ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Σημαντικές παρατηρήσεις. Αν ο τύπος της συνάρτησης συνοδεύεται με το πεδίο ορισμού της, τότε δεν αναζητούμε το πεδίο ορισμού της.. Tο πεδίο ορισμού το βρίσκουμε με τον αρχικό τύπο και όχι από τον τύπο που προκύπτει μετά από τυχόν απλοποιήσεις.. Αν το πεδίο ορισμού Α δεν δίνεται, τότε δεχόμαστε ως τέτοιο το A { / () }. 4. Μελετούμε συναρτήσεις όπου το πεδίο ορισμού Α είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων. 5. Το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης είναι το σύνολο (A) {y / υπάρχει με y ()}. 6. Για την συνάρτηση χρησιμοποιούμε τις εκφράσεις: «Η συνάρτηση είναι ορισμένη στο σύνολο Δ» και εννοούμε ότι το Δ είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της. «Η συνάρτηση είναι ορισμένη στο 0» και εννοούμε ότι το 0 ανήκει στο πεδίο ορισμού της. 7. Όταν γράφουμε 0, αυτόματα θεωρούμε ότι η ορίζεται στο Έστω συνάρτηση : A B. Τότε Αν, τότε (προφανώς) () (),, A. Το αντίστροφο; Αν () (), τότε,, A Το αντίστροφο; 9. Μια συνάρτηση ονομάζεται άρτια στο Α, αν A ισχύουν: και το A και ( ) () Μια άρτια συνάρτηση έχει άξονα συμμετρίας τον y y (γιατί;). 0. Μια συνάρτηση ονομάζεται περιττή στο Α, αν A ισχύουν: και το A και ( ) () Μια περιττή συνάρτηση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ο (γιατί;).. Μια συνάρτηση ονομάζεται περιοδική με περίοδο Τ στο Α, αν A ισχύουν: και τα T, T A και ( Τ) () ( T) Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης [ ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης] 0-0

2 . Κάθε σημείο της γραφικής παράστασης C της επαληθεύει την εξίσωση y (), δηλαδή M(, y) C y () Οποιαδήποτε κάθετη στον ευθεία τέμνει την C σε το πολύ ένα σημείο. 4. Με την βοήθεια της γραφικής παράστασης της, μπορούμε να βρούμε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης κ. 5. Η γραφική παράσταση της α β γ,α 0 είναι παραβολή με άξονα συμμετρίας β την ευθεία κα κορυφή το σημείο α α 0 ή προς τα κάτω αν α 0 β Δ K, α 4α 6. Αν γνωρίζουμε την C, τότε με την βοήθεια της βρίσκουμε: Η C είναι συμμετρική της C ως προς τον άξονα. Η C είναι τα μη αρνητικά τμήματα των C και C. Η Η C με g. Η C βρίσκεται προς τα πάνω αν g c, c. Κατακόρυφη μετατόπιση της C κατά c μονάδες πάνω αν c 0 ή κατά c μονάδες κάτω αν c 0. C με g g c, c. Οριζόντια μετατόπιση της C κατά c μονάδες αριστερά αν c 0 ή κατά c μονάδες δεξιά αν c Με την βοήθεια των γραφικών παραστάσεων των, g στο ίδιο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων μπορούμε να λύσουμε γραφικά g, οι τετμημένες των κοινών σημείων. μια εξίσωση Μια ανίσωση g Μέθοδοι από την Cg, προβολή στον του τμήματος τη C που βρίσκεται «πάνω». Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτηση μιας συνάρτησης της οποίας δίνεται μόνο ο τύπος της y. Θα παίρνουμε για πεδίο ορισμού της το ευρύτερο υποσύνολο του R στο οποίο έχει νόημα πραγματικού αριθμού η έκφραση, δηλαδή Άρα, πρέπει να λάβουμε υπόψη μας τους παρακάτω περιορισμούς: Αν () είναι πολυωνυμική, τότε A g() i Αν (), τότε A { / h() 0} h() ii Αν () k g(), k, k, τότε A { / g() 0} iv) Αν () ln g() v) Αν () ημ g() v Αν () συν g(), τότε A { / g() 0}, τότε A, τότε A vi Αν () εφ g(), τότε vii Αν () σφ g(), τότε h() Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης [ ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης] 0-0 Α /. π A { / συν g() 0} { / g() kπ,k } A { / ημ g() 0} { / g() kπ, k } Αν () g(), τότε A { / g() 0 & h() } ή A { D / g() 0} h ) Αν η είναι συνδυασμός από των παραπάνω, κάνω συναλήθευση των περιορισμών.

3 . Για να βρω τον τύπο της συνάρτησης () για την οποία ισχύει μία ισότητα που περιέχει δυνάμεις της (), μετασχηματίζω την ισότητα στην g 0 g. ν g 0 και παίρνω. Για να βρω τους τύπους δύο συναρτήσεων και g με κοινό π. ορισμού Α τότε αρκεί να έχω: η ένα σύστημα με αγνώστους () και g(), η μία σχέση που μπορεί να πάρει τη μορφή σ g σ 0, οπότε παίρνω από αυτήν σ και g σ 0 4. Για να βρούμε τα σημεία τομής της C με τον άξονα, λύνουμε το σύστημα την εξίσωση 0 και βρίσκω τις τετμημένες. 5. Για να βρούμε τα σημεία τομής των C, C, λύνουμε το σύστημα g g και βρίσκω τις τετμημένες. y y g. y 0. Άρα Άρα την εξίσωση 6. Για να βρούμε τα, για τα οποία η C είναι πάνω (αντίστοιχα κάτω) από τον άξονα, λύνουμε την ανίσωση 0 (αντίστοιχα 0 ). 7. Για να βρούμε τα για τα οποία η C είναι πάνω από τη g. 8. Ο προσδιορισμός του συνόλου τιμών Α τους παρακάτω τρόπους: C g, λύνουμε την ανίσωση μιας συνάρτησης μπορεί να γίνει με έναν από Με τον ορισμό, προσδιορίζοντας το σύνολο Α y / υπάρχει A μέ y Βρίσκω το πεδίο ορισμού Α της. i Λύνω την εξίσωση y () () ως προς (στο ).. ii Στην πορεία επίλυσης της (), σημειώνω τους τυχόν περιορισμούς (α ) για το y ώστε να έχει λύση η () ως προς (στο ). iv) Τα που θα προκύψουν πρέπει να ανήκουν στο πεδίο ορισμού της, δηλαδή A, απ όπου θα προκύψουν πιθανώς νέοι περιορισμοί (β ) για το y. v) Το σύνολο τιμών (A) βρίσκεται από την συναλήθευση των περιορισμών του y (α ) και (β ) Με την βοήθεια των εννοιών του ορίου, της συνέχειας και της μονοτονίας όπως θα δούμε παρακάτω. Με την βοήθεια των παραγώγων όπως θα δούμε στο παρακάτω κεφάλαιο. Με την βοήθεια της γραφικής παράστασης. Η προβολή όλων των σημείων της γραφικής παράστασης της πάνω στον άξονα yy δίνει το σύνολο τιμών της. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Έννοια, Πεδίο ορισμού, Σύνολο τιμών, Γραφική παράσταση συνάρτησης. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: (σχ. Α, σελ 45) () 4 ln i ii () log () 4 iv) () log 4 Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης [ ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης] 0-0

