4. LIJEPLJENI SPOJEVI

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4. LIJEPLJENI SPOJEVI"

Transcript

1 4. KLEBVERBINDUNGEN DHESIVE BONDING Lijepljenje je proces nerastavljivog spajanja dijelova pretežno nemetalnim materijalom koji spaja adhezionim i kohezionim silama bez značajnog uticaja na strukturu spajanih dijelova. Pri tom su kohezione sile veće od adhezionih. Materijali mogu biti i različite vrste (na primjer metal sa nemetalom).velika prednost postupka lijepljenja u odnosu na zavarivanje i lemljenje je tamo gdje bi se toplinskim opterećenjem osnovnog materijala njegova čvrstoća smanjila. Ovo je naročito važno u gradnji zračnih i svemirskih letjelica gdje se traži velika nosivost i st uz minimalnu masu, pa se upotrjebljavaju lake legure, pretežno aluminijske i titanove. Razvojem ove tehnologije se u zadnje vrijeme istiskuju zakovični spojevi koji su donedavno dominirali u tehnologiji spajanja lakih metala. U općem se strojarstvu lijepljenje često primjenjuje za lijepljenje tankih limova, plastičnih dijelova, materijala različite vrste i debljine. Također se sve više koristi u industriji vozila općenito. Osim navedenog u prednosti ove vrste spojeva ubrajamo dobro svojstvo brtvljenja lijepljenog spoja, jednakomjernu raspodjelu naprezanja u sloju te mogućnost prigušenja vibracija. Mane lijepljenih spojeve su relativno niska pogonska temperatura (-50 do +0 C), opasnost krtog loma pri niskim temperaturama, smanjenje dinamičke nosivosti sa porastom debljine ljepila te relativno dugo vrijeme očvršćavanja ljepila. Čistoća površina mora biti besprijekorna, a osim mehaničke često je potrebna i kemijska priprema površine prije lijepljenja (prema uputama proizvođača ljepila). ljepljeni dio 1 0,05 μm kohezijske veze adhezijske veze ljepljeni dio nečistoć a Slika 4.1. izikalna građa lijepljenog spoja Načini vezivanja ljepila obzirom na proces ljepljenja mogu biti: silom (u procesu lijepljenja potrebno je ostvariti silu) temperaturom (u procesu lijepljenja potrebno je ostvariti temperaturu) vremenom (u procesu lijepljenja potrebno je osigurati određeni vremenski interval u kojem će spojeni dijelovi ostati međusobno nepomični).

