gj 2 (t) (2.1.1) d j (u, v) = t=u t=u

Transcript

1 Τελική Εκθεση Πεπραγμένων Μεταδιδακτορικής Ερευνας Μελέτη εφαρμογών του προβλήματος της ισοδιαμέρισης καμπύλης σε σήματα και επιφάνειες Δρ. Κων/νος Παναγιωτάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Σχολή Θετικών και Τεχνολογικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο Δεκέμβριος 10

2 Περίληψη Το γενικό γεωμετρικό πρόβλημα της διαμέρισης συνεχούς καμπύλης σε N τμήματα ίσων χορδών κάτω από οποιαδήποτε μετρική, το πρόβλημα της ισοδιαμέρισης καμπύλης, ορίσθηκε και μελετήθηκε πρώτη φορά στη διατριβή του Κώστα Παναγιωτάκη. Εχει αποδειχτεί πως το πρόβλημα επιδέχεται πάντοτε λύση και έχουν αναπτυχθεί εφαρμογές του προβλήματος, όπως η πολυγωνική προσέγγιση και η επιλογή αντιπροσωπευτικών πλάνων μιας σκηνής. Στην παρούσα εργασία μελετώνται νέες εφαρμογές του προβλήματος της ισοδιαμέρισης καμπύλης σε σήματα με στόχο τη τμηματοποίηση τους, την ανακατασκευή τους, το χαρακτηρισμό των τμημάτων τους και τη συμπίεσή τους. Η προτεινόμενη μεθοδολογία έχει εφαρμοστεί σε διαφορετικά τύπου σήματα όπως: ήχου, ανθρώπινης κίνησης, ιατρικά και οικονομικές χρονοσειρές για να αποδειχτεί και η γενικότητά της. Επίσης, έχει μελετηθεί η εφαρμογή του προβλήματος σε επιφάνειες με στόχο έναν εναλλακτικό ορισμό του προβλήματος σε εφαρμογές με πολυδιάστατα δεδομένα (επιφάνειες) και τη πρόταση υπολογιστικά εφικτών αλγορίθμων που επιλύουν το πρόβλημα. Η περίπτωση των επιφανειών εμπεριέχει μεγάλο πλήθος πιθανών εφαρμογών όπως η τμηματοποίηση εικόνων, τρισδιάστατων μοντέλων, χαρτών, σημείων του χώρου, κτλ. Για την περίπτωση των πολυδιάστατων δεδομένων που μπορούν να περιγραφούν από γράφους, έχουμε αναγάγει το πρόβλημα σε ισοδιαμέριση του δυαδικού δένδρου των ελάχιστων μονοπατιών του γράφου. Η παραπάνω μεθοδολογία έχει επιτυχώς εφαρμοστεί στο πρόβλημα microaggregation. Τα αποτελέσματα της έρευνας έχουν ήδη γίνει αποδεκτά διεθνή επιστημονικά συνέδρια [15], [12], και έχουν αποσταλεί άρθρο σε διεθνή επιστημονικό περιοδικά [16], [11] τα οποία βρίσκονται στο στάδιο της κρίσης. i

3 Περιεχόμενα Περίληψη i 1 Εισαγωγή 1 2 Εφαρμογές σε μονοδιάστατα δεδομένα Εφαρμογές σε σήματα Εφαρμογές σε πολυδιάστατα δεδομένα Ισοδιαμέριση περιοχών σε εικόνα Ισοδιαμέριση δένδρου και το Microaggregation πρόβλημα Ισοδιαμέριση δένδρου και το πρόβλημα της τμηματοποίησης εικόνας Βιβλιογραφία 9 Παράρτημα - Κατάλογος Δημοσιεύσεων 12 ii

