θετικοί αριθμοί, να δείξετε ότι

Transcript

1 1 Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ 9 /05/ 01 Προαγωγικές Εξετάσεις Β τάξης Εξεταζόμενο μάθημα : Άλγεβρα Σελίδες : (ΔΥΟ) ΘΕΜΑ 1 ο Α. Αν 0, 1 και, 1 θετικοί αριθμοί, να δείξετε ότι log a 1 log 1 log (15 μονάδες) Β. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( ) ln και g( ) e στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. Γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ): α. Αν, τότε, όπου κ ακέραιος. β. Το μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0. (4 μονάδες) γ. Η συνάρτηση f ( ) a με a (0,1) είναι γνησίως φθίνουσα. (3=6 μονάδες) ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 3 Α. Να βρείτε το μέγιστο, το ελάχιστο και την περίοδο της f. (9 μονάδες) Β. Να λυθεί η εξίσωση f ( ) 1 στο διάστημα [ 0, ]. (16 μονάδες)

2 ΘΕΜΑ 3 ο Θεωρούμε το πολυώνυμο έχει παράγοντα το. 3 f ( ) 4 8 a, όπου α πραγματικός αριθμός, το οποίο Α. Να δείξετε ότι α=. (7 μονάδες) B. Να κάνετε τη διαίρεση f ( ) : ( ) (9 μονάδες) Γ. Να λύσετε την ανίσωση f ( ) 0. (9 μονάδες) ΘΕΜΑ 4 ο Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( ) ln1 e ln. Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. (7 μονάδες) Β. Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g, με g ( ) 1 ln( ), δεν έχουν κοινό σημείο. (9 μονάδες) Γ. Να λύσετε την ανίσωση 1 f ( ) ln (9 μονάδες) ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στη φωτοτυπία των θεμάτων. Καμία άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται. Να γράψετε όλες τις απαντήσεις στην κόλλα σας. Διάρκεια εξέτασης δύο () ώρες. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!

3 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΕΛ ΕΛ. ΒΕΝΙΖΕΛΟΥ ΧΑΝΙΑ 6/6/01 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α. Α1 Αν α>0 με, τότε για οποιουσδήποτε να αποδείξετε ότι:. (10 μόρια) Α. Αν α>0 με, χ και θ>0 τότε να μεταφέρετε στο τετράδιο σας τις παρακάτω ισότητες συμπληρωμένες. i. ii. = iii. iv. v. (5 μόρια) Α3. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ). i. Κάθε ακέραιος ρ ο οποίος είναι διαιρέτης του σταθερού όρου μιας πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές, είναι ρίζα αυτής της εξίσωσης. ( μόρια) ii. Ο βαθμός του γινομένου δύο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το γινόμενο των βαθμών των πολυωνύμων αυτών. ( μόρια) iii. Κάθε σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0. ( μόρια) iv. ημχ=ημθ, κ ( μόρια) v. Αν α>0, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τότε. ( μόρια)

4 ΘΕΜΑ Β. (Συνέχεια στην επόμενη σελίδα) Δίνεται η συνάρτηση f( )=. Β1. Να βρείτε πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. (5 μόρια) Β. Να αποδείξετε ότι f( )=. (10 μόρια) Β3. Να λυθεί η εξίσωση f( = f(χ)+3 (10 μόρια) ΘΕΜΑ Γ. Δίνεται το πολυώνυμο Γ1. Να βρείτε την τιμή του ώστε το Ρ(χ) να έχει ρίζα το 1. (7 μόρια) Γ. Για λ= i. Να λυθεί η ανίσωση Ρ(χ) (10 μόρια) ii. Να λυθεί η εξίσωση Ρ(ημχ)=0 (8 μόρια) ΘΕΜΑ Δ. Δίνεται η συνάρτηση Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. (7 μόρια) Δ Να λυθεί η εξίσωση f(χ)= 1. (8 μόρια) Δ3 Να βρείτε τα διαστήματα του χ στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ χ. (10 μόρια) Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα στην κόλα σας. Καλή επιτυχία Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ

5 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΡΑΘΩΝΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΣΤΟ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ ΜΑΡΑΘΩΝΑΣ, ΜΑΪΟΥ 01 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( ) = ρ. Είναι δηλαδή υ P( ρ ) είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για Β. Στις παρακάτω προτάσεις, να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1. Αν log =, τότε: α θ θ i. α = ii. α = θ iii. α = θ. Αν το πολυώνυμο ( ) του πολυωνύμου είναι: i. 1 ii. P με το ρ =. () P έχει παράγοντα το + 1, τότε μια τουλάχιστον ρίζα 1 iii. 1 (Μονάδες,5=5) Γ. Αν θ 1, θ, θ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να συμπληρώσετε τις ισότητες: 1. lnθ 1 + lnθ =... lnθ 1 lnθ =.. 3. ln e = log =.. 5. log 1 = (Μονάδες 5 =10) ΘΕΜΑ ο Να λυθούν οι εξισώσεις: Α. συν 5συν + = 0 Β. εφ 1 = 0 στο 0, π (Μονάδες 1) (Μονάδες 13)

6 ΘΕΜΑ 3 ο 3 Δίνεται το πολυώνυμο P( ) = + ( α 1) 6 Α. Να βρείτε την τιμή του α, ώστε το ( ) Β. Για = α. α, να λύσετε την εξίσωση ( ) = 0 Γ. Για = P να έχει παράγοντα το + 1. P. α, να λύσετε την ανίσωση ( ) 0 P. (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 4 ο Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) ln( f = e e + 5) και ( ) = ln 5 + ln( e 1) Α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f ( ) και ( ) Β. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί ln, 5 g. g. ln είναι ρίζες της εξίσωσης ( ) g ( ) f =. (Μονάδες 9) Γ. Να λύσετε την ανίσωση ( ) g ( ) f <. Καλή Επιτυχία! Η Διευθύντρια Οι καθηγητές

7 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΟΥΔΡΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ EΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Αν 0 1 και 0 τότε να αποδείξετε ότι: loga loga (Μονάδες: 15) Β. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: 1. Αν ένα σύστημα εξισώσεων έχει D 0, D 0, D 0 τότε έχει άπειρες λύσεις. ΤΜΗΜΑ.. ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΩΝΥΜΟ:.. ΟΝΟΜΑ:.. ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ : ΑΡΜΑΟΣ ΠΕΤΡΟΣ, ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ ΟΛΟΓΡΑΦΩΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΣ ΥΠΟΓΡΑΦΗ Εκατονταβάθμια κλίμακα Εικοσαβάθμια κλίμακα y. Οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους: ή,. 3. Ισχύει ln e 4. Το πολυώνυμο 3 4 P( ) είναι 3 ου βαθμού. 5. Αν 0 1 και 1, 0 τότε log a( 1 ) loga 1 loga (Μονάδες: 10) ΘΕΜΑ ο Για τη γωνία α ισχύει ότι : 5 0. Α. Να αποδείξετε ότι: 1. (Μονάδες 9)

8 Β. Να λύσετε την εξίσωση 1. Γ. Να αποδείξετε ότι οι λύσεις της εξίσωσης 1, 0 είναι 5 ή. 3 3 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται το πολυώνυμο P( ) 3. Αν το πολυώνυμο P( ) έχει ως παράγοντες τους και 1 Α. Να αποδείξετε ότι: 0 και 3. (Μονάδες: 8) Β. Αν 0 και 3 να λύσετε την εξίσωση P( ) 0. (Μονάδες: 9) Γ. Αν 0 και 3 να λύσετε την ανίσωση P( ) 0. (Μονάδες: 8) ΘΕΜΑ 4 ο Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) ln( e e ) και g( ) ln(e 3) Α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f ( ) ί g( ). (Μονάδες: 8) Β. Να λύσετε την εξίσωση f ( ) g( ). (Μονάδες: 9) Γ. Να λύσετε την ανίσωση f ( ) g( ). (Μονάδες: 8) ΕΥΧΟΜΑΙ ΕΠΙΤΥΧΙΑ! Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ ΑΡΜΑΟΣ ΠΕΤΡΟΣ