2 LEMLJENI SPOJEVI STROJNI DIJELOVI 4.1 Vrste ljepila Prema VDI 1 smjernici 9 te DIN 19 normama se ljepila dijele u dvije velike skupine: fizikalno veziva ljepila, koja predstavljaju u organskim otapalima (pretežno ugljikovodicima) rastopine prirodnih ili umjetnih makromolekularnih materijala (kaučuk, umjetne smole). Princip lijepljenja se kod njih ostvaruje na temelju ishlapljenja otapala iz ljepila vezanjenjem za okolni zrak. Da bi se ovaj proces ostvario potrebna je velika površina isparavanja odnosno poroznost osnovnih materijala. Zato se ova ljepila ne upotrebljavaju za lijepljenje metala već više za porozne nemetale (koža, guma, drvo, plastika). Dijele se u tri podskupine: kontaktna, rastalna i plastična. o Kontaktna ljepila se sastoje od kaučuka i smole rastopljene u nekom organskom otapalu. Nanose se na obje površine koje se lijepe, zatim se pričeka da ishlapi otapalo a tada se površine koje se lijepe čvrsto pritisnu jedna na drugu. o Rastalna (taljiva) ljepila se prije primjene moraju zagrijati (150 do 0 C) da bi postala tekuća jer su pri sobnoj temperaturi u čvrstom stanju. Nakon lijepljenja dijelovi moraju ostati u stanju mirovanja do hlađenja na sobnu temperaturu, kada dostižu potrebnu nosivost. o Plastična ljepila ili plastisoli su napravljeni na bazi PVC praha izmješanog sa omekšivačem, punilom i adhezionim sredstvom. Za razliku od kontaktnih i rastalnih ne sadrže otapala. Primjenjuju se tako da se zagriju na oko 150 C kada prelaze u tjestasto stanje te se nanose na jednu od površina koje se lijepe. kemijski veziva ljepila. Ova se ljepila zovu još rekciona ljepila, a ona su tehnički važnija od fizikalno vezivih, pogotovu kada se radi o lijepljenju kovina. Napravljena su na bazi epoksida, fenola, akrila te poliestera kao umjetne smole. Najvažnije su smole na bazi epoksida i fenola. Neophodni sastojci ovih ljepila su takozvani katalizatori koji imaju zadatak izazvati kemijsku reakciju koja će dovesti do stvaranja makromolekularnih mreža polimera a koje će nastati nakon mješanja bazne smole i katalizatora (zbog toga se zovu i dvokomponentna) a pod utjecajem temparature, vlage, pod djelovanjem UV zraka ili oduzimanjem zraka odnosno kisika sa njim (anaerobni postupak). Obzirom da neki od postupaka mogu trajati dugo (danima) ponekad se ljepilima dodaje i treće komponenta, ubrzivač. Općenito se pod utjecajem temperature (do 0 C) postižu bolji rezultati nego kod hladnih postupaka ali je postupak nepraktičan za veće izratke ili ako je jedan od materijala koji se lijepi osjetljiv na povišene temperature. Reakcijska ljepila dijelimo osim na hladna i topla još i na: o polimerizacijska, (jedno ili dvokomponentna). Polimerizacija se pospješuje katalizatorom. Kod anaerobnih ljepila katalizator je u m ljepilu neaktivan sve dotle dok je u doticaju sa kisikom u okolnom zraku. Brzina reakcije katalizatora se regulira njegovom količinom u ljepilu, kao i temperaturom okoline i uzratka o poliaditivna, (jedno ili višekomponentna), sastoje se od minimalno dvije različite međusobno reagirajuće komponente koje se mješaju u nekom stehiometrijskom odnosu. Osnovu ljepila čine epoksid ili poliuretan. o polikondenzacijska ljepila lijepe na taj način da je potrebno eliminirati tekuću primjesu iz ljepila pod djelovanjem pritiska od oko 0,5 N/mm i temperaturi oko

3 150 C a lijepljenje se temelji na tekućoj fazi smole fenol-formaldin i čvrstoj fazi polivinilformala.

4 LEMLJENI SPOJEVI STROJNI DIJELOVI Tabela 4.1: Karakteristike taljivih ljepila za spajanje različnih materijala Proizvođač Trgovački naziv Temperatura taljenja [C ] Debljina sloja ljepila [mm] Potreban pritisak u spoju [N/mm ] Smična čvrstoća spoja τ zm u N/mm pri C Br Ciba-Geigy raldit T1 V W ,05 0,1 0,1 0, 0,1 0, Henkel Metallon E ,05 0, E ,05 0, Macroplast PV , , 0, PV5 10 0, , Baiersdorf Technicoll G Th.Goldsch Tegocoll M1/ Nad 0,1 0, midt D0/PV Nad 0,15 0, ,B Loctite Loctite 07 do 1 0, do 1 0, 9 17 do 1 0, ljepljive folije Ciba-Geigy Redux ,1 0, Baiersdorf Technicoll , G , nad 0 0,5 1 Th.Goldsch Tegofilm EP75 Nad 1 0,1 >0, midt VP445 Nad 1 0,1 >0,1 M1B 15 0, 0,4 1, MP1E 15 0,15 0,4 1, Cyanamid Cyanamid M15 1 0,05 0,5 0,1 0, M7 1 0,05 0,5 0,1 0, M ,05 0,5 0,1 0, M ,05 0,5 0,1 0, k gregatno stanje prah viskozno žitko tvrd./tekuć. Kratice: Kl-kemikalije Oo-organska otapala Kr-razrijeđena kislina Ol-ulje,mineralno ulje Kz-korozija Vl-vlaga t-vionska tehnika Vo-voda Lu-lužine Uo-udarna opterećenja l-aluminij Km-kompoziti Ti-titan BK-obojene kovine Kf-kovinske folije To-tarne obloge Cu-bakar Ko-kovine Tp-tanke pločevine Če-čelik D-drvo Ut-umjetne tvari Ke-keramika St-staklo UtT-temp. postojane umjetne tv