4 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Η τμηματοποίηση καμπυλών είναι ένα σημαντικό θεωρητικό πρόβλημα που μπορεί να δώσει σημαντικό αριθμό εφαρμογών και επιπλέον μπορεί να οριστεί και να λυθεί περιπτώσεις με πολυδιάστατα δεδομένα (επιφάνειες). Σύμφωνα, με το πρόβλημα της ισοδιαμέρισης καμπύλης στόχος είναι η διαμέριση συνεχούς καμπύλης σε N τμήματα ίσων χορδών κάτω από οποιαδήποτε μετρική. Το πρόβλημα της ισοδιαμέρισης καμπύλης έχει επιτυχημένα εφαρμοστεί στη διδακτορική διατριβή του Δρ. Κων/νου Παναγιωτάκη σε δύο θεμελιώδη προβλήματα, την πολυγωνική προσέγγιση [8, 14] και τον υπολογισμό χαρακτηριστικών πλάνων βίντεο [8 10, 13]. Στην πολυγωνική προσέγγιση στόχος είναι να απλοποιηθεί δοσμένη πολυγωνική γραμμή, δηλαδή να υπολογιστεί νέο πολύγωνο με μικρότερο αριθμό κορυφών που να προσεγγίζει το αρχικό [14]. Ενώ στην περίπτωση υπολογισμού χαρακτηριστικών πλάνων η εφαρμογή του προβλήματος της ισοδιαμέρισης παρέχει στα προτεινόμενα χαρακτηριστικά πλάνα την ιδιότητα να είναι ισοδύναμα στην περίληψη του περιεχομένου του βίντεο. Το γεγονός αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό στο βίντεο όπου η βέλτιστη περίληψη ουσιαστικά θα πρέπει, να δώσει χαρακτηριστικά πλάνα που ισαπέχουν μεταξύ τους στο περιεχόμενο, περιγράφοντας το βίντεο από ισοδύναμου περιεχομένου εικόνες. Επιπλέον πλεονέκτημα της προτεινόμενης μεθόδου είναι ότι μπορεί να εφαρμοστεί με οποιοδήποτε περιγραφέα βίντεο, εικόνας και ήχου. Στην παρούσα μεταδιδακτορική έρευνα, μελετώνται νέες εφαρμογές του προβλήματος της ισοδιαμέρισης καμπύλης σε μονοδιάστατα δεδομένα (λ.χ. σήματα) με στόχο τη τμηματοποίηση τους, την ανακατασκευή τους, το χαρακτηρισμό των τμημάτων τους και τη συμπίεσή τους. Επίσης, έχει μελετηθεί η εφαρμογή του προβλήματος σε πολυδιάστατα δεδομένα (λ.χ. εικόνες) με στόχο έναν εναλλακτικό ορισμό του προβλήματος και τη πρόταση υπολογιστικά εφικτών αλγορίθμων που επιλύουν το πρόβλημα. Αποτελέσματα της έρευνας έχουν ήδη γίνει αποδεκτά διεθνή επιστημονικά συνέδρια [15], [12], και έχουν αποσταλεί άρθρο σε διεθνή επιστημονικά περιοδικά [16], [11] τα οποίο βρίσκονται στο στάδιο της κρίσης. Στο κεφάλαια 2, 3 περιγράφεται η έρευνα σε μονοδιάστατα και πολυδιάστατα δεδομένα αντίστοιχα και στο παράρτημα έχουν επισυναπτεί τα προαναφερθέντα άρθρα. 1

