Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν

Transcript

1 Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

2 Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Μ η Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς Μ ε τ α τ ο π ι σ η Κ α μ π υ λ η ς Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς Α ν α γ ω γ η σ τ ο 1 ο Τ ε τ α ρ τ η μ ο ρ ι ο Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Α θ ρ ο ι σ μ α τ ο ς Γ ω ν ι ω ν Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Δ ι π λ α σ ι ο υ Τ ο ξ ο υ 1991 Προτεινω στους φιλους μαθητες να ξεφυλλισουν το βιβλιο αυτο και να εχουν την ευκαιρια να προσπαθησουν πρωτα μονοι τους να λυσουν την ασκηση ( με τη μικρη βοηθεια που τους παρεχεται στην εκφωνηση ). Μονο στην αναγκη να γυρισουν σελιδα για να δουν τη λυση. Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

3 Α λ λ γ γ ε ε β β ρ ρ α α B Α Λ Λ υ υ κ κ ε ε ι ι ο ο υυ Με πολυ μερακι Για τους καλους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 014 maths58corfu@gmail.com H δικη μου αποψη για την τραπεζα θεματων

4 Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν ο Θ ε μ α Α λ γ ε β ρ α : ο Θ ε μ α 1. Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α

5 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 5 Θ ε μ α 1 ο α) Να κατασκευασετε ενα γραμμικο συστημα δυο εξισωσεων με δυο αγνωστους με συντελεστες διαφορους του μηδενος, το οποιο να ειναι αδυνατο. (Μοναδες 10) β) Να παραστησετε γραφικα στο επιπεδο τις δυο εξισωσεις του συστηματος που ορισατε στο α) ερωτημα και, με βαση το γραφημα, να εξηγησετε γιατι το συστημα ειναι αδυνατο. (Μοναδες 15) Σ υ σ τ η μ α Δ υ ο Γ ρ α μ μ ι κ ω ν Ε ξ ι σ ω σ ε ω ν με δυο αγνωστους λεγεται καθε συστημα της μορφης:... χ ρ η σ ι μ ο Λ υ σ η του πιο πανω συστηματος ειναι καθε ζευγος πραγματικων αριθμων (x,y) που επαληθευει και τις δυο εξισωσεις του συστηματος. Η μοναδικη λυση ενος συστηματος δυο γρ. εξισωσεων με δυο αγνωστους σημαινει γεωμετρικα το σ η μ ε ι ο τ ο μ η ς των δυο ευθειων, που παριστανουν οι εξισωσεις του συστηματος. Α δ υ ν α τ ο λεγεται ενα συστημα, οταν δεν υπαρχουν ζευγη (x,y) που το επαληθευουν. Σημαινει γεωμετρικα οτι οι δυο ευθειες που παριστανουν οι εξισωσεις του συστηματος, ειναι π α ρ α λ λ η λ ε ς. Α ο ρ ι σ τ ο λεγεται ενα συστημα, οταν εχει απειρα ζευγη (x,y) που το επαληθευουν. Σημαινει γεωμετρικα οτι οι δυο ευθειες που παριστανουν οι εξισωσεις του συστηματος, σ υ μ π ι π τ ο υ ν. Ι σ ο δ υ ν α μ α λεγονται τα συστηματα που εχουν ακριβως τις ι δ ι ε ς λυσεις.

6 6 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η α) Eστω το γραμμικο συστημα x + y = - (Σ): x + y = 4 1 D = = - = D = = = x 4 1 Αρα το συστημα (Σ) ειναι αδυνατο. (+) x + y = - - x - y = x + y = 4 x + y = 4 0 x + 0 y = 6 0 = 6 αδυνατη Αρα το συστημα (Σ) ειναι αδυνατο x + y = - x = - - y x + y = 4 x = 4 - y - - y = 4 - y - = 4 αδυνατη Αρα το συστημα (Σ) ειναι αδυνατο x + y = - y = - - x y = - - x x + y = 4 x - - x = 4 - = 4 αδυνατη Αρα το συστημα (Σ) ειναι αδυνατο β) Το συστημα αποτελειται απ'τις ευθειες : ε : x + y = - και ε : x + y = 4 1 ε : x + y = - ε : x + y = 4 1 x 0-1 x 0 y - 0 y 4 0 ε: Γ(, 0), Δ(0, 4) αντιστοιχα. Ειναι y - y B A λ = = = - ε 1 x - x B A λ = λ ε ε ε ε 1 1 y - y Δ Γ 4-0 λ = = = - ε x - x 0 - Δ Γ Οποτε οι ευθειες δεν εχουν κοινο σημειο (δεν τεμνονται) και το συστημα (Σ) ειναι αδυνατο. ε1 ε Oι ευθειες τεμνουν τους αξονες x x, y y στα: ε1: Α(- 1, 0), Β(0, -) αντιστοιχα. Α Δ Β y 0 Γ x

7 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 7 Θ ε μ α ο Δινεται η εξισωση: (1) α) Να γραψετε μια αλλη εξισωση που να μην εχει καμια κοινη λυση με την εξισωση (1). (Μοναδες 10) β) Να παραστησετε γραφικα στο επιπεδο τις δυο εξισωσεις και, με βαση το γραφημα, να εξηγησετε γιατι το συστημα ειναι αδυνατο. (Μοναδες 15)... χ ρ η σ ι μ ο

8 7 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η α) Θεωρουμε την εξισωση 4x + y = 4 που δεν εχει κοινη λυση με την 8x + y = 7 γιατι το γραμμικο συστημα τους δεν εχει λυση. Πραγματι 8x + y = 7 (Σ): 4x + y = 4 8 D = = 8-8 = D = = 7-8 = x 4 1 Αρα το συστημα (Σ) ειναι αδυνατο. (+) 8x + y = 7 8x + y = 7 0 x + 0 y = = - 1 αδυνατη, οποτε 4x + y = 4-8x - y = - 8 το συστημα (Σ) ειναι αδυνατο. 8x + y = 7 8x + y = 7 4x + y = 4 8x + y = 8 7 = 8 αδυνατη, οποτε το συστημα (Σ) ειναι αδυνατο. 8x + y = 7 8x + (4-4x) = 7 8x + 8-8x = 7 8 = 7 αδυνατη 4x + y = 4 y = 4-4x y = 4-4x y = 4-4x Αρα το συστημα (Σ) ειναι αδυνατο. β) Το συστημα αποτελειται απ'τις ευθειες : ε : 8x + y = 7 και ε : 4x + y = 4 1 ε : 8x + y = 7 ε : 4x + y = 4 1 x 0 y Ειναι x y y - y - 0 B A λ = = = - 4 ε 1 x - x 7 B A 0 - λ = λ ε ε ε 8 1 ε 1 y - y Δ Γ 4-0 λ = = = - 4 ε x - x 0-1 Δ Γ Οποτε οι ευθειες δεν εχουν κοινο σημειο (δεν τεμνονται) και το συστημα (Σ) ειναι αδυνατο. ε1 ε Oι ευθειες τεμνουν τους αξονες x x, y y στα: ε1: Α( 7 8, 0), Β(0, 7 ) αντιστοιχα. ε: Γ(1, 0), Δ(0, 4) αντιστοιχα. Β 0 y Δ Α Γ x

9 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 9 Θ ε μ α 3 ο Δυο φιλοι, ο Μαρκος και ο Βασιλης, εχουν αθροισμα ηλικιων 7 χρονια, και ο Μαρκος ειναι μεγαλυτερος απο το Βασιλη. α) Μπορειτε να υπολογισετε την ηλικια του καθενος; Να δικαιολογησετε την απαντηση σας. (Μοναδες 13) β) Δινεται επιπλεον η πληροφορια οτι η διαφορα των ηλικιων τους ειναι 5 χρονια. Να υπολογισετε την ηλικια του καθενος. (Μοναδες 1)... χ ρ η σ ι μ ο

10 10 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η α) Εστω x, y οι ηλικιες του Μαρκου και του Βασιλη, αντιστοιχα. Απ την υποθεση προκυπτει: x + y = 7 (1) με x > y. Η (1) ειναι γραμμικη εξισωση 1ου βαθμου, οποτε εχει απειρες λυσεις και δεν ειναι δυνατος ο υπολογισμος των ηλικιων καθενος απ τους δυο φιλους. β) Η επιπλεον πληροφορια (αφου x > y) δινει : x y = 5 () Απ τη λυση του συστηματος των (1) και () προκυπτει το ζητουμενο. (+) x + y = 7 x + y = y = 7 y = 11 Βασιλης 11 ετων x - y = 5 x = 3 x = 16 x = 16 Μαρκος 16 ετων

