Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com"

Transcript

1 Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 1

2 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό έτος από τον καθηγητή του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης Νικόλαο Τζανάκη: «Εάν ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο χωριστεί σε μικρότερα με πλευρές παράλληλες στις πλευρές του αρχικού και με την ιδιότητα ότι κάθε ένα από αυτά έχει τουλάχιστον μία πλευρά της οποίας το μήκος είναι ακέραιος αριθμός, τότε η ιδιότητα αυτή μεταφέρεται και στο αρχικό ορθογώνιο παραλληλόγραμμο» 2

3 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας «Εάν ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο χωριστεί σε μικρότερα με πλευρές παράλληλες στις πλευρές του αρχικού και με την ιδιότητα ότι κάθε ένα από αυτά έχει τουλάχιστον μία πλευρά της οποίας το μήκος είναι ακέραιος αριθμός, τότε η ιδιότητα αυτή μεταφέρεται και στο αρχικό ορθογώνιο παραλληλόγραμμο» 3

4 Τι περιέχει η εργασία Προβλήματα των οποίων η λύση στηρίζεται σε χρωματισμό του σχήματος. Μέσω του χρωματισμού: Υπάρχουν προβλήματα στα οποία ο χρωματισμός απαντάει «αρνητικά» ως προς το αν μπορούν να ισχύουν οι απαιτήσεις του προβλήματος. Υπάρχουν προβλήματα στα οποία ο χρωματισμός απαντάει «θετικά». Υπάρχουν προβλήματα που ενώ φαίνεται ότι για την επίλυσή τους θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί ο χρωματισμός του σχήματος, εντούτοις αποδεικνύεται ότι δε μπορεί να δοθεί απάντηση με τη βοήθειά του. 4

5 Τι είδους προβλήματα περιλαμβάνονται; Προβλήματα κάλυψης ενός ορθογωνίου πλέγματος (λ.χ. σκακιέρα) με πολυόμινα (ντόμινο, τριόμινο, κτλ). Προβλήματα κίνησης μέσα σε κάποιο πλέγμα με συγκεκριμένο τρόπο που ορίζεται στο πρόβλημα (π.χ. κίνηση αλόγου μέσα σε σκακιέρα). Προβλήματα απαρίθμησης. Το πρόβλημα αφορμή συγγραφής του άρθρου. 5

6 Ένα γνωστό πρόβλημα Εάν από μία σκακιέρα αφαιρέσουμε δύο γωνιακά τετράγωνα που βρίσκονται στην ίδια διαγώνιο, να εξετάσετε εάν μπορούμε να την πλακοστρώσουμε με ορθογώνια διαστάσεων 2 1 (ντόμινο) χωρίς να υπάρχουν επικαλύψεις. Tα τετράγωνα που αφαιρούμε έχουν το ίδιο χρώμα, έστω μαύρο όπως στο διπλανό σχήμα. Άρα συνολικά στο τέλος υπάρχουν 62 τετράγωνα εκ των οποίων 32 είναι λευκά και 30 είναι μαύρα. Όμως κάθε ντόμινο καταλαμβάνει ένα λευκό και ένα μαύρο τετράγωνο άρα μετά την πλακόστρωση πρέπει να έχουμε ίδιο αριθμό λευκών και μαύρων τετραγώνων, άτοπο. Το πρόβλημα αυτό αναφέρεται για πρώτη φορά στο βιβλίο Critical Thinking (1946) του φιλοσόφου Max Black και μεταγενέστερα σε αρκετά άρθρα και βιβλία. Η ίδια απόδειξη για την αδυναμία κάλυψης λειτουργεί αν αφαιρέσουμε δύο οποιαδήποτε τετράγωνα ίδιου χρώματος από τη σκακιέρα. Ο Ralph Gomory σε ένα βιβλίο του R. Honsberger έδειξε ότι αν από τη σκακιέρα αφαιρέσουμε δύο οποιαδήποτε τετράγωνα αντίθετου χρώματος τότε 6 μπορούμε πάντοτε να την καλύψουμε με 31 ντόμινο.