5 Κεφάλαιο 2 Εφαρμογές σε μονοδιάστατα δεδομένα 2.1 Εφαρμογές σε σήματα Το πρόβλημα της ισοδιαμέρισης καμπύλης έχει εφαρμοστεί επιτυχώς σε σήματα με στόχο τη τμηματοποίηση τους, την ανακατασκευή τους και το χαρακτηρισμό των τμημάτων τους. Η προτεινόμενη μάλιστα μεθοδολογία έχει εφαρμοστεί σε διαφορετικά τύπου σήματα όπως: ήχου, ανθρώπινης κίνησης, ιατρικά και οικονομικές χρονοσειρές για να αποδειχτεί και η γενικότητά της. Σχετικό άρθρο που περιγράφει την παραπάνω εφαρμογή έχει σταλεί και έχει γίνει αποδεκτό προς παρουσίαση στο διεθνές συνέδριο ICPR [15], το οποίο και επισυνάπτεται στο παράρτημα της έκθεσης. Στην εργασία αυτήν το σήμα χωρίζεται σε τμήματα τα οποία έχουν ίσα σφάλματα στην ανακατασκευή, σύμφωνα με την αρχή της ισοδιαμέρισης, επιλέγοντας ταυτόχρονα το κατάλληλο μοντέλο για την ανακατασκευή κάθε τμήματος του σήματος. Η τμηματοποίηση και η επιλογή του βέλτιστου μοντέλου γίνεται ταυτόχρονα με αναγωγή στο πρόβλημα της ισοδιαμέρισης καμπύλης. Η προτεινόμενη μέθοδος είναι ιδιαίτερα ευέλικτη στις αλλαγές του κριτηρίου σφάλματος αλλά και στα χαρακτηριστικά του σήματος. Στην εργασία [15] έχουν χρησιμοποιηθεί τρεις διαφορετικές βάσεις (μοντέλα) για την ανακατασκευή των τμημάτων σήματος, Fourier, polynomial (Πολυώνυμα) και wavelet (Κυματίδια) και η συνάρτηση σφάλματος d j (u, v) για το τμήμα του σήματος [u, v]: 1 v d j (u, v) = v u + 1 f 2 (t) t=u t=u v gj 2 (t) (2.1.1) όπου f(t) είναι το δοσμένο σήμα, και g j (t) είναι το ανακατασκευασμένο χρησιμοποιώντας το j μοντέλο 1. Σύμφωνα με την αρχή της ισοδιαμέρισης η ζητούμενη τμηματοποίηση [0, s 1 ] 1 Τα χρησιμοποιούμενα μοντέλα Fourier, polynomial και wavelet αντιστοιχούν σε j = 1, j = 2 και j = 3, αντίστοιχα. 2

6 N = 5 Original Fourier modellling EP reconstruction Segmentation 50 Fourier Polynomial Polynomial Wavelets Fourier samples (αʹ) (βʹ) N = 4 Polynomial Wavelets Wavelets Wavelets Original Polynomial modelling 1.5 EP reconstruction Segmentation samples (γʹ) (δʹ) 1.5 N = 3, SNR = 18.97, SNR(EP) = 21.66, S = Wavelets Fourier Polynomial Original 1 Fourier modellling EP reconstruction Segmentation samples (εʹ) (ϛʹ) Σχήμα 2.1: Αποτελέσματα τμηματοποίησης και ανακατασκευής σημάτων. 3