11 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 11 Θ ε μ α 4 ο α) Με βαση τα δεδομενα του σχηματος, να προσδιορισετε τις εξισωσεις των ευθειων (ε) και(η). (ε) y (η) 45 0 Ο 4 x β) Να βρειτε τις συντεταγμενες του σημειου τομης τους. (Μοναδες 1) (Μοναδες 13)... χ ρ η σ ι μ ο

12 1 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η α) Εστω y = λ ε x + α και y = λ η x + β οι εξισωσεις των ευθειων (ε) και (η) αντιστοιχα. Απ το σχημα προκυπτει : (, 0) (ε) 0 = λ + α 0 = λ + λ = - 1 (0, ) (ε) ε ε ε = λ 0 + α = α α = ε (ε) : y = - x + (4, 0) (η) 0 = λ 4 + β η 0 = β β = λ = εφ 45 λ = 1 λ = 1 λ = 1 η η η η ( η) : y = x - 4 β) Προκειμενου να βρουμε τις συντεταγμενες του σημειου τομης των δυο ευθειων, λυνουμε το συστημα των εξισωσεων τους. Ετσι y = - x + x - 4 = - x + x = 6 x = 3 x = 3 y = x - 4 y = x - 4 y = x - 4 y = 3-4 y = - 1

13 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 13 Θ ε μ α 5 ο Δινεται το συστημα: με παραμετρους α) Να επιλεξετε τιμες για τις παραμετρους ωστε το συστημα αυτο να εχει μοναδικη λυση το ζευγος. (Μοναδες 13) β) Να επιλεξετε τιμες για τις παραμετρους ωστε το συστημα αυτο να ειναι αδυνατο. (Μοναδες 1)... χ ρ η σ ι μ ο

14 14 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η Ειναι D = 1 - = β + α D = 8 - = 8β + γ D = 1 8 = γ - 8α x y α β γ β α γ α) Το συστημα εχει μοναδικη λυση την (, - 3), οποτε D 8β + γ x = = D β + α 8β + γ = β + 4α α - 3β = γ (1) D y γ - 8α γ - 8α = - 3β - 6α = - 3 = - 3 β + α 0 () D β + α β + α 0 D 0 β + α 0 Eπιλεγουμε τιμες για τις παραμετρους α, β και γ που ικανοποιουν τις (1) και (). Για α = 1 και β = 1 τοτε γ = 3 = - 1 Δηλαδη για (α, β, γ) = ( 1, 1, - 1) το συστημα εχει μοναδικη λυση την (, - 3). Επαληθευση Για (α, β, γ) = ( 1, 1, - 1) το συστημα γινεται (+) x - y = 8 x - y = 8 3x = 6 x = x = x + y = - 1 x + y = - x + y = y = - y = - 3 β) Το συστημα ειναι αδυνατο αν D = 0 β + α = 0 β = - α D 0 x 8β + γ 0 4β + γ 0 β = - α (3) η η η γ + 4β 0 (4) D 0 γ - 8α 0 γ + 4β 0 y Eπιλεγουμε τιμες για τις παραμετρους α, β και γ που ικανοποιουν τις (3) και (4). Για α = - 1 τοτε β = και γ γ - 8, το συστημα ειναι αδυνατο. Επαληθευση 1 - D = = - = D = = 16 + γ 0 (αφου γ - 8) x γ

15 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 15 Θ ε μ α 6 ο Δινεται ενα ορθογωνιο παραλληλογραμμο με μηκος, πλατος, περιμετρο ιση με και με την ακολουθη ιδιοτητα: Αν αυξησουμε το μηκος του κατα και μειωσουμε το πλατος του κατα, θα προκυψει ενα ορθογωνιο με εμβαδον ισο με το εμβαδον του αρχικου. α) Να εκφρασετε τα δεδομενα με ενα συστημα δυο εξισωσεων με δυο αγνωστους. (Μοναδες 10) β) Να βρειτε τις τιμες των διαστασεων x, y του ορθογωνιου. (Μοναδες 15) Για ορθογωνιο διαστασεων x, y : Περιμετρος : Π = x + y Εμβαδον : Ε = x y... χ ρ η σ ι μ ο

16 16 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η α) Ειναι για το αρχικο ορθογωνιο : Π = 38 x + y = 38 x + y = 19 (1) Αν Ε1 ειναι το εμβαδον του αρχικου ορθογωνιου και Ε το εμβαδον του νεου ορθογωνιου, τοτε E = E xy = (x + )(y - 4) xy = xy - 4x + y - 8 x - y = - 4 () 1 Αρα το ζητουμενο συστημα, ειναι το συστημα των εξισωσεων (1) και (), δηλαδη x + y = 19 (Σ): x - y = - 4 β) Ειναι (+) x + y = 19 x + y = y = 19 y = 14 x - y = - 4 3x = 15 x = 5 x = 5

17 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 17 Θ ε μ α 7 ο Στο δημοτικο parking μιας επαρχιακης πολης στις 10 το πρωι, το συνολο των δικυκλων και τετρατροχων οχηματων που εχουν παρκαρει ειναι 830 και το πληθος των τροχων τους.700. α) Να εκφρασετε τα δεδομενα με ενα συστημα δυο εξισωσεων με δυο αγνωστους. (Μοναδες 13) β) Να βρειτε τον αριθμο των δικυκλων καθως και τον αριθμο των τετρατροχων οχηματων. (Μοναδες 1)... χ ρ η σ ι μ ο

18 18 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η α) Εστω x δικυκλα και y τετρατροχα οχηματα βρισκονται στο parking της επαρχιακης πολης στις 10 το πρωι. Τα οχηματα ειναι 830 και οι τροχοι τους 700. Ετσι το ζητουμενο συστημα ειναι x + y = 830 x + y = 830 (Σ) : x + 4y = 700 x + y = 1350 β) Ειναι για το συστημα (Σ) : 1 1 D = = - 1 = D = = = 310 x D = = = 50 y D D ,, D D 1 1 (x, y) = x x = = (310, 50) Αρα στο parking υπαρχουν 310 δικυκλα και 50 τετρατροχα οχηματα.

19 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 19 Θ ε μ α 8 ο Δινεται το συστημα: με παραμετρο α) Αν, να δειξετε οτι το συστημα εχει απειρες λυσεις. Να βρειτε μια λυση. β) Αν, να δειξετε οτι το συστημα ειναι αδυνατο. γ) Αν, να δειξετε οτι το συστημα εχει μοναδικη λυση την οποια και να προσδιορισετε. (Μοναδες 8) (Μοναδες 8) (Μοναδες 9)... χ ρ η σ ι μ ο.

20 0 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η Ειναι λ + 1 D = = λ - 9 = (λ + 3)(λ - 3) 4 λ D = = 3λ + 9 = 3(λ + 3) x - 6 λ - 1 λ D = = - 6λ - 18 = - 6(λ + 3) y 4-6 α) Για λ = - 3 D = ( )(- 3-3) = 0 D = 3( ) = 0 D = - 6( ) = 0 x y και το συστημα γινεται (-3 + 1)x + y = 3 - x + y = 3 - x + y = 3 4x + (-3-1)y = - 6 4x + - 4y = x + y = 3 λυσεις της μορφης : κ + 3 (x, y) = κ,, κ. 5 Μια απ'τις απειρες λυσεις, ειναι για κ = 1, η (x, y) = 1,. β) Για λ = 3 D = (3 + 3)(3-3) = 6 0 = 0 D = 3(3 + 3) = 3 6 = 18 0 x γ) Για λ = 0 D = 3(0 + 3) = 9 x D = - 6(0 + 3) = - 18 y το συστημα ειναι αδυνατο. D = (0 + 3)(0-3) = ( το συστημα εχει μοναδικη λυση ) Ετσι D D 9-18,, D D (x, y) = x x = = (- 1, ) το συστημα εχει απειρες

21 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 1 Θ ε μ α 9 ο Δινονται οι ευθειες με εξισωσεις:, με παραμετρο α) Να βρειτε την τιμη του ωστε οι ευθειες και να ειναι παραλληλες. (Μοναδες 8) β) Να παραστησετε γραφικα τις και, για. (Μοναδες 8) γ) Υπαρχει τιμη του, ωστε οι ευθειες και να ταυτιζονται; Να δικαιολογησετε την απαντηση σας. (Μοναδες 9)... χ ρ η σ ι μ ο

22 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η α) Για να ειναι οι ευθειες ε, ε 1 Πραγματι x - y = - 1 παραλληλες πρεπει να ειναι αδυνατο το συστημα. (λ - 1)x - y = 6-1 D = 0 = λ - 1 λ = 3 το συστημα ειναι αδυνατο για λ λ = D = = = 8 0 δηλαδη ε, ε παραλληλες. x β) Για λ = 3, Το συστημα αποτελειται απ'τις ευθειες : ε : y = x + 1 και ε : y = x ε : y = x + 1 ε : y = x γ) x 0-1 x 0 3 y 1 0 y Δεν υπαρχει πραγματικος λ, ωστε οι δυο ευθειες να ταυτιζονται (το συστημα των εξισωσεων τους να ε- χει απειρες λυσεις), αφου x (α) ερωτημα D = 8 0 ανεξαρτητο του λ. Δηλαδη το συστημα ειναι αδυνατο για λ = 3 και εχει μοναδικη λυση αν λ y 1-6 ε1 ε 0 3 x

