοντάδες ημέρες, η φωτεινότητα επανέρχεται σιγά-σιγά στην αρχική τιμή μετά από μερικά χρόνια. A.2.3 Recurrent Novae (Επαναληπτικοί Καινοφανείς) Είναι συστήματα, στα οποία έχουν ιστορικά καταγραφεί τουλάχιστον δυο εκρήξεις τύπου Καινοφανούς. A.2.4 Dwarf Novae (νάνοι καινοφανείς) Πρόκειται για περιστρεφόμενα διπλά συστήματα αποτελούμενα από ενα άστρο του τύπου του Ηλιου μας και από ένα Λευκό Νάνο, τα οποία περιβάλλονται από δίσκο επαυξήσεως (ή επιπροσθέσεως ή συσσωρεύσεως ( accretion disk ). Διακρίνονται οι παρακάτω υποκατηγορίες : α. U Geminorum Η καμπύλη φωτός τους διατηρείται συνήθως για αρκετό καιρό σε μια σταθερά χαμηλή τιμή και κάθε 30 έως 500 ημέρες (κατά περίπτωση) συμβαίνουν εκλάμψεις 2 έως 6 μεγεθών που διαρκούν 5 έως 20 ημέρες. b. Z Camelopardalis Η μεταβλητότητα της καμπύλης φωτός είναι παρόμοια των άστρων τύπου U Geminorum, μόνον που η περιοχή χαμηλής φωτεινότητας δεν είναι τόσο σταθερή και επί πλέον παρουσιάζονται και περίοδοι παρατεταμένης σταθερότητας. c. SU Ursae Majoris Είναι συστήματα με μικρές περιόδους περιστροφής (μικρότερες των 2 ωρών). Η μεταβλητότητα της καμπύλης 25

26 φωτός είναι παρόμοια των άστρων τύπου U Geminorum με το ιδιαίτερο όμως χαρακτηριστικό, ότι παρουσιάζει δυο διαφορετικής μορφής εκλάμψεις : εκλάμψεις ασθενείς και μικρής διάρκειας (1 έως 2 ημέρες) και εκλάμψεις ισχυρές και μεγάλης διάρκειας (10 έως 20 ημέρες). A.2.5 Symbiotic Stars (Συμβιωτικά Αστρα) Τα συστήματα αυτά παρουσιάζουν σε κάπως κανονικά διαστήματα εκλάμψεις παρόμοιες με εκείνες των Καινοφανών με διαφοροποιήσεις στη λαμπρότητα μέχρι 3 μεγέθη. A.2.6 R Coronae Borealis (τύπου R του Βορείου Στεφάνου) Παρουσιάζουν μια ακανόνιστη περιοδικότητα και η καμπύλη φωτός τους παρουσιάζει μια αντίστροφη εικόνα, σε σχέση με την καμπύλη των άστρων τύπου U Geminorum (βλ. Α.2.4.a) ή τύπου SU Ursae Majoris (βλ. Α.2.4.c). Δηλαδή στα άστρα αυτά η καμπύλη φωτός τους διατηρείται συνήθως για αρκετό καιρό σε μια σταθερά και υψηλή όμως στην περίπτωση αυτή τιμή και σε ακανόνιστα χρονικά διαστήματα συμβαίνουν απότομες και αρκετά έντονες εξασθενήσεις ( βυθίσματα στην καμπύλη, μέχρι και 9 μεγέθη). Η επαναφορά στην υψηλή σταθερή τιμή διαρκεί συνήθως μερικούς μήνες. Β. Μεταβλητοί Αστέρες ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ (ΕΞΩΤΕΡΙΚΗΣ) ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ (Extrinsic Variables) Πρόκειται για άστρα ή περιστρεφόμενα αστρικά συστήματα των οποίων η ολική φωτεινότητα είναι στην πραγματικότητα σταθερή και ΔΕΝ μεταβάλλεται με το χρόνο, αλλά η λαμπρότητά τους, όπως μετράται από τη Γη, δηλ. η φαινόμενη λαμπρότητά τους, παρουσιάζεται