7 (αʹ) (βʹ) (γʹ) Σχήμα 2.2: Η συνάρτηση d(u, v) για τα τρία παραδείγματα τμηματοποίησης του Σχήματος 2.1. [s 1, s 2 ] [s N 1, T 1], όπου T είναι το πλήθος των δειγμάτων του αρχικού σήματος θα ικανοποιεί την εξίσωση: ɛ = d(0, s 1 ) = d(s 1, s 2 ) = = d(s N 1, T 1) (2.1.2) όπου η συνάρτηση σφάλματος d(u, v) αντιστοιχεί στο ελάχιστο σφάλμα για την ανακατασκευή του τμήματος [u, v]: d(u, v) = min j d j (u, v). (2.1.3) Η m(u, v) = arg min j d j (u, v) αντιστοιχεί στη μέθοδο που δίνει το ελάχιστο σφάλμα. Στο Σχήμα 2.1 εικονίζονται αποτελέσματα της προτεινόμενης μεθόδου σε σε διαφορετικά τύπου σήματα όπως ιατρικά (Σχήματα 2.1(αʹ), 2.1(βʹ)), ανθρώπινης κίνησης (Σχήματα 2.1(γʹ), 2.1(δʹ)) και συνθετικά (Σχήματα 2.1(εʹ), 2.1(ϛʹ)). Οι εικόνες που βρίσκονται αριστερά στο Σχήμα 2.1 απεικονίζουν τη συμμετρική συνάρτηση m(u, v). Τα σημεία με κυανό χρώμα αντιστοιχούν στην επιλογή Fourier μοντέλου (m(u, v) = 1). Τα σημεία με κυανό χρώμα αντιστοιχούν στην επιλογή Πολυωνυμικού μοντέλου (m(u, v) = 2). Τα σημεία με κυανό χρώμα αντιστοιχούν στην επιλογή Κυματιδιακού μοντέλου (m(u, v) = 3). Οι εικόνες που βρίσκονται δεξιά στο Σχήμα 2.1 δείχνουν το αρχικό σήμα (μπλε χρώμα) και το ανακατασκευασμένο (κόκκινο χρώμα). Οι μαύρες διακεκομμένες γραμμές καθορίζουν τα όρια των τμημάτων ενώ για κάθε τμήμα εικονίζεται και το επιλεγμένο μοντέλο ανακατασκευής. Στο Σχήμα 2.2 εικονίζεται η συμμετρική συνάρτηση d(u, v) για τα τρία παραδείγματα τμηματοποίησης του Σχήματος

8 Κεφάλαιο 3 Εφαρμογές σε πολυδιάστατα δεδομένα Το πρόβλημα της ισοδιαμέρισης καμπύλης έχει εφαρμοστεί επιτυχώς σε επιφάνειες, με στόχο τον ορισμό του προβλήματος σε πολυδιάστατα δεδομένα και τη πρόταση υπολογιστικά εφικτών αλγορίθμων που επιλύουν το πρόβλημα. Η προτεινόμενη μάλιστα μεθοδολογία έχει εφαρμοστεί σε περιοχές (regions) εικόνων και σε δένδρα (είδος γράφου) και έχουν συγγραφεί τρία άρθρα [12], [11], [16], που περιγράφουν τις δύο παραπάνω εφαρμογές, τα οποία και επισυνάπτονται στο παράρτημα της έκθεσης. 3.1 Ισοδιαμέριση περιοχών σε εικόνα Το πρόβλημα της ισοδιαμέρισης περιοχών (region) το ορίζουμε ως εξής: Μας δίνεται η δυαδική εικόνα της περιοχής (λ.χ. Σχήμα 3.1(αʹ)) με στόχος να χωριστεί σε N τμήματα - υποπεριοχές (sub-regions) ίσου εμβαδού και ίσης ελάχιστης εκκεντρότητας. Με βάση το παραπάνω ορισμό δεν υπάρχει περιορισμός στον αριθμό των λύσεων που προκύπτουν. Στόχος μας είναι να προταθεί υπολογιστικά εφικτός αλγόριθμος που θα υπολογίζει πάντοτε μία λύση του προβλήματος για οποιοδήποτε αριθμό τμημάτων. Ο προτεινόμενος αλγόριθμος είναι υπολογιστικά εφικτός, με πολυωνυμικό κόστος O(M 2 ), όπου M ο αριθμός των κελιών (pixels) της δοσμένης περιοχής. Ο αλγόριθμος είναι ιεραρχικός, υπολογίζοντας αρχικά N σημεία, ένα για κάθε υπο-περιοχή από τα οποία ξεκινάει κατάλληλη μέθοδος επέκτασης περιοχής (Region Growing [6]). Τα N σημεία υπολογίζονται με βάση το κριτήριο να απέχουν ανά δύο τη μεγαλύτερη δυνατή απόσταση. Ενώ η μέθοδος επέκτασης περιοχής εκτελείται παράλληλα για κάθε υπο-περιοχή προσθέτοντας σε κάθε βήμα ένα σημείο (pixel) σε κάθε υπο-περιοχή ώστε πάντοτε το εμβαδόν των υπο-περιοχών να είναι ίσο. Ταυτόχρονα, το σημείο αυτό επιλέγεται ώστε να ελαχιστοποιεί την εκκεντρότητα της υπο-περιοχής. Συνέπεια του παραπάνω ορισμού του προβλήματος και του προτεινόμενου αλγορίθμου, είναι οι 5