23 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 3 Θ ε μ α 1 0 ο Δινονται οι ευθειες α) i. Να βρειτε τις συντεταγμενες του σημειου τομης των ii. Να βρειτε τις συντεταγμενες του σημειου τομης των (Μοναδες 1) β) Με τη βοηθεια του ερωτηματος (α), να δειξετε οτι το κοινο σημειο των και ειναι σημειο της (Μοναδες 13)... χ ρ η σ ι μ ο

24 4 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η α) Ειναι i) - x + 3y = - 9 4y = - 4 y = - 1 y = - 1 (+) x + y = 5 x + y = 5 x - 1 = 5 x = 3 ii) οι ευθειες ε, ε τεμνονται στο 1 σημειο Μ(3, - 1) 3x + y = 7 3x + (5 - x) = 7 3x x = 7 x = 3 (+) x + y = 5 y = 5 - x y = 5 - x y = 5-3 y = - 1 x = 3 β) οι ευθειες ε, ε τεμνονται στο σημειο Μ(3, - 1) 1 3 Απ το ερωτημα (α) προκυπτει οτι οι τρεις ευθειες διερχονται απ το σημειο Μ(3, - 1), οποτε το κοινο σημειο (σημειο τομης) των ευθειων ε, ε ειναι και σημειο της ευθειας ε. 3 1

25 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 5 Θ ε μ α 1 1 ο Ενα θεατρο εχει 5 σειρες καθισματων χωρισμενες σε δυο διαζωματα. Η καθε μια απο τις σειρες του κατω διαζωματος εχει 14 καθισματα και η καθε μια απο τις σειρες του πανω διαζωματος εχει 16 καθισματα, ενω η συνολικη χωρητικοτητα του θεατρου ειναι 374 καθισματα. α) Αν x ο αριθμος σειρων του κατω και y o αριθμος σειρων του πανω διαζωματος, να εκφρασετε τα δεδομενα του προβληματος με ενα συστημα δυο εξισωσεων. (Μοναδες 1) β) Ποσες σειρες εχει το πανω και ποσες το κατω διαζωμα; (Μοναδες 13)... χ ρ η σ ι μ ο

26 6 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η α) Συμφωνα με τα δοσμενα του προβληματος, προκυπτει το συστημα : x + y = 5 (Σ) : 14x + 16y = 374 β) Eιναι x + y = 5 x = 5 - y x = 5 - y 14x + 16y = (5 - y) + 16y = y + 16y = 374 x = 5 - y x = 5-1 x = 13 y = 4 y = 1 y = 1 Ετσι, το πανω διαζωμα εχει 1 σειρες, ενω το κατω διαζωμα εχει 13 σειρες.

27 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 7 Θ ε μ α 1 ο Δινονται οι ευθειες: α) Να προσδιορισετε αλγεβρικα το κοινο τους σημειο Μ. (Μοναδες 13) β) Να βρειτε για ποια τιμη του α, η ευθεια διερχεται απο το Μ. (Μοναδες 1)... χ ρ η σ ι μ ο

28 8 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η α) Ειναι για το συστημα (Σ) : x + y = 6 x - y = D = = = D D x x D = = = - 9 (x, y) = = = x,,, D D D = = = - 1 y Aρα το κοινο σημειο των δυο ευθειων ειναι το Μ,. 5 5 β) Αφου η ευθεια 3x + αy = α + 5 διερχεται απ το σημειο Μ, τοτε οι συντεταγμενες του Μ επαληθευουν την εξισωση της. Ετσι α = α α = 5α + 5 1α - 5α = 5-7 7α = - α =

29 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 9 Θ ε μ α 1 3 ο Δινεται το συστημα: με παραμετρους α) Να επιλεξετε τιμες για τις παραμετρους ωστε το συστημα αυτο να εχει μοναδικη λυση το ζευγος. (Μοναδες 13) β) Να επιλεξετε τιμες για τις παραμετρους ωστε το συστημα αυτο να ειναι αδυνατο και να επαληθευσετε γραφικα την επιλογη σας. (Μοναδες 1)... χ ρ η σ ι μ ο

30 30 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η Ειναι D = = β + α D = = 9β + γ D = = γ - 9α α) x y α β γ β α γ Το συστημα εχει μοναδικη λυση την (1, - 4), οποτε D 9β + γ x = 1 = 1 D β + α 9β + γ = β + α α - 4β = γ (1) D y γ - 9α γ - 9α = - 4β - 8α = - 4 = - 4 β + α 0 () D β + α β + α 0 D 0 β + α 0 Eπιλεγουμε τιμες για τις παραμετρους α, β και γ που ικανοποιουν τις (1) και (). Για α = 1 και β = 1 τοτε γ = 1 4 = - 3 Δηλαδη για (α, β, γ) = ( 1, 1, - 3) το συστημα εχει μοναδικη λυση την (1, - 4). Επαληθευση Για (α, β, γ) = ( 1, 1, - 3) το συστημα γινεται (+) x - y = 9 x - y = 9 3x = 3 x = 1 x = 1 x + y = - 3 x + y = - 6 x + y = y = - 6 y = - 4 β) Το συστημα ειναι αδυνατο αν β = - α (3) γ α - 4β (4) Eπιλεγουμε τιμες για τις παραμετρους α, β και γ που ικανοποιουν τις (3) και (4). Για α = 1 τοτε β = - και γ = 3 9, προκυπτουν οι ευθειες : ε : x - y = 9, ε : x - y = 3. 1 ε : x - y = 9 ε : x - y = 3 1 x 0 9 x 0 3 y 9-0 y y ε ε x - Επαληθευση Οπως φαινεται στο σχημα, οι δυο ευθειες ειναι παραλληλες, που σημαινει οτι το συστημα ειναι αδυνατο.

31 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 31 Θ ε μ α 1 4 ο Δινεται το συστημα: με παραμετρους α) Να επιλεξετε τιμες για τις παραμετρους ωστε το συστημα αυτο να εχει μοναδικη λυση το ζευγος. (Μοναδες 13) β) Να επιλεξετε τιμες για τις παραμετρους ωστε το συστημα αυτο να εχει απειρες λυσεις και να επαληθευσετε γραφικα την επιλογη σας. (Μοναδες 1)... χ ρ η σ ι μ ο

32 3 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η Ειναι D = = β - α D = = 3β - γ D = = γ - 3α α) x y α β γ β α γ Το συστημα εχει μοναδικη λυση την (1, - 4), οποτε D 3β - γ x = - 1 = - 1 D β - α 3β - γ = - β + α 5β - α = γ (1) D y γ - 3α γ - 3α = 10β - 5α = 5 = 5 α β () D β - α β - α 0 D 0 β - α 0 Eπιλεγουμε τιμες για τις παραμετρους α, β και γ που ικανοποιουν τις (1) και (). Για α = 1 και β = 1 τοτε γ = 5 1 = 4 Δηλαδη για (α, β, γ) = ( 1, 1, 4) το συστημα εχει μοναδικη λυση την (- 1, 5). Επαληθευση Για (α, β, γ) = ( 1, 1, 4) το συστημα γινεται x + y = 4 - x - y = y = - 5 y = 5 y = 5 (+) x + y = 3 x + y = 3 x + y = 3 x + 5 = 3 x = - 1 β) Το συστημα εχει απειρες λυσεις αν α = β (3) γ = 5β - α (4) Eπιλεγουμε τιμες για τις παραμετρους α, β και γ που ικανοποιουν τις (3) και (4). Για α = τοτε β = 1 και γ = 5 = 3 προκυπτουν οι ευθειες : ε : x + y = 3, ε : x + y = 3. 1 ε : x + y = 3 1 x 0 3 y 3 0 y 3 0 x ε1 ε Επαληθευση Οπως φαινεται στο σχημα, οι δυο ευθειες συμπιπτουν, που σημαινει οτι το συστημα εχει απειρες λυσεις.