9 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Θέμα 1 ο Α. Να αποδείξετε ότι: loga θ θ 1 log θ log θ για κάθε θ,θ a 1 a 1 0, Β. Πότε μια συνάρτηση f : A R,A R ονομάζεται άρτια και πότε περιττή και 0 α 1 Μονάδες 5 Γ. Να γράψετε στην κόλλα των εξετάσεων τον αριθμό της κάθε ερώτησης από τις παρακάτω και δίπλα τη λέξη ΣΩΣΤΟ αν η πρόταση είναι σωστή ή τη λέξη ΛΑΘΟΣ αν η πρόταση είναι λανθασμένη 1) Το μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό μηδέν ) Αν σε γραμμικό σύστημα ισχύει: D 0 και D D 0 τότε αυτό είναι αδύνατο, με y D την ορίζουσα του συστήματος και D,D τις ορίζουσες που προκύπτουν από την D αν y στη στήλη των συντελεστών των, y αντικαταστήσουμε τη στήλη των σταθερών όρων του συστήματος αντίστοιχα. 3) Η συνάρτηση f ημ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 4) Η συνάρτηση f ln έχει πεδίο ορισμού το 0, 5) Τα αντίθετα τόξα έχουν ίσα συνημίτονα 6) Ισχύει: log θ log θ log a 1 a a θ θ 1, με θ θ 0 και 0 α 1 1 7) Η εξίσωση συν a, με,a R έχει πάντοτε ρίζα π π,π 8) Η συνάρτηση f a,a 1 είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της 9) Η περίοδος της συνάρτησης 10) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ν π f εφ, R kπ,k Z έχει περίοδο π f log, με ν Ν είναι το R Θέμα ο 3 Δίνονται οι συναρτήσεις: f 6 και g 6 11 i) Να βρεθούν οι τετμημένες των σημείων τομής τους Μονάδες 15 ii) Να βρεθούν οι πραγματικές τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται «κάτω» από τη γραφική παράσταση της g

10 Θέμα 3 ο Δίνεται η συνάρτηση f ημ π 1 i) Να βρεθεί το μέγιστο και το ελάχιστο της συνάρτησης f καθώς και οι θέσεις του μεγίστου και ελαχίστου αντίστοιχα ii) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία με εξίσωση y 1 των οποίων οι τετμημένες ανήκουν στο διάστημα π, π iii) Πόσες ρίζες έχει η εξίσωση f 013. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Μονάδες 5 Θέμα 4 ο e 4e 3 ln και g e 1 i) Να βρεθούν τα πεδία ορισμού τους Μονάδες 5 ii) Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της g βρίσκεται Δίνονται οι συναρτήσεις: f «πάνω» από τον άξονα iii) Να λυθεί η εξίσωση f g 0 Παρατηρήσεις: 1 ) Ν α α π α ν τ ή σ ε τ ε σ ε ό λ α τ α θ έ μ α τ α ) Κ ά θ ε μ έ θ ο δ ο ς ε π ι σ τ η μ ο ν ι κ ά τ ε κ μ η ρ ι ω μ έ ν η γ ί ν ε τ α ι α π ο δ ε κ τ ή Αιδηψός Πέμπτη, 3 Μαΐου 013 Η Διευθύντρια Ο Εισηγητής

11 Θέμα 1 ο Ενδεικτικές Λύσεις Α. Να αποδείξετε ότι: loga θ θ 1 log θ log θ για κάθε θ,θ a 1 a 1 0, Απάντηση loga θ1 Είναι θ a : 1 1, log a θ log a θ1θ θ a : και θ θ a : 1 3 Από log a θ 1 log a θ log a θ 1 a 1 θ θ a a θ θ a log θ : Από a loga θ1θ loga θ1 loga θ log θ θ log θ log θ και 0 α 1 a και επειδή η συνάρτηση f a είναι «1-1» θα ισχύει: a 1 a 1 a Β. Πότε μια συνάρτηση f : A R,A R ονομάζεται άρτια και πότε περιττή Μονάδες 5 Απάντηση Η συνάρτηση f : A R,A R ονομάζεται άρτια αν και μόνο αν για κάθε A ισχύει: A και f f Η συνάρτηση f : A R,A R ονομάζεται περιττή αν και μόνο αν για κάθε A ισχύει: A και f f Γ. Να γράψετε στην κόλλα των εξετάσεων τον αριθμό της κάθε ερώτησης από τις παρακάτω και δίπλα τη λέξη ΣΩΣΤΟ αν η πρόταση είναι σωστή ή τη λέξη ΛΑΘΟΣ αν η πρόταση είναι λανθασμένη 11) Το μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό μηδέν (ΛΑΘΟΣ) 1) Αν σε γραμμικό σύστημα ισχύει: D 0 και D D 0 τότε αυτό είναι αδύνατο, με y D την ορίζουσα του συστήματος και D,D τις ορίζουσες που προκύπτουν από την D αν y στη στήλη των συντελεστών των, y αντικαταστήσουμε τη στήλη των σταθερών όρων του συστήματος αντίστοιχα. (ΣΩΣΤΟ) 13) Η συνάρτηση f ημ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 14) Η συνάρτηση f ln έχει πεδίο ορισμού το 0, (ΛΑΘΟΣ) 15) Τα αντίθετα τόξα έχουν ίσα συνημίτονα (ΣΩΣΤΟ) 16) Ισχύει: log θ log θ log a 1 a a θ θ 1 π π,π (ΛΑΘΟΣ), με θ θ 0 και 0 α 1 (ΛΑΘΟΣ) 1 17) Η εξίσωση συν a, με,a R έχει πάντοτε ρίζα (ΛΑΘΟΣ) 18) Η συνάρτηση f a,a 1 είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της (ΣΩΣΤΟ) 19) Η περίοδος της συνάρτησης (ΛΑΘΟΣ) π f εφ, R kπ,k Z f 0) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ν (ΣΩΣΤΟ) έχει περίοδο π log, με ν Ν είναι το R