5 Tabela 4.: Karakteristike hladnih i hladno-toplih jlepila za spajanje različnih materijala Proizvođač Trgovački naziv Temperatura stvrdnjavanja [C ] Debeljina sloja [mm] Pritisak lijepljenja [N/mm ] Smična čvrstoća τ zm u N/mm pri C Broj komp. gregat stanje Degussa gomet P7 4 M R 50 0,05 0,4 0,05 0,4 0,05 0,4 0,05 0, ,B,C,C,C /žitko visk./ žitko/ Ciba-Geigy raldit W11 V1 W Ureol 15 /B 0,1 0,5 0,1 0,1 0,5 0,1 0, ,B,B,B,B /židk žitko /žitk Baiersdorf Tehnicoll 5/59 do 0, do 0, Loctite Loctite do 0,5 do 0,5 do 0,5 do 0, Gussolit Hajek& Co. Gupalon Normal Express Gupalit 1 i 0 0 do 0, do 0, 0,5 0,1 i 0, ,B,B Henkel Macroplast B Patex Patex Special Stabilit Express Rasant Metallon L0 E0 E 0 0 0,1 0,5 do 0,1 0,05 0, 0,05 0,0,05 0, >0,1 >0,1 >0, , 0, 9 1 1,B,B,B,B,B zelo viskoz zelo viskoz žitko/ z.visk/teku zelo viskoz Kratice: c-aceton Kr-razrijeđena kiselina Ol-ulje k-alklane tvari Lu-lužina Vl-vlaga Be-bezolovni benzin Ma-masti Vo-voda Kl-kemikalije Os-organska otapala Uo-udarna opterećenja l-aluminij Ke-kermaika Ut-umjetne Bk-obojene kovine Ko-kovine UtT-trde um Cu-bakar D-drvo UtTt-temp. Č-čelik St-staklo 4.. Osnove oblikovanja lijepljenih spojeva Pravila oblikovanja lijepljenih spojeva dosta su slična onima koji vrijede za lemljene spojeve. Međutim sama tehnologija lijepljenja je složenija i osjetljivija na greške. Izbor ljepila zavisi o vrsti materijala koji se lijepi, zahtjevanoj čvrstoći spoja, vanjskim utjecajima na spoj kao što su temperatura, vlaga, korozija i td. Obzirom da odlučujuću ulogu na svojstva ljepila imaju

6 LEMLJENI SPOJEVI STROJNI DIJELOVI podaci koju daju proizvođači ljepila to će se izložiti samo neka opća pravila oblikovanja koja bitno utječu nosivost lijepljenog spoja. Slika 4.. Osnovna pravila oblikovanja obzirom na opterećenje. a )» listanje» spoja, vrlo nepovoljno; b) smično opterećenje, najpovoljnije; c) vlačno opterećenje, nepovoljno Tabela 4.. Preporuke za oblikovanje lijepljenih spojeva Povoljno ili povoljnije Nepovoljno Opaska l Sučeoni spojevi su nepoželjni. ko su a) neophodni, površina i l način opterećenja se mijenjaju kao na prikazu pod a).povoljniji su preklopni spojevi b) b) naročito sa skošenim rubovima c). Kod većih debljina oblikovati kao pod d) ili e) (smanjen utjecaj c) savijanja) d) s«listanje» lijepljenog spoja na kraju spoja može se spriječiti ojačanjem a), vezom oblikom b)(naprimjer zakovicom) ili povećanjem površine na kraju spoja c). s b Spoj u odnosu na opterećenja oblikovati tako da se optereti pretežno na smik

