Ι. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ)

Transcript

1 Ι. Πραγματικές ΥΝΑΡΤΗΕΙ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΤΡΟΦΗ). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα.. Δίνεται η συνάρτηση = f (). Οι τετμημένες των σημείων τομής της C f με τον άξονα μπορούν να βρεθούν, αν θέσουμε όπου = 0 και λύσουμε την εξίσωση. 3. Δύο συναρτήσεις f, g είναι ίσες, αν υπάρχουν κάποια R, ώστε να ισχύει f () = g (). 4. Για να ορίζονται το άθροισμα και το γινόμενο δύο συναρτήσεων f και g θα πρέπει τα πεδία ορισμού τους να έχουν κοινά στοιχεία. 5. Αν η συνάρτηση f είναι -, οι συναρτήσεις g, h έχουν πεδίο ορισμού το R και ισχύει f (g()) = f (h()) για κάθε R, τότε οι συναρτήσεις g και h είναι ίσες. 6. Η συνάρτηση f () =, 0, είναι σταθερή. 7. Αν το σύνολο τιμών της f είναι το διάστημα (α, β), τότε η f δεν έχει ελάχιστο ούτε μέγιστο. 8. Μια συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το R, είναι γνησίως αύξουσα και έχει σύνολο τιμών το (0, + ). Τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο R. 9. Δίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ. Αν ο λόγος f ( ) - f - ( ) είναι θετικός για κάθε, Δ, με, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. 0. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση - f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.. Η συνάρτηση f () = είναι γνησίως φθίνουσα στο σύνολο (-, 0) (0, + ). Αν μια περιττή συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο 0, τότε θα παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο - 0.

2 3. Αν μια άρτια συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο 0, τότε παρουσιάζει το ίδιο είδος ακροτάτου στο σημείο Αν μια συνάρτηση f είναι άρτια, τότε είναι Αν μια συνάρτηση f είναι -, τότε είναι πάντοτε περιττή. 6. Η συνάρτηση f () = ν, ν Ν * είναι: i) άρτια, αν ο ν είναι άρτιος ii) περιττή, αν ο ν είναι περιττός. 7. Αν η συνάρτηση f είναι -, τότε ισχύουν: i) f (f - ()) = για κάθε που ανήκει στο σύνολο τιμών της f ii) f - (f ()) = για κάθε D f. 8. Έστω η συνάρτηση f () =, [0, + ). Τότε κάθε κοινό - σημείο των γραφικών παραστάσεων των C f και C f ανήκει στην ευθεία =. 9. Αν μια συνάρτηση είναι άρτια, τότε υπάρχει η αντίστροφή της. 0. Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν πεδίο ορισμού το R τότε ισχύει ότι: i) fog = f g ii) fog = gof. Δίνεται μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R και μια συνάρτηση I, για την οποία ισχύει Ι () =, για κάθε R. Τότε ισχύει (Iof) () = (foi) (), για κάθε R.. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι γνησίως μονότονες στο R, τότε η συνάρτηση gof είναι: i) γνησίως αύξουσα, αν οι f, g έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας ii) γνησίως φθίνουσα, αν οι f, g έχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας. 3. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ με f () < 0 για κάθε Δ, τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ. 4. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι - στο R, τότε και η συνάρτηση gof είναι - στο R. 5. Αν f () = 0, αν < 0, τότε ισχύει ότι, αν 0 Α. f () = + Β. f () = - Γ. f () = + Δ. f () = - Ε. f () =

3 6. Αρχίζουμε να φουσκώνουμε ένα άδειο μπαλόνι με σταθερή παροχή αέρα. Τη χρονική στιγμή t 0 το μπαλόνι σκάει. Η μορφή της καμπύλης της συνάρτησης που εκφράζει την ποσότητα του αέρα στο μπαλόνι συναρτήσει του χρόνου t είναι Α) 0 t 0 t Β) 0 t 0 t Γ) t 0 0 t Δ) 0 t t 0 Ε) κανένα από τα προηγούμενα 7. Αν η πολυωνυμική εξίσωση f () = 0 έχει ρίζες τους αριθμούς -, 3, τότε η εξίσωση f (3) = 0 έχει ρίζες τους αριθμούς Α., -3 Β. 3, - Γ. - 3, Δ. -, 6 Ε., Η συνάρτηση g της οποίας η γραφική παράσταση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα, της C f με τύπο f () = - έχει τύπο Α. g () = + B. g () = - - Γ. g () = - Δ. g () = ln ( - ) E. g () = ln ( - ) 9. Η συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση είναι συμμετρική της γραφικής παράστασης της = f () ως προς τον άξονα είναι η Α. = f (-) B. = - f () Γ. = f () 30. Το πλήθος των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f () = με τον άξονα είναι Α. 6 B. 5 Γ. 4 Δ. 3 E Δίνεται η συνάρτηση f () = 3 + κ + λ - 5. Αν f () = 8 και f (- ) = 4, η τιμή της παράστασης κ + λ είναι ίση με Α. 0 B. 8 Γ. 3 Δ. - E. 3. Η συνάρτηση f () = α + α οποίους, α < 0, έχει πεδίο ορισμού τους πραγματικούς αριθμούς για τους Α. > 0 Β. < - Γ. - 0 Δ. < α Ε. > -