33 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 33 Δινεται το συστημα : Θ ε μ α 1 5 ο 038 με παραμετρο. α) Να αποδειξετε οτι για τις οριζουσες Dx, Dy, D του συστηματος ισχυουν D = λ( λ - 1), Dx = λ - 1 και Dy = λ( λ - 1) β) Αν ειναι λ 0 και λ 1, τοτε να λυσετε το συστημα. Μοναδες 15 Μοναδες χ ρ η σ ι μ ο

34 34 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η 038 α) Ειναι λ 1 D = = λ - λ = λ(λ - 1) λ λ 1 D = x λ + 1 λ λ D = y λ λ + 1 = λ - (λ + 1) = λ - λ - 1 = λ - 1 = λ(λ + 1) - λ = λ(λ ) = λ(λ - 1) β) Αν λ 0 και λ 1 τοτε D 0 και το συστημα εχει μοναδικη λυση, την D D λ - 1 λ(λ - 1) 1,, =, 1 D D λ (λ - 1) λ(λ - 1) λ x y (x, y) = =

35 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν ο Θ ε μ α Α λ γ ε β ρ α : ο Θ ε μ α. Μ η Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α

36 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

37 Μ η Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 37 Θ ε μ α 1 6 ο α) Να λυσετε αλγεβρικα το συστημα (Μοναδες 15) β) Να ερμηνευσετε γεωμετρικα τις λυσεις του συστηματος που βρηκατε στο ερωτημα (α). (Μοναδες 10) Αποτελουμενο απο αθροισμα και γινομενο αγνωστων ( x + y = a (1), x y = b () ). Οι x, y ειναι η ριζες της εξισωσης :... χ ρ η σ ι μ ο συμφωνα με Vieta η Λυνουμε την (1) ως προς τον ενα αγνωστο και τον αντικαθιστουμε στην (), απ την οποια προκυπτει ο αλλος αγνωστος. Αποτελουμενο απο πρωτοβαθμια και δευτεροβαθμια εξισωση. Λυνουμε τη πρωτοβαθμια εξισωσης ως προς τον ενα αγνωστο, τον οποιο αντικαθιστουμε στη δευτεροβαθμια. Λυνουμε την εξισωση που προκυπτει και προσδιοριζουμε τον αλλο αγνωστο. Αντικαθιστουμε τον αγνωστο που βρηκαμε στη πρωτοβαθμια. Αποτελουμενο απο δυο δευτεροβαθμιες εξισωσεις. Λυνουμε τη μια εξισωση ως προς εναν αγνωστου, που ειναι στο τετραγωνο, και τον αντικαθιστουμε στην αλλη εξισωση, που βρισκεται και εκει στο τετραγωνο. Λυνουμε τη δευτεροβαθμια εξισωση που προκυπτει και προσδιοριζουμε τον αλλο αγνωστο. Συνεχιζουμε κατα τα γνωστα.

38 38 Μ η Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η α) Eιναι x - y = - 1 y = x + 1 y = x + 1 y = x + 1 x + 1 y = x + 1 x = 0 x = 0 x = 0 y = y = 1 η η η x = 1 x = 1 x = 1 y = x + 1 y = y = β) = x + 1 H εξισωση y = x + 1 παριστανει μια παραβολη (συγκεκριμενα την παραβολη y = x μετατοπισμενη κατα μια μοναδα προς τα πανω). H εξισωση x - y = - 1 παριστανει μια ευθεια (που τεμνει τους αξονες x x, y y στα σημεια (- 1, 0) και (0, 1) αντιστοιχα). Οι συντεταγμενες των σημειων τομης ((0, 1) και (1, ) αποτελουν τη λυση του συστηματος των δυο γραμμων. x = 0 x(x - 1) = 0 η y = x + 1 x - 1 = 0 y = x + 1 y = x + 1 x - y = y x

39 Α λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν ο Θ ε μ α Α λ γ ε β ρ α : ο Θ ε μ α 3. Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς

40 Α λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

41 Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς 41 Θ ε μ α 1 7 ο 1696 Η γραφικη παρασταση μιας γνησιως μονοτονης συναρτησης σημεια και. διερχεται απο τα α) Να προσδιορισετε το ειδος της μονοτονιας της αιτιολογωντας την απαντηση σας. (Μοναδες 1) β) Να λυσετε την ανισωση (Μοναδες 13) Μια συναρτηση f λεγεται γ ν η σ ι ω ς α υ ξ ο υ σ α σ ενα διαστημα Δ του πεδιου ορισμου της, αν για οποιαδηποτε x₁, x₂ Δ με x₁ < x₂ ισχυει: f(x₁) < f(x₂). Συμβολιζουμε f στο Δ. Ισχυει > 0 Μια συναρτηση f λεγεται γ ν η σ ι ω ς φ θ ι ν ο υ σ α σ ενα διαστημα Δ του πεδιου ορισμου της, αν για οποιαδηποτε x₁, x₂ Δ με x₁ < x₂ ισχυει: f(x₁) > f(x₂). Συμβολιζουμε f στο Δ. Ισχυει < 0... χ ρ η σ ι μ ο Μια συναρτηση f λεγεται σ τ α θ ε ρ η σ ενα διαστημα Δ του πεδιου ορισμου της, αν για ο- ποιαδηποτε x₁, x₂ Δ με x₁ < x₂ ισχυει: f(x₁) = f(x₂). Ισχυει = 0

42 4 Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η 1696 Η γραφικη παρασταση της συναρτησης f διερχεται απ τα σημεια Α(5, ) και Β(4, 9) σημαινει Α C f(5) = f B C f(4) = 9 α) f Παρατηρουμε οτι : 4 < 5 f(4) = 9 > = f(5) Οποτε η συναρτηση f ειναι γνησιως φθινουσα (αφου η f ειναι γνησιως μονοτονη). β) Ειναι f(5) = f : γν. φθινουσα f(5-3x) < f(5-3x) < f(5) 5-3x > 5 3 > 0 3x < 0 x < 0

43 Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς 43 Θ ε μ α 1 8 ο Δινεται η συναρτηση, α) Να δειξετε οτι η β) Ειναι το 1 η μεγιστη τιμη της συναρτησης; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. γ) Να εξετασετε αν η συναρτηση ειναι αρτια η περιττη.... χ ρ η σ ι μ ο Για μια συναρτηση f με πεδιο ορισμου Α θα λεμε οτι: Παρουσιαζει στο x₀ A (ολικο) μ ε γ ι σ τ ο, το f(x₀), αν ισχυει: f(x) f(x₀), για καθε x A. Το σημειο Μ(x0,f(x0)) ειναι το υψηλοτερο σημειο της γρ. παραστασης. Παρουσιαζει στο x₀ A (ολικο) ε λ α χ ι σ τ ο, το f(x₀), αν ισχυει: f(x) f(x₀), για καθε x A. Το σημειο Μ(x0,f(x0)) ειναι το χαμηλοτερο σημειο της γρ. παραστασης. Mια συναρτηση λεγεται α ρ τ ι α στο πεδιο ορισμου της Α αν: για καθε x Α, τοτε x Α και f ( - x ) = f ( x ). Mια συναρτηση λεγεται π ε ρ ι τ τ η στο πεδιο ορισμου της Α αν: για καθε x Α, τοτε - x Α και f ( - x ) = - f ( x ). (Μοναδες 8) (Μοναδες 8) (Μοναδες 9)

44 44 Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η α) Eιναι x f(x) 1 1 x +1 > 0 x x + 1 x + 1 (x + 1) 0 x - x (x - 1) που αληθευει για β) 1 (x + 1) x x + 1 καθε x. Το 1 ειναι η μεγιστη τιμη της συναρτησης, γιατι 1 για x = 1 τοτε f(1) = = = απ το (α) ερωτημα : f(x) 1 f(x) f(1) για καθε x. γ) Για καθε x τοτε και - x (το ειναι συμμετρικο ως προς το 0). (- x) - x x - x) = = = - = - f(x) (- x) + 1 x + 1 x + 1 f( Mια συναρτηση λεγεται π ε ρ ι τ τ η στο πεδιο ορισμου της Α αν: για καθε x Α, τοτε - x Α και f ( - x ) = - f ( x ). Ετσι η συναρτηση f ειναι περιττη για καθε x.

45 Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς 45 Θ ε μ α 1 9 ο Στο παρακατω σχημα δινεται η γραφικη παρασταση μιας συναρτησης με πεδιο ορισμου το. Nα απαντησετε τα παρακατω ερωτηματα: α) Να διαταξετε απο το μικροτερο στο μεγαλυτερο τους (Μοναδες 10) β) Ειναι η συναρτηση γνησιως μονοτονη στο ; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. (Μοναδες 10) γ) Παρουσιαζει η μεγιστο στο σημειο ; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. x1 x x3... χ ρ η σ ι μ ο Για μια συναρτηση f με πεδιο ορισμου Α θα λεμε οτι: Παρουσιαζει στο x₀ A (ολικο) μ ε γ ι σ τ ο, το f(x₀), αν ισχυει: f(x) f(x₀), για καθε x A. Το σημειο Μ(x0,f(x0)) ειναι το υψηλοτερο σημειο της γρ. παραστασης. Παρουσιαζει στο x₀ A (ολικο) ε λ α χ ι σ τ ο, το f(x₀), αν ισχυει: f(x) f(x₀), για καθε x A. Το σημειο Μ(x0,f(x0)) ειναι το χαμηλοτερο σημειο της γρ. παραστασης. (Μοναδες 5) Μια συναρτηση f λεγεται γ ν η σ ι ω ς α υ ξ ο υ σ α σ ενα διαστημα Δ του πεδιου ορισμου της, αν για οποιαδηποτε x₁, x₂ Δ με x₁ < x₂ ισχυει: f(x₁) < f(x₂). Μια συναρτηση f λεγεται γ ν η σ ι ω ς φ θ ι ν ο υ σ α σ ενα διαστημα Δ του πεδιου ορισμου της, αν για οποιαδηποτε x₁, x₂ Δ με x₁ < x₂ ισχυει: f(x₁) > f(x₂).