7 Na slici desno se u oba smjera djelovanja sila javlja velika koncentracija naprezanja na desnoj strani spoja. Zato je bolje da se dio opterećenja prenese oblikom. σ max Spojevi sa kutnicima kod svake vrste opterećenja izazivju koncentraciju naprezanja na krajevima lijepljenog spoja, pa ih je potrebno ojačati Cijevni sučeoni spojevi kao i ostali sučeoni su nepovoljni. Bolja je izvedba sa cijevnom stičnicom. Oblikovanje dna spremnika izvesti tako da je lijepljeni spoj optrećen na smik); 4.. Utjecaji na čvrstoću lijepljenih spojeva Čvrstoća oblika lijepljenog spoja ne zavisi samo o pravilnom izboru ljepila nego i o niz drugih faktora. Tako su mnogobrojna ispitivanja pokazala da su osim o vrsti ljepila (uključujući korektno provedenu tehnologiju lijepljenja) još su od utjecaja uvjeti okoline, temperatura, trajanje opterećenja, vrsta opterećenja i td.

8 LEMLJENI SPOJEVI STROJNI DIJELOVI a) b) c) d) σ K τk τ K τ max τ max τ m +σ max Na slici 4..a prikazan je shematski neopterećen lijepljeni spoj. Na slici 4..b prikazan je taj spoj optrećen smično te tok odgovarajućih smičnih naprezanja koja pokazuju nejednolik tok duž lijepljenog spoja odnosno maksimume na pkrajevima lijepljenog spoja. Približno teoretski raspored naprezanja (τ=/) konstantan duž spoja moguće je dobiti samo oblikovanjem elemenata koji se lijepe kao na slici 4..c. Kod debljih limova i elastičnih veza javlja se naprezanje od savijanja čiji tok vidimo na slici 4..d. -σ max Slika 4.. Raspored naprezanja kod preklopnog lijepljenog spoja Dužina preklopa i debljina limova koji se spajaju utječu na čvrstoću lijepljenog spoja koko to prikazuje slika 4.4. U literaturi se mogu naći empirijske jednadžbe za određivanje dužine preklopa vezane ili za granicu razvlačenja osnovnog materijala ili za debljinu limova koji se spajaju: ili l p0, 0,1R s (4.1) l ( )s (4.)

9 0 τ BK N mm l=mm 0 50 s b 0 1,0,0 mm 4,0 s l Slka 4.4. Utjecaj debljine lima i dužine preklopa na smičnu čvrstoću lijepljenog spoja ( ljepilo: raldit toplo očvršćeno pri 0 C u trajanju 0.7 h; lijepljeni materijal: lmgsi lim, jednostruki preklopni spoj širine b=5mm) Lijepljeni su spojevi podložni promjenama mehaničkih značajki zavisno od vremena koje je proteklo u eksploataciji bez obzira na opterećenja (takozvani efekt «starenja» ljepila). Čak i nakon dugotrajnog skladištenja spojenih elemenata, dakle bez opterećenja javlja se taj efekt. Ovo starenje ljepila za metale zavisno je prije svega od vrste ljepila, stanja površina prije lijepljenja, ali najviše od okoline u kojoj je lijepljeni spoj. Postojanost protiv starenja u pravilu je veća kod toplo vezivih ljepila nego kod hladno vezivih. Na slici 4.5. dan je utjecaj starenja za jedan konkretan lijepljeni spoj u vidu područja koje nije samo posljedica rasipanja rezultata nego i uvjeta okoline. Gornje vrijednosti u dijagramu na povoljnije uvjete okoline (naprimjer suh uzduh) a donje na lošije uvjete (naprimjer morska voda) 0 N mm τ BK Tjedni 5 Slika 4.5. Utjecaj starenja na lijepljeni spoj (ljepilo Metalon, otvrđeno na 150 C u trajanju od 15,5 sati pod pritiskom 0,5 N/mm ; materijal koji se lijepi: lcumg lim debljine 1 mm( jednostruki prklopni spoj) t Kao i kod drugih spojeva moguće je eksperimentalno dobiti i dinamičku izdržljivost lijepljenog spoja. Na slici 4.. prikazani su rezultati ispitivanja dva lijepljena spoja ( s ljepilima araldit i redux). U oba se slučaja vidi značajan pad statičke izdržljivosti, tako da se u grubo može reći da je dinamička izdržljivost svega četvrtina od statičke izdržljivosti.

