Β. Στο διπλανό σχήμα παρουσιάζεται η γραφική παράσταση της

Transcript

1 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 96 Διαγώνισμα μαθηματικών Χρήστος Λαζαρίδης Α1. Να αποδείξετε ότι ένα πουώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x-μ άν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή ανθασμένες (Λ) i) Το μηδενικό πουώνυμο έχει βαθμό. ii) Για κάθε γωνία α ισχύει ηµ α = ηµασυνα (εκτός εξεταστέας ύης) x iii) Η συνάρτηση f ( x) = α είναι γνησίως αύξουσα για κάθε πραγματικό α>. iv) Αν και < α 1 τότε για οποιαδήποτε θ1, θ > ισχύει: ( θ θ ) = θ + θ 1 log log log α 1 α α v) Μια συνάρτηση f έγεται γνησίως αύξουσα όταν για οποιαδήποτε x1, x με x1 < x ισχύει : ƒ ( x ) ƒ( x ) >. 1 vi) Εστω η πουωνυμική εξίσωση α x + α x α x+α = με ακέραιους συντεεστές.αν ο ν ν 1 ν ν 1 1 ακέραιος ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α, τότε σε κάθε περίπτωση ο ρ είναι ρίζα της εξίσωσης. Β. Στο διπανό σχήμα παρουσιάζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f. Β1. Να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f. Nα εξετάσετε αν η f παρουσιάζει ακρότατα και αν η f είναι άρτια. f x = x x, τότε: Β. Αν επιπέον 4 Να υποογίστε τα σημεία Α και Β και να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης 4 g x = x 1 x + 4x Β3. Δίνεται το σύστημα f x+ f 1 y= 1 x y = 4 όπου. Να αποδείξετε ότι αν και, τότε το σύστημα έχει μοναδική ύση (,y ) 15 x y = 1 x τέτοια ώστε Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 1

2 1 f x = ηµ π x συν x + Γ. Εστω συνάρτηση Γ1. Nα αποδείξετε ότι f ( x) = ηµ x και να ύσετε την εξίσωση [, 4π ]. f x 1+ συν x Γ. Να αποδείξετε ότι: + = 1+ συν x f x f x f x + 4συν x 4= στο διάστημα Γ3. Αν α, π να αποδείξετε ότι f α > συνα + εϕα + σϕα Δ. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = log ( ln x) Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού. Δ. Να αποδείξετε ότι f < Δ3. Να ύσετε την εξίσωση 1 1 f x = Δ4. Να αποδείξετε ότι f ( e) f ( e) + 3 = log 6 Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr

3 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ Α1(Θεώρημα σ.135) Α. Λ σ. 19 Σ Λ Eίναι γνησίως αύξουσα μόνο για α>1. Σ Λ Λ Το ρ είναι πιθανή ρίζα και για να εένξουμε αν πράγματι είναι κάνουμε αντικατάσταση στο πουώνυμο όπου x=ρ για να δούμε αν βρούμε ή όχι ή κάνουμε σχήμα Horner.(είναι ρίζα όταν το τεευταίο δεξιά κουτάκι έχει ) Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 3

4 Β Στο διπανό σχήμα παρουσιάζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f. Β1. Να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f. Nα εξετάσετε αν η f παρουσιάζει ακρότατα και αν η f είναι άρτια. f x = x x, τότε: Β. Αν επιπέον 4 Να υποογίστε τα σημεία Α και Β και να σχεδιάσετε την γραφική g x = x 1 x + 4x παράσταση της συνάρτησης 4 Β3. Δίνεται το σύστημα f x+ f 1 y= 1 x y = 4 όπου. Να αποδείξετε ότι αν και, τότε το σύστημα έχει μοναδική ύση (,y ) 15 x y = 1 Λύση: Β1.H συνάρτηση είναι: Γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, 1]. Γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ 1, ]. Γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [,1 ]. Γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ 1, + ). Παρουσιάζει τοπικό εάχιστο στο -1, το f(-1). Παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο το f(). Παρουσιάζει τοπικό εάχιστο στο 1 το f(1). (τα τοπικά εάχιστα είναι και οικά) Είναι άρτια γιατί έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα των y y. x τέτοια ώστε Β. Τα σημεία Α και Β είναι τα από τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα των x τα οποία όπως ξέρουμε έχουν y=f(x)= οπότε για να βρούμε τις τετμημένες τους (τα x) ύνουμε την εξίσωση: 4 ή ή f x = x x = x x = x = x = x = x = x = ή x = ή x = Αρα Α(, ) και Β (, ) Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 4