7 Πρόβλημα 2 Μπορεί ένα άλογο να ξεκινήσει από το κάτω αριστερά τετράγωνο μιας 8 8 σκακιέρας και να καταλήξει στο πάνω δεξιά περνώντας από όλα τα τετράγωνα ακριβώς μία φορά; Λύση: Αν χρησιμοποιήσουμε το συνηθισμένο χρωματισμό της σκακιέρας, τότε το άλογο σε κάθε κίνηση μετακινείται από τετράγωνο ενός χρώματος σε τετράγωνο του αντίθετου χρώματος. Πρέπει όμως, να κάνει 63 κινήσεις για να περάσει από όλα τα ορθογώνια άρα θα πρέπει να καταλήξει σε τετράγωνο αντίθετου χρώματος από το τετράγωνο εκκίνησης, άτοπο διότι το τετράγωνο από το οποίο ξεκίνησε και εκείνο στο οποίο θα τερματίσει έχουν το ίδιο χρώμα. Πόρισμα: Εάν το άλογο ξεκινήσει από το κάτω αριστερά τετράγωνο μιας σκακιέρας και καταλήξει στο πάνω δεξιά περνώντας από όλα τα τετράγωνα της σκακιέρας, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα τετράγωνο από το οποίο περνάει δύο φορές και σίγουρα θα πρέπει να κάνει άρτιου πλήθους κινήσεις. 7

8 Πρόβλημα 3 25 ζηλιάρηδες γείτονες ζουν στα τετραγωνικά (μοναδιαία) διαμερίσματα ενός 5 5 τετραγωνικού πλέγματος. Καθένας από αυτούς νομίζει ότι, κάθε γείτονας του, που συνορεύει μαζί του οριζοντίως ή καθέτως, ζει σε καλύτερο διαμέρισμα από αυτόν. Είναι δυνατόν όλοι τους να μετακομίσουν με τέτοιο τρόπο, ώστε καθένας να καταλήξει σε κάποιο από τα ζηλευτά διαμερίσματα ενός πρώην γείτονά του; Λύση: Χρωματίζουμε το πλέγμα με το συνηθισμένο χρωματισμό της σκακιέρας όπως στο διπλανό σχήμα. Έχουμε 13 μαύρα και 12 λευκά τετράγωνα συνεπώς κάθε γείτονας μετά τη μετακόμιση θα βρεθεί από διαμέρισμα που είναι χρωματισμένο μαύρο σε διαμέρισμα που είναι χρωματισμένο λευκό. Όμως μία τέτοια μετακόμιση όλων, δεν είναι δυνατή καθώς δεν υπάρχουν 13 λευκά διαμερίσματα. 8

9 Πρόβλημα 4 Να δείξετε ότι μία σκακιέρα 8 8 δε μπορεί να καλυφθεί (χωρίς επικαλύψεις) με 15 τετρόμινο διαστάσεων 1 4 και ένα L- τετρόμινο της μορφής Λύση: Χρωματίζουμε, όπως στο σχήμα κάθε περιττή σειρά (ξεκινώντας απ το κάτω μέρος) της σκακιέρας με μαύρο χρώμα και κάθε άρτια με λευκό. Κάθε 1 4 τετρόμινο καταλαμβάνει πάντα άρτιο αριθμό λευκών ορθογωνίων, ανεξάρτητα από τον τρόπο που θα τοποθετηθεί (οριζόντια ή κατακόρυφα). Το ένα και μοναδικό L-τετρόμινο καταλαμβάνει περιττό αριθμό από λευκά τετράγωνα. Οι δύο παραπάνω παρατηρήσεις οδηγούν στο συμπέρασμα ότι αν ήταν δυνατή η κάλυψη της σκακιέρας, τότε ο συνολικός αριθμός λευκών τετραγώνων είναι περιττός, άτοπο αφού ο αριθμός των λευκών στη σκακιέρα είναι 32. 9