9 (αʹ) (βʹ) (γʹ) Σχήμα 3.1: Παράδειγμα διαμέρισης της περιοχής (α ) σε (β ) N i = 2. (γ ) και N i = 3 υπο-περιοχές. υπο-περιοχές που υπολογίζονται να έχουν ίδιο εμβαδόν και ελάχιστη εκκεντρότητα. Ο περιορισμός της ελάχιστης εκκεντρότητας ισοδυναμεί με υπο-περιοχές που μοιάζουν με κυκλικούς δίσκους μιας και ο κύκλος είναι το σχήμα με την ελάχιστη εκκεντρότητα. Η αναλυτική περιγραφή του αλγορίθμου υπάρχει στο άρθρο [12] (Τμήμα Region Splitting). Στο άρθρο αυτό ο αλγόριθμος ισοδιαμέρισης περιοχών χρησιμοποιήθηκε για την αναγνώριση καρκινικών δομών (lymphocyte nuclei) και το διαχωρισμό τους σε υπο-περιοχές, μιας και στην περίπτωση που υπάρχουν συσσωματώματα είναι σημαντικός ο αυτόματος διαχωρισμός τους σε υπο-περιοχές. Μάλιστα η κάθε υποπεριοχή έχει περίπου το ίδιο εμβαδόν και κυκλικό περίπου σχήμα, οπότε έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον η παραπάνω εφαρμογή του προτεινόμενου αλγορίθμου στο συγκεκριμένο πρόβλημα. Στο άρθρο έχει αναπτυχθεί κατάλληλη μεθοδολογία για τον αυτόματο προσδιορισμό του αριθμού των υπο-περιοχών που θα πρέπει να γίνει ο διαχωρισμός χρησιμοποιώντας κριτήρια σχήματος και χαρακτηριστικά ανίχνευσης. Στο Σχήμα 3.1 εικονίζεται παράδειγμα εκτέλεσης της προτεινόμενης μεθόδου με τον χωρισμό σε δύο και τρεις υπο-περιοχές. Με βάση τον αυτόματο προσδιορισμό του αριθμού των υπο-περιοχών, ο προτεινόμενος αλγόριθμος έδωσε τρεις περιοχές για τη συγκεκριμένη περίπτωση που είναι και ο σωστός αριθμός σύμφωνα με τα δεδομένα επαλήθευσης (ground truth). Στο Σχήμα 3.2 εικονίζεται παράδειγμα ανίχνευσης καρκινικών δομών (lymphocyte nuclei). Στο παράδειγμα αυτό με πράσινο χρώμα εμφανίζονται τα κέντρα των πραγματικών καρκινικών δομών (ground truth) και με κόκκινο οι ανιχνεύσεις. Το ποσοστό σωστής ανίχνευσης είναι %, ενώ έχει ανιχνευτεί και διαχωριστεί σωστά και ένα συσσωμάτωμα δύο ενωμένων δομών (πάνω αριστερά στην εικόνα). 3.2 Ισοδιαμέριση δένδρου και το Microaggregation πρόβλημα Το πρόβλημα της ισοδιαμέρισης δένδρου (Tree Equipartition) αποτελεί επέκταση της ισοδιαμέρισης καμπύλης [1]. Ο στόχος της ισοδιαμέρισης καμπύλης είναι να βρεθούν τα διαδοχικά 6