5 g( x) ( x 1) 4 x 4x ( x 1) 4 ( x x 1) ( x 1) 4 ( x 1) f ( x 1) = + = + = = Aρα η γραφική παράσταση της g προκύπτει από την γραφική παράσταση της f με οριζόντια μετακίνηση κατά 1 μονάδα προς τα δεξιά. 4 f ( 1) = 1 1 = 1 = 1 4 f = = 16 4 = 16 8 = 8 Αρα το σύστημα γράφεται: x 1y = 1 x 1y = 1 8 x y = x y = 4 Υποογίζουμε τις ορίζουσες και τις παραγοντοποιούμε: 1 D = = + = D x 1 1 = = 1 + = + + = + = ( ) ( ) D y 1 ( 1) = = = 3 + = 3 = αν και, τότε D οπότε το σύστημα έχει μοναδική ύση την: x y ( ) ( ) D x 1 = = = D D y ( ) ( ) = = = D 1 x y = ( ) = 1 x y = 1 = 1 Αρα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 5

6 1 f x = ηµ π x συν x + Γ. Εστω συνάρτηση Γ1. Nα αποδείξετε ότι f ( x) = ηµ x και να ύσετε την εξίσωση [, 4π ]. f x 1+ συν x Γ. Να αποδείξετε ότι: + = 1+ συν x f x f x f x + 4συν x 4= στο διάστημα Γ3. Αν α, π Λύση: να αποδείξετε ότι f α > συνα + εϕα + σϕα f x = ηµ π x συν x ηµ x ηµ x ηµ x ηµ x + = + = = Γ1. [ ] f x συν x ηµ x συν x συν x συν x συν x συν x + 4 4= + 4 4= = + 4 3= συν συν + = συν = x 4 x 3 x 1 ή συνx=3 H συνx=3 είναι αδύνατη αφού ως γνωστόν -1 συνx 1 για κάθε x Η συν x = 1 έχει ως ύσεις x = κπ, κ και επειδή μας ενδιαφέρουν οι ύσεις στο διάστημα [, 4π ], αυτές είναι, π, 4π. f x 1+ συν x ηµ x 1+ συν x ηµ x+ 1+ συν x Γ. 1 ο μέος= + = + = = 1+ συν x f x 1+ συν x ηµ x 1+ συν x ηµ x 1 ( + συν x) ηµ x+ 1+ συν x+ συν x + συν x = = = = = 1+ συν x ηµ x 1+ συν x ηµ x 1+ συν x ηµ x ηµ x f x Γ3. Αν α, π f ( α ) ηµα = > οπότε = ο μέος τότε συνα<, εφα< και σφα< οπότε και συνα + εϕα + σϕα <, ενώ f α > συνα + εϕα + σϕα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 6

7 Δ. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = log ( ln x) Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού. Δ. Να αποδείξετε ότι f < Δ3. Να ύσετε την εξίσωση 1 1 f x = Δ4. Να αποδείξετε ότι f ( e) f ( e) Λύση: + 3 = log 6 Δ1. x > x > x > x > 1 ln x > ln x > ln1 x > 1 Δ. Θέουμε να δείξουμε ότι: f < log ( ln ) <.Δεδομένου ότι e=, (σχοικό σ.168) e ( e) f < ln < ln ln < 1 log ln < log1 log ln < < Δ3. Περιορισμοί: Πρέπει να ορίζεται το f(x) το οποίο όπως δείξαμε στο Δ1 ισχύει για x>1: 1 f( x) 1 log( ln x) = 1 = ln x = x = e x = e δεκτή αφού e > = log ln + log ln = log + log = log1 log + log1 log 3 = 3 Δ4. f ( e) f ( e) ( e) ( e) log + log3 = ( log + log3) = log ( 3) = log 6. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 7