10 Πρόβλημα 5 Να δείξετε ότι ένα ορθογώνιο πλέγμα διαστάσεων δε μπορεί να καλυφθεί χωρίς επικαλύψεις με τετρόμινο διαστάσεων 1 4 Λύση: Χρωματίζουμε την πρώτη σειρά με γκρι και όμοια τη δεύτερη, την τρίτη και την τέταρτη με μπλε, κόκκινο, πράσινο αντίστοιχα και συνεχίζουμε όμοια. Προφανώς 3 σειρές είναι χρωματισμένες με το γκρι και 3 με μπλε ενώ 2 με κόκκινο και 2 με πράσινο. Άρα έχουμε από 3 10 =30 τετράγωνα χρωματισμένα με γκρι ή μπλε και από 20 χρωματισμένα με κόκκινο ή πράσινο. Κάθε τετρόμινο καλύπτει είτε 4 τετράγωνα ίδιου χρώματος είτε 4 τετράγωνα χρωματισμένα με 4 διαφορετικά χρώματα. Αν τέτοια κάλυψη ήταν δυνατή, η διαφορά του πλήθους των τετραγώνων που είναι χρωματισμένα με γκρι από το πλήθος των τετραγώνων που είναι χρωματισμένα με κόκκινο πρέπει να είναι αριθμός διαιρετός από το 4. Όμως η διαφορά του πλήθους των τετραγώνων που είναι χρωματισμένα με κόκκινο από το πλήθος των τετραγώνων που είναι χρωματισμένα με γκρι είναι 10, αριθμός που δεν είναι διαιρετός από το 4. 10

11 Πρόβλημα 6 Ένα ορθογώνιο πλέγμα διαστάσεων m n είναι καλυμμένο με τετρόμινο διαστάσεων 1 4 και τετρόμινο διαστάσεων 2 2. Από το ορθογώνιο αφαιρέθηκαν όλα τα τετρόμινο αλλά, ένα τετρόμινο διαστάσεων 2 2 χάθηκε και αντικαταστάθηκε με ένα τετρόμινο διαστάσεων 1 4. Είναι δυνατόν πλέον να καλυφθεί το αρχικό ορθογώνιο παραλληλόγραμμο από τα τετρόμινο; Λύση: Χρησιμοποιούμε το χρωματισμό του διπλανού σχήματος με 4 χρώματα ξεκινώντας το χρωματισμό από το κάτω αριστερά τετράγωνο του ορθογωνίου. Κάθε τετρόμινο διαστάσεων 2 2 καλύπτει ακριβώς ένα τετράγωνο που είναι χρωματισμένο με το χρώμα Α συνεπώς ο αριθμός των τετρόμινο διαστάσεων 2 2 συμπίπτει με τον αριθμό των τετραγώνων που είναι χρωματισμένα με το χρώμα Α. Κάθε τετρόμινο διαστάσεων 1 4 είτε δεν καλύπτει κανένα είτε καλύπτει δύο τετράγωνα με το χρώμα Α. Όταν όμως χάνεται το τετρόμινο διαστάσεων 2 2 μένει κενό ένα τετράγωνο που είναι χρωματισμένο με το χρώμα Α και με το τετρόμινο διαστάσεων 1 4 που 11 προστίθεται, δεν είναι δυνατή η κάλυψη όλων των τετραγώνων που είναι χρωματισμένα με το χρώμα Α.

12 Χαρακτηριστικό των προηγούμενων προβλημάτων Ζητούσαν να αποδειχθεί ότι είναι αδύνατη η κατασκευή που είχε ζητηθεί στην εκφώνηση συνεπώς ο χρωματισμός χρησιμοποιήθηκε για να αποδειχθεί ότι «κάτι» δεν είναι δυνατό να γίνει. Υπάρχουν άραγε προβλήματα στα οποία η χρήση χρωματισμού να απαντάει «θετικά»; Τα προβλήματα αυτά είναι ελάχιστα. Επιλέγω να παρουσιάσω δύο από αυτά. 13

13 Πρόβλημα 7 Ένα μουσείο διαθέτει έναν εκθεσιακό χώρο που αποτελείται από 16 δωμάτια. Η κάτοψή του φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Μεταξύ κάθε ζεύγους οριζόντιων ή κατακόρυφων δωματίων που είναι διπλανά, υπάρχει μία πόρτα. Επιπλέον, κάθε δωμάτιο στη βόρεια και νότια πλευρά του κτιρίου (οι άνω και κάτω γραμμές της κάτοψης), έχει μια πόρτα που οδηγεί έξω από τον εκθεσιακό χώρο. Κατά το σχεδιασμό μιας νέας έκθεσης, ο φύλακας πρέπει να αποφασίσει ποιες πόρτες πρέπει να είναι ανοιχτές, έτσι ώστε οι επισκέπτες να εισέλθουν στην έκθεση μέσα από μια πόρτα που βρίσκεται στη βόρεια πλευρά, να επισκεφτούν κάθε δωμάτιο ακριβώς μια φορά και να βγουν έξω από μια πόρτα στη νότια πλευρά. Φυσικά, ο φύλακας θέλει επίσης να έχει όσο το δυνατόν λιγότερες πόρτες ανοιχτές. (α) Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός των θυρών που θα πρέπει να είναι ανοικτές για την έκθεση; (β) Ποιες πόρτες εισόδου στην έκθεση και εξόδου από αυτή πρέπει να είναι ανοικτές; (Να αναφέρετε όλα τα ζευγάρια θυρών εισόδου-εξόδου που μπορεί να είναι ανοικτές για την έκθεση). 14