4 v) () () π v () εφ 6 vi ) () π () σφ 6 () e vii () e e i () ημ. Έστω οι συναρτήσεις () και Να βρεθούν τα σημεία τομής των C και i Να βρεθούν τα σημεία τομής των C και g() 5 6. (σχ. Α,Α, σελ 45) C. g Cg με τους άξονες. ii Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η C βρίσκεται πάνω από την iv) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η C g. Έστω οι συναρτήσεις () log(5 ) και g() log. Εξετάστε αν η C τέμνει τους άξονες; i Εξετάστε αν οι C και Cg έχουν κοινά σημεία. C. g βρίσκεται κάτω από τον άξονα. 4. Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της () βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της g(). 5. Δίνεται η συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση διακρίνεται στο διπλανό σχήμα: Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. i Να εξετάσετε αν το - είναι τιμή της συνάρτησης. ii Να βρείτε το ( ). iv) Να βρείτε το σύνολο τιμών της. v) Να επιλύσετε την εξίσωση () 0. v Να επιλύσετε τις ανισώσεις () 0 () 0. και 6. Δίνεται η συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση διακρίνεται στο διπλανό σχήμα: Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. i Να εξετάσετε αν το 0 είναι τιμή της συνάρτησης. ii Να βρείτε το (). iv) Να βρείτε το σύνολο τιμών της. v) Να επιλύσετε την εξίσωση () 0. v Να επιλύσετε τις ανισώσεις () 0 () 0. και 7. Να γίνει η γραφική παράσταση των συναρτήσεων: (σχ. Α6, Β, Β5, σελ 45-8) v) ()( ) i () e () ii v () ln () iv) () ln vi () vii () 8. Να ελέγξετε αν οι αριθμοί 5 και - μπορεί να είναι τιμές της συνάρτησης (). Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης [ ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης] 0-0

5 9. Στο παρακάτω διάγραμμα βλέπουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Να βρεθεί το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων: v () i () vi () ii () iv) () ln v) () - ln( - 4) e 5 () vii () () ) () ln e. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης όταν ισχύει: i ii ( ) 4 5 για κάθε. (ln ) για κάθε 0. 6 () για κάθε 0.. Αν για τις συναρτήσεις, g ισχύει είναι σταθερές συναρτήσεις. Άρτιες, περιττές και περιοδικές συναρτήσεις. Να δείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι περιττές: () 4 i [()] [g()] ( g)() για κάθε, τότε οι, g 4 () ii () 4. Να δείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες: () συν i () ln iv) () ln 5. Δίνεται η συνάρτηση :. Να δείξετε ότι: () ( ) Η συνάρτηση g() είναι άρτια. i () ( ) Η συνάρτηση h() είναι περιττή. ii Κάθε συνάρτηση ορισμένη στο γράφεται ως άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης. 6. Δίνεται η συνάρτηση : με τύπο () ημ. Να δείξετε ότι ο αριθμός T π είναι μια περίοδός της. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης [ ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης] 0-0

6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι5555 ο ο.β) ΙΣΟΤΗΤΑ, ΠΡΑΞΕΙΣ, ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ.β) ΙΣΟΤΗΤΑ, ΠΡΑΞΕΙΣ, ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σημαντικές παρατηρήσεις. Δύο συναρτήσεις είναι ίσες όταν ισχύουν δύο () προϋποθέσεις: D D A (δηλαδή να έχουν ίσα πεδία ορισμού) g A : () g() (δηλαδή να έχουν τις ίδιες τιμές για κάθε στοιχείο του κοινού τους πεδίου ορισμού). Είναι ΛΑΘΟΣ η έκφραση: Δύο συναρτήσεις είναι ίσες, όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού και 4 τον ίδιο τύπο. Για παράδειγμα οι συναρτήσεις και g με A,0, ίσες, αλλά δεν έχουν τον ίδιο τύπο. είναι. Είναι δυνατόν δύο συναρτήσεις να έχουν ίδιο πεδίο ορισμού ίδιο σύνολο τιμών και να μην είναι ίσες π.χ. οι συναρτήσεις ημ g συν. 4. Αν, όμως είναι ίσες δύο συναρτήσεις τότε: (D) g(d) g C C g και (δηλαδή να έχουν ίσα σύνολα τιμών) (δηλαδή οι γραφικές τους παραστάσεις ταυτίζονται) 5. Δυο συναρτήσεις είναι διάφορες μεταξύ τους και γράφουμε g αν και μόνο αν μια από τις συνθήκες του ορισμού δεν ισχύει (δηλαδή αν D Dg ή αν υπάρχει τουλάχιστον στο κοινό πεδίο ορισμού για το οποίο να ισχύει g ). 6. Δύο συναρτήσεις και g μπορεί να μην είναι ίσες στο πεδίο ορισμού τους, αλλά σε ένα κοινό υποσύνολό τους Δ D D να ισχύει Δ : () g(). Τότε, λέμε ότι οι g συναρτήσεις και g είναι ίσες στο Δ. Άρα, αν είναι να είναι g. g, ζητείται το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του (αν υπάρχει) τέτοιο ώστε 7. ()g() 0, A ()=0 ή g() 0, A, δηλαδή για κάποιες τιμές του θα είναι 0 και για κάποιες τιμές του θα είναι g 0. ΔΕΝ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ότι () 0 για κάθε A ή g() 0 για κάθε A (δηλαδή ()g() 0, A ()=0, A ή g() 0, A ). Π.χ., 0 0, 0 και g 0, 0, 0, τότε g 0 για κάθε Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης [ ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης] 0-0