12 Θέμα ο 3 Δίνονται οι συναρτήσεις: f 6 και g 6 11 iii) Να βρεθούν οι τετμημένες των σημείων τομής τους Μονάδες 15 Απάντηση Τα ζητούμενα σημεία είναι οι λύσεις της εξίσωσης: 3 3 f g : 1 3 Θεωρούμε P Οι πιθανές ρίζες της 1 είναι οι 1,,3,6. Εύκολα προκύπτει ότι: ρίζα. Εφαρμόζουμε το σχήμα του Horner για 1 και έχουμε: P 1 0, οπότε το 1 είναι μια Έτσι η εξίσωση 1 ισοδύναμα γράφεται ή 1 ή ή iv) Να βρεθούν οι πραγματικές τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται «κάτω» από τη γραφική παράσταση της g Απάντηση Φανερά ζητάμε τις πραγματικές τιμές του για τις οποίες 3 3 f g :,1,3

13 Θέμα 3 ο Δίνεται η συνάρτηση f ημ π 1 iv) Να βρεθεί το μέγιστο και το ελάχιστο της συνάρτησης f καθώς και οι θέσεις του μεγίστου και ελαχίστου αντίστοιχα Απάντηση Είναι ma f 1 1 για R ώστε π π ημ π 1 ημ 1 ημ 1 kπ kπ,k Z και 4 min f 1 3 για R ώστε π π ημ π 1 ημ 1 ημ 1 λπ λπ, λ Z 4 v) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία με εξίσωση y 1 των οποίων οι τετμημένες ανήκουν στο διάστημα π, π Ζητούνται οι λύσεις της εξίσωσης f 1 Απάντηση στο διάστημα π, π Είναι π f 1 kπ : 1,k Z. Με 4 1 π 3 5 π kπ π k π, π π π k 0,1 και k Z k Z π για k 0 από την 1 προκύπτει ότι και για k 1 από την 1 προκύπτει ότι 4 π 3π οπότε τα ζητούμενα σημεία τομής είναι τα Μ,1 1 και Μ,1 4 4 vi) Πόσες ρίζες έχει η εξίσωση f 013. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Επειδή f για κάθε R, η εξίσωση f 013 είναι αδύνατη στο R 3π 4 Μονάδες 5

14 Θέμα 4 ο e 4e 3 ln και g e 1 Να βρεθούν τα πεδία ορισμού τους Δίνονται οι συναρτήσεις: f iv) Για το πεδίο ορισμού της f (έστω της g (έστω g Απάντηση A ) πρέπει 0 A f f 0, t e ειναι "11" Μονάδες 5 και για το πεδίο ορισμού A ) πρέπει e 1 0 e 1 0 A g, 0 0, v) Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της g βρίσκεται Πρέπει «πάνω» από τον άξονα Απάντηση e 4e 3 e 1e 3 e 1 e ln t γνησιως αυξουσα ln e ln3 ln3 0 ln3 0 0 g 0 0 e 3 0 e 3 0 vi) Να λυθεί η εξίσωση f g 0 Απάντηση e 4e 3 g 1 1 e 4e 3 e 1 f g 0 ln g 0 e 1 ln3 ln3 Είναι ln3 e 1 0 e 5e 4 0 e 1e 4 0 e 4 0 e 4 ln 4 ln3 ln3 ln3 ln3 ln3 ln3 Άρα η ρίζα της εξίσωσης είναι ln 4 και το ζητούμενο έχει βρεθεί Κ Α Λ Ο Κ Α Λ Ο Κ Α Ι Ρ Ι