14 Πρόβλημα 7 Λύση: (α) Από ένα μονοπάτι μέσα από την έκθεση οι επισκέπτες θα επισκέπτονται κάθε δωμάτιο ακριβώς μια φορά και θα πρέπει να εισέρχονται σε κάθε δωμάτιο και να εξέρχονται από αυτό μέσω διαφορετικών θυρών. Αυτό σημαίνει, ότι τουλάχιστον 17 πόρτες πρέπει να είναι ανοικτές, μεταξύ των οποίων μία πόρτα εισόδου και μία πόρτα εξόδου. (β) Χρωματίζουμε κάθε τετράγωνο με το συνηθισμένο χρωματισμό της σκακιέρας. Γίνεται τότε φανερό ότι οποιαδήποτε διαδρομή μέσα από την έκθεση, θα πρέπει να περάσει από δωμάτιο σε δωμάτιο εναλλάσσοντας κάθε φορά χρώμα. Από το σύνολο των 16 δωματίων που θα επισκεφτεί ο επισκέπτης, το πρώτο και το τελευταίο τετράγωνο θα πρέπει να χρωματιστεί με αντίθετα χρώματα. Συνεπώς τα πιθανά ζεύγη θυρών που πρέπει να είναι ανοικτές είναι τα (Α1, Β1), (Α1, Β3), (Α2, Β2), (Α2, Β4) και συμμετρικά τα (Α4, Β4), (Α4, Β2), (Α3, Β3), (Α3, Β1). Τα παρακάτω σχήματα δείχνουν μία διαδρομή για καθένα από τα τέσσερα πρώτα ζεύγη που αναφέρονται παραπάνω. 15

15 Πρόβλημα 8 (α) Να βρείτε πόσα τετράγωνα τέμνει η διαγώνιος ενός ορθογωνίου πλέγματος διαστάσεων Βοηθητικό Λήμμα Έστω ότι η διαγώνιος ξεκινάει από την πάνω αριστερή γωνία του ορθογωνίου πλέγματος και καταλήγει στην κάτω δεξιά. Εάν το πλέγμα είναι διαστάσεων m n με m, n = 1 και η διαγώνιος τέμνει κάποιο τετράγωνο του ορθογωνίου, τότε το τέμνει σε εσωτερικό σημείο της πλευράς του (και όχι σε γωνιακό όπως π.χ. στο σχήμα). Απόδειξη ισχυρισμού Αν υποθέσουμε αντίθετα ότι τέμνει κάποιο τετράγωνο σε μία γωνία του (ας υποθέσουμε στο σημείο C του διπλανού σχήματος) και το τετράγωνο αφήνει k τετράγωνα πάνω και l τετράγωνα αριστερά από αυτό, τότε λόγω του ότι τα σημεία A, C, E είναι συνευθειακά, παίρνουμε την ομοιότητα των τριγώνων ABC και ADE κι έτσι ml = knκι επειδή m, n διότι n > l. = 1 άρα n l, άτοπο 16

16 Πρόβλημα 8 (α) Να βρείτε πόσα τετράγωνα τέμνει σε εσωτερικά τους σημεία η διαγώνιος ενός ορθογωνίου πλέγματος διαστάσεων Λύση: Είναι 1005,1009 = 1. Χρωματίζουμε όλα τα τετράγωνα που τέμνει η διαγώνιος μαύρα. Σε κάθε γραμμή του πλέγματος μαρκάρουμε το μαύρο τετράγωνο που βρίσκεται πιο κοντά στην αριστερή πλευρά του αρχικού ορθογωνίου με το γράμμα Α. Σε κάθε στήλη του πλέγματος μαρκάρουμε το μαύρο τετράγωνο που βρίσκεται πιο κοντά στην πάνω πλευρά του πλέγματος με το γράμμα Β. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται το μαρκάρισμα που θα κάναμε σε ένα πλέγμα διαστάσεων