10 LEMLJENI SPOJEVI STROJNI DIJELOVI N/mm N Slika4..Woelerova krivulja lijepljenog spoja za dva tipična ljepila (1- ralditt1, -Redux 09) Debljina sloja ljepila u lijepljenom spoju utječe također na čvrstoću spoja. Općenito je povoljnije da je debljina sloja ljepila manja. Optimalnom se smatra debljina sloja ljepila od 0,1 do 0, mm. ko debljina sloja naraste na 1mm, čvrstoća će pasti na 40% prethodne vrijednosti. Ovo sve vrijedi za preklopne i stične spojeve limova i sličnih oblika, kod kojih je relativno teško kontrolirati debljinu sloja ljepila. Inače je točnu debljinu sloja ljepila moguće postići samo kod spajanja cijevi i sličnih elemenata sa zatvorenom konturom. Na slici 4.7. je dana zavisnost čvrstoće takvog jednog cijevnog spoja sa stičnom cijevi gdje se debljina sloja ljepila može uvjetovati tolerancijom dosjeda cijevi koje se spajaju i stične cijevi. 50 N/mm d=40. d=5. d=0 Slika 4.7. Utjecaj zračnosti (debljine filma ljepila) kod cijevastih spojeva na smičnu čvrstoću spoja Čvrstoća lijepljenih spojeva snažno zavisi od temperature. Pritom su hladno veziva ljepila osjetljivija na porast temperature od toplo vezivih. Na slici 4.. prikazana je zavisnost čvrstoće o temperaturi konkretnog spoja za navedeno temperaturno područje. Toplo veziva ljepila se upotrebljavaju za temperature do oko 50 C (postoje i specijalana visokotemperaturna ljepila do 50 C), tako da je maksimalno dopuštene trajna temperatura opterećenog lijepljenog spoja ( ne uzimajući u obzir druge utjecaje) određena tim vrijednostima.

11 50 N/mm , 7 lcumg pl C Slika 4.. Zavisnost čvrstoće kratkotrajno statički opterećenih lijepljenih spojeva o temperaturi prema VDI 9 Toplo vezana ljepila (1.epoxidno,. epoxid-nylon,. epoxid-phenol, 4. phenolpolyvynilformal, 5. polyamidno (nehrđajući čelik),. epoxid-polyaminoamid) Hladno vezana ljepila (7. epoxid-polyaminoamid,.methacrylat) 5 1 1, Proračun lijepljenih spojeva Obzirom da su lijepljeni spojevi osjetljivi na savojno opterećenje oblikovanjem spoja treba spriječiti da budu tako opterećeni. Ovo vrijedi i za takozvano listanje spoja tako da se zapravo proračunavaju samo smično i uvojno opterećeni lijepljeni spojevi, a rijeđe i vlačno opterećeni. Kod vlačnog opterećenja računa se : max = K naz (4.) σ lb σ lb naz = L = bs S S Za smično opterećenje (slika 4.4) vrijedi: max = K naz (4.4) τ LB τ LB naz = L = bl S S nalogno za uvojno opterećenje se računa:

12 LEMLJENI SPOJEVI STROJNI DIJELOVI b T d T max = K T naz τ LB Tnaz = 0,5bπd S U gornjim su jednadžbama: (4.5) max maksimalna vlačna ili smična sila kojom je opterećen spoj, N T max maksimalni moment uvijanja, Nm σ LB vlačna čvrstoća ljepljenog spoja, N/mm τ LB smična čvrstoća u spoju, N/mm L površina lijepljenja, mm l,(l p ) dužina lijepljenog spoja (dužina preklopa), mm b širina spoja, mm K faktor primjene, - (tablica...) s najmanja debljina lijepljenih elemenata, mm S faktor sigurnosti, - aktori sigurnosti se kreću u granicama 1,5 do 5 kako slijedi: S= 1,5 do,5 za mirno ili pretežno mirno opterećenje S= za istosmjerno dinamičko opterećenje S= 5 za naizmjenično dinamičko opterećenje Ovo je relativno pojednostavljeni proračun lijepljenih spojeva, gdje se većina utjecaja na čvrstoću spoja uzima samo preko faktora primjene odnosno faktora sigurnosti. Kada se želi točniji proračun treba konzultirati proizvođače ljepila. Tako naprimjer firma Loctite većinu utjecaja daje preko osam utjecajnih faktora kojima se množi nominalno naprezanje u lijepljenom spoju, da bi se dobilo usporedno naprezanje, koje mora biti manje od dopuštenog. Obzirom da su spomenuti faktori različiti za svako ljepilo pojedinog proizvođača ovo onemogućuja za sada normizaciju točnijeg proračuna Proračunski primjeri Primjer 1: Potrebno je odrediti koju vlačnu silu za slučaj mirnog opterećenja (K =1) može preuzeti stično lijepljeni spoj dvije aluminijske cijevi promjera 40 mm vanjskog promjera i dužine preklopa lijepljenog spoja od 40 mm, uz faktor sigurnosti S=1,5. Radna temperatura spoja je 55 C. Prema podacima proizvođača ljepila (raldit W11) ono ima čvrstoću na odrez τ LB = 14 N/mm pri radnoj temperaturi od 55 C (tabela 4.). Riješenje:

13 τ LB 14 naz = dπ l = π 490N S 1,5 Primjer : Čelična remenica unutarnjeg promjera glavine d=5 mm pričvršćena je na rukavac vratila lijepljenjem ljepilom Loctite 0 koje ima lomno smičnu čvrstoću τ LB = N/mm. Pogon radi pri uvjetima gdje je K =1,5. Spoj treba prenijeti okretni moment od T=15 Nm. Odrediti dužinu lijepljenog spoja (širinu glavine) uz faktor sigurnosti S=. b T d

NOSIVI DIJELOVI MEHATRONIČKIH KONSTRUKCIJA

NOSIVI DIJELOVI MEHATRONIČKIH KONSTRUKCIJA NOSIVI DIJELOVI MEHATRONIČKIH KONSTRUKCIJA Zavareni spojevi - I. dio 1 ZAVARENI SPOJEVI Nerastavljivi spojevi Upotrebljavaju se prije svega za spajanje nosivih mehatroničkih dijelova i konstrukcija 2 ŠTO

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

VIJČANI SPOJ VIJCI HRN M.E2.257 PRIRUBNICA HRN M.E2.258 BRTVA

VIJČANI SPOJ VIJCI HRN M.E2.257 PRIRUBNICA HRN M.E2.258 BRTVA VIJČANI SPOJ PRIRUBNICA HRN M.E2.258 VIJCI HRN M.E2.257 BRTVA http://de.wikipedia.org http://de.wikipedia.org Prirubnički spoj cjevovoda na parnom stroju Prirubnički spoj cjevovoda http://de.wikipedia.org

Διαβάστε περισσότερα

Područje taljenja lema je područje temperature od početka taljenja do potpuno rastaljenog stanja.

Područje taljenja lema je područje temperature od početka taljenja do potpuno rastaljenog stanja. LEMLJENI SPOJEVI Lemljenje je spajanje metalnih materijala (osnovnih materijala) pomoću dodatnog rastaljenog materijala lema, čije je talište niže od tališta osnovnog materijala. Meko lemljenje (soldering,

Διαβάστε περισσότερα

Opšte KROVNI POKRIVAČI I

Opšte KROVNI POKRIVAČI I 1 KROVNI POKRIVAČI I FASADNE OBLOGE 2 Opšte Podela prema zaštitnim svojstvima: Hladne obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina, Tople obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina i prodora hladnoće

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA)

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Karakterizacija materijala DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Dr.sc.Emi Govorčin Bajsić,izv.prof. Zavod za polimerno inženjerstvo i organsku kemijsku tehnologiju Da li je DMA toplinska analiza ili reologija?