46 46 Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η α) Απ τη γραφικη παρασταση της συναρτησης f y προκυπτει : f(x ) < f(x ) < f(x ) 1 3 β) Συμφωνα με το (α) ερωτημα: x < x f(x ) < f(x ) 1 1 f x < x f(x ) > f(x ) f 3 3 η f δεν ειναι γνησιως μονοτονη στο. γ) Απ τη γραφικη παρασταση της συναρτησης f f(x ) f(x 3) f(x 1) προκυπτει οτι η συναρτηση παιρνει τιμες μεγαλυτερες της f(), οποτε δεν παρουσιαζει μεγιστο στη θεση x. x 1 x x 3 x

47 Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς 47 Θ ε μ α 0 ο 1773 Εστω γνησιως μονοτονη συναρτηση απο τα σημεια και., η γραφικη παρασταση της οποιας διερχεται α) Να προσδιορισετε το ειδος της μονοτονιας της. (Μοναδες 13) β) Αν η γραφικη παρασταση της τεμνει τον αξονα στο -, να δειξετε οτι (Μοναδες 1) Μια συναρτηση f λεγεται γ ν η σ ι ω ς α υ ξ ο υ σ α σ ενα διαστημα Δ του πεδιου ορισμου της, αν για οποιαδηποτε x₁, x₂ Δ με x₁ < x₂ ισχυει: f(x₁) < f(x₂). Συμβολιζουμε f στο Δ. Ισχυει > 0 Μια συναρτηση f λεγεται γ ν η σ ι ω ς φ θ ι ν ο υ σ α σ ενα διαστημα Δ του πεδιου ορισμου της, αν για οποιαδηποτε x₁, x₂ Δ με x₁ < x₂ ισχυει: f(x₁) > f(x₂). Συμβολιζουμε f στο Δ. Ισχυει < 0... χ ρ η σ ι μ ο

48 48 Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η 1773 Η γραφικη παρασταση της συναρτησης f διερχεται απ τα σημεια Α(, 3) και Β(4, 5) σημαινει Α C f() = 3 f B C f(4) = 5 α) f Παρατηρουμε οτι : < 4 f() = 3 < 5 = f(4) Οποτε η συναρτηση f ειναι γνησιως αυξουσα (αφου η f ειναι γνησιως μονοτονη). β) Η γραφικη παρασταση της συναρτησης f τεμνει τον αξονα x x στο (διερχεται απ το σημειο Γ(-, 0)) σημαινει Γ C f(- ) = 0 Ετσι f f : γν. αυξουσα f(- ) = 0 - < 0 f(- ) < f(0) 0 < f(0)

49 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν ο Θ ε μ α Α λ γ ε β ρ α : ο Θ ε μ α 4. Μ ε τ α τ ο π ι σ η Κ α μ π υ λ η ς

50 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

51 Μ ε τ α τ ο π ι σ η Κ α μ π υ λ η ς 51 Θ ε μ α 1 ο Δινεται η συναρτηση α) Να αποδειξετε οτι η f γραφεται στη μορφη y 8 7 y = x (Μοναδες 1) β) Στο συστημα συντεταγμενων που ακολουθει, να 6 5 παραστησετε γραφικα τη συναρτηση, μετατοπιζοντας 4 καταλληλα την. 3 (Μοναδες 13) Ο x... χ ρ η σ ι μ ο

52 5 Μ ε τ α τ ο π ι σ η Κ α μ π υ λ η ς Α π α ν τ η σ η α) Ειναι f(x) = x - 4x + 5 f(x) = (x - 4x + 4) + 1 f(x) = (x - ) + 1 β) Προκειμενου να βρουμε τη γραφικη παρασταση της συναρτησης f με την βοηθεια της y = x : Μεταφερουμε τη γραφικη παρασταση της συναρτησης y = x κατα μοναδες οριζοντια προς τα δεξια (κοκκινο) (προκυπτει η y = (x - ) ) και κατα 1 μοναδα κατακορυφα προς τα πανω (μπλε) (προκυπτει η y = (x - ) + 1). y y = (x-) y = x Ο 1 y = (x-) x

53 Μ ε τ α τ ο π ι σ η Κ α μ π υ λ η ς 53 Θ ε μ α ο 1863 Στο παρακατω σχημα δινονται οι παραβολες και που ειναι γραφικες παραστασεις των συναρτησεων και αντιστοιχα με πεδιο ορισμου το. Η γραφικη παρασταση της προκυπτει απο τη γραφικη παρασταση της με οριζοντια και κατακορυφη μετατοπιση. Παρατηρωντας το σχημα: α) Να βρειτε τα διαστηματα μονοτονιας, το ειδος του ακροτατου της και την τιμη του. (Μοναδες 10) β) Να βρειτε μεσω ποιων μετατοπισεων της προκυπτει η.... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 15) Μια συναρτηση f λεγεται γ ν η σ ι ω ς α υ ξ ο υ σ α σ ενα διαστημα Δ του πεδιου ορισμου της, αν για οποιαδηποτε x₁, x₂ Δ με x₁ < x₂ ισχυει: f(x₁) < f(x₂). Μια συναρτηση f λεγεται γ ν η σ ι ω ς φ θ ι ν ο υ σ α σ ενα διαστημα Δ του πεδιου ορισμου της, αν για οποιαδηποτε x₁, x₂ Δ με x₁ < x₂ ισχυει: f(x₁) > f(x₂). Για μια συναρτηση f με πεδιο ορισμου Α θα λεμε οτι: Παρουσιαζει στο x₀ A (ολικο) μ ε γ ι σ τ ο, το f(x₀), αν ισχυει: f(x) f(x₀), για καθε x A. Παρουσιαζει στο x₀ A (ολικο) ε λ α χ ι σ τ ο, το f(x₀), αν ισχυει: f(x) f(x₀), για καθε x A. Cf y Cg Ο x -1

54 54 Μ ε τ α τ ο π ι σ η Κ α μ π υ λ η ς Α π α ν τ η σ η 1863 α) Aπ το σχημα προκυπτει οτι η συναρτηση f : ειναι γνησιως αυξουσα στο [-, + ) ειναι γνησιως φθινουσα στο (-, - ] παρουσιαζει (ολικο) ελαχιστο στη θεση x0 = - τo f(- ) = 3. β) Η Cg προκυπτει απο τη μετατοπιση της Cf κατα 4 μοναδες οριζοντια προς τα δεξια και κατα 4 μοναδες κατακορυφα προς τα κατω. Cf y Cg Ο x

55 Μ ε τ α τ ο π ι σ η Κ α μ π υ λ η ς 55 Θ ε μ α 3 ο Δινεται η συναρτηση α) Να δειξετε οτι η συναρτηση f γραφεται στη μορφη: y Cg (Μοναδες 10) β) Παρακατω δινεται η γραφικη παρασταση της συναρτησης. Στο ιδιο συστημα αξονων, να σχεδιασετε τη γραφικη παρασταση της συναρτησης f και να εξηγησετε πως αυτη προκυπτει μετατοπιζοντας καταλληλα τη γραφικη παρασταση της g. (Μοναδες 15)... χ ρ η σ ι μ ο -1

56 56 Μ ε τ α τ ο π ι σ η Κ α μ π υ λ η ς Α π α ν τ η σ η α) Ειναι f(x) = x - 1x + 19 f(x) = x - 1x f(x) = (x - 6x + 9) + 1 f(x) = (x - 3) + 1 β) Προκειμενου να βρουμε τη γραφικη παρασταση της συναρτησης f με την βοηθεια της γραφικης παραστασης της συναρτησης g(x) = x : Μεταφερουμε τη Cg κατα 3 μοναδες οριζοντια προς τα δεξια και κατα 1 μοναδα κατακορυφα προς τα πανω. Cg y Cf Ο x

