Px α x α x... α x α. Ο αριθμός κ λέγεται βαθμός

Transcript

1 ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Px με το x ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ Ρ ρ. Μονάδες 10 Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο φύλλο απαντήσεων τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. 1. Έστω πολυώνυμο Px α x α x... α x α. Ο αριθμός κ λέγεται βαθμός κ κ 1 κ κ1 1 0 του πολυωνύμου. 2. Αν ο διαιρέτης σε μια διαίρεση πολυωνύμων είναι 2 ου βαθμού, τότε το υπόλοιπο έχει την μορφή αx β 3. Αν α > 1, τότε η συνάρτηση fx α x είναι γνησίως αύξουσα. x 4. Ισχύει nθ x θ e. 5. Αν 1 2 θ, θ 0 τότε ισχύει n θ θ nθ nθ Μονάδες

2 Α3. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις: ημ α συν α συν ω εφ π ω π ημ ω σφ 2π ω... Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Β συνx ημx Β1. Να δείξετε ότι ημx συνx 1εφx 1σφx Μονάδες 13 2 Β2. Να λυθεί η εξίσωση 2ημ x3συνx0 Μονάδες 12 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 Px2x αβ x 3x2β, α,βr το οποίο έχει παράγοντα το x 1 2 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του fx με το x + 1 είναι 2. Γ1. Να αποδείξετε ότι α = 2 και β = 1. Μονάδες 10

3 Γ2. Για τις παραπάνω τιμές των α και β, να λυθεί η εξίσωση fx 0 Μονάδες 10 Γ3. Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης της f που βρίσκονται κάτω από τον άξονα xx. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Δ 8nx Δ1. Να λυθεί η εξίσωση: nx 3. Μονάδες 10 nx 3 Δ2. Να λύσετε το σύστημα: x y x y Μονάδες 15

4 ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο φύλλο απαντήσεων τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. Για α > 1: 1. Η συνάρτηση fx α x έχει πεδίο ορισμού όλο το R 2. Η συνάρτηση x x f x α είναι γνησίως φθίνουσα 1 x x1 x2 α α 2 3. Η συνάρτηση fx α x τέμνει τον yy στο σημείο A1,0. 4. Η α y og x έχει σύνολο τιμών το 0,. 5. Αν 0x1 τότε og x 0 α Μονάδες 15 Α2. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ x με το x ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ, είναι δηλαδή υ Ρ ρ Μονάδες 10

5 ΘΕΜΑ Β 2ημx 2 2ημ x3συνx 0 Μονάδες 25 2 Να λυθεί η εξίσωση: ΘΕΜΑ Γ Pxαx βα x α 5, α,βr 3 Δίνεται το πολυώνυμο Γ1. Αν το x 1 είναι παράγοντας του πολυωνύμου Px και διαιρούμενο με το x + 1 αφήνει υπόλοιπο 2, να βρείτε τα α, β. Μονάδες 10 Γ2. Για α = 4, β = 1, να λύσετε την ανίσωση Px 0 Μονάδες 15 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση: fx 1 nx nx Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης. Μονάδες 10 Δ2. Να λύσετε την εξίσωση fx 2. Μονάδες 15

6 ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο φύλλο απαντήσεων τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. 1. Ένα μηδενικό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού. x 2. Αν α > 0 και α 1 με θ > 0, τότε α θog θ 3. Αν α > 1 τότε ισχύει: x 1 x2 α α x x Αν x ρ παράγοντας του πολυωνύμου P(x) τότε P(ρ) = Αν nx 2 nx 2 x x. Μονάδες Α2. Αν 0 α 1 και θ,θ 0, να αποδείξετε ότι: 1 2 α og θ θ og θ og θ α 1 2 α 1 α 2 Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Β Να λυθούν οι εξισώσεις: Β1. εφx10 Μονάδες 8