7 8. Ομοίως, αν για κάθε A για κάθε A κάποιες τιμές του θα είναι Π.χ., 0, 0 ισχύει, δεν σημαίνει ότι για κάθε A. Σημαίνει ότι για κάποιες τιμές του θα είναι., τότε για κάθε. *********************** και για 9. Οι πράξεις μεταξύ συναρτήσεων έχουν νόημα μόνο αν το εκάστοτε πεδίο ορισμού δεν είναι το κενό. 0. Οι πράξεις μεταξύ συναρτήσεων δημιουργούν ΝΕΕΣ συναρτήσεις.. Εκτός από τις πράξεις συναρτήσεις k, k με D D και (k)() k (), αλλά και k ν, ν * με D ν D και ν ()() g, g, g,, μπορούμε να ορίσουμε και: g () ν ***********************. Η σύνθεση συναρτήσεων δημιουργεί ΝΕΑ συνάρτηση.. Αν :Α και g:β τότε Η σύνθεση g Η σύνθεση g ορίζεται, αν ορίζεται, αν 4. Για να ορίσουμε την συνάρτηση g Β Β / g Α ή αλλιώς αν g(b) A. Α A / B ή αλλιώς αν (A) B. πρώτα βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της και μετά τον τύπο της γιατί σε άλλη περίπτωση μπορούμε να οδηγηθούμε σε λάθος συμπεράσματα. 5. Ειδικές περιπτώσεις: Αν D, τότε επειδή g της με την g. Αν D, τότε επειδή g της g με την. D : () g, προκύπτει ότι ορίζεται ΠΑΝΤΑ η σύνθεση g D : g(), προκύπτει ότι ορίζεται ΠΑΝΤΑ η σύνθεση 6. Η αντιμεταθετική ιδιότητα δεν ισχύει πάντα στην σύνθεση συναρτήσεων. Δηλαδή αν δυο συναρτήσεις είναι τέτοιες ώστε να ορίζονται g και g τότε δεν ισχύει πάντα g g. ή Φυσικά και υπάρχουν περιπτώσεις όπου η αντιμεταθετική ιδιότητα μπορεί να ισχύει, όπως στο παράδειγμα παρακάτω, αλλά αυτό δεν είναι ο κανόνας!!! Έστω τυχαία συνάρτηση : και η ταυτοτική συνάρτηση g(),. Τότε ισχύει ότι g g 7. Η προσεταιριστική ιδιότητα, όμως, ισχύει πάντα στην σύνθεση συναρτήσεων. Δηλαδή ισχύει πάντα g h g h, εφόσον οι τρεις συναρτήσεις είναι τέτοιες ώστε να ορίζονται οι εκάστοτε συνθέσεις. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης [ ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης] 0-0

8 Μέθοδοι. Για να προσδιορίσουμε οποιαδήποτε πράξη μεταξύ συναρτήσεων πρέπει πρώτα να βρίσκουμε το αντίστοιχο πεδίο ορισμού και να εξετάζουμε αν είναι διάφορο του κενού.. Για να προσδιορίσουμε την συνάρτηση g ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: Προσδιορίζουμε τα πεδία ορισμού Α και Β των,g αντίστοιχα, αν φυσικά δεν δίνονται. Προσδιορίζουμε το σύνολο ή αλλιώς Β / Β και g() Α Β Β / g Α και εξετάζουμε αν είναι διάφορο του κενού οπότε ορίζεται η g. Η g έχει πεδίο ορισμού Β και τύπο g g. Θεωρούμε τις συναρτήσεις και g με τύπους: Για να προσδιορίσουμε την g «κλάδους» της g και έτσι θα έχουμε:., A g,β και g, A g, Β θα συνθέσουμε κάθε «κλάδο» της με όλους τους g, Β Β / g Α g, Β Β / g Α g g, Β Β / g Α g, Β Β / g Α Αν οποιοδήποτε από τα σύνολα Β, Β, Β, Β είναι κενό τότε ο αντίστοιχος κλάδος δεν ορίζεται και παραλείπεται.. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ισότητα συναρτήσεων 7. Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι = g. Στις περίπτωση που είναι g, να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του στο οποίο ισχύει () g(). (σχ. Α7, σελ 46) () και g() - i () και g() - ii () και g() iv) () - και g() - 8. Να δειχθεί ότι οι συναρτήσεις h,, g είναι ίσες όταν για κάθε ισχύει: ()[() g()] g()[g() h()] h()[h() ()] 0 Πράξεις μεταξύ συναρτήσεων 9. Σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις να ορίσετε τις συναρτήσεις: (σχ. Α8, σελ 46) g, g, : g i () - και g() 4, () και g() ln Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης [ ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης] 0-0

9 ii, 4, 5 () και g()= 5, 4 7, 5 6 Σύνθεση συναρτήσεων 0. Για κάθε ένα από τα ζεύγη συναρτήσεων και g που παρουσιάζονται παρακάτω, να προσδιορίσετε τις νέες συναρτήσεις που ζητούνται: (σχ. Α0, Α, Α, σελ 46-7) () - και g() ln, τις g i ii iv) () και g()= () e e και g()=ln(-) και g, τις g, g και, τις g, g,, και g g. +, 4<<6 +, <<4 ()= και g()=, την σύνθεση της g με την -, 6 <8 -, 4 <7. Να βρείτε τη συνάρτηση στις παρακάτω περιπτώσεις: (σχ. Β6, σελ 48) ( g)() 4 4 αν g() ii ( g)() αν g() ln iv) (g )() 9 ημ αν g() v). Oι συναρτήσεις () α και παράμετρος α, ώστε να ισχύει g, για κάθε. i ( g)() αν g() (g )() αν g() g() α α ορίζονται στο. Να βρεθεί η. Δίνεται η συνάρτηση :[,]. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: g() ( ) i h() 4. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο () ii φ() (ln ) (). Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και ο τύπος της συνάρτησης h με τύπο h() (ln ) ( ). 5. Έστω συνάρτηση :. Αν για οποιαδήποτε σταθερή συνάρτηση g είναι g g, να αποδείξετε ότι η είναι η ταυτοτική συνάρτηση. 6. Έστω οι συναρτήσεις,g :. Να δείξετε ότι: αν η είναι άρτια και η g περιττή, τότε οι g,g είναι άρτιες i αν, g είναι περιττές, τότε οι g,g είναι περιττές ii αν η είναι άρτια, τότε η g Συναρτησιακή εξίσωση είναι άρτια. 7. Αν για τη συνάρτησης, ισχύει () ( ) για κάθε, να βρείτε: τον τύπο της και i το σύνολο τιμών της. 8. Αν για κάθε ισχύει εξίσωση Συναρτησιακή σχέση () ( ), να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης. 9. Αν για την συνάρτηση :, είναι (0)= και ισχύει η σχέση (+y)-(-y) =y, για κάθε, y, να βρεθεί ο τύπος της. 0. Να βρεθεί η συνάρτηση :, όταν για κάθε, y ισχύει η σχέση (-y)=()(y) Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης [ ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης] 0-0