4 33. H συνάρτηση f, της οποίας η γραφική παράσταση δίνεται στο διπλανό σχήμα, είναι Α. f () =, αν [0, + ), αν (0,] Β. f () =, αν (, + ) 3/ / 0 3, αν 0 Γ. f () =, αν < <, αν [, + ) Ε. κανένα από τα προηγούμενα Δ. f () =,, - 3, αν 0 αν < < αν [, + ) 34. Για τη συνάρτηση f, που η γραφική της παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα, δεν ισχύει ότι: Α. Έχει πεδίο ορισμού το σύνολο R B. Έχει σύνολο τιμών το διάστημα [-, ] Γ. Είναι περιττή Δ. Έχει ελάχιστο το - και μέγιστο το E. Είναι γνησίως μονότονη στο R 35. Η συνάρτηση f () = ημ - Α. - B. 0 Γ. π, [0, π] έχει μέγιστη τιμή όταν το είναι ίσο με Δ. 3π E. 36. το διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το R. Από τις παρακάτω προτάσεις να βρείτε αυτήν η οποία είναι λάθος. Α. Η f είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε -α -α 0 α α διάστημα της μορφής (κα, (κ + ) α) (κ ακέραιος) B. Η f είναι περιοδική Γ. Η f δεν είναι - Δ. Η f είναι άρτια E. Ισχύει f () 0 για κάθε του πεδίου ορισμού της

5 37. Η συνάρτηση f () = e - έχει αντίστροφη την Α. g () = ln B. h () = ln Γ. φ () = ln Δ. σ () = ln E. t () = ln ( - ) 38. Από τις παρακάτω συναρτήσεις δεν έχει αντίστροφη η συνάρτηση π π Α. = ημ, [-, ] B. = 3 + Γ. = + Δ. = 3 e E. = ln ( - 3), > Αν η συνάρτηση g έχει αντίστροφη την f, τότε το g (f()) είναι ίσο με Α. B. g () f () Γ. Δ. E. κανένα από τα παραπάνω 40. Αν f () = α με D f = [0, + ) και α > 0, τότε Α. Η f αντιστρέφεται και ισχύει f - () =, Df- = R * α B. Η f αντιστρέφεται και ισχύει f - () = α Γ. Η f αντιστρέφεται και ισχύει f - () =, D f- = [0, + ), Df- = [0, + ) α Δ. Η f αντιστρέφεται και ισχύει f - () = α, D f- = [0, + ) E. Η f δεν αντιστρέφεται 4. Αν f () = 3 + με > -, τότε η f - έχει τύπο Α. f - () = ( - ) 3 B. f - () = 3 - Γ. f - () = 3 + Δ. f - () = E. f - () = ( + ) 3 4. Αν f () = και g () = 7, τότε η συνάρτηση gof έχει τύπο Α B Γ. 89 Δ. 7 E. ( 7) 43. Αν f () = και g () = 7, τότε η συνάρτηση gof έχει τύπο Α B Γ. 89 Δ. 7 E. ( 7)

6 44. Αν f () = ln και g () = 6 -, τότε το πεδίο ορισμού της fog είναι Α. (-, 4] B. [- 4, 4] Γ. (-, 4) (4, + ) Δ. (- 4, 4) E. (0, 4) 44. Δίνονται οι συναρτήσεις h () =, g () =. Αν f = goh, τότε η γραφική παράσταση της f είναι Α. 0 θ θ B. 0 Γ. Δ. E. καμία από αυτές Δίνεται η συνάρτηση g () = + 9 Α. Dg = [- 9, + ] B. Dg = R. Τότε ισχύει ότι Γ. Η γραφική παράσταση της f είναι κάτω από τον άξονα Δ. Η g είναι περιττή E. Έχει σύνολο τιμών το R