μεταβλητή είτε για λόγους γεωμετρίας του επιπέδου περιστροφής του αστρικού συστήματος είτε λόγω μόνιμων διαφοροποιήσεων της φωτεινότητας ενός άστρου, οι οποίες κατά την περιστροφή του άλλοτε είναι και άλλοτε δεν είναι ορατές από τη Γη. Αυτοί οι τύποι μεταβλητών αστέρων χωρίζονται στις εξής δυο κατηγορίες : B.1 Ecliptic Binaries (Διπλοί Εκλειπτικοί) Πρόκειται για συστήματα διπλών αστέρων, δηλ. για δυο άστρα σε μικρή σχετικά απόσταση μεταξύ τους και τα οποία περιστρέφονται περί το κοινό κέντρο μάζης τους. Οταν η κατεύθυνση παρατήρησης από τη Γη (ευθεία από τη Γη προς το αστρικό σύστημα) 26

27 βρίσκεται πάνω ή κοντά στο επίπεδο της τροχιάς του διπλού αστρικού συστήματος, τότε κατά την περιστροφή του συστήματος οι αστέρες υφίστανται περιοδικές εκλείψεις, καθ όσον ο πλησιέστερος κάποια στιγμή στη Γη είναι μπροστά από τον άλλο μπλοκάροντας έτσι το φώς του. Ετσι δημιουργούνται αυξομειώσεις της (φαινόμενης από τη Γη) λαμπρότητας του όλου συστήματος με περίοδο, ανάλογα την περίπτωση, από μερικά λεπτά μέχρι και μερικά χρόνια. ΕΚΛΕΙΠΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΠΛΩΝ ΑΣΤΕΡΩΝ. απλή ερμηνεία των αριθμημένων τμημάτων της παρατηρούμενης φωτοκαμπύλης (κάτω) ως συνέπεια των διαδοχικών (αντιστοίχως αριθμημένων) θέσεων του δευτερεύοντα αστέρα (μαύρος) ως πρός τον πρωτεύοντα.. Ο παρατηρητής βρίσκεται μακριά αλλά στο επίπεδο περιστροφής και κοιτάζει στην ευθεία που ορίζει η θέση 4 μέ το κέντρο του πρωτεύοντα αστέρα B.2 Rotating Variables (Περιστρεφόμενοι Μεταβλητοί) Πρόκειται για άστρα, που έχουν στην επιφάνειά τους μεγάλες περιοχές έντονα σκοτεινότερες ή φωτεινότερες από τη μέση ολική φωτεινότητά τους. Ετσι κατά την περιστροφή τους στέλνουν προς τη Γη μεταβλητή φωτεινή ένταση, η οποία μεταβάλλεται χρονικά ανάλογα με την περίοδο περιστροφής του άστρου. Γ. Αλλοι Τύποι Μεταβλητών Αστέρων Γ.1 Flare Stars ή UV Ceti Stars (Αστέρες Εκλάμψεων) Πρόκειται για άστρα της κύριας ακολουθίας στο διάγραμμα HR με χαμηλή γενικά λαμπρότητα, στα οποία σε περιορισμένες περιοχές της επιφάνειά τους συμβαίνουν έντονες παροδικές αυξήσεις 27

28 της φωτεινότητας, έτσι ώστε το όλο άστρο να φαίνεται φωτεινότερο. Η αύξηση της φωτεινότητας είναι συνήθως πολύ απότομη (μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα αύξηση κατά 2 ή και περισσότερα μεγέθη) και η κανονική φωτεινότητα επανέρχεται μετά 10 έως 20 λεπτά. Γ.2 Irregular Variables (Ακανόνιστοι Μεταβλητοί) Πρόκειται για άστρα που παρουσιάζουν μια ακανόνιστη μεταβλητότητα της λαμπρότητάς τους. Στην κατηγορία αυτή ανήκουν οι περισσότεροι Ερυθροί Γίγαντες Ιστορικά Στοιχεία της ανακάλυψης των