10 Σχήμα 3.2: Παράδειγμα ανίχνευσης καρκινικών δομών (lymphocyte nuclei). σημεία επί καμπύλης, έτσι ώστε η καμπύλη μπορεί να διαιρεθεί σε τμήματα με τις ίσες χορδές κάτω από μια μετρική [1]. Ομοίως, σε ένα δένδρο ο στόχος της ισοδιαμέρισης είναι ο χωρισμός του σε υποδένδρα σύμφωνα με κάποιο κριτήριο (π.χ. σχεδόν ίσοι διάμετροι σε κάθε υποδένδρο). Η ομοιότητα ανάμεσα στο δένδρο και στην καμπύλη εμφανίζεται και στο γεγονός πως αν αφαιρεθεί μία ακμή από το δένδρο, τότε προκύπτουν δύο υποδένδρα, γεγονός που αντίστοιχα συμβαίνει αντίστοιχα και στις καμπύλες. Μια έκδοση του προβλήματος της ισοδιαμέρισης δένδρων είναι το πρόβλημα του κ-διαχωρισμού δένδρου (k-split tree problem). Ο στόχος αυτού του προβλήματος είναι ο διαχωρισμός του δέντρου με στόχο την ελαχιστοποίηση της αναλογίας του μεγίστου προς τον ελάχιστο αριθμό ακμών των υποδένδρων sub-trees [17]. Αυτό το πρόβλημα είναι NP-hard [17]. Ο προτεινόμενος αλγόριθμος είναι υπολογιστικά εφικτός, με πολυωνυμικό κόστος O(M 2 ), όπου M ο αριθμός των κόμβων του δένδρου. Ο αλγόριθμος είναι ιεραρχικός, και σε κάθε βήμα του αφαιρεί από το δένδρο στο οποίο το δοσμένο κριτήριο μεγιστοποιείται την κατάλληλη ακμή ώστε τα δύο νέα υποδένδρα που προκύπτουν να ελαχιστοποιούν το δοσμένο κριτήριο. Η προτεινόμενη μέθοδος είναι ιδιαίτερα ευέλικτη στις αλλαγές του κριτηρίου. Η αναλυτική περιγραφή του αλγορίθμου υπάρχει στο άρθρο [16] όπου ο προτεινόμενος αλγόριθμος έχει εφαρμοστεί στο Microaggregation πρόβλημα [2 5]. Στόχος του προβλήματος αυτού είναι η διαμέριση (partitioning) N σημείων (πολυδιάστατα δεδομένα) σε ομάδες από τουλάχιστον K σημεία, έτσι ώστε το συνολικό τετραγωνικό σφάλμα στις ομάδες (within-partition squared error (SSE)) να ελαχιστοποιείται. Οπως φαίνεται κι από τον ορισμό του το Microaggregation πρόβλημα είναι πρόβλημα διαμέρισης πολυδιάστατων σημείων. Το Microaggregation πρόβλημα είναι NP-hard [7] και οι αλγόριθμοι επίλυσής του που έχουν προταθεί στη βιβλιογραφία, οι περισσότεροι από τους οποίους είναι ευριστικοί, το επιλύουν προσεγγιστικά. Σύμφωνα με τον αλγόριθμο που προτείνουμε, το πρόβλημα του Microaggregation ανάγεται στο πρόβλημα ισοδιαμέρισης δένδρου υπολογίζοντας το ελάχιστο συνδετικό δένδρο (Minimum spanning tree (MST)) του πλήρη γράφου που ορίζεται από τα N δοσμένα σημεία και συνέχεια το MST χωρίζεται διαδοχικά σε υποδένδρα ώστε το (SSE) να ελαχιστοποιείται. Επομένως ο αλγόριθμος είναι βέλτιστος για την περίπτωση των δύο τμημάτων στον χώρο ψαξίματος του (MST) και είναι ο πρώτος αλγόριθμος που προτείνεται στη βιβλιογραφία 7