57 Μ ε τ α τ ο π ι σ η Κ α μ π υ λ η ς 57 Θ ε μ α 4 ο Δινεται η συναρτηση. α) Να δειξετε οτι η f παρουσιαζει ελαχιστο στο x = 0. β) Eιναι η f αρτια συναρτηση ; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. γ) Με ποια μετατοπιση της g(x) = x προκυπτει η Cf ;... χ ρ η σ ι μ ο Για μια συναρτηση f με πεδιο ορισμου Α θα λεμε οτι παρουσιαζει στο x₀ A (ολικο) ε λ α χ ι σ τ ο, το f(x₀), αν ισχυει: f(x) f(x₀), για καθε x A. Mια συναρτηση λεγεται α ρ τ ι α στο πεδιο ορισμου της Α αν: για καθε x Α, τοτε x Α και f ( - x ) = f ( x ). (Μοναδες 8) (Μοναδες 8) (Μοναδες 9)

58 58 Μ ε τ α τ ο π ι σ η Κ α μ π υ λ η ς Α π α ν τ η σ η α) Ειναι f(0) = - 5 f(0) = - 5 f(x) f(0) για καθε x. x 0 x Δηλαδη η f παρουσιαζει ελαχιστο στη θεση x = 0. β) Για καθε x τοτε και - x (το ειναι συμμετρικο ως προς το 0). f(- x) = (- x) - 5 = x - 5 = f(x) Mια συναρτηση λεγεται α ρ τ ι α στο πεδιο ορισμου της Α αν: για καθε x Α, τοτε x Α και f ( - x ) = f ( x ). Ετσι η συναρτηση f ειναι αρτια για καθε x. γ) Η γραφικη παρασταση της συναρτησης f, με f(x) = φ(x) - c, οπου c > 0, προκυπτει απο μια κατακορυφη μετατοπιση της γραφικης παραστασης της φ κατα c μοναδες προς τα κατω. Ετσι Η Cf προκυπτει απο τη μετατοπιση της Cg κατα 5 μοναδες κατακορυφα προς τα κατω.

59 Μ ε τ α τ ο π ι σ η Κ α μ π υ λ η ς 59 Θ ε μ α 5 ο 039 Στο παρακατω σχημα δινονται οι γραφικες παραστασεις των συναρτησεων f και g, που οριζονται στους πραγματικους αριθμους. Η γραφικη παρασταση της g προκυπτει απο τη γραφικη παρασταση της f με οριζοντια και κατακορυφη μετατοπιση. Απ τις γραφικες παραστασεις να βρειτε: α) Τα διαστηματα μονοτονιας της f, το ειδος του ακροτατου της f, τη θεση και την τιμη του. (Μοναδες 1) β) Ποιες μετατοπισεις της f δινουν τη g. Να προσδιορισετε στη συνεχεια τον τυπο της συναρτησης g, αν f(x) = x χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 13) Μια συναρτηση f λεγεται γ ν η σ ι ω ς α υ ξ ο υ σ α σ ενα διαστημα Δ του πεδιου ορισμου της, αν για οποιαδηποτε x₁, x₂ Δ με x₁ < x₂ ισχυει: f(x₁) < f(x₂). Μια συναρτηση f λεγεται γ ν η σ ι ω ς φ θ ι ν ο υ σ α σ ενα διαστημα Δ του πεδιου ορισμου της, αν για οποιαδηποτε x₁, x₂ Δ με x₁ < x₂ ισχυει: f(x₁) > f(x₂). Για μια συναρτηση f με πεδιο ορισμου Α θα λεμε οτι: Παρουσιαζει στο x₀ A (ολικο) μ ε γ ι σ τ ο, το f(x₀), αν ισχυει: f(x) f(x₀), για καθε x A. Παρουσιαζει στο x₀ A (ολικο) ε λ α χ ι σ τ ο, το f(x₀), αν ισχυει: f(x) f(x₀), για καθε x A. y Cf Cg -5 5 x

60 60 Μ ε τ α τ ο π ι σ η Κ α μ π υ λ η ς Α π α ν τ η σ η 039 α) Aπ το σχημα προκυπτει οτι η συναρτηση f : ειναι γνησιως αυξουσα στο [-, + ) ειναι γνησιως φθινουσα στο (-, - ] β) παρουσιαζει (ολικο) ελαχιστο στη θεση x0 = - τo f(- ) = 0. Η Cg προκυπτει απο τη μετατοπιση της Cf κατα 5 μοναδες οριζοντια προς τα δεξια και κατα μοναδες κατακορυφα προς τα κατω. Eτσι ο τυπος της g ειναι : f(x) = x + g(x) = f(x - 5) - g(x) = (x - 5) + - g(x) = x - 3 -, x. y Cf -5-5 x Cg

61 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν ο Θ ε μ α Α λ γ ε β ρ α : ο Θ ε μ α 5. Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς

62 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

63 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς 63 Θ ε μ α 6 ο Αν και, τοτε: α) Να αποδειξετε οτι. β) Να βρειτε τους αλλους τριγωνομετρικους αριθμους της γωνιας.... χ ρ η σ ι μ ο Β α σ ι κ ε ς Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς ημ ω + συν ω = 1 ω ημω εφω = συνω ω, συνω 0 συνω σφω = ημω ω, ημω 0 εφω σφx = 1 ω, ημω συνω 0 ημ ω = εφ ω 1 + εφ ω ω, συνω 0 συν ω = εφ ω ω, συνω 0 (Μοναδες 10) (Μοναδες 15)

64 64 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς Α π α ν τ η σ η α) Ειναι 1 συνx + 1 = 0 συνx = - π για 0 < x < 4 (συνx + 1) (5συνx - 4) = 0 η η συνx = συνx > 0 5 β) 5συνx - 4 = 0 4 συνx = ημ x + συν x = 1 ημ x + = 1 ημ x + = 1 ημ x = π για 0 < x < 9 3 ημx = ± ημx = 5 ημx > 0 5 ημx 5 εφx = εφx = συνx εφx = εφx σφx = 1 σφx = 1 σφx = 4 3

65 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν ο Θ ε μ α Α λ γ ε β ρ α : ο Θ ε μ α 6. Α ν α γ ω γ η σ τ ο 1 ο Τ ε τ α ρ τ η μ ο ρ ι ο

66 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

67 Α ν α γ ω γ η σ τ ο 1 ο Τ ε τ α ρ τ η μ ο ρ ι ο 67 Θ ε μ α 7 ο Δινεται, οπου η οξεια γωνια που σχηματιζεται με κορυφη το σημειο Α της ευθειας (ε) του παρακατω σχηματος. α) Να βρειτε το συνημιτονο της γωνιας. (Μοναδες 10) β) Να βρειτε το ημιτονο και το συνημιτονο των γωνιων και του σχηματος. (Μοναδες 15)... χ ρ η σ ι μ ο Α ν α γ ω γ η σ τ ο 1 ο τ ε τ α ρ τ η μ ο ρ ι ο 1 ο ς κ α ν ο ν α ς Οταν εχουμε τριγωνομετρικο αριθμο του (π ± α) η (π ± α), διαγραφουμε το π η π, ο τριγωνομετρικος αριθμος δ ε ν α λ λ α ζ ε ι και στο δευτερο μελος της ισοτητας βαζουμε το προσημο του αρχικου τριγωνομετρικου αριθμου στο τεταρτημοριο που κατεληγε. ο ς κ α ν ο ν α ς Οταν εχουμε τριγωνομετρικο αριθμο του ( ± α) η ( ± α), διαγραφουμε το η, ο τριγωνομετρικος αριθμος α λ λ α ζ ε ι και στο δευτερο μελος της ισοτητας βαζουμε το προσημο του αρχικου τριγωνομετρικου αριθμου στο τεταρτημοριο που κατεληγε. Αλλαγη: ημ συν, συν ημ, εφ σφ, σφ εφ. Π α ρ α τ η ρ η σ η Ισχυουν για κ : ημ(κπ + α) = ημα, συν(κπ + α) = συνα, εφ(κπ + α) = εφα, σφ(κπ + α) = σφα Αν η γωνια δεν εχει μια απ τις πιο πανω μορφες, την τροποποιουμε καταλληλα ωστε να αποκτησει μια απ αυτες τις μορφες. ω Α θ φ ε

68 68 Α ν α γ ω γ η σ τ ο 1 ο Τ ε τ α ρ τ η μ ο ρ ι ο Α π α ν τ η σ η α) Ειναι ημ φ + συν φ = 1 + συν φ = 1 + συν φ = 1 συν φ = π για 0 < φ < φ οξεια γωνια 16 4 συνφ = ± συνφ = β) Ειναι θ = π + φ Ετσι 5 συνφ > ημθ = ημ(π + φ) = - ημφ = συνθ = συν(π + φ) = - συνφ = - 5 ω = π - φ Ετσι 3 ημω = ημ(π - φ) = ημφ = 5 4 συνω = συν(π - φ) = - συνφ = - 5