Μεταβλητών Αστέρων. Φορείς Μελέτης α. - Η πρώτη παρατήρηση Μεταβλητού Αστέρα από τον John Goodricke. Η πρώτη παρατήρηση μεταβλητού αστέρα, του Beta Persei (Algol), έχει επικρατήσει στη βιβλιογραφία να χρεώνεται στον Αγγλο John Goodricke, ο οποίος όταν ήταν 18 χρονών ανακάλυψε και παρατήρησε την περιοδικότητα του Algol τη χρονική περίοδο , αν και όπως φαίνεται τον Algol τον ανακάλυψε παράλληλα και ανεξάρτητα από τον Goodricke και ένας Γερμανός χωρικός ονόματι Palitzch και ακόμη περισσότερο την περιοδικότητα του Algol είχε παρατηρήσει πρώτος ο Ιταλός αστρονόμος G. Montanari. β.- Διεθνής Βάση Δεδομένων Μεταβλητών Αστέρων AAVSO. Ο Οργανισμός AAVSO (Amateur Association of Variable Star Observers) ιδρύθηκε το 1911 και είναι μια ένωση ερασιτεχνών αστρονόμων που είναι συστηματικοί παρατηρητές μεταβλητών αστέρων. Ο AAVSO συλλέγει από όλο τον κόσμο κατά το δυνατόν όλα στοιχεία που αφορούν τους Μεταβλητούς Αστέρες, τα ελέγχει, τα ταξινομεί και τα θέτει στη διάθεση κάθε ενδιαφερόμενου για ανάλυση και περαιτέρω παρατηρήσεις. Οποιοσδήποτε κάνει μετρήσεις σε Μεταβλητούς Αστέρες μπορεί και είναι σκόπιμο να τα προωθεί προς τον AAVSO, ώστε να εμπλουτίζεται η βιβλιοθήκη του (AAVSO International Database) με δεδομένα καμπύλης φωτός των διαφόρων Μεταβλητών Αστέρων, να υπάρχουν τα διαθέσιμα στοιχεία για περαιτέρω επιστημονικές μελέτες και να οφελείται έτσι η επιστήμη παγκοσμίως. 28

29 Η διεύθυνση του AAVSO είναι : ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ Στο παρόν παρατηρησιακό Πείραμα γίνεται κατ αρχάς εξοικείωση με τις έννοιες των Μεταβλητών Αστέρων και με τις μορφές και τα χαρακτηριστικά των διαφόρων τύπων των Μεταβλητών Αστέρων. Προς τούτο ανοίγονται και παρατηρούνται ορισμένα αρχεία καμπυλών φωτός γνωστών Μεταβλητών Αστέρων. Στη συνέχεια με βάση σειρά ειδώλων (φωτογραφιών) μιας και της ίδιας περιοχής του ουρανού, που έχουν ληφθεί σε διαφορετικές ημέρες παρατηρήσεων, προσδιορίζονται τα φαινόμενα μεγέθη πολλών αστέρων και και διαπιστώνεται αν και κατά πόσον τα μεγέθη αυτά μεταβάλλονται με το χρόνο. Με τον τρόπο αυτό αναζητείται να εντοπισθούν τυχόν υπάρχοντες, ήδη γνωστοί ή και ακόμη άγνωστοι Μεταβλητοί Αστέρες. Καταγράφονται στοιχεία της μεταβλητής λαμπρότητας και σχεδιάζονται καμπύλες φωτός. Τέλος με ανάλυση Fourier προσδιορίζεται το φάσμα πλάτους και ισχύος και οι επικρατούσες περίοδοι των καμπυλών φωτός με εμφανή περιοδικότητα. 3. ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ - ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ * Τα στοιχεία που προκύπτουν από τις μετρήσεις και από την περαιτέρω επεξεργασία τους συμπληρώνονται στον ΠΙΝΑΚΑ 1. Εχουμε δύο τρόπους λήψης μετρήσεων. 