10 . Αν για την : ισχύει η σχέση (y) () y(y) y, για κάθε, y, να βρεθεί ο τύπος της.. * Aν για την : ισχύουν () και ( y) () (y), για κάθε, y, να δειχθεί ().. Έστω συνάρτηση :, η οποία για κάθε, y ικανοποιεί τη σχέση: ( y) () (y) Να αποδειχθεί ότι: (0) 0 και i η είναι περιττή. 4. Έστω συνάρτηση :, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: () 0 για κάθε και ( y) ( y) () (y), για κάθε, y. Να αποδείξετε ότι: (0) και i η είναι άρτια. 5. Έστω συνάρτηση :, η οποία για κάθε ικανοποιεί τη σχέση () Να αποδείξετε ότι: () 4 για κάθε, i 4 6. Αν για την συνάρτηση :, είναι () 4 ότι ().. 4, για κάθε, y, να δειχθεί Προβλήματα (σχ. Α4, Α45, Β, Β, Β4, Β9, σελ 45-8) 7. Το κόστος μονάδων προϊόντος είναι προϊόντος είναι Π() 5, τότε: Να εκφράσετε το κέρδος Ρ ως συνάρτηση του. i Να βρείτε πότε η επιχείρηση θα έχει κέρδος και πότε ζημιά. K() 4. Αν η τιμή πώλησης μονάδων 8. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â 90 ). Αν (BΓ) 4 και (AB), να εκφράσετε την προβολή της κάθετης πλευράς ΑΓ πάνω στην υποτείνουσα ως συνάρτηση του. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης [ ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης] 0-0

11 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 6 ο ο.α) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ Σημαντικές παρατηρήσεις. Μια συνάρτηση μπορεί να παρουσιάζει το ίδιο είδος μονοτονίας σε δύο υποσύνολα A,A (ξένα μεταξύ τους) του πεδίου ορισμού της, χωρίς όμως να είναι μονότονη στο A A. Π.χ. α), 0 () ή β) (), 0. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει το ίδιο είδος μονοτονίας σε δύο υποσύνολα A( α, 0 ] και A [,β) του πεδίου ορισμού της, τότε είναι μονότονη στο A A( α,β). 0. Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της τότε έχει το ίδιο είδος μονοτονίας σε κάθε υποσύνολό της. 4. Για να δείξω ότι μια συνάρτηση δεν είναι γνησίως αύξουσα (π.χ.) σε ένα διάστημα Δ, αρκεί ένα αντιπαράδειγμα!!! Δηλαδή αρκεί να δείξω ότι υπάρχουν, Δ με τέτοια ώστε () (). 5. Αν η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ, τότε: «η γραφική παράσταση C της τέμνει τον άξονα το πολύ σε ένα () σημείο» ή αλλιώς «η εξίσωση () 0 έχει το πολύ μία ρίζα στο Δ». 6. Αν η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ και η εξίσωση () 0 πολύ μία ρίζα στο Δ, τότε αυτή η ρίζα είναι μοναδική. έχει το 7. Αν οι συναρτήσεις και g έχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας σε ένα διάστημα Δ, τότε η εξίσωση () g() έχει το πολύ μία ρίζα στο Δ. 8. Για κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ ισχύει ότι η C τέμνει κάθε οριζόντια ευθεία y k, k το πολύ σε ένα () σημείο 9. Έστω :Δ και, () () α) () () β) 0 0 Δ με. Τότε ισχύουν οι παρακάτω ισοδυναμίες: και () () και () () ομόσημοι γνησίως αύξουσα στο Δ ετερόσημοι γνησίως φθίνουσα στο Δ ***************** 0. Αν μια συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο διάστημα (α, ] και γνησίως φθίνουσα στο 0 [,β) του πεδίου ορισμού της, τότε η παρουσιάζει στο (α,β) μέγιστο στο το () Αν μια συνάρτηση γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (α, ] και γνησίως αύξουσα στο 0 [,β) του πεδίου ορισμού της, τότε η παρουσιάζει στο (α,β) ελάχιστο στο το () Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης

12 . Αν μια συνάρτηση γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα (α,β), τότε η δεν παρουσιάζει στο (α,β) ακρότατα.. Αν μια συνάρτηση γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα [α,β], τότε η παρουσιάζει ελάχιστο στο α και μέγιστο στο β. 4. Αν μια συνάρτηση γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα [α,β], τότε η παρουσιάζει μέγιστο στο α και ελάχιστο στο β. Σχόλιο: Στις παραπάνω δύο προτάσεις, αν κάποιο άκρο δεν συμπεριλαμβάνεται στο διάστημα (α, β), τότε η συνάρτηση δεν παρουσιάζει σε αυτό ακρότατο. 5. Έστω συνάρτηση : A με σύνολο τιμών (A) Δ. Υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις: α) αν είναι Δ [λ,μ], τότε min β) αν είναι Δ [λ,μ), τότε min γ) αν είναι Δ(λ,μ] δ) αν είναι Δ(λ,μ), τότε min, τότε min λ λ και ma και ma μ, δεν υπάρχει, δεν υπάρχει και ma και ma, τότε () 0, A. 6. α) Αν είναι μ 0 ma β) Αν είναι ε 0, τότε () 0, A. min 7. ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Αν για μια συνάρτηση ισχύει: Για να είναι ma μ, δεν υπάρχουν. () α, A δεν είναι σωστό να γράψουμε ma να έχει λύση στο α, πρέπει υποχρεωτικά και η εξίσωση () α α. A!!! Σημαντικές Προτάσεις. [Βασική Πρόταση: για χρήση σε επίλυση ανισώσεων] Αν μια συνάρτηση : A είναι γνησίως αύξουσα στο Α, τότε ισχύει η συνεπαγωγή: «αν () () τότε». [Άρα, αν A τότε ισχύει η ισοδυναμία: «() ()»].. [Βασική Πρόταση: για χρήση σε επίλυση ανισώσεων] Αν μια συνάρτηση : A είναι γνησίως αύξουσα στο Α, τότε ισχύει η συνεπαγωγή: «αν () () τότε». [Άρα, αν A τότε ισχύει η ισοδυναμία: «() ()»].. [Βασική Πρόταση: για χρήση σε επίλυση εξισώσεων] Αν μια συνάρτηση : A είναι γνησίως αύξουσα (ή γνησίως φθίνουσα) στο Α, τότε ισχύει η συνεπαγωγή: «αν () () τότε» [Άρα, ισχύει η ισοδυναμία: () () ]. 4. Η σύνθεση συναρτήσεων με ίδιο είδος μονοτονίας στο, οδηγεί πάντα σε συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο. 5. Η σύνθεση συναρτήσεων με διαφορετικό είδος μονοτονίας στο, οδηγεί πάντα σε συνάρτηση γνησίως φθίνουσα στο. ***************** 6. Αν είναι μια μη σταθερή και άρτια συνάρτηση, τότε σε συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων διαστήματα (υποσύνολα του πεδίου ορισμού) η έχει αντίθετο είδος μονοτονίας. (π.χ. γνησίως αύξουσα στο (α,β) και γνησίως φθίνουσα στο ( β, α) ) Συμπέρασμα: μια άρτια συνάρτηση δεν μπορεί να είναι γνησίως μονότονη. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης

13 7. Αν είναι μια μη σταθερή και περιττή συνάρτηση, τότε σε συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων διαστήματα (υποσύνολα του πεδίου ορισμού) η έχει το ίδιο είδος μονοτονίας. (π.χ. γνησίως αύξουσα στο [α,β] και στο [ β, α] ) ***************** 8. Αν μια συνάρτηση είναι άρτια και παρουσιάζει στο 0 μέγιστο, τότε στο 0 παρουσιάζει πάλι μέγιστο, το 0. (αντιστοίχως για το ελάχιστο). Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης Αν μια συνάρτηση είναι περιττή και παρουσιάζει στο 0 μέγιστο, τότε στο παρουσιά- 0 ζει ελάχιστο, το 0. (αντιστοίχως για το ελάχιστο). Συμπέρασμα: μια άρτια συνάρτηση διατηρεί τα ακρότατα, ενώ μια περιττή την μονοτονία. Μέθοδοι. Για να μελετήσουμε μια συνάρτηση ως προς την μονοτονία εργαζόμαστε με έναν από τους παρακάτω τρόπους: Απευθείας με τον ορισμό με τη βοήθεια της «κατασκευαστικής μεθόδου» και με την βοήθεια των ιδιοτήτων της διάταξης. Χρήσιμες ιδιότητες διάταξης: ν ν 0 α β α β, ν ν ν 0 α β α β, ν κ κ α β α β, κ κ κ * 0 α β α β, κ κ κ * α β 0 α β, κ Αν α β 0, τότε Αν α 0 β, τότε 0 α β α β α β α β α β α β Με τη βοήθεια του «λόγου μεταβολής», όπου εξετάζουμε το πρόσημό του λ,, Α με. Προσπαθούμε να γράψουμε την σαν άθροισμα ή σύνθεση συναρτήσεων γνωστής μονοτονίας. Με παραγώγους [ο ποιο εύχρηστος, αλλά αργότερα ]. Στις συναρτήσεις «πολλαπλού τύπου» εξετάζουμε την μονοτονία σε κάθε κλάδο. Αν προκύψει το ίδιο είδος μονοτονίας σε όλους τους κλάδους εξετάζουμε την μονοτονία σε όλο το πεδίο ορισμού. Αν προκύψει διαφορετική μονοτονία σε δύο κλάδους δεν είναι μονότονη στο πεδίο ορισμού της.. Για να εξετάσουμε αν μια συνάρτηση έχει ακρότατα εργαζόμαστε με έναν από τους παρακάτω τρόπους:

14 Απευθείας με τον ορισμό με τη βοήθεια της «κατασκευαστικής μεθόδου» και με την βοήθεια χρήσιμων ανισοϊσοτήτων. α ν 0, α, με το «ίσον» να ισχύει για α 0, α 0, α, με το «ίσον» να ισχύει για α 0, α 0, α, με το «ίσον» να ισχύει για α 0, α, α 0, με το «ίσον» να ισχύει για α, α α, α 0, με το «ίσον» να ισχύει για α. α Με την βοήθεια του συνόλου τιμών της συνάρτησης. Με την μονοτονία και την συνέχεια (λίγο αργότερα ) Με την παράγωγο της συνάρτησης (αρκετά αργότερα ). Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης

15 Μονοτονία συνάρτησης Ασκήσεις 9. Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις: (σχ. Α, Α4 σελ 56-7) [α) Συνθετική μέθοδος πάνω στον ορισμό και β) μέθοδος του λόγου μεταβολής ] () ln( ) e i ()=-+ - ii () ln iv) () v), 0 () v, 0 ()=, 0 (), 0 vi ()= 5 9- vii - () 40. α) Έστω η συνάρτηση που είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. β) Έστω οι συναρτήσεις,g που είναι γνησίως φθίνουσες σε ένα διάστημα Δ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση +g είναι γνησίως φθίνουσα. γ) Nα βρεθεί η μονοτονία της συνάρτησης συν () e συν, 0,π 4. Αν : A(0,) είναι γνησίως αύξουσα στο Α και η g : A(0,) είναι γνησίως φθίνουσα στο Α, να αποδειχθεί ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο Α. 4. α) Η συνάρτηση, ορισμένη στο, είναι άρτια και γνησίως μονότονη στο [0,α],α 0 (0) α,(α) 0. Αποδείξτε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο [ α,0] και γνησίως φθίνουσα στο [0,α]. i Αποδείξτε ότι η [0,α]. είναι γνησίως φθίνουσα στο [ α,0] β) Μελετήστε την μονοτονία της συνάρτησης h() και γνησίως αύξουσα στο στο [,]. 4. α) Να αποδειχθεί ότι κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ μία ρίζα β) Να λυθούν οι εξισώσεις: 44. α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση 7 0 και i ln. () γνησίως φθίνουσα στο. 4 β) Να λυθούν η ανίσωση α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση () ln γνησίως αύξουσα στο (0,). β) Να λυθούν η ανίσωση ln( ) ln( ) π 46. α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση () συν στο [0,π]. β) Να αποδείξετε π συνe e συνe. 47. Να λυθεί η ανίσωση ( ) ( ), όταν () e. 48. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln( e) 4e έχει μοναδική λύση. 49. α) Αν η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ και για κάθε Δ ισχύει (()) g() 0 (), τότε να αποδείξετε ότι η δεν είναι γνησίως μονότονη στο Δ., με Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης

16 β) Αν (()) 0 () για κάθε, τότε να δείξετε ότι η δεν είναι γνησίως μονότονη. 50. α) Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() () () είναι επίσης γνησίως αύξουσα στο. β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h() e e είναι γνησίως αύξουσα στο. 5. α) Να αποδείξετε ότι αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ και g γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (Δ), τότε η σύνθεση της με την g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση γ) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση 5. Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει: g() στο [,]. g() συν συν στο [0,π]. 5 () e 6() για κάθε. Να δείξετε ότι η δεν είναι γνησίως φθίνουσα. 5. Έστω : γνησίως μονότονη συνάρτηση. Αν η C σημεία με τετμημένη και τεταγμένη αντίστοιχα α) να βρείτε το είδος της μονοτονία της. β) Αν g γνησίως φθίνουσα στο, να εξετάσετε ως την μονοτονία της g g τέμνει τους άξονες και y y στα Έστω η συνάρτηση () 5 με D [0,). α) Να την εξετάσετε ως την μονοτονία. β) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο στο οποίο η C τέμνει τον άξονα. γ) Να λύσετε την ανίσωση () 0 στο [0,). 4 και της g. Ακρότατα συνάρτησης 55. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων: () i (), A [,6] ii φ() Αν η γραφική παράσταση της διέρχεται από τα σημεία A(0,), B(,) και ισχύει 57. Αν () 5, αποδείξτε ότι η συνάρτηση έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. () 4 6, α) να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την και β) να προσδιορίσετε τα ακρότατά της. 58. α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατά τη συνάρτηση () 5. 8 β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () παρουσιάζει μέγιστο Έστω οι συναρτήσεις,g : για τις οποίες ισχύει () g() για κάθε. Να βρείτε την ελάχιστη κατακόρυφη απόσταση των C και 60. Έστω οι συναρτήσεις,g : για τις οποίες ισχύει C. g () (g() ) για κάθε. Αν η γραφική παράσταση της g τέμνει την ευθεία y σε τουλάχιστον ένα σημείο, να δείξετε ότι η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης

17 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 7 ο ο.β - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Σημαντικές παρατηρήσεις. Πρόκειται για συναρτήσεις οι οποίες έχουν ένα μόνο πρότυπο A για κάθε τιμή τους, ή σε διαφορετικά (πρότυπα) του πεδίου ορισμού αντιστοιχούν διαφορετικές εικόνες.. [Συνέπεια του ορισμού] Μια συνάρτηση είναι - αν και μόνο αν : η εξίσωση y με y και A, έχει το πολύ μια λύση για κάθε y(a) η εξίσωση () y έχει μοναδική λύση ως προς. κάθε οριζόντια ευθεία ( y k ) τέμνει την γρ. παράσταση C της το πολύ σε ένα σημείο.. Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της, είναι και συνάρτηση - σε αυτό. 4. Προσοχή!!! Το αντίστροφο ΔΕΝ ισχύει. Κάθε συνάρτηση - στο πεδίο ορισμού της, δεν είναι απαραιτήτως γνησίως μονότονη συνάρτηση σε αυτό. (βρείτε αντιπαράδειγμα) Ισχύει, όμως ότι: 5. Αν η δεν είναι -, τότε δεν είναι και μονότονη (λόγω αντιθετοαντιστροφής στο ). 6. Μια συνάρτηση μπορεί να είναι - σε υποσύνολα του D, αλλά όχι στο (βρείτε αντιπαράδειγμα) 7. Μια - συνάρτηση έχει το πολύ μια ρίζα (δηλ. η εξίσωση () 0 ***************** D. έχει το πολύ μια λύση). 8. [Συνέπεια του ορισμού] Η αντίστροφη συνάρτηση της : έχει ως πεδίο ορισμού, το σύνολο τιμών (A) της, έχει ως σύνολο τιμών, το πεδίο ορισμού της ισχύει y y Αυτό σημαίνει, ότι αν η αντιστοιχίζει το στο y, τότε η αντιστοιχίζει το y στο και αντιστρόφως. Δηλαδή, η είναι η αντίστροφη διαδικασία της, οπότε για κάθε A και y y για κάθε y Α. A, Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης

18 9. Προσοχή!!! στον συμβολισμό της αντίστροφης 0. Αν η είναι αντιστρέψιμη, τότε και η και το σύμβολο είναι αντιστρέψιμη με.. Αν η δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε δεν είναι - (λόγω αντιθετοαντιστροφής).. Αν η δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε δεν είναι γνησίως μονότονη (λόγω αντιθετοαντιστροφής).. Αν η δεν είναι γνησίως μονότονη, τότε δεν συνεπάγεται ότι η δεν είναι αντιστρέψιμη (βρείτε αντιπαράδειγμα). 4. Πολλές φορές ξέρουμε ότι μια συνάρτηση έχει αντίστροφη δεν μπορούμε να βρούμε τον τύπο της. Αυτό συμβαίνει γιατί δεν μπορούμε να λύσουμε αλγεβρικά ως προς την εξίσωση y. Είναι όμως σημαντικό να γνωρίζουμε ότι υπάρχει.. Βασικές Προτάσεις [χρειάζονται απόδειξη]. Εάν η συνάρτηση είναι άρτια τότε δεν είναι -.. Εάν η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και περιττή, τότε και η συνάρτηση. Εάν η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο A, τότε και η συνάρτηση μονότονη στο (A) και μάλιστα με το ίδιο είδος μονοτονίας. είναι περιττή. είναι γνησίως y () 4. Τα κοινά σημεία των C και C βρίσκονται από την επίλυση του συστήματος y () αλλιώς της εξίσωσης () (). 5. Αν :Α γνησίως αύξουσα τότε: ή και η είναι γνησίως αύξουσα. i με Α Α, δηλ. τα κοινά σημεία των C και βρίσκονται πάνω στην διχοτόμο της γωνίας του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου, την y C. (Αυτό ισχύει διότι, υπό τις συγκεκριμένες προϋποθέσεις, οι εξισώσεις είναι ισοδύναμες [απόδειξη]). () () και () C 6. Αν :Α γνησίως φθίνουσα τότε οι C και ευθείας y. (βρείτε αντιπαράδειγμα) μπορεί να έχουν κοινά σημεία και εκτός της Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης

19 Μέθοδοι. Για να δείξουμε ότι μία συνάρτηση είναι συνάρτηση - τότε : θεωρούμε δύο τυχαία, A τέτοια ώστε () () και καταλήγουμε στο ότι (χρησιμοποιείται κυρίως όταν μας δίνεται ο τύπος της συνάρτησης) θεωρούμε δύο τυχαία, A τέτοια ώστε και καταλήγουμε στο ότι () () (χρησιμοποιείται κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις). Δείχνουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της. Θεωρούμε ένα τυχαίο y και δείχνουμε ότι η εξίσωση y έχει το πολύ μια ρίζα στο Α. Γραφικά. Για να δείξουμε ότι μία συνάρτηση «πολλαπλού τύπου» είναι συνάρτηση - τότε δείχνουμε ότι κάθε κλάδος είναι - (όπως παραπάνω) και στην συνέχεια: δείχνουμε ότι τα σύνολα τιμών, ανά δύο, είναι ξένα μεταξύ τους, είτε δείχνουμε ότι είναι - στην ένωση, ανά δύο, κάθε συνόλου των εν λόγω κλάδων, επιλέγοντας τυχαία, που να ανήκουν στα σύνολα αυτά, ένα στο καθένα, είτε γραφικά κατασκευάζοντας την γραφική παράσταση.. Για να δείξω ότι μια συνάρτηση ΔΕΝ είναι - αρκεί να δείξω ότι: υπάρχουν, A με τέτοια ώστε () () ή ότι υπάρχει ευθεία παράλληλη στον που να τέμνει την C σε περισσότερα του ενός σημεία. 4. Κάνουμε χρήση της ιδιότητας της - συνάρτησης σε επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων. 5. Για την εύρεση της αντίστροφης μίας συνάρτησης, εξασφαλίζουμε το - της συνάρτησης και στη συνέχεια βρίσκουμε το σύνολο τιμών της (A). 6. Για την εύρεση του τύπου της και λύνουμε ως προς. Κατόπιν εναλλάσσουμε το y με το. θέτουμε y 7. Εάν η συνάρτηση είναι περιττή τότε μπορεί να είναι - (π.. (π.. ημ ). αλλά μπορεί και όχι Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης

20 Ασκήσεις Συνάρτηση -. Να εξετάσετε αν είναι - οι παρακάτω συναρτήσεις: e () i () ii () e v), 0 () e v () e vi () -, 0 vii (), <,. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση με (), 0, δεν είναι -. (σχ. Α σελ 56) iv) (). Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το είναι περιοδική, τότε δεν είναι Έστω : για την οποία ισχύει: ( )() (), για κάθε. α) Να δειχθεί ότι η είναι - β) Να υπολογισθεί το (0). γ) Να αποδειχθεί ότι δεν είναι άρτια στο. δ) Να λυθεί η εξίσωση ( ) ( 8). 5. Αν η συνάρτηση ορίζεται στο και η είναι -, τότε δείξετε ότι και η είναι Να λυθεί η εξίσωση 0-=+ln. 7. Να λυθεί η εξίσωση ln 8. Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει η σχέση:. Να εξετάσετε αν η είναι Δίνεται η συνάρτηση (). α) Να δειχθεί ότι η είναι -. β) Να λυθεί η εξίσωση 5. 5 γ) Να λυθεί η ανίσωση e e e. 0. (Γενικές Εξετάσεις 998) Η συνάρτηση : ικανοποιεί τη σχέση έτσι ώστε α) Να δειχθεί ότι η είναι -. β) Να λυθεί η εξίσωση έτσι ώστε με 0. (Γ) ( ) (4 ).. Αν για τη συνάρτηση : ισχύει ( )() () e( )() για κάθε (()) (),. (), να δείξετε ότι: α) Η συνάρτηση είναι -. β) Η συνάρτηση δεν είναι γνησίως μονότονη.. γ) Η συνάρτηση είναι περιττή.. Δίνεται η συνάρτηση : ώστε να ισχύει ( y) () (y) για κάθε,y. α) Να δειχθεί ότι η (0) 0. β) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση είναι περιττή. γ) Αν η εξίσωση () 0 έχει μοναδική ρίζα την 0 0, να δείξετε ότι η είναι -. (Δ) Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης

21 Αντίστροφη συνάρτηση (σχ. Α σελ 56). Να βρεθούν οι αντίστροφες (αν υπάρχουν) των παρακάτω συναρτήσεων (Β) () i () ln ii () iv) e e v) () v () ln( ) vi () e e 4. Αποδείξτε ότι δεν είναι αντιστρέψιμες οι συναρτήσεις: 4 συν () 5 i () ii () e 5. Αν ()( α ) β, να βρεθούν τα α,β ώστε 6. Αν για μια συνάρτηση : ισχύει, να αποδειχθεί ότι η είναι αντιστρέψιμη. ( )() ()= --, - 4, Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης * Θεωρώντας γνωστή την συνάρτηση : να βρείτε την αντίστροφή της (σε συνάρτηση με την () ), αν ισχύει η σχέση ( )() (), για κάθε. 8. Aν να βρείτε: α) το () 9. Αν οι : A B και β) το ώστε (). και g : B είναι αντιστρέψιμες, να αποδειχθεί ότι και η g είναι αντιστρέψιμη. 0. Αν η ορίζεται στο και η είναι αντιστρέψιμη, να αποδειχθεί ότι και η είναι αντιστρέψιμη.. Αν () 0 και (()) () για κάθε 0, να αποδειχθεί ότι: α) υπάρχει η και β) () (Γ). Να βρείτε τις αντίστροφες των παρακάτω συναρτήσεων και να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις τους στο ίδιο σύστημα αξόνων: () i (),. Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης :(0,) για την οποία ισχύει () 5 για κάθε Έστω : (0, + ) με (α β) α β, για κάθε α, β (0,+ ). Να δειχθεί ότι: () 0 i () ii Αν η έχει μοναδική ρίζα την =, να δειχθεί ότι η αντιστρέφεται. 5. Να αποδείξετε ότι η :[,) με () 4 είναι - και να βρείτε την. 6. Να δείξετε ότι αν μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το είναι περιττή και -, τότε και η είναι περιττή. 7. Δίνεται η συνάρτηση () με πεδίο ορισμού A [0,). α) Να την εξετάσετε ως προς τη μονοτονία της. β) Να βρείτε το ελάχιστό της. γ) Να βρείτε την αντίστροφή της. δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της 8. Δίνεται η συνάρτηση :, για την οποία ισχύει ( )() () () για κάθε. α) Να δείξετε ότι (0) 0. β) Αν () 0 για κάθε 0 τότε να δείξετε ότι η αντιστρέφεται. (Γ) 9. Δίνεται η συνάρτηση () 6 0. (Γ)