15 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦ.Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΑΝ.ΜΑΚΕΔ.-ΘΡΑΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: Άλγεβρα Δ/ΝΣΗ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΡΟΔΟΠΗΣ ΤΑΞΗ: Β 1 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 30/05/013 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 013 ΘΕΜΑ Α Α1. Αν 0 με 1, τότε για οποιουσδήποτε αριθμούς θ 1,θ 0, να αποδείξετε ότι ισχύει log (θ θ ) log θ log θ. 1 1 Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με την ένδειξη Σωστό ή Λάθος. (α) Ισχύει 1 συνω 1 για οποιαδήποτε γωνία ω. (β) Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f ( ) ρ ημω με ρ,ω 0 είναι ρ. (γ) Η περίοδος της συνάρτησης f ( ) ημ είναι π. (Μονάδες 7) Α3. Να μεταφέρετε στην κόλλα σας τις παρακάτω προτάσεις σωστά συμπληρωμένες. (Μονάδες 9) (α) Έστω P( ) ένα πολυώνυμο και ένας πραγματικός αριθμός. Αν ( ) 0 τότε ο αριθμός λέγεται. του πολυωνύμου P( ). (β) Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P( ) με το είναι... (γ) Ένα πολυώνυμο P( ) έχει.. το αν και μόνο αν ( ) 0. (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ Β 3 Έστω P( ) 8 4 με ένα πολυώνυμο. Δίνεται ότι το πολυώνυμο P( ) 3 ου βαθμού και έχει ρίζα τον αριθμό. Β1. Να αποδείξετε ότι 1. Β. Να λύσετε την εξίσωση P( ) 0. Β3. Να λύσετε την ανίσωση P( ) ( )( 5). είναι (Μονάδες 9)

16 ΘΕΜΑ Γ Δίνονται οι παραστάσεις: με συν (εφ συν ) ημ και κπ, κ. Γ1. Να αποδείξετε ότι ημ 1. Γ. Να αποδείξετε ότι ημ. Γ3. Να λύσετε την εξίσωση 3 5. π εφ(π )σφ( ) συν(π )ημ (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ Δ Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) ln( e 1) και g ( ) ln ln1 Θεωρούμε την παράσταση f(ln3) g( 6). Δ1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f, g.. Δ. Να λύσετε την ανίσωση f ( ) ln( e 1). Δ3. Να αποδείξετε ότι ln και ότι 0. 3 Δ4. Να λύσετε την εξίσωση f ( ) ln( e 1). (Μονάδες 6) (Μονάδες 5) (Μονάδες 7) (Μονάδες 7)

17 1 ο Α) Δείξτε ότι ένα πολυώνυμο Ρ() έχει παράγοντα το -ρ, αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ(), δηλαδή αν και μόνο αν Ρ(ρ) =0 ΜΟΝΑΔΕΣ 15 Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις με τη ένδειξη τη ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ Β 1 ) Αν α>0, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τότε : ΜΟΝΑΔΕΣ Β ) Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο ΜΟΝΑΔΕΣ Β 3 ) Ο βαθμός του γινομένου δύο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το γινόμενο των βαθμών των δύο πολυωνύμων. ΜΟΝΑΔΕΣ Β 4 ) Οι λύσεις της εξίσωσης : εφ=εφθ είναι : =κπ+θ, κ Ζ ΜΟΝΑΔΕΣ Β 5 ) Αν 1, θετικοί, τότε ισχύει : ln( 1 ) ln1 ln ΜΟΝΑΔΕΣ ο Δίνεται το πολυώνυμο : 3 P() k, k. Αν το P() έχει ρίζα το ρ=1 : α) Δείξτε ότι k 1 ΜΟΝΑΔΕΣ 8 β) Λύστε την εξίσωση : P ( ) 0 ΜΟΝΑΔΕΣ 8 γ) Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης P ( ) : ( 3) ΜΟΝΑΔΕΣ ο 1 Δίνεται η συνάρτηση : f( ) 1 α) Βρείτε τα f (3), f ( ) ΜΟΝΑΔΕΣ 8 β) Λύστε την ανίσωση : f( ) 16 MΟΝΑΔΕΣ 8 γ) Λύστε την εξίσωση : f( ) 1 ΜΟΝΑΔΕΣ 9 4 ο Δίνεται η συνάρτηση : g 3 ( ) ln( 5 8 4) α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ΜΟΝΑΔΕΣ 8 β) Λύστε την εξίσωση : g ( ) ln( 1) ln ΜΟΝΑΔΕΣ 8 γ) Βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει g() e ΜΟΝΑΔΕΣ 9