1. ΜΕ ΤΟ ΤΗΛΕΣΚΟΠΙΟ-ΑΜ/ΕΥΔΟΞΟΥ: Θέλουμε να παρατηρήσουμε φωτομετρικά έναν ή περισσότερους μεταβλητούς αστέρες. Αποφασίζουμε πόσους και ποιούς, με ποιά φίλτρα (ηθμούς), τί εκθέσεις χρειαζόμαστε και τί βοηθητικές φωτομετρικές μετρήσεις (π.χ ισεντατικές εικόνες (flat fields), εικόνες σκότους (dark frames) κλπ) χρειαζόμαστε για να μπορούμε μετά να επεξεργαστούμε σωστά τα λαμβανόμενα δεδομένα από τους μεταβλητούς αστέρες. Είναι χρήσιμο να ξαναδιαβάσουμε τα σχετικά σημεία από την Ασκηση ( Μετράω ενέργεια ερχόμενη από το Σύμπαν ). Αποφασίζουμε τη στρατηγική μας (σκεφτόμαστε π.χ ποιά εποχή πρέπει να διεξαχθούν οι παρατηρήσεις για να είναι ο αστέρας 29

30 ορατός τη νύχτα από το γεωγραφικό πλάτος του ΕΥΔΟΞΟΥ, ποιά είναι η καταλληλότερη χρονική περίοδος της νύχτας για να είναι κοντά στο ζενίθ κλπ) την αναλύουμε σε διαδοχικές δράσεις και κωδικοποιούμε κάθε δράση κάθε δράση στη διάλεκτο που θέλει το Ιστοέντυπο παραγγελίας παρατηρήσεων του ΕΥΔΟΞΟΥ. ( Ιστο-Εντυπο Εισδοχής Παρατηρησιακού Σχεδίου - ΙΕΠΣ βλ. Καταγράφουμε λοιπόν στο ΙΕΠΣ συμπληρώνοντας τα σχετικά κελιά την παραγγελία παρατηρήσεων που θέλουμε να εκτελεστεί από το ΤΑΜ/ΕΥΔΟΞΟΥ, και διαβιβάζουμε το ΙΕΠΣ μέσω internet στον Η/Υ επικοινωνιών του ΕΥΔΟΞΟΥ. Αυτός με τη σειρά του θα το διαβιβάσει στον τοπικό υπολογιστή ελέγχου του ΤΑΜ και η παρατηρησιακή μας παραγγελία θα συμπεριληφθεί ακολούθως στο πρόγραμμα παρατηρήσεων του ΤΑΜ. Τη συνέχεια την αναλαμβάνει το ρομποτικό τηλεσκόπιο. Μόλις ολοκληρωθούν οι μετρήσεις, θα μας αποσταλούν στην ηλεκτρονική μας διεύθυνση τα ακατέργαστα δεδομένα (εικόνες) γιά περαιτέρω επεξεργασία σύμφωνα με τις τεχνικές που μάθαμε (βλ και παρακάτω). 2. ΑΠΟ ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΒΑΣΕΙΣ ΦΩΤΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ: Εάν υπάρξει οποιοδήποτε πρόβλημα (πχ. Κακοκαιρίες, βλάβη/ καθήλωση τηλεσκοπίου) που εμποδίζει τη λήψη πρωτογενών δεδομένων με το ρομποτικό τηλεσκόπιο, μπορούμε επίσης εναλλακτικά, να εξορύξουμε δεδομένα από κατάλληλες διευθύνσεις στο Διαδύκτιο (Internet), όπως π.χ. από την AAVSO International Database ή από τα υπάρχοντα αρχεία στον Η/Υ μας, επιλέγουμε και ανοίγουμε καμπύλες φωτός μερικών Μεταβλητών Αστέρων, ώστε να εξοικειωθούμε με τα χαρακτηριστικά μιας καμπύλης φωτός και με τους Τύπους των Μεταβλητών Αστέρων. Για την εκμάθηση του Πειράματος σας έχουν ήδη διανεμηθεί και αποθηκευθεί στο σκληρό δίσκο του Η/Υ τα παρακάτω δειγματικά αρχεία Μεταβλητών Αστέρων, τα οποία μπορούμε να ανοίξουμε με το Πρόγραμμα CCDSoft : 30