11 Y X Σχήμα 3.3: Παράδειγμα διαμέρισης δένδρου. με την παραπάνω ιδιότητα και με υπολογιστικό κόστος O(M 2 ). Με βάση τα πειραματικά αποτελέσματα που παρουσιάζονται αναλυτικά στο άρθρου [16] σε σύνολα από πραγματικά και συνθετικά δεδομένα, ο προτεινόμενος αλγόριθμος έχει γενικά καλύτερες επιδόσεις από αντίστοιχους αλγορίθμους στην βιβλιογραφία. Στο Σχήμα 3.3 εικονίζεται διαμέριση δένδρου σε υποδένδρα τα οποία έχουν ελάχιστο αριθμό κόμβων τουλάχιστον (K = ). Στο παράδειγμα αυτό με μπλε εμφανίζονται οι ακμές των υποδένδρων τα οποία σχηματίζονται μετά την αφαίρεση των ακμών του αρχικού που εμφανίζονται με κόκκινο διακεκομμένο χρώμα. 3.3 Ισοδιαμέριση δένδρου και το πρόβλημα της τμηματοποίησης εικόνας Το πρόβλημα της ισοδιαμέρισης δένδρου (Tree Equipartition) όπως περιγράφηκε προηγουμένως έχει εφαρμοστεί και ως αρχικό στάδιο σε μέθοδο τμηματοποίησης εικόνας. Το πλεονέκτημα της χρήσης του αλγορίθμου είναι ο υπολογισμός μιας αρχικής τμηματοποίησης σε επίπεδο block που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση παραμέτρων των κλάσεων και να βοηθήσει την τελική τμηματοποίηση. Ενα πλεονεκτήματα της μεθόδου είναι ότι είναι εντελώς αυτόματη (χωρίς παραμέτρους). Το αποτέλεσμα της μεθόδου είναι μια υπερτμηματοποίηση (περισσότερα τμήματα από τα πραγματικά), που οφείλεται στο Minimum spanning tree (MST) της αρχικής εικόνας, με ταυτόχρονα πολύ μικρή πιθανότητα λάθους ως προς την ένωση τμημάτων. Η μέθοδος περιγράφεται αναλυτικά στο άρθρο [11], στο οποίο φαίνεται πως η χρήση της 8

12 (αʹ) (βʹ) Σχήμα 3.4: Αποτέλεσμα ισοδιαμέρισης δένδρου σε δύο εικόνες. μεθόδου Tree Equipartition βελτίωσε σε απόδοση και σε χρόνο εκτέλεσης τον συνολικό αλγόριθμο τμηματοποίησης. Στο Σχήμα 3.4 εικονίζεται αποτελέσματα του αλγορίθμου ισοδιαμέρισης δένδρου σε δύο εικόνες. Στην εικόνα αριστερά έχουν αφαιρεθεί 39 ακμές από το MST και έχουν δημιουργηθεί 40 περιοχές, ενώ στην εικόνα δεξία έχουν αφαιρεθεί 42 ακμές από το MST και έχουν δημιουργηθεί 43 περιοχές. Σε κάθε περίπτωση τα αντικείμενα και το φόντο έχουν υπερτμηματοποιηθεί χωρίς να υπάρχει κάποιο λάθος σε ένωση τμημάτων. 9