69 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν ο Θ ε μ α Α λ γ ε β ρ α : ο Θ ε μ α 7. Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς

70 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

71 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς 71 Θ ε μ α 8 ο Δινεται η συναρτηση α) Ποια ειναι η μεγιστη και ποια η ελαχιστη τιμη της συναρτησης; Ποια ειναι η περιοδος της ; (Μοναδες 9) β) Να σχεδιασετε τη γραφικη παρασταση της σε διαστημα πλατους μιας περιοδου. (Μοναδες 10) γ) Να εξετασετε αν η συναρτηση μπορει να παρει την τιμη 1. Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. (Μοναδες 6) ρ 1 f(x)=ρημx... χ ρ η σ ι μ ο f(x)=ρσυνx 0-1 -ρ f(x)=ημx f(x)=συνx

72 7 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η α) Η συναρτηση f ειναι της μορφης Ετσι η f β) 1 f(x) = ρ συν(ωx) με ρ = και ω =. 1 1 παρουσιαζει μεγιστο το και ελαχιστο το -, αφου συνx 1-1 συνx 1 - f(x) π π εχει περιοδο : Τ = = = π ω Ο πινακας τιμων της συναρτησης f, σε διαστημα μιας περιοδου. x 0 1 f(x) = συνx 1 π 4 0 π 3π Στο διπλανο σχημα φαινεται η γραφικη παρασταση της συναρτησης f. γ) Η συναρτηση εχει μεγιστη τιμη το 1 οποτε 1 f(x) < 1. Δηλαδη, η συναρτηση δεν μπορει να παρει τη τιμη 1. π f(x)=συνx 0 π π f(x)= 1 συνx f(x)=συνx

73 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς 73 Θ ε μ α 9 ο Δινεται η συναρτηση α) Να βρειτε την περιοδο, τη μεγιστη και την ελαχιστη τιμη της f. (Μοναδες 1) β) Να συμπληρωσετε τον παρακατω πινακα και να παραστησετε γραφικα την f σε διαστημα μιας περιοδου. (Μοναδες 13)... χ ρ η σ ι μ ο f(x)=ρημx ρ 1 f(x)=ρσυνx 0-1 -ρ f(x)=συνx f(x)=ημx

74 74 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η α) Η συναρτηση f ειναι της μορφης f(x) = ρ συν(ωx) με ρ = - 3 και ω =. Ετσι η f παρουσιαζει μεγιστο το 3 και ελαχιστο το - 3, αφου - 1 συνx 1-1 (- 3) - 3 συνx 1 (- 3) 3 f(x) f(x) 3 π π εχει περιοδο : Τ = = ω = π β) Ο πινακας τιμων της συναρτησης f, σε διαστημα μιας περιοδου. x 0 x 0 π 4 π π π 3π 4 3π συνx π π f(x) = -3συνx Στο διπλανο σχημα φαινεται η γραφικη παρασταση της συναρτησης f π π -1-3 f(x)=-3συνx f(x)=-συνx f(x)=συνx

75 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς 75 Θ ε μ α 3 0 ο 1775 Δινεται η συναρτηση α) Να δειξετε οτι. β) Να σχεδιασετε τη γραφικη παρασταση της συναρτησης.... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 10) (Μοναδες 15) Α ν α γ ω γ η σ τ ο 1 ο τ ε τ α ρ τ η μ ο ρ ι ο 1 ο ς κ α ν ο ν α ς Οταν εχουμε τριγωνομετρικο αριθμο του (π ± α) η (π ± α), διαγραφουμε το π η π, ο τριγωνομετρικος αριθμος δ ε ν α λ λ α ζ ε ι και στο δευτερο μελος της ισοτητας βαζουμε το προσημο του αρχικου τριγωνομετρικου αριθμου στο τεταρτημοριο που κατεληγε. ο ς κ α ν ο ν α ς Οταν εχουμε τριγωνομετρικο αριθμο του ( ± α) η ( ± α), διαγραφουμε το η, ο τριγωνομετρικος αριθμος α λ λ α ζ ε ι και στο δευτερο μελος της ισοτητας βαζουμε το προσημο του αρχικου τριγωνομετρικου αριθμου στο τεταρτημοριο που κατεληγε. Αλλαγη: ημ συν, συν ημ, εφ σφ, σφ εφ.

76 76 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η 1775 α) Ειναι ημ(π - 3x) = ημ3x π συν - 3x Ετσι = ημ3x π f(x) = ημ(π - 3x) + συν β) Η συναρτηση f ειναι της μορφης f(x) = ρ ημ(ωx) με ρ = και ω = 3. Ετσι η f - 3x= ημ3x + ημ3x = ημ3x παρουσιαζει μεγιστο το και ελαχιστο το - π π εχει περιοδο : Τ = = ω 3 Ο πινακας τιμων της συναρτησης f, σε διαστημα μιας περιοδου. x 0 f(x) = ημ3x π 6 π 3 π π 3 Στο διπλανο σχημα φαινεται η γραφικη παρασταση της συναρτησης f. - π 6 π 3 π π 3

77 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς 77 Θ ε μ α 3 1 ο Εστω η συναρτηση f(x) = (ημx + συνx), α) Να αποδειξετε οτι f (x) = 1 + ημx, για καθε β) Να βρειτε την περιοδο καθως και τη μεγιστη και ελαχιστη τιμη της f. - 1 ημx 1 και - 1 συνx 1... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 1) (Μοναδες 13)

78 78 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η α) Ειναι ημx + συν x = 1 f(x) = (ημx + συνx) = ημx + συν x + ημxσυνx = 1 + ημx ημx = ημxσυνx β) Η συναρτηση f ειναι της μορφης f(x) = ρ ημ(ωx) + μ, με ρ = 1, μ = 1 και ω =. Ετσι η f παρουσιαζει μεγιστο το και ελαχιστο το 0, αφου - 1 ημx ημx ημx π π εχει περιοδο : Τ = = = π ω

79 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν ο Θ ε μ α Α λ γ ε β ρ α : ο Θ ε μ α 8. Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς

80 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

81 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 81 Θ ε μ α 3 ο α) Ειναι η τιμη λυση της εξισωσης ; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. β) Να βρειτε τις τετμημενες των σημειων τομης της γραφικης παραστασης της συναρτησης με την ευθεια.... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 10) (Μοναδες 15)

82 8 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η α) π Για x = η δοσμενη εξισωση γινεται : 4 συν π = - 1 π 3συν4x + 3 = 0 3συν4 + 3 = 0 3συν π + 3 = 0 3(- 1) + 3 = = 0 που αληθευει. Δηλαδη, η τιμη β) π x = 4 ειναι λυση της εξισωσης 3συν4x + 3 = 0. Οι τετμημενες των σημειων τομης της C και της ευθειας y = - 1, ειναι οι λυσεις της f εξισωσης f(x) = - 1. Ετσι 4x = κπ + π f(x) = - 1 συν4x = - 1 συν4x = συνπ η 4x = κπ + π 4x = κπ - π κπ π x = +, κ 4

83 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 81 Θ ε μ α 3 3 ο 1765 Δινεται γωνια ω που ικανοποιει τη σχεση: α) Να αποδειξετε οτι ειτε ειτε β) Να βρειτε τις δυνατες τιμες της γωνιας ω.... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 13) (Μοναδες 1)

84 84 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η 1765 α) Ειναι (ημω + συνω) = 1 ημ ω + συν ω + ημω συνω = ημω συνω = 1 ημω = 0 ημω συνω = 0 η συνω = 0 β) Ειναι 1 ω = κπ + 0 ω = κπ ημω = 0 ημω = ημ0 η η ω = κπ, κ ω = κπ + π + 0 ω = κπ + π π ω = κπ + π π συνω = 0 συνω = συν η ω = κπ +, κ π ω = κπ - Οποτε, οι δυνατες τιμες της γωνιας ω ειναι : π ω = κπ, ω = κπ + με κ

85 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 85 Θ ε μ α 3 4 ο Δινεται η συναρτηση α) Να βρειτε τη μεγιστη και την ελαχιστη τιμη της συναρτησης. β) Για ποια τιμη του η συναρτηση παρουσιαζει μεγιστη τιμη ;... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 10) (Μοναδες 15)

86 86 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η α) Η συναρτηση f ειναι της μορφης f(x) = ρ ημ(ωx) + μ, με ρ =, μ = 1 και ω = 1. Ετσι η f παρουσιαζει μεγιστο το 3 και ελαχιστο το - 1, αφου β) - 1 ημx 1-1 ημx ημx ημx Η συναρτηση παρουσιαζει μεγιστη τιμη για x [0, π] την π f(x) = 3 ημx + 1 = 3 ημx = ημx = 1 ημx = ημ π x = κπ + π π κ x = κπ + κ x = κπ + κ π x = κπ + η x = π 1 3 π 0 κπ + π - κ κ = 0 x = κπ + π π