31 * ab_and.gif Στο αρχείο αυτό απεικονίζεται η καμπύλη φωτός του Μεταβλητού Αστέρα AB-Andromeda, με βάση μετρήσεις της φωτεινότητας του που έγιναν τη νύκτα από 28 προς 29 Οκτωβρίου 1995 (βλ. Σχήμα 6). Στον κατακόρυφο άξονα δίνεται το φαινόμενο μέγεθος (V) στην ορατή περιοχή του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος, ως διαφορά (V-Vref) σε σχέση με το φαινόμενο μέγεθος Vref πάλι στην ορατή περιοχή ενός άλλου σταθερού (αμετάβλητου) αστέρα, ο οποίος κατά τις μετρήσεις χρησιμοποιήθηκε ως αστέρας αναφοράς (reference star). Ο χρόνος στον οριζόντιο άξονα είναι σε JD με αρχή τη χρονική στιγμή JD. * chcygch.gif * sscygcha.gif Στο αρχείο αυτό απεικονίζεται η καμπύλη φωτός του Μεταβλητού Αστέρα CH-Cygni (βλ. Σχήμα 7). Στο αρχείο αυτό απεικονίζεται η καμπύλη φωτός του Μεταβλητού Αστέρα SS-Cygni (βλ. Σχήμα 8). 31

32 Σχήμα 6 : Καμπύλη Φωτός αστέρα AB-Andromeda (Ανδρομέδας). Σχήμα 7 : Καμπύλη Φωτός αστέρα CH-Cygni. (CH του Κύκνου) Σχήμα 8 : Καμπύλη Φωτός αστέρα SS-Cygni.

33 Παρατηρήστε τις αντίστοιχες καμπύλες φωτός, εξοικειωθείτε με την Ιουλιανή Ημέρα (JD) και προσπαθήστε να προσδιορίσετε από τα διαγράμματα, έστω κατά προσέγγιση, την περίοδο μεταβολής της λαμπρότητας του αντίστοιχου κατά περίπτωση Μεταβλητού Αστέρα. 2. Στη συνέχεια το Παρατηρησιακό Πείραμα μπορεί να εξελιχθεί κατά δυο τρόπους, ως εξής : Α. Επιλέγουμε από τα υπάρχοντα διεθνώς ιστορικά αρχεία καμπυλών φωτός κάποιον ήδη γνωστό Μεταβλητό Αστέρα - που να είναι βέβαια σε ευνοϊκή θέση στον ουρανό για την παρατηρησιακή περίοδο που έχουμε αποφασίσει - και προγραμματίζουμε και εκτελούμε σειρά μετρήσεων του φαινόμενου μεγέθους του, εφαρμόζοντας διαφορική φωτομετρία, προκειμένου να συλλέξουμε νέα στοιχεία και να επεκτείνουμε και εμείς έτσι το διάγραμμα, που έχει προκύψει από τις μέχρι τώρα μετρήσεις των προγενέστερων ερευνητών. [ Το πώς γίνεται ο έλεγχος της καταλληλότητας της αρχικής μας επιλογής από πλευράς ορατότητας του στόχου και πώς εφαρμόζεται με το Πρόγραμμα CCDSoft η διαφορική φωτομετρία περιγράφεται στις παραγράφους 3.1 και 3.4 του Πειράματος Προσδιορισμός Χαρακτηριστικών Μεγεθών Αστρων με τη Βοήθεια της Φωτομετρίας BVRI.] Προγραμματίζουμε το Τηλεσκόπιο ΑΜ, ώστε να πάρει μια σειρά φωτογραφιών (λείψη ειδώλων) της περιοχής του Μεταβλητού Αστέρα, στην οποία να περιέχεται βέβαια διαπιστωμένα και ένα γνωστό σταθερής λαμπρότητας (αμετάβλητο) άστρο, που να χρησιμοποιηθεί ως αστέρας αναφοράς κατά τις μετρήσεις. Η συχνότητα λήψεως των ειδώλων (κάθε πότε δηλ. θα λαμβάνεται η επόμενη φωτογραφία, π.