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21, Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

σ = PMF OSNOVE STROJARSTVA -PODLOGE ZA PREDAVANJA

σ = PMF OSNOVE STROJARSTVA -PODLOGE ZA PREDAVANJA PMF OSNOVE STROJARSTVA -PODLOGE ZA PREDAVANJA OSNOVE NAUKE O ČVRSTOĆI Nauka o čvrstoći proučava ravnotežu između vanjskih i unutarnjih sila i deformacije čvrstih tijela uzrokovanih vanjskim silama. Na

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM

LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM Vrste opterećenja Ispitivanje zatezanjem Svojstva otpornosti materijala Zatezna čvrstoća Granica tečenja Granica proporcionalnosti Granica elastičnosti Modul

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA) ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje

Διαβάστε περισσότερα

NERASTAVLJIVE VEZE I SPOJEVI. Zakovični spojevi

NERASTAVLJIVE VEZE I SPOJEVI. Zakovični spojevi NERASTAVLJIVE VEZE I SPOJEVI Zakovični spojevi Zakovice s poluokruglom glavom - za čelične konstrukcije (HRN M.B3.0-984), (lijevi dio slike) - za kotlove pod tlakom (desni dio slike) Nazivni promjer (sirove)

Διαβάστε περισσότερα

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICA 1: PARCIJALNI KOEFICIJENTI SIGURNOSTI ZA DJELOVANJA Parcijalni koeficijenti sigurnosti γf Vrsta djelovanja Djelovanje Stalno Promjenjivo

Διαβάστε περισσότερα

3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120

3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120 Srednja masinska skola OSOVE KOSTRUISAJA List1/8 355$&8158&1(',=$/,&(6$1$9-1,095(7(10 3ROD]QLSRGDFL maksimalno opterecenje Fa := 36000 visina dizanja h := 440 mm Rucna sila Fr := 350 1DYRMQRYUHWHQR optereceno

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

PRETHODNI PRORACUN VRATILA (dimenzionisanje vratila)

PRETHODNI PRORACUN VRATILA (dimenzionisanje vratila) Predet: Mašinski eleenti Proračun vratila strana Dienzionisati vratilo elektrootora sledecih karakteristika: oinalna snaga P = 3kW roj obrtaja n = 400 in Shea opterecenja: Faktor neravnoernosti K =. F

Διαβάστε περισσότερα

TESTIRANJE ZAPTIVENOSTI KANALSKIH MREŽA

TESTIRANJE ZAPTIVENOSTI KANALSKIH MREŽA 2. MEĐUNARODNI STRUČNI SKUP IZ OBLASTI KLIMATIZACIJE, GRIJANJA I HLAĐENJA ENERGIJA+ TESTIRANJE ZAPTIVENOSTI KANALSKIH MREŽA Dr Milovan Živković,dipl.inž.maš. Vuk Živković,dipl.inž.maš. Budva, 22-23.9.

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

Proračunski model - pravougaoni presek

Proračunski model - pravougaoni presek Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju.

zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju. zastori zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju. (mm) (mm) za PROZOR im (mm) tv25 40360 360 400 330x330 tv25 50450 450 500 410x410

Διαβάστε περισσότερα

, Zagreb. Prvi kolokvij iz Analognih sklopova i Elektroničkih sklopova

, Zagreb. Prvi kolokvij iz Analognih sklopova i Elektroničkih sklopova Grupa A 29..206. agreb Prvi kolokvij Analognih sklopova i lektroničkih sklopova Kolokvij se vrednuje s ukupno 42 boda. rijednost pojedinog zadatka navedena je na kraju svakog zadatka.. a pojačalo na slici

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

l r redukovana dužina (zavisno od dužine i načina vezivanja)

l r redukovana dužina (zavisno od dužine i načina vezivanja) Vežbe 6 IZVIJANJE 1 IZVIJANJE Izvijanje se javlja kod aksijalno napregnutih štapova na pritisak, kada imaju relativno veliku dužinu u odnosu na površinu poprečnog preseka. Zbog postojanja geometrijskih

Διαβάστε περισσότερα