13 Βιβλιογραφία [1] K. Athanassopoulos C. Panagiotakis and G. Tziritas. The equipartition of curves. Computational Geometry: Theory and Applications, 42(6-7): , 09. [2] Chin-Chen Chang, Yu-Chiang Li, and Wen-Hung Huang. Tfrp: An efficient microaggregation algorithm for statistical disclosure control. J. Syst. Softw., 80(11): , 07. [3] J. Domingo-Ferrer and J. M. Mateo-Sanz. Practical data-oriented microaggregation for statistical disclosure control. IEEE Trans. on Knowl. and Data Eng., 14(1):189 1, 02. [4] Josep Domingo-Ferrer, Antoni Martinez-Balleste, Josep Maria Mateo-Sanz, and Francesc Sebe. Efficient multivariate data-oriented microaggregation. The VLDB Journal, 15(4): , 06. [5] Josep Domingo-Ferrer, Francesc Sebé, and Agusti Solanas. A polynomial-time approximation to optimal multivariate microaggregation. Comput. Math. Appl., 55(4): , 08. [6] Rafael C. Gonzalez and Richard E. Woods. Digital Image Processing (2nd Edition). Prentice Hall, 02. [7] A. Oganian and J. Domingo-Ferrer. On the complexity of optimal microaggregation for statistical disclosure control. Statistical J. United Nations Economic Commission for Europe, 18(4): , 01. [8] C. Panagiotakis. Motion Analysis and Modeling for Activity Recognition and 3-D Animation based on Geometrical and Video Processing Algorithms. PhD thesis, Univ. of Crete, 07. [9] C. Panagiotakis, A. Doulamis, and G. Tziritas. Equivalent key frames selection based on iso-content distance and iso-distortion principles. In 8th International Workshop on Image Analysis for Multimedia Interactive Services,

14 [10] C. Panagiotakis, A. Doulamis, and G. Tziritas. Equivalent key frames selection based on iso-content principles. IEEE Transactions on Circuits and Systems for Video Technology, 19(3): , 09. [11] C. Panagiotakis, I. Grinias, and G. Tziritas. Natural image segmentation based on tree equipartition, bayesian flooding and region merging. IEEE Transactions on Image Processing, 10 (submitted). [12] C. Panagiotakis, E. Ramasso, and G. Tziritas. Lymphocyte segmentation using mixture of gaussians and the transferable belief model. In th International Conference for Pattern Recognition (ICPR), 10 (accepted). [13] C. Panagiotakis, E. Ramasso, G. Tziritas, M. Rombaut, and D. Pellerin. Automatic people detection and counting for athletic videos classification. In IEEE International Conference on Advanced Video and Signal based Surveillance, 07. [14] C. Panagiotakis and G. Tziritas. Any dimension polygonal approximation based on equal errors principle. Pattern Recognition Letters, 28(5): , 07. [15] C. Panagiotakis and G. Tziritas. Simultaneous segmentation and modelling of signals based on an equipartition principle. In th International Conference for Pattern Recognition (ICPR), 10 (accepted). [16] C. Panagiotakis and G. Tziritas. Hierarchical equipartition based on optimal tree splitting for microaggregation. IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering, 10 (submitted). [17] Bang Ye Wu, Hung-Lung Wang, Shih Ta Kuan, and Kun-Mao Chao. On the uniform edge-partition of a tree. Discrete Appl. Math., 155(10): ,

15 Παράρτημα - Κατάλογος Δημοσιεύσεων Στο τμήμα αυτό εμφανίζονται τα τέσσερα άρθρα του Κων/νου Παναγιωτάκη που περιγράφουν τα αποτελέσματα της μεταδιδακτορικής έρευνας. C. Panagiotakis and G. Tziritas. Simultaneous segmentation and modelling of signals based on an equipartition principle. In th International Conference for Pattern Recognition (ICPR), 10. C. Panagiotakis, E. Ramasso, and G. Tziritas. Lymphocyte segmentation using mixture of gaussians and the transferable belief model. In th International Conference for Pattern Recognition (ICPR), 10. C. Panagiotakis and G. Tziritas. Hierarchical equipartition based on optimal tree split- ting for microaggregation. IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering, 10 (under revision). C. Panagiotakis, I. Grinias and G. Tziritas, Natural Image Segmentation based on Tree Equipartition, Bayesian Flooding and Region Merging, IEEE Transactions on Image Processing, 10 (under revision). 12