18 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ Προαγωγικών εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου 014 στην ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Πέμπτη 9 Μαΐου 014 (Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα) Όνομα:.. Θέμα Α Α1) Εάν με, τότε να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ισχύει: ( ). () A) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις: (5 3 Μονάδες) i.,.. και. ii. Οι αντίθετες γωνίες έχουν.. συνημίτονο και οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν συνημίτονο. iii. Οι λύσεις της εξίσωσης είναι όπου.. iv. Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται άρτια όταν για κάθε ισχύει:. και επιπλέον.. = v. Η εκθετική συνάρτηση ( ), όπου έχει πεδίο ορισμού το. και σύνολο τιμών το Επίσης είναι γνησίως. Θέμα Β Αν και, τότε: Β1) Να βρείτε τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω rad. Β) Αν ( ) να αποδείξετε ότι. Β3) Αν Κ είναι η παράσταση του ερωτήματος Β., να λύσετε την εξίσωση (Μονάδες 5) ( ) (Μονάδες 1)

19 Θέμα Γ Δίνεται το πολυώνυμο ( ) το οποίο έχει παράγοντα το και όταν διαιρεθεί με το αφήνει υπόλοιπο 1. Γ1) Να βρείτε τις τιμές των και (Μονάδες 9) Εάν και να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: Γ) Να λύσετε την ανίσωση ( ) και να γράψετε το διάστημα στο οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) βρίσκεται κάτω από τον άξονα. (Μονάδες 7+) Γ3) Να λύσετε την εξίσωση ( ). Ποιες από τις λύσεις της εξίσωσης αυτής βρίσκονται μεταξύ των αριθμών και ; (Μονάδες 4+3) Θέμα Δ Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) Δ1) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. Δ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) Δ3) Να λύσετε την ανίσωση ( ) Δ4) Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( ) (Μονάδες 6) (Μονάδες 7) (Μονάδες 6) (Μονάδες 6) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ Ο Διευθυντής Ο εισηγητής Αλέξανδρος Συγκελάκης

20 Αποκλειστικά από το lisari.blogspot.gr Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 4ο ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΖΑΝΗΣ Θέμα Α Α1. α) Αν α 0 με α 1 τότε για θ 0 και κ r να αποδείξετε ότι ισχύει log θ α κ κlog θ α β) Αν α 0, α 1 και r να συμπληρώσετε τις ισότητες : 1. logα α... logα θ. α logα lne... () ln α 5. e... (Μονάδες 5) Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις γράφοντας στο τετράδιο σας τη λέξη Σωστή ή Λάθος. α. Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει ημα ημασυνα β. Οι λύσεις της εξίσωσης εφ εφθ είναι κπ θ, κ Z γ. Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy δ. Αν μια συνάρτηση είναι περιττή και έχει ρίζα τον αριθμό ρ, τότε θα έχει ρίζα και τον αριθμό ρ ε. Αν για το πολυώνυμο P ισχύει Θέμα Β Β1. Να αποδειχθεί ότι : ημθ 1 συνθ 1 συνθ ημθ ημθ Β. Να λυθεί η εξίσωση : 1 συν ημ 3 0 Θέμα Γ 3 Δίνεται το πολυώνυμο P α β με α,β r P 0 τότε το P διαιρείται με το () () (Μονάδες 15) Γ1. Αν το πολυώνυμο P έχει παράγοντα το 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης P : 1 είναι 8 να βρεθούν τα α και β. Για α και β 3 Γ. Να λυθεί η ανίσωση P 0

21 Αποκλειστικά από το lisari.blogspot.gr Γ3. Να λυθεί η ανίσωση P (Μονάδες 9) Θέμα Δ Δίνονται οι συναρτήσεις f ln e 1 g ln και Δ1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f και g Δ. Να λύσετε τις ανισώσεις : 1. f 0. g 0 Δ3. Να συγκρίνετε τους αριθμούς f ln3 και 1 g e Δ4. Να λύσετε την εξίσωση f f g e 1 Δ5. Να αποδείξετε ότι g 10 g 8 f ln 49 0e e e 016 (Μονάδες 4) (Μονάδες 6) (Μονάδες 4) (Μονάδες 7) (Μονάδες 4)