χ. μια φωτογράφηση κάθε μια ώρα ή κάθε μια ημέρα ή κάθε μερικές ημέρες) θα εξαρτηθεί από τη γνωστή περίοδο, του Μεταβλητού Αστέρα που παρατηρούμε, έτσι ώστε να έχουμε ικανό αριθμό μετρήσεων για την αξιόπιστη αποτύπωση της μεταβλητότητας του φαινομένου. B. Επιλέγουμε μια κατ αρχάς τυχαία περιοχή του ουρανού και ερευνούμε για ύπαρξη Μεταβλητών Αστέρων. - Η περιοχή που θα διαλέξουμε πρέπει βέβαια να είναι κατάλληλη από πλευράς συνθηκών παρατήρησης στη χρονική περίοδο των μετρήσεων και νά έχει διαπιστωμένα ένα γνωστό σταθερής λαμπρότητας (αμετάβλητο) άστρο, που να χρησιμοποιηθεί ως ως αστέρας αναφοράς κατά τις μετρήσεις. Προγραμματίζουμε το Τηλεσκόπιο ΑΜ για λήψη σειράς 33

34 ειδώλων της περιοχής με μια κατ αρχάς μικρή συχνότητα (π.χ. μια φωτογράφηση κάθε μια ημέρα). - Με το Πρόγραμμα CCDSoft και μέσω διαφορικής φωτομετρίας μετράμε σε κάθε φωτογραφία το φαινόμενο μέγεθος όσων περισσότερων άστρων της περιοχής που φωτογραφίζουμε, καταγράφοντας τα αποτελέσματα σε Πίνακα. Με την εξέλιξη των παρατηρήσεων μπορεί - αν είμαστε τυχεροί, όπως τυχεροί υπήρξαν αρκετοί άλλοι ερευνητές μέχρι τώρα - να διαπιστώσουμε αλλαγές στη λαμπρότητα ενός ή και περισσοτέρων από τους αστέρες που παρακολουθούμε. Μετά τον κατ αρχάς εντοπισμό άστρων με μεταβλητή λαμπρότητα συστηματοποιούμε τη λήψη ειδώλων σε μικρότερα π.χ. χρονικά διαστήματα, ώστε να έχουμε πυκνότερα σημεία στην καμπύλη φωτός, που σταδιακά θα συνθέτουμε. Από τις συντεταγμένες (και από τά χαρακτηριστικά των καμπυλών φωτός) των άστρων που εντοπίσαμε, μπορούμε με βάση τα υπάρχοντα διεθνή αστρονομικά αρχεία να διαπιστώσουμε αν εντοπίσαμε έναν ή και περισσότερους από τους ήδη γνωστούς Μεταβλητούς Αστέρες, ή αν είμαστε οι πρώτοι που εντοπίσαμε την ύπαρξη ενός ή και περισσότερων Μεταβλητών Αστέρων, η ύπαρξη των οποίων δεν ήταν μέχρι σήμερα γνωστή στην ανθρωπότητα! 3. Στα πλαίσια του παρόντος Εκπαιδευτικού Πειράματος από τους παραπάνω δυο τρόπους θα ακολουθήσουμε τον δεύτερο, δηλ. θα αναζητήσουμε την ύπαρξη Μεταβλητών Αστέρων σε μια περιοχή του ουρανού. Για την εκμάθηση του Πειράματος έχουν ήδη αποθηκευθεί στο σκληρό δίσκο του Η/Υ τα αρχεία 13 φωτογραφιών μιας περιοχής του ουρανού, όπως δίνονται στον ΠΙΝΑΚΑ 1. Οι φωτογραφίες αυτές έχουν ληφθεί στο παρελθόν (έτος 1994) με Τηλεσκόπιο 203 [mm] 1 Στην κωδική ονομασία sscyx_y.fts που δίνουμε στο κάθε αρχείο, το X δίνει τον μήνα, ενώ το Y δίνει την ημέρα μέτρησης. Επί παραδείγματι το αρχείο sscy7_12.fts περιέχει τη φωτογραφία, που ελήφθη στις 12 Ιουλίου Εργαζόμαστε με το Πρόγραμμα CCDSoft με την ακόλουθη π ο ρ ε ί α ε ρ γ α σ ί α ς: 1 στα πλαίσια του παρεμφερούς με τον ΕΥΔΟΞΟ προγράμματος του Πανεπιστημίου Santa Barbara της Καλιφόρνιας, ΗΠΑ ( UCSB Remote Access Astronomy Project ). 34