87 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 87 Θ ε μ α 3 5 ο 1769 α) Να αποδειξετε οτι: (Μοναδες 10) β) Να βρειτε τις τιμες του για τις οποιες ισχυει... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 15)

88 88 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η 1769 α) Ειναι π ημ( +x) = συνx π ημ( + x) + συν(π + x) συνx - συνx = 0 συν(π + x) = - συνx β) Ειναι π ημ( + x) = συνx π συνx = - ημ( + x) συνx = - συνx συνx = 0 συνx = 0 π π π x = κπ + x = κπ + x = κπ + π συνx = συν κ κ κ 0 x < π π κπ + < π - κ < π π x = κπ + x = κ = 0 η η 3π κ = 1 x =

89 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 89 Θ ε μ α 3 6 ο α) Να διαταξετε απο το μικροτερο στο μεγαλυτερο τους παρακατω αριθμους: β) Αν να συγκρινετε τους αριθμους και... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 1) (Μοναδες 13)

90 90 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η α) Ειναι 17π 0π - 3π 3π 3π συν = συν = συν π - = συν π 3π 5 6π π π 3π - = - = - < 0 < Ετσι π π 3π 0 < < < < π 17π π π συν < συν < συν η συναρτηση f(x) = συνx ειναι γν.φθινουσα στο [0, π] β) Ειναι π ημ - x π ημ - x Ετσι 1 = συνx = συνx 1 3π π < x < x < 1 π π η συναρτηση f(x) = συνx ειναι συνx < συνx ημ < ημ x - x 1 3π γν.αυξουσα στο [π, ]

91 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 91 Θ ε μ α 3 7 ο Δινεται η παρασταση: α) Να αποδειξετε οτι β) Να λυσετε την εξισωση στο διαστημα... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 1) (Μοναδες 13)

92 9 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η α) Ειναι ημ x + συν x = 1 ημ x 1 - συν x Α = = = 1 - συνx 1 - συνx β) (1 - συνx) (1 + συνx) 1 - συνx = 1 + συνx (α) ημ x π = 1 + συνx = συνx = - συνx = - συν 1 - συνx 3 π x = κπ + (1) 3 π π συνx = συν π - συνx = συν η, κ 3 3 π x = κπ - () 3 κ π < x < π 0 < κπ + < π - < κ < - < κ < κ = π οποτε η (1) : x = 3 κ π < x < π 0 < κπ - < π < κ < < κ < κ = π 4π οποτε η () : x = π - x = 3 3

93 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 93 Θ ε μ α 3 8 ο Εστω γωνια x για την οποια ισχυουν: και. α) Να αποδειξετε οτι. β) Να βρειτε την γωνια x.... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 1) (Μοναδες 13)

94 94 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η α) Ειναι ημ(π - x) = ημx ημ(π + x) = - ημx Ετσι ημ(π - x) - ημ(π + x) = 1 ημx - (- ημx) = 1 ημx + ημx = 1 ημx = 1 1 ημx = β) Ειναι απ το (α) ερωτημα π π x = κπ + x = κπ + (1) π ημx = ημx = ημ η η, κ 6 π 5π x = κπ + π - x = κπ + () 6 6 κ π π π < x < π < κπ + < π < κ < < κ < αδυνατη η (1) κ π π 5π < x < π < κπ + < π - < κ < - < κ < κ = π 5π οποτε η () : x = 0 + x = 6 6

95 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 95 Θ ε μ α 3 9 ο α) Να αποδειξετε οτι : οπου (Μοναδες 13) β) Να λυσετε την εξισωση:... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 1)

96 96 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η α) Ειναι ημx ημx ημx(1 + συνx) + ημx(1 - συνx) + = = 1 - συνx 1 + συνx (1 - συνx)(1 + συνx) β) Ειναι απ το (α) ερωτημα ημx + ημxσυνx + ημx - ημxσυνx = = 1 - συν x ημx = = ημ x = ημx (α) ημx ημx = = ημx = 1 - συνx 1 + συνx 3 ημx 3 π π x = κπ + x = κπ + κπ 3 3 π ημx = ημ η η, κ 3 π π x = κπ + π - x = κπ + κπ 3 3

97 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν ο Θ ε μ α Α λ γ ε β ρ α : ο Θ ε μ α 9. Τ ρ ι γ κ o ι Α ρ ι θ μ ο ι Α θ ρ ο ι σ μ α τ ο ς Γ ω ν ι ω ν

98 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

99 Τ ρ ι γ κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Α θ ρ ο ι σ μ α τ ο ς Γ ω ν ι ω ν 99 Θ ε μ α 4 0 ο Δινονται οι γωνιες για τις οποιες ισχυει: Να αποδειξετε οτι: α) β)... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 10) (Μοναδες 15)

100 100 Τ ρ ι γ κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Α θ ρ ο ι σ μ α τ ο ς Γ ω ν ι ω ν Α π α ν τ η σ η α) Ειναι ο εφ(ω + θ) = εφ135 = εφ( ) = - σφ45 = - 1 β) Ειναι απ'το (α) ερωτημα εφω + εφθ εφ(ω + θ) = - 1 = - 1 εφω + εφθ = εφωεφθ 1 - εφωεφθ εφω + εφθ + 1 = εφωεφθ

101 Τ ρ ι γ κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Α θ ρ ο ι σ μ α τ ο ς Γ ω ν ι ω ν 101 Θ ε μ α 4 1 ο α) Να αποδειξετε οτι:. (Μοναδες 13) β) Με τη βοηθεια του ερωτηματος α), να λυσετε στο διαστημα την εξισωση:. (Μοναδες 1)... χ ρ η σ ι μ ο

102 10 Τ ρ ι γ κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Α θ ρ ο ι σ μ α τ ο ς Γ ω ν ι ω ν Α π α ν τ η σ η α) Ειναι π 1 συν = 3 π π π 3 1 ημ(x + ) = ημx συν + συνx ημ = συνx + ημx β) Ειναι απ'το (α) ερωτημα π 3 ημ = π π συνx + ημx = 0 ημ(x + ) = 0 ημ(x + ) = ημ π x + = κπ π π η x + = κπ x = κπ - (1), κ 3 3 π x + = κπ + π κ π < x < π 0 < κπ - < π < κ < κ = οποτε η (1) γινεται : π π x = π - x = 3 3

103 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν ο Θ ε μ α Α λ γ ε β ρ α : ο Θ ε μ α 10. Τ ρ ι γ κ o ι Α ρ ι θ μ ο ι Δ ι π λ α σ ι ο υ Τ ο ξ ο υ

104 A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

105 Τ ρ ι γ κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Δ ι π λ α σ ι ο υ Τ ο ξ ο υ 105 Θ ε μ α 4 ο 1991 Δινεται γωνια ω για την οποια ισχυει οτι: α) Να αποδειξετε οτι ισχυει:. β) Να αποδειξετε οτι.... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 1) (Μοναδες 13)

106 106 Τ ρ ι γ κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Δ ι π λ α σ ι ο υ Τ ο ξ ο υ Α π α ν τ η σ η 1991 α) Ειναι συνα =1 -ημ α - συνω + 5ημω - = 0 - (1 - ημ ω) + 5ημω - = ημ ω + 5ημω - = 0 ημ ω + 5ημω - 3 = 0 β) Ειναι απ'το (α) ερωτημα ημ ω + 5ημω - 3 = 0 ημ ω + 6ημω - ημω - 3 = 0 ημω(ημω + 3) - (ημω + 3) = 0 (ημω + 3)(ημω - 1) = 0 ημω + 3 = 0 ημω - 3 = - 3 < - 1 αδυνατη η η ημω - 1 = 0 1 ημω =

107 Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς h t t p :// d r m a t h s 5 8 d e m o.b l o g s p o t. g r Μετα απο καιρο, αποφασισα να ασχοληθω με την τραπεζα θεματων διαβαθμισμενης δυσκολιας και να παρουσιασω ενα βοηθημα, που το επιμεληθηκα με πολυ μερακι. Πιστευω, μια αξιοπρεπης προσπαθεια με σκοπο να βοηθησει τους μαθητες της Α Λυκειου να προσπαθησουν να λυσουν τις ασκησεις της τραπεζας η εστω να τις διαβασουν χωρις ιδιαιτερο κοπο. Ελπιζω το βοηθημα αυτο να ανταποκριθει στις προσδοκιες μου και στις προσδοκιες των μαθητων που θα το χρησιμοποιησουν. (με τον ιδιο τροπο, θα συνεχισω) Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 014