17 Πρόβλημα 8 (α) Να βρείτε πόσα τετράγωνα τέμνει σε εσωτερικά τους σημεία η διαγώνιος ενός ορθογωνίου πλέγματος διαστάσεων Λύση: Κάθε ένα από τα μαύρα τετράγωνα μαρκάρεται ακριβώς μία φορά με ένα από τα γράμματα Α ή Β εκτός από το πάνω αριστερά που μαρκάρεται και από τα δύο ( ). Συνεπώς ο αριθμός των μαύρων τετραγώνων είναι = Απόδειξη ισχυρισμού Αν υπήρχε κάποιο μαύρο τετράγωνο που δεν μαρκάρεται με κάποιο γράμμα τότε το τετράγωνο ακριβώς από πάνω του και το τετράγωνο αμέσως αριστερά από εκείνο, θα πρέπει να είναι μαύρα, δηλαδή, θα πρέπει να τέμνονται από τη διαγώνιο σε εσωτερικά τους σημεία. Όμως το μόνο κοινό σημείο αυτών είναι η κοινή κορυφή, άτοπο. Επίσης αν κάποιο τετράγωνο μαρκάρεται και με τα δύο γράμματα τότε δεν υπάρχει άλλο μαύρο τετράγωνο ούτε στην ίδια γραμμή και αριστερότερα από αυτό, ούτε στην ίδια στήλη και πάνω από αυτό. Αυτό σημαίνει, ότι η διαγώνιος διέρχεται από την πάνω αριστερά γωνία του τετραγώνου και αυτό μπορεί να συμβαίνει μόνο στο πάνω αριστερά τετράγωνο του πλέγματος. 18

18 Πρόβλημα 8 (β) Να βρείτε πόσα τετράγωνα τέμνει σε εσωτερικά τους σημεία η διαγώνιος ενός ορθογωνίου πλέγματος διαστάσεων Λύση: Είναι 12,9 = 3 και, 9 = 4,3 = 1, άρα 3 3 μπορούμε να φτιάξουμε 3 3 blocks κάθε ένα από τα οποία, θα αποτελείται από ορθογώνια πλέγματα διαστάσεων 4 3. Φέρουμε τη διαγώνιο του αρχικού πλέγματος η οποία θα περνάει από την κάτω δεξιά γωνία του πρώτου block από την πρώτη σειρά, από την κάτω δεξιά γωνία του δεύτερου block από τη δεύτερη σειρά, του τρίτου από την τρίτη σειρά (το ότι η διαγώνιος διέρχεται από αυτές τις γωνίες είναι εύκολο να αποδειχθεί με ομοιότητα τριγώνων). Σε κάθε block η διαγώνιος τέμνει 4+3-1=6 τετράγωνα άρα συνολικά στα 3 blocks θα τέμνει 3 6 = 18 τετράγωνα

19 Πρόβλημα 8 Φυσιολογική γενίκευση: Η διαγώνιος ενός ορθογωνίου πλέγματος διαστάσεων m n τέμνει m + n (m, n) τετράγωνα όπου με (m, n) συμβολίζουμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη των αριθμών m και n. 20

20 Πρόβλημα 9 Να βρεθεί πιο τετράγωνο πρέπει να αφαιρεθεί από μία σκακιέρα 8 8 ώστε τα υπόλοιπα 63 τετράγωνα να μπορούν να καλυφθούν από τριόμινο διαστάσεων 1 3 Λύση: Θα δείξουμε ότι η σκακιέρα καλύπτεται από τριόμινο αν και μόνο αν το τετράγωνο που θα αφαιρέσουμε είναι κάποιο από τα 4 μαύρα τετράγωνα που εικονίζονται στο πάνω δεξιά σχήμα. Μία κάλυψη με τριόμινο φαίνεται στο κάτω δεξιά σχήμα. 21