22 α) Να βρείτε την αντίστροφή της. β) Να λυθεί η εξίσωση ( )(). (Γ) 0. Αν για κάθε ισχύει () 4() 9, να δείξετε ότι η δεν αντιστρέφεται.. Έστω η συνάρτηση που είναι γνησίως μονότονη και διέρχεται από τα σημεία A(,5) και B(,). α) Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της. β) Να βρείτε τους αριθμούς (5) και () γ) Να λυθεί η ανισότητα ( )... Να βρείτε την αντίστροφη της () e e,.. Αν για μια συνάρτηση : ισχύει ( y) () (y) για κάθε,y, να δειχθεί ότι: (0) 0 i η είναι περιττή ii (ν) ν (), ν iv) (α) α (),α v) (ρ) ρ (),ρ 4. Δίνεται η συνάρτηση : έτσι ώστε ( y) () (y), (). α) Να δείξετε ότι (0), ( ) για κάθε. () β) Να δείξετε ότι () 0, για κάθε. γ) Αν η είναι -, να δείξετε ότι y y,, y 0. (Δ) 5. Έστω : η οποία είναι γνησίως αύξουσα με (). Να δείξετε ότι: α) Η αντιστρέφεται. β) Η - είναι γνησίως αύξουσα στο. γ) Οι εξισώσεις () () και () είναι ισοδύναμες στο (έχουν το ίδιο σύνολο λύσεων) 6. Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης αντίστροφή της. 7. Δίνεται η συνάρτηση () e e. α) Να δείξετε ότι αντιστρέφεται. β) Να λυθεί η εξίσωση () (). γ) Να λυθεί η εξίσωση ( ln ) (ln ). 8. α) Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης (). β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων γ) Να λυθεί η εξίσωση () (). 9. Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει α) Να δείξετε ότι η είναι -. β) Να βρείτε την. γ) Να εξετάσετε αν το σημείο Ο(0,0) C δ) Να εξετάσετε αν το σημείο Σ(,) C ε) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. στ) Να λύσετε την εξίσωση () (),. () (), με (). (Δ) () με την (Δ) Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

π x = κπ + με κ. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν 2

π x = κπ + με κ. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο.3 Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Συνάρτηση Όταν

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 9η Κατηγορία: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Θεωρούμε, Δ, όπου Δ διάστημα του πεδίου ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ. Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Σημαντικές παρατηρήσεις

Σημαντικές παρατηρήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδιο Φυλλάδι555 5 ο ο Η έννοια της παραγώγου Να υπάρχει διάστημα της μορφής ή ή α,,β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις 07 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α.

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 ο ΜΑΘΗΜΑ.7. Σύνολο τιμών f(a) της f / A B Ορισμός: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f / Α Β περιλαμβάνει εκείνα τα y Β για τα οποία υπάρχει x Α : «Η εξίσωση y= f ( x) να έχει λύση ως προς x»

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων µε τύπο: i) ii) iii) iv) v) 2. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να βρείτε µια περίοδο της. 3. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1o Γ Λυκείου) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1o Γ Λυκείου) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (o Γ Λυκείου).Να βρεθούν οι τιμές των α, β R ώστε: Α) τα σημεία (, ),(, ) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης α +β. Β)τα σημεία ( 0, ),( e, ) να ανήκουν στην γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet: Κεφάλαιο: Συναρτήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης Γράφημα μιας συνάρτησης ( ) ονομάζουμε το σύνολο των σημείων G( ) (, ( ) ) / A που είναι υποσύνολο του. Το γράφημα αυτό { } συνήθως παριστάνεται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

x y f (x). f(a) {y R x A : y f(x)}.

x y f (x). f(a) {y R x A : y f(x)}. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα), με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α .5.. Ίσες συναρτήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f = g, Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α Για κάθε x Α ισχύει f ( x) = g( x) Αν για τις συναρτήσεις: f:

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων

Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων στο R Πεδίο ορισμού συνάρτησης είναι η συναλήθευση των περιορισμών της συνάρτησης στο R, αν δεν έχει περιορισμούς λέμε ότι έχει πεδίο ορισμού το R. Όταν έχω πρέπει ν Α, Α Α Α Β Β ln Α, log Α Α> ln Β logα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν Α ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο όταν Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι συνεχής στο αφού Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό μια συνάρτηση δεν

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΑΥΤΗΣ)

ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΑΥΤΗΣ) ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΑΥΤΗΣ) A. Εύρεση Πεδίου Ορισμού Συναρτήσεων-Άρτια και περιττή Συνάρτηση Η ανάλυση των πεδίων ορισμού για τις διαφορετικές πραγματικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων. τέτοια ώστε. lim. και

Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων. τέτοια ώστε. lim. και Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων Άσκηση η Να βρεθούν τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων ) x, 0, ) x x a x x x, x x x x Άσκηση η Αν : a, συνεχής στο, τέτοια ώστε x x και x x Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 6//26 ΕΩΣ 3//26 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Κυριακή 3 Οκτωβρίου 26 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α v v Α. Έστω το πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Συναρτήσεις Έστω συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Να δείξετε ότι (), για κάθε R ( ) +, για κάθε R Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών το R και τέτοια ώστε ( ) ( ) e +,

Διαβάστε περισσότερα

x 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι)

x 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι) Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = v) f() 4 6 6 5 log 4 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) vi) f() = 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) =

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) = ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) () = 4 6 6 ii) () = iii) () = log ( ) iv) () = log ( log4(- )) v) vii) () 5 4 viii) () 5 log

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, αρκεί να βρούμε τις τιμές του χ για τις οποίες ορίζονται οι πράξεις που αναγράφονται στο τύπο

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

x + lim = 1, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού z. R R με την ιδιότητα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

x + lim = 1, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού z. R R με την ιδιότητα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Α ΕΚΔΟΣΗ:7/0/0 ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ 30 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΑΣΚΗΣΗ 4 (από Περικλή Παντούλα) α. Αν η είναι συνεχής στο [0,] να δείξετε ότι υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η Εκθετική συνάρτηση Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε αντιστοιχεί η δύναμη α. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση : f : με f α, 0 α η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α, τότε έχουμε τη σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις σωστού-λάθους

Ερωτήσεις σωστού-λάθους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦ ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Φυλλάδιο ο Κεφ..: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Mιγαδικών Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β], Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

5.3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

5.3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5.3. Αντίστροφη συνάρτηση Έστω μια συνάρτηση f : A.Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι - τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών f (A) της f υπάρχει μοναδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ) 1 Να βρεθεί η σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g γα τις οποίες ισχύει: f()+1=g()+e (Η C f κάτω

Διαβάστε περισσότερα