7 3 Β2. συνx 0 2 Μονάδες 8 Β3. π ημx ημx 3 Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 Pxαx β 1x 3x2β 6, α,βr Γ1. Αν το πολυώνυμο Px έχει ρίζα τον αριθμό 1 και διαιρούμενο με το x + 1 αφήνει υπόλοιπο 2, να αποδείξετε ότι α = 2, β = 4. Μονάδες 8 Γ2. Για α = 2, β = 4, να βρείτε το πηλίκο πx της διαίρεσης του P x : x 1 Μονάδες 8 Γ3. Για α = 2, β = 4, να λύσετε την ανίσωση Px 0 Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η εξίσωση: 1og(x 2 6x) og20 og(3x 10) Δ1. Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζεται η εξίσωση. Μονάδες 8 Δ2. Να λύσετε την εξίσωση. Μονάδες 9 Δ. Αν x1 = 10, η λύση της παραπάνω εξίσωσης, να βρείτε το y ώστε να ισχύει η σχέση: και y 1 2og 4 og2 ogx1. Μονάδες 8 2

8 ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ x με το x ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ, είναι δηλαδή υ Ρ ρ Μονάδες 10 Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο φύλλο απαντήσεων τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. 1. Αν x > 0 τότε nx 0 tτο πολυώνυμο P(x) διαιρεθεί με το x ρ το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ, δηλαδή υ = Ρ(ρ) 2. Αν α > 0 και α 1, τότε γα οποιαδήποτε θ 1,θ2 og θ θ og θ og θ α 1 2 α 1 α 2 3. Αν α > 0 και α 1, τότε γα οποιαδήποτε θ 1,θ2 og θ og θ α 1 α 2 og θ og θ 4. Η συνάρτηση α 1 α 2 0, ισχύει ότι: 0, ισχύει ότι: f x e x είναι γνησίως φθίνουσα για κάθε xr. 5. Ισχύει η συνεπαγωγή: π ημx 1 x 2 Μονάδες 15

9 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η παράσταση συνx συν π x Α 1 ημ x 1 ημx Β1. Να αποδείξετε ότι 2 Α συνx Μονάδες 10 Β2. Να λύσετε την εξίσωση A 4 (να μην παρθούν περιορισμοί) Μονάδες 15 ΘΕΜΑ Γ Px2x9x α 4 x 9xβ, αr Δίνεται το πολυώνυμο Γ1. Αν 1 και 2 ρίζες του πολυωνύμου Px, να βρείτε τις τιμές των α, β. Μονάδες 10 Γ2. Για α = 10, β = 2, να βρείτε να λύσετε: α. την εξίσωση Px 0 Μονάδες 7 β. την ανίσωση Px 0 Μονάδες 8

10 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση: fxog2x Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και να δείξετε ότι f2f232. Μονάδες 10 Δ2. Να λύσετε την εξίσωση fxfx1og6. Μονάδες 7 Δ3. Να λύσετε την ανίσωση fx 2ogx. Μονάδες 8

11 ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο φύλλο απαντήσεων τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. 1. Η εξίσωση ημx ημθ έχει τύπο απείρων λύσεων: x2kπθ, k R 2. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ 3. Η εκθετική συνάρτηση f(x) α x με 0 < α < 1είναι γνησίως φθίνουσα. ogαθ 4. Για κάθε α 0, α 1 και θ > 0, ισχύει ότι: α θ. 5. Κάθε άρτια συνάρτηση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Μονάδες 15 Α2. Να αποδείξετε ότι: ημ2α = 2ημασυνα Μονάδες 5 Α3. Να δοθεί ο ορισμός της γνησίως αύξουσας συνάρτησης σε διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της. Μονάδες 5

12 ΘΕΜΑ Β 3 2 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) x x kx 2, όπου k R Β1. Αν το πολυώνυμο έχει ρίζα το 2 να βρεθεί η τιμή του πραγματικού k. Μονάδες 5 Αν k 1, τότε: Β2. Να κάνετε τη διαίρεση Px : x 1 και να γράψετε την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης. Μονάδες 10 Β3. Να λύσετε την εξίσωση: Px 0 Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f(x) n(x 6) n(x 1) Γ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Μονάδες 7 Γ2. Να λύσετε την εξίσωση: n(x 6) n(x 1) 3n2 Μονάδες 9 Γ3. Να λύσετε την ανίσωση: fx n18. Μονάδες 9

13 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση α 1 f(x) 3 x Δ1. Για ποιες τιμές του α ορίζεται η συνάρτηση f; Μονάδες 9 Δ2. Για ποιες τιμές του α η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R ; Μονάδες 9 Δ3. Για α = 7, να λυθεί η εξίσωση: f x f 2x 2 Μονάδες 9