21 Πρόβλημα 9 Χρησιμοποιούμε τρία χρώματα για να χρωματίσουμε τη σκακιέρα, ώστε κάθε τριόμινο που θα τοποθετηθεί οριζόντια ή κατακόρυφα να καλύπτει τρία τετράγωνα με διαφορετικό χρώμα (π.χ. διπλανό σχήμα) Με τον διπλανό τρόπο υπάρχουν 21 λευκά, 21 μπλε και 22 γκρι τετράγωνα. Συνεπώς, το τετράγωνο που θα αφαιρεθεί πρέπει να είναι υποχρεωτικά γκρι. Χρωματίζουμε απ την αρχή τη σκακιέρα με τρόπο ώστε ο καινούριος χρωματισμός να είναι ίδιος με τον προηγούμενο αν στον τελευταίο εφαρμόσουμε στροφή ως προς το κέντρο του τετραγώνου κατά 90 με την θετική φορά. Και πάλι το τετράγωνο που θα αφαιρεθεί πρέπει να είναι γκρι. Συγκρίνοντας τα δύο τελευταία σχήματα, τα μόνα γκρι τετράγωνα που μπορούν να αφαιρεθούν ώστε να μπορεί να γίνει η παραπάνω κάλυψη, είναι τα κοινά στα δύο προηγούμενα σχήματα δηλαδή τα τέσσερα που αναφέρθηκαν στην αρχή της λύσης. Geogebra 22

22 Πρόβλημα 10 Εάν ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο χωριστεί σε μικρότερα με πλευρές παράλληλες στις πλευρές του αρχικού και με την ιδιότητα ότι κάθε ένα από αυτά έχει τουλάχιστον μία πλευρά της οποίας το μήκος είναι ακέραιος αριθμός, τότε η ιδιότητα αυτή μεταφέρεται και στο αρχικό ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Χρήσιμο Λήμμα 1 Αν κάποιο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με τουλάχιστον μία πλευρά του ακέραιο αριθμό το χωρίσουμε σε τετράγωνα διαστάσεων ξεκινώντας από την κάτω αριστερή γωνία και το χρωματίσουμε όπως τη σκακιέρα, τότε η συνολική περιοχή του τετραγώνου που είναι βαμμένη με λευκό είναι ίση με τη συνολική περιοχή που είναι βαμμένη με μαύρο. Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε ένα τέτοιο ορθογώνιο διαστάσεων k 2 όπου k τυχαίος θετικός πραγματικός αριθμός. 1 23

23 Πρόβλημα 10 Το ίδιο συμβαίνει με ένα ορθογώνιο, το οποίο το χρωματίζουμε με τον παραπάνω τρόπο, με τη διαφορά ότι ο χωρισμός του σε τετράγωνα διαστάσεων 1 1 δεν ξεκινά 2 2 απαραίτητα από την κάτω αριστερή γωνία αλλά από οποιοδήποτε σημείο μιας πλευράς (βλέπε διπλανό σχήμα). Αυτό συμβαίνει διότι η συγκεκριμένη περίπτωση ανάγεται στην προηγούμενη με οριζόντια και κατακόρυφη μετατόπιση του σχήματος. Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ διαστάσεων k 2, το οποίο εύκολα ανάγεται στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΕΖΗΘ με βάση τον προηγούμενο χρωματισμό. Geogebra 24

24 Πρόβλημα 10 Χρήσιμο Λήμμα 2 Αν κάποιο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλευρές k, l που είναι μικρότερες της μονάδας, το χωρίσουμε σε τετράγωνα διαστάσεων και χρωματίσουμε το σχήμα όπως τη σκακιέρα, η συνολική περιοχή που είναι βαμμένη με λευκό δεν είναι ίση με τη συνολική περιοχή που είναι βαμμένη με μαύρο. Για την απόδειξη αρκεί κάποιος να θεωρήσει τις περιπτώσεις α) k < 1 2 και 0 < l < 1 β) k > 1 2 και l > 1 2 και τα υπόλοιπα είναι θέμα απλής άλγεβρας. Geogebra 25

25 Πρόβλημα 10 Αν ξεκινήσουμε λοιπόν να χρωματίζουμε το αρχικό ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με το συνηθισμένο χρωματισμό της σκακιέρας με τετράγωνα διαστάσεων 1 1 ξεκινώντας από την κάτω αριστερή γωνία, 2 2 τότε λόγω του ότι το κάθε μικρότερο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει τουλάχιστον μία πλευρά ακέραιο αριθμό, η συνολική περιοχή που είναι χρωματισμένη με λευκό είναι ίση με εκείνη που είναι χρωματισμένη με μαύρο. 26

26 Πρόβλημα 10 Αν υποθέσουμε λοιπόν ότι το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο δεν έχει καμία πλευρά που να είναι ακέραιος αριθμός, τότε μπορούμε να το χωρίσουμε σε τέσσερα μικρότερα ορθογώνια παραλληλόγραμμα από τα οποία τα τρία έχουν τουλάχιστον μία πλευρά ακέραιο αριθμό (και επομένως (Χρήσιμο Λήμμα 1) η συνολική περιοχή που είναι χρωματισμένη με λευκό είναι ίση με εκείνη που είναι χρωματισμένη με μαύρο), ενώ στο τέταρτο στο οποίο καμία πλευρά δεν είναι ακέραιος αριθμός και μάλιστα κάθε πλευρά είναι μικρότερη της μονάδας, η συνολική περιοχή που είναι χρωματισμένη με λευκό δεν είναι ίση με εκείνη που είναι χρωματισμένη με μαύρο (Χρήσιμο Λήμμα 2). Το αρχικό ορθογώνιο έχει διαστάσεις α β και το [α] συμβολίζει το ακέραιο μέρος του α). 27

27 Πρόβλημα 10 Δηλαδή στο αρχικό ορθογώνιο παραλληλόγραμμο οι δύο περιοχές που είναι χρωματισμένες με λευκό και μαύρο δεν είναι ισεμβαδικές κάτι που έρχεται σε αντίφαση με όσα δείξαμε παραπάνω. Άρα το αρχικό ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει τουλάχιστον μία πλευρά που είναι ακέραιος αριθμός. 28

28 Υπάρχουν προβλήματα που δε λύνονται με χρωματισμό; Υπάρχουν. Αξίζει να σημειώσουμε ένα άρθρο του Conway στο οποία αποδεικνύεται με αρκετά δύσκολη συνδυαστική θεωρία ομάδων, ότι το τρίγωνο Τ N μπορεί να καλυφθεί χρησιμοποιώντας τρίγωνα Τ 2 αν και μόνο αν N 0,2,9,11 (mod 12). Στο διπλανό σχήμα φαίνονται τα τρίγωνα Τ 2 και Τ 5. Το ενδιαφέρον είναι ότι στην ίδια εργασία αποδεικνύεται, ότι το παραπάνω θεώρημα δε μπορεί να αποδειχθεί με τη βοήθεια χρωματισμού. Το τρίγωνο αποτελείται από Ν σειρές με εξάγωνα ώστε η βάση του να περιέχει Ν εξάγωνα, η αμέσως επόμενη σειρά Ν-1 εξάγωνα έως την 1 η σειρά που περιέχει 1 εξάγωνο. Τα σχήματα που φαίνονται παραπάνω είναι παραδείγματα τέτοιων τριγώνων. 29

29 Σας ευχαριστώ πολύ 30

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ Προκριματικός διαγωνισμός 2012 7 Απριλίου 2012

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ Προκριματικός διαγωνισμός 2012 7 Απριλίου 2012 ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ Προκριματικός διαγωνισμός 0 7 Απριλίου 0 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες p n όπου p πρώτος και αρνητικοί ακέραιοι που είναι λύσεις της εξίσωσης: p n Λύση Η δεδομένη εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο.

Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο. Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο. Ας μελετήσουμε τι συμβαίνει, όταν ένα υγρό περιέχεται σε ένα ακίνητο δοχείο. Τι δυνάμεις ασκεί στο δοχείο; Τι σχέση έχουν αυτές με το βάρος του υγρού; Εφαρμογή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα: (Σ 1 ): { (Σ 2 ): { (Σ 3 ): { (Σ 4 ): { με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ. Ορισμοί Εμβαδόν τετραγώνου. Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α ισούται µε α 2.

1.3 ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ. Ορισμοί Εμβαδόν τετραγώνου. Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α ισούται µε α 2. ΜΡΟΣ Β 1.3 ΜΒΑΔΑ ΠΙΠΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 1 Ορισμοί μβαδόν τετραγώνου 1.3 ΜΒΑΔΑ ΠΙΠΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α ισούται µε α. E α α α μβαδόν ορθογωνίου Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου µε πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τα πιο κάτω θεωρήματα καθώς και το Θεώρημα Ι σ. 104 είναι SOS όχι μόνο για θεωρία αλλά και για χρήση στις ασκήσεις, οπότε πρέπει να κατανοήσετε τι λένε, να ξέρετε την απόδειξη και να είστε έτοιμοι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 7 8 (A - Β Γυμνασίου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Ποιά η τιμή: 12 + 23 + 34 + 45 + 56 + 67 + 78 + 89 ; A) 389 B) 396 C) 404 D) 405 E) άλλη απάντηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 4 (για µαθητές της Γ' τάξης Γυµνασίου και Α' τάξης Λυκείου)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 4 (για µαθητές της Γ' τάξης Γυµνασίου και Α' τάξης Λυκείου) Kangourou Sans Frontières αγκουρό Ελλάς Επώνυµο:... Όνοµα:... Όνοµα πατέρα:... e-mail:... ιεύθυνση:... Τηλέφωνο:... Εξεταστικό έντρο:... Σχολείο προέλευσης:... Τάξη:... Θέµατα αγκουρό 007 Επίπεδο: 4 (για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ εωμετρία α λυκείου ξιοσημείωτα σημεία τριγώνου 5 ΣΚΗΣΙΣ ΣΤ ΞΙΟΣΗΙΩΤ ΣΗΙ ΤΡΙΩΝΟΥ )ίνεται τρίγωνο µε = 45 και B = 75. ν µέσο της φέρουµε από το κάθετη στη διχοτόµο της γωνίας που τέµνει την στο. Στην παίρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Μαθηματική Επαγωγή ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

5 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά»

5 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106 79

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Η αρχή του Αναλλοίωτου-Θεωρία Παιγνίων

Η αρχή του Αναλλοίωτου-Θεωρία Παιγνίων Η αρχή του Αναλλοίωτου-Θεωρία Παιγνίων Ομιλητής: Νασιούλας Αντώνης Ιστιαία, Σάββατο 13 Απριλίου 213 Μέρος I (Αναλλοίωτα) Η Αρχή του Αναλλοίωτου είναι μια στρατηγική επίλυσης προβλήματων που έχουν σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 9 10 (Γ Γυμνασίου Α Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Ποιο από τα ακόλουθα είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αριθμού 20102010 με τον

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ)

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ (ΤΡΠΖ ΘΜΤΩΝ) GI_V_GEO_2_18975 ίνεται τρίγωνο AB με AB=9, A=15. πό το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά B που τέμνει τις AB,A στα,e αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι A = 2 AB

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Η προοπτική εικόνα, είναι, όπως είναι γνωστό, η προβολή ενός χωρικού αντικειμένου, σε ένα επίπεδο, με κέντρο προβολής, το μάτι του παρατηρητή. Η εικόνα αυτή, θεωρούμε ότι αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1.Εντολές κίνησης

Κεφάλαιο 1.Εντολές κίνησης Προγραμματίζω με το ΒΥΟΒ 1 Κεφάλαιο 1.Εντολές κίνησης Από το μάθημα της Φυσικής γνωρίζουμε ότι κίνηση σημαίνει αλλαγή της θέσης ενός αντικειμένου. Οι εντολές κίνησης που μας παρέχει το ΒΥΟΒ χωρίζονται

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο 1 3.3 ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙ 1. Μήκος κύκλου ακτίνας ρ : Το µήκος L ενός κύκλου δίνεται από τον τύπο L = 2πρ ή L = πδ όπου δ η διάµετρος του κύκλου και π ένας άρρητος αριθµός του οποίου προσέγγιση µε δύο δεκαδικά

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου

Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου Παρουσίαση: Τεύκρος Μιχαηλίδης ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ Επικοινωνία info@thalesandfriends.org Ιστοσελίδα www.thalesandfriends.org Το τρίγωνο του Sierpinski Α Β Γ ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ 2 Στο

